Capítulo 7: Escoamento Interno

Capítulo 7: Escoamento Interno
Transferência de calor
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento interno
• O fluido está completamente confinado por uma
superfície sólida: representa o escoamento de um
fluido em um duto ou tubulação.
• Assim como no escoamento externo, no interno há
dois regimes distintos: Recr = 2300
– Laminar: Re < 2300
– Turbulento: Re > 2300
• O número de Reynolds é definido como:
ρUD UD
Re =
=
µ
ν
EM-524 Fenômenos de Transporte
Sendo “D” o diâmetro
interno do tubo
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor do fluido
•
•
Quando um fluido é aquecido (ou resfriado)
numa tubulação, energia é transferida ao fluido
ao longo da tubulação.
A temperatura do fluido varia RADIALMENTE E
AXIALMENTE ao longo da tubulação
Exemplo de aquecimento com parede a temperatura constante
r
x
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor do fluido
•
No escoamento externo, o fluxo de calor é
determinado por meio de uma diferença entre
duas temperaturas referenciadas (exemplo:
Tparede e Tfluido externo).
•
Para escoamentos internos (confinados) a
temperatura do fluido varia axialmente e
radialmente e por isto é necessário um cuidado
especial para estabelecer a temperatura de
referência.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Variação de energia no fluido
• Balanço de energia (1a lei) para um volume de controle
que envolva o fluido (considerando RP, sem realização de
trabalho e desprezando variações de energia cinética e
potencial ):
Q
(m& h )e
SC
(m& h )s
&
& (h s - h e ) = Q
m
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Determinação das entalpias
• Tanto velocidade quanto temperatura variam ao
longo da seção transversal.
T(r)
U(r)
cp.T(r).U(r)
r
Z
Perfil
Perfil
Perfil
Velocidades Temperaturas J.kg-1.m-2
• Do ponto de vista local, caso não haja mudança de
fase, pode-se escrever que:
h = cpT
ou
& h = ρU(r)c T(r)dA
m
∫
EM-524 Fenômenos de Transporte
A
p
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Temperatura de mistura
• A entalpia na entrada ou saída do V.C. é então
determinada por meio da integral do produto entre a
velocidade, temperatura e calor específico
& h = ∫ ρcp U(r )T(r )dA
m
A
• O lado esquerdo pode ser representado pelo produto
entre cp e uma TEMPERATURA DE MISTURA, Tm:
h ≡ c p Tm
• Logo:
∫ ρc U(r )T(r )dA
p
& c p Tm = ∫ ρcp U(r )T(r )dA
m
A
EM-524 Fenômenos de Transporte
⇒
Tm =
A
& cp
m
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Temperatura de mistura
• Tm é a temperatura que se obtêm ao retirar uma
amostra de fluido em toda seção transversal do duto,
colocar em um copo e fazer uma mistura.
• Ela é MUITO CONVENIENTE pois o produto cpTm
expressa a entalpia específica na seção transversal do
duto.
• Neste caso o balanço de energia numa tubulação fica
sendo:
&
& (h s − h e ) = Q
m
EM-524 Fenômenos de Transporte
&
& c p (Tm s − Tm e ) = Q
m
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Temperatura de mistura
• Ao se transferir calor em um tubo:
– A Tm aumenta em “x” com o aquecimento;
– A Tm diminui em “x” com resfriamento.
• A Tm é a temperatura de referência para o cálculo
do coeficiente de transferência de calor em
tubulações.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Lei de Newton
• Para um escoamento trocando calor no interior de
um tubo, pode-se escrever que:
(
&q "x = h x Tp − Tm
)
Logo, o fluxo de calor por unidade de área é o
produto de hx (coeficiente local de transferência de
calor) pela diferença entre as temperaturas Tp e Tm
(temperatura da superfície – parede do tubo– e de
mistura, respectivamente).
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Perfil de temperatura e desenvolvimento
térmico
• Quando um fluido recebe um fluxo de calor ao longo
da parede do tubo, sua temperatura varia tanto na
direção radial, como na axial.
• Esta é uma situação diferente da hidrodinâmica, na
qual o perfil de velocidade não varia axialmente após
uma certa distância (escoamento plenamente
desenvolvido).
Pode-se alcançar um regime termicamente
desenvolvido para dutos?
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Perfil de temperatura desenvolvido
• O perfil de temperatura altera ao longo do
comprimento do duto, contudo a partir de um
determinado ponto sua forma relativa não se altera
mais:
θ=
Ts − T(r,x)
r
Ts − Tm
T(r)
x
θ
r
x
Tm
T(r,x)
EM-524 Fenômenos de Transporte
Perfil θ
Temperatura
• A partir do
desenvolvimento, essa
variável ficará constante.
• Quando dθ
θ/dx = 0 ele é
dito termicamente
desenvolvido.
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Balanço de energia do fluido
• Pela 1a lei para um VC que envolva o fluido e esteja
escoando em RP:
Q
(m& h )e
x
SC
(m& h )s
∆x
• Considerando que não é realizado trabalho e sejam
desprezadas as variações de energia cinética e
potencial:
&
EM-524 Fenômenos de Transporte
& (h s - h e ) = Q
m
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Balanço de energia do fluido
• Expressando-se os fluxos em função da temperatura
de mistura:
& e = ( ρ UA ) ⋅ C p ⋅ Tme
mh
dTm
& s = ( mh
& e ) + ( ρ UA ) ⋅ C p ⋅
mh
∆x
dx
& = q& " ⋅ P ⋅ ∆ x
Q
x
dTm
"
( ρUA ) ⋅ Cp ⋅ dx = q& x ⋅ P
EM-524 Fenômenos de Transporte
onde P é o perímetro
molhado do tubo
em contato com o
fluido
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Fluxo de calor uniforme: temperatura de
mistura
Q&
• Balanço de energia:
dTm
ρUA ) ⋅ Cp ⋅
= q& "x ⋅ P
(123
dx
&
m
x
Te
• Quando o fluxo de calor for constante, pode-se
integrar diretamente a equação do balanço de
energia e achar a temperatura de mistura para
qualquer valor de x>0:
&q"x ⋅ P ⋅ x
Tm ( x ) =
+ Tme
& ⋅ Cp
m
Onde Tme é a temperatura
EM-524 Fenômenos de Transporte de mistura da entrada
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Fluxo de calor uniforme: temperatura da
parede
• A temperatura de mistura varia
linearmente com a distância x.
Tp
• Para aquecimento, a
temperatura da parede sempre
aumenta.
0
• Ela pode ser calculada em
0
qualquer posição por meio de
Tm :
"
&
q
q& "x = h x ( Tp − Tm ) ⇒ Tp ( x ) = x + Tm ( x )
hx
Tm
h
x
• Note que para escoamento desenvolvido, h é cte e
portanto Tp possui a mesma inclinação que Tm.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Água escoa através de um duto aquecido, 3cm diâmetro, com
velocidade média de 1 m/s. A temperatura de mistura da água na entrada
da seção de aquecimento vale 18oC. 20kW de potência são transferidos
para água. Calcule a temperatura de mistura da água no ponto que ela
deixa o tubo. Despreze variações da energia cinética e potencial.
Q&
Tme = 18oC
U = 1m/s
Tms = ?
20kW
•
•
Quando o fluxo de calor é constante, a temperatura da
mistura no final do tubo é:
q& "x ⋅ P ⋅ x
Tm ( x ) =
+ Tme
& ⋅ Cp
m
Propriedades avaliadas na temperatura média de mistura:
20oC (chute!)
cp = 4,182 kJ/kg oC
ρ=998,3 kg/m3
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Água escoa através de um duto aquecido, 3cm diâmetro, com
velocidade média de 1 m/s. A temperatura de mistura da água na entrada
da seção de aquecimento vale 18oC. 20kW de potência são transferidos
para água. Calcule a temperatura de mistura da água no ponto que ela
deixa o tubo. Despreze variações da energia cinética e potencial.
Q&
Tme = 18oC
U = 1m/s
Tms = ?
20kW
•
A vazão mássica: m = ρ.U.Atransv = 998,3*1*π
π(0,03)2/4= 0,7053
kg/s
"
P*x = A
•
Como:
q& "x ⋅ A
Tm ( x ) =
+ Tme
& ⋅ Cp
m
EM-524 Fenômenos de Transporte
&
q& * A = Q
20000
o
Tms =
+ 18 = 24,8 C
0,7053 * 4182
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Água escoa através de um duto aquecido, 3cm diâmetro, com
velocidade média de 1 m/s. A temperatura de mistura da água na entrada
da seção de aquecimento vale 18oC. 20kW de potência são transferidos
para água. Calcule a temperatura de mistura da água no ponto que ela
deixa o tubo. Despreze variações da energia cinética e potencial.
Q&
Tme = 18oC
U = 1m/s
Tms = ?
20kW
•
•
Para a Tms encontrada pode-se obter a temperatura de mistura
18 + 24,8
e verificar se o erro é desprezível:
Tm =
= 21,4o C
2
As propriedades serão: cp = 4,186 kJ/kg oC
ρ=998 kg/m3
m = ρ.U. Atransv = 998*1*π
π(0,03)2/4= 0,7051 kg/s
20000
Tms =
+ 18 = 24,8o C
0,7051 * 4186
EM-524 Fenômenos de Transporte
O resultado é o mesmo, logo
Tms = 24,8ºC é aceitável.
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Temperatura da parede uniforme:
temperatura da mistura
Tp cte
x
Te
Tp cte
• Para temperatura de parede uniforme não é possível
integrar diretamente a eq. do balanço.
dTm
& ⋅ Cp ⋅
m
= q& "x ⋅ P = h x • P • (Tp − Tm )
dx
• Mas assumindo um h médio entre a entrada e saída,
ela pode ser integrada:
(
Ln Tp − Tm
EM-524 Fenômenos de Transporte
)
s
e
h⋅P⋅x
=−
& ⋅ Cp
m
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Temperatura da parede uniforme:
temperatura da mistura
• Para qualquer posição axial do tubo:
Tp − Tm ( x )
Tp − Tme
 h⋅P⋅x 
= EXP  −

 m
 & ⋅ Cp 
• Quando x = L (comprimento total do tubo), P.L = A
(área de transferência de calor do tubo), então:
Tp − Tms
Tp − Tme
EM-524 Fenômenos de Transporte
 h⋅A 
= EXP  −

 m
 & ⋅ Cp 
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Ar entra em um duto circular de 3 cm de diâmetro com uma
velocidade média de 20 m/s. A superfície do duto está a uma
temperatura uniforme de 80oC, enquanto que a temperatura de mistura
do ar que entra no duto vale 20oC. Determine o comprimento do duto
necessário para obter uma temperatura de mistura na saída de 40oC. O
coeficiente médio de transferência de calor vale 80 W/m2 oC.
Tp 80oC
Tme=20oC
U = 20m/s
•
Tp 80oC
Quando a temperatura da parede é uniforme:
Tp − Tms
Tp − Tme
•
Tms=40oC
 h⋅A
= EXP  −
 m
 & ⋅ Cp



E pode-se encontrar L através da área (A=P*L):
 Tp − Tms 
& cp 
m

 * ln
L = −
T −T 
h
P
me 


EM-524 Fenômenos de Transporte
 p
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Ar entra em um duto circular de 3 cm de diâmetro com uma
velocidade média de 20 m/s. A superfície do duto está a uma
temperatura uniforme de 80oC, enquanto que a temperatura de mistura
do ar que entra no duto vale 15oC. Determine o comprimento do duto
necessário para obter uma temperatura de mistura na saída de 40oC. O
coeficiente médio de transferência de calor vale 80 W/m2 oC.
Tp 80oC
Tme=20oC
U = 20m/s
Tms=40oC
Tp 80oC
Tm =
•
A temperatura média da mistura será:
•
As propriedades são: cp = 1,0064 kJ/kg oC
20 + 40
= 30o C
2
ρ=1,1644 kg/m3
m = ρ.U. Atransv = 1,1644*20*π
π(0,03)2/4=0,01422 kg/s
P = πd = 0,094 m
 Tp − Tms 
& cp 
m
 0,01422 * 1006,4 
 80 − 40 


 * ln
L = −
= −
 * ln
 = 0,77 m


Tp − Tme 
80 * 0,094
 80 − 20 


 hP 

EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
•
•
Número de Nusselt
• Como visto anteriormente, para se determinar as
distribuições de temperaturas ou os fluxos de
calor é necessário se conhecer o coeficiente de
transferência de calor da película (h).
• Esse parâmetro é determinado a partir do número
de Nusselt, definido por:
hD
Nu =
k
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento laminar
• Re < 2300
• As propriedades devem ser avaliadas na
temperatura média da temperatura de mistura:
Tprop = (Tm,e + Tm,s)/2
• Peclet:
Pe = Re.Pr
– Temp. const. & Pe.(D/L) < 100 ⇒ região termicamente
desenvolvida e Nux= 3,66
– Q const. & Pe.(D/L) < 1000 ⇒ região termicamente
desenvolvida e Nux= 4,36
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Nu para regiões de entrada térmica e perfil vel. desenvolvido.
Dutos circulares e Escoamento Laminar Re < 2300
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Nu para escoamento plenamente desenvolvido.
Dutos não-circulares e Escoamento Laminar Re < 2300
4A c
Dh =
P
A c = área da seção transversal
P = perímetro molhado
EM-524 Fenômenos de Transporte
hDh
Nu =
k
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Nusselt - Escoamento laminar
• As correlações de Nu apresentadas referem-se ao
gradiente de temperatura na direção axial.
• Para considerar também o gradiente de
temperatura na direção radial é necessário fazer
uma correção no valor de Nu:
Nu cor
 µm 

= Nu
µ 
 p
0,14
Onde os índices m e p indicam a temperatura média da
mistura e de parede, respectivamente.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento turbulento
• Nesse caso: Re > 2300.
Dh deve ser usado
como comprimento
característico no
cálculo de Re e Nu.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento turbulento: tubos rugosos
• Para escoamentos turbulentos em dutos RUGOSOS
de seção circular ou não-circular pode-se empregar a
analogia entre atrito e calor proposta por ChiltonColburn:
f
= St ⋅ Pr 2 3
8
f é o fator de atrito (diagrama de Moody) e St (St = Nu/(RePr)).
• Substituindo a definição de St, encontra-se que:
f
Nu = ⋅ Re dh ⋅ Pr 1 3
8
Note que Redh é calculado utilizando-se o diâmetro hidráulico
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Nusselt - Escoamento turbulento
• No caso de ser um gás ou vapor, a correção no
valor de Nu considerando também o gradiente de
temperatura na direção radial é:
Nu cor
 Tm 

= Nu

T
p


n
Onde as temperaturas estão na escala ABSOLUTA.
• Gás sendo resfriado: n = 0
• Gás sendo aquecido: n depende do gás (n ≅ 0,45, exceto
para CO2)
• Para líquidos:
EM-524 Fenômenos de Transporte
Nu cor
 Prm 

= Nu
 Pr 
 p
0,11
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Resumo
1. Definição de Temperatura
de Mistura, Tm;
2. Fluxo Calor num Tubo
3. Balanço Energia num Tubo
4. Fluxo Calor na Parede
Constante
5. Temperatura na Parede
Uniforme
6. Correlações Nu Laminar
& Turbulento
EM-524 Fenômenos de Transporte
(
q& "x = h x Tp − Tm
)
dTm
(ρUA ) ⋅ Cp ⋅
= q& "x ⋅ P
dx
q& "x ⋅ P ⋅ x
Tm =
+ Te
& ⋅ Cp
m
 h⋅A
Tp − Tm (L )
= EXP −
 m
Tp − TE
 & ⋅ Cp




Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
ESCOAMENTO
Laminar
ReD < 2300
Nu ESCOAMENTO
LAMINAR
T
Uniforme
Duto
Circular
Q Cte
Outras
Formas
Nu Local & Médio
Desenvolvido
Duto
Circular
Nu Local = Médio
Desenvolvido
Nu Local & Médio
Em Desenvolvimento
EM-524 Fenômenos de Transporte
Outras
Formas
Nu Local & Médio
Desenvolvido
Nu Local=Médio
Desenvolvido
Nu Local & Médio
em Desenvolvimento
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
ESCOAMENTO
Turbulento
ReD > 2300
Nu ESCOAMENTO
TURBULENTO
T uniforme
Q constante
Duto
Circular
Outras
Formas
Nu Médio
Nu Médio
Nu = g(Re,Pr)
EM-524 Fenômenos de Transporte
Chilton-Colburn
f =g(St,Pr)
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Ar quente escoa através de um duto de seção retangular, 7,5cm
por 30cm. O ar entra no duto com uma temperatura de mistura de 60oC e
uma velocidade de 60m/s. O duto tem 16 m de comprimento e as paredes
do duto podem ser consideradas com tendo temperatura uniforme igual a
4oC. Se a temperatura do ar que deixa o duto for menor que 57oC, ficou
decidido que o duto deveria ser isolado. Você recomenda que o duto seja
isolado?
• Quando a temperatura da
Tms >57oC
parede é uniforme:
30 cm
7.5 cm
Tp = 4oC
Tp − Tms
m
6
1
Tme = 60oC
U = 60m/s
EM-524 Fenômenos de Transporte
Tp − Tme
•
 h⋅A
= EXP  −
 m
 & ⋅ Cp



E pode-se encontrar Tms:

 hPL 

Tms = Tp − (Tp − Tme )exp −
 m

&
c

p


Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Tms >57oC
Tme = 60oC
U = 60m/s
Considerando que a
30 cm
temperatura máxima de saída
7.5 cm
seja 57º C (chute) a
m
Tp = 4oC
6
1
temperatura média da mistura
será: (60+57)/2 = 58,5oC
Cp (kJ/kg.oC) ρ (kg/m3)
ν (m2/s)
k (W/moC)
Pr
1,0079
1,0645
18,75.10-6 28,41.10-3 0,7081
•
Para o tubo de seção retangular, a área transversal ao fluxo,
Atransv, e o perímetro P são, respectivamente: 225 cm2 e 75cm.
Logo o diâmetro hidráulico: dh = 4.AT/P = 12 cm
O número de Re:
Re = U.dh/ν
ν = 60.12.10-2/(18,75.10-6)=3,84.105
Regime Turbulento (Redh > 2300)
& = ρUA = 1,0645 * 60 * 0,0225 = 1,4371 kg/s
m
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Tms >57oC
30 cm
Tp = 4oC
7.5 cm
16
m
Cp (kJ/kg.oC)
1,0079
ρ (kg/m3)
1,0645
ν (m2/s)
18,75.10-6
k (W/moC)
28,41.10-3
Pr
0,7081
Tme = 60oC
U = 60m/s
2/3

d
 h  
4/5
2/5 
Nu = 0,0214(Re − 100)(Pr) 1 +  
= 565,90
 L 


h * dh
565,90 * 28,41.10-3
Nu =
= 565,90 ⇒ h =
= 133,98W/m 2 oC
k
0,12

 hPL 
 = 22,46o C
Tms = Tp − (Tp − Tme )exp −
 m

&
c

p


EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Tms >57oC
30 cm
Tp = 4oC
7.5 cm
16
m
•
A temperatura média da
mistura será: (60+22,46)/2 =
41oC
Cp (kJ/kg.oC)
1,0068
Tme = 60oC
U = 60m/s
Re =
ρ (kg/m3)
1,1273
ν (m2/s)
16,96.10-6
k (W/moC)
27,10.10-3
Pr
0,710
Ud h
60 * 0,12
5
=
=
4
,
245
.
10
ν
16,96.10 −6
2/3

 d h  
4/5
2/5 
Nu = 0,0214(Re − 100)(Pr) 1 +  
= 614,03
 L 


h * dh
614,03 * 27,1.10 -3
Nu =
= 614,03 ⇒ h =
= 138,67W/m 2 oC
k
0,12

 hPL 
 = 22,9o C
Tms = Tp − (Tp − Tme )exp −
 m


 & c p 
EM-524 Fenômenos de Transporte
•
Como a temperatura de
saída é menor que 57º
C. o duto deverá ser
isolado.Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Trocadores de calor
• São equipamentos que fazem a transferência de
energia de uma corrente quente de fluido para uma
corrente fria.
• Normalmente, os dois fluidos são separados por
paredes sólidas:
– São chamadas de superfícies de troca.
– No caso de fluidos imiscíveis, as paredes sólidas podem
ser dispensadas e o trocador é chamado de contato
direto.
Tfs
Tqs
Tqe
Tfe
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
FIM !
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero