APONTAMENTOS DE AULA – TOPOGRAFIA

APONTAMENTOS DE AULA – TOPOGRAFIA
AULAS 09 e 10: CÁLCULO DA POLIGONAL
Extraído da apostila “fundamentos da topografia, de Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion
A avaliação de áreas é uma atividade comum na Topografia. Por exemplo, na compra e venda de imóveis
rurais e urbanos esta informação se reveste de grande importância. Basicamente os processos para determinação de
áreas podem ser definidos como analíticos, gráficos, computacionais e mecânicos.
PROCESSO GRÁFICO
Neste processo a área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras
figuras, e a área final será determinada pela somatória de todas as áreas das figuras geométricas. A figura 1 ilustra a
aplicação do método gráfico, através do processo de divisão da área em quadrículas e em figuras geométricas
equivalentes.
PROCESSO COMPUTACIONAL
Atualmente é uma forma bastante prática para o cálculo de áreas. Baseado no emprego de algum programa gráfico,
como por exemplo, o AutoCAD, no qual são desenhados os pontos que definem a área levantada e o programa
calcula esta área, por métodos analíticos.
PROCESSO MECÂNICO
Utiliza-se um equipamento denominado de planímetro (figura 2). Este consiste em dois braços articulados, com um
ponto fixo denominado de pólo e um cursor na extremidade dos braços, o qual deve percorrer o perímetro do
polígono que se deseja calcular a área. Também apresenta um tambor giratório. De acordo com CINTRA (1996),
"pode-se demonstrar que o giro do tambor e, portanto, a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo
contorno percorrido".
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A área será dada por:
Área = k. (Lf - Li)
onde:
k é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço graduado;
Lf é a leitura final;
Li é a leitura inicial.
O valor de K pode ser determinado planimetrando-se uma área conhecida (S) diversas vezes (n).
k = (n . S)/ (Lf - Li)
De acordo com CINTRA(1996) o pólo deve ser posicionado fora da área que esta sendo avaliada, caso contrário,
deve-se adicionar à área o chamado "círculo zero", fornecido pelo fabricante.
PROCESSOS ANALÍTICOS
Neste método a área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a partir das coordenadas dos
pontos que definem a feição, realizarem os cálculos desejados. O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode
ser realizado a partir do cálculo da área de trapézios formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss).
Através da figura 3 é possível perceber que a área da poligonal definida pelos pontos 1, 2, 3 e 4 pode ser
determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2.
A área 1 pode ser calculada a partir das áreas dos trapézios formados pelos pontos 2', 2, 1, 1´ e 1', 1, 4, 4'. Na figura 4
é apresentada a fórmula de cálculo da área de um trapézio qualquer.
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Para facilitar a compreensão, será calculada a área do trapézio formado pelos pontos 2', 2, 1, 1' (figura 5).
Conforme pode ser visto na figura 5, a área do trapézio será dada por:
Desta forma a área 1 (figura 3) será calculada por:
Da mesma forma, a área 2 será calculada por:
A área da poligonal (Ap) será dada por:
Desenvolvendo tem-se:
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Reescrevendo a equação acima, eliminando-se o sinal negativo obtém-se:
Genericamente a equação acima pode ser reescrita por:
Sendo n igual ao número de pontos da poligonal. Deve-se observar que quando i = n, o valor de i+1 deve ser
considerado como sendo 1, ou seja, o primeiro ponto novamente. Outra fórmula pode ser obtida a partir da
resolução da equação acima.
Simplificando os termos semelhantes e reescrevendo a equação obtém-se:
A equação acima pode ser representada genericamente por:
ou também de outra forma, conforme equação abaixo cuja dedução fica para o leitor:
EXERCÍCIO 1- Dadas as coordenadas dos pontos de uma poligonal, calcular a área da mesma.
Efetuando-se os cálculos utilizando-se a equação
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Conferindo, empregando-se a equação
Outro processo de cálculo da área da poligonal utilizando-se a Equação conhecida por COORDENADAS
TOTAIS:
O cálculo da área utilizando-se a equação acima pode ser realizado facilmente montando-se uma tabela com as
coordenadas dos pontos, com o cuidado de repetir a coordenada do primeiro ponto no final da tabela, e
multiplicando-se de acordo com o ilustrado pela figura 6.
EXERCÍCIO 2 - A partir dos dados fornecidos no exercício 1, calcular a área da poligonal empregando-se a equação
de COORDENADAS TOTAIS:
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:
Para o cálculo de área de uma poligonal utilizando-se o processo de
COORDENADAS TOTAIS o ponto com as coordenadas consideradas X0 e Y0
deve ser o ponto mais a oeste da poligonal. No exercício acima o ponto mais a
oeste foi o ponto 01, por isso a tabela iniciou-se por ele e na última linha
repetiu-se suas coordenadas para fechar a poligonal.
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