+ ...+ P(A

BIOMETRIA
Profa. Dra. Mõnica Trindade Abreu de Gusmão
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES EM PROBABILIDADE
☺ Condicionada por um gene recessivo autossomal (a)
Se manifesta na infância
Problemas no sistema nervoso central (retardamento mental)
Profa. Mônica Gusmão
Profa. Mônica Gusmão
EVENTO
Qualquer acontecimento em
interesse no cálculo da sua probabilidade
que
Por exemplo:
O 3º filho do casal ser normal
O filho do casal ser homozigoto
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Por exemplo:
P (filho normal ser homozigoto AA) = 1
3
há
PROBABILIDADE DE DOIS OU MAIS EVENTOS
P(A1 e A2 e ... e An) = P(A1) . P(A2)IA1) . ...P(AnIA1 e ... e An-1)
Em que:
P(A2)IA1) = probabilidade de o evento A2 ocorrer, dado que o evento A1 tenha ocorrido
P(II-2 e II-3 terem um filho doente) ??????
= P(II-2 ser Aa) . P(II-3 ser Aa I II-2 é Aa. P(filho ser aa I II-2 e II-3 são Aa
=2x1x1 =1
3
4 6
Profa. Mônica Gusmão
Se os eventos A1, A2, ..., An, anteriormente definidos, são independentes, então:
P(A1 e A2 e ... e An) = P(A1) . P(A2) . ...P(An)
Por exemplo:
Se o 1º filho dos indivíduos II-2 e II-3 é fenilcetonúrico e eles pretendem
ter mais 3 filhos, qual a probabilidade de todos serem normais ?
P(II-2 e II-3 terem 3 filhos normais) = P(2º ser A_) x P(3º ser A_I 2º é A_) x
P(4º ser A_I o 2º e o 3º são A_)
Como os pais são heterozigotos, a probabilidade de ocorrer filho normal é
de ¾ a cada nascimento. Portanto, os fenótipos do 2º, 3º e 4º filho são
eventos independentes. Logo:
P(II-2 e II-3 terem 3 filhos normais) = P(2º ser A_) x P(3º ser A_) x P(4º ser A_)
= 3 x 3 x 3 = 27
4 4 4 64
Profa. Mônica Gusmão
EVENTOS DISJUNTOS OU MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente ou em sequência.
Por exemplo:
Ser normal e ser fenilcetonúrico e, também, ser
homozigoto e ser heterozigoto são eventos disjuntos.
P(ser normal e fenilcetonúrico) = P(ser normal) x P(ser fenilcetonúrico I é normal)
= P(ser normal) x 0 = 0
= P(ser fenilcetonúrico) x P(ser normal I é fenilcetonúrico)
= P(ser fenilcetonúrico) x 0 = 0
Profa. Mônica Gusmão
PROBABILIDADE DE UM EVENTO SATISFEITO POR VÁRIOS OUTROS
Sejam A1, A2, ..., An, os eventos que satisfazem o evento A, então:
P(A) = P(A1 ou A2 ou ... ou An) = P(A1) + P(A2) + ...+ P(An) - P(A1 e A2 e ... e An)
Se pelo menos dois dos eventos que satisfazem A são disjuntos, resulta que:
P(A) = P(A1 ou A2 ou ... ou An) = P(A1) + P(A2) + ...+ P(An)
Por exemplo:
P(II-2 e II-3 terem 3 filhos normais) =
P(II-2 ser AA) e ocorrerem 3 filhos normais) + P(II-2 ser Aa e ocorrerem 3 filhos
normais) =
P(II-2 ser AA) x P(ocorrerem 3 filhos normais I II-2 é AA e II-3 é Aa) + P(II-2 ser Aa)
x P(ocorrerem 3 filhos normais I II-2 e II-3 são Aa)
= 1 x (1)3 + 2 x 3 3 = 118
3
3
4
192
Profa. Mônica Gusmão
LEIS DE PROBABILIDADE
Profa. Mônica Gusmão
1) Lei do Produto das Probabilidades
A probabilidade de ocorrência simultânea de 2 ou mais eventos
independentes é igual ao produto das probabilidades de suas
ocorrências em separado.
Ex.: Na determinação do sexo em bovinos:
Qual a probabilidade de que qualquer descendente seja fêmea ou macho ?
Qual a probabilidade de que uma vaca tenha 2 descendentes, ambos do sexo
feminino ?
2) Lei da Soma das Probabilidades
Profa. Mônica Gusmão
Quando 2 eventos são mutuamente exclusivos, a
probabilidade de que eles ocorram é fornecida pela soma
das probabilidades de que cada um deles ocorra em
separado.
Ex.: ¼ (fêmea-macho) + ¼ (macho-fêmea) = 1/2
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Ex1.: Casal de heterozigotos, portadores do gene que determina fenilcetonúria
P(4 A_ e 0 aa) = ?????
= P(1º ser A_) x P(2º ser A_) x P(3º ser A_) x P(4º ser A_)
Quadro 1. Eventos possíveis
Normais
4
3
2
1
0
Doentes
0
1
2
3
4
= ¾ x ¾ x ¾ x ¾ = 1 x ( ¾ ) 4 x ( ¼ ) 0 = 81/256
Profa. Mônica Gusmão
P(3 A_ e 1 aa) = ?????
Quadro 2. Possíveis ordens de nascimento que satisfazem 3 normais e um doente
1º filho
2º filho
3º filho
4º filho
Evento
Normal
Normal
Normal
Doente
A1
Normal
Normal
Doente
Normal
A2
Normal
Doente
Normal
Normal
A3
Doente
Normal
Normal
Normal
A4
P(3 A_ e 1 aa) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4)
= 4 x ¾ x ¾ x ¾ x ¼ = 4 x ( ¾ ) 3 x ( ¼ ) 1 = 108/256
Profa. Mônica Gusmão
P(2 A_ e 2 aa) = ?????
Profa. Mônica Gusmão
Quadro 3. Possíveis ordens de nascimento que satisfazem 2 normais e 2 doentes
1º filho
2º filho
3º filho
4º filho
Evento
Normal
Normal
Doente
Doente
A1
Normal
Doente
Normal
Doente
A2
Normal
Doente
Doente
Normal
A3
Doente
Normal
Normal
Doente
A4
Doente
Normal
Doente
Normal
A5
Doente
Doente
Normal
Normal
A6
P(2 A_ e 2 aa) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + P(A5) + P(A6)
= 6 x ¾ x ¾ x ¼ x ¼ = 6 x ( ¾ ) 2 x ( ¼ ) 2 = 54/256
Usando o mesmo raciocínio:
P(1 A_ e 3 aa) = 4 x ¾ x ¼ x ¼ x ¼ = 4 x ( ¾ ) 1 x ( ¼ ) 3 = 12/256
P(0 A_ e 4 aa) = ¼ x ¼ x ¼ x ¼ = 1 x ( ¾ ) 0 x ( ¼ ) 4 = 1/256
PROBABILIDADE DOS 5 EVENTOS:
( ¾ + ¼ )4 = 1
O nº de filhos normais em famílias de 4 descendentes, cujos pais são
heterozigotos, é uma variável aleatória com distribuição binomial, com
média e variância, respectivamente iguais a:
81 X 4 + 108 x 3 + 54 x 2 + 12 x 1 + 1 x 0 = 3
256
256
256
256
256
81 X (4)2 + 108 x (3)2 + 54 x (2)2 + 12 x (1)2 + 1 x (0)2 – (3)2 = 0,75
256
256
256
256
256
Ou ainda, a proporção de filhos normais em famílias de 4 descendentes,
cujos pais são heterozigotos, é uma variável aleatória com distribuição
binomial, com média e variância, respectivamente iguais a:
81 x 1 + 108 x 3 + 54 x 1 + 12 x 1 + 1 x 0 = 3
256
256 4 256 2 256 4 256
4
81 x (1)2 + 108 x 3 2+ 54 x 1 2 + 12 x 1
256
256 4
256 2 256 4
2
+ 1 x (0)2 – (0,75)2 = 0,046875
256
Profa. Mônica Gusmão
Ex2 de Distribuição Binominal
Em um rebanho com 100 vacas, considere que cada vaca pode ter 6
descendentes em sua vida.
Qual a probabilidade de que cada vaca tenha pelo menos 4 descendentes do
sexo feminino???
Qual a probabilidade de que pelo menos 1 descendente de cada vaca seja do
sexo masculino ???
Caso com 2 descendentes:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
A probabilidade de ocorrência do evento macho e fêmea:
a=p
b=q
P=q=½
1) Probabilidade de ter 2 fêmeas (a)2 ou 2 machos (b)2 ? ½ x ½ = ¼
2) Probabilidade de ter um macho e uma fêmea ? 2ab = 2 x ½ x ½ = ½
Profa. Mônica Gusmão
Para n eventos independentes, a expansão do binômio é fornecida por:
Combinação de n eventos i a i, isto é, fazendo n-1 = w e i = x
nº descendentes ou nº total de eventos
nº de vezes que ocorre o evento a (♀)
nº de vezes que ocorre o evento b (♂)
A probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos é p e q
Profa. Mônica Gusmão
Qual a probabilidade para se ter 6 fêmeas ? ( ½ ) 6
Qual a probabilidade para se ter 5 fêmeas e 1 macho ? 6 ( ½ ) 6
Profa. Mônica Gusmão
No caso de todas serem fêmeas, pela expansão do binômio, tem-se:
p=q=½
n = 6 descendentes
Profa. Mônica Gusmão
Qual a probabilidade de que pelo menos 4 descendentes de
cada vaca sejam do sexo feminino ?
Profa. Mônica Gusmão
Ex3: Suponhamos que um criador de suínos possua um
cachaço com fenótipos favoráveis para várias
características e esteja interessado em conhecer:
a) Qual a probabilidade de ele produzir um espermatozóide
idêntico ao que lhe deu origem ????
P.S.: Desconsiderar a ocorrência de permuta genética
b) Qual a probabilidade de que o espermatozóide tenha 50%
dos cromossomos que vieram do genitor masculino ???
Nos suínos 2n = 40 cromossomos
n! pwqx = ???
w!x!
c) Qual a probabilidade de se ter pelo menos 80% dos cromossomos que
vieram do pai ???
P(16) + P(17) + P(18) + P(19) + P(20) = 0,59089%
Profa. Mônica Gusmão
DISTRIBUIÇÃO POLINOMIAL
Ex.: Nos bovinos da raça Shorthorn, a cor dos animais pode ser branca,
vermelha e vermelha e branca (ruão). Este caráter é controlado´por um gene,
sendo que o branco possui o genótipo B1B1, o vermelho B2B2 e o vermelhobranco B1B2. A fórmula para calcular a probabilidade é:
n
n!
w x y
(a + b + c) = ∑
p q r
i = 0 w! x! y!
n
w, x e y = nº de descendentes de cada um dos 3 diferentes genótipos
p, q e r = probabilidades
Vacas
B1B2
X
¼ B 1B1 ½ B1B2
p
q
Touro
B1B2
¼ B 2B2
r
Profa. Mônica Gusmão
EXERCÍCIO
1) Qual a probabilidade de que entre os 12
descendentes 3 sejam brancos, 3 vermelhobrancos e os demais vermelhos ???
n = 12 descendentes
w = 03 brancos
x = 03 vermelho brancos
y = 06 vermelhos
p=¼
q=½
r=¼
n! pwqxry = ???
w!x!y!
2) Qual a probabilidade de que ocorra 3
brancos, 6 vermelho-brancos e 3 vermelhos,
isto é, a proporção esperada ???
n = 12 descendentes
w = 03 brancos
x = 06 vermelho brancos
y = 03 vermelhos
p=¼
q=½
r=¼
n! pwqxry = ???
w!x!y!
Profa. Mônica Gusmão
3) Quando as características da cor e textura das sementes do milho
estão envolvidas , são esperados os seguintes genótipos e proporções
na geração F2:
Semente amarela e lisa
Semente amarela e enrugada
Semente branca e lisa
Semente branca e enrugada
9/16
3/16
3/16
1/16
POLINÔMIO
n
n!
w x y z
(a + b + c + d ) = ∑
p q r s
i = 0 w! x! y! z!
n
EVENTOS
Probabilidades
a) Qual a probabilidade de se tomar ao acaso 20 sementes de uma
espiga F2 de milho e de se obter 11 sementes amarelas e lisas e 3 de
cada um dos fenótipos restantes ????
n = 20 sementes
w = 11 sementes amarelas e lisas
x = y = z = 3 sementes com outros fenótipos
p=?
q=r=?
s=?
Profa. Mônica Gusmão
PROBABILIDADE DE SE OBTER UMA
DETERMINADA COMBINAÇÃO GENOTÍPICA
n = Tamanho mínimo de uma população
Numa população com n
indivíduos
haverá
a
probabilidade (1-P) de não
ocorrer pelo menos um dos
genótipos
ou
fenótipos
desejados e pode-se escrever:
Profa. Mônica Gusmão
EXERCÍCIO
1) Considerando-se o cruzamento de plantas de
milho com sementes lisas e enrugadas, qual o
tamanho mínimo da geração F2 para que se tenha
pelo menos uma semente enrugada, considerando
uma probabilidade de 99% de que esta planta
ocorra ???
p=¼
Probabilidade desejada de ocorrência de pelo
menos 1 indivíduo é P = 0,99 ou 99%
Tamanho mínimo da população = ???
Profa. Mônica Gusmão
Nº mínimo de indivíduos (n) na população segregante, para diferentes
probabilidades de ocorrência de um evento desejado (genótipo ou fenótipo).
Profa. Mônica Gusmão
TESTE DE PROPORÇÕES GENÉTICAS
F2 = 3 amarelas: 1 branca
3 lisas: 1 enrugada
H0 = 9/16 (480) = 270 amarelas lisas;
3/16 (480) = 90 amarelas enrugadas;
3/16 (480) = 90 brancas lisas;
1/16 (480) = 30 brancas enrugadas
Os testes estatísticos são empregados para estimar o valor da probabilidade
associado a um determinado desvio
Qto > o valor da probabilidade > é a chance que os desvios sejam devidos aos
fatores ao acaso
Ex1.: p=0,30
Ex2: p=0,01
Profa. Mônica Gusmão
DESVIO DEVIDO AO ACASO OU NÃO
Probabilidade > 5% = Erro amostral é a causa dos desvios observados
Desvios não significativos
Aceita-se a hipótese formulada
Probabilidade < 5% = Desvios não estão em função do erro amostral
Desvios significativos
Rejeita-se a hipótese formulada
Erro do TIPO I: Rejeitar uma hipótese de nulidade verdadeira
Erro do TIPO II: Aceitação de uma hipótese de nulidade falsa
TESTE DE SIGNIFICÂNCIA – TESTE X2
x = ∑ [(FO − FE ) / FE ]
2
2
Profa. Mônica Gusmão
Ex.:
Profa. Mônica Gusmão
Os testes de proporção 13:3 permitem inferir que a resistência é digênica
(epistasia dominante e recessiva), embora um dos testes 1:1 seja significativo.
As plantas resistentes são de genótipos A_B_, A_bb e aabb
(9/16+3/16+1/16=13/16), sendo as suscetíveis aaB_ de 3/16 (distrib independente).
Profa. Mônica Gusmão
Genes de resistência: A e b
EXERCÍCIOS
1) Desejamos testar a hipótese de que uma planta seja heterozigota. Que seja
“A” para pétalas vermelhas e “a” para brancas. Suponha que ter uma prole de
120 plantas e que descobrimos que 55 sejam vermelhas e 65, brancas. Verifique
se há necessidade de usar o teste do qui-quadrado.
Classe
O
E
(O – E)2
(O-E)2/E
Vermelha
55
60
25
25/60=0,42
Branca
65
60
25
25/60=0,42
Total = x2=0,84
Profa. Mônica Gusmão
2) Suponha que cruzamos genitores puros com os genótipos A/A-B/B e a/a-b/b e
obtivemos um diíbrido A/a-B/b, o qual submetemos a um cruzamento teste com
a/a-b/b. Um total de prole de 500 foi classificado:
Partindo desses dados, a frequência de
recombinantes é 225/500 = 45%
A hipótese é de que os dois loci se distribuem independentemente
Profa. Mônica Gusmão
3) Cruzamos 2 linhagens puras de plantas, uma com pétalas amarelas e uma com
vermelhas. A F1 é toda laranja. A F1 autofecundada dá uma F2:
Que hipóteses podemos inventar para explicar os resultados ?
0
5
1
6
Profa. Mônica Gusmão
CUIDADOS NECESSÁRIOS NA UTILIZAÇÃO DO TESTE DE x2
1) O teste somente deve ser aplicado aos dados observados do
experimento e nunca às porcentagens;
2) O teste é muito sensível ao tamanho da amostra.
Qto > o tamanho da amostra, < a probabilidade do erro TIPO II
Tamanho da amostra tendendo ao infinito a probabilidade de
erro TIPO I deve se aproximar do nível de significância estabelecido.
Se a amostra for muito pequena utiliza-se a correção de Yates:
3) O teste estatístico somente auxilia a decisão de aceitar ou rejeitar a
hipótese, fornecendo os valores de probabilidade de que os desvios
sejam devidos ao acaso.
Profa. Mônica Gusmão