Cinemática do ponto material (PM)

Cinemática do ponto material (PM)
1- Determine a velocidade média de um PM nos instantes t=5 s e t=10 s, sendo o seu
movimento dado pelo gráfico mostrado a seguir
2- Uma partícula move-se numa dada direcção, sendo a sua posição em cada instante dada
por x(t)=5t2+1. Calcular a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo: [2,3], [2,
2.1], [2,2.001], [2,2.0001] e [2,2.00001]. Comparar os resultados com o valor da velocidade
instantánea no instante t=2 s.
3- Considere um PM que se desloca ao longo do eixo dos x’s de acordo com a lei
x(t)=a+bt+ct2+dt3 (m). Determine: a) as dimensões das constantes a, b, c e d, b) a
velocidade do PM para t=1 s e c) a aceleração como função do tempo.
4-A aceleração dum PM em movimento rectilíneo é dada pela expressão a(t)=b+ct2 (m/s2).
Determine: a) as dimensões das constantes b e c, b) a velocidade do ponto material em
t=1 s sabendo que a velocidade em t=0 s é nula; c) a posição do PM para t=1 s, sabendo que
em t=0 s a sua posição é x(0)=0 m.
5- Discutir graficamente o movimento cuja lei é x(t)=12-8t+t2 (m).
6- Um PM move-se ao longo de um eixo segundo a lei x(t)=t3-3t2-9t+5 (m). Discuta o seu
movimento.
7- Considere um PM que se desloca de acordo com x(t)=bt sen(ωt)+d cos(ωt). Determine:
a) as dimensões das constantes b, d e ω e b) as funções v(t) e a(t) e desenhe os gráficos de
x(t), v(t) e a(t) para d=0.
8- Um ponto material move-se em linha recta de acordo com a(t)=bt+ceγt+dsen(ωt).
Determine: a) as dimensões das constantes b, c, d, ω e γ, b) a velocidade do PM para t=π s e
c) a função x(t) sabendo que x(0)=2 m.
9- A posição de um PM que se desloca ao longo de uma linha recta é dada por x(t)=t3-6t215t+40. Determine: a) o instante em que v=0 sabendo que o movimento de inicia em t=0 s,
b) a posição do PM e a distância percorrida até esse instante, c) a aceleração nesse instante
e d) a distância percorrida entre t=4 s e t=5 s.
10- Um PM em movimento rectilíneo parte do repouso com uma aceleração de 10 m/s2 que
decresce linearmente até se reduzir à metade ao fim de 2 s.A partir desse instante o PM
move-se com aceleração constante durante 60 s, findos os quais actua sobre ele uma força
constante que o faz parar ao fim de 10 s. a) Represente graficamente a aceleração e a
velocidade como função do tempo. b) Calcule a velocidade máxima atingida e o valor da
desaceleração.
11- Um comboio tem uma velocidade máxima de 144 km/h, um máximo de aceleração de
0,25 m/s2 e um máximo de desaceleração de 0,5 m/s2. O comboio para em duas estações
distanciadas de 30 km. Calcule o tempo mínimo que leva o comboio a ir de uma estação a
outra.
12- O gráfico mostrado na figura a seguir representa o valor da velocidade em função do
tempo de um PM, cuja trajectória é rectilínea. O PM inicialmente desloca-se para norte
(v>0). a) Indique em qual dos três intervalos [2,3], [2,3] e [6,7] é máxima a velocidade
média para norte e é mínima a distância percorrida pelo PM, b) para além do instante da
partida, em que instantes esteve o PM em repouso, c) determine o valor da aceleração em
t=3 s, d) durante o intervalo de tempo [2,5], quais foram o deslocamento e a distância
percorrida?, e) em que instante esteve o PM a sua maior distância, para norte do ponto de
partida?, e) se a área do lado positivo da velocidade fosse igual à do lado negativo, qual
seria a posição do PM no instante t=7 s, g) construa o gráfico a(t) no intervalo de tempo
[0,7] s.
13- Um PM desloca-se em linha recta com velocidade inicial v0≠0 e aceleração constante.
Quando atinge a velocidade de 5v0, a aceleração muda de sentido ficando a sua grandeza
inalterável. Qual a velocidade do PM no instante em que volta a passar no ponto de partida?
14- Dois PM, separados por uma distância S, partem com velocidades iniciais nulas ao seu
mútuo encontro, animadas de acelerações iguais em módulo. Os dois PM encontram-se ao
fim de 10 s. Qual o incremento a dar à aceleração de uma delas para que se encontrem ao
fim de 5 s? .
15- A aceleração de um PM em movimento rectilíneo é directamente proporcional ao
tempo. Sabe-se também que v(t=0 s)=9 m/s. Sabendo que no instante t=3 s a velocidade e
coordenada de posição da partícula são nulas, escreva a equação de movimento da
partícula.
16- Um corpo tem aceleração constante de 9,8 m/s2 e parte do repouso. Sabendo que
durante o último segundo percorre 3/4 do percurso, determine o espaço total percorrido e o
tempo gasto no mesmo.
17- Uma pedra é lançada verticalmente com velocidade inicial v0y=2 m/s. Calcule a altura
máxima atingida pela pedra, a velocidade com que chega ao chão e o tempo que leva a ir e
voltar.
18- Uma pedra é lançada para dentro de um poço. Ao fim de 2 s ouve-se o bater da pedra
na água. A que profundidade está a superfície da água do poço? (considere vsom=340 m/s).
19- A aceleração de um PM é dada por a=kv2 (m/s2), sendo v a velocidade. O PM parte em
x=0 m com velocidade de 20 m/s. Quando chega à posição x=100 m atinge a velocidade de
15 m/s. Determine: a) a distância percorrida quando a velocidade atinge o valor de 10 m/s e
b) a distância percorrida até a velocidade se anular.
20- A posição de um PM é dada por x(t)=Asen(ωt+φ). Sendo v0 e x0 a velocidade e
coordenada na posição inicial, mostre que: a) tan(φ)=x0ω/v0, b) A=(x02+(v0/ω)2)0.5.
21- Um automóvel de massa 1000 kg acelera partindo do repouso. Durante os primeiros 10
s a força resultante que actua sobre ele é dada por f=f0-kt, onde f0=103 N e k0=200 N/s,
sendo t o tempo decorrido desde o arranque. Calcule a velocidade e a distância percorrida
ao fim de 10 s de movimento.
22- Um PM descreve uma trajectória circular em torno da origem dos eixos cartesianos,
r
sendo a sua posição dada pela equação r (t ) = 3 sin( 2t )eˆ x + 3 cos( 2t )eˆ y (o argumento das
r
r
funções sin e cos é em radianos). Determine: a) os vectores v (t ) e a (t ) e os seus
respectivos módulos, b) as componentes tangencial e normal da aceleração, c) a expressão
r
r r
para o espacio percorrido pela partícula, s(t), d) r , v e a em t=0 s e t=2 s e o espaço
percorrido entre esses dois instantes, e) calcule o ângulo θ descrito pelo vector de posição
entre os dois instantes acima referidos e, a partir daí, calcule a velocidade angular, f) a
relação entre ω e s e entre ω e v e g) caracterize o movimento.
23- Um PM descreve uma circunferência de acordo com a lei θ(t)=3t2+2t. Calcule: a) a
velocidade angular para t=4 s, b) a aceleração angular no mesmo instante.
24- Um corpo inicialemnet em repouso é acelerado numa trajectória circular de 1,3 m de
raio, segundo a lei s(t)=120t2-48t+16. a) Escreva a equação de θ e ω e b) calcule o valor das
acelerações normal e tangencial para t=1 s.
25- Um carro desloca-se com velocidade constante numa curva de raio 1000 m. Sabendo
que a componente normal da aceleração não pode exceder o valor de 0,7 m/s2, determine a
velocidade máxima com que a curva pode ser feita.
26- Um móvel percorre um arco de circulo de 0,4 m de raio com uma velocidade que varia
segundo a lei v(t)=4-30t (m/s). Determine para t=0 s a aceleraçao do móvel e o ângulo que
a aceleração faz com a velocidade (ilustre esquematicamente).
27- Calcule a velocidade de um PM situado no equador (RTerra=6,4x106 m).
28- Um objecto fixo em relação à superfície de um planeta idêntico, em massa e raio, à
terra, sofre uma atracção gravitacional nula no equador. Qual é a duração do dia naquele
planeta?
29- Um carro, cujas rodas têm um diâmetro de 76 cm move-se a uma velcidade de 97 km/h.
a) Calcule a velocidade angular das rodas. b) Se o carro parar após as suas rodas
perfazerem 30 rotações, determine a aceleração angular das rodas. c) Que distância
pecorreu o carro até parar? (Considere a força de atrito que faz para o carro constante).
30- Dois pontos móveis podem descrever uma trajectória circular de raio 5 cm. Partem no
mesmo instante e do mesmo ponto em sentidos contrários. Um deles tem velocidade inicial
de 5 cm/s e aceleração tangencial de 2 cm/s2 e o outro move-se segundo a lei s(t)=-t2-5t.
Determine o instante em que os pontos se encontram.
31- Na figura a seguir é mostrado um braço OA que gira em redor de O, sendo o seu
movimento definido pela relação θ(t)=-t2+0.55. O cursor desliza ao longo do braço, sendo o
seu deslocamento, em relação a O, dado por r(t)=1-0.13t2 (m). Determine a velocidade e a
aceleração do cursor após o braço ter girado 30º.
32- Um projéctil é disparado com velocidade inicial de 60 m/s, segundo um ângulo de 60º
com a horizontal. Calcule: a) o alcance horizontal, b) a altura máxima, c) a velocidade 3 s
após o disparo, d) o tempo decorrido e a velocidade quando o projéctil está a 100 m de
altura e e) determine o ângulo para o qual o alcance do canhão é máximo.
33- Uma bola é lançada do cimo de uma torre de 35 m com velocidade inicial v0=80 m/s,
numa direccção que faz um ângulo de 30º com a horizontal (ver figura a seguir). a) Calcule
o tempo que a bola demora a atingir o chão e a distância horizontal atingida pela bola, b)
calcule a intensidade e direcção da velocidade no momento do impacto.
34- Um projéctil é disparado com uma velocidade inicial de 240 m/s contra um alvo situado
a 600 m acima do nível da arma e a uma distância de 3600 m da mesma. Determine o valor
do ângulo de disparo.
35- Um jogador atira uma bola com a velocidade de 15 m/s de um ponto A, localizado a 1,5
m do solo (ver figura a seguir). Sabendo que a bola atinge uma altura máxima de 6 m,
determine a altura do ponto B.
r
36- O vector posição de um ponto material é dado r (t ) = 3t 2ê x + tê y m.
a) Determine a velocidade e a aceleração no instante t=3 s;
b) Classifique o movimento;
c) Escreva a equação cartesiana da trajectória.
37- A equação do movimento de uma partícula é r (t) = (t 2 + 1)êx + (3t - 2) êy + (2t 3 - 4t 2 ) êz
m. Determine a velocidade e aceleração da partícula no instante t=2 s.
r
38- As coordenadas da posição de um ponto material são dadas por 2t3-4t m e y=2t m.
Determine: a) o instante em que a aceleração se reduz à sua componente normal, b)
determine para esse instante o raio de curvatura.
r
39- O vector posição de uma partícula é dado pela expressão r (t) = têx + 0.5t 2êy + têz .
Determine: os vectores da velocidade e aceleração e os seus respectivos módulos, b) o
módulo do vector aceleração tangencial, c) o vector aceleração normal e o seu módulo e d)
o raio de curvatura.
Dinâmica do ponto material
Duas forças F1 e F2 actuam sobre um ponto material de massa m (ver figura a seguir).
Considere que m=8 kg, F1=4 N e F2=6 N. Determine: a) a aceleração do PM e b) a
1 m/s e que 0 tem a mesma
velocidade
no instante t=1 s, sabendo que 0
direcção e sentido que .
Dois blocos estão em contacto sobre uma mesa plana. Uma força horizontal é aplicada a um
dos blocos (ver figura a seguir). a) Sabendo que m1=2 kg e m2=1 kg e F=3 N, determine a
força de contacto entre os dois blocos. b) Mostrar que se a mesma força for aplicada em m2
em vez de em m1, a força de contacto entre os dois blocos é de 2 N (de valor diferente ao
caso anterior). Despreze as forças de atrito.
Um bloco de 3 kg de massa é colocado sobre outro com 5 kg. Admita que não atrito entre o
bloco de 5 kg e a superfície e que o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0.2.
a) Qual é a força máxima que, aplicada no corpo inferior, movimenta o sistema sem que os
blocos se desloquem, um relativamente ao outro? b) Qual é a aceleração do sistema quando
está força é aplicada?
Três blocos estão ligados entre si sobre uma mesa horizontal (ver figura), sendo puxados
para a direita por uma força T3=60 N. Sabendo que m1=10 kg, m2=20 kg e m3=30 kg,
determine as tensões T1 e T2. Despreze o atrito e a massa da corda.
Um bloco de 90,7 kg está em repouso num plano horizontal. Determine o módulo da força
necessária para que o bloco deslize com uma aceleração de 3 m/s2. A força faz um ângulo
de 30º com o plano horizontal e o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco é
0.25.
Um pêndulo de 2 m de comprimento descreve um arco de circunferência num plano
vertical. (ver figura a seguir). Sabendo que, na posição mostrada (θ=30º), a tensão da corda
é 2,5 vezes o peso do pêndulo, determine, para a mesma posição, a velocidade e aceleração
do pêndulo. Despreze a massa da corda.
Considere um copo de forma hemisférica (ver figura). Supondo que se deixa cair da borda
do copo (θ=90º), um corpo de massa m=0.1 kg e sabendo que a tensão máxima que o copo
suporta é de 2 N, determine o ângulo de ruptura do copo.
Determine a tensão da corda (inextensível), a velocidade e a aceleração dos blocos, no
instante em que m1 se encontra 1,5 m, abaixo da posição inicial. Despreze as forças de
atrito e as massas da roldana e o fio (m1=6 kg, m2=12 kg e v(t=0)=0 m/s).
Considere o sistema representado na figura a seguir. Determine: a) a sua aceleração e b) o
espaço percorrido pelos corpos ao fim de um segundo (α=60º, β=30º, m1=1 kg, m2=1 kg e
v(t=0)=1 m/s). Despreze o atrito e as massas da roldana e o fio. A corda é inextensível.
Determine o intervalo de valores que a massa m0 pode ter de maneira que o bloco de 100
kg, mostrado na figura, se mantenha estático. O coeficiente de atrito estático entre as
superfícies em contacto é 0.3 e α=20º. A corda é inextensível e o atrito desprezável.
Considere um comboio que se move sobre uma mesa horizontal com movimento circular e
uniforme, de velocidade angular ω1=const. (ver figura 1). Suponha que a massa do comboio
é de 100 g e que o raio da trajectória é de 2 m. O comboio está ligado por um fio,
inextensível de massa desprezável, a uma massa de m2=2 kg. Determine que velocidade
deve ter o comboio para equilibrar a massa m2.
Considere o sistema indicado na figura 2. Supondo que a roldana (de massa desprezável)
está animada de um movimento vertical com aceleração constante,
, determine a
aceleração de cada uma das massas e a tensão da corda (inextensível e de massa
desprezável). Despreze a força de atrito e a massa da roldana.
Demonstre que as acelerações dos corpos mostrados na figura a seguir são dadas pelas
4
P,
4
P e
expressões:
4
.
P, com
/
4