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Em coordenadas cartesianas e
cilíndricas
A exigência da conservação de energia:
Equação da conservação de energia para um intervalo de tempo t:
Ee  Eg  Es  Eac
Equação da conservação de energia para um instante (t):
dE
E e  E g  E s  E ac  ac
dt
O termo Eg = “energia gerada" diz
respeito à energia térmica que é
produto de uma transformação de
outra forma de energia (química,
elétrica, nuclear,...) no interior do
volume de controle ou do sistema
A equação da taxa de condução (Lei de Fourier):
A lei de Fourier é uma generalização baseada em evidências
experimentais:
Observemos o bastão cilíndrico ao lado com sua superfície lateral isolada termicamente.
Pode-se medir o calor qx transferido e queremos saber como qx depende das seguintes
variáveis: T, x e A, a área da seção transversal do bastão.
Quando mantemos T e x constantes, ao variarmos A, verificamos que qx é diretamente
proporcional a A. Quando mantemos T e A constantes, observamos que qx varia
inversamente com x. Finalmente, mantendo A e x constantes, vemos que qx é
diretamente proporcional a T. Então:
qx  A
T
x
Quando mudamos o material que constitui o cilindro, nota-se que a proporcionalidade
permanece válida. Porém, para valores idênticos de A, T e x, o valor de qx varia
dependendo do material. Então:
q x  kA
T
x
Onde k é uma importante propriedade do material, a condutividade térmica [W/(m.K)].
Quando levamos esta expressão ao limite, quando x  0, chegamos à taxa de
transferência de calor:
dT
qx  kA
ou ao fluxo de calor (fluxo térmico):
dx
qx 
qx
dT
 k
A
dx
O sinal de menos é necessário porque o calor flui no
sentido da diminuição da temperatura
A equação da taxa de condução (Lei de Fourier):
O fluxo térmico é uma grandeza vetorial:
Desta forma podemos escrever a Lei de Fourier de uma forma mais geral:
  T  T  T 

q  kT  k  i
j
k

x

y

z


que nos diz que o vetor fluxo térmico encontra-se em uma direção perpendicular às
superfícies isotermas. Então, uma forma alternativa da lei de Fourier é:
qn  k
T
n
Observe-se ainda que o vetor fluxo térmico pode ser expresso por componentes, em
coordenadas cartesianas:



q  i qx  j qy  k qz
e
qx  k
T
x
qy  k
T
y
qz  k
T
z
A equação da difusão de calor:
Em cada superfície, temos as taxas de transferência de calor
qx, qy, qz e:
qx
dx
x
q y
 qy 
dy
y
q x  dx  qx 
q y  dy
q z  dz  q z 
No interior do meio pode haver, também, um termo de
fonte de energia que pode ser associado a uma taxa de
‘geração’ de energia térmica:
E g  qdxdydz
Onde, q é a taxa na qual a energia é ‘gerada’ por
unidade de volume do meio.
qz
dz
z
Também podem ocorrer variações na quantidade de energia
interna térmica armazenada pela matéria no interior do
volume de controle:
T
E ac  c p
dxdydz
t
A equação da difusão de calor:
qx
dx
x
q y
 qy 
dy
y
q x  dx  qx 
q y  dy
q z  dz  q z 
qz
dz
z
E g  qdxdydz
T
E ac  c p
dxdydz
t
A forma geral da equação
de conservação de energia:
E e  E g  E s  E ac
qx  q y  qz  qdxdydz  qx  dx  q y  dy  qz  dz  c p

T
dxdydz
t
q y
qx
q
T
dx 
dy  z dz  qdxdydz  c p
dxdydz
x
y
z
t
A equação da difusão de calor:

q y
qx
q
T
dx 
dy  z dz  qdxdydz  c p
dxdydz
x
y
z
t
As taxas de transferência de calor por condução
são dadas pela Lei de Fourier:
q x  kdydz
T
x
q y  kdxdz
T
y
T
q z  kdydx
z
Substituindo na equação acima e dividindo tudo por dxdydz:
  T    T    T 
T
   k
k
   k
  q  c p
x  x  y  y  z  z 
t
Que é a forma geral da Equação da Difusão do Calor em
coordenadas cartesianas.
A equação da difusão de calor:
Forma geral da Equação da Difusão do Calor em coordenadas
cartesianas:
  T    T    T 
T
   k
k
   k
  q  c p
x  x  y  y  z  z 
t
Às vezes podem ser feitas simplificações.
Se tratamos de regime estacionário:
Por exemplo, se k for constante:
 2T  2T  2T q 1 T


 
x 2 y 2 z 2 k  t
onde = k/(cp) é a difusividade térmica.
  T    T    T 
  k
k
  k
  q  0
x  x  y  y  z  z 
Se for regime estacionário, unidimensional e sem ‘geração’ de
calor:
  T 
k
0
x  x 
indicando que, nestas condições, o fluxo de calor é constante na
direção da transferência.
A equação da difusão de calor:
Em coordenadas cilíndricas, fica:
1 T  T  1   T    T 
T
 k
   k
 kr
 2
  q  c p
r r  r  r     z  z 
t