Aula 14 - professor Daniel Orquiza de Carvalho
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Propriedades dos Condutores e Condições de Contorno (Capítulo 5 – Páginas 119 a 123) • Conceito de Condutor Elétrico Perfeito (PECs) • Densidade de carga, campos e potencial no interior de PECs • Condições de Contorno em superfícies condutoras. EletromagnetismoI 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condutor Elétrico Perfeito (PEC) • Um Condutor Elétrico Perfeito (PEC) é um condutor cuja condutividade é infinita (σ = ∞). • Embora se trate de uma abstração, a maioria dos bons condutores reais se comportam como PECs. • O que acontece se um conjunto de cargas for inserido dentro de um condutor perfeito (ou bom condutor)? • Existe campo elétrico E e Densidade de Fluxo Elétrico D no interior de um condutor Perfeito (PEC)? EletromagnetismoI 3 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Propriedades de PECs • Cargas dentro de um Condutor Elétrico Perfeito (PEC) (ou um bom condutor) se repelem mutuamente, caso tenham mesmo sinal. ρv = 0 no interior do PEC • O que acontece com cargas de sinais opostos? • Uma densidade superficial de cargas existirá nas superfícies. ρS ≠ 0 se houver cargas no PEC Condutor Elétrico Perfeito • Recorde o que estudamos sobre o tempo de relaxação! Qual a ordem de grandeza de τ para bons condutores? EletromagnetismoI 4 Prof.DanielOrquiza SJBV Campo Elétrico em um condutor Propriedades de PECs • O que acontece quando um campo elétrico externo Ee é aplicado em um Condutor Elétrico Perfeito? ! E=0 e ! D=0 ! Ee ! Ei ! Ee ! Ei ! Ee ρv = 0 ! E=0 ! D=0 ! Ei 5/2/16 5 ρs ≠ 0 SJBV Campo Elétrico em um condutor Propriedades de PECs § Visto que o campo elétrico é nulo, é possível saber o comportamento do potencial em qualquer ponto dentro do condutor. ! E=0 ∇V = ∂V ∂V ∂V âx + ây + âz = 0 ∂x ∂y ∂z § Para que esta equação seja satisfeita, V tem que ser constante ao longo de todas as direções espaciais. V = Constante § Por consequência, a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos A e B no interior do PEC é nula. VAB = 0 5/2/16 6 SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Meios materiais (MUDAR) • O conhecimento do comportamento dos campos eletrostáticos (e eletromagnéticos) em: ① Materiais homogêneos, isotrópicos e lineares (condutores e dielétricos) e ② Na interface entre meios diferentes (condutores e dielétricos), permite compreender o funcionamento e projetar grande parte dos dispositivos de Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, como por exemplo: Guiasde Onda EletromagnetismoI Linhasde transmissão 7 Antenas FibrasÓpticas Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condições de Contorno na Superfície de PECs As condições de contorno na interface entre dois meios nos permitem relacionar os campos dos dois lados da interface. !n E2 !t E1 ! E1 y Decompondo os campos dos dois lados, é possível encontrar relações entre os componentes normais !n !n ( E1 e E2 ) em cada lado. ! E2 E! t 2 Além disso, é possível encontrar relações entre os componentes tangenciais lados da ! t nos !dois interface ( E1 e E2t ). !n E1 x 5/2/16 8 SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condições de Contorno na Superfície de PECs Caminho fechado § Os campos eletrostáticos são conservativos e satisfazem a equação: !∫ C ! ! E ⋅ dl = 0 h § Usando a integral de linha ao longo de um caminho retangular encontramos as C.C. para E tangencial na superfície do condutor. ∫ C1 ! ! E ⋅ dl + ∫ C2 ! ! E ⋅ dl + ∫ C3 ! ! E ⋅ dl + ∫ C4 w Condutor perfeito h ! ! E ⋅ dl = 0 b § Se escolhermos o caminho tal que h → 0: ∫ 5/2/16 C2 ! ! E ⋅ dl = ∫ C4 C2 ! ! E ⋅ dl = 0 c y 9 C1 x a C4 C3 d SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condições de Contorno na Superfície de PECs Caminho fechado § Além disso, o campo elétrico no interior do condutor perfeito é nulo. ∫ C3 ! ! E ⋅ dl = 0 h § Por consequência, a integral de linha ao longo de C1 tem de ser nula. w Condutor perfeito h § Se w for suficiente pequeno, o componente tangencial de E ao longo de C1 é uniforme. !t E =0 !t E1 w = 0 âN § Com isso, componente tangencial do campo elétrico na superfície do condutor perfeito é nula. ! 5/2/16 E × âN = 0 S 10 b C1 C2 y c x a C4 C3 d SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condições de Contorno na Superfície de PECs § A Lei de Gauss (na forma integral) permite encontrar a relação entre os componentes normais de D. § Considerando uma Superfície Gaussiana cilíndrica onde o topo e a base são paralelos à superfície temos: ! ! !∫ D ⋅ dS = Q S ψ BASE + ψ LATERAL + ψTOPO = Q Carga dentro do cilíndro Área S’ § Se a altura do cilindro for tal que h → 0: h ψ LATERAL = 0 § O campo elétrico no interior do condutor perfeito é nulo. ψ BASE = 0 5/2/16 z PEC 11 x y ρs SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condições de Contorno na Superfície de PECs § Para o condutor perfeito, o único fluxo que contribui para a L.G. é o fluxo através do topo do cilindro. ! ! !∫ D ⋅ dS = Q ψ BASE + ψ LATERAL + ψTOPO = Q 0 S § Se S’ for suficientemente pequena, o componente normal de D ao longo de S’ é uniforme. § A Lei de Gauss para a superfície gaussiana considerada resulta em: ! D ⋅ ( S ' âN ) = Q 5/2/16 0 Área S’ âN h z PEC 12 x y ρs SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condições de Contorno na Superfície de PECs § A carga no interior do cilindro está toda localizada na superfície do PEC. O lado direito da L.G. fica: Q= ∫ρ S dS S § Considerando que ρs é uniforme ao longo da superfície contida no interior do cilindro (que também tem área S’): Q = ρS S ' Área S’ § A C. C. para o componente normal de D na superfície do condutor é obtida substituindo a expressão anterior na L.G.: ! D ⋅ âN = ρS S ân h/2 z PEC 5/2/16 13 x y SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condições de Contorno na Superfície de PECs § Note que a densidade de carga ρs pode ser negativa ou positiva. § Quando ρs > 0, a densidade de fluxo aponta na direção da normal saindo do ! condutor. D ! D ⋅ âN > 0 S ân ρs > 0 PEC ân direção da normal saindo do § Quando ρs > 0, a densidade de fluxo aponta na ! condutor. ρs < 0 â D ! D ⋅ âN < 0 n S PEC 5/2/16 14
