Base Para as Identidades Polinomiais das Matrizes

Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Base Para as Identidades Polinomiais
das Matrizes Triangulares em Blocos
com Z2-Graduação
por
Rivaldo do Nascimento Júnior
sob orientação de
Prof. Dr. Sérgio Mota Alves
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa
de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
Campina Grande - PB
Abril/2009
Base Para as Identidades Polinomiais
das Matrizes Triangulares em Blocos
com Z2-Graduação
por
Rivaldo do Nascimento Júnior
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em
Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre
em Matemática.
Área de Concentração: Álgebra
Aprovada por:
Prof. Dr. Sérgio Mota Alves (UFCG)
Orientador
Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior (UFCG)
Prof. Dr. Vandenberg Lopes Vieira (UEPB)
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Abril/2009
ii
Abstract
In this work we present a general model for the superalgebra of upper triangular
matrices and show how to obtain the product of two
T -ideals
as the kernel of a
homomorphism between two algebras. Next, we show how to obtain the polynomial
identities for the algebra of the block-triangular matrices with
ordinary identities of the algebras of its main diagonal.
iii
Z2 -grading
from the
Resumo
Neste trabalho apresentaremos um modelo genérico para a superálgebra das
matrizes triangulares superiores e mostraremos como obter o produto de dois
como o núcleo de um homomorsmo de álgebras.
T -ideais
Em seguida, mostraremos como
obter as identidades polinomiais para a álgebra das matrizes triangulares em blocos
com
Z2 -graduação
a partir das identidades ordinárias das álgebras de sua diagonal
principal.
iv
Agradecimentos
Inicialmente, gostaria de externar minha eterna gratidão àqueles que são os
responsáveis pela minha existência.
Incentivadores primeiros, compreenderam como
ninguém o valor que a educação possui, abrindo novos horizontes a uma vida futura.
Qualquer conjunto de palavras seria incompleto para registrar aqui os meus mais
sinceros agradecimentos aos meus pais,
Rivaldo do Nascimento (Dudu) e Josefa
Rodrigues (Nicinha).
À minha esposa, pelo incentivo, pelo apoio, pela dedicação e pela compreensão
da minha ausência nesses anos todos de graduação e mestrado. A você Luciana, todo
o meu amor, carinho e gratidão por ter cado ao meu lado, nos bons e maus momentos
desta longa jornada.
Ao Saudoso Departamento de Matemática e Estatística - DME, hoje Unidade
Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME, por ter me proporcionado uma
excelente formação acadêmica.
Agradeço a cada professor que contribuiu, de uma
forma ou de outra, para a minha formação.
Em especial, ao Prof.
Luiz Mendes
de Albuquerque Neto, por orientar-me como bolsista do Instituto do Milênio em
Matemática por dois anos, pelo incentivo e pelo exemplo de prossional que é.
Aos funcionários da UAME, pelo apoio e amizade. Em especial a D. Argentina,
pelo exemplo de simpatia e pelas conversas na biblioteca do Departamento. A todos
que fazem a UAME, a minha gratidão.
A todos os meus colegas de graduação, em especial a Emerson, pelas noites de
estudo em sua residência, a Josemar e Sérgio Minzé, pela amizade inconteste, apoio e
incentivo.
Aos meus colegas de Pós-graduação, Suene, Joseane e Leomaques pela ajuda,
pelo apoio, incentivo e amizade.
A David Lobão, pelos estudos, pela amizade, pelo
exemplo de perseverança, e por ter me cedido diversas vezes a sua residência sempre
que precisei. Fiquem certos de que a realização deste trabalho, não seria possível sem
v
a ajuda e o apoio que recebi de cada um. A todos vocês, minha eterna gratidão.
Ao Prof.
Sérgio Mota Alves, meus sinceros agradecimentos pelas disciplinas
ministradas na graduação e na Pós-graduação, pela orientação deste trabalho e pelo
incentivo.
Ao Prof.
Antônio Brandão, pela leitura e correção deste trabalho, pelas
disciplinas ministradas e pelo incentivo.
Ao Prof. Vandenberg Lopes Vieira, por ter aceito compor a banca examinadora
deste trabalho, pela leitura atenta e pelas sugestões.
A todos que contribuíram, direta ou indiretamente, para a realização deste
trabalho, o meu muito obrigado!
vi
"Uma vida em que se cometem erros não é apenas mais
digna, mas muito mais útil do que aquela em que se vive
sem fazer nada."
George Bernard Shaw
vii
Dedicatória
Aos meus pais, pelo apoio incondicional
por todos esses anos.
viii
Sumário
1 Introdução
1
1.1
Apresentação
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Objetivos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Contribuições
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.5
Organização da Dissertação
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Conceitos Preliminares
3
2.1
Conceitos básicos sobre álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Álgebras com identidades polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.5
Variedades e álgebras relativamente livres . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6
Identidades polinomiais homogêneas, multilineares e próprias . . . . . .
20
2.7
Identidades graduadas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.8
A Teoria de Kemer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.9
Álgebras genéricas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3 O Teorema de Lewin
3.1
31
O Teorema de Lewin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4 Base Para as Identidades Polinomiais das Matrizes Triangulares em
Blocos com Z2 -Graduação
37
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.2
O resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3
Exemplos
43
4.4
Comentários nais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
43
Bibliograa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
44
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo, vamos expor o objeto de nosso estudo e realizaremos uma breve
discussão a seu respeito. Ponderamos os objetivos e a metodologia do nosso trabalho
e oferecemos um esquema de sua organização.
1.1 Apresentação
Em 1987, Kemer apresentou a sua densa teoria sobre a estrutura dos
T -ideais,
esse trabalho tornou-se importante não só por responder armativamente ao famoso
problema de Specht, que indagava sobre a existência de base nita para as identidades
polinomiais de álgebras associativas sobre corpos de característica zero, mas por ter
tratado das álgebras
primos na classe dos
T -primas,
T -ideais.
T -ideais
que nada mais são que álgebras cujos
são
Kemer em seu trabalho também mostrou a importância
de superálgebras na teoria das álgebras com identidades polinomiais (ordinárias) sobre
corpos com característica zero. Em particular, ele estabeleceu que para qualquer PIálgebra
R
existe uma superálgebra nitamente gerada
A0 ⊗ E0 ⊕ A1 ⊗ E1
A = A0 + A1
possuem as mesmas identidades polinomiais. Aqui,
tal que
R
e
E = E0 ⊕ E1
é a álgebra de Grassmann de um espaço vetorial de dimensão innita com sua
Z2 -
graduação natural.
O presente trabalho apresenta um estudo dos resultados obtidos nos artigos [5] e
[11] onde obtemos informações sobre as superálgebras e seus respectivos
T -ideais.
construindo o modelo genérico para tais álgebras e o outro descrevendo o
superidentidades a partir dos
T -ideais
T2 -ideal
Um
das
das álgebras que fazem parte da sua diagonal
principal.
1
1.2 Objetivos
Apresentar um modelo genérico e a base para as identidades polinomiais das
matrizes triangulares em blocos com
Z2 -graduação.
1.3 Contribuições
O presente trabalho, além de disponibilizar um texto em português referente a
esta linha de pesquisa, apresenta o que de novo se tem feito na mesma, dando um
possível direcionamento de pesquisa a tal objeto de estudo.
1.4 Metodologia
Metodologicamente, o estudo é de natureza quantitativa, sobretudo explicatória
visto a principal nalidade ter sido desenvolver conceitos, com vistas a formulação
de novos esboços para estudos posteriores.
Buscou-se através de uma pesquisa
bibliográca compreender e entender as superálgebras e suas superindentidades,
realizando um aprofundamento teórico.
A pesquisa foi desenvolvida principalmente
a partir dos artigos: Lewin em [11] e Di Vincenzo e Drensky em [5]. Deste modo, após
denida a questão motivadora e os objetivos de pesquisa foi determinado o plano de
trabalho.
1.5 Organização da Dissertação
No Capítulo 2, expomos os conceitos preliminares inerentes a este trabalho.
No Capítulo 3, apresentamos o Teorema de Lewin e sua demonstração.
Por m, o
Capítulo 4, é destinado à apresentação da base das identidades polinomiais das matrizes
triangulares em blocos
Z2 -graduadas,
bem como a um pequeno resumo do que está
sendo estudado sobre o assunto na atualidade.
2
Capítulo 2
Conceitos Preliminares
Nosso objetivo neste capítulo é relembrar denições e resultados importantes para
uma melhor compreensão do texto. Em geral, não apresentaremos demonstrações, e
em casos mais importantes, indicaremos as devidas referências bibliográcas.
2.1 Conceitos básicos sobre álgebras
Iniciamos com a denição do objeto central de nossos estudos.
Denição 2.1.1
binária
Diremos que um
∗ : A×A → A
K -espaço
vetorial
A é uma álgebra sobre K , ou simplesmente
α ∈ K e quaisquer a, b, c ∈ A, valer:
(1)
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c;
(2)
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c;
(3)
α(a ∗ b) = (αa) ∗ b = a ∗ (αb).
Para simplicar a notação, vamos escrever
Seja
A
munido de uma operação
denominada de multiplicação, tem estrutura de
(ou
Denição 2.1.2
A,
uma
K -álgebra,
ab
que
A
K -álgebra
é uma álgebra) se, para qualquer
ao invés de
a ∗ b.
diremos que:
a, b ∈ A;
(1)
A
é comutativa se
ab = ba
(2)
A
é associativa se
(ab)c = a(bc)
(3)
A é unitária se existir 1A ∈ A tal que 1A a = a1A = a para qualquer a ∈ A (vamos
escrever 1 ao invés de 1A ).
para quaisquer
para quaisquer
3
a, b, c ∈ A;
Em praticamente todo texto vamos trabalhar com álgebras associativas unitárias
tendo
corpo
de
base
innito.
Assim,
no
que
segue,
a
menos
que
seja
feita
menção explícita em contrário, o termo álgebra deverá ser entendido como uma
K -álgebra
associativa unitária.
Denição 2.1.3
K -subálgebra
de
Um
A,
K -subespaço
AB ⊆ B ,
B
de uma álgebra
se tiver estrutura de álgebra, isto é, se
a operação binária de
se
vetorial
A.
ou seja, se
denimos ideal à direita
O subespaço
B
B
A
será denominado uma
for fechado com respeito
será denominado um ideal à esquerda de
A,
ax ∈ B para quaisquer a ∈ A e x ∈ B . De modo similar,
de A. Um ideal bilateral será simplesmente denominado de
ideal.
Denição 2.1.4
aplicação
Sejam
σ:A→B
A
e
B
duas álgebras.
tal que, para todos
a, b ∈ A,
σ(a + b) = σ(a) + σ(b)
σ(1A ) = 1B .
σ : A ,→ B .
E mais,
Um mergulho de
e
A
em
B
é uma
temos
σ(ab) = σ(a)σ(b).
Denotaremos um mergulho da álgebra
A
na álgebra
B
por:
Nos próximos sete exemplos recordamos as denições de algumas álgebras e
subálgebras que serão utilizadas no decorrer do texto.
Exemplo 2.1.5
Seja
V
álgebra de Grassmann (ou
por
{1, ei | i ∈ N}
K -espaço vetorial com base enumerável {ei | i ∈ N}. A
exterior) E = E(V) é a álgebra gerada como espaço vetorial
um
satisfazendo as relações
ei ej = −ej ei
Mais ainda, se char K
= 2,
Além disso,
todos
i, j ∈ N.
impomos:
e2i = 0
Observe que
para
para
todo
i ∈ N.
D = {1, ei1 . . . eir | 1 ≤ i1 < · · · < ir ; r = 1, 2, . . . } é uma base para E .
se Vn é um subespaço de V gerado por {e1 , . . . , en } denotaremos por E(Vn )
sua correspondente álgebra de Grassmann.
Exemplo 2.1.6
Z(A) = {a ∈ A | ax = xa, ∀x ∈ A} é uma subálgebra
de A denominada o centro de A e seus elementos são ditos ser centrais. Se A = E
(álgebra de Grassmann) é fácil ver que Z(E) = E0 , onde E0 é o subespaço de E gerado
pelo conjunto D0 = {1, ei1 . . . eir | 1 ≤ i1 < · · · < ir ; r = 2, 4, . . . }.
O conjunto
4
Exemplo 2.1.7
denotado por
K -espaço
Mn (K), munido
O
n×n
vetorial das matrizes
com entradas no corpo
K,
com a multiplicação usual de matrizes, tem estrutura de
álgebra.
Exemplo 2.1.8
vetorial das matrizes
n×n
com entradas na álgebra de
Mn (E), munido com a multiplicação usual de matrizes,
tem estrutura de álgebra. Sendo a, b ∈ N com a + b = n, é fácil vericar através de
multiplicação de matrizes, que o K -subespaço de Ma+b (E)
(
!
)
A B
Ma,b (E) =
| A ∈ Ma (E0 ), B ∈ Ma×b (E1 ), C ∈ Mb×a (E1 ), D ∈ Mb (E0 ) ,
C D
Grassmann
E,
K -espaço
O
denotado por
tem estrutura de álgebra. Aqui,
E1
é o subespaço de
D1 = {ei1 . . . eir | 1 ≤ i1 < · · · < ir
Observamos que os elementos de
Exemplo 2.1.9
de
E1
E
gerado por
r = 1, 3, . . . }.
;
anticomutam entre si.
a, b ∈ N com a+b = n, é fácil vericar através de multiplicação
matrizes, que o K -subespaço de Ma+b (E)
(
!
)
A B
Aa,b =
| A ∈ Ma (E), B ∈ Ma×b (E 0 ), C ∈ Mb×a (E 0 ), D ∈ Mb (E) ,
C D
Sendo
tem estrutura de álgebra. Aqui,
Exemplo 2.1.10
0
A
Seja
álgebra com unidade.
denota a álgebra de Grassmann sem unidade.
uma álgebra sem unidade.
Com efeito, seja
vetoriais. Denimos em
quaisquer
E0
A
Podemos mergulhar
0
A = K⊕A
A
0
numa
como soma direta de espaços
a seguinte multiplicação, para quaisquer
0
a, b ∈ A
e para
α, β ∈ K ,
(α, a)(β, b) = (αβ, αb + aβ + ab).
Assim,
(1, 0)
é unidade de
0
A
obtida a partir de
Exemplo 2.1.11
e a inclusão
0
A ,→ A
é um mergulho. Diremos que
Ma Mb =
A B
0 C
Ma Mb
Denição 2.1.12
A
é
por adjunção da unidade.
Consideramos agora a subálgebra de
(
Denotaremos por
A
Ma+b (K)
denida por:
!
)
| A ∈ Ma (K); B ∈ Ma×b (K)
a subálgebra de
Ma Mb
e
C ∈ Mb (K) .
obtida considerando
B = 0.
Φ : A → B de álgebras é um
homomorsmo, se Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) para quaisquer a, b ∈ A, e além disso Φ(1A ) = 1B .
Analogamente às demais estruturas algébricas, chamaremos Φ de isomorsmo quando
Φ for um homomorsmo bijetor, mergulho quando Φ for injetor, endomorsmo quando
Φ for um homomorsmo de A em A, e automorsmo quando Φ for um endomorsmo
Uma transformação linear
bijetor.
5
2.2 Módulos
Nesta seção, apresentaremos o conceito de módulo sobre um grupo
G
qualquer,
expondo alguns resultados. Em seguida, estendemos este conceito para álgebras.
Denição 2.2.1
G um grupo, M um espaço vetorial sobre um corpo K e “ · ”
uma aplicação de G × M em M . O espaço vetorial M é chamado um G-módulo (à
esquerda) sobre K se para quaisquer g e h em G, m e n em M e α em K as seguintes
Sejam
condições são satisfeitas:
e · m = m, onde e é a identidade
(ii) (gh) · m = g · (h · m);
(iii) g · (αm) = α(g · m).
(i)
Denição 2.2.2
submódulo de
M
se
Teorema 2.2.3
M,
Seja
N
Seja
G
um grupo.
é um
N
Um subconjunto
G-módulo
G um grupo.
G;
de
Se
sob as operações
N
G-módulo M
induzidas de M .
de um
é um subconjunto não-vazio de um
é um
G-módulo
então as seguintes armações são equivalentes:
N é um submódulo de M ;
(ii) N é fechado com relação
por elementos de G.
(i)
Denição 2.2.4
à adição, à multiplicação por escalar e à multiplicação
G um grupo e M e N dois G-módulos sobre um corpo K .
Uma aplicação ϕ : M → N é um homomorsmo de G-módulos se para quaisquer m e
n em M , α em K e g em G, as seguintes condições são satisfeitas:
Sejam
ϕ(m + n) = ϕ(m) + ϕ(n),
O núcleo de
conjunto
ϕ
ϕ(αm) = αϕ(m)
é o conjunto
e escrevemos
Proposição 2.2.5
ϕ(g · m) = g · ϕ(m).
Kerϕ = {m ∈ M : ϕ(m) = 0}
ϕ(M ) = {ϕ(m) : m ∈ M }.
G-módulos
e
Se
ϕ
e a imagem de
ϕ
é o
é bijetora, dizemos que é um isomorsmo de
M∼
= N.
G é um grupo e ϕ : M → N é um homomorsmo de G-módulos,
então Kerϕ é um submódulo de M e ϕ(M ) é um submódulo de N . Além disso,
Kerϕ = 0 se, e somente se, ϕ é injetora.
Prova:
Se
As demonstrações de que
submódulo de
N
ϕ(m − n) = 0 e,
são triviais. Se
Para isso, tomemos
ϕ
é um submódulo de
Kerϕ = 0
consequentemente,
Supondo agora
ϕ(m) = ϕ(0).
Kerϕ
e
ϕ(m) = ϕ(n),
m − n = 0,
ou seja,
M
e de que
com
m = n.
m
e
n
ϕ(M )
é um
M,
então
em
Portanto,
ϕ é injetora.
injetora, temos que mostrar que o único elemento de
m ∈ kerϕ.
Donde, segue que
Daí,
ϕ(m) = 0.
m = 0.
6
Mas como
ϕ(0) = 0,
kerϕ
é
0.
concluímos que
Denição 2.2.6
A uma K -álgebra com unidade, M um espaço
vetorial sobre K e “·” uma aplicação de A×M em M . O espaço vetorial M é chamado
um A-módulo (à esquerda), se para quaisquer a e b em A, m e n em M e α em K , as
Sejam
K
um corpo,
seguintes condições são satisfeitas:
1 · m = m, onde 1 é a unidade de A;
(ii) (a · b) · m = a · (b · m);
(iii) (a + b) · m = a · m + b · m;
(iv) a · (m + n) = a · m + a · n;
(v) α(a · m) = (αa) · m = a · (αm).
(i)
De modo similar, denimos um
A-módulo
mais é do que um
um
B -módulo
M
Seja
A
B,
M
se
N
é um
A
e, ao mesmo tempo,
com a associatividade compatível.
uma álgebra com unidade.
é um submódulo de
(A, B)-bimódulo nada
Um
à esquerda com relação a álgebra
à direita, com relação a álgebra
Denição 2.2.7
módulo
B -módulo (à direita).
Um subconjunto
A-módulo
N
de um
A-
sob as operações induzidas de
M.
Teorema 2.2.8
A uma álgebra com identidade. Se N é um subconjunto nãovazio de um A-módulo M , então as seguintes armações são equivalentes:
(i) N é um submódulo de M ;
(ii) N é fechado com relação à adição, à multiplicação por escalar e à multiplicação
por elementos de A.
Seja
Denição 2.2.9
aplicação
M, α
em
Sejam
ϕ:M →N
K e a em A
A
uma
conjunto
ϕ
ϕ(αm) = αϕ(m)
e
Se
ϕ
Prova:
ϕ(a · m) = a · ϕ(m).
e a imagem de
ϕ
é o
é bijetora, dizemos que é um isomorsmo de
M∼
= N.
Se
A
é uma álgebra com identidade e
ϕ : M → N
de M e ϕ(M )
A-módulos, então Kerϕ é um submódulo
N . Além disso, Kerϕ = 0 se, e somente se, ϕ é injetora.
homomorsmo de
submódulo de
N A-módulos. Uma
para quaisquer m e n em
e
Kerϕ = {m ∈ M : ϕ(m) = 0}
ϕ(M ) = {ϕ(m) : m ∈ M }.
Proposição 2.2.10
M
as seguintes condições são satisfeitas:
é o conjunto
módulos e escrevemos
com unidade,
é um homomorsmo de módulos se
ϕ(m + n) = ϕ(m) + ϕ(n),
O núcleo de
K -álgebra
Semelhante à demonstração da Proposição 2.2.5.
7
é um
é um
2.3 Produto Tensorial
Nesta seção, apresentamos o conceito de Produto Tensorial de espaços vetoriais,
estendendo o mesmo para álgebras.
Sejam
A
e
B
espaços vetoriais sobre um corpo
é também um espaço vetorial sobre
K,
K.
O produto cartesiano
A×B
considerando a soma como
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
e a multiplicação por escalar como
λ(a, b) = (λa, λb).
Este espaço é chamado soma direta de
Denição 2.3.1
(A × B)+
{
X
Sejam
A
e
B
A
e
B.
espaços vetoriais sobre um corpo
K.
Indicamos por
o conjunto
nab (a, b); nab ∈ Z e nab 6= 0 para
um número nito de pares ordenados
(a, b)}.
(a,b)∈A×B
Observação 2.3.2
X
Se denimos a soma de dois elementos de
mab (a, b) +
(a,b)∈A×B
então
(A × B)+
X
X
nab (a, b) =
(a,b)∈A×B
(A × B)+
por
(mab + nab )(a, b),
(a,b)∈A×B
é um grupo abeliano.
Observação 2.3.3
Cada elemento
X
nab (a, b)
pode ser escrito como
(ai , bi ).
i=1
(a,b)∈A×B
Denição 2.3.4
n
X
A e B espaços vetoriais sobre um corpo K . Denimos HA×B
+
como o subgrupo de (A × B) gerado por todos os elementos dos tipos:
(i) (a1 + a2 , b1 ) − (a1 , b1 ) − (a2 , b1 );
(ii) (a1 , b1 + b2 ) − (a1 , b1 ) − (a1 , b2 );
(iii) (λa1 , b1 ) − (a1 , λb1 ).
Para quaisquer a1 e a2 em A, b1 e b2 em B e λ em K . Denimos A ⊗ B =
(A × B)+ /HA×B como o produto tensorial de A e B . Denotamos por a ⊗ b cada
elemento (a, b) + HA×B de A ⊗ B .
Sejam
Observação 2.3.5Obviamente A⊗B é um grupo abeliano. Além disso, cada elemento

n
X
X


nab (a, b) + HA×B pode ser escrito como
ai ⊗ b i .
i=1
(a,b)∈A×B
8
Denição 2.3.6
A
Sejam
B
e
espaços vetoriais sobre um corpo
ψ : A×B → G
abeliano. Dizemos que a aplicação
A, b1 e b2 em B e λ em K as seguintes
(i) ψ(a1 + a2 , b1 ) = ψ(a1 , b1 ) + ψ(a2 , b1 );
(ii) ψ(a1 , b1 + b2 ) = ψ(a1 , b1 ) + ψ(a1 , b2 );
(iii) ψ(λa1 , b1 ) = ψ(a1 , λb1 ).
em
Proposição 2.3.7
A
Sejam
e
B
ψ
A aplicação
(A × B)+ → G
0
ψ : A ⊗ B → G,
ψ
Vamos provar que
0
a
B.
e
b
em
Claramente,
Lema 2.3.8
G
um grupo abeliano.
Se
existe um único homomorsmo de
para quaisquer
a
em
A
0
X
nab (a, b) =
e
b
em
B.
ψ :
ψ(nab (a, b)).
(a,b)∈A×B
HA×B
dada por
está contido no núcleo de
ψ.
Consideremos a
0
ψ (x + HA×B ) = ψ(x).
está bem denida. Se
x + HA×B = y + HA×B , então x − y ∈
0
ψ
A
a2
0
ψ(x−y) = 0 implica ψ(x) = ψ(y), ou seja, ψ (x+HA×B ) = ψ (y +HA×B ).
É fácil ver que
em
e

X
Observemos que o subgrupo
todo
a1
denindo
(a,b)∈A×B
Logo,
um grupo
pode ser estendida a um homomorsmo de grupos
ψ
HA×B .
G
é bilinear se para quaisquer
espaços vetoriais e

aplicação
e
condições são satisfeitas:
ψ : A × B → G é uma aplicação bilinear, então
0
0
grupos ψ : A ⊗ B → G tal que ψ (a ⊗ b) = ψ(a, b)
Prova:
K
ψ
Sejam
0
é um homomorsmo de grupos e que
0
ψ (a ⊗ b) = ψ(a, b),
para
é única.
0
A, B , A
e
B
0
espaços vetoriais. Se
0
ψ1 : A → A
e
ψ2 : B → B
0
são transformações lineares, então existe um único homomorsmo de grupos, denotado
por
em
0
ψ1 ⊗ ψ2 : A ⊗ B → A ⊗ B
A e b em B .
Prova:
ψ
Vamos denir
0
, tal que
0
(ψ1 ⊗ ψ2 )(a ⊗ b) = ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b),
ψ : A×B → A ⊗B
0
por
ψ(a, b) = ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b).
para todo
Obviamente,
é bilinear. Logo, pela Proposição 2.3.7, existe um homomorsmo de grupos de
em
0
A ⊗B
0
a
A⊗B
possuindo a propriedade estabelecida. Claramente, este homomorsmo é
único.
Teorema 2.3.9
Se
A
espaço vetorial sobre
e
B
K,
são espaços vetoriais sobre um corpo
K,
então A ⊗ B é um
n
X
com multiplicação por escalar denida por
(ai ⊗ bi ) =
λ
i=1
n
X
((λai ) ⊗ bi ).
i=1
9
Prova:
Dado
λ
K,
em
ψλ : A → A por ψλ (a) = λa. Como !
ψλ
n
n
X
X
λ
(ai ⊗ bi ) = (ψλ ⊗ idB )
(ai ⊗ bi ) .
denimos
transformação linear, denimos
i=1
n
n
X
X
λ
(ai ⊗ bi ) =
((λai ) ⊗ bi ).
ψ2 : B → B
0
Sejam
0
a
em
Prova:
ψ
0
ψ1 ⊗ ψ2 : A ⊗ B → A ⊗ B
A e b em B .
Vamos denir
B
0
é um espaço vetorial sobre
espaços vetoriais.
Se
K.
0
ψ1 : A → A
e
0
0
, tal que
ψ : A×B → A ⊗B
0
por
(ψ1 ⊗ ψ2 )(a ⊗ b) = ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b)
ψ(a, b) = ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b).
para
Obviamente,
é bilinear. Logo, pela Proposição 2.3.7, existe um único homomorsmo de grupos
0
0
ψ : A⊗B → A ⊗B
b
e
A⊗B
está bem denida, temos que o
são transformações lineares, então existe uma única transformação linear,
denotada por
todo
ψλ ⊗ idB
Como
A, B , A
Logo,
i=1
i=1
i=1
produto por escalar está bem denido e
Teorema 2.3.10
é uma
em
B.
0
tal que
0
ψ (a ⊗ b) = ψ(a, b) = ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b),
para todo
a
em
A
e
Além Disso,
n
n
n
n
X
X
X
X
0
0
ψ (λ
(ai ⊗ bi )) = ψ ( ((λai ) ⊗ bi )) =
ψ ((λai ) ⊗ bi ) =
ψ1 (λai ) ⊗ ψ2 (bi ) =
0
i=1
i=1
i=1
i=1
n
n
n
X
X
X
0
(λψ1 (ai )) ⊗ ψ2 (bi ) =
(λ(ψ1 (ai ) ⊗ ψ2 (bi ))) =
(λψ (ai ⊗ bi )) =
i=1
λ
n
X
i=1
i=1
n
X
ψ (ai ⊗ bi ) = λψ (
ai ⊗ bi ).
0
0
i=1
Portanto,
ψ
0
i=1
é uma transformação linear.
transformação linear desejada. Claramente,
Teorema 2.3.11
Se
A
e
B
ψ1 ⊗ ψ2
ψ1 ⊗ ψ2 = ψ
0
,
temos a
é única.
K , então:
b1 , . . . , bm são
são espaços vetoriais sobre um corpo
a1 , . . . , am são vetores linearmente independentes de A e
m
X
B tais que
ai ⊗ bi = 0, então bi = 0 para todo i ∈ {1, . . . , m};
(i) Se
de
Denindo
vetores
i=1
a1 , . . . , am são vetores de A e b1 , . . . , bm são vetores linearmente
m
X
B tais que
ai ⊗ bi = 0, então ai = 0 para todo i ∈ {1, . . . , m};
(ii) Se
de
independentes
i=1
{e1 , . . . , en } é uma base de A e {f1 , . . . , fn } é uma base de B , então {ei ⊗fj ; 1 ≤
m
n
X
X
i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n} é uma base de A ⊗ B . Além disso, se a =
αi ei e b =
βj f j ,
(iii) Se
i=1
então
a⊗b=
m X
n
X
αi βj (ei ⊗ fj ).
i=1 j=1
10
j=1
Prova:
Para provar a parte
independentes de
(i),
em função da base
ψk (a, b) = αk b,
onde
{a1 , . . . , am } ∪ A.
αk
Como
ai ⊗ b i = 0 ,
i=1
para todo
i ∈ {1, . . . , m}.
temos que
é o coeciente de
Claramente,
ψk
ψk : A × B → B
a
quando escrevemos
a
Seja
ak ,
é bilinear. Logo, pela Proposição
0
0
ψk : A × B → B tal que ψk (a ⊗ b) = ψk (a, b).
m
X
0
0
b k = ψk (
ai ⊗ bi ) = ψk (0) = 0. Portanto, bi = 0
2.3.7, existe um homomorsmo de grupos
m
X
i=1
Analogamente provamos a parte
Para provar a parte
(iii),
é uma base de A ⊗
m X
n
X
1≤j≤n
um conjunto de vetores linearmente
A tais que {a1 , . . . , am } ∪ A é uma base de A.
aplicação dada por
j ≤ n}
A
consideremos
(
tais que
B.
(ii).
B = {ei ⊗ fj : 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤
vamos mostrar que
Suponhamos, que existam coecientes
γij (ei ⊗ fj )) = 0.
γij , 1 ≤ i ≤ m
e
Logo,
i=1 j=1
m X
n
X
γij (ei ⊗ fj ) =
i=1 j=1
m X
n
X
(ei ⊗ γij fj ) =
i=1 j=1
i,
temos que
1 ≤ j ≤ n.
Portanto,
Portanto, para cada
m
X
n
X
ei ⊗ (
γij fj ).
i=1
n
X
γij fj = 0,
j=1
de onde concluímos que
γij = 0
j=1
para
1≤i≤m
e
Vamos provar que
B
gera
B
A ⊗ B.
é linearmente independente.
m
X
Sejam
αi ei ∈ A
a=
e
b=
n
X
i=1
βj f j ∈ B .
j=1
Logo,
a⊗b=
m
X
αi e i ⊗
i=1
n
X
j=1
βj fj =
m
X
(αi ei ⊗
i=1
n
m X
X
n
X
βj f j ) =
m X
n
X
j=1
(αi ei ⊗ βj fj ) =
i=1 j=1
αi βj (ei ⊗ fj ).
i=1 j=1
Assim, é fácil ver que qualquer elemento
p
X
ai ⊗ b i
i=1
como uma combinação linear de elementos de B. Portanto,
de
de
A⊗B
pode ser escrito
B gera A ⊗ B
e é uma base
A ⊗ B.
Sejam
cartesiano
A
e
B
A × B
álgebras associativas com unidade sobre um corpo
K.
O produto
é também uma álgebra associativa com identidade sobre
considerando a soma como
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ),
a multiplicação como
11
K,
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 , b1 b2 )
e a multiplicação por escalar como
λ(a, b) = (λa, λb).
Teorema 2.3.12
Se
A
B
e
são álgebras associativas com identidade sobre um corpo
induzida
A ⊗ B é uma álgebra associativa com
por (a1 ⊗ b1 )(a2 ⊗ b2 ) = (a1 a2 ⊗ b1 b2 ).
Prova:
Fixando
K,
então
quaisquer
a1
em
a2
A
e
e
b2 ,
b1
denimos
em
ψ1 ⊗ ψ2 : A ⊗ B → A ⊗ B
B.
em
(a, b)
A⊗B
em
Como
homomorsmo de grupos
em
A
e
b
em
B.
ψx
a2
A
em
e
b2
em
e
ψ2
B,
ψx : A ⊗ B → A ⊗ B
É fácil ver agora que
e
com multiplicação
ψ2 (b1 ) = b1 b2
para
são transformações lineares. Logo
a2 ⊗ b 2 .
revertemos o procedimento, xando
por
ψx (a, b) = x(a ⊗ b)
para qualquer
é bilinear, pela Proposição 2.3.7, temos que existe um
0
A aplicação
Teorema 2.3.13
ψ1
Claramente,
ψ1 (a1 ) = a1 a2
por
ψx : A × B → A ⊗ B
e denindo
A × B.
ψ2
e
dene multiplicação à direita por
Fazendo isto para todo
x
ψ1
K,
identidade sobre
0
ψx
tal que
0
ψx (a ⊗ b) = ψ(a, b)
para todo
corresponde à multiplicação à esquerda por
A⊗B
a
x.
é uma álgebra associativa com identidade.
0
0
A, B , A e B álgebras associativas com identidade. Se
0
0
ψ1 : A → A e ψ2 : B → B são homomorsmos de álgebras, então existe um único
0
0
homomorsmo de álgebras ψ1 ⊗ ψ2 : A ⊗ B → A ⊗ B tal que (ψ1 ⊗ ψ2 )(a ⊗ b) =
ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b) para quaisquer a em A e b em B .
Prova:
ψ
Sejam
Vamos denir
é bilinear.
0
ψ : A×B → A ⊗B
0
0
em
A
e
b
em
por
ψ(a, b) = ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b).
Obviamente,
Logo, pela Proposição 2.3.7, existe uma única transformação linear
ψ : A⊗B → A ⊗B
a
0
0
tal que
0
ψ (a ⊗ b) = ψ(a, b) = ψ1 (a) ⊗ ψ2 (b)
para quaisquer
B.
Além disso,
0
ψ ((a1 ⊗ b1 )(a2 ⊗ b2 )) = (ψ1 ⊗ ψ2 )((a1 ⊗ b1 )(a2 ⊗ b2 )) = (ψ1 ⊗ ψ2 )(a1 a2 ⊗ b1 b2 ) =
ψ1 (a1 a2 )⊗ψ2 (b1 b2 ) = ψ1 (a1 )ψ1 (a2 )⊗ψ2 (b1 )ψ2 (b2 ) = (ψ1 (a1 )⊗ψ1 (a2 ))(ψ2 (b1 )⊗ψ2 (b2 )) =
0
0
(ψ1 ⊗ ψ2 (a1 ⊗ b1 ))(ψ1 ⊗ ψ2 (a2 ⊗ b2 )) = ψ (a1 ⊗ b1 )ψ (a2 ⊗ b2 ).
Assim, é fácil ver que
ψ
0
é um homomorsmo de álgebras. Denindo
temos o homomorsmo desejado. Claramente,
12
ψ1 ⊗ ψ2
é único.
ψ1 ⊗ ψ2 = ψ
0
,
2.4 Álgebras com identidades polinomiais
Nesta seção, introduziremos as álgebras com identidades polinomiais, uma classe
muito importante de álgebras.
Pois, além de surgirem como uma generalização das
álgebras nilpotentes, comutativas e as de dimensão nita, elas mantém várias das boas
propriedades destas classes.
Denição 2.4.1
KhXi
X = {x1 , x2 , . . . , } de variáveis não
associativa livre, isto é, KhXi tem como base
Para o conjunto
denotará a álgebra
comutativas,
os elementos
da forma
x i 1 . . . xi n
;
xi j ∈ X
;
n = 0, 1, 2, . . .
e a multiplicação denida por
(xi1 . . . xik )(xj1 . . . xjl ) = xi1 . . . xik xj1 . . . xjl
onde
KhXi são denominados de polinômios.
0
subespaço KhXi ⊂ KhXi gerado pelos elementos
xit , xjs ∈ X.
Os elementos de
O
xi1 . . . xin
;
xi j ∈ X
;
da forma
n = 1, 2, . . .
é uma subálgebra denominada de álgebra associativa livre sem unidade.
Observe que a álgebra
KhXi
denida acima é, noutras palavras, a álgebra dos
polinômios não comutativos.
Denição 2.4.2
f (x1 , . . . , xn ) ∈ KhXi (ou a expressão f (x1 , . . . , xn ) =
0) é denominado uma identidade polinomial da álgebra A, se f (a1 , . . . , an ) = 0 para
quaisquer a1 , . . . , an ∈ A. Uma álgebra com identidade polinomial (PI-álgebra) é uma
Um polinômio
álgebra que satisfaz uma identidade polinomial não trivial.
Seguem alguns exemplos importantes de álgebras com identidades polinomiais,
ou seja, de PI-álgebras.
Exemplo 2.4.3
comutador
Toda álgebra comutativa
f (x1 , x2 ) = [x1 , x2 ] = x1 x2 − x2 x1
Exemplo 2.4.4
A álgebra de Grassmann
E mostra
para E .
usando os elementos da base de
é uma identidade polinomial
Exemplo 2.4.5
corpo innito
para
A
K
E
é uma identidade polinomial para
A.
é uma PI-álgebra, pois um cálculo direto
que o polinômio
f (x1 , x2 , x3 ) = [[x1 , x2 ], x3 ]
E 0 a álgebra de Grassmann sem unidade sobre um
p
char K = p 6= 0. Então, f (x) = x é uma identidade polinomial
(Regev, [6]) Seja
com
é uma PI-álgebra, pois o polinômio
0
E.
13
Exemplo 2.4.6
A álgebra
M2 (K)
satisfaz a identidade
f (x1 , x2 , x3 ) = [[x1 , x2 ]2 , x3 ]
conhecida como a identidade de Hall. A vericação é simples, basta observarmos dois
fatos:
(1) Se
a, b ∈ M2 (K),
a ∈ M2 (K)
M2 (K).
(2) Se
Exemplo 2.4.7
e
então
tr([a, b]) = 0;
tr(a) = 0,
então
a2 = λI2
onde
I2
é a matriz identidade de
(Teorema de Amitsur-Levitzki, [6]) A álgebra
polinômio standard de grau
Mn (K)
satisfaz o
2n
s2n (x1 , . . . , x2n ) =
X
(−1)σ xσ(1) . . . xσ(2n)
σ∈S2n
onde
σ.
S2n
{1, 2, . . . , 2n} e (−1)σ é o sinal da permutação
k
sob a forma, sm , para todo k , quando m < 2n.
é o grupo das permutações de
Ademais, não satisfaz identidades
Exemplo 2.4.8
Uma
Exemplo 2.4.9
Uma
K -álgebra A é dita ser uma Nil-álgebra se para cada a ∈ A
n
existe um número natural n tal que a = 0. O menor inteiro n com tal propriedade
é denominado índice de nilpotência do elemento a. Uma álgebra A é uma Nil-álgebra
n
de índice n se a = 0 para todo a ∈ A. Toda Nil-álgebra de índice limitado n é uma
n
PI-álgebra, pois satisfaz o polinômio f (x) = x .
K -álgebra A é dita ser nilpotente se existe um natural xo n tal
que o produto de quaisquer n elementos de A é igual a zero. O menor natural n com tal
propriedade é denominado o índice de nilpotência da álgebra A, e A é denominada uma
álgebra nilpotente de classe n − 1. Toda álgebra associativa nilpotente de classe n − 1
é uma PI-álgebra, pois ela satisfaz o polinômio f (x1 , . . . , xn ) = x1 . . . xn . (Observamos
que neste exemplo e no anterior, as álgebras consideradas não possuem unidade.)
Aqui mencionamos brevemente que o clássico Teorema de Nagata, Higman,
Dubnov e Ivanov, arma que em característica 0, toda Nil-álgebra de índice limitado,
é nilpotente. Para ver mais detalhes Capítulo 8 de [6].
Teorema 2.4.10
(Regev,[14]) O produto tensorial
A = A1 ⊗ A2
de duas PI-álgebras é
uma PI-álgebra.
Após vários exemplos de PI-álgebras, surge uma pergunta inevitável: Existem
álgebras que não são PI-álgebras? A resposta é sim. A álgebra
KhXi, por exemplo, não
satisfaz nenhuma identidade polinomial não nula. Isto pode ser compreendido por um
argumento simples. Suponhamos, por absurdo, que
14
f (x1 , . . . , xn )
seja uma identidade
polinomial não nula de
i = 1, . . . , n,
KhXi.
Assim,
o que é um absurdo, pois
f (f1 (x1 ), . . . , fn (xn )) = 0
onde
fi (xi ) = xi
para
f (x1 , . . . , xn ) 6= 0.
O próximo teorema mostra que toda álgebra de dimensão nita é também uma
PI-álgebra.
Teorema 2.4.11
Seja
A
uma álgebra de dimensão nita, digamos
n.
Então, ela
n + 1, isto é, o polinômio
X
sn+1 (x1 , . . . , xn+1 ) =
(−1)σ xσ(1) . . . xσ(n+1) .
satisfaz o polinômio standard de grau
σ∈Sn+1
Prova:
Da denição de polinômio standard é imediato que ele é igual a zero, se dois
de seus argumentos forem iguais. Por multilinearidade, é suciente vericarmos numa
{e1 , . . . , en }.
base de
A,
digamos
dois dos
eij
são iguais. Daí,
Denição 2.4.12
sn+1
Um ideal
I
Observe que
de uma álgebra
Como
de
I
é dito ser um T-ideal, se
isto é, se
Φ(I) ⊆ I
for
para todo
Φ : A → A.
Teorema 2.4.13
Prova:
Φ
A
A,
é tal que ao menos
A.
é identidade polinomial para
invariante sob todos os endomorsmos
endomorsmo
sn+1 (ei1 , . . . , ein+1 )
Sejam
O ideal
T (A)
das identidades da álgebra
f (x1 , . . . , xn ) ∈ T (A)
e
obtemos que,
Observação 2.4.14
A
Se
é um T-ideal de
Φ : KhXi → KhXi
Φ(f (x1 , . . . , xn )) = f (Φ(x1 ), . . . , Φ(xn ))
a1 , . . . , an ∈ A,
A
e
é uma álgebra e
I
um endomorsmo.
f (a1 , . . . , an ) = 0
Φ(f (x1 , . . . , xn )) ∈ T (A).
Portanto,
é um ideal de
A,
KhXi.
para quaisquer
Φ(T (A)) ⊆ T (A).
então o quociente
A/I
tem estrutura de álgebra.
Teorema 2.4.15
Prova:
Sejam
Se
I
é um T-ideal de
f (x1 , . . . , xn ) ∈ I
e
KhXi,
então,
f1 , . . . , fn ∈ KhXi.
I = T (KhXi/I).
Como
f (f1 , . . . , fn ) ∈ I ,
temos
que
f (f1 + I, . . . , fn + I) = f (f1 , . . . , fn ) + I = I.
Logo,
I ⊆ T (KhXi/I).
obtemos
Por outro lado, supondo-se que
I = f (x1 + I, . . . , xn + I) = f (x1 , . . . , xn ) + I .
T (KhXi/I) ⊆ I .
Portanto temos a igualdade.
15
f (x1 , . . . , xn ) ∈ T (KhXi/I),
Donde,
f (x1 , . . . , xn ) ∈ I .
Logo
Denição 2.4.16
Seja
B
um conjunto gerador de
T (A) para uma álgebra A.
Diremos
B é uma base de identidades de A. Se B não contém propriamente nenhuma base
de A, B será denominada uma base minimal de T (A). Se S é um subconjunto de
KhXi, o T-ideal gerado por S é denotado por hSiT . Noutras palavras, hSiT é o ideal
de KhXi gerado pelos polinômios
que
{f (g1 , . . . , gn ) | f (x1 , . . . , xn ) ∈ S; gi ∈ KhXi},
ou ainda,
hSiT = {h1 f (g1 , . . . , gn )h2 ; f (x1 , . . . , xn ) ∈ S, gi , h1 , h2 ∈ KhXi,
para
i = 1, . . . , n}.
f ∈ KhXi pertence a hSiT dizemos que f segue de S , ou que f
conseqüência de S . Dois subconjuntos de KhXi são equivalentes se eles geram
Se um polinômio
é
uma
o
mesmo T-ideal.
Um dos principais problemas da teoria de identidades polinomiais é encontrar,
para uma dada álgebra, bases para suas identidades polinomiais.
Seguem alguns
exemplos de bases de identidades polinomiais.
Exemplo 2.4.17
(veja, [6]) A álgebra
M2 (K)
quando
K
é um corpo de característica
zero, tem por base minimal
s4 (x1 , x2 , x3 , x4 )
Exemplo 2.4.18
e
h(x1 , x2 , x3 ) = [[x1 , x2 ]2 , x3 ].
Regev e Krakowski,
em [6],
mostraram que sobre corpos com
característica zero todas as identidades da álgebra de Grassmann seguem da identidade
polinomial
[[x1 , x2 ], x3 ] = 0.
Este último resultado generaliza-se facilmente para o caso
de corpos innitos com característica positiva e diferente de dois (quando
char(K) = 2,
a álgebra é comutativa, logo não muito interessante do ponto de vista da PI teoria.
Neste caso, um raciocínio simples mostra que qualquer identidade polinomial que não
seja conseqüência da comutatividade, implica na nilpotência da álgebra). Ressaltamos
ainda que a álgebra de Grassmann
E
de um espaço vetorial
V
de dimensão innita é
um exemplo de uma PI-álgebra que não satisfaz nenhuma identidade standard, quando
o corpo base é de característica zero. Quando, char K
identidade standard de grau
p + 1.
= p > 2,
a álgebra
E
satisfaz a
Um teorema devido a Kemer, veja [10], arma que
neste último caso, toda PI-álgebra satisfaz alguma identidade standard.
Em 1950, Specht [16] formulou o seguinte problema para álgebras associativas
sobre corpos de característica zero:
identidades polinomiais?
Toda álgebra possui uma base nita para suas
Esta pergunta, que cou conhecida como o problema de
16
Specht, passou a ser uma das questões centrais da teoria de identidades polinomiais
e foi nalmente respondida de modo positivo por Kemer em 1987 (veja, [9]).
Por
volta de 1973, Krause e Lvov, separadamente, provaram que este problema tem
resposta positiva para álgebras nitas.
A resposta para o problema de Specht é
negativa no caso de álgebras sobre corpos innitos e de característica positiva.
Não
vamos entrar em detalhes sobre o avanço na resolução do problema de Specht, pois
o assunto merece atenção especial, envolvendo métodos e técnicas sosticadas, e não
está diretamente relacionado com o conteúdo da presente dissertação. Mais adiante,
faremos uma exposição resumida sobre alguns pontos da teoria desenvolvida por Kemer,
com a nalidade de justicar o nosso interesse no estudo das identidades em álgebras
matriciais e de Grassmann.
2.5 Variedades e álgebras relativamente livres
Nesta
seção,
apresentaremos
as
variedades
(de
álgebras
associativas)
que
classicam as PI-álgebras de acordo com as identidades que estas satisfazem. Dentro
das variedades, encontram-se seus elementos mais importantes, as álgebras livres.
Através destes conceitos, desenvolve-se o estudo das álgebras e suas identidades
polinomiais.
Denição 2.5.1
F e para cada álgebra A e cada
ϕ : F → A estendendo h. Neste
Denição 2.5.2
Seja
denida pelo conjunto
de
I;
O conjunto
F é livre se existe X ⊆ F tal que X gera
aplicação h : X → A existe um único homomorsmo
caso, dizemos que F é livremente gerada por X .
Dizemos que uma álgebra
I
I um subconjunto de KhXi. A variedade de
I é a classe de todas as álgebras que satisfazem
álgebras
var(I)
cada identidade
é o conjunto de identidades que denem a variedade
var(I).
A
variedade trivial é a classe de álgebras que contém apenas a álgebra nula (noutras
palavras, é a variedade denida pelo conjunto
Observação 2.5.3
É fácil vericar que o conjunto
qualquer homomorsmo da álgebra livre
Denição 2.5.4
Se
KhXi).
V
KhXi
KhXi
está contido no núcleo de
numa álgebra da variedade
var(I).
é uma classe de álgebras, o conjunto
T (V) = {f ∈ KhXi | f ∈ T (A)
é um ideal de
I
para cada
A ∈ V}
chamado ideal das identidades que denem a variedade
17
V.
O próximo teorema mostra que toda variedade tem uma álgebra livre.
Teorema 2.5.5
KhXi/T (V)
(2) A álgebra
Sejam
Π
à
X
é injetora;
KhXi/T (V)
x1
x2
e
é livre na variedade
V
com conjunto gerador livre
dois elementos distintos de
A
Consideramos uma álgebra não nula
existe homomorsmo
Ψ : KhXi → A
contido no núcleo de
Ψ,
Φ ◦ Π = Ψ.
Π : KhXi →
uma variedade não trivial de álgebras e
a projeção canônica. Então,
(1) A restrição de
Prova:
V
Sejam
de
V
tal que
X
Π(x1 ) = Π(x2 ).
tais que
e um elemento não nulo
Ψ(x1 ) = a
e
Ψ(x2 ) = 0.
a
de
A.
Como
Φ : KhXi/T (V) → A
existe um homomorsmo
Π(X).
Então,
T (V)
está
para o qual
Mas,
a = Ψ(x1 ) = Φ ◦ Π(x1 ) = Φ ◦ Π(x2 ) = Ψ(x2 ) = 0
o que é uma contradição. Portanto
A álgebra
KhXi/T (V)
KhXi
e
Π(X).
T (V).
para o qual
A∈V
Sejam
Φ : KhXi → A.
Ψ ◦ Π = Φ,
pois
restrito a
X
Π(X)
é injetora.
V
e pertence a
desde que
Vamos mostrar que esta álgebra é livre em
é álgebra livre com conjunto gerador
a um homomorsmo
Π
é gerada pelo conjunto
satisfaça todas identidades de
conjunto gerador livre
x1 = x2
e
σ
X,
uma aplicação de
a aplicação
Se
x ∈ X,
em
σ◦Π : X → A
Existe um homomorsmo
T (V) ⊆ Ker(Φ).
Π(X)
A.
V , com
Como
estende-se
Ψ : KhXi/T (V) → A
temos que
Ψ(Π(x)) = Ψ ◦ Π(x) = Φ(x) = σ ◦ Π(x) = σ(Π(x))
ou seja, o homomorsmo
procurado.
Portanto,
conjunto gerador livre
Ψ
estende a aplicação
KhXi/T (V)
σ.
Logo,
Ψ
é o homomorsmo
é uma álgebra livre na variedade
V,
tendo como
Π(X).
Uma variedade de álgebras é claramente fechada sob as operações de tomar
subálgebras, imagem homomórca e produto cartesiano. Uma variedade
é gerada por uma classe
de
U
U
de álgebras se toda álgebra de
V
V
de álgebras
pode ser obtida das álgebras
por uma seqüência nita de aplicações das operações citadas acima. Denotamos
este fato por
uma álgebra
V = var(U),
A.
ou por
V = var(A)
quando a classe
U
contém apenas
O clássico Teorema de Birkho (veja, [6]) demonstra que uma classe
18
não vazia de álgebras é variedade se, e somente se, ela é fechada com respeito às três
operações acima descritas.
No próximo Teorema, listamos algumas das propriedades básicas das variedades
(omitimos a prova, pois a mesma é bastante direta). É importante frisar que ele só é
válido devido ao conjunto
Teorema 2.5.6
Sejam
X
U1
e
ser innito.
U2
duas classes de álgebras e
V
uma variedade de álgebras.
Então,
(1)
T (U1 ) = ∩A∈U1 T (A) = T (var(U1 ));
(2)
U1 ⊆ U2 ⇒ T (U2 ) ⊆ T (U1 );
(3)
U1 ⊆ V ⇔ T (V) ⊆ T (U1 );
(4) Se
F
é uma álgebra livre em
Corolário 2.5.7
Se
A
V,
então
T (V) = T (F ).
é uma álgebra, então
T (var(A)) = T (A).
Vários resultados e denições apresentados nesta seção podem ser generalizados
para
álgebras
não
necessariamente
associativas
(álgebras
de
Lie,
Alternativas, entre outras), sobre anéis comutativos com identidade.
de
Jordan,
Porém, como
as álgebras tratadas neste texto são principalmente a álgebra de matrizes e a álgebra
de Grassmann, nós restringimos as denições às álgebras associativas sobre corpos.
Denição 2.5.8
álgebra relativamente livre de
Y ).
UY (V) ∈ V é chamada uma
livre na classe V (livremente gerada por
posto de UY (V).
Y,
UY (V) é
Para um conjunto xo
A cardinalidade de
Y
V,
se
é chamada o
a álgebra
A proposição a seguir caracteriza as álgebras relativamente livre em qualquer
variedade.
Proposição 2.5.9
qualquer e
J
V a variedade
KhY i gerado por
Sejam
o ideal de
denida por
{fi | i ∈ I}, Y
um conjunto
{fi (g1 , . . . , gni ) | gi ∈ KhY i; i ∈ I}.
U = KhXi/J é a álgebra relativamente livre em V
Y = {y + J | y ∈ Y }. Duas álgebras relativamente
Então, a álgebra
com conjunto de
geradores livre
livres de mesmo
posto em
V
são isomorfas.
Prova:
19
(1) Vamos mostrar que
e sejam
U ∈ V.
g1, . . . , gn ∈ F
Seja
onde
g j = gj +J
fi (g 1 , . . . , g n ) = 0.
Logo,
U.
polinomial para
Daí,
fi (x1 , . . . , xn ) uma das identidades que denem V
com
gj ∈ KhY i.
Isto mostra que
Ψ : Y → A
Θ(y) = Ψ(y)
e estendemos
Θ
F.
Sejam
A
Denimos a função
uma álgebra de
Θ : Y → A
Isto é sempre possível, porque
Para provar que
Ψ
mostrarmos que
J ⊆ Ker(Θ).
KhY i
f ∈ J,
ui fi (g i1 , . . . , g in )vi
Θ)
é álgebra associativa livre.
pode ser estendido a um homomorsmo
Seja
V
pondo
a um homomorsmo (também denotado por
Θ : KhY i → A.
X
é identidade
U ∈ V.
uma função arbitrária.
f=
fi (g1 , . . . , gn ) ∈ J .
fi (x1 , . . . , xn ) = 0
(2) Agora vamos provar a propriedade universal de
e
Então,
U → A,
é suciente
isto é,
onde
gij , ui , vi ∈ KhY i.
i∈I
Para
que
em
(3) Se
ri1 , . . . , rin ∈ A, o elemento fi (ri1 , . . . , rin ) é igual a zero em A, e isto implica
Θ(f ) = 0,
V,
isto é,
J ⊆ Ker(Θ)
livremente gerada por
|Y | = |Z|,
com
e
U ' UY (V)
é a álgebra relativamente livre
Y.
Y = {yi | i ∈ I}
e
Z = {Zi | i ∈ I}.
Sejam
FY (V)
e
FZ (V)
suas correspondentes álgebras relativamente livres. Sendo ambas relativamente
livres, podemos denir homomorsmos
Ψ : FY (V) → FZ (V)
pondo
Ψ(yi ) = zi
e
Φ(zi ) = yi .
Assim,
e
Ψ
Φ : FZ (V) → FY (V)
e
Φ
são isomorsmos.
A partir de (1), (2) e (3) temos o requerido.
Observação 2.5.10
gerado por
A partir da Proposição 2.5.9, temos que o T-ideal de
{fi | i ∈ I}
KhXi
consiste de todas as combinações lineares dos elementos sob a
forma
ui fi (gi1 , . . . , gin )vi
onde
gij , ui , vi ∈ KhXi.
2.6 Identidades polinomiais homogêneas, multilineares e próprias
Nesta seção, vericamos que sob determinadas condições podemos simplicar
as identidades que estamos trabalhando. À primeira vista, estes resultados parecem
20
apenas simplicar as técnicas, mas sua importância vai muito além disso, como veremos
no decorrer do texto.
Denição 2.6.1
k
exatamente
Um monômio
vezes.
monômios tem grau
linear em
xi
M
tem grau
em
xi
se, a variável
k em xi ,
degxi f = k .
Um polinômio é homogêneo de grau
k
xi .
em
Denotamos este fato por
é um polinômio de grau
Denição 2.6.2
k
1
em
xi
ocorre em
se todos os seus
Um polinômio é
xi .
xi ,
Um polinômio é multihomogêneo, se para cada variável
seus monômios têm o mesmo grau em
xi .
M
todos os
Um polinômio é multilinear se é linear em
cada variável. O grau de um polinômio é o grau do seu maior monômio.
Denição 2.6.3
KhXi de grau n e xk uma variável de f .
Pn
Podemos escrever f como uma soma, f =
i=0 fi , onde cada polinômio fi é homogêneo
de grau i na variável xk . O polinômio fi é a componente homogênea de grau i em xk
do polinômio f .
Os
Sejam
polinômios
f
um polinômio de
multilineares
e
multihomogêneos
desempenham
um
papel
importante na busca de bases para as identidades polinomiais sobre determinados tipos
de corpos. Este fato, já observado por Specht em 1950, está desenvolvido no próximo
lema.
Lema 2.6.4
componente
Pn
f (x1 , . . . , xm ) =
i=0 fi (x1 , . . . , xm ) ∈ KhXi,
homogênea de f com grau i em x1 .
K
i = 1, 2, . . . , n
(i) Se o corpo
contém mais que
seguem de
n
fi
é a
fi = 0
onde
onde
Seja
elementos, então as identidades
f = 0;
(ii) Se a característica do corpo é zero ou maior que o grau de
f,
então
f = 0
é
equivalente a um conjunto de identidades polinomiais multilineares.
Prova:
(i) Seja
distintos
I = hf iT
α0 , . . . , α n
de
o
K.
T -ideal de KhXi gerado por f .
Como
f (αj x1 , x2 , . . . , xm ) =
I
n
X
é um
T -ideal,
Escolhemos
n+1 elementos
obtemos que
αji fi (x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ I
;
j = 0, 1, . . . , n.
i=0
Consideramos estas equações como um sistema linear com incógnitas
0, 1, . . . , n.
Como
n
1 α0 · · · α0 1 α1 · · · α1n Y
=
(αj − αi )
.. .. . .
. .
.
. .
. i<j
n
1 αn · · · αn 21
fi
para
i =
é
um
determinante
fi (x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ I ,
de
de
Vandermonde
que
é
diferente
de
0,
temos
fi = 0
ou seja, as identidades polinomiais
que
cada
são conseqüências
f = 0.
(ii) Pela parte (i), podemos assumir que
k = degx1 f .
Escrevemos
fi (x1 , x2 , . . . , xm )
fi (y1 + y2 , x2 , . . . , xm ) ∈ I
f (y1 + y2 , x2 , . . . , xm ) =
k
X
é multihomogêneo.
Seja
sob a forma
fi (y1 , y2 , x2 , . . . , xm )
i=0
onde
fi
Como
é a componente homogênea de grau
i
em
y1 .
Logo,
fi ∈ I
para
i = 0, 1, . . . , k .
degyj fi < k ; i = 1, 2, . . . , k−1 ; j = 1, 2, podemos aplicar argumentos indutivos
e obtemos um conjunto de consequências multilineares de
f = 0.
Para ver que estas
f = 0 é suciente observarmos
 
k
fi (y1 , y2 , x2 , . . . , xm ) =   f (y1 , x2 , . . . , xm )
i
identidades multilineares são equivalentes a
e que o coeciente binomial é diferente de 0, pois temos por hipótese que
ou char K
que
char(K) = 0
≥ deg(f ).
f
gera o
A seguem
de suas
Observamos que o item (i) do lema acima signica que o polinômio
mesmo
T -ideal
que o gerado pelos polinômios
Corolário 2.6.5
(i) Se o corpo
Seja
K
A
fi
para
i = 0, 1, . . . , n.
uma álgebra. Então,
é innito, então todas identidades polinomiais de
identidades multihomogêneas;
(ii) Se o corpo
A
K
tem característica zero, então todas as identidades polinomiais de
seguem de suas identidades multilineares.
Quando a álgebra é unitária podemos restringir a nossa busca de identidades
polinomiais a um determinado tipo de polinômios, conforme explicamos a seguir.
Denição 2.6.6
n é denido indutivamente a partir de
[x1 , x2 , . . . , xn ] = [[x1 , x2 , . . . , xn−1 ], xn ] para n > 2.
O comutador de comprimento
[x1 , x2 ] = x1 x2 − x2 x1 tomando
Um polinômio f ∈ KhXi é chamado
polinômio próprio (ou comutador), se ele é uma
combinação linear de produtos de comutadores, isto é,
f (x1 , . . . , xm ) =
X
αi,..,j [xi1 , . . . , xip ] . . . [xj1 , . . . , xjq ] ; αi,..,j ∈ K.
(Assumindo que 1 é um produto de um conjunto vazio de comutadores). Denotamos
por
B(X)
o conjunto de todos os polinômios próprios de
22
KhXi.
O próximo lema mostra a importância dos polinômios comutadores para encontrar
uma base das identidades de uma álgebra unitária. Sua prova não é complicada e pode
ser encontrada em ([6], proposição 4.3.3, pp 42-44). A demonstração está baseada no
fato que
KhXi
é a álgebra universal envolvente de
LhXi,
conhecido como Teorema de
Witt.
Lema 2.6.7
Se
A
é uma álgebra unitária sobre um corpo innito, então todas as
identidades polinomiais de
em
T (A) ∩ B(X)).
Se
A
A
seguem das suas identidades próprias (ou seja, daquelas
é uma álgebra unitária sobre um corpo de característica
0, então todas as identidades polinomiais de
A
seguem das suas identidades próprias
multilineares.
2.7 Identidades graduadas
Ao
estudarmos
identidades
polinomiais
ordinárias,
em
alguns
momentos
é
interessante tratarmos de outros tipos de identidades, através das quais podemos
obter informações sobre as identidades ordinárias. Desta idéia surgiram, por exemplo,
as identidades polinomiais fracas, as identidades com involução e as identidades
com graduação (graduadas).
O nosso interesse nas últimas é que as mesmas estão
relacionadas com as ordinárias. Nesta seção, vamos trabalhar com tais identidades e
fazer um breve resumo da importante teoria estrutural dos
Kemer. No que segue, xamos
G
Denição 2.7.1
Uma álgebra
Denição 2.7.2
Um subespaço
T -ideais
desenvolvida por
como um grupo abeliano aditivo.
A é dita ser G-graduada, se A = ⊕g∈G Ag onde Ag é
subespaço de A para todo g ∈ G e Ag Ah ⊆ Ag+h para todos g, h ∈ G. Um elemento
a ∈ ∪g∈G Ag é chamado homogêneo. Para todo elemento homogêneo a, temos a ∈ Ag
para algum g ∈ G. Dessa forma, o grau homogêneo de a é denido como sendo g , e
P
denotamos wG (a) = g . Se a =
ag ∈Ag ag , chamamos ag de componente homogênea de
grau g em a.
B
de uma álgebra
G-graduada A
é dito ser
G-
graduado, se
B=
X
Bg
onde
Bg = B ∩ Ag ,
g∈G
os quais denominaremos de subespaços homogêneos.
Denição 2.7.3
homomorsmo
Uma aplicação
G-graduado,
se
Φ
Φ : A → B
é um homomorsmo que
23
G-graduadas é chamada
satisfaz Φ(Ag ) ⊆ Bg para
entre álgebras
todo
g ∈ G.
De modo análogo, denimos isomorsmo, endomorsmo e automorsmo
G-graduado.
Os próximos dois lemas são de demonstrações imediatas.
Lema 2.7.4
Sejam
A uma álgebra G-graduada e B
uma subálgebra de
A.
As seguintes
armações são equivalentes:
(1)
B
é subálgebra
(2)
B
é álgebra
G-graduada
G-graduada
de
A;
tal que
Bg ⊆ Ag
para todo
(3) As componentes homogêneas de cada elemento de
(4)
B
g ∈ G;
B
pertencem a
B;
é gerada por elementos homogêneos.
Lema 2.7.5
uma álgebra
Se
I
G-graduado de uma álgebra G-graduada A,
considerando (A/I)g = {a + I/a ∈ Ag }.
é um ideal
G-graduada
Observação 2.7.6
então
A/I
é
Φ : A → B um homomorsmo G-graduado de álgebras.
Então, o Ker(Φ) é um ideal G-graduado de A e Φ(A) é uma subálgebra G-graduada
de B tal que (Φ(A))g = Φ(Ag ). Noutras palavras, pelo Lema 2.7.5, vale a versão
graduada do teorema do Isomorsmo, isto é, a álgebra quociente A/ ker Φ é isomorfa
(como álgebra graduada) a ImΦ = Φ(A).
Seja
Em seguida, apresentaremos alguns exemplos de álgebras graduadas. Desde que
uma mesma álgebra pode ter diferentes graduações, estes exemplos serão importantes
para apresentarmos as graduações que usaremos no decorrer do texto,
também
denominadas de graduações canônicas (ou usuais).
Exemplo 2.7.7
A álgebra de Grassmann
Exemplo 2.7.8
A partir da graduação do Exemplo 2.7.7 construiremos uma
E é Z2 -graduada. De fato, seja E0 o
subespaço de E gerado por {1, ei1 . . . eik | 1 ≤ i1 < · · · < ik ; k = 2, 4, . . . } e seja
E1 o subespaço de E gerado por {ei1 . . . eik | 1 ≤ i1 < · · · < ik ; k = 1, 3, . . . }. Assim,
E = E0 ⊕ E1 e facilmente podemos vericar que Ei Ej ⊆ Ei+j para todos i, j ∈ Z2
graduação para o quadrado tensorial da álgebra de Grassmann
E.
Z2 -
Para tanto é
suciente considerarmos
(E ⊗ E)0 = (E0 ⊗ E0 ) ⊕ (E1 ⊗ E1 )
e
(E ⊗ E)1 = (E0 ⊗ E1 ) ⊕ (E1 ⊗ E0 ).
Usando o fato que o produto tensorial é distributivo em relação a soma direta, é
imediato vericar que
E ⊗ E = (E ⊗ E)0 ⊕ (E ⊗ E)1 .
24
Além disso, verica-se diretamente que
(E ⊗ E)i (E ⊗ E)j ⊆ (E ⊗ E)i+j
E⊗E
Portanto a álgebra
Exemplo 2.7.9
é
A álgebra
para todos
i, j ∈ Z2 .
Z2 -graduada.
M1,1 (E)
é
Z2 -graduada.
De fato, consideramos
M1,1 (E) = (M1,1 (E))0 ⊕ (M1,1 (E))1 ,
onde
(
a 0
0 d
(M1,1 (E))0 =
!
)
(
| a, d ∈ E0
e
0 b
c 0
(M1,1 (E))1 =
!
)
| b, c ∈ E1 ,
e vericamos diretamente que
(M1,1 (E))i (M1,1 (E))j ⊆ (M1,1 (E))i+j
Exemplo 2.7.10
para todos
i, j ∈ Z2 .
{Xg | g ∈ G} uma família de conjuntos disjuntos e
enumeráveis. Considerando X = ∪g∈G Xg , a álgebra KhXi é denominada de álgebra
livre G-graduada. Para uma variável x ∈ X , denimos wG (x) = g se x ∈ Xg .
Recordamos que o conjunto de monômios {1, xi1 . . . xik | xij ∈ X e n = 1, 2, . . . }
é uma base de KhXi. Para um tal monômio, digamos m = xi1 . . . xin , denimos
Pn
wG (m) =
j=1 wG (xij ) como sendo o grau homogêneo do monômio. Se g ∈ G,
denotamos por KhXig o subespaço gerado pelos monômios de grau g . Observando
Seja
que
KhXig KhXih ⊆ KhXig+h
concluímos que
KhXi
Denição 2.7.11
I
é de fato G-graduada.
Um ideal
I
numa álgebra G-graduada
A
é chamado de
G-graduados
de
A,
é invariante por todos os endomorsmos
todo endomorsmo
G-graduado Φ
Denição 2.7.12
Um polinômio
expressão
graduada
f (x1 , . . . , xn ) = 0,
A, se
f (a1 , . . . , an ) = 0
O conjunto
TG (A)
g, h ∈ G,
para todos
é
para todo
de
isto é,
TG -ideal se
Φ(I) ⊆ I para
A.
0 6= f = f (x1 , . . . , xn ) ∈ KhXi, ou mesmo a
uma identidade polinomial G-graduada da álgebra G-
ai ∈ Agi ,
onde
de todas as identidades
denominado de ideal das identidades
gi = wG (xi )
G-graduadas
G-graduadas
25
de
A
da álgebra
e
é um
A.
i = 1, 2, . . . , n.
TG -ideal
de
KhXi,
De modo análogo ao caso ordinário, as álgebras com identidades polinomiais
graduadas possuem as mesmas propriedades no que diz respeito a
polinômios lineares, polinômios homogêneos, etc.
h ∈ KhXi
h
TG
é
TG -ideal
pertence ao
polinômios
consequência de
f
gerado por
(ou
f
em
G-graduadas
Assim, por exemplo, dizemos que
segue de
KhXi.
{fi (xi1 , . . . , xin ) ∈ KhXi | i ∈ I}
graduadas satisfazendo as identidades
de álgebras
h
fi = 0,
T -ideais, variedades,
f
como identidade graduada) se
Bem como, dado um conjunto de
a classe
para todo
V
i,
de todas as álgebras
G-
é chamada uma variedade
determinada pelo sistema de identidades
{fi | i ∈ I}.
Deste modo, adaptamos as propriedades das identidades ordinárias para as identidades
graduadas.
Os resultados a seguir fornecem informações sobre identidades ordinárias a partir
de identidades graduadas.
Lema 2.7.13
identidades
Prova:
A
Sejam
G-graduadas
Sejam
B duas álgebras G-graduadas com
TG (A) e TG (B). Se TG (A) ⊆ TG (B),
e
f (x1 , . . . , xm )
uma identidade qualquer de
b1 =
X
b1 g , . . . , b m =
g∈G
Como
f ∈ T (A),
X
A
T -ideais de
T (A) ⊆ T (B).
respectivos
então
e
bmg ∈ B.
g∈G
temos que
X
X
xmg ) ∈ TG (A) ⊆ TG (B)
f(
x1g , . . . ,
g∈G
daí, vem que,
Portanto,
f (b1 , . . . , bm ) = f (
g∈G
P
P
g∈G bmg )
= 0.
T (A) ⊆ T (B).
Corolário 2.7.14
Se
Observação 2.7.15
TG (A) = TG (B),
então
T (A) = T (B).
(Contra-exemplo) Consideramos na álgebra de Grassmann
duas graduações. A primeira é a
trivial onde
g∈G b1g , . . . ,
y1 y2 = y2 y1
Z2 -graduação E = E0 ⊕ E1 ,
E
a segunda é a graduação
não é uma identidade graduada. Portanto, uma mesma álgebra
pode ter identidades graduadas diferentes conforme sua graduação.
2.8 A Teoria de Kemer
Nesta seção faremos um breve resumo sobre a teoria estrutural dos
T -ideais
desenvolvida por Kemer para álgebras sobre corpos de característica zero.
No que
26
segue,
K
denotará um corpo de característica zero.
O leitor interessado poderá
encontrar mais informação nas monograas [3] e [9].
A teoria desenvolvida por Kemer mostrou que as PI álgebras sobre corpos de
característica 0, satisfazem muitas propriedades boas que as aproximam às álgebras
comutativas. Começamos com os conceitos de
T -ideais T -primos
e
T -semiprimos,
que
têm um papel extremamente importante nessa teoria.
Denição 2.8.1
Diremos que:
T -ideal S
J ⊆ S;
(1) Um
(2) Um
que
é
T -semiprimo
T -ideal I é T -primo
J1 ⊆ I ou J2 ⊆ I .
se, para qualquer
se, para quaisquer
T -ideal J , J n ⊆ S
implicar que
T -ideais J1 , J2 , J1 J2 ⊆ I
implicar
Os próximos resultados podem ser encontrados nas seções 2 e 3 do Capítulo I de
[9], e recomendamos este livro para mais detalhes e informações sobre esta teoria.
Teorema 2.8.2
(1) Seja
(Kemer)
V =
6 ∅
uma variedade. Então
V = Nm W ,
onde
Nm
é a maior variedade
m, W é a maior
duas variedades N M consiste das
cujo quociente A/I está em M;
de todas as álgebras nilpotentes de índice menor ou igual a
V e o produto de
I contido em N e
subvariedade semiprima de
álgebras
A
tendo um ideal
T -ideal I é semiprimo
são T -primos.
(2) O
(3) Os únicos
se, e somente se,
T -ideais T -primos
I = I1 ∩ · · · ∩ I q
A = A0 ⊕ A1
T -ideais Ij
não triviais são:
T (Mn (K)) , T (Mn (E))
Se
onde os
é uma álgebra
Z2 -graduada,
e
T (Ma,b (E)).
então
E(A) = A0 ⊗ E0 ⊕ A1 ⊗ E1
é denominada o envelope de Grassmann de
A.
Kemer demonstrou ainda os seguintes resultados, veja [9].
(1) Todo
T -ideal
uma álgebra
não trivial coincide com o
Z2 -graduada
T -ideal
e nitamente gerada;
27
do envelope de Grassmann de
(2) O
T -ideal
T -ideal
de qualquer álgebra
de alguma álgebra
Z2 -graduada
Z2 -graduada
(3) De (1) e (2), segue que todo
e nitamente gerada coincide com o
de dimensão nita;
T -ideal não trivial coincide com o T -ideal do envelope
de Grassmann de alguma álgebra
Z2 -graduada
de dimensão nita.
Dentre as consequências mais importantes dos resultados acima está a resposta
armativa para o problema de Specht.
Como visto anteriormente, a hipótese sobre a característica do corpo ser zero
permite-nos trabalhar apenas com identidades multilineares, e assim podemos fazer
uso das boas propriedades da multilinearidade.
No desenvolvimento da teoria de
Kemer estas propriedades foram bastante utilizadas.
Uma questão interessante é o
quanto esta teoria depende das identidades multilineares. Observamos que essa questão
está fortemente relacionada com uma possível generalização dos resultados obtidos
por Kemer para álgebras sobre corpos innitos de qualquer característica.
Convém
observar que, em característica positiva, a teoria de Kemer não se aplica diretamente,
um dos obstáculos é o surgimento de novos
T -ideais T -primos,
chamados de
T -ideais
irregulares, cuja descrição completa é ainda um problema em aberto. No entanto, vimos
que identidades polinomiais graduadas podem ser usadas no estudo das identidades
polinomiais ordinárias em álgebras sobre corpos de qualquer característica.
Ressaltamos que recentemente foi provado por Belov [2], Grishin [8] e Shchigolev
[15] que o problema de Specht resolve-se em negativo sobre corpos de característica
positiva.
2.9 Álgebras genéricas
Podemos observar no resumo sobre a teoria de Kemer a importância das PIálgebras
Mn (K), Mn (E)
e
Ma,b (E).
Existem construções algébricas genéricas para as
álgebras relativamente livre destas álgebras. Para a álgebra
matrizes genéricas introduzidas por Procesi [13], e para
Mn (K) esta é a álgebra das
Mn (E) e Ma,b (E) as construções
genéricas foram dadas por Berele [1]. Outro caso importante para nossos objetivos é
a construção dada por Lewin [11] para
Um (A)
quando
T (A) = T (A1 )T (A2 ).
Vamos
fazer um breve resumo sobre estas construções e para mais casos, veja o Capítulo 4
28
deste trabalho e as referências citadas acima. Veja também [12] para aplicações.
Sejam
∅.
Y = {y1 , y2 , . . . }
X = Y ∪ Z,
Tomando
e
Z = {z1 , z2 , . . . }
KhXi
denotamos por
Frequentemente, denominamos os elementos de
ímpares.
x ∈ Y
w(x) = 1
x ∈ Z.
se
de
pondo
w(x) = 0
se
de 1-variáveis.
Y
também são
f = x1 x2 . . . xk
Se
f
KhXi = KhXi0 ⊕ KhXi1
pelos monômios pares e
Seja
é
de par se
w(f ) = 0,
Z2 -graduada,
onde
e de ímpar se
KhXi0
w(f ) = 1.
é o subespaço de
w
em
Z2 ,
isto é,
gerado
KhXi1 é o subespaço de KhXi gerado pelos monômios ímpares.
A = A0 ⊕A1
uma álgebra
w(a) = 0
ou
1.
A álgebra
ab = (−1)w(a)w(b) ba
Exemplo 2.9.2
Assim,
KhXi
Z2 -graduada.
Os elementos de
são denominados de homogêneos. Além disso, cada elemento homogêneo
grau
é um
w(f ) = w(x1 )+w(x2 )+· · ·+w(xk ) (aqui consideramos a somatória
módulo 2), e chamamos
Denição 2.9.1
Z
X.
Z
de pares e os elementos de
Deste modo, os elementos de
denominados de 0-variáveis e os de
monômio, denimos
Y
Y ∩Z =
a álgebra livre gerada por
w = wZ2 : X → Z2
Noutras palavras, denimos
e
conjuntos de variáveis com
A
para todos
a
A0 ∪A1
possui um
é dita supercomutativa, se
a, b ∈ A0 ∪ A1 .
A álgebra de Grassmann é sem dúvida o exemplo mais importante de
álgebra supercomutativa.
Denição 2.9.3
KhXi = KhXi0 ⊕ KhXi1 a álgebra livre Z2 -graduada denida
como acima.
Para os monômios f, g ∈ KhXi, consideramos as relações f g =
w(f )w(g)
(−1)
gf e seja I o ideal Z2 -graduado gerado por estas relações. Quando
p
char K = p > 0, adicionamos {yi | yi ∈ Y } ao conjunto de geradores de I . A álgebra
KhY ; Zi = KhXi/I é naturalmente Z2 -graduada (pois herda a graduação de KhXi) e
Seja
é chamada de álgebra livre supercomutativa.
Lema 2.9.4
Sejam
K[Y ]
a álgebra de polinômios comutativos gerada por
a álgebra de Grassmann gerada pelo espaço vetorial com base
K[Y ] ⊗ E(Z)
KhY ; Zi
e
Prova:
Seja
sobrejetor.
Sejam
e
E(Z)
Então, as álgebras
são isomorfas.
Ψ : K[Y ] ⊗ E(Z) → KhY ; Zi = KhXi/I
Ψ(a ⊗ b) = ab + I .
Z.
Y
a aplicação denida por
É imediato que esta aplicação é um homomorsmo (de álgebras)
a = y1 . . . yn ∈ K[Y ]
Fazendo as substituições
é subconjunto da base de
e
y1 = · · · = yn = 1
E,
temos que
b = z1 . . . zm ∈ E(Z),
e
z1 = e1 , . . . , zm = em
ab 6∈ T2 (E).
álgebra livre supercomutativa, temos que
I = ∩Q,
29
ambos não nulos.
onde
{e1 , . . . , em }
KhXiI
é a
T2 -ideais
das
Por outro lado, como
onde
Q
corre sobre os
álbegras supercomutativas. Em particular,
Ψ,
I ⊆ T2 (E)
e disto segue a injetividade de
como queríamos.
Lema 2.9.5
(a) A álgebra
de todas as álgebras
álgebra
tal que
KhY ; Zi
é canonicamente
Z2 -graduadas
Z2 -graduada
Φ(Y ) ⊆ A0
e livre na classe
supercomutativas. Noutras palavras, para toda
A = A0 ⊕ A1 ,
supercomutativa
Φ(Z) ⊆ A1
e
Z2 -graduada
toda função
Φ : Y ∪Z → A
pode ser estendida a um homomorsmo de
álgebras;
Y = {y1 , y2 , . . . }, Z = {z1 , z2 , . . . } e xi = yi + zi , onde i = 1, 2, . . . ; Então,
toda função Φ : xi → A = A0 ⊕ A1 ; i = 1, 2, . . . pode ser estendida a um
homomorsmo homogêneo de KhY ; Zi → A de álgebras Z2 -graduadas.
(b) Seja
Prova:
Veja introdução de [1].
Sejam
n
e
m
inteiros positivos e consideramos os conjuntos
(q)
Y = {yij | i, j = 1, . . . , n; q = 1, . . . , m}
e
(q)
Z = {zij | i, j = 1, . . . , n; q = 1, . . . , m}.
Combinando a construção de Procesi com a de Berele, denimos as seguintes
matrizes com entradas em
(1) As
n×n
KhY ; Zi:
matrizes genéricas
n
X
Aq =
(q)
yij Eij
onde
q = 1, . . . , m;
i,j=1
(2) As
n×n
matrizes genéricas com entradas supercomutativas
Bq =
n
X
(q)
(q)
(yij + zij )Eij
onde
q = 1, . . . , m;
i,j=1
(3) As
(a, b)-matrizes
genéricas (n
= a + b)
n
X
(q)
Cq =
tij Eij ,
i,j=1
onde
(q)
(q)
tij = yij
Teorema 2.9.6
se
(i, j) ∈ ∆0
e
(q)
(q)
tij = zij
se
(i, j) ∈ ∆1
e
q = 1, . . . , m.
(Procesi (i) e Berele ((ii),(iii)))
A1 , . . . , Am é isomorfa à álgebra relativamente
denida por Mn (K), isto é, a álgebra Um (Mn (K));
(i) (veja [13])A álgebra gerada por
livre de posto
m
na variedade
B1 , . . . , Bm é isomorfa à álgebra relativamente livre
denida por Mn (K), isto é, a álgebra Um (Mn (E));
(ii) (veja [1])A álgebra gerada por
de posto
m
na variedade
C1 , . . . , Cm é isomorfa à álgebra relativamente livre
denida por Mn (K), isto é, a álgebra Um (Ma,b (E)).
(iii) (veja [1])A álgebra gerada por
de posto
m
na variedade
30
Capítulo 3
O Teorema de Lewin
Nste capítulo apresentaremos um teorema devido a Lewin em [11], que mostra
como obter o produto de dois ideais como o núcleo de um homomorsmo de
álgebras. Este trabalho motivou o trabalho de Di Vincenzo e Drensky (veja [5]) que
apresentaremos no próximo capítulo.
3.1 O Teorema de Lewin
Sejam
A
e
B
duas
K -álgebras
produto dos
T -ideais T (A)T (B)
K -álgebra C
contendo
AeB
com
T -ideais T (A)
é ainda um
tal que
T -ideal.
e
T (B),
respectivamente. O
Nosso objetivo é construir uma
T (C) = T (A)T (B), tal construção foi apresentada
por Lewin em [11].
Seja
KhXi
Denotemos por
livres
R1
e
a álgebra associativa livre, onde
R
o
KhXi-bimódulo
i ≥ 1,
é um conjunto enumerável.
livre com conjuntos enumeráveis de geradores
R2 .
Assim, existe uma única aplicação linear
para
X
δ : KhXi → R
denida por
satisfazendo:
δ(f g) = f δ(g) + δ(f )g
para todos
f, g ∈ KhXi.
Observe que
δ(x1 x2 ) = x1 δ(x2 ) + δ(x1 )x2 = r1 x2 + x1 r2 .
De modo similar, temos que
δ(x1 x2 x3 ) = r1 x2 x3 + x1 r2 x3 + x1 x2 r3
31
δ(xi ) = ri
e indutivamente, obtemos
δ(xi1 xi2 . . . xin ) =
n
X
xi1 xi2 . . . xij−1 rj xij+1 . . . xin .
j=1
KhXi.
Então, estendemos por linearidade, para todo
Considere a aplicação linear

ψ : KhXi → 

KhXi
R
0
KhXi

denida por

f δ(f )
f → ψ(f ) = 
Vejamos que
ψ
0


f
é um homomorsmo de álgebras. De fato, sejam
f, g ∈ KhXi,
e
observe que

ψ(f g) = 
f g δ(f g)
0
fg

=
Mais ainda

ψ(1) = 
Portanto
ψ

f g (δ(f )g + f δ(g))
0
fg
1 δ(1)
0
1


=
1 0
0 1

 = ψ(f )ψ(g).

.
é um homomorsmo de álgebras.
Considerando dois ideais
tem estrutura de
Sejam
ΠU
U
e
V
de
KhXi
temos que o espaço quociente
R
U R+RV
( KhXi
, KhXi
)-bimódulo livre com base {ri + (U R + RV ); i = 1, 2, . . . }.
U
V
e
ΠV
as projeções canônicas de
U
e
V
em
KhXi,
respectivamente.
Considere a aplicação
δ 1 : KhXi →
R
U R + RV
denida por
δ 1 (f ) = δ(f ) + (U R + RV ).
Assim, a aplicação
δ1
é também uma derivação, ou seja,
δ 1 (f g) = δ 1 (f )(g + I) + (f + I)δ 1 (g)
onde
I = U R + RV.
Isto implica que a aplicação

Ψ : KhXi → 
KhXi
U
32
0
R
U R+RV
KhXi
V


denida por

f → Ψ(f ) = 
0

δ 1 (f )
ΠU (f )

ΠV (f )
é um homomorsmo de álgebras.
A partir de agora vamos mostrar que
inicialmente que se
está em
KerΨ.
f
não pertence a
Isso mostra que
U,
Ker(Ψ) = U V .
então
KerΨ ⊂ U .
ΠU (f ) 6= 0
Para tanto, observe
e consequentemente
Analogamente, vemos que
f
não
KerΨ ⊂ V .
f ∈ U e g ∈ V temos que


 

1
1
ΠU (f ) δ (f )
Π (g) δ (g)
0 0
 U
=
.
Ψ(f g) = Ψ(f )Ψ(g) = 
0
ΠV (f )
0
ΠV (g)
0 0
Por outro lado, se
Daí, temos que
U V ⊂ KerΨ ⊂ U ∩ V.
Logo, para concluir a prova é suciente mostrar que
a base
B
de
KhXi
formada por todos os monômios em
linearmente ordenada, da seguinte forma
ordenação linear na base
a>b
se
V ∩ KerΨ ⊂ U V .
deg(a) < deg(b)
B:
ou
X.
x1 < x 2 < . . . .
e
a
Considere também
X
Dena agora a seguinte
Para quaisquer dois elementos
deg(a) = deg(b)
Considere
a, b ∈ B
dizemos que
é estritamente maior que
b
na ordem
lexicográca à direita.
Agora vamos estabelecer uma ordenação linear no conjunto
geradores de
R
da seguinte maneira:
de todos produtos
forma:
ari b com a, b ∈ B .
ari b < crj d se,
Seja
f ∈ KhXi
e
c = bw1
C⊂B
para algum
Para qualquer
c ∈ C,
Então, uma
b < d ou b = d e ri < rj
f1
seja
e
de
R
ou
b = d e ri = rj
o maior monômio de
de modo que um monômio
w∈V
K -base
consiste
Esta base também pode ser ordenada da seguinte
um polinômio qualquer e seja
agora um subconjunto
v∈V
e somente se,
r1 < r2 < . . . .
R0 = {r1 , r2 , . . . } dos
c∈C
se
c = v1
e
f;
a < c.
Dena
para algum
b 6= 1.
ac ∈ V
xo com
a1c = c.
o primeiro termo do tipo
bc = ba1c = (bac )1 , c ∈ C
e, consequentemente,
v 1 > (v − bac )1 ,
33
Então qualquer
v∈V
possui
o que implica em
v − bac ∈ V ,
V
pelo fato de
transnita, concluímos que o conjunto dos
ser ideal. Portanto, utilizando indução
ac ,
c ∈ C,
com
gera
V
como um
KhXi-
módulo à esquerda.
V
Como
KhXi,
é um ideal não trivial de
monômio de grau positivo e pode ser escrito como
Note que
dc 6∈ C
pela denição de
C.
c ∈ C
temos que qualquer
c = xi d c
onde
dc ∈ B
Por conveniência, denotaremos
e
xi
é um
xi ∈ X .
por
xc
e
ri = δ(xi ) = δ(xc ) = rc .
Seja
R0 B
a base do
KhXi-módulo
ordenação podemos decompor
R0 B
livre à esquerda
T = RKhXi.
Usando a
em três partes, como segue
B1 = {rc dc ; c ∈ C}, B2 = {rbc; r ∈ R0 , b ∈ B, c ∈ C}
e
B3 = {rb; r ∈ R0 , b ∈ B, rb 6∈ B1 ∪ B2 }.
Observe que
B1
e
B2
são disjuntos, pois se
xc bc1 = xc dc ∈ C .
implica que
rbc1 = rc dc ,
c1 ∈ C ,
Mas como
temos
bc1 = dc ,
então
xc bc1 6∈ C ,
e isso
o que é uma
contradição.
Usando a decomposição acima, construímos uma nova base para
Observe que
a1c = xc dc
primeiro termo de
B1
por
e
δ(a1c ),
δ(a1c ) = δ(xc dc ) = δ(xc )dc + xc δ(dc ).
é igual a
δ(xc )dc = rc dc .
(vbc )1 = bc
e tomamos
0
Portanto,
Tomando
mostramos que
bc,
com
b∈B
e
c ∈ C,
tomamos
K3 = B3 ,
0
→b)
entre os elementos de
B1 ∪ B2
o
K = K1 ∪ K2 ∪ K3
gera
não trivial entre os elementos da base de
Observe que os elementos
K2
é uma base de
Sendo
K
T
como um
vbc ,
com
RKhXi.
b∈B
R0 V = span{K2 }
uma base de
vbc = bac ∈ V ,
Assim, existe uma
e
K1 ∪ K2 ,
tal que
com argumentos simples de redução ao primeiro termo,
KhXi-módulo
Por outro lado, qualquer relação não trivial entre os elementos de
Logo,
(δ(ac ))1 ,
A partir disso, podemos substituir
K2 = {r(vbc )1 ; r ∈ R0 , b ∈ B, c ∈ C}.
correspondência biunívoca (b
b = b.
como segue:
K1 = {δ(ac ); c ∈ C}.
Agora para qualquer monômio
com
T,
T = RKhXi,
e
e
Portanto,
c ∈ C,
K
K
livre à esquerda.
leva a uma relação
é uma base de
formam uma base linear de
V.
RV = KhXiR0 V = KhXi(span{K2 }).
temos
U R = U KhXiR0 KhXi = U R0 KhXi = U K = U K1 ⊕ U K2 ⊕ U K3
34
T.
e
U R + RV = U K1 ⊕ KhXiK2 ⊕ U K3 .
v ∈ V ∩ KerΨ.
Agora, seja
as propriedades da derivação
bc ∈ KhXi,
δ
δ 1 (v) = 0,
Então
δ(v) ∈ U R + RV . Usando
P
v na soma v = c∈C bc ac com
isto é,
e a decomposição de
obtemos que
δ(v) = δ(
X
b c ac ) =
X
δ(bc ac ) =
X
δ(bc )ac +
X
bc δ(ac ),
X
bc δ(ac ).
ou seja, podemos escrever
δ(v) = Av + Bv ,
Av ∈ RV
Daí, temos que
e
onde
Av =
X
Bv ∈ KhXiK1 ,
δ(bc )ac
e
Bv =
e como
δ(v) ∈ U R + RV ,
obtemos que
Bv ∈ (U R + RV ) ∩ KhXiK1 .
Agora,
(U R + RV ) ∩ KhXiK1 = (U K1 ⊕ KhXiK2 ⊕ U K3 ) ∩ KhXiK1 ,
donde
Bv ∈ U K1 .
segue que todo
de
K1
são independentes à esquerda,
pertence a
U.
Logo,
Mas, como os elementos
bc ,
pela expressão de
Bv ,
v=
X
δ(ac )
bc ac ∈ U V.
Isso conclui a prova.
Temos provado o seguinte teorema devido a Lewin.
Teorema 3.1.1
r1 , r2 , . . . ,
R
U eV
Seja
e sejam
(KhXi, KhXi)-bimódulo
ideais de KhXi. Sejam
um
ΠU : KhXi →
KhXi
U
e
livre
ΠV : KhXi →
com
geradores
livres
KhXi
,
V
os correspondentes epimorsmos canônicos.
Considere ainda, a derivação
δ : KhXi → R
denida por
seja
δ 1 : KhXi →
R
,
U R + RV
denida por
δ 1 (f ) = δ(f ) + (U R + RV ).
35
δ(xi ) = ri
para
i≥1
e
Então a aplicação linear
Ψ : KhXi →
KhXi
U
0
R
U R+RV
KhXi
V
!
,
denida por
f → Ψ(f ) =
é um homormosmo de álgebras e
ΠU (f ) δ 1 (f )
0
ΠV (f )
Ker(Ψ) = U V .
36
!
,
Capítulo 4
Base Para as Identidades Polinomiais
das Matrizes Triangulares em Blocos
com Z2-Graduação
Neste capítulo vamos apresentar uma base para as Identidades Polinomiais das
Matrizes Triangulares em Blocos com
Z2 -graduação.
Os resultados são devido a Di
Vincenzo e Drensky, e podem ser encontrados em [5].
4.1 Introdução
Seja
K
um corpo.
Em nosso caso, uma superálgebra sobre
do que uma álgebra associativa
Ai Aj ⊆ Ai+j
para todos
iej
A
com uma
no grupo aditivo
K,
nada mais é
Z2 -graduação A = A0 + A1 ,
Z2 .
Não assumiremos que
isto é,
A0 ∩A1 = {0}.
Kemer mostrou a importância de superálgebras na teoria das álgebras com identidades
polinomiais (ordinárias) sobre corpos com característica zero.
estabeleceu que para qualquer PI-álgebra
Em particular, ele
R existe uma superálgebra nitamente gerada
A = A0 +A1 tal que R e A0 ⊗E0 ⊕A1 ⊗E1 possuem as mesmas identidades polinomiais.
Aqui,
E = E0 ⊕E1 é a álgebra de Grassmann de um espaço vetorial de dimensão innita
com sua
Z2 -graduação
natural.
Até o trabalho de Di Vincenzo e Drenski, em [5], as bases para as identidades
Z2 -graduadas
de uma álgebra supercomutativa
A
eram conhecidas em alguns poucos
casos (veja [4] e [18] para exemplos)
Sejam
R1
e
R2
álgebras associativas sobre um corpo
37
K
e seja
M
um
(R1 , R2 )-
bimódulo livre.
Encontraremos uma base das identidades polinomiais
Z2 -graduadas
para a superálgebra das matrizes triangulares superiores quadradas de ordem dois

A=
com a
Z2 -graduação
R1 M
0
A0 = 
R1
0

0
R2
assumindo que conhecemos bases dos

e

A1 = 
A21 = 0,
0 M
0
0

,
T -ideais T (R1 ), T (R2 )
identidades polinomiais ordinárias das álgebras
de classe 2.
,
R2
natural

É fácil ver que

R1 , R2
e
T (R1 ) ∩ T (R2 )
e
R1 ⊕ R2 ,
das
respectivamente.
isto é, a componente ímpar da superálgebra
A
é nilpotente
Portanto, este fato pode ser considerado como um primeiro passo para
um estudo sistemático das identidades das superálgebras com componente ímpar
nilpotente.
É no espírito do resultado do Capítulo anterior que obteremos uma
descrição da superálgebra relativamente livre da variedade de superálgebras geradas por
A.
Isto pode ser considerado como análogo ao caso das álgebras relativamente livres
em matrizes triangulares, estabelecido por Lewin, e detalhado no Capítulo anterior
deste trabalho.
Sobre um corpo de característica zero, as bases das identidades polinomiais
ordinárias para a álgebra das matrizes triangulares superiores foi encontrada por
Mal'cev e, para as matrizes de ordem dois por Razmyslov e um dos autores em [4].
Aplicaremos estes resultados para obter bases para as superidentidades das álgebras
das matrizes triangulares em blocos

A=
com a
(1)
Z2 -graduação
R1
e
e
N
R2
R1
N
0
R2

,
natural, nos seguintes casos:
são as matrizes triangulares superiores de ordem
a álgebra das matrizes de ordem
(2)
R1 = R2 = N = M2 (K);
(3)
R1 = N = M2 (K) e R2
p
por
q,
com
p
e
q,
respectivamente,
p > q;
é a álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem
dois.
38
4.2 O resultado principal
Sejam
variáveis
Y = {y1 , y2 , . . . }, Z = {z1 , z2 , . . . }
y1 , y2 , . . .
associativa livre
e
z1 , z2 , . . .
KhXi,
w
de elementos de
dita uma identidade (ou superidentidade)
se
c1 , . . . , c n ∈ A 1 .
U2 (A) =
por
A.
Consideremos as
possui uma
natural,
KhXi0
pertence a
w ∈ KhXi1
é par e
se o número
é
Z2 -graduada para a álgebra supercomutativa
f (b, c) = f (b1 , . . . , bm , c1 , . . . , cn ) = 0
Denotaremos por
Z2 -graduação
w = x i 1 x i 2 . . . xi n
Z
A álgebra
f (y, z) = f (y1 , . . . , ym , z1 , . . . , zn ) ∈ KhXi
destas entradas for ímpar. Um polinômio
A = A0 + A1 ,
X,
onde um monômio
se o número de entradas em
X = Y ∪ Z.
como pares e ímpares, respectivamente.
gerada livremente por
KhXi = KhXi0 ⊕ KhXi1 ,
e
T2 (A)
o
T2 -ideal
para todos
b1 , . . . , bm ∈ A0
das superidentidades de
A
e
e por
KhXi
a superálgebra relativamente livre da variedade de superálgebras gerada
T2 (A)
Usaremos as mesmas notações
y1 , y2 , . . .
e
z1 , z2 , . . .
para os geradores de
U2 (A).
No caso ordinário, escreveremos as notações como acima, excluindo o índice 2.
Os dois próximos teoremas constituem os principais resultados do nosso trabalho.
Teorema 4.2.1
K
Sejam
R1
e
R2
PI-álgebras (ordinárias) associativas sobre um corpo
de característica positiva e seja
M
o
A=
munida com a
Z2 -graduação
A0 =
(R1 , R2 )-bimódulo
!
R1 M
,
0 R2
livre. Seja
natural
R1 0
0 R2
!
e
A1 =
0 M
0 0
!
.
T -ideais T (R1 ), T (R2 ) e T (R1 ) ∩ T (R2 ) com bases {fl11 ; l1 ∈ L1 },
{fl22 ; l2 ∈ L2 } e {fl ; l ∈ L}, respectivamente. Então, o T2 -ideal das identidades
polinomiais Z2 -graduadas de A tem como base o seguinte conjunto
Considere ainda os
{z1 z2 , fl (y), fl11 (y)z1 , y1 fl22 (y); l1 ∈ L1 , l2 ∈ L2 , l ∈ L}.
Prova:
Como
Para quaisquer
A1 = M e12
e
A21 = 0,
r1 , . . . , rml ∈ A0 ,
obtemos que
existem
z1 z2 = 0
é uma identidade para
1
2
r11 , . . . , rm
∈ R1 , r12 , . . . , rm
∈ R2
l
l
ri = ri1 e11 + ri2 e22 , i = 1, . . . , ml .
Logo,
39
tais que
A.
fl (r) = fl (r1 )e11 + fl (r2 )e22 = 0,
pois
fl ∈ T (R1 ) ∩ T (R2 ).
A
para
De modo análogo,
fl11 (y)z1 = 0 e z1 fl22 (y) = 0
são identidades
e
z1 z2 , fl (y), fl11 (y)z1 , z1 fl22 (y) ∈ T2 (A),
para qualquer l1
Seja
∈ L1 , l2 ∈ L2 , l ∈ L.
f (y1 , . . . , ym , z1 , . . . , zn ) = 0
componente homogênea de grau
q
em
uma identidade
z1 , . . . , zn .
Z2 -graduada
de
A
e seja
f (q)
Vamos mostrar que todo
f (q)
a
segue
de
{z1 z2 , fl (y), fl11 (y)z1 , z1 fl22 (y); l1 ∈ L1 , l2 ∈ L2 , l ∈ L}
Se
Como
q > 1, então qualquer monômio de f (q) contém uma subpalavra zp1 yi1 · · · yik zp2 .
zp1 yi1 · · · yik , zp2 ∈ (KhXi)1 ,
conseqüência de
que
f = f (0) + f (1) .
identidades
Se
se,
Como
Z2 -graduadas
q = 0,
isto é,
então
f (q) = 0
segue de
A0 ∩ A1 = {0},
para
f (0) (y1 , . . . , ym ) = 0
f (0) (u) ∈ T (R1 ) ∩ T (R2 )
zp1 yi1 · · · yik zp2 = 0
z1 z2 = 0.
então
é uma
Logo, podemos assumir
f (0) = 0
e
f (1) = 0
são ambas
A.
f (0) (r1 )e11 + f (0) (r2 )e22 = 0
Logo
de
z1 z2 = 0,
a superidentidade
para todo
A
se, e somente
com
i = 1, . . . , m.
é uma identidade para
ri1 ∈ R1 , ri2 ∈ R2 ,
e a superidentidade
f (0) (y) = 0
é uma conseqüência
{fl (y); l ∈ L}.
Finalmente, se
f
(1)
q = 1,
isto é
(y1 , . . . , ym , z1 , . . . , zn ) =
ki
n X
X
fij1 (y)z1 fij2 (y), ki > 0.
i=1 j=1
neste caso, considerando as componentes misturadas de
assumir que
n = 1,
f (1) (y, z1 , . . . , zn ),
podemos
ou seja,
f
(1)
(y1 , . . . , ym , z1 ) =
k
X
fj1 (y)z1 fj2 (y), k > 0.
j=1
Vamos fazer uso de algumas idéias utilizadas na demonstração em [19]. Observe
que toda identidade polinomial ordinária
f 1 (u1 , . . . , um ) = 0 para R1
forma
f 1 (u1 , . . . , um ) =
X
w1 fl11 (t1 , . . . , tml1 )w2 = 0,
40
possui a seguinte
w1 , w2 , t1 , . . . , tml1 ∈ KhU i.
para alguns
f 1 (u) ∈ T (R1 )
qualquer
{fl11 (y)z1 = 0; l1 ∈ L1 };
w2 (y1 , . . . , ym )z1 ∈ (KhXi)1 ,
Como
a superidentidade
Analogamente, para
f 1 (y)z1 = 0
linearmente independentes módulo
T (R2 )
e
é uma conseqüência de
f 2 (u) ∈ T (R2 ).
de generalidade, podemos assumir na expressão de
para
f (1) (y, z1 ),
fj1 (u) ∈ T (R1 ),
Portanto, sem perda
que
fj2 , j = 1, . . . , k ,
para cada
são
j = 1, . . . , k .
Vamos mostrar que isto nos leva a uma contradição.
Seja
P
o
então existem
(R1 , Kord (R2 ))-bimódulo
1
r11 , . . . , rm
∈ R1
f (y, v1 ) =
tais que
k
X
livre gerado por
f11 (u) 6= 0,
v1 .
Como
f11 (u) ∈ T (R1 ),
isto é,
1
fj1 (r11 , . . . , rm
)v1 fj2 (y1 , . . . , ym ) 6= 0
j=1
em
P.
Reescrevemos
f (y, v1 )
como
f (y, v1 ) =
p
X
s1i v1 gi2 (y),
i=1
onde
s11 , . . . , s1p
são linearmente independentes em
independentes em
g12 (r2 ) 6= 0
Kord (R2 ),
obtemos que
R1 .
Como
f12 , . . . , fk2
são linearmente
gi2 (u) ∈ T (R2 ), i = 1, . . . , p,
e
p > 0.
2
r12 , . . . , rm
∈ R2
Daí,
e, para um elemento m1 ∈ M do conjunto
p
X
gerador livre do (R1 , R2 )-bimódulo M , a soma
s1i m1 gi2 (r2 ) é diferente de 0 em M .
i=1
como
para algum
2
1
e11 + rm
e22 , m1 e12 ) =
f (1) (r11 e11 + r12 e22 , . . . , rm
p
X
!
s1i m1 gi2 (r2 )
i=1
então
f (1) (y, z1 )
não desaparece em
A.
Isto completa a demonstração de que a base do
T2 (A)
é
{z1 z2 , fl (y), fl11 (y)z1 , y1 fl22 (y); l1 ∈ L1 , l2 ∈ L2 , l ∈ L}.
41
e12 ,
Teorema 4.2.2
U2 (R1 ) e U2 (R2 )
2
1
as correspondentes álgebras relativamente livres e livremente geradas por {u1 , u1 , . . . }
2
1
e {u2 , u2 , . . . }, respectivamente, e seja V o (U2 (R1 ), U2 (R2 ))-bimódulo livre com
geradores livres w1 , w2 , . . . . A superálgebra relativamente livre U2 (A) é isomorfa a
1
superálgebra U2 (A) de
!
U2 (R1 )
V
0
U2 (R2 )
Mantendo as notações do teorema anterior, sejam
gerada por
yi1 = ui1 E11 + ui2 E22
Prova:
Seja
w : U hXi → U21 (A)
w(yi ) = y i , w(zi ) = z i , i = 1, 2, . . ..
{fl11 ; l1 ∈ L1 }, {fl22 ; l2 ∈ L2 }
e
T (R1 ) ∩ T (R2 ),
identidades
L2 , l ∈ L
e
respectivamente.
com
i = 1, 2, . . . .
o homomorsmo
Z2 -graduado,
É suciente mostrar que
{fl ; l ∈ L}
bases dos
T -ideais
denido por
Ker w = T2 (A).
T (R1 ), T (R2 )
(ordinários)
Obviamente, a superálgebre
Seja
U21 (A)
satisfaz as
Z2 -graduadas z1 z2 = 0, fl (y) = 0, fl11 (y)z1 = 0, z1 fl22 (y) = 0, l1 ∈ L1 , l2 ∈
Ker w ⊃ T2 (A).
f (y, z) = f (y1 , . . . , ym , z1 , . . . , zn ) ∈ Ker w.
da demonstração anterior. Seja
É fácil ver que
f (q)
para
q > 1,
q
em
z1 , . . . , zn .
zp1 yi1 · · · yik zp2 ∈ T2 (A),
pois
e
Como as componentes pares e ímpares da superálgebra
se intersectam trivialmente, obtemos que
f (0) (u) ∈ T (R1 ) ∩ T (R2 )
Seguiremos as principais etapas
a componente homogênea de grau
f (q) ∈ T2 (A) ⊆ Ker w
f (0) + f (1) ∈ Ker w.
U21 (A)
z1i = wi E12
e pelo teorema anterior, temos que
Seja
daí,
e
e dessa forma,
f (0)
e
f (1)
pertencem ao
f (0) (y) ∈ T2 (A).
ker w.
Finalmente, para
Logo,
q = 1,
podemos vericar que para cada elemento não-nulo
f
(1)
(y, w1 , . . . , wn ) =
ki
n X
X
fij1 (y)wi fij2 (y) ∈ W .
i=1 j=1
existem
1
2
r11 , . . . , rm
∈ R1 , r12 , . . . , rm
∈ R2 , m1 , . . . , mn ∈ M
tais que
1
2
f (1) (r11 e11 + r12 e22 , . . . , rm
e11 + rm
e22 , m1 e12 , . . . , mn e12 ) 6= 0,
ou seja,
f (y, z) ∈ Ker w implica f (1) (y, z) ∈ T2 (A).
Z2 -graduada
para
A
e
Ker w ⊂ T2 (A).
Logo,
f (y, z) = 0 é uma identidade
Isto completa a demonstração do teorema.
42
4.3 Exemplos
Seja
K
um corpo de característica zero e seja

A=

R1
N
0
R2
a álgebra das matrizes triangulares em bloco com
,
Z2 -graduação
natural, nos seguintes
casos:
(1)
R1
e
e
N
R2
são as matrizes triangulares superiores de ordem
a álgebra das matrizes de ordem
(2)
R1 = R2 = N = M2 (K);
(3)
R1 = N = M2 (K) e R2
p
por
q,
com
p
e
q,
respectivamente,
p > q;
é a álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem
dois.
Então, as bases das identidades polinomiais
(1)
z1 z2 , [y1 , y2 ] . . . [y2p−1 , y2p ]
(2)
z1 z2 , s4 (y)
e
[[y1 , y2 ]2 , y1 ],
e
Z2 -graduadas
de
A
são, respectivamente,
z1 [y1 , y2 ] . . . [y2q−1 , y2q ];
s4 (y) = s4 (y1 , y2 , y3 , y4 )
onde
é o polinômio standard
de grau 4;
(3)
z1 z2 , s4 (y),[[y1 , y2 ]2 , y1 ]
e
z1 [y1 , y2 ][y3 , y4 ].
4.4 Comentários nais
(1) Em estudos recentes, S. M. Alves e P. Koshlukov generalizaram os resultados
acima para matrizes em blocos de ordem
n;
(2) Atualmente, A. Brandão está descrevendo os polinômios centrais de tais álgebras;
(3) Um
problema
superálgebras,
interessante
pois
a
partir
é
tentar
delas
encontrar
podemos
polinômios centrais.
43
obter
identidades
identidades
fracas
para
ordinárias
e
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