Eletromagnetismo Antes de discutirmos as interações
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Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 1 Eletromagnetismo Antes de discutirmos as interações eletromagnéticas e o movimento de partículas carregadas como conseqüência dessas interações, vamos discutir a dependência do campo eletromagnético em relação ao tempo. Se considerarmos o campo eletromagnético como uma entidade independente do tempo temos um campo eletromagnético estático. Contudo, podemos também considerar o campo eletromagnético como dependente do tempo. Podemos esquematizar da seguinte forma: Eletromagnetismo Lei da Eletricidade Lei do de Gauss Magnetismo de Gauss Lei de Ampère Campos Eletromagnéticos Estáticos ou independentes do tempo: carga elétrica em repouso ou com velocidade constante em campos elétricos ou magnéticos estacionários Lei de AmpèreMaxwell Lei de Faraday Lei de AmpèreMaxwell Campos Eletromagnéticos dependentes do tempo: carga elétrica acelerada em campos elétricos ou magnéticos variáveis Para compreender melhor como essas relações se estabelecem, é preciso discutir a noção de fluxo de campo vetorial. Para compreender esse conceito, também se torna necessário compreender a noção de superfície gaussiana e de vetor de superfície. Vamos a elas: Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 2 Fluxo de um campo vetorial Considere uma superfície S colocada numa região do espaço onde existe um campo vetorial E, conforma podemos verificar na figura abaixo. Essa superfície pode ser dividida em infinitas áreas infinitesimais dA1, dA2, dA3, ... Podemos associar a cada uma delas um vetor unitário u1, u2, u3, ... perpendicular a cada uma das respectivas áreas infinitesimais. Cada linha do campo vetorial E forma um ângulo θi com o respectivo vetor unitário (i=1, 2, 3, ...). Sendo assim, podemos definir o fluxo Φ do campo vetorial E através da superfície como sendo: Φ = E1dA1cosθ1 + E2dA2cosθ2 + E3dA3cosθ3 + ... que na forma vetorial pode ser escrita como: Φ = E1•u1dA1 + E2•u2dA2 + E3•u3dA3 + ... Como se trata de uma soma de infinitas partes, podemos expressá-la através da integral: =∫ E cos dA=∫ E⋅u N dA S S O índice S da integral indica que ela se estende por toda a superfície, ou seja, trata-se de uma integral de superfície. O fluxo através do elemento da superfície (dA) pode ser positivo ou negativo, dependendo do ângulo θ ser menor ou maior que π/2, respectivamente. Assim, o fluxo é máximo quando θ=π/2. [?] verificar esta afirmação. Se a superfície é fechada, tal como uma esfera ou um elipsóide, um círculo é escrito sobre o símbolo de integral: =∮ E cos dA=∮ E⋅u N dA S S Foi dado o nome de fluxo para a integral acima devido à semelhança com o conceito de fluxo utilizado no escoamento de fluidos. No caso, o vetor E pode ser a representação de um certo número n de partículas do fluido com velocidade v. Contudo, é preciso esclarecer que a denominação fluxo para o campo eletromagnético não pressupõe que haja movimento dos vetores. Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 3 Fluxo do Campo Elétrico e Lei de Gauss Se considerarmos uNdA = dA e E como sendo o vetor campo elétrico, fluxo do campo elétrico pode ser expresso por: E =∮ E⋅d A= q 0 É possível demonstrar que o campo elétrico através de uma superfície esférica concêntrica com a carga é dado pela expressão: E= q ur 2 4 0 r [?] demonstrar Nessa expressão é possível notar que o campo elétrico nessa geometria varia com o inverso do quadrado da distância. Representação geométrica da lei do inverso do quadrado da distância Quanto mais distante da fonte do campo, menor será a intensidade desse campo. Na figura, vemos quatro linhas de força atravessarem uma área quadrada a 1m de distância. As mesmas quadro linhas, a 2m de distância, atravessam uma área quatro vezes maior, o que significa uma intensidade menor na proporção do inverso do quadrado da distância. Representação gráfica das interações entre cargas elétricas Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 4 Conservação da carga Normalmente um corpo é neutro por ter quantidades iguais de cargas positivas e negativas. Quando o objeto I transfere carga de um dado sinal para o objeto II, o objeto I fica carregado com carga de mesmo valor absoluto, mas de sinal contrário. Esta hipótese, formulada pela primeira vez por Benjamin Franklin, é considerada a primeira formulação da lei de conservação de carga elétrica. Quantização da carga Em diversos problemas que serão abordados neste curso, assumiremos a existência de cargas distribuídas continuamente no espaço, do mesmo modo como ocorre com a massa de um corpo. Isto pode ser considerado somente uma boa aproximação para diversos problemas macroscópicos. De fato, sabemos que todos os objetos diretamente observados na natureza possuem cargas que são múltiplos inteiros da carga do elétron onde a unidade de carga C , o coulomb, será definida mais adiante. Este fato experimental foi observado pela primeira vez por Millikan em 1909. A Lei de Coulomb Em 1785, Charles Augustin de Coulomb, utilizando uma balança de torção, chegou à conclusão de que a força entre duas cargas elétricas diminui com o inverso do quadrado da distância. A formulação precisa dessa força é dada pela expressão: Ou considerando a expressão do campo elétrico: F21=q1 E2 A figura que representa a interação elétrica entre duas cargas é: Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 5 Note que as forças F12 e F21 formam um par ação-reação, fazendo com que seja válida a 3a. Lei de Newton. A constante k aqui apresentada é equivalente a 1 , onde 4 0 0 é a permissividade elétrica do vácuo. O valor da constante elétrica de Coulomb no Sistema Internacional é: Princípio de superposição Em situações mais gerais, quanto existem mais de duas cargas no vácuo, a experiência mostra que vale o princípio de superposição, ou seja, a força sobre cada carga é a soma vetorial das suas interações com cada uma das outras cargas. Portanto, Considerando que a expressão pode ser expressa por: kq j r ji 2 rji representa o campo elétrico Ej, a força Fi Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 6 Linhas de campo É conveniente que tenhamos uma visualização qualitativa do campo elétrico. Esta visualização pode ser feita introduzindo-se as chamadas linhas de campo. Tais linhas possuem as seguintes propriedades: • As linhas são tangentes, em cada ponto, à direção do campo elétrico neste ponto. • A intensidade do campo é proporcional ao número de linhas por unidade de área de uma superfície perpendicular às linhas. Linhas de campo As linhas de campo de uma carga puntiforme positiva e de uma carga puntiforme negativa negativa apresentam a seguinte convenção: Linhas do campo de uma carga puntiforme No caso de um dipolo, as linhas de campo interagem da forma apresentada na figura a seguir: Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 7 Linhas do campo de um dipolo As linhas do Campo Elétrico e a Lei de Gauss Vamos supor agora que possamos associar às figuras anteriormente apresentadas uma superfície gaussiana, semelhante à da figura abaixo: Para melhor compreensão do problema vamos introduzir a noção de fluxo como sendo o número de linhas de campo que atravessam a superfície por unidade de área. Em sua forma mais geral, a expresão do fluxo é: Onde ∣E⋅d A∣=E dA cos , o que significa que quando o vetor E apontar para fora da superfície, o fluxo Φ será positivo, e quando apontar para dentro, negativo. Se o número de linhas que “entra” for igual ao que “sai”, o fluxo será nulo. Isso é o que ocorre com a Lei de Gauss para o Campo Magnético. Questão: utilizando a noção de fluxo e a Lei de Gauss, demonstre que, quando o número de linhas que “entra” na superfície gaussiana é igual ao número de linhas que “sai”, o fluxo é nulo Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 8 Potencial Eletrostático Sabemos que uma partícula carregada, possuindo carga q0, sob a ação de um campo N =q0 ∑ E j =q0 E eletrostático será acelerada por uma força F i=1 Em consequência, a energia cinética será aumentada ou diminuída. De onde vem a energia adquirida ou perdida pela partícula? A resposta à esta questão nos leva a introduzir o conceito de energia na descrição dos fenômenos eletromagnéticos. A variação da energia cinética de uma carga elétrica, a exemplo do que acontece com massas em campos gravitacionais, ocorre quando há realização de um trabalho. Podemos conceber o trabalho realizado ao longo de uma trajetória. Se tomarmos um ⋅ds=q elemento dessa trajetória, o trabalho será: dW = F 0 E⋅ds Conceitualmente, esse trabalho correponde à variação da energia cinética da carga q0 entre dois pontos (1 e 2). Essa variação de energia pode ser expressa por: 2 2 2 r ⋅ ds dr 1 1 ⋅ds=k K 2 – K 1=∫ q0 E q0 q∫ 2 =k q0 q ∫ 2 =−k q 0 q – r2 r1 r 1 1 1 r A figura a que se refere a expressão acima é: Da mesma forma que para o campo gravitacional, o trabalho não depende do caminho seguido pela carga, não importando que ela se desloque de 1 para 2 diretamente ou através do caminho 3-4-5-6-7-8. Supondo uma trajetória geral para a carga q0 apresentada na figura: Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 9 O trabalho pode ser expresso por: c ⋅ds W ca =∫ F a Onde são representados infinitos triângulos elementares abc que compõem a trajetória. Somando todos os trabalhos Wca ao longo da trajetória o resultado deve ser nulo. Se essa propriedade for verificada, dizemos que o trabalho se deve a forças conservativas. Uma consequência imediata do anulamento do trabalho em um circuito fechado é que o trabalho realizado entre dois pontos A e B quaisquer, não depende do caminho entre A e B. Na figura a seguir, se partirmos do ponto A percorrendo duas trajetórias distintas teremos: W ABvermelho W BAazul =0 ;W BAazul =−W ABazul W ABvermelho – W ABazul =0 ;W ABvermelho =W ABazul Portanto, o trabalho entre os ponto A e B pode ser descrito pela expressão: B W AB =k q 0 q∫ A dr 1 1 =−k q0 q − 2 rB r A r o trabalho realizado por uma força conservativa só depende da posição dos pontos inicial e final Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 10 Considerando que entre os pontos A e B existe a possibilidade de realização de trabalho, podemos afirmar que entre esses pontos existe uma energia potencial eletrostática. Essa energia é dada por: Podemos conceber também a existência de uma grandeza que expressa a energia potencial por unidade de carga elétrica: Essa grandeza V é denominada diferença de potencial eletrostático. A unidade de medida dessa grandeza, dimensionalmente compatível com o J/C, é chamada de volt (V). O potencial eletrostático em qualquer ponto no espaço é obtido quando se admite que exista um ponto P0 onde V=0. Vimos que o trabalho realizado pela força eletrostática de uma carga sobre outra carga é dado pela equação Utilizando a definição geral de diferença potencial eletrostático, teremos Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 11 Convencionando-se que o valor do potencial é zero em rA=∞, podemos falar em potencial em cada ponto produzido por uma carga puntiforme, como sendo dado por Note que este potencial não muda de valor nos pontos de superfícies esféricas de raio r. Em geral, superfícies onde o potencial tem sempre o mesmo valor são denominadas superfícies eqüipotenciais. Na figura, representamos três superfícies eqüipotenciais A, B e C. C A B Utilizando o princípio de superposição, o potencial produzido por N cargas puntiformes qi, onde i=1,2,3,...,N, é dado por onde o potencial, de cada carga, no infinito, foi posto igual à zero. Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 12 Carga elétrica em movimento: a corrente elétrica Prosseguindo a discussão sobre Campos Eletromagnéticos Estáticos ou Independentes do Tempo, vamos analisar o fenômeno do fluxo de partículas carregadas através de um condutor. Tal fluxo de partículas recebe a denominação de corrente elétrica. Anteriormente, vimos que quando uma carga elétrica está sob a influência de um campo elétrico, surge uma força de natureza elétrica que pode provocar a aceleração dessa carga. Sendo assim, para produzir uma corrente elétrica, é preciso aplicar um campo elétrico num material portador de cargas elétricas (condutor). A intensidade de uma corrente elétrica é definida como sendo a carga elétrica que atravessa uma seção transversal a esse condutor, por unidade de tempo. Sendo assim, se num tempo t, N partículas carregadas, cada uma com carga δq, atravessam uma seção do meio condutor, e considerando q0=Nδq a carga total desse fluxo de partículas, a intensidade de corrente elétrica I é dada por: I= Nδq q 0 = t t Esse valor corresponde à corrente média através do condutor. Levada ao limite, quando t → 0, teremos a corrente instantânea i: i= dq0 dt A unidade de corrente elétrica, equivalente a C s-1, é denominada ampère (A). Por convenção, adota-se o sentido da corrente como sendo o das cargas positivas, ou seja, o mesmo sentido do campo elétrico. Em condutores metálicos, onde os portadores de carga são os elétrons (carregados negativamente), pressupõe-se que a corrente flua no sentido oposto ao do campo elétrico. A energia necessária para movimentar as carga elétrica é fornecida pelo campo elétrico. Se a diferença de potencial nesse campo é ΔV=V-V0, podemos conceber que a energia por portador de carga δq é dada por δq(V-V0). A energia total recebida por esse portadores é: N δq V =q0 V Considerando que a energia fornecida por unidade de tempo é a potência necessária para manter a corrente, podemos escrever: P= q0 V =i V t Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 13 Problemas - cargas elétricas em movimento 1) Sabemos que a velocidade de um elétron durante o movimento de agitação eletrônica num condutor metálico à temperatura ambiente é da ordem de 105m/s, admitindo que a energia cinética de cada elétron é dada por (3/2)kT, onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura do condutor em kelvin. Quando ligamos um circuito elétrico, o funcionamento do aparelho a ele ligado parece imediato. Porém, será que os elétrons “andam” tão rápido através dos condutores metálicos? E porque observamos um certo aquecimento em condutores percorridos por correntes elétricas? Em que situações podemos aproveitar esse efeito? Conhecimentos necessários: a) a intensidade da corrente elétrica ao longo de um condutor é dada por i= q t ou i= dq dt se for tomada num determinado instante dt; b) a corrente é determinada pela quantidade de carga elétrica que passa através da seção reta do condutor, cuja área vale S, e que durante do tempo t percorre um comprimento l; isso determina um fluxo de cargas elétricas através dessa seção; [desenhe uma representação de condutor segundo essas características] c) a corrente elétrica é constante dentro do condutor, sendo que esse fato é explicado pela conservação da carga elétrica ( ∇⋅j=0 ); d) para que haja condução de corrente através do condutor, as cargas são submetidas a um campo , mantido ao longo do comprimento l do condutor; esse campo exerce sobre os elétrico E =e E , mas essa força não produz, em média, uma aceleração, já que eles elétrons uma força F estão continuamento colidindo com os íons do condutor (na maioria dos casos, Cu +), dispostos em forma de uma rede cristalina tridimensional; assim, parte da energia cinética dos elétrons se transfere para os íons da rede cristalina, na forma de energia vibracional, fazendo com que a velocidade desses elétrons seja constante; e) em certos casos, utilizaremos o conceito de densidade de corrente j= i S S , onde S é a área de seção reta do condutor; note que a densidade de corrente é uma grandeza vetorial, sendo que a direção considerada é a do vetor de superfície S ; assim, a corrente fica definida em termos microscópicos por i=∫ j⋅dS ; f) a velocidade de arrastamento dos portadores de carga pode ser calculada em função da densidade de corrente; considerando nSl como sendo o número de elétrons de condução por unidade Sl de volume do condutor, podemos afirmar que o tempo de percurso da carga q=nSl e é dado l ; com isso, podemos reescrever a expressão da corrente v q nSl e i j ; isolando a velocidade temos finalmente: v= . i= = = nSe ne t l /v por t= elétrica: Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 14 2) O modelo de movimento dos elétrons ao longo do condutor discutido no problema (1) nos remete a uma outra discussão: se os elétrons transferem parte da sua energia cinética para a rede de íons do condutor, isso se traduz num obstáculo à passagem da corrente elétrica, tendo inclusive como conseqüência o aumento da energia de vibração dos íons, o que se traduz macroscopicamente em aumento de temperatura. Sendo assim, verifique qual a propriedade física que está associada a esse fenômeno. Verifique também se os materiais mantêm tal característica de maneira linear ou não. 3) Utilizando sua conclusão para o problema (2), verifique por que a lâmpada incandescente é considerada menos econômica que a fluorescente, sendo que estimativas apontam que somente cerca de 8 a 10% da energia que ela retira da fonte é convertida efetivamente em luz visível. Para essa verificação é necessária a consulta ao assunto “espectro de radiação do corpo negro”, nos livros que tratam de Física Moderna. Caminho de resolução: a) Obter a resistência da lâmpada a 20ºC, medindo a temperatura ambiente e a resistência da lâmpada a essa temperatura, utilizando a expressão R=R0 R 0 T . (A expressão foi obtida a partir de = 0 0 T , onde α é o coeficiente de variação da resistividade do material por grau de temperatura. b) Calcular a resistência da lâmpada em funcionamento, utilizando a potência dissipada e a tensão nominal em que é ligada para obter a corrente elétrica que circula pelo filamento, valor este que dividindo o valor da tensão fornece o valor da resistência. c) Utilizando a expressão de variação da resistência em função da temperatura, obter o valor da temperatura final do filamento. d) Localizar no gráfico de radiância espectral (radiação do corpo negro) a curva correspondente à temperatura obtida e verificar qual a porcentagem aproximada da área sob a curva que se situa na faixa da radiação visível. Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 15 Campo magnético criado por uma corrente elétrica A partir de agora, trabalharemos com outra equação de Maxwell denominada lei de Ampère. ∮ B⋅d s =0 I 0 0 d E / dt . s Contudo, neste primeiro momento restringiremos a abordagem à parte dessa Lei que é independente do tempo: ∮ B⋅d s =0 I , s ou seja, o campo magnético que circula ao longo de uma linha s é criado pela corrente elétrica I que circula pelo condutor. Se a corrente total que circula num condutor é I = q0/t, definiremos agora uma grandeza denominada j= densidade de corrente elétrica como sendo I S , onde S é a área da seção transversal do condutor. Ou seja, a densidade de corrente elétrica expressa a intensidade da corrente que atravessa cada unidade de área S da seção transversal do condutor. Fazendo I = q0/t, temos: I q0 j= = S St .A quantidade total de carga q0 é dada pelo número n de cargas elementares δq contidas num volume SL. Então: I q0 n q S L n δq L j= = = = =n δq v S St St t . j=n δq v Como a densidade de carga j é um vetor, podemos escrever finalmente: . B cuja direção cruze a direção do fluxo da corrente elétrica, podemos definir um elemento de força campo magnético. A expressão é: devido à interação dessa carga em movimento com o Se houver um campo magnético dF dF = j× =n δq v × B B dV . A força total sobre um elemento de volume dV é: = ∫ n δq v × F B dV = ∫ j× B dV Vol Vol . Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 16 Considerando dV= S dl, temos: =∫ j× F B S dl . l j S=I u Como , então: =I ∫ u × F B dl= I l × B , l ou considerando j=n δq v temos: =∫ n δq v × F B S dl=q0 v × B , l pois ∫ n δq S dl=q0 l O produto vetorial . B v × é dimensionalmente equivalente ao campo elétrico (verificar). Para obter o módulo da força magnética, fazemos: ∣=q0 v B sen ∣F Então, podemos obter o módulo do vetor indução magnética ou campo magnético: B= F F = q0 v sen I l sen Ambas as expressões precisam do conhecimento do valor da força magnética. Porém, a partir da lei de Ampère, podemos deduzir outra expressão para o campo magnético que seja independente da força. A partir dessa lei, obtemos a lei de Biot-Savart. Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 17 Lei de Biot-Savart O campo magnético produzido por um condutor carregado pode ser obtido através da Lei de Biot Savart. Esta lei afirma que a contribuição dB para o campo produzido por um elemento de condutor i dl em um ponto P, a uma distância r do elemento de corrente, é: dB= Onde r r 0 i dl× 4 r2 é o vetor que aponta do elemento para o ponto em questão. A quantidade constante de permeabilidade, tem o valor −7 4 .10 T m/ A 0 , chamada . Integrando a expressão acima, obtemos o campo magnético total produzido pela corrente I que circula pelo condutor s: B= B= ou em módulo: ×r 0 I dl ∮ 4 L r2 0 I dl r sen ∮ r3 4 L Para uma corrente retilínea, a expressão acima se reduz a: B= ∞ 0 I 4r 0 I 2 ∫ dl sen . Considerando dl=2 r d , temos −∞ 0 I B= 2 r d sen B= sen d ∫ 2∫ 2 r 0 4r 0 B=− Ou na forma vetorial: 0 I cos −cos 0 2 r B= 0 I 2 r B= 0 I 2 r Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 18 A partir dessa expressão, concluímos que o campo magnético é inversamente proporcional à distância r, sendo suas linhas de força círculos concêntricos com a corrente e perpendiculares à mesma. Para determinar o sentido do campo magnético utilizamos a regra da mão direita, fazendo com que o polegar aponte o sentido da corrente elétrica enquanto os demais dedos indicam o sentido do campo magnético. No caso de uma corrente retilínea percorrendo um fio condutor, observamos o campo magnético, mas nenhum campo elétrico. Isso acontece porque, além dos elétrons em movimento que produzem o campo magnético, existem os íons positivos fixos do metal que não contribuem para o campo magnético porque estão em repouso em relação ao observador, mas produzem um campo elétrico igual e oposto àquele dos elétrons. Portanto, o campo elétrico total é zero. Para o caso de íons se movendo ao longo do eixo de um acelerador linear, temos um campo magnético e um elétrico. O campo elétrico em questão é correspondente a um fio carregado eletricamente, dado pela expressão = r /2 0 r E B= . A relação entre B e E 0 I 2 0 r E × 2 r r é dada por: , a qual simplificada fica: B= 0 0 I l× E Questão para discussão: utilizando argumentos geométricos, explique por que a lei do inverso do quadrado da distância não se aplica para o campo magnético gerado por um condutor retilíneo infinito percorrido por uma corrente. Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 19 Força magnética entre correntes paralelas Experimentalmente, observa-se que dois fios paralelos se atraem quando atravessados por correntes com o mesmo sentido, e se repelem quando as correntes têm sentidos contrários. Suponhamos dois condutores retilíneos e paralelos, conduzindo as correntes I1 e I2 de mesmo sentidos (figura 2). A corrente I1 gera um campo magnético B1 (linhas de força circulares), que no ponto onde se encontra o fio que conduz I2 é perpendicular a ele. A corrente I2 ficará sujeita a uma força F12, para a esquerda. Analogamente, I2 gera em I1 o campo B2, que dá origem à força F21 sobre I1, para a direita. As duas forças têm a mesma intensidade. A força por unidade de comprimento é diretamente proporcional ao produto das intensidades das correntes e inversamente proporcional à distância entre as correntes. A interação entre correntes elétricas tem importantes aplicações práticas, como em alguns tipos de motores elétricos, que funcionam a partir da interação entre uma bobina fixa e uma bobina giratória. A expressão matemática da força de uma corrente sobre a outra é: F12 =I 2∫ 2× B dl 2 Mas 2× B =−r B B= e 0 I 1 2 r F12 =I 2∫ −r B dl 2 L2 F12 =I 2∫ −r L2 0 I 1 0 I 1 I 2 dl =−r ∫ dl 2 r 2 2 r L 2 2 F12 =−r Esta expressão indica que as correntes resultado obtido para a força F21 I1 e 0 I 1 I 2 L2 2 r I2 se atraem. Como o sistema é simétrico, o é igual em módulo mas com sinal positivo. Contudo, como essa força tem a mesma direção e sentido de confirmar que: r , representa também uma atração. Assim, podemos duas correntes paralelas no mesmo sentido atraem-se com uma mesma força devido às suas interações magnéticas. Como desafio, verifique se as correntes se repelem no caso de estarem em sentidos opostos. Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 20 Campo de uma espira circular Para esse caso particular, vale a mesma expressão do elemento de campo magnético dB= dB : r 0 i dl× 4 r2 Quando o condutor L percorrido pela corrente I é uma espira circular fechada, o produto vetorial vec dl times hat r se reduz a dl. A expressão assume a forma: 0 i dl dB= 2 4 r Se decompormos o elemento de campo magnético em componentes paralela e perpendicular ao eixo da espira, a integral das componentes perpendicular ao eixo se anula. A resultante de vec B fica por conta da integral das componentes paralelas. ∮ dB z =∮ dB cos = L Se L é uma circunferência, L ∮ dl=2 a 0 I a a dB= ∮ 4 r3 ∮ dl r L L . onde a é o raio da espira. A partir daí temos: L B= 0 I a 0 I a 4r 4r dl= 3∮ L 3 2 a , o que finalmente resulta em: B= 0 I a 2 2 r3 Se quisermos saber o valor do campo magnético em qualquer ponto do eixo z, fazemos 2 2 1/2 r=a z . A expressão assume a forma: B= 0 I a 2 2 a 2z 23 /2 Sabendo como obter o campo magnético de uma espira circular percorrida por uma corrente I, é possível obter também o campo para um solenóide (conjunto de espiras coaxiais unidas). Como desafio, determine a expressão do campo magnético de um solenóide. Eletromagnetismo – discussão dos conceitos 21 Espectrômetro de Massa Com o espectrômetro de massa determina-se massas atômicas com grande precisão permitindo, inclusive, distinguir as massas dos isótopos de um mesmo elemento. E descontando-se a massa dos elétrons, determina-se, então, as massas dos núcleos correspondentes. No espectrômetro esquematizado, uma fonte produz íons com carga elétrica Ze (positiva) e massa M e velocidades variadas. Os íons entram numa região com um campo elétrico uniforme e um campo magnético também uniforme, perpendiculares entre si, constituindo um filtro de velocidade. Desprezando-se a força peso, sobre os íons atuam uma força elétrica e uma força magnética de mesma direção e sentidos contrários, com módulos dados, respectivamente, por ZeE e ZevB. Atravessam o filtro apenas os íons para os quais a força magnética e a força elétrica se cancelam mutuamente, isto é, íons com velocidade bem determinada, de módulo v tal que: ZeE=ZevB ou: v= E B Saindo do filtro, esses íons entram numa região onde existe apenas o campo magnético uniforme, de forma que percorrem trajetórias circulares de raio R sob o efeito da força magnética, que faz o papel de força centrípeta. Assim: 2 Mv =ZevB R Das duas últimas expressões vem: ZeRB M= E 2 Como se conhece a valor absoluto da carga do elétron, e, e o valor de Z, e se mede R, B e E, essa expressão permite determinar M, a massa dos íons. Problemas sobre campos elétricos e magnéticos 1.Um tubo de raios catódicos com desvio eletrostático possui um acelerador de elétrons com potencial Va= 1500 V, distância entre as placas de desvio d = 10 mm, comprimento das placas L = 10 mm e distância das placas à tela x = 300 mm. (a) Desenhe o esquema do tubo de raios catódicos, explicando cada um dos itens. (b) Encontre o potencial Vd necessário para produzir um desvio de 10 mm. 2.Um próton em repouso é acelerado durante 1µs por um campo elétrico de 2 kV/m e então move-se perpendicular a densidade de fluxo magnético B=200µT . (a) Encontre a velocidade do próton. (b) Encontre o raio de curvatura. (As constantes das principais partículas atômicas deverão ser pesquisadas). 3.Um elétron tem velocidade de 10 km/s normal ao campo magnético de densidade de fluxo igual a 0,1T. (a) Encontre o raio do elétron. (b) Calcule a freqüência do elétron. 4.Um tubo de raios catódicos com desvio magnético possui um acelerador de elétrons com V a = 1500 V. O campo magnético possui largura L = 20 mm e a distância do campo à tela é x = 300 mm. (a) Desenhe o esquema do tubo de raios catódicos, explicando cada um dos itens. (b) Encontre a magnitude da densidade de fluxo magnético necessário para desviar o elétron em 10 mm.
