Resistores

Eletromagnetismo
Resistores
Eletromagnetismo » Resistores
1
Resistor é um dispositivo cuja função, como o nome indica, é resistir ao estabelecimento de uma
corrente num condutor. Ele é caracterizado por sua resistência, que é uma medida da sua capacidade de resistir.
A resistência elétrica, indicada pela letra R, é indissociável de um circuito, já que fios, e condutores
em geral, fazem parte de qualquer circuito. O fato é que, num circuito elétrico, devemos levar em
conta a resistência dos fios condutores, bem como, a resistência de outros dispositivos que dele
fazem parte.
Num circuito a resistência é indicada pelo símbolo da figura 00.
De acordo com Jorge Simon Ohm (1787 – 1854), ou sua lei, a resistência de um fio de comprimento L e secção transversal de área A é dada pela expressão:
R=
L
L 1
ρE =
A
A σE
( 1 )
onde ρE é resistividade elétrica do material de que ele é feito. Esta grandeza pode ser expressa em
termos de grandezas microscópicas:
σ E=
1  N   q2 
=  
τ
ρ E  V   m 
( 2 )
Depreende-se, assim, que a resistência elétrica depende de três fatores:
1. Comprimento (L) e área (A) – são fatores que podem ser classificados de geométricos;
2. Material – envolve um aspecto macroscópico da resistência do material (a densidade em
número dos transportadores de carga elétrica (N/V)) e uma propriedade microscópica do
mesmo (o intervalo de tempo médio entre colisões- τ );
3. Transportadores de carga elétrica – dependência que vem por meio da relação q2/m, onde q
é o valor da carga transportada e m é a massa do objeto que a transporta usualmente. Como
correntes elétricas são geradas pelo movimento de elétrons, q = e.
Figura 1: Símbolo para indicar a corrente elétrica.
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2
Definição da Unidade Ohm
A unidade de resistência elétrica no sistema internacional é o Ohm (ver
exemplo 6, item a), que é definido pela relação entre o volt e o ampère.
Ω = V/A = volt/ampère = Ohm
Portanto, de acordo com o que foi discutido na seção 9.3.1, o Ohm é a
unidade inversa do siemen:
Ω = 1/S
Resistores são elementos importantes num circuito elétrico. As resistências elétricas são comercializadas com base no valor de R (o valor de resistência). Para facilitar as transações comerciais,
criou-se um padrão para a identificação dos valores das resistências. A figura 00 apresenta um
resumo do código empregado.
Figura 2
Tensão e Potência dissipada
Agindo nos terminais AB, a tensão é definida como sendo igual ao trabalho necessário para deslocar
uma partícula dotada de carga elétrica positiva quando ela se desloca de A até B.
A indicação do sentido da corrente implica que, no caso de um resistor, sendo ele um elemento
passivo, o potencial no terminal A é maior do que o potencial em B (VAB > 0). Isso decorre da convenção adotada para o sentido da corrente. Os elétrons, que se movem no sentido contrário ao da
corrente elétrica, se movem no sentido contrário ao gradiente do potencial. Ou seja, da região de
menor potencial para a região de maior potencial. Portanto:
V = VAB = VA − VE
( 3 )
Quando uma forma de energia se transforma em calor, dizemos que a energia foi dissipada. Isso
porque é muito difícil transformar o calor em outras formas de energia. É como se houvesse uma
Figura 3
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3
perda de energia, já que é difícil recuperá-la. Assim, no caso de um resistor, a potência (P) dissipada
é dada pela equação:
∆V 2
P =∆
i V =Ri 2 =
R
( 4 )
Medida de Resistências
1. Ponte de Wheatstone
Nesse método, empregamos quatro resistores constituídos por um circuito elétrico (vide figura 00).
A resistência que se quer determinar é uma delas (a resistência R). Os terminais dos resistores são os
pontos A, B, C e D.
Figura 4
Além das resistências, fazem parte do circuito um galvanômetro (G) – ou outro instrumento
que permite indicar se existe uma diferença de potencial entre os pontos B e D – e um gerador de
corrente elétrica.
O resistor Rx tem uma resistência variável. Ela pode ser ajustada de forma que nenhuma corrente
passe entre os terminais B e D. Nessas circunstâncias,
VD = VB
( 5 )
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4
Consequentemente,
VA − VB = VA − Vϑ
( 6 )
VB − VC = VD − VC
No ponto A, a corrente I se desdobra em duas outras i1 e i2. De (00) inferimos as igualdades:
R1 = R3i2
Rxi1 = R4i2
( 7 )
Inferimos, a partir disso, que,
R 
R = Rx  3 
 R4 
( 8 )
As resistências XX e XX são conhecidas. A resistência Rx é aquela escolhida de tal forma a obter
a condição (00). Temos, assim, no dispositivo, a resistência desconhecida (R).
Figura 5: Ponte de Wheatstone.
2. Método da Substituição Um circuito simples é composto por um elemento ativo sobre o qual atua uma tensão E (uma
pilha, por exemplo), um amperímetro (ou melhor, um miliamperímetro) e uma resistência de valor
conhecida XXX (vide figura 00).
Se designarmos por R a resistência do elemento ativo e do amperímetro, então é válida a seguinte
relação entre a corrente reajustada no amperímetro ii e a tensão:
ε = (R + Rx)i1
( 9 )
Quando substituímos a resistência conhecida por uma desconhecida, Rx, a corrente medida será
tal que
ε = (R + Rx)i
( 10 )
(R + Rx)i = (R + RC)i1
( 11 )
Consequentemente,
Figura 6
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5
A partir daí inferimos que
i
Rx =
( R + Rε ) 1 − R
i
( 12 )
Ou seja, por meio da medida das correntes, quando temos uma resistência conhecida (ii) e a
corrente i depois que efetuamos a substituição da resistência, podemos determinar a resistência
desconhecida (Rx).
Variação da Resistência e da Resistividade
com a Temperatura
A resistência de um condutor pode variar com a temperatura. No caso dos metais, a resistência
aumenta quando aumentamos a temperatura. No entanto, há certas substâncias cuja resistência
diminui à medida que a temperatura aumenta; as principais são o carbono e o telúrio. Esses resultados resumidos pela figura 00 são empíricos, ou seja, resultam de medidas da resistência para
diferentes temperaturas.
Enquanto é difícil obter teoricamente a variação da resistividade com a temperatura, podemos
escrever expressões fenomenológicas para tal grandeza:
r0 = r(T0)
Figura 7
( 13 )
Neste caso, r0 é a resistividade do material à temperatura T0. As expressões acima são válidas
para uma escala de temperatura arbitrária, os coeficientes x• e β, e os valores do coeficiente x• podem
ser medidos experimentalmente. A tabela 00 apresenta os valores desse coeficiente para algumas
substâncias adotando-se T0 = 0 °C.
A função que descreve o comportamento da resistividade com a temperatura é r(F). Podemos
expandir tal função para temperaturas próximas de 00, em potenciais de T − T0 , de acordo com
a expressão:
r(t) = r(T0) + αʹ(T − T0) + βʹ(T − T0)2 + ...
( 14 )
Figura 8
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6
Em que
dr
1 d 2r
=
α
'
T
=
β
'
T
(
)
(
)
=
T T=
T
c
dT
2 d
Tc
( 15 )
Ou, de forma análoga, podemos escrever dentro de boa aproximação (desprezando os termos
de ordem superior)
r(T) = r0[1 + α(T − T0) + β(T − T0)2]
( 16 )
Com
=
α
α'
r0
e
β=
β'
r0
( 17 )
O coeficiente α é denominado coeficiente de temperatura. Alguns materiais exibem uma resistividade praticamente constante. Ou seja, o coeficiente de temperatura α é praticamente igual a
zero. Dentre eles, destacamos o constantan (liga composta de níquel, cobre e zinco) e a manganina
(composta de cobre e manganês) .
Abaixo apresentamos uma tabela de valores da resistividade, da condutividade e dos valores do
coeficiente de temperatura para vários materiais na temperatura de 20 °C.
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Tabela 1: Resistivity, conductivity and temperature coefficient of various materials at 20 °C (68 °F, 293 K).
Material
Carbon (graphene)
Silver
Copper
Gold [note 3]
Aluminium [note 4]
Calcium
Tungsten
Zinc
Nickel
Lithium
Iron
Platinum
Tin
Carbon steel (1010)
Lead
Manganin
Constantan
Stainless steel [note 5]
Mercury
Nichrome [note 6]
GaAs
Carbon (amorphous)
Carbon
(graphite) [note 7]
Germanium [note 8]
Sea water [note 9]
Drinking water [note 10]
Silicon [note 8]
Wood (damp)
ρ (Ω·m) at 20 °C σ (S/m) at 20 °C Temperature coefficient [note 1] (K−1) Reference
1 × 10−8
1,59 × 10−8
1,68 × 10−8
2,44 × 10−8
2,82 × 10−8
3,36 × 10−8
5,60 × 10−8
5,90 × 10−8
6,99 × 10−8
9,28 × 10−8
1,0 × 10−7
1,06 × 10−7
1,09 × 10−7
1,43 × 10−7
2,2 × 10−7
4,82 × 10−7
4,9 × 10−7
6,9 × 10−7
9,8 × 10−7
1,10 × 10−6
1 × 10−3 to 1 × 108
5 × 10−4 to
8 × 10−4
2,5 × 10−6
to 5,0 × 10−6
// basal plane
3,0 × 10−3
⊥basal plane
–
6,30 × 107
5,96 × 107
4,10 × 107
3,5 × 107
2,98 × 107
1,79 × 107
1,69 × 107
1,43 × 107
1,08 × 107
1,00 × 107
9,43 × 106
9,17 × 106
6,99 × 106
4,55 × 106
2,07 × 106
2,04 × 106
1,45 × 106
1,02 × 106
9,09 × 105
1 × 10−8 to 103
1,25 × 103 to
2 × 103
4,6 × 10−1
2 × 105 to 3 × 105
//basal plane
3,3 × 102
⊥basal plane
2 × 10−1
2 × 101 to 2 × 103
6,40 × 102
1 × 103 to 1 × 104
4,8
5 × 10 to 5 × 10−2
1,56 × 10−3
10−4 to 10−3
2,17
−0,0002
0,0038
0,003862
0,0034
0,0039
0,0041
0,0045
0,0037
0,006
0,006
0,005
0,00392
0,0045
[12]
[13][14]
[15]
[13]
[13]
[13]
[17]
[13]
[13]
[18]
0,0039
0,000002
0,000008
[13]
[20]
[21]
[22]
0,0009
0,0004
[20]
[13]
[23]
−0,0005
[13][24]
[25]
−0,048
[13][14]
[27]
−4
[citation needed]
−0,075
[13]
[28]
Eletromagnetismo » Resistores
8
Note-se a disparidade dos valores da resistividade de várias substâncias. Prata e cobre têm pequena
resistividade. São, portanto, bons condutores. O carbono se situa no extremo oposto, e é, por isso,
considerado um material isolante.
Supercondutores
Alguns metais e certas cerâmicas exibem uma propriedade assaz curiosa. Tais materiais exibem
a supercondutividade e, por isso, são denominados supercondutores.
Para explicar o que é supercondutividade, lembremo-nos de que a tendência das substâncias,
em particular dos metais, é baixar a resistência à medida que baixamos a temperatura da substância.
No entanto, no caso dos materiais supercondutores, próximo a uma temperatura dita crítica (T = Tc)
a condutividade desses materiais, a resistividade passa por uma descontinuidade (vide figura 00).
Em particular, os materiais supercondutores têm uma resistividade nula abaixo da temperatura
crítica. Escrevemos
ρ = ρ(T)
ρ(TC) = 0
para T < TC
( 18 )
Este fenômeno foi observado pela primeira vez por Kamerlingh Omnes, em 1911. Desde então,
o interesse por esses materiais só tem aumentado.
A temperatura crítica (E) é, em geral, muito baixa.
Figura 9
Figura 10
Eletromagnetismo » Resistores
9
A temperatura crítica difere de metal para metal ou de cerâmica para cerâmica. Em geral, ela é
próxima do zero absoluto. Por exemplo, a temperatura crítica do mercúrio sólido, descoberta por
Omnes, é próxima a 4,2 K; o tório, a 1,4 K; o chumbo, a 7,2 K. No entanto, há registro de temperaturas
bem mais altas. Os supercondutores ditos de altas temperaturas têm temperaturas críticas próximas
a 130 K (−143 oC). A figura 00 ilustra a situação da evolução dos materiais supercondutores.
Figura 11
A supercondutividade é um fenômeno que tem uma grande utilidade prática. Em primeiro lugar,
pode manter uma circulando por ele ao longo de vários dias. Mas a aplicação mais relevante decorre de
outra propriedade de um supercondutor. Trata-se da sua capacidade de evitar a penetração do campo
magnético no interior do material em um efeito denominado Meissner. Com isso, um supercondutor se
transforma num material diamagnético perfeito. O resultado prático é o fenômeno da levitação.
Figura 12
Eletromagnetismo » Resistores
10
Associação de Resistores
Existem duas formas básicas de associar resistores: em paralelo ou em série.
Associação em série
Nesse tipo de associação, dispomos os resistores de tal forma que o término de cada um deles
coincida com o início do próximo resistor (vide figura 00). Ou seja, eles têm terminais dois a dois
em comum.
Para um determinado trecho da associação em série (fazendo parte, por exemplo, de um circuito),
compreendido, por exemplo, entre dois terminais, A e E, trecho esse contendo N resistores, podemos
chegar às seguintes conclusões:
a. Corrente elétrica
A corrente elétrica percorrendo tal arranjo é a mesma que passa ao longo de cada um dos resistores. Ou seja, a corrente que passa pelo primeiro é a mesma que passa pelo segundo e assim por
diante. Isso decorre do princípio da conservação da carga elétrica. Como as cargas não se acumulam
num resistor e como não têm por onde se desviar, o número daquelas que passam pelo primeiro
terminal A é igual ao número daquelas que passam pelo terminal E.
b. Tensões nos terminais de cada elemento
As tensões (ou, neste caso, diferenças de potencial) entre cada um dos elementos são diferentes.
Designando R1, R2, ... RN as resistências, respectivamente, dos resistores 1, 2 ... N, podemos escrever
a tensão nos terminais do j-ésimo resistor como dada pelo produto:
Vj = Rji
( 19 )
V = VA − VE = (VA − VB) + (VB − VC) + ... + (VD − VE)
( 20 )
É preciso lembrar que:
Figura 13
Eletromagnetismo » Resistores
11
Obtemos, então, a tensão entre os terminais do primeiro resistor e o último deles, o que é dado
pela soma:
=
V
N
=
Vj
∑
N
∑R i
=j 1 =j 1
j
( 21 )
c. Resistor equivalente
Definimos resistor equivalente aquele cuja resistência é equivalente ao do conjunto de resistores
em série. Por essa definição, a resistência equivalente obedece à relação:
V = Ri
( 22 )
 N

V =  ∑ Rj i
 j =1 
( 23 )
Da equação (00), segue que:
Portanto, a resistência do resistor equivalente é dada pela soma das resistências dos resistores
que compõem o arranjo. Escrevemos:
N
R = ∑ Rj
( 24 )
j =1
Associação em Paralelo
Nesse caso, os resistores são dispostos de tal forma que todos eles têm os mesmos terminais. Podemos pensar esse arranjo como sendo de condutores ligados em dois pontos A e B (vide figura 00).
Para um determinado trecho da associação em série (fazendo parte, por exemplo, de um circuito),
compreendido, por exemplo, entre dois terminais, A e E, trecho esse contendo N resistores, podemos
chegar às seguintes conclusões:
Figura 14
Eletromagnetismo » Resistores
12
a. Tensões nos terminais de cada elemento
As tensões (ou, neste caso, diferenças de potencial) entre cada um dos elementos é a mesma,
a qual designaremos por V. Assim, podemos escrever a tensão nos terminais do j-ésimo resistor
como sendo:
Vj = V
( 25 )
b. Corrente elétrica
A corrente elétrica percorrendo cada um dos resistores dispostos em paralelo é diferente. Designando R1, R2, ... RN as resistências, respectivamente, dos resistores 1, 2 ... N, e por i1, i2, ... iN as
respectivas correntes, podemos escrever a tensão nos terminais do j-ésimo resistor como sendo
dada pelo produto:
V = Rjij
( 26 )
Portanto, a corrente elétrica no j-ésimo resistor é dada por:
ij =
V
Rj
( 27 )
A relação acima vale para qualquer um dos elementos que compõem o arranjo em paralelo.
c. Resistor equivalente
Consideremos uma corrente elétrica i, que chega ao primeiro terminal, comum a todos os resistores. Essa corrente se bifurca, produzindo correntes em cada umdos resistores. De acordo com o
princípio da conservação da carga elétrica, podemos afirmar que
i = i1 + i2 + ... + iN
( 28 )
Definimos resistor equivalente aquele percorrido pela corrente elétrica i, cuja resistência é equivalente ao do conjunto de resistores em série. Por definição, a resistência equivalente é dada por:
V = Ri = R(i1 + i2 + ... + iN)
( 29 )
Figura 15
Eletromagnetismo » Resistores
13
lembrando a relação (00) segue de (00) que:
 1
1
1
=
V R +
+ ⋅⋅⋅⋅ +
RN
 R1 R2

V

( 30 )
Portanto, a resistência do resistor equivalente é tal que:
1
=
R
N
1
∑=
R
j =1
j
 1
1
1 
+ ⋅⋅⋅⋅ +
 +

RN 
 R1 R2
( 31 )
Reostatos
A palavra reostato é utilizada para designar resistências variáveis. Eles podem ser divididos em
dois grupos: resistências que podem variar de forma contínua ou descontínua.
A construção de um reostato no qual a resistência varia continuamente de um valor até o valor R
se baseia na expressão (00). Ou seja, baseia-se no fato de que a resistência varia linearmente com
o comprimento do resistor. O reostato de resistência variável continuamente baseia-se no fato de
a resistência de um condutor ser diretamente proporcional ao seu comprimento. O reostato é um
simples fio metálico AB, que se pode colocar no circuito (todo ou apenas uma parte).
Assim, na sua conformação mais simples, um reostato é construído a partir de fio metálico. Sejam
A e B os pontos correspondentes ao início e término do fio (vide figura 00)! Consideramos agora
um cursor C que pode se deslizar ao longo do fio.
Em seguida, fazemos com que o circuito seja ligado à extremidade A do condutor e ao cursor
(vide figura 00). Sendo a resistência entre os terminais AB igual a R, a resistência do trecho compreendido entre A e C é dada por
RΑC =
ΑC
R
ΑΒ
Figura 16
( 32 )
AC e AB representam os comprimentos entre A e C e A e B, respectivamente.
Variando-se o cursor continuamente, obtemos uma resistência que varia linearmente com a distância AC, os valores máximos da resistência de um reostato é a
principal característica do mesmo. Temos, assim, valores para:
R = 10Ω, R = 50Ω e R = 100Ω
( 33 )
Figura 17
Figura 18
Eletromagnetismo » Resistores
14
Reostato de variação discreta da resistência
Consideramos um dispositivo formado por um conjunto de resistência R1, R2, Rn, ligados em
série, e uma haste metálica móvel de forma a ter acesso a todos os terminais da resistência (vide
figura 00) (1).
Seja o circuito constituído de tal forma que ele seja ligado ao terminal A do primeiro resistor e
a um ponto E. A partir do ponto E, a haste já referida pode ser deslocada para qualquer um dos
terminais das resistências.
Analisemos o caso de três resistores formando o reostato. Quando a haste se encontra no ponto
B (terminal de resistor R1) a resistência do reostato é R = R1. Quando a haste é deslocada para a
posição indicada por C (o terminal do resistor R2), a resistência do reostato será R = R1 + R2. Quando
deslocamos a haste para o ponto D (vide figura 00) a resistência desse dispositivo é: R = R1 + R2 + R3.
Ou seja, a expressão geral da resistência é:
=
R
Figura 19
n
=
Ri
n 1,2,...N
∑
( 34 )
i −1
Os dois tipos de reostatos são indicados pela figura 00.
Caixa de Resistências
Pode-se obter um dispositivo que nos permita obter resistências variáveis, com valores discretos,
fazendo uso de uma caixa de resistência. Caixa aqui se refere ao continente.
Numa caixa, colocamos algumas resistências, peças metálicas e cavilhar. No caso da figura 00, temos
5 resistências ligadas a 6 peças metálicas indicadas pelas letras a, b, c, d, e, f, de resistência desprezível.
As peças metálicas são forjadas de tal maneira que uma cavilha possa ser encaixada entre duas
delas. Para N resistências, utilizamos N + 1 peças metálicas e N − 2 cavilha. Cada cavilha tem uma
parte metálica (no máximo) e outra de má conduta (madeira, por exemplo).
O circuito é ligado à primeira peça metálica, bem como à última, em pontos A e B, respectivamente.
Figura 20
Eletromagnetismo » Resistores
15
Na situação em que colocamos, as N − 2 cavilhas em sequência, retirando, portanto a última
cavilha − quatro no caso de 5 resistências e 6 peças metálicas −; tudo se passa como se tivéssemos
apenas a última resistência. Escrevemos:
R = RN−1
( 35 )
No exemplo considerado, a resistência será R = 1000 Ω. Se colocarmos N − 3 cavilhas, a resistência
do conjunto será igual à resistência das duas últimas resistências. Ou seja,
R = RN−1 + RN−2.
( 36 )
No caso de retirarmos as duas últimas cavilhas, a resistência seria de 1000 Ω, e assim sucessivamente.
Se retirarmos todas as cavilhas a resistências será
R = R1 + ... + RN
( 37 )
Se retirarmos todas as cavilhas, menos a primeira, a resistência equivalente será:
R = R2 + ... + RN
Por exemplo, no caso da figura 00 a resistência equivalente é R = 1111 Ω.
Resumindo: A inserção de uma cavilha é equivalente à retirada de um resistor do circuito.
( 38 )
Figura 21
Eletromagnetismo » Resistores
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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