Document

Resumo
• O circuito LCR ressonante
• Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch,
Passa-Tudo
• Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados em
substituição de Indutância
• Circuito de Simulação de Indutância Antoniou
• Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch,
Passa-Tudo
• Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois integradores ligados
em malha
• Principio de Funcionamento
• Implementação (Kerwin-Huelsmann-Newcomb biquad)
• Um circuito alternativo (Tow-Thomas biquad)
– p. 1/3
O circuito LCR ressonante
Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através do
calculo da impedância do paralelo (aplicando uma excitação que não altera a
resposta do circuito). Quanto à resposta natural ou transitória do circuito uma
fonte de corrente independente ideal é equivalente a um circuito aberto só
alterando as condições iniciais.
s/C
s/C
Vo
1
1
=
=
=
=
I
Y
(1/sL)+sC+1/R
s2 +s(1/CR)+1/(LC)
s2 +s(w /Q)+w2
0
Temos que
w0 = √1LC
0
Q = w0CR
– p. 2/3
O circuito LCR ressonante
Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através da
função transferência do circuito (c) (transformada de Laplace da resposta
transitória do circuito) ou injectando a tensão em qualquer ponto do circuito x,
y e z.
Num exercício típico será dado w0 e Q para o projecto do filtro.
Como existem três variáveis a determinar (resistência, indutância e
capacidade) arbitra-se uma das variáveis de forma a que as outras duas sejam
realizáveis.
– p. 3/3
Realização de zeros da função
transferência
Depois de escolher os componentes
para realizar o par de pólos pretendidos
é necessário saber onde injectar a tensão
de entrada de sinal Vi de forma a obter
a função de transferência pretendida
(Passa-Baixo, Passa-Alto, etc).
(s)
Z2 (s)
T (s) = VVoi (s)
= Z (s)+Z
1
2 (s)
Os zeros da função transferência são
os valores de s em que Z2 (s) é zero (e
Z1 (s) não é simultaneamente zero) e os valores em Z1 (s) é infinito (e Z2 (s)
não é simultaneamente infinito). Se há um valor de s para o qual Z1 e Z2 são
zero então Vo /Vi é finito e não é obtido nenhum zero para essa frequência. Se
há um valor de s em que Z1 e Z2 são infinito então Vo /Vi é finito e não é obtido
nenhum zero para essa frequência.
– p. 4/3
Realização da função Passa-Baixo
O nó x é desligado da massa e é-lhe
aplicado o sinal de entrada. Os zeros
deste circuito são os valores em que:
1) a impedância em série
fica infinita (sL fica infinito em s = ∞)
2) a impedância formada pelo paralelo
de R com C fica zero (1/ [sC + (1/R)]
torna-se zero para s = ∞)
Então este circuito tem dois zeros em s = ∞ como um circuito passa baixo
deverá ter.
(s)
Z2 (s)
Y1 (s)
1/(LC)
T (s) = VVoi (s)
= Z (s)+Z
=
=
(s)
Y (s)+Y (s)
s2 +s(1/(CR))+(1/(LC))
1
2
1
2
– p. 5/3
Realização da função Passa-Alto
O nó y é desligado da massa
e é-lhe aplicado o sinal de entrada.
O condensador em série
introduz um zero em s = 0 e o paralelo
L com R introduz outro zero em s = 0
como um circuito passa alto deverá ter.
a2 s 2
Vo
T (s) = Vi = s2 +s(w /Q)+w2
0
0
O valor de a2 pode ser determinado
do circuito observando o valor
do ganho quando s → ∞. A impedância
do condensador aproxima-se
um curto-circuito e Vo aproxima-se
de Vi resultando em a2 = 1.
– p. 6/3
Realização da função Passa-Banda
O nó z é desligado
da massa e aplicado o sinal de entrada.
É obtido
um zero em s = 0 devido à bobine
L e outro em infinito devido a C.
Na frequência central w0 o circuito
LC tem impedância infinita (Vo = Vi ).
(1/(CR))s
T (s) = VVoi = s2 +s(1/(CR))+(1/(LC))
– p. 7/3
Realização da função notch
Este circuito
é obtido desligando os nós x e y da
massa e aplicando o sinal de entrada.
A impedância do circuito LC
√
torna-se infinita para w = w0 = 1/ LC
e causa um zero a essa frequência.
T (s) =
Vo
Vi
=
s2 +w20
s2 +s(w0 /Q)+w20
– p. 8/3
Realização da função notch
Para obter
um filtro notch no qual a frequência
wn (do zero) é colocada arbitrariamente
relativamente a w0 usa-se o esquema
da figura (decompõe-se L e C em
dois). L1 e C1 são escolhidos tais que
L1C1 = 1/w2n
Então o circuito tanque L1C1 introduz um par de zeros em ± jwn desde que o
circuito tanque L2C2 não seja ressonante em wn .
Os valores de L2 e C2 devem ser escolhidas de forma a que os pólos não se
alterem
C1 +C2 = C
L1 k L2 = L
ou seja quando Vi é substituído por um curto-circuito, o circuito reduz-se ao
circuito LCR ressonante.
– p. 9/3
Realização da função notch
Este circuito corresponde
a um filtro notch passa-baixo, logo:
wn > w0
e por isso
L1C1 < (L1 k L2 ) (C1 +C2 )
Esta condição
é satisfeita com L2 eliminado (L1 = L).
A função transferência será:
T (s) =
Vo
Vi
s2 +w2n
= a2 s2 +s(w /Q)+w2
0
0
com w2n = 1/ (LC1 ),
w20 = 1/L (C1 +C2 ), w0 /Q = 1/ (CR)
Para s → ∞ o circuito reduz-se
a um divisor capacitivo no qual
C1
Vo
=
a
=
2
Vi
C1 +C2
– p. 10/3
Realização da função notch
Este circuito corresponde
a um filtro notch passa-alto. Neste caso
wn < w0
e por isso
L1C1 > (L1 k L2 ) (C1 +C2 )
Esta condição
é satisfeita com C2 = 0 (C1 = C).
A função transferência será
T (s) =
Vo
Vi
=
s2 +(1/(L1C))
s2 +s(1/(CR))+[1/((L1 kL2 )C)]
– p. 11/3
Realização da função Passa-Tudo
A função de transferência Passa-Tudo é
T (s) =
s2 −s(w0 /Q)+w20
s2 +s(w0 /Q)+w20
Pode ser escrita como
2s(w0 /Q)
T (s) = 1 − s2 +s(w
/Q)+w2
0
0
O segundo termo
é uma função Passa-Banda com um
ganho de dois na frequência central.
Dividindo a função de transferência
por dois
s(w0 /Q)
T (s) = 0.5 − s2 +s(w
/Q)+w2
0
0
Este circuito pode ser implementado como está representado na figura. Este
circuito tem a desvantagem de não ter um terminal comum de massa entre a
entrada e a saída.
– p. 12/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Circuito de Simulação
de Indutância Antoniou
Este
circuito é muito tolerante
a propriedades não
ideais dos amplificadores
operacionais como o seu
ganho e largura de banda
finitos. Ver os passos
da figura que começam
em (1) e acabam em (18).
– p. 13/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Circuito de Simulação
de Indutância Antoniou
Verificar que a tensão de
entrada é igual à tensão em
R5 pois os amplificadores
operacionais tem ganhos
infinitos (e são curto
circuitos virtuais à entrada). Considera-se que as correntes nas entradas dos
amplificadores operacionais são nulas.
Zin = VI11 = sC4 RR12R3 R5
Que é uma indutância L dada por
L = C4 RR1 R2 3 R5
Usualmente escolhe-se R1 = R2 = R3 = R5 = R e C4 = C que dá L = CR2 . Os
valores de R e C são escolhidos de forma a termos os valores de L pretendidos.
– p. 14/3
O circuito RC ressonante baseado em Amplificadores Operacionais
O circuito é um circuito ressonante de segunda ordem com um pólo em
p
√
w0 = 1/ LC6 = 1/ C4C6 R1 R3 R5 /R2
E o factor de qualidade
q é dado por
Q = w0C6 R6 = R6 CC64 R1 RR23 R5
Usualmente é escolhido C4 = C6 = C e R1 = R2 = R3 = R5 = R que resulta
w0 = 1/CR e Q = R6 /R.
Escolhe-se primeiro um valor conveniente para C, calcula-se R a partir de w0 .
Depois determina-se R6 para se obter um determinado factor de qualidade.
– p. 15/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Nota: Nos próximos acetatos apresentam-se os vários circuitos de segunda
ordem apresentados anteriormente com a bobina substituída pelo circuito de
Antoniou.
Filtro Passa-Baixo
– p. 16/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Filtro Passa-Alto
– p. 17/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Filtro Passa-Banda
– p. 18/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Filtro notch em w0
– p. 19/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Filtro notch Passa-Baixo wn > w0
– p. 20/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Filtro notch Passa-Alto wn < w0
– p. 21/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
Filtro Passa-Tudo
O circuito Passa-Tudo
tem uma função
transferência do tipo
Passa-Tudo=1-(PassaBanda com o ganho da
frequência central de 2)
Circuitos
relacionados desta
forma são designados por
complementares. Um circuito passa-tudo com ganho unitário é o
complementar dum circuito passa banda com um ganho central de 2.
Implementa-se o circuito passa banda do acetato 18 com K = 2 e obtém-se o
circuito final desligando os pontos de massa e ligando-os à fonte de tensão Vi .
Os pontos que estavam ligados a Vi serão ligados à massa.
– p. 22/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
– p. 23/3
Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância
– p. 24/3
Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois
integradores ligados em malha
Considere que a função
de transferência Passa-Alto
de segunda ordem é dada
pela equação abaixo. Fazendo a
multiplicação cruzada e dividindo por s2 , obtém-se:
2
w0
Vhp
Ks2
1 w0
=
V
+
⇔
V
+
V
= KVi (1)
hp
Vi
Q s hp
s2 hp
s2 +s(w /Q)+w2
0
0
Nesta equação verifica-se que o sinal (w0 /s)Vhp pode ser obtido passando Vhp
por um integrador com uma constante de tempo 1/w0 . Passando o sinal ainda
2
2
por outro integrador idêntico resulta num terceiro sinal w0 /s Vhp . A figura
(a) mostra esse arranjo.
– p. 25/3
Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois
integradores ligados em malha
É possível arranjar a equação (1) do acetato anterior da seguinte forma:
w20
1 w0
Q s Vhp − s2 Vhp
Vhp = KVi −
(1)
que sugere que Vhp pode ser obtida utilizando o somador da figura (b).
Pode-se combinar o circuito (a) do acetato anterior com o circuito (b) para
obter o circuito (c).
O sinal à saída do primeiro integrador é uma função passa-banda
(− ws0 )Vhp
Kw0 s
=
−
Tbp (s) =
(2)
Vi
s2 +s(w /Q)+w2
0
0
À frequência central o ganho é igual a −KQ.
– p. 26/3
Filtros Activos de 2a Ordem - Topologia de dois
integradores ligados em malha
O sinal à saída do segundo integrador é uma função passa-baixo:
w2 Tl p (s) =
0
s2
Vi
Vhp
=
Kw20
s2 +s(w0 /Q)+w20
(1)
O ganho DC é K.
Este circuito pode implementar ao mesmo tempo os filtros Passa-Alto,
Passa-Banda e Passa-Baixo. Por causa desta versatilidade o circuito é
chamado de Filtro Activo Universal.
– p. 27/3
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Implementação
Este circuito é conhecido como Kerwin-Huelsmann-Newcomb biquad ou
KHN biquad
2
Rf
w
Rf
Rf
w0
R3
R2
Vhp = R2 +R3 1 + R1 Vi + R2 +R3 1 + R1 − s Vhp − R1 − s20 Vhp
Comparando esta equação com a equação (1) do acetato 26
CR = 1/w0
R f /R1 = 1
R3 /R2 = 2Q − 1
O ganho K do amplificador é dado por
K = 2 − (1/Q)
– p. 28/3
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Filtro notch e Passa Tudo
O KHN biquad pode ser usado
para implementar Filtros notch
e Passa-Tudo somando versões
pesadas das saídas Passa-Baixo,
Passa-Banda e Passa-Alto.
Vo =
RF
RF
RF
RF
RF
RF
− RH Vhp + RB Vbp + RL Vl p = −Vi RH Thp + RB Tbp + RL Tl p
Substituindo as funções (1) e (2) do acetato 26 e (1) do acetato 27 dá uma
função de transferência
Vo
Vi
(RF /RH )s2 −s(RF /RB )w0 +(RF /RL )w20
= −K
s2 +s(w0 /Q)+w20
Pode-se ver que diversos zeros de transmissão podem ser obtidos desde que se
escolha as resistências de soma apropriados.
Para o Filtro notch selecciona-se RB = ∞ e
2
RH
wn
=
RL
w0
– p. 29/3
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Um circuito alternativo
É possivel substituir
o somador da entrada
por um inversor e
assim utilizar apenas
AMPOPs apenas com
uma entrada activa.
Assim os coeficientes
do somador passam
a ter o mesmo sinal
e é possível dispensar
o somador de entrada
e fazer a soma no
primeiro integrador.
Com esta alteração a função Passa-alto deixa de estar disponível.
O circuito é conhecido como Tow-Thomas biquad
– p. 30/3
Topologia de dois integradores ligados em
malha - Um circuito alternativo Em vez de usar
quatro amplificadores
operacionais
para implementar os
filtros (com KHN biquad
pois no caso deste,
Tow-Thomas biquad,
não está disponível
o Passa-Alto) é possível
utilizar a implementação
Tow-Thomas
biquad com o
sinal de entrada fornecido
a todos os amplificadores
operacionais. Pode-se obter todas as funções pretendidas. Para isso é
necessário obedecer à tabela tendo em
conta que a função de transferência
obtida é:
Vo
Vi
s2
=−
C1
C
+s C1 R1 − RRr + 2 1
C RR2
1
3
1 + 1
s2 +s QCR
2 2
C R
– p. 31/3