fem-abc aplicado à solução de um problema de espalhamento

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
COORDENAÇÃO DO CURSO DE MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E
COMPUTACIONAL
FEM-ABC APLICADO À SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DE ESPALHAMENTO
ELETROMAGNÉTICO
LUCIANO SILVA BARBOSA
Dissertação de Mestrado submetida ao Colegiado do Programa de PósGraduação em Modelagem Matemática e Computacional do Centro
Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito
parcial à obtenção de título de Mestre em Modelagem Matemática e
Computacional.
Linha de Pesquisa:
Métodos Matemáticos Aplicados
Orientador:
Prof. Dr. Márcio Matias Afonso
Co-orientador:
Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder
Belo Horizonte
20 de Dezembro de 2010
Aos meus pais.
Resumo
Problemas de espalhamento eletromagnético são de grande importância no mundo
moderno. A necessidade de se compreenderem problemas cada vez mais complexos
motiva o desenvolvimento da modelagem eletromagnética computacional. Neste
trabalho, o método de elementos finitos (FEM) é aplicado a problemas de espalhamento
eletromagnético bidimensional. Para limitar o domínio de tais problemas, uma condição
de contorno absorvente (ABC) de Bayliss-Turkel é deduzida e incorporada à
formulação matemática. As formulações FEM-ABC de primeira e de segunda ordens
são desenvolvidas e comparadas com a solução analítica do espalhamento
eletromagnético de um corpo dielétrico. A análise de erro dos resultados mostra que a
solução FEM-ABC fornece boa aproximação para a solução dessa classe de problemas,
principalmente quando é utilizada a ABC de segunda ordem.
i
Abstract
Electromagnetic scattering problems are of great importance in the modern world. The
need to understand increasingly complex problems motivates the development of
computational electromagnetic modeling. In this work, the finite element method
(FEM) is applied to two-dimensional electromagnetic scattering problems. To limit the
domain of such problems, an absorbing boundary condition (ABC) of Bayliss-Turkel is
derived and incorporated into the mathematical formulation. The first and second orders
FEM-ABC formulations are developed and compared with the analytical solution of the
electromagnetic scattering from a dielectric body. The error analysis of the results
shows that the FEM-ABC solution provides a good approximation to the solution of this
class of problems, especially when using the second order ABC.
ii
Agradecimentos
A Deus, criador de todas as coisas.
Ao meu pai, Geraldo, e à minha mãe, Vera, um agradecimento especial, por me
amarem incondicionalmente e por contribuírem de forma decisiva em minha formação
pessoal e profissional. Amo vocês.
Ao meu irmão, Laércio, à minha irmã, Débora e ao meu sobrinho, Mateus, por
estarem sempre presentes em minha vida.
À minha noiva, Solange, pelo companheirismo ao longo desta caminhada.
Ao professor Márcio Matias Afonso, meu orientador. Sem a sua brilhante e
dedicada orientação, este sonho não teria se transformado em realidade.
Ao professor Marco Aurélio de Oliveira Schroeder, meu co-orientador, por
aumentar a minha admiração pelas belas equações de Maxwell.
Aos professores Antônio Paulo Baêta Scarpelli, Cristina Duarte Murta e Maria
Elizabeth de Gouvêa pela maestria, competência e carinho com que conduziram suas
aulas.
À Letícia Marques, primeira pessoa a incentivar-me a fazer este mestrado, por
acreditar sempre em mim.
Às professoras Allana Mátar de Figueiredo e Mônica Buccini Siqueira pelas
valiosas considerações gramaticais.
Alguns colegas de trabalho, colegas do mestrado, alunos e ex-alunos destacaramse pelo companheirismo e incentivo nessa caminhada. Seus nomes merecem ser citados,
apesar do risco de não serem mencionados todos. Muito obrigado aos colegas de
trabalho Andréa Guimarães, Anselmo, Aparecida Debona, Carlos Eufrásio, Davi, Eliane
Moreira, Gabriel, Hudson, Ívina, Jener, Liliane, Lucas, Luiz Esteves, Magda, Malvina,
Maria Imaculada, Mary Ane, Renato Frade, Patrícia Patrício, Tânia Araújo, Tânia Lima,
Willio e a todos os outros que convivem ou conviveram comigo no dia a dia da sala de
iii
aula. A todos os colegas de mestrado, em especial ao Anderson, à Flávia, à Pâmela, ao
Rafael Alípio e ao Saulo. A todos os meus queridos alunos e ex-alunos, em especial ao
André Luiz, à Carla Bechelane, à Catarine Eloísa, à Débora Microni, ao Felipe Eufrásio,
à Jéssyca Irene, à Laura Diniz, ao Leonardo Costa, ao Mathias Loredo e ao Ricardo
Motai.
A todos, muito obrigado!
iv
Sumário
Lista de figuras ..................................................................................................................... 1
Lista de tabelas ..................................................................................................................... 2
Lista de símbolos .................................................................................................................. 3
1 Introdução ............................................................................................................................ 5
2 Espalhamento eletromagnético ............................................................................................ 8
2.1 Introdução ...................................................................................................................... 8
2.2 O espalhamento eletromagnético .................................................................................... 8
2.3 As equações de Maxwell ................................................................................................ 9
2.4 Relações constitutivas................................................................................................... 11
2.5 Condições de interface.................................................................................................. 12
2.6 A equação de onda de Helmholtz .................................................................................. 13
2.7 Condição de contorno absorvente ................................................................................. 14
2.8 Métodos numéricos para a solução de problemas de espalhamento ............................... 14
2.9 Sumário ........................................................................................................................ 17
3 Formulação matemática para problemas de espalhamento ............................................ 18
3.1 Introdução .................................................................................................................... 18
3.2 Formulação forte .......................................................................................................... 18
v
3.3 Formulação fraca .......................................................................................................... 20
3.4 Incorporação da ABC de primeira ordem ...................................................................... 20
3.5 Incorporação da ABC de segunda ordem ...................................................................... 23
3.6 Sumário ........................................................................................................................ 25
4 Discretização....................................................................................................................... 26
4.1 Introdução .................................................................................................................... 26
4.2 Discretização do domínio ............................................................................................. 26
4.3 Elemento de referência e funções de interpolação ......................................................... 27
4.4 Jacobiano ..................................................................................................................... 29
4.5 Discretização das variáveis físicas pelo método de Galerkin ......................................... 31
4.6 O sistema matricial ....................................................................................................... 34
4.7 Sumário ........................................................................................................................ 34
5 Resultados........................................................................................................................... 35
5.1 Introdução .................................................................................................................... 35
5.2 Descrição do problema ................................................................................................. 35
5.3 Solução FEM-ABC de primeira ordem ......................................................................... 38
5.4 Solução FEM-ABC de segunda ordem ......................................................................... 39
5.5 Influência da densidade da malha ................................................................................. 40
5.6 Influência da localização da fronteira ABC ................................................................... 42
5.7 Influência da forma da fronteira ABC ........................................................................... 43
5.8 Análise do custo computacional.................................................................................... 44
5.9 Sumário ........................................................................................................................ 45
6 Conclusão e propostas de continuidade............................................................................. 47
vi
Apêndices ................................................................................................................................ 49
A Identidades vetoriais ....................................................................................................... 49
B Dedução da ABC de segunda ordem ............................................................................... 50
C Incorporação da ABC de segunda ordem à formulação ................................................... 52
D Pseudocódigos ................................................................................................................ 54
Referências bibliográficas ....................................................................................................... 56
vii
Lista de figuras
1.1 Exemplos de emissores (E) e receptores (R) de ondas eletromagnéticas .......................... 5
2.1 Situação típica de espalhamento: (a) fonte; (b) espalhador .............................................. 8
3.1 Geometria de um espalhador bidimensional arbitrário................................................... 19
3.2 O espalhador da figura (3.1) após a incorporação da ABC (em tracejado) ..................... 21
4.1 Alguns tipos de elemento .............................................................................................. 27
4.2 Mapeamento de um elemento linear: (a) unidimensional; (b) bidimensional ................. 28
5.1 Cilindro dielétrico de comprimento infinito e raio a, iluminado em incidência
normal por uma onda plana, monocromática e uniforme ............................................... 36
5.2 A geometria do problema proposto ............................................................................... 36
5.3 Malha 1, com 1570 elementos e 921 nós ....................................................................... 37
5.4 Campo elétrico total na superfície do espalhador: comparação entre a solução
FEM-ABC de primeira ordem e a solução analítica ...................................................... 38
5.5 Erro percentual e erro percentual médio com ABC de primeira ordem .......................... 39
5.6 (a) Solução FEM-ABC de segunda ordem para a malha 1; (b) erro percentual e
erro percentual médio ................................................................................................... 40
5.7 Malha 2, com 2384 elementos e 1328 nós ..................................................................... 40
5.8 Soluções FEM-ABC de primeira e de segunda ordens para a malha 2 ........................... 41
5.9 Soluções FEM-ABC de primeira e de segunda ordens para a malha 3 ........................... 42
5.10 Deformações obtidas a partir da malha 2: (a) Malha 4: elíptica de semieixos
1,0 X 0,8 ,com 2360 elementos e 1316 nós; (b) Malha 5: elíptica de semieixos
1,2 X 0,6 ,com 2186 elementos e 1229 nós ............................................................... 43
5.11 Disposição dos termos não nulos na matriz gerada pelo FEM-ABC para a
malha 3 ........................................................................................................................ 45
1
Lista de tabelas
5.1 Tempos de processamento, em segundos ...................................................................... 44
2
Lista de símbolos
Símbolos alfanuméricos

B = densidade de fluxo magnético ( Wb m 2 )

D = densidade de fluxo elétrico ( C m 2 )

E = intensidade de campo elétrico ( V m )

E i = intensidade de campo elétrico incidente ( V m )

E zi = componente na direção z do vetor E i

E s = intensidade de campo elétrico espalhado ( V m )

H = intensidade de campo magnético ( A m )

H i = intensidade de campo magnético incidente ( A m )

H s = intensidade de campo magnético espalhado ( A m )

J = densidade de corrente ( A m 2 )
j = unidade imaginária (   1 )
k = constante de propagação
k 0 = constante de fase do espaço livre
q = constante da formulação ABC

U = campo exato no domínio tridimensional
U = campo exato no domínio bidimensional
u = campo aproximado no domínio bidimensional
u i = campo incidente
u s = campo espalhado
w = função de ponderação
Símbolos gregos
 1 = constante eletromagnética
 2 = constante eletromagnética
 = permissividade elétrica ( F m )
 0 = permissividade elétrica do espaço livre ( F m )
 r = permissividade elétrica relativa
3
 = operador diferencial da formulação ABC
 1 = constante da formulação ABC
 2 = constante da formulação ABC
 e = fronteira do domínio
 s = fronteira do espalhador
 = curvatura do elemento ( m 1 )
 = comprimento de onda ( m )
 = permeabilidade magnética ( H m )
 0 = permeabilidade magnética do espaço livre ( H m )
 r = permeabilidade magnética relativa
 i = ângulo de incidência ( rad )
 v = densidade volumétrica de carga elétrica ( C m 3 )
 = condutividade elétrica ( S m )
  domínio interior ao espalhador
 0  espaço livre
'  união de  e  0
 = frequência angular ( rad s )
Abreviações
ABC = Condição de Contorno Absorvente
FDM = Método das Diferenças Finitas
FEM = Método de Elementos Finitos
MoM = Método dos Momentos
4
Capítulo 1
Introdução
A previsão da existência de ondas eletromagnéticas, feita por James Clerk
Maxwell na segunda metade do século XIX, é um trabalho revolucionário no campo do
eletromagnetismo [1]. A verificação experimental da existência de tais ondas é realizada
alguns anos mais tarde, por Heinrich Hertz, através da detecção de ondas de rádio [2].
Isso permite o surgimento de diversos dispositivos que se baseiam na emissão e/ou na
recepção de ondas eletromagnéticas, como mostra a figura 1.1. Dentre os dispositivos
apresentados na figura, apenas o rádio não funciona como emissor (E), e apenas a linha
de transmissão, o rastreador e o transmissor de FM/TV não funcionam como receptores
(R).
Os
demais
–
aeronave,
navio,
radar,
retransmissor
de
microondas,
telecomunicações, walkie talkie – têm seu funcionamento baseado tanto na emissão
quanto na recepção de ondas eletromagnéticas.
Figura 1.1: Exemplos de emissores (E) e receptores (R) de ondas eletromagnéticas [3].
5
Um fenômeno de grande interesse relacionado à propagação de ondas
eletromagnéticas é o espalhamento eletromagnético. Quando um objeto, denominado
espalhador, é iluminado por uma onda eletromagnética, correntes elétricas são induzidas
em sua superfície. Isso o torna fonte de outra onda eletromagnética, denominada onda
espalhada, que se superpõe à onda incidente. O fenômeno que dá origem à onda
espalhada é denominado espalhamento eletromagnético [4], [5]. Vários dos dispositivos
apresentados na figura 1.1 são exemplos de espalhadores práticos. Se as características
do espalhador forem conhecidas, é possível prever a forma da onda espalhada. Há
também o fenômeno do espalhamento inverso, em que as características do espalhador
são obtidas a partir do campo espalhado.
As aplicações relacionadas ao espalhamento eletromagnético abrangem diversas
áreas, incluindo biomedicina, defesa nacional, geofísica, radar, telecomunicações e
outras. É cada vez maior o número de situações em que o espalhamento eletromagnético
é aplicado no mundo moderno. São exemplos de tais aplicações: o funcionamento dos
radares para detecção de submarinos e aeronaves [6]; a modelagem da estrutura de
florestas pelo sensoriamento remoto [7]; a detecção e identificação de cilindros
enterrados [8]; a determinação das propriedades físicas das geleiras marítimas a partir
do campo espalhado por elas [9]; o espalhamento devido a tubos circulares e não
circulares com fronteiras irregulares [10], [11]; o espalhamento devido a um arranjo
periódico de espalhadores idênticos [12].
Problemas
de
espalhamento
eletromagnético
podem
ser
solucionados
analiticamente ou através de métodos numéricos computacionais. A solução analítica,
apesar de exata, só pode ser obtida em casos particulares, o que limita o número de
problemas tratados [13]. Faz-se necessária, então, a modelagem computacional. Os
métodos numéricos fornecem soluções aproximadas. Apesar disso, essas soluções são,
em determinadas condições, suficientemente precisas para os propósitos de engenharia.
O problema de espalhamento eletromagnético proposto neste trabalho é
solucionado pelo método de elementos finitos, ou FEM1. Usado inicialmente para
resolver problemas de análise de estruturas [14], esse método é atualmente aplicado não
somente na solução de problemas de eletromagnetismo [15], mas também na
eletrostática [16], na eletromecânica [17], em cálculos de eletrocardiografia [18] e em
várias outras áreas [19].
1
Abreviatura de Finite Element Method.
6
Uma vez que o campo espalhado propaga-se em todas as direções, o problema de
espalhamento eletromagnético é aberto. Como o FEM não é capaz de tratar,
isoladamente, esse tipo de problema, é necessário que uma fronteira artificial seja
colocada a certa distância do espalhador, para limitar a geometria do problema e tornar
finito o domínio computacional. A proposta deste trabalho é impor uma condição de
contorno de modo que a onda espalhada seja absorvida nessa fronteira. Essa condição é
denominada condição de contorno absorvente, ou ABC2 [20], [21].
Uma vantagem do FEM é a economia computacional, uma vez que ele gera
matrizes esparsas. Outro ponto positivo é que sua formulação é relativamente simples
mesmo quando o domínio está preenchido com materiais não homogêneos e quando o
espalhador tem forma geométrica complexa [22]. A incorporação de uma ABC à
formulação mantém essas vantagens e permite ao FEM solucionar problemas abertos.
O objetivo geral desta dissertação é investigar o fenômeno do espalhamento
eletromagnético. Para isso é usado o método de elementos finitos com uma condição de
contorno absorvente. Os objetivos específicos são: i) obter a formulação para problemas
de espalhamento eletromagnético bidimensional; ii) incorporar a essa formulação
condições de contorno absorventes, tanto de primeira quanto de segunda ordens; iii)
utilizar a formulação FEM-ABC na implementação de ferramentas computacionais que
solucionem numericamente o problema proposto; iv) apresentar e analisar os resultados
obtidos.
Esta dissertação está organizada em 6 capítulos, incluindo este capítulo
introdutório. No capítulo 2, são apresentados os conceitos físicos e matemáticos
necessários ao desenvolvimento do trabalho. No capítulo 3, esses conceitos são usados
na dedução de uma formulação para problemas de espalhamento eletromagnético. No
capítulo 4, após serem definidos os conceitos inerentes ao método de elementos finitos,
é feita a discretização dessa formulação pelo método de Galerkin. No capítulo 5, são
apresentados os resultados e é feita uma análise de sensibilidade, em que são testados
diversos fatores que influem na precisão dos mesmos. Finalmente, no último capítulo, é
apresentada uma síntese dos resultados e é feito um encaminhamento a estudos futuros.
2
Abreviatura de Absorbing Boundary Condition.
7
Capítulo 2
Espalhamento eletromagnético
2.1 Introdução
Neste capítulo, são descritos os conceitos físicos necessários à compreensão do
espalhamento eletromagnético. Após serem apresentadas as equações que governam o
fenômeno, é feita uma breve descrição de alguns métodos numéricos capazes de
solucionar problemas dessa natureza. Esses conceitos e equações são fundamentais no
processo de solução de problemas de espalhamento, uma vez que é a partir deles que
pode ser obtida a formulação de tais problemas.
2.2 O espalhamento eletromagnético
A descrição do espalhamento eletromagnético pode ser feita a partir da figura 2.1,
que ilustra uma situação típica em que ocorre esse tipo de fenômeno.
Figura 2.1: Situação típica de espalhamento: (a) fonte; (b) espalhador [22].
8
Nessa figura, a fonte (a) gera uma onda eletromagnética que se propaga no espaço
livre,  0 . Essa onda incide em um objeto (b), denominado espalhador. A forma
geométrica desse domínio (  ) e os materiais que o constituem são supostos

inicialmente arbitrários. A onda incidente é descrita pelo campo elétrico incidente, E i , e

pelo campo magnético incidente, H i . A onda espalhada é descrita pelo campo elétrico


espalhado, E s , e pelo campo magnético espalhado, H s . A onda espalhada superpõe-se
à onda incidente e altera tanto o campo elétrico total quanto o campo magnético total


em todo o espaço para E e H , respectivamente. A expressão matemática para cada um
desses campos passa a ser:
 

E  Ei Es ;



H H i H s.
(2.1)
(2.2)
Para a modelagem de problemas relacionados ao espalhamento eletromagnético,
são fundamentais as equações de Maxwell.
2.3 As equações de Maxwell
Em problemas de eletromagnetismo, o ponto de partida para análises quantitativas
são as equações de Maxwell, que descrevem leis físicas concernentes às relações entre
campos elétricos e magnéticos, cargas e correntes associados a ondas eletromagnéticas.
Seguem as equações na forma diferencial [23]. Essa forma leva naturalmente às
equações diferenciais a serem solucionadas neste trabalho. São elas:


B
E  
t
(Lei de Faraday);
(2.3)

  D
H  J 
(Lei de Maxwell-Ampère);
t

  D  ρ v (Lei de Gauss);

  B  0 (Lei de Gauss para o magnetismo);
onde:

E x, y, z; t  = intensidade de campo elétrico (V/m);

H x, y, z; t  = intensidade de campo magnético (A/m);

D x, y, z; t  = densidade de fluxo elétrico (C/m2);
9
(2.4)
(2.5)
(2.6)

B x, y, z; t  = densidade de fluxo magnético (Wb/m2);

J x, y, z; t  = densidade de corrente elétrica (A/m2);
ρ v x, y, z; t  = densidade volumétrica de carga elétrica (C/m3).
As equações (2.3) a (2.6) são, muitas vezes, usadas em conjunto com a equação da

continuidade, que relaciona variações da densidade de corrente, J , com a taxa de
variação temporal da densidade de carga, ou seja,

ρ
J   v .
t
(2.7)
Em situações práticas, pode-se supor que a fonte esteja suficientemente afastada
do espalhador, de modo que a onda incidente seja plana e uniforme ao atingi-lo. Nesse
caso, a região de fontes pode ser excluída da análise do problema e somente sua

influência sobre o espalhador é avaliada, ou seja, J  0 e ρ v  0 . Outra suposição
comumente feita em estudos dessa natureza é que os campos elétrico e magnético
oscilam harmonicamente em uma única frequência angular,  . Assim, o fenômeno de
espalhamento ocorre em regime harmônico e as equações de Maxwell podem ser
expressas no domínio da frequência, em que o fator temporal, e jt , faz com que tais
equações sejam independentes do tempo, por meio da substituição do operador  t por
j [4]. Uma vez que, para o caso harmônico, as equações (2.5) e (2.6) podem ser
obtidas das equações (2.3) e (2.4), com o auxílio da equação (2.7), a forma harmônica
das equações de Maxwell é dada pelas seguintes expressões:


  E   jB ;


  H  jD .
(2.8)
(2.9)
   
onde os campos instantâneos ( E , B , H e D ) se relacionam com suas formas complexas
   
( E , B , H e D ) por:


E x, y, z; t   Re E x, y, z e jt ;



B x, y, z; t   ReBx, y, z e


H x, y, z; t   ReH x, y, z e


D x, y, z; t   ReDx, y, z e
jt

;
;
.
jt
jt
10
As equações (2.8) e (2.9) traduzem as equações de Maxwell na forma indefinida,
pois o número de equações é menor que o número de incógnitas. Para que as equações
de Maxwell tornem-se definidas, são especificadas as relações constitutivas entre os
campos em estudo.
2.4 Relações constitutivas
As equações de Maxwell descrevem a propagação de ondas eletromagnéticas não
somente no espaço livre, mas também em meios materiais. Os meios materiais são
constituídos de partículas que, ao serem sujeitas a campos eletromagnéticos, interagem
com estes, produzindo correntes e modificando a propagação de ondas nesses meios em
relação ao espaço livre. As relações constitutivas descrevem o comportamento dos
campos nesses materiais em escala macroscópica. São elas:


D  E ;


B  H ;


J  E .
(2.10)
(2.11)
(2.12)
onde  ,  e  são, respectivamente, a permissividade elétrica, a permeabilidade
magnética e a condutividade elétrica do material em questão.
Os parâmetros constitutivos,  ,  e  , são constantes quando os meios em
estudo são lineares, homogêneos, isotrópicos e não dispersivos. Isso acontece quando
esses parâmetros não dependem, respectivamente, nem do módulo do campo aplicado,
nem da posição, nem da direção do campo aplicado, nem da frequência. Nesse caso, os
parâmetros  ,  e  , apresentados nas equações (2.10) a (2.12), são escalares.
As relações constitutivas permitem obter as equações de Maxwell na forma
definida:


  E   jH ;


  H  jE ;
(2.13)
(2.14)


onde E e H são os campos a serem determinados.
Os termos  e  são, comumente, desmembrados em:
   r 0
(2.15)
11
  r 0
(2.16)
onde:
 0  8,85  10 12 F m é a permissividade elétrica do espaço livre;
 0  4  10 7 H m é a permeabilidade magnética do espaço livre;
 r é a permissividade elétrica relativa;
 r é a permeabilidade magnética relativa.
Assim, a descrição completa de um problema de eletromagnetismo deve incluir
informações das equações de Maxwell, das relações constitutivas e das condições de
interface.
2.5 Condições de interface
A forma diferencial das equações de Maxwell representa derivadas espaciais dos
campos elétrico e magnético, como pode ser visto nas equações (2.13) e (2.14). Na
fronteira do domínio e na interface entre dois meios diferentes no interior deste, os
meios envolvidos sofrem variações abruptas em suas propriedades elétricas. Assim, as
derivadas dos campos não modelam o fenômeno em tais fronteiras. Nessas regiões, fazse necessária uma descrição dos próprios campos, em vez do comportamento de suas
derivadas.
As condições obedecidas pelos campos na superfície de separação entre dois
meios distintos são denominadas condições de interface. Quando não há fontes nessa
interface, tem-se [4]:







nˆ  E1  E2  0 ;


nˆ  H1  H 2  0 ;


nˆ  D1  D2  0 ;
 
nˆ  B1  B2  0 .
(2.17)

(2.18)


(2.19)
(2.20)
Pelas equações (2.17) e (2.18), percebe-se que o componente tangencial dos


campos E e H deve ser contínuo ao longo da interface. Já as equações (2.19) e (2.20)


informam que o componente normal dos campos D e B não deve exibir
descontinuidades ao longo da interface.
12
2.6 A equação de onda de Helmholtz
Problemas de espalhamento eletromagnético estão relacionados diretamente com a
propagação de ondas eletromagnéticas. Por isso, a solução desse tipo de problema pode
ser obtida a partir da equação de onda de Helmholtz para campos eletromagnéticos.
As equações (2.13) e (2.14) são equações diferenciais de primeira ordem.


Observa-se que elas estão acopladas, ou seja, ambos os campos E e H aparecem em
cada uma delas. É possível desacoplá-las, às custas de aumentar a ordem de derivação.
Ao tomar o rotacional de ambos os lados da equação (2.13) obtém-se, com o auxílio da
identidade vetorial (A.1) do Apêndice A e das equações (2.5), (2.10) e (2.14), a equação
de onda para o campo elétrico:


2 E  k 2 E  0 ;
(2.21)
onde k é a constante de propagação, obtida a partir de k 2   2  . Com um
procedimento semelhante, obtém-se a equação de onda para o campo magnético:


2 H  k 2 H  0 .
(2.22)
Devido à semelhança entre as equações (2.21) e (2.22), pode-se escrever a
equação de onda generalizada:


 2U  k 2U  0 .
(2.23)
 
 
Esta é a equação de onda de Helmholtz, onde U  E na equação (2.21) e U  H
na equação (2.22).
Uma simplificação na equação (2.23) pode ser obtida para problemas



bidimensionais. Nesse caso, o campo U só tem um componente, U  U z a z , e a referida
equação pode ser expressa como:
  1U z   k 02 2U z  0 .
(2.24)
onde 1   r1 e  2   r para a formulação do campo elétrico, e 1   r1 e  2   r
para a formulação do campo magnético. Além disso, k 0 , a constante de propagação do
espaço livre, é obtida a partir de k 02   2  0 0 ou então de k 0  2  , sendo  o
comprimento de onda.
A equação (2.24) é o ponto de partida para a obtenção da formulação matemática
para problemas bidimensionais de espalhamento eletromagnético.
13
2.7 Condição de contorno absorvente
Em problemas abertos, como o de espalhamento eletromagnético, a condição de
contorno, imposta a uma distância infinita do espalhador, é a condição de radiação de
Sommerfeld. Quando todas as fontes e espalhadores estão imersos no espaço livre e a
uma distância finita da origem de um sistema de coordenadas qualquer, a condição de
radiação de Sommerfeld assume, em duas dimensões, a seguinte forma [24]:
 U z

lim  
 jk 0U z   0
 

(2.25)
 
onde   x 2  y 2 . A equação (2.25) informa que o campo U z e a sua derivada
normal devem ser nulos no infinito, para que seja possível solucionar o problema.
Porém, para que o método de elementos finitos seja usado na solução de
problemas de espalhamento eletromagnético, uma condição de contorno deve ser
imposta em uma fronteira artificial, localizada a uma distância finita do espalhador. Tal
condição deve fazer essa fronteira parecer tão transparente quanto possível para o
campo espalhado, ou seja, ela deve minimizar reflexões não físicas na fronteira. Uma
classe de condições de contorno que satisfaz essa exigência é a condição de contorno
absorvente. Ela relaciona o campo em um nó apenas ao campo nos nós adjacentes, ou
seja, a natureza esparsa da matriz gerada pelo FEM é mantida com o uso de uma ABC 3.
Esta é uma das principais vantagens da formulação FEM-ABC.
2.8 Métodos numéricos para a solução de problemas
de espalhamento
A explicação física dos diversos fenômenos da natureza é obtida a partir de
modelos, que são representações simplificadas da realidade passíveis de serem
modeladas matematicamente. A modelagem matemática de sistemas físicos permite a
obtenção de soluções para diversos problemas. Quando esses modelos são aplicados a
situações práticas, os problemas tratados, agora pertencentes ao domínio da engenharia,
tornam-se muitas vezes complexos demais para serem solucionados analiticamente.
Surgem então os métodos numéricos, que permitem obter soluções aproximadas de
3
No capítulo 4, são descritos com mais detalhes conceitos próprios do FEM, tais como: nós, elementos,
malhas, etc.
14
problemas mais gerais. A implementação computacional das formulações para tais
problemas torna esse processo mais eficiente. Com o desenvolvimento vertiginoso dos
computadores, muitos problemas, antes intratáveis, podem, agora, ser solucionados
sistematicamente. Para problemas práticos de eletromagnetismo, a modelagem
eletromagnética computacional permite solucionar numericamente uma ampla
variedade de problemas.
Devido à grande diversidade de tipos de problemas, vários métodos são propostos,
cada qual com suas vantagens e desvantagens. Alguns dos métodos mais usados na
solução de problemas de espalhamento eletromagnético são: o método das diferenças
finitas, o método dos momentos e o método de elementos finitos.
O método das diferenças finitas, ou FDM4, é um método aproximado para
solucionar equações diferenciais. Sua implementação é relativamente simples e baseiase na substituição da operação de diferenciação por uma subtração entre pontos do
domínio, seguida de uma divisão pelo intervalo entre esses pontos. Obtém-se, dessa
forma, um sistema de equações algébricas em que as incógnitas são os valores das
grandezas (campo, potencial, etc.) nos nós. Devido à sua simplicidade, é um método
apropriado para tratar domínios não lineares, não homogêneos e anisotrópicos.
Entretanto, o FDM possui dois inconvenientes: exige uma malha regular, o que dificulta
a modelagem de problemas em que o gradiente dos campos é intenso e em que as
superfícies são curvas; e não representa com facilidade os campos na interface de meios
diferentes. Esses inconvenientes são o motivo pelo qual o FDM não é usado neste
trabalho.
O método dos momentos, ou MoM5, é um método exato que soluciona problemas
em que a incógnita aparece dentro de um sinal de integral. Uma vez que cálculos com
equações integrais são, em geral, mais laboriosos, esse método é mais apropriado para
tratar de problemas lineares, homogêneos e isotrópicos. Uma vantagem do MoM é que
ele incorpora naturalmente a condição de radiação de Sommerfeld. Sua formulação
permite descrever os campos na própria fronteira do domínio, o que reduz a dimensão
do problema. Isso é obtido ao relacionar o campo em um nó da fronteira com o campo
em todos os outros nós desta, inclusive com o nó em questão. Tal procedimento traz
dois inconvenientes: gera matrizes cheias, o que eleva o custo computacional; e produz
4
5
Abreviatura de Finite Diference Method.
Abreviatura de Moment Method.
15
singularidades, o que requer um procedimento especial para sua extração. Devido a
esses inconvenientes, o MoM não é usado neste trabalho.
O método de elementos finitos, ou FEM, é um método aproximado usado na
solução de equações diferenciais. O valor da incógnita nos nós é obtido a partir da
contribuição de cada elemento, através da conectividade entre os nós deste. No interior
de cada elemento, a incógnita é aproximada por uma função de interpolação e, por meio
do método de resíduos ponderados ou do método variacional, a equação diferencial
original é transformada em um sistema algébrico de equações em que a matriz de
coeficientes obtida é esparsa e, em alguns casos, também simétrica. A malha gerada
pelo FEM é facilmente ajustável, ou seja, ao dividir o domínio em elementos de forma e
tamanho arbitrários, é possível solucionar com maior precisão problemas com
geometrias arbitrárias e com variações abruptas de campo [25]. Além disso, ele
descreve com facilidade domínios não lineares, não homogêneos e anisotrópicos. Uma
desvantagem do FEM é que ele não trata, isoladamente, problemas abertos. Esse
inconveniente pode ser contornado com o uso de uma condição de contorno absorvente.
Devido a suas potencialidades, esse método é o escolhido para solucionar os problemas
propostos neste trabalho.
São basicamente quatro as fases do FEM. A primeira é a discretização, onde o
domínio, inicialmente contínuo, é dividido em um grande número de subdomínios (ou
elementos) e passa a ser um domínio discreto. O objetivo dessa fase é a obtenção tanto
das coordenadas dos nós da malha quanto dos nós pertencentes a cada elemento. A
segunda fase é a determinação das equações que descrevem o fenômeno nos elementos.
Com isso é obtida, a partir da formulação do problema e com o auxílio de funções de
interpolação, a contribuição de cada elemento. Na terceira fase, é obtido o sistema
matricial, onde as contribuições de todos os elementos são armazenadas. Finalmente, na
quarta fase, o sistema matricial obtido é solucionado, diretamente ou com o uso de
métodos eficientes de solução de sistemas matriciais esparsos, uma vez que matrizes
esparsas são inerentes ao FEM. No capítulo 4, essas fases são descritas com maior
riqueza de detalhes.
Usado inicialmente para solucionar problemas de mecânica, o FEM só foi
aplicado sistematicamente a problemas de eletromagnetismo a partir da década de 1970.
Porém, o aumento da velocidade de processamento dos computadores faz com que uma
de suas principais vantagens passe a ser amplamente explorada: sua baixa complexidade
16
computacional, comparada com outros métodos. Isso torna o FEM um poderoso método
numérico para a solução de problemas de espalhamento.
2.9 Sumário
Problemas de espalhamento eletromagnético têm aplicações práticas relevantes em
diversas áreas. A partir das equações de Maxwell, pode-se obter a equação de onda que
governa esse fenômeno. Com o método de elementos finitos, é possível solucionar
problemas de espalhamento eletromagnético a um baixo custo computacional. Para isso,
uma condição de contorno absorvente deve ser incorporada à formulação do problema.
17
Capítulo 3
Formulação matemática para
problemas de espalhamento
3.1 Introdução
Neste capítulo, é deduzida a formulação
matemática para problemas
bidimensionais de espalhamento eletromagnético. Após serem feitas as considerações
necessárias à modelagem de problemas bidimensionais, são desenvolvidas as
formulações forte e fraca, seguidas pela incorporação de condições de contorno
absorventes, tanto de primeira quanto de segunda ordens. Esse procedimento torna
possível a aplicação do método de elementos finitos a problemas dessa natureza.
3.2 Formulação forte
No capítulo anterior, foi apresentado, na figura 2.1, um espalhador 
tridimensional arbitrário, imerso no espaço livre  0 e iluminado por uma onda
eletromagnética proveniente de uma fonte localizada em uma posição arbitrária em
relação ao espalhador. Naquela figura, é sugerido o estudo do espalhamento
eletromagnético por um avião, espalhador típico desse tipo de problema. Se, em uma
primeira aproximação da forma geométrica de um avião, for considerado apenas o
corpo deste (que é significativamente maior que as asas, cauda, turbina, etc.), essa
geometria pode ser representada por um cilindro. Quando uma onda incide
perpendicularmente ao eixo de um cilindro infinito, de seção transversal arbitrária e
18
cujas características eletromagnéticas são uniformes ao longo do eixo deste, não há
variações de campo nessa direção. Então, o problema pode ser solucionado em duas


dimensões, por meio da determinação dos campos E e H nos pontos de uma seção
transversal do mesmo. A figura 3.1 apresenta uma versão bidimensional para o
problema apresentado na figura 2.1. Um espalhador  bidimensional arbitrário,
também imerso no espaço livre  0 , é iluminado por uma onda plana, monocromática e
uniforme, que incide no espalhador sob um ângulo  i .
Figura 3.1: Geometria de um espalhador bidimensional arbitrário
Na figura 3.1,  s é a fronteira do espalhador e n̂ é o vetor normal unitário
exterior. Esse fenômeno é governado pela equação de onda de Helmholtz, equação
(2.24), pela condição de radiação de Sommerfeld, equação (2.25), e pela condição de
contorno apropriada [22]:

x  ' ;
  1U z   k 02 2U z  0 ,
 U z

lim  
 jk 0U z   0
 
 

1
(3.1)
(3.2)
U z
 ,
n

x   s .
(3.3)
As equações (3.1) a (3.3) definem a formulação forte para o problema. O termo
' representa a união dos domínios  e  0 . O termo  na equação (3.3) representa a
taxa de variação do campo na direção normal à fronteira do espalhador.
19
3.3 Formulação fraca
Na formulação forte, o campo U z deve obedecer às equações (3.1) a (3.3) em
todos os pontos do domínio. Essa é uma exigência muito grande, uma vez que o
domínio pode estar preenchido com diferentes materiais e, nas interfaces destes, a
equação (3.1) não é satisfeita. Para contornar essa dificuldade, permite-se um resíduo
para a forma forte, definido por [22]:
R    1u   k 02 2 u ;
(3.4)
onde o campo u na equação (3.4) é uma aproximação para o campo exato U z na
equação (3.1).
Através do método dos resíduos ponderados, chega-se à formulação fraca
integrando-se o resíduo em todo o domínio  , por meio de uma função de ponderação,
w, e forçando a integral a zero [26]:
    u  wd  

1

k 02 2 w  ud  0 .
(3.5)
Utilizando as identidades vetoriais (A.2) e (A.3) do Apêndice A, a equação (3.5)
pode ser escrita como:
 w   u d  

1

k 02 2 w  ud   wd s  0 ;
s
(3.6)
Seguem algumas observações sobre a equação (3.6): i) as duas primeiras integrais
nessa equação são avaliadas no domínio  , enquanto a terceira é avaliada sobre a
fronteira  s ; ii) essa equação é simétrica, pois a ordem de derivação, tanto do campo
quanto da função de ponderação, são iguais; iii) podem ser obtidas, por simples troca de
variável, as expressões para a formulação fraca tanto do campo elétrico quanto do
campo magnético.
3.4 Incorporação da ABC de primeira ordem
As duas primeiras integrais na equação (3.6) são tratadas diretamente pelo FEM. Já
a terceira integral nessa equação requer um tratamento especial. A derivada normal do
campo deve satisfazer à condição de radiação de Sommerfeld, dada pela equação (3.2).
Porém, a implementação da formulação por meio de uma fronteira ABC exige uma
20
extensão do domínio  , agora delimitado por uma fronteira  e , um pouco afastada do
espalhador. Em compensação, o domínio  0 passa a ser apenas a região entre as
fronteiras  s e  e . A figura 3.2 ilustra essa nova situação.
Figura 3.2: O espalhador da figura (3.1)
após a incorporação da fronteira ABC (em tracejado).
A escolha da localização da fronteira  e é influenciada por dois interesses
conflitantes: exatidão e custo computacional. Quanto mais afastada do espalhador
estiver a fronteira ABC, melhor é a aproximação para a condição de radiação de
Sommerfeld, equação (3.2). Por outro lado, quanto mais próxima ela estiver, menor é o
erro originado pela discretização e, também, menor é o custo computacional. Uma
análise da relação entre as fronteiras  s e  e é feita no capítulo 5, seção 5.6.
Na dedução de uma ABC que possa ser aplicada na região de campo próximo,
parte-se do princípio que o campo espalhado pode ser expresso na seguinte forma
assintótica [24], [27]:
us 
e  jk



n 0
An  
n
,
(3.7)
onde  ,   são coordenadas polares.
Esta é a versão bidimensional da expansão de Wilcox para campos
eletromagnéticos [28]. A ordem de uma ABC está relacionada com o número de termos
utilizados dessa série, sendo que, na maioria dos casos, é utilizada uma ABC de
primeira ou de segunda ordens [29]. Uma limitação ao usar uma condição de contorno
absorvente é que ela leva a soluções não exatas, pois parte da onda espalhada pode ser
refletida na fronteira ABC, principalmente para grandes ângulos de incidência [24].
21
Algumas estratégias para minimizar o erro cometido ao usar uma formulação FEMABC são apresentadas no capítulo 5.
A expansão de Wilcox, equação (3.7), é o ponto de partida para a solução
computacional do problema de espalhamento eletromagnético. Para solucionar o
problema por meio de uma ABC de primeira ordem, é considerado apenas o primeiro
termo dessa equação, de forma que o campo espalhado é dado pela seguinte expressão
[24]:
u s  A 
e  jk

.
(3.8)
ou seja, o produto de uma função de 
por uma função de  . Assim,
independentemente da forma assumida por A  , a derivada dessa equação em relação
a  é direta:
u s 
1  s
u .
   jk 0 
 
2  
(3.9)
sendo k  k 0 , pois  r   r  1 na fronteira ABC.
Para tornar possível o uso de fronteiras não circulares, faz-se:
1



; .

n

(3.10)
onde  é a curvatura do elemento de fronteira no nó em questão. Fazendo-se, também,
u s  u  u i , chega-se a:
u 

u i 

  jk 0  u 
  jk 0  u i .
n 
2
n 
2
(3.11)
Multiplicando a equação (3.11) por  1 , obtém-se a condição de contorno
absorvente de primeira ordem de Bayliss-Turkel [30], [31]:
1
u
 q  u ,
n
(3.12)
sendo os valores de  e q dados, respectivamente, por:


  1  jk 0   ;
2

q  1
(3.13)
u i


 1  jk 0  u i .
n
2

(3.14)
22
A expressão matemática para o campo incidente é:
u i  e jk0 x cos
i
 ysen i
.
(3.15)
Como k 0 e  i são conhecidos, é possível calcular u i e
x, y 
u i
em qualquer ponto
n
do domínio. Para um dado elemento da fronteira ABC, esses cálculos e,
consequentemente, os cálculos de  na equação (3.13) e q na equação (3.14) são feitos
para o ponto médio do referido elemento. Por isso, esses termos são constantes para
esse elemento.
As constantes  e q , por serem números complexos, ilustram a realização de
cálculos no domínio da frequência, em concordância com a forma assumida pelas
equações de Maxwell, equações (2.8) e (2.9).
Observa-se que, para a ABC de primeira ordem, dada pelas equações (3.12),
(3.13) e (3.14), a derivada normal do campo u é proporcional ao próprio campo u . A
incorporação desta ABC à formulação é feita por substituição direta da equação (3.12)
na equação (3.6), com o auxílio da equação (3.3):


w   1u d   k 02 2 w  ud   q  wd e     w  ud e  0 .

e
e
(3.16)
Esta é a versão assumida pela formulação após a incorporação da ABC de primeira
ordem. A equação (3.16) está em condições de ser submetida à aplicação do método de
elementos finitos, o que é feito no próximo capítulo.
3.5 Incorporação da ABC de segunda ordem
ABC’s de primeira ordem são mais simples de implementar e têm um baixo custo
computacional. Porém, quando é necessária maior exatidão, ou quando a fronteira ABC
deve ser colocada mais próxima do espalhador, é recomendado o uso de uma ABC de
segunda ordem [20].
Para se obter a ABC de segunda ordem de Bayliss-Turkel, são considerados os
quatro primeiros termos da equação (3.7), de modo que o campo espalhado assume a
seguinte forma [27]:
us 
A   A2   A3   
e  jk 
 A0    1
.



2
 3 
 
23
(3.17)
Nesse caso, a forma final da ABC de segunda ordem também é dada pela equação
(3.12). Porém, os termos  e q são dados, respectivamente, por [24]:


j 2
j
2 

;
8 j  k 0  2 j  k 0   e2 

2
(3.18)

j1
u i

j 2  i
 2u i
.
 1  jk 0  
u


2




n
2
8
j


k
2
j


k


0
0


e
(3.19)
  1  jk 0 
q  1

Os detalhes da dedução das equações (3.12), (3.18) e (3.19) são apresentados no
Apêndice B. Na equação (3.18), o termo  é um operador diferencial. Já o termo q na
equação (3.19) é constante em um elemento específico.
Nota-se que, para a ABC de segunda ordem, equações (3.12), (3.18) e (3.19), a
derivada normal do campo u não é proporcional ao campo u , como na ABC de
primeira ordem. Aqui, há uma relação entre a derivada normal do campo u e a derivada
segunda tangencial desse mesmo campo. Essa relação interfere significativamente no
processo de obtenção da formulação.
Quando os valores de  e q são dados, respectivamente, pelas equações (3.18) e
(3.19), a obtenção da formulação via ABC de segunda ordem é mais elaborada. Após
manipulações matemáticas, apresentadas no Apêndice C, obtém-se:


w  1u d   k 02 2 w  ud   q  wd e    1  w  ud e 

e
e
 x2 , y 2 
u w
u 
 2 

d e   2  w 
 0;

e
 e  e
 e   x , y 
1
(3.20)
1
Esta é a versão assumida pela formulação após a incorporação da ABC de segunda
ordem. Assim como a equação (3.16), a equação (3.20) está em condições de ser
submetida à aplicação do FEM. Nessa equação, o elemento é linear e x1 , y1  e x2 , y 2 
são as coordenadas de um elemento de fronteira típico,  e . As constantes  1 e  2 , nessa
mesma equação, estão relacionadas com o operador  , na equação (3.18), por:
  1   2
2
;
 e2
(3.21)
sendo


j 2 
 1   1  jk 0  
;
2 8 j  k 0 

(3.22)
24
2  
j 1
.
2 j  k 0 
(3.23)
A formulação de segunda ordem, equação (3.20), reduz-se à de primeira ordem,
equação (3.16), quando  2  0 na equação (3.23) e  1 é calculado pela equação (3.13).
Além da ABC de Bayliss-Turkel, há outras condições de contorno absorventes capazes
de solucionar problemas de espalhamento eletromagnético, tais como a ABC de
Engquist-Majda [32]. O uso de tal ABC é deixado como proposta de trabalho futuro.
3.6 Sumário
Neste capítulo, é desenvolvida a formulação matemática para problemas de
espalhamento eletromagnético bidimensional. São incorporadas condições de contorno
absorventes à formulação fraca. Isso é obtido a partir da expansão de Wilcox para
campos eletromagnéticos, o que permite que tais problemas possam ser solucionados
diretamente pelo método de elementos finitos. A obtenção da ABC de primeira ordem e
sua incorporação à formulação são diretas. Já para a ABC de segunda ordem, é
necessária uma série de desenvolvimentos adicionais. Ambas as formulações assim
obtidas podem ser submetidas à aplicação do método de elementos finitos. Para isso,
deve ser feita a discretização, tanto das variáveis geométricas quanto das variáveis
físicas.
25
Capítulo 4
Discretização
4.1 Introdução
Problemas de espalhamento eletromagnético bidimensional são solucionados, por
meio do FEM-ABC, em uma região fechada do plano xy, região essa conhecida como
domínio. Solucionar tais problemas significa encontrar o valor do campo em cada ponto
desse domínio. Quando o problema é resolvido analiticamente, a solução é expressa,
geralmente, em termos de uma função ou de uma série infinita. Assim, quando o
domínio é contínuo, existem infinitos pontos onde essa solução pode ser expressa, ou
seja, o problema possui infinitos graus de liberdade.
Quando, porém, o problema é resolvido numericamente, a solução é encontrada
em um número finito de elementos, ou seja, o domínio passa a ser discreto. O objetivo
principal da primeira fase do método de elementos finitos, a discretização, é justamente
a obtenção desses elementos. Nas demais fases do FEM, é preciso discretizar também as
variáveis físicas. Neste capítulo, a solução computacional do problema de espalhamento
eletromagnético é obtida pela aplicação sistemática do método de elementos finitos.
4.2 Discretização do domínio
O valor do campo em cada nó é obtido pelo FEM a partir do cálculo da
contribuição dos elementos, que são figuras geométricas simples obtidas pela conexão
de nós vizinhos do domínio. Assim, os nós constituem os vértices dos elementos. Duas
formas geométricas comumente utilizadas para discretizar uma região plana são aquelas
26
em que os elementos são quadriláteros ou triângulos, sendo que, para essa última forma,
os elementos se adaptam mais facilmente a domínios irregulares. Para discretizar a
fronteira de tal região, os elementos são segmentos de reta ou curva, obtidos pela
conexão entre nós adjacentes dessa fronteira. Tanto os elementos unidimensionais
quanto os bidimensionais podem ser lineares (um nó em cada vértice) ou quadráticos
(um nó adicional em cada aresta). A figura 4.1 mostra exemplos de elementos lineares e
quadráticos, tanto unidimensionais quanto bidimensionais.
Figura 4.1: Alguns tipos de elemento.
A fase da discretização consiste na descrição do domínio e gera um conjunto de
elementos denominado malha. Existem vários outros tipos de elementos, inclusive
tridimensionais, mas neste trabalho são utilizados somente os elementos uni e
bidimensionais, ambos lineares.
Os elementos são gerados no plano xy . Para fins computacionais, porém, é
interessante que cada elemento seja descrito em um plano padrão, o que é obtido com o
auxílio das funções de interpolação.
4.3 Elemento de referência e funções de interpolação
Após ser obtida a matriz de coordenadas 6 de todos os elementos da malha, são
calculadas as contribuições devidas a cada um desses elementos. Esse cálculo, porém,
não é feito em função das coordenadas reais do elemento em questão, mas em função
das coordenadas em um espaço padrão, onde é definido um elemento de referência. O
mapeamento do espaço real para o espaço padrão é feito a partir das funções de
interpolação. Uma função de interpolação ( N i ou N j ) permite intercalar o valor da(s)
coordenada(s) (  ou  ) no espaço do elemento de referência em função da(s)
coordenada(s) do espaço real ( x ou xy ). A figura 4.2 ilustra a definição do elemento de
6
A matriz de coordenadas de um elemento informa as coordenadas dos nós desse elemento.
27
referência a partir do mapeamento de um elemento linear: (a) unidimensional e (b)
bidimensional.
Figura 4.2: Mapeamento de um elemento linear:
(a) unidimensional; (b) bidimensional [33].
Pela figura 4.2, percebe-se que cada nó do elemento recebe uma numeração, tanto
no espaço real quanto no espaço padrão. As funções de interpolação permitem obter a
correspondência entre essas duas numerações, conforme descrito a seguir.
Em uma dimensão, as funções de interpolação são definidas por [33]:
N1 
1
;
2
N2 
1 
;
2
(4.1)
 1    1.
(4.2)
Nas equações (4.1) e (4.2),  é a coordenada do ponto no espaço padrão. A
relação entre a coordenada de um ponto qualquer do elemento no espaço x e a
coordenada  correspondente é dada por:
2
x    N i  xi .
(4.3)
i 1
Pode-se perceber, a partir da equação (4.3), com o auxílio da figura 4.2(a), que:

Para   1  x  x1 ;

Para   1  x  x2 .
Esta é a relação entre a numeração do elemento no espaço real e no espaço padrão
para o elemento unidimensional. Para outros valores de  nesse intervalo são obtidos
valores de x entre x1 e x 2 .
Em duas dimensões, as funções de interpolação são dadas por [33]:
N1   ;
(4.4)
N2   ;
(4.5)
28
N 3  1      ;
0    1;
0    1.
(4.6)
Observa-se que, tanto em uma quanto em duas dimensões, as funções de
interpolação são normalizadas, ou seja,
N
i
 1.
i
A relação entre as coordenadas de um ponto qualquer do elemento no espaço xy
e as correspondentes coordenadas  é:
3
x ,    N i  , xi ;
(4.7)
i 1
3
y ,    N i  ,  yi .
(4.8)
i 1
Assim, dado um ponto no espaço  ,  , encontra-se o correspondente ponto no
espaço x, y  . De acordo com as equações (4.7) e (4.8), e com o auxílio da figura 4.2(b),
percebe-se que:

Para  ,   1,0  x, y   x1 , y1  ;

Para  ,   0,1  x, y   x2 , y 2  ;

Para  ,   0,0  x, y   x3 , y3  .
Esta é a relação entre a numeração do elemento no espaço real e no espaço padrão
para o elemento bidimensional. Para outro ponto do espaço  contido no elemento de
referência, as funções de interpolação permitem obter as coordenadas desse ponto no
espaço xy, desde que a matriz de coordenadas do elemento seja conhecida. Outra
relação entre o espaço real e o espaço padrão é dada pelo jacobiano.
4.4 Jacobiano
O jacobiano relaciona a(s) taxa(s) de variação da(s) coordenada(s) no espaço real
com a(s) do espaço padrão. Em uma dimensão, a expressão que define o jacobiano é
obtida dessa relação, com o auxílio das equações (4.1) a (4.3) [33]:
J
2
dN
dx
dN
dN 2
x x
  i  xi  1  x1 
 x2  2 1
d i 1 d
d
d
2
29
(4.9)
A equação (4.9) mostra que, em uma dimensão, o jacobiano é igual à metade do
comprimento do elemento. Assim, para um elemento linear unidimensional típico, o
jacobiano pode ser dado por:
J
x1  x2 2   y1  y2 2
2
.
(4.10)
Apesar de cada nó de um elemento unidimensional ter coordenadas x e y, não
significa que o cálculo do jacobiano seja um problema bidimensional.
Em duas dimensões, o jacobiano é obtido pelo determinante da matriz jacobiana,
n, dada por [33]:
 x
 
n
 y
 
x 
 
.
y 
 
(4.11)
A matriz jacobiana pode ser obtida a partir da matriz de coordenadas e da matriz
de derivadas das funções de interpolação. Essas matrizes são dadas, respectivamente,
por:
 x1
c   x 2
 x3
 N 1
 
D
 N 1
 
y1 
y 2  ;
y 3 
N 2

N 2

(4.12)
N 3 
 
.
N 3 
 
(4.13)
Assim, a equação (4.11) pode ser escrita em função das equações (4.12) e (4.13),
com o auxílio das equações (4.7) e (4.8):
 3 N i  , 
xi
 
i 1
n  Dc   3
 N i  ,  x
i


i 1
N i  ,  
yi 

i 1
,
3
N i  ,  
yi



i 1
3

(4.14)
ou seja, a matriz jacobiana é o produto da matriz de derivadas das funções de
interpolação pela matriz de coordenadas.
30
Uma vez estabelecidas as relações entre o espaço real e o espaço padrão, é
possível calcular, nesse último espaço, a contribuição de cada elemento para o sistema
matricial.
4.5 Discretização das variáveis físicas pelo método de
Galerkin
O cálculo das contribuições dos elementos é feito a partir da discretização das
variáveis físicas. Para isso, é adotada outra notação para a formulação desenvolvida no
capítulo 3. Assim, partindo da formulação FEM-ABC de segunda ordem, equação
(3.20):


w  1u d   k 02 2 w  ud   q  wd e    1  w  ud e
e

e
 x2 , y 2 
u w
u 
 2 

d e   2  w 
 0,

e
 e  e
 e   x , y 
1
(4.15)
1
pode-se escrevê-la na forma bilinear [22]:
aw, u   w, u   w, u i  e  w, u  e  b(w, u)  e  c(w, u)  e  0 ;
onde:
aw, u    w   1u d ;

w, u    k 02 2 w  ud ;
w, u 
i
w, u 
e
e
  qwd e ;
e
   1 w  ud e ;
e
bw, u  e    2 
e
cw, u  e
w u

d e ;
 e  e
 x2 , y 2 
u 
  2  w
.

 e   x , y 
1
1
31
(4.16)
sendo as constantes q ,  1 e  2 dadas, respectivamente, pelas equações (3.19), (3.22) e
(3.23):
q  1

j1
u i

j 2  i
 2u i
;
 1  jk 0  
u


n
2 8 j  k 0 
2 j  k 0   e2



j 2 
 1   1  jk 0  
;
2 8 j  k 0 

2  
j 1
.
2 j  k 0 
Na equação (4.15),  e é a fronteira externa onde se impõe a ABC e  é o
domínio interior a essa fronteira. As variáveis físicas, campo e função de ponderação,
assumem a forma discretizada quando é aplicado o método de Galerkin. A expressão
para cada uma dessas variáveis é dada, respectivamente, por [22]:
n
u  u h  v h  g h   Ni di  g h ;
(4.17)
i 1
n
w  wh   N j c j .
(4.18)
j 1
Na equação (4.17), o campo aproximado na região é uma média, ponderada pelas
funções de interpolação, dos campos desconhecidos em cada nó. A essa média é
somado o termo g h , que representa o conjunto de pontos onde o campo é conhecido.
Na equação (4.18), a função de ponderação é discretizada de modo semelhante, sendo
c j uma constante arbitrária. O termo n representa o número de nós de um dado
elemento.
Ao longo de todo este trabalho, não há nenhum ponto onde o potencial seja
previamente conhecido. Isso faz com que o termo g h seja nulo na equação (4.17).
A substituição das equações (4.17) e (4.18) na equação (4.16) permite obter a
formulação FEM-ABC para problemas de espalhamento eletromagnético bidimensional
em que g h  0 :
 aN , N   N , N d   N , N   bN , N   cN , N d   N , N u
ne
i 1
ns
i
j
i
j
i
i 1
ns
i
j
i
j
i
j
i
i 1
i
i
j
(4.19)
onde:
aN i , N j    N i   1N j d e ;
(4.20)
e
32
N , N    k   N
N , u    q  N d
i
j
2
0
e
2
i
 N j d e ;
(4.21)
e
;
(4.22)
i
e
i
N , N 
   1  N i  N j d e ;
j 
e
i
i
e
bN i , N j     2 
e
e
cN i , N j 
(4.23)
e
N i N j

d e ;
 e  e
x
(4.24)

N j  2 2
.
  2  Ni 

 e   x , y 
1 1
e
,y
(4.25)
Na equação (4.19), ne e ns são, respectivamente, o número de elementos bi e
unidimensionais.
Nas equações (4.20) e (4.21), a integração é feita no domínio do elemento
bidimensional,  e . Nas equações (4.22) a (4.24), a integração é feita no domínio do
elemento unidimensional,  e . Tais integrais são calculadas numericamente pelo método
de Gauss-Legendre. Na equação (4.25), o termo  2  N i 
N j
 e
é calculado nos extremos
do elemento unidimensional. A diferença entre esses valores fornece o termo
cNi , N j  .
e
Observa-se que a formulação FEM-ABC de primeira ordem pode ser obtida a
partir da equação (4.19). Neste caso, os termos bNi , N j  e cN i , N j  são ambos nulos:
 aN , N   N , N d   N , N d   N , N u
ne
ns
i
i 1
j
i
j
i
i 1
ns
i
j
onde:
aN i , N j    N i   1N j d e ;
e
N , N    k   N
N , u    q  N d
i
j
2
0
e
2
i
 N j d e ;
e
;
i
i
e
N , N 
i
j 
e
e
i
    N i  N j d e ;
e
33
i
i 1
i
j
i
;
(4.26)
sendo as constantes q e  dadas, respectivamente, pelas equações (3.14) e (3.13):
q  1
u i


 1  jk 0  u i ;
n
2



  1  jk 0   .
2

As equações (4.19) e (4.26) estão em um formato que permite a implementação
computacional, uma vez que elas estão discretizadas. O sistema matricial a ser
solucionado é obtido diretamente a partir de qualquer uma delas.
4.6 O sistema matricial
Ao serem efetuados os somatórios na equação (4.19), são calculadas as
contribuições de todos os elementos. Essas contribuições, ao serem armazenadas em
uma matriz K , permitem que a equação (4.19) gere o seguinte sistema matricial:
K  d    f .
(4.27)
Na equação (4.27), K é a matriz global de contribuições. Ela é uma matriz
quadrada de ordem m , onde m é o número de nós cujo campo é desconhecido (ou o
número de equações do sistema). Nessa mesma equação, f é um vetor coluna de
dimensão m , também chamado vetor de fontes, estando, assim, associado ao termo u i ;
e d é a incógnita, um vetor coluna também de dimensão m e associado ao campo u .
Dessa forma, é possível encontrar a solução para o problema a partir da resolução
do sistema linear apresentado na equação (4.27).
4.7 Sumário
Neste capítulo, o método de elementos finitos é aplicado sistematicamente ao
problema de espalhamento eletromagnético. Após ser mostrado o processo de
discretização da geometria, é feito um mapeamento do espaço através do conceito de
elemento de referência. As funções de interpolação e o jacobiano permitem obter a
contribuição de cada elemento ao relacionar o espaço real e o espaço padrão.
As variáveis físicas são discretizadas pelo método de Galerkin, o que permite que
a formulação FEM-ABC seja implementada computacionalmente. Tal implementação
permite obter, a partir do sistema matricial gerado, a solução de problemas de
espalhamento eletromagnético bidimensional.
34
Capítulo 5
Resultados
5.1 Introdução
Neste capítulo, são apresentados os resultados obtidos a partir das formulações
FEM-ABC desenvolvidas nos capítulos anteriores. São testadas as formulações de
primeira e de segunda ordens. É feita, em seguida, uma análise de sensibilidade, em que
são analisados alguns dos fatores que influem na exatidão dos resultados. Com isso,
pretende-se validar tais formulações, para que seja possível aplicá-las em situações
práticas mais gerais e usá-las como base para formulações mais elaboradas.
5.2 Descrição do problema
A superfície de muitos espalhadores práticos, tais como fuselagem de aviões,
mísseis etc., podem frequentemente ser representadas por estruturas cilíndricas [34].
Portanto, os cilindros representam uma importante classe de superfícies geométricas [4].
O cilindro circular, devido à sua simplicidade e ao fato de a sua solução ser representada
em termos de funções bem conhecidas e tabuladas (tais como as funções de Bessel e de
Hankel), é, provavelmente, uma das geometrias mais amplamente usadas para
representar espalhadores práticos.
O espalhador escolhido para análise neste trabalho é um cilindro circular
dielétrico, homogêneo, de raio a e infinito na direção z, iluminado em incidência normal
por uma onda plana, monocromática e uniforme, conforme mostra a figura 5.1. Essa
figura é uma simplificação do problema apresentado na figura 2.1.
35
Figura 5.1: Cilindro dielétrico de comprimento infinito e raio a, iluminado
em incidência normal por uma onda plana, monocromática e uniforme [4].
Este é um problema clássico da teoria eletromagnética e possui solução analítica
[5], [22]. Como a incidência da onda é normal ao eixo z e as características
eletromagnéticas do espalhador não variam nessa direção, o problema pode ser
solucionado em duas dimensões, por meio do cálculo do campo espalhado na seção
transversal do mesmo. A figura 5.2 apresenta a geometria para o problema
bidimensional, um corte transversal da figura 5.1. Essa figura é uma simplificação da
figura 3.2.
Figura 5.2: A geometria do problema proposto.
O espalhador descrito na figura 5.2 permite validar a formulação proposta no
capítulo 3 e discretizada no capítulo 4. Uma vez que o espalhador é um dielétrico, não
há nenhum nó do domínio onde o campo é conhecido a priori [35]. Então, a forma
discretizada da formulação FEM-ABC é dada ou pela equação (4.26), ao ser usada a
ABC de primeira ordem, ou pela equação (4.19), ao ser usada a de segunda ordem.
Para fins de validação, são escolhidos os seguintes parâmetros: ângulo de
incidência da onda,  i  180 0 ; frequência da onda incidente, f  0,3GHz (   1m );
raio do espalhador, a  0,3 ; permissividade elétrica relativa do material que constitui
o espalhador,  r  3,0 ; permeabilidade magnética relativa deste mesmo material,
 r  1,0 [22], [36]. Ao campo espalhado é somado o campo incidente, para se obter o
36
campo total. Uma vez que o campo elétrico incidente só tem um componente,

E i  E zi aˆ z , componente esse paralelo ao eixo do espalhador, o campo elétrico é o
campo escolhido para ser determinado neste trabalho. Apesar disso, as formulações aqui
desenvolvidas também permitem obter o campo magnético, o que é deixado como
proposta de trabalho futuro.
O domínio é discretizado pelo software Triangle [37], um gerador de malhas
bidimensional de alta qualidade que faz a Triangulação Delaunay 7 de uma região a
partir da descrição de sua fronteira. Para ser gerada uma malha, é preciso especificar a
densidade de elementos e as dimensões da fronteira ABC. A título de ilustração, a área
máxima de um elemento qualquer é fixada em 0,0052 e a fronteira ABC é escolhida
como uma circunferência de raio 0,9 , concêntrica ao espalhador. Nesse caso, a malha
gerada pelo Triangle possui 1570 elementos, 228 dos quais no interior do espalhador, e
921 nós, 90 destes sobre a superfície do espalhador e outros 270 sobre a fronteira ABC.
O aspecto dessa malha, denominada malha 1, é apresentado na figura 5.3.
Figura 5.3: Malha 1, com 1570 elementos e 921 nós.
Um programa escrito no Matlab8 permite obter o campo elétrico total na superfície
do espalhador. No apêndice D, são apresentados os pseudocódigos para esse programa.
É possível obter uma série de variações com o programa desenvolvido: pode ser usada
uma ABC de primeira ou de segunda ordens; podem ser variadas tanto a densidade da
malha, quanto a distância da fronteira ABC ao espalhador; ou, ainda, a forma dessa
7
Triangulação Delaunay de um conjunto de pontos é uma triangulação cujos vértices são o conjunto de
pontos, tendo a propriedade que nenhum ponto desse conjunto cai no interior do circuncírculo (círculo
que passa pelos três vértices) de qualquer triângulo na triangulação.
8
MATrix LABoratory: software de alto desempenho destinado a fazer cálculos com matrizes.
37
fronteira. Tais variações permitem verificar a influência de cada uma dessas mudanças
na exatidão dos resultados, o que é feito a seguir.
5.3 Solução FEM-ABC de primeira ordem
Inicialmente, a malha 1 é usada para solucionar o problema a partir da formulação
FEM-ABC de primeira ordem, equação (4.26). Tanto a solução obtida nesse caso
quanto a solução analítica são mostradas na figura 5.4.
Figura 5.4: Campo elétrico total na superfície do espalhador:
comparação entre a solução FEM-ABC de primeira ordem e a solução analítica.
Na figura (5.4), a solução analítica é mostrada em linha contínua, enquanto a
solução numérica é mostrada em pontilhado 9. Observa-se que a solução numérica
acompanha a analítica, sendo que em alguns trechos há um maior distanciamento entre
ambas.
Para avaliar o quanto essas duas soluções estão próximas, é calculado o erro
relativo percentual em cada nó da superfície do espalhador, por meio da expressão:
E % 
Eexato  Ecalculado
Eexato
 100
(5.1)
Tanto esse resultado quanto o erro percentual médio (8,7%, obtido a partir do
código) são apresentados na figura 5.5.
9
Estão registrados no gráfico os valores de campo de 0° a 180°, uma vez que a solução é simétrica na
outra metade do espalhador.
38
Figura 5.5: Erro percentual e erro percentual médio com ABC de primeira ordem.
Ao analisar a figura 5.5, observa-se que a discordância é maior na posição angular
próxima de 60°. Porém, ao avaliar curvas de erro percentual, observa-se que, em regiões
onde o valor da grandeza é pequeno, mesmo pequenas discordâncias podem dar origem
a grandes erros percentuais [38], [39]. Apesar disso, o erro percentual dá uma melhor
ideia do comportamento global da solução, sendo esse o motivo de ele ser utilizado.
5.4 Solução FEM-ABC de segunda ordem
Em seguida, o mesmo problema é solucionado a partir da formulação FEM-ABC
de segunda ordem, dada pela equação (4.19). São usados os mesmos parâmetros da
seção 5.2, inclusive a mesma malha. A figura 5.6 apresenta (a) a comparação entre as
soluções; (b) o erro percentual e o erro percentual médio.
O ajuste entre as curvas é melhor na figura 5.6(a) que na figura 5.4. Isso pode ser
percebido ou por uma comparação visual entre essas figuras ou pelo menor erro
percentual médio, que neste caso é de 7,9%. Assim, o uso de uma ABC de segunda
ordem aumenta a exatidão dos resultados, ao diminuir o erro percentual médio.
39
Figura 5.6: (a) Solução FEM-ABC de segunda ordem para a malha 1;
(b) erro percentual e erro percentual médio.
5.5 Influência da densidade da malha
Para verificar a influência da densidade da malha na exatidão dos resultados, é
gerada pelo Triangle outra malha com as mesmas características da malha 1, exceto pela
área máxima de um elemento qualquer, agora fixada em 0,0022 . Essa malha,
denominada malha 2, é mais densa, com 2384 elementos, dos quais 296 estão no
interior do espalhador, e 1328 nós, sendo 90 destes sobre a superfície do espalhador e
outros 270 sobre a fronteira ABC. A figura 5.7 apresenta o aspecto dessa malha
refinada.
Figura 5.7: Malha 2, com 2384 elementos e 1328 nós.
40
Uma comparação visual entre as malhas apresentadas nas figuras 5.3 e 5.7 mostra
que a distribuição de elementos é mais homogênea nesta do que naquela. Isso porque,
como o número de elementos unidimensionais na superfície do espalhador e na fronteira
ABC é o mesmo nas duas malhas, e como o Triangle garante que nenhum dos
elementos bidimensionais gerados tenha ângulos menores que 20,7°, ao se permitir que
a área máxima de um elemento seja maior, a malha gerada pode ser mais densa perto
das fronteiras e menos densa longe destas, como na malha 1. Isso influi na exatidão dos
resultados, conforme mostrado a seguir.
Para a malha 2, a solução analítica e as soluções obtidas com as formulações
FEM-ABC de primeira e de segunda ordens são mostradas na figura 5.8.
Figura 5.8: Soluções FEM-ABC de primeira e de segunda ordens para a malha 2.
Nessa figura, a solução analítica é mostrada em linha contínua, a solução via
FEM-ABC de primeira ordem é mostrada em pontilhado e a solução via FEM-ABC de
segunda ordem é mostrada com linha de traços e pontos. O erro médio para a ABC de
primeira ordem é de 6,0%, enquanto que, para a ABC de segunda ordem, esse erro é de
5,1%. As curvas de erro percentual não são apresentadas, pois elas seguem o mesmo
padrão das figuras 5.5 e 5.6(b), com oscilações em torno do valor médio. Assim, de
agora em diante, a análise de erro é feita apenas a partir do erro percentual médio.
Os resultados desta seção mostram que o refinamento da malha aumenta a
exatidão dos mesmos, tanto para a ABC de primeira ordem quanto para a de segunda.
Além disso, a formulação FEM-ABC de segunda ordem fornece resultados mais exatos
que a de primeira ordem [40].
41
5.6 Influência da localização da fronteira ABC
Para verificar a influência que a localização da fronteira ABC exerce na exatidão
dos resultados, é gerada outra malha com as mesmas características da malha 2, só que
agora a fronteira ABC é colocada a 1,2 da superfície do espalhador. Para essa
fronteira mais afastada, a malha gerada pelo Triangle, denominada malha 3, contém
6024 elementos e 3238 nós, sendo 450 destes sobre a fronteira ABC. O número de
elementos no interior do espalhador e o número de nós na superfície deste é o mesmo da
malha 2.
As informações dessa malha, comparadas com as da malha 2, indicam que,
quando a fronteira ABC é colocada mais distante do espalhador, o número de nós e de
elementos gerados aumenta significativamente. A figura 5.9 compara a solução analítica
com as soluções obtidas pelas formulações FEM-ABC de primeira e de segunda ordens
para a malha 3.
Figura 5.9: Soluções FEM-ABC de primeira e de segunda ordens para a malha 3.
Os erros médios são de 5,2% para a ABC de primeira ordem e de 2,1% para a
ABC de segunda ordem. Esses resultados, além da comparação visual entre as figuras
5.8 e 5.9, mostram que o afastamento da fronteira ABC contribui significativamente
para o aumento da exatidão dos resultados, especialmente para a formulação FEM-ABC
de segunda ordem. Tal aumento ocorre porque a forma assintótica do campo espalhado,
dada pela equação (3.7), é uma expressão aproximada para o campo u na região de
campo próximo, que é tanto mais exata quanto mais distante do espalhador a fronteira
ABC é colocada.
42
5.7 Influência da forma da fronteira ABC
As formulações deduzidas neste trabalho, equações (3.16) e (3.20), podem ser
aplicadas a espalhadores bidimensionais de seção transversal arbitrária; a forma da
fronteira ABC também pode ser qualquer. Pode-se verificar a influência da forma da
fronteira ABC na exatidão dos resultados ao distorcer uma malha, cuja fronteira ABC é
circular, e transformá-la em uma fronteira elíptica, por meio de incrementos e
decrementos iguais em seus semieixos. A partir da malha 2, apresentada na figura 5.7,
são geradas outras duas malhas de mesmas características, mas com fronteiras ABC
elípticas: a malha 4, de semieixos 1,0 x 0,8 , com 2360 elementos e 1316 nós; e a
malha 5, de semieixos 1,2 x 0,6 , com 2186 elementos e 1229 nós. A figura 5.10
mostra o aspecto dessas malhas.
(a)
(b)
Figura 5.10: Deformações obtidas a partir da malha 2:
(a) Malha 4: elíptica de semieixos 1,0 x 0,8 , com 2360 elementos e 1316 nós;
(b) malha 5: elíptica de semieixos 1,2 x 0,6 , com 2186 elementos e 1229 nós.
Ambas as malhas deformadas são usadas para solucionar o problema por meio da
formulação FEM-ABC de segunda ordem. Enquanto para a malha não deformada
(malha 2) o erro percentual é de 5,1%, para as malhas menos deformada (malha 4) e
mais deformada (malha 5), respectivamente, esse erro é de 7,8% e 11,2%. Isso mostra
que a exatidão dos resultados é dependente da forma da fronteira ABC, fixados os
demais parâmetros. Mais especificamente, para um espalhador cilíndrico de seção
transversal circular, a exatidão é maior quando a fronteira ABC é paralela à superfície
do espalhador em cada ponto e torna-se menor à medida que a deformação da fronteira
ABC aumenta [41]. Para espalhadores cilíndricos com outras seções transversais, o
estudo da relação entre a forma da fronteira ABC e a forma do espalhador é deixado
como proposta de trabalho futuro.
43
5.8 Análise do custo computacional
Um fator importante a ser observado quando se escolhe um método numérico é o
custo computacional. A tabela 5.1 apresenta os tempos de processamento, ao serem
usadas as formulações FEM-ABC de primeira e de segunda ordens, para cada uma das
três primeiras malhas deste trabalho. A partir desses dados, pode-se analisar a relação
entre o custo computacional e fatores como: ordem da ABC, densidade da malha e
localização da fronteira ABC.
Tabela 5.1: Tempos de processamento, em segundos.
ABC de primeira ordem
ABC de segunda ordem
Malha 1
0,57
0,57
Malha 2
0,94
0,97
Malha 3
5,19
5,22
O hardware utilizado é um computador Intel 2Quad Core 2,66 GHz, com 4,0GB
DDR e 320 GB de HD; Windows 7 Professional de 64 bits. O tempo computacional
aumenta quando a densidade da malha aumenta, ou quando a fronteira ABC é afastada
do espalhador. Esse aumento deve-se, principalmente, ao aumento da matriz gerada pelo
FEM, cujo número de linhas e colunas é igual ao número de nós da malha. Uma vez que
as diferenças de tempo entre as ABC’s de primeira e de segunda ordens são pequenas, é
vantajoso usar uma ABC de segunda ordem, pois ela aumenta a precisão dos resultados
sem aumentar muito o custo computacional.
Os tempos de processamento podem ser reduzidos se forem aproveitadas as
características da matriz gerada pelo FEM, altamente esparsa e simétrica. Por exemplo,
como a malha 3 possui 3238 nós, a matriz obtida a partir dessa malha possui 10.484.644
termos. Destes, apenas 21.760 deles (0,21%) são não nulos [42]. A localização desses
termos é representada por pontos escuros na figura 5.11, figura esta obtida a partir do
Matlab. Também é observado na figura 5.11 que os termos da matriz estão dispostos
simetricamente.
44
Figura 5.11: Disposição dos termos não nulos
na matriz gerada pelo FEM-ABC para a malha 3.
Assim, o uso de métodos eficientes de solução de sistemas matriciais esparsos
permite que problemas mais complexos sejam solucionados em tempos reduzidos, uma
das principais vantagens do FEM-ABC [43]. O uso de tais métodos é deixado como
proposta de trabalho futuro, uma vez que, neste trabalho, os sistemas matriciais são
solucionados de forma direta pelo Matlab.
Uma limitação das formulações desenvolvidas neste trabalho é que nem sempre a
formulação FEM-ABC de segunda ordem é mais exata que a de primeira ordem, apesar
de permanecerem válidas, em tais situações, as relações entre densidade da malha,
localização da fronteira ABC e exatidão dos resultados. Acredita-se que duas possíveis
causas dessa limitação são a derivada segunda tangencial, que aparece na equação
(3.18) ao ser obtida a ABC de segunda ordem; e o condicionamento da matriz gerada
pelo FEM, que pode afetar sua simetria [44]. A análise dessas causas também é deixada
como proposta de trabalho futuro.
5.9 Sumário
Neste capítulo, a formulação FEM-ABC para problemas de espalhamento
eletromagnético bidimensional é validada. Os resultados mostram que uma ABC de
segunda ordem fornece soluções mais exatas. O aumento da densidade da malha e o
afastamento da fronteira ABC também contribuem para minimizar o erro em tais
cálculos. Percebe-se que a forma da fronteira ABC também está relacionada com a
exatidão dos resultados: esta é maior quando a fronteira ABC e o espalhador têm a
45
mesma forma geométrica, para um espalhador cilíndrico de seção transversal circular.
Por meio de medidas de tempo computacional, percebe-se que este se relaciona
diretamente com a exatidão dos resultados. Métodos eficientes de solução de sistemas
matriciais esparsos podem ser usados para diminuir esse tempo, aproveitando as
características da matriz gerada e ressaltando uma das principais vantagens do método
de elementos finitos na solução de problemas de espalhamento eletromagnético.
46
Capítulo 6
Conclusão e propostas de
continuidade
Neste trabalho, o método de elementos finitos é utilizado na solução de um
problema de espalhamento eletromagnético bidimensional. É mostrado que problemas
de espalhamento eletromagnético têm diversas aplicações práticas, tais como o
funcionamento de radares para detecção de submarinos e aeronaves, a modelagem da
estrutura de florestas pelo sensoriamento remoto, a descoberta das características de
espalhadores a partir do campo espalhado por eles, dentre outras. O método de
elementos finitos mostra-se apropriado para solucionar esse tipo de problema, pois esse
método trata com facilidade domínios não homogêneos, além de possuir baixa
complexidade computacional. Para isso, uma condição de contorno absorvente é
deduzida e incorporada à formulação matemática do problema. Consegue-se, dessa
forma, limitar o domínio do problema de espalhamento, que normalmente é infinito.
São usadas ABC’s de Bayliss-Turkel de primeira e de segunda ordens, e a diferença
entre ambas é testada. Também são testados outros fatores que influem na exatidão dos
resultados, tais como a densidade de elementos das malhas utilizadas, a localização da
fronteira ABC em relação ao espalhador e a forma geométrica dessa fronteira.
A discretização das variáveis geométricas é feita a partir de elementos lineares, uni
e bidimensionais. A discretização das variáveis físicas é feita pelo método de Galerkin.
Após ser feita a implementação computacional, são encontrados os seguintes resultados:
i) o aumento da densidade de elementos e o afastamento da fronteira ABC provocam
um aumento na exatidão dos resultados, o que pode ser verificado pela redução do erro
47
percentual; ii) para um espalhador cilíndrico de seção transversal circular, os melhores
resultados são obtidos quando a fronteira ABC tem a mesma forma geométrica do
espalhador e, à medida que essa fronteira é deformada, a exatidão dos resultados
diminui; iii) na maior parte dos casos, a formulação FEM-ABC de segunda ordem
fornece resultados com menores erros percentuais que a de primeira ordem; iv) medidas
de tempo de processamento mostram que os fatores que aumentam a exatidão dos
resultados provocam, em contrapartida, um aumento do custo computacional, de forma
que a eficiência do método é influenciada diretamente pelas características da malha
utilizada; v) um estudo da matriz gerada pelo FEM mostra que, mesmo após a
incorporação de uma ABC, essa matriz permanece altamente esparsa, o que se traduz
em uma possibilidade promissora de uso de métodos eficientes de solução de sistemas
dessa natureza.
Espera-se que este trabalho contribua cientificamente nos seguintes aspectos: i)
desenvolvimento
de
softwares
que
solucionem
problemas
de
espalhamento
eletromagnético bidimensional; ii) incorporação de condições de contorno absorventes
de primeira e de segunda ordens ao método de elementos finitos; iii) teste das
características de geradores de malhas bidimensionais, como o software Triangle.
Percebe-se este trabalho como um primeiro passo, ainda tímido, rumo à descoberta
das potencialidades da formulação FEM-ABC na solução de problemas mais gerais de
espalhamento eletromagnético. Além disso, sabe-se que há outros métodos que, se
acoplados ao método de elementos finitos, permitem solucionar problemas mais
complexos de forma precisa e eficiente. Dessa forma, há várias possibilidades de
estudos futuros, sendo algumas delas: i) aplicar a formulação desenvolvida neste
trabalho a outros problemas de espalhamento eletromagnético, seja pela variação dos
parâmetros do espalhador e da onda incidente, seja pelo cálculo de outras grandezas,
tais como o campo magnético, a seção transversal de radar etc.; ii) solucionar o sistema
matricial de forma eficiente, por meio de métodos que aproveitem a esparsidade de
matrizes geradas pelo FEM; iii) aprimorar a formulação FEM-ABC desenvolvida neste
trabalho para solucionar problemas tridimensionais. Sabe-se que esta última proposta é
a mais ambiciosa, mas é o caminho natural no processo de um conhecimento cada vez
mais aprimorado do método de elementos finitos.
48
Apêndices
Apêndice A: Identidades vetoriais
Para apresentar as identidades vetoriais que constam neste trabalho, considere que

A seja um campo vetorial e g um campo escalar. Então:



(A.1)
    A     A  2 A

 
(A.2)
  gA  g  A  A  g


(A.3)
A

dS



A

 dV
  
 
S

V
49
Apêndice B: Dedução da ABC de segunda ordem
O ponto de partida para a dedução da condição de contorno absorvente de BaylissTurkel é a forma assintótica do campo espalhado. Em três dimensões, uma solução
ur , ,   para a equação de Helmholtz que obedeça à condição de radiação de
Sommerfeld, dada pela equação (2.25), pode ser expressa pelo seguinte teorema [28]:
e jkr
u
r


n 0
An  ,  
.
rn
(B.1)
É sabido que um correspondente teorema em duas dimensões não existe. Esse
problema é resolvido em [45], que apresenta uma solução u r ,  da seguinte forma:

Fn  
Gn  
1



H
kr
.

1
n
r
rn
n 0
n 0

u  H 01 kr
(B.2)
Para as funções de Hankel, H 01 e H11 , o uso da forma assintótica permite que a
equação (B.2) seja escrita como [24]:
us 
e  jk



n 0
An  
n
;
(B.3)
que é a equação (3.7). A partir da equação (B.3), podem ser obtidas as condições de
contorno absorventes, tanto de primeira quanto de segunda ordens.
A ABC de primeira ordem é obtida de forma direta no capítulo 3.
Para ser obtida a ABC de segunda ordem, são considerados os quatro primeiros
termos da equação (B.3). Assim, a forma assintótica do campo espalhado é dada por
[27]:
us 
A   A2   A3   
e  jk 
 A0    1
;



2
 3 
 
(B.4)
que é a equação (3.17). A obtenção da ABC de segunda ordem a partir da forma
assintótica do campo espalhado, equação (B.3), não é direta. A sequência de
procedimentos é [24]:
i) deriva-se a equação (B.3) em relação a  :
u s 
1  s e  jk0 
u 
   jk o 
 
2  



n 1
nAn  
 n1
;
(B.5)
ii) substitui-se essa derivada na equação de Helmholtz em coordenadas cilíndricas,
dada por:
50
1   u s

   
 1  2u s
  2
 k 02 u s  0 ;
2
  
(B.6)
iii) obtendo-se a relação de recorrência:
 2 an
1

;
 2 jk 0 n  1a n 1   n   a n 
2
 2

2
(B.7)
iv) essa relação, ao ser inserida na equação (B.5), produz:
u s 
1
1
   jk 0 

 
2  8 jk 0  2
 s
1
 2 u s e ik0 
u 

2 jk 0  2  2



nAn

n 1
n2
 1 
 O 9 2  ;
 
(B.8)
v) substituindo a equação (B.7) na equação (B.8), obtém-se, após desprezar termos


da ordem O  9 2 :
u s 
1
1
1  s  1
1   2u s


   jk 0 


u


 2 jk  2 2k 2  3   2 ;
 
2  8 jk 0  2 8k 02  3 
0
0


(B.9)
vi) faz-se, na equação (B.9), u s  u  u i e usam-se as relações de transformação
da equação (3.10), acrescidas de
1 2
2
, para obter a condição de contorno

 2  2
 e2
absorvente de segunda ordem utilizada neste trabalho, equações (3.12), (3.18) e (3.19).
A dedução feita em [30] é um pouco diferente. Lá, é deduzida uma sequência de
operadores Bm , tais que:


Bm u s  O  2 m1 2 ,
m  1,2,3,...
(B.10)
A ABC de primeira ordem é obtida quando m  1 :
B1 

1
 jk 0 
;

2
(B.11)
e, para a ABC de segunda ordem, faz-se m  2 :
B2 

1
1
1
2
.
 jk 0 



2  8 1  jk 0   2  1  jk 0    2
51
(B.12)
Apêndice C: Incorporação da ABC de segunda ordem
à formulação
A incorporação da ABC de primeira ordem à formulação é direta, uma vez que 
e q são constantes. Inserindo as equações (3.12), (3.13) e (3.14) na equação (3.6)
obtém-se, com o auxílio da equação (3.3), a equação (3.16).
Para incorporar a ABC de segunda ordem, é necessário um desenvolvimento
adicional, já que  na equação (3.18) é um operador diferencial. Inicialmente, as
equações (3.12), (3.18) e (3.19) são inseridas na equação (3.6), com o auxílio da
equação (3.3). Em seguida, a equação (3.18) é substituída pelas equações (3.21), (3.22)
e (3.23), obtendo-se:


w   1u d   k 02 2 w  ud   q  wd e    1  w  ud e    2  w 
e

e
e
 2u
 e
2
d e  0 .
(C.1)
Observa-se que a equação (C.1) não é simétrica, pois a ordem de derivação do
campo e da função de ponderação são diferentes na quinta integral dessa equação. Para
que ela volte a ser simétrica, é usada a técnica de integração por partes [20]:
 fdg  fg   gdf ,
(C.2)
onde:
w
d e ;
 e
(C.3)
u
.
 e
(C.4)
f   2  w  df   2 
dg 
 2u
 e
2
d e  g 
Então, substituindo as equações (C.3) e (C.4) na equação (C.2), a quinta integral
na equação (C.1) torna-se [33]:
 x2 , y 2 
 2u
u 
u w


w

 e 2  2 d e   2  w   e    e  2   e   e d e .
e
 x1 , y1 
(C.5)
Inserindo a equação (C.5) na equação (C.1), obtém-se a equação (3.20), que é a
formulação matemática do problema após a incorporação da ABC de segunda ordem.
Acredita-se que, de alguma forma, o primeiro termo do lado direito da equação (C.5)
pode ser incorporado ao segundo, em virtude da formulação apresentada em [20].
Acredita-se também que essa formulação seja simétrica, uma vez que a ordem de
52
derivação do campo e da função de ponderação são iguais na quinta integral da equação
(3.20). Tal investigação é deixada como proposta de trabalho futuro.
53
Apêndice D: Pseudocódigos
Rotina contribuicaoabc (cs): calcula a contribuição dos elementos unidimensionais
Determinar as constantes iniciais;
Determinar os pontos de Gauss com os respectivos pesos;
Determinar a curvatura do elemento;
Determinar o campo incidente;
Determinar a derivada normal;
Determinar a derivada segunda tangencial;
Determinar as constantes  e q ;
Para i = 1, npg
Determinar as funções de interpolação ( N i );
Calcular as contribuições do elemento unidimensional;
Fim para
Fim rotina
Rotina contribuicao (c,  r ): calcula a contribuição dos elementos bidimensionais
Determinar as constantes iniciais;
Determinar os pontos de Gauss com os respectivos pesos;
Determinar as derivadas das funções de interpolação ( d );
Determinar a matriz jacobiana ( J );
Determinar o jacobiano ( det J );
Determinar J 1 ;
Calcular N i ;
Calcular N i N j ;
Para i = 1, npg
Determinar as funções de interpolação ( N i );
Calcular a contribuição do elemento bidimensional;
Fim para
Fim rotina
54
Rotina fem2d (malha): Programa principal
Ler os dados da malha;
Para e = 1, ne
Determinar a matriz de coordenadas e  r ;
Calcular a contribuição;
Armazenar a contribuição;
Fim para
Para s = 1, ns
Determinar a matriz de coordenadas;
Calcular a contribuição;
Armazenar a contribuição;
Fim para
Solucionar o sistema matricial;
Obter os resultados;
Apresentar os resultados;
Fim rotina
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