Aula 15 - Problemas de Otimização - 1 slide por folha

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Problemas de Otimização
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Problemas de Otimização
1.Resolução de problemas de otimização
2.Exemplos
1. Resolução de problemas de
otimização
Uma das aplicações mais comuns do Cálculo é
a determinação de valores ótimos (máximos ou
mínimos). Antes de delinear um método geral para
resolver problemas de otimização, apresentamos
um exemplo.
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1. Resolução de problemas de
otimização
Exemplo 1: Determinação do Volume Máximo
Um industrial deseja construir uma caixa
aberta de base quadrada e área de superfície de
108 polegadas quadradas, conforme a figura a
seguir. Que dimensões darão uma caixa com volume
máximo?
4
1. Resolução de problemas de
otimização
5
1. Resolução de problemas de
otimização
Solução:
Como a base da caixa é quadrada, o volume é
V = x 2h
Equação fundamental
Esta
equação
é
chamada
equação
fundamental porque dá a fórmula da grandeza a
ser otimizada.
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1. Resolução de problemas de
otimização
A área da superfície da caixa é:
S = (área da base) + (área dos quatro lados)
108 = x 2 + 4 xh
Equação secundária
Como devemos otimizar V, é conveniente
expressar V como função de uma única variável.
Para isto, resolvamos a equação secundária em
relação a h em termos de x, obtendo
108 − x 2
h=
4x
7
1. Resolução de problemas de
otimização
Substituindo
teremos:
na
equação
fundamental,
2


−
108
x
1 3
2
2
V =x h=x 
 = 27 x − x
4
 4x 
Função de uma única variável
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1. Resolução de problemas de
otimização
Antes de achar que valor de x dá um valor
máximo para V, devemos determinar o domínio
viável da função, isto é, que valores de x têm
sentido no problema. Como x deve ser não-negativo
e a área da base (A = x2) é, no máximo, 108,
podemos concluir que o domínio viável é
0 < x < 108
Domínio viável
Aplicando as técnicas descritas anteriormente, podemos determinar que esta função tem
um máximo absoluto quando x = 6 polegadas e h = 3
polegadas.
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1. Resolução de problemas de
otimização
Ao estudar o Exemplo 1, é importante
compreender a questão básica formulada. Alguns
estudantes têm dificuldades com problemas de
otimização porque se apressam em resolvê-los
utilizando uma fórmula padronizada. Por exemplo,
no Exemplo 1, devemos ter em mente que há
infinitas caixas abertas com 108 polegadas
quadradas de área de superfície.
10
1. Resolução de problemas de
otimização
Devemos começar a resolver o problema
perguntando que forma básica parece dar o volume
máximo. A caixa deve ser alta, cúbica ou achatada?
Podemos mesmo tentar calcular alguns volumes,
conforme a figura a seguir, para ver se intuímos
quais devem ser as dimensões ótimas.
11
1. Resolução de problemas de
otimização
3
x
V = 27 x −
4
(6, 108)
120
100
Volume
80
60
40
20
0
0
2
4
6
x
8
10
12
12
1. Resolução de problemas de
otimização
Lembre-se de que você só estará em
condições de começar a resolver um problema de
otimização quando o tiver identificado claramente.
Uma vez entendido o que se pede, pode-se então
começar a cogitar de um método para resolver o
problema.
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1. Resolução de problemas de
otimização
Há várias etapas na resolução do Exemplo 1.
A primeira consiste em esboçar um diagrama e
atribuir símbolos a todas as grandezas conhecidas
e a todas as grandezas desconhecidas. A segunda
etapa é escrever uma equação fundamental para a
grandeza a ser otimizada. Estabelece-se então uma
segunda equação, que usamos para reescrever a
equação fundamental como função de uma única
variável. Finalmente, aplica-se o cálculo para
determinar o valor ótimo. Essas etapas acham-se
esquematizadas a seguir.
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1. Resolução de problemas de
otimização
Diretrizes
Otimização
para
Resolver
Problemas
de
1. Atribuir símbolos a todas as grandezas dadas e
a todas as grandezas a serem determinadas.
Quando cabível, fazer um diagrama.
2. Estabelecer uma equação fundamental para a
grandeza a ser maximizada ou minimizada.
3. Reduzir a equação fundamental a uma equação
com uma única variável independente; isto pode
envolver a utilização de uma equação secundária
que relacione as variáveis independentes da
equação fundamental.
4. Determinar o domínio viável da equação
fundamental, isto é, determinar os valores para
os quais o problema tem sentido.
5. Aplicar o cálculo para o achar o valor máximo ou15
mínimo desejado.
1. Resolução de problemas de
otimização
Nota: Ao aplicar a Etapa 5, recorde que, para
determinar o máximo ou o mínimo de uma função
contínua f em um intervalo fechado, devemos
comparar os valores de f em seus pontos críticos
com os valores de f nas extremidades do intervalo.
O maior desses valores é o máximo procurado, e o
menor deles é o mínimo.
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2. Exemplos
Exemplo 2: O produto de dois números positivos é
288. Minimize a soma do segundo número com o
dobro do primeiro.
Solução
1. Sejam x o primeiro número, y o segundo e S a
soma a ser minimizada.
2. Como desejamos
fundamental é
S = 2x + y
minimizar
S,
a
equação
Equação fundamental
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2. Exemplos
3. Como o produto dos dois números é 288, temos
a seguinte equação secundária:
xy = 288
Equação secundária
288
y=
x
Com este resultado, podemos escrever a
equação fundamental como função de uma variável.
288
S = 2x +
x
Função de uma variável
18
2. Exemplos
4. Como os números são não-negativos, o domínio
viável é
x >0
Domínio viável
5. Para achar o máximo de S,
determinando seus pontos críticos.
dS
288
=2− 2
dx
x
288
0=2− 2
x
x 2 = 144
x = ±12
comecemos
Achar a derivada de S
Igualar a derivada a 0
Simplificar
Pontos críticos
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2. Exemplos
Escolhendo o valor positivo de x, podemos
concluir, pelo Teste da Derivada Primeira, que S é
decrescente no intervalo (0, 12) e crescente no
intervalo (12, ∞), conforme mostra a tabela
seguinte. Portanto, x = 12 dá um mínimo e os dois
números são
288
x = 12 e y =
= 24
x
20
2. Exemplos
Intervalo
0 < x < 12
12 < x < ∞
Valor de Teste
x = 11
x = 13
Sinal de dS/dx
dS/dx < 0
dS/dx > 0
S é decrescente
S é crescente
Conclusão
21
2. Exemplos
120
288
S = 2x +
x
100
Soma
80
(12, 48)
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
x
14
16
18
20
22
24
22
2. Exemplos
Exemplo 3: Ache os pontos do gráfico de y = 4 – x2
que estão mais próximos de (0, 2).
Solução
1. A figura a seguir indica que há dois pontos à
distância mínima do ponto (0, 2).
2. Pede-se minimizar a distância d. Assim, com a
Fórmula da Distância, obtemos uma equação
fundamental.
d = ( x − 0)2 + ( y − 2)2
Equação fundamental
23
2. Exemplos
24
2. Exemplos
3. Recorrendo à equação secundária y = 4 – x2,
podemos escrever a equação fundamental como
função de uma única variável.
d = x 2 + (4 − x 2 − 2)2
= x 4 − 3x 2 + 4
Substituir y por 4 - x 2
Simplificar
Como d é mínima quando a expressão sob o
radical o é, simplificamos o problema achando o
valor mínimo de
f ( x ) = x 4 − 3x 2 + 4
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2. Exemplos
4. O domínio de f é toda a reta real.
5. Para achar o mínimo de f(x), determinemos
primeiro os pontos críticos de f.
f ' ( x ) = 4x3 − 6x
Achar a derivada de f
0 = 4x3 − 6x
Igualar a derivada a 0
0 = 2 x(2 x 2 − 3)
Fatorar
3
3
x = 0,
,−
2
2
Pontos críticos
26
2. Exemplos
Pelo Teste da Derivada Primeira, podemos
concluir que x = 0 dá um máximo relativo, enquanto
que 3 2 e − 3 2 dão mínimo. Logo, no gráfico de
y = 4 – x2, os pontos que estão mais próximos do
ponto (0, 2) são:
 3 5
, 


2
2


e
 3 5
 − , 
 2 2
27
2. Exemplos
d = x 4 − 3x 2 + 4
3,0
2,5
Distância
2,0
1,5
 3 7 1,0
 − ,

 2 4 0,5
 3 7
,


 2 4
0,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
x
1,0
2,0
3,0
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2. Exemplos
Exemplo 4: Uma página retangular deve conter 24
polegadas quadradas de impressão. As margens
superior e inferior têm cada uma 1 ½ polegada de
largura. As duas margens laterais têm cada uma 1
polegada. Quais devem ser as dimensões da página
para que seja utilizada a quantidade mínima de
papel?
Solução
1. A figura a seguir exibe um diagrama da página.
29
2. Exemplos
30
2. Exemplos
2. Chamando A a área a ser minimizada, a equação
fundamental é
A = ( x + 3) ⋅ ( y + 2)
Equação fundamental
3. A área impressa, interior às margens, é dada por
24 = xy
Equação secundária
Resolvendo esta equação em relação a y, vem
24
y=
x
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2. Exemplos
Levando este valor na equação fundamental,
obtemos:
 24

+ 2
A = ( x + 3) ⋅ 
 x

 24 + 2 x 
= ( x + 3) ⋅ 

x


 2 x 2 + 30 x + 72 
=

x


72
= 30 + 2 x +
x
Equação fundamental
Simplificar
32
2. Exemplos
4. Como x deve ser positivo, o domínio viável é
x > 0.
5. Para achar o área mínima, começamos
determinando os pontos críticos de A.
dA
72
=2− 2
dx
x
72
0=2− 2
x
x 2 = 36
x = ±6
Achar a derivada de A
Igualar a derivada a 0
Pontos críticos
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2. Exemplos
Como x = -6 não pertence ao domínio viável,
basta considerarmos o ponto crítico x = 6. Pelo
Teste da Derivada Primeira, decorre que A é
mínimo quando x = 6. Assim, as dimensões da
página devem ser
x + 3 = 6 + 3 = 9 polegadas
24
y +2=
+ 2 = 6 polegadas
6
34
2. Exemplos
100
80
( 6, 54 )
Área
60
40
72
A = 30 + 2 x +
x
20
0
0
4
8
12
x
16
20
24
35