estudo analítico de alguns transitórios elétricos do motor

CAPÍTULO
8
ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS
TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE
INDUÇÃO
8.1 TRANSITÓRIO ELÉTRICO DE PARTIDA
Vamos considerar o caso de um motor de indução com constante de tempo
mecânica muito maior que as constantes de tempo elétricas. O motor encontra-se em
repouso quando é subitamente alimentado por tensões senoidais balanceadas. Como
conseqüência da diferença entre as constantes de tempo, o transitório das correntes se
estingue antes que o motor comece a girar. Assim a análise será feita para velocidade
nula.
Seja:
vS1 = 2vSsen ( ωt )
(8.1)
vS2 = 2vSsen ( ωt − 120o )
(8.2)
vS3 = 2vSsen ( ωt + 120o )
(8.3)
vSα = 3vS cos ( ωt )
(8.4)
vSβ = 3vSsen ( ωt )
(8.5)
Assim:
Seja o modelo do motor em componentes simétricas instantâneas.
i



R
+
L
p
+
j
Ψ


S
S

 vS+ 


 = 
i
i
 0   m  p + j Ψ− j θ 

SR 





 i 
  S+ 
i
i

 i
R R + LR  p + j Ψ− j θ   R + 


i


mSR  p + j Ψ 


(8.6)
140
CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
i
Como o motor encontra-se em repouso θ = 0. Colocando-se o referencial no
i
estator tem-se Ψ = 0.
Assim:
 vS+   R S + pLS
 0 = 
   pmSR
pmSR   iS+ 
 
R R + pLR  i R + 
(8.7)
O modelo está representado pelo circuito a seguir.
RS
(LS - mSR )
iS
vS
+
(LR - mSR )
iR
+
mSR
+
RR
Fig. 8.1 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação balanceada.
Todos os parâmetros estão referidos ao primário.
Seja:
AS = LS - mSR
(dispersão primária)
AR = LR - mSR
(dispersão secundária)
como AS e AR são muito menores que mSR, a presença desta última indutância será
ignorada. Assim o circuito adquire a configuração representada na Fig. 8.2.
AS
RS
iS
vS
AR
RR
+
+
Fig. 8.2 – Circuito eqüivalente para o motor de indução simplificado.
O modelo então passa a ser:
vS+ = ( R S + R R ) iS+ + p ( A S + A R ) iS+
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(8.8)
141
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
Seja:
R = RS + R R
(8.9)
A = AS + AR
(8.10)
vS+ = RiS+ + pAiS+
(8.11)
Assim:
Aplicando-se a transformação de Laplace, obtém-se:
iS+ ( s ) =
vS+ =
vS+ =
vS+ ( s )
1
A
 R
s + 
A

(
1
vS + jvSβ
2 α
)
(8.12)
(8.13)
3
vS ( cos ( ωt ) + jsen ( ωt ) )
2
(8.14)
3
vS e jωt
2
(8.15)
Assim:
vS+ =
Assim:
vS+ ( s ) =
3 vS
2 s − jω
(8.16)
Levando-se (8.16) em (8.12) obtém-se (8.17):
iS+ ( s ) =
3 vS
2 A
1
R
( s − jω)  s + 
A

(8.17)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.18).
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CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
 jωt − RA t 
3
1
vS
e −e 
2 ( R + jωA ) 

iS+ ( t ) =
(8.18)
R + jωA = R 2 + ω2 A 2 e jφ0
(8.19)
 ωA 
φ0 = tan −1  
R
(8.20)
 j( ωt −φ0 ) − RA t − jφ0 
3
vS
iS+ ( t ) =
−e
e

2 R 2 + ω2 A 2 

(8.21)
onde
Assim:
Por outro lado:
iSd ( t ) = 2 Re iS+ ( t ) = Parte real iS+ ( t )
(8.22)
Assim:
iSd ( t ) = 3
R
− t


A
cos
t
e
cos ( φ0 ) 
ω
−
φ
−
(
)

0
R 2 + ω2 A 2 

vS
(8.23)
mas,
iSd =
3
iS
2 1
(8.24)
Assim:
R
− t


A
iS1 ( t ) =
 cos ( ωt − φ0 ) − e cos ( φ0 ) 
2
2 2
R +ω A 

2vS
(8.25)
A expressão (8.25) representa a corrente transitória na fase 1 do motor. Possui
uma componente cosenoidal e uma exponencial. A sua forma está representada na
Fig. 8.3.
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143
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
iS
1
t
Fig. 8.3 – Corrente transitória na fase 1 um do motor de indução.
Após o transitório a corrente é limitada somente pelas resistências do estator e
do rotor e pelas reatâncias de dispersão do motor.
A constante de tempo elétrica é muito pequena. Consideremos a título de
exemplo os seguintes valores:
R S + R R ≅ 2,0Ω
XA S + XA R ≅ 4,0Ω
(8.26)
Assim:
A S + A R = A = 10,6mH
(8.27)
A 10,6
=
= 5,3ms
R 2,0
(8.28)
Assim:
τe =
Supondo que o transitório elétrico esteja terminado após cinco constantes de
tempo, tem-se:
∆t = 5τe = 26,5ms
(8.29)
Assim o transitório tem uma duração aproximada de dois ciclos da rede. É
muito rápido e na maioria das vezes é desconsiderado.
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144
CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
8.2 CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO DO MOTOR DE INDUÇÃO
a) modelos básicos:
Vamos considerar um motor trifásico de indução alimentado pela rede e
acionando uma carga mecânica. Num determinado instante, quando t = 0, é
estabelecido um curto circuito trifásico nos seus terminais. Deseja-se expressar, em
função do tempo, a evolução das correntes nas fases.
O transitório elétrico de curto-circuito é muito rápido. Por isto, para efeito de
estudo, a velocidade do motor será considerada constante.
i 1 (t)
i 2 (t)
MOTOR
i 3 (t)
Fig. 8.4 – Representação de um curto-circuito trifásico em um motor de indução.
Seja o modelo sob a forma de componentes simétricas instantâneas, com
referencial preso no estator, de acordo com a expressão (8.30).

R S + pLS
 vS+  
 0 = 
i
   m  p − jn θ 


SR





  iS 
 + 
i

 i
R R + LR  p − jn θ   R + 


pmSR
(8.30)
Para facilitar a análise, a resistência do estator será inicialmente ignorada. Ela
influencia basicamente na forma de envoltória da corrente e o seu valor poderá ser
i
incluído no valor de RR. Seja n θ = ωm sendo ωm a velocidade do motor.
i
Durante o curto tem-se n θ = ωm . Assim o modelo adquire a forma de expressão
(8.31).

pLS
0
  
0 = 
   m  p − jn θi 

SR 




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
 i 
  S+ 
i

 i
R R + LR  p − jn θ   R + 


pmSR
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(8.31)
145
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
Tomando-se a transformada de Laplace, obtém-se a expressão (8.32).
0 
0 = 
  
sLSiS+ ( s ) − LSiS0+
mSR ( s − jωm ) iS+ ( s ) − mSR iS0+
smSR iR + ( s ) − mSR iR0+


R R i R + ( s ) + LR ( s − jωm ) iR + ( s ) − LR iR0+ 
(8.32)
Da expressão (8.32) obtém-se a expressão (8.33).
sLS
smSR
  iS+ ( s )   LS
0 
0 = m ( s − jω ) R + L ( s − jω )  i ( s )  − m
m
R
R
m   R+
   SR
  SR
mSR   iS0+ 
 
LR  iR0+ 
(8.33)
Seja:
φS0+ = LSiS0+ + mSR iR0+
(8.34)
φR0+ = mSR iS0+ + LR iR0+
(8.35)
O modelo adquire então a forma da expressão (8.36).
sLS
smSR
 φS0+  
  iS+ ( s ) 


φ  = m s − jω
R R + LR ( s − jωm )  iR + ( s ) 
m)
 R0+   SR (
(8.36)
Portanto:
sLS
smSR
 iS+ ( s )  
  φS0+ 

=

 
iR + ( s )  mSR ( s − jωm ) R R + LR ( s − jωm )  φR0+ 
−1
(8.37)
Invertendo a matriz Z e isolando-se a corrente iS+ ( s ) , obtém-se a expressão
(8.38).
 RR

mSR
 L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+
R

iS+ ( s ) =  R
2

m 
L
s S R R +  LS − SR  ( s − jωm ) s
LR
LR 

'
LS = LS −
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mSR
LR
(8.38)
2
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(8.39)
146
CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
Assim:
 RR

mSR
 L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+

R
iS+ ( s ) =  R
L
'
s S R R + LS ( s − jωm ) s
LR
(8.40)
(b) correntes sem amortecimentos:
Para uma máquina ideal na qual não houvesse resistência, a energia inicial
acumulada no campo magnético não seria convertida em calor. Assim as correntes de
curto–circuito seriam senoidais, com valores de pico invariáveis ao longo do tempo.
Numa primeira etapa da análise, vamos determinar essas correntes.
Considerando RR = 0 na expressão (8.40), obtém-se a expressão (8.41).
(8.41)
φR0+
mSR
'
LS LR ( s − jωm )
(8.42)
0+
iS+ ( s ) =
iS+ ( s ) =
iS+ ( s ) =
mSR
φR
LR 0+
'
LS ( s − jωm ) s
( s − jωm ) φS
φS0+
sLS
'
−
−s
1  φS0+ mSR φR0+ 
−

' 
LR ( s − jωm ) 
LS  s
(8.43)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.44).
iS+ ( t ) =
1
'
LS
Para que a corrente


mSR
φR0+ e jωm t 
φS0+ −
LR


iS+ ( t )
fique completamente conhecida, deve-se
estabelecer as expressões de φS0+ e φR 0+ .
(c) cálculo dos fluxos iniciais:
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(8.44)
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TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
Vamos considerar o motor inicialmente em regime permanente. É representado
pelas expressões (8.45).
R S + jωSLS
 vS0+  
 0 = 
   jmSR ( ωS − ωm )
jωSmSR
  iS0+ 
 
R R + jLR ( ωS − ωm )  iR0+ 
ωR = ωS − ωm
 vS0+   R S + jωSLS
 0 = 
   jmSR ωR
(8.45)
(8.46)
jωSmSR   iS0+ 
 
R R + jLR ωR  iR0+ 
(8.47)
Da expressão (8.47) obtém-se as correntes iniciais representadas pelas
expressões (8.48) e (8.49).
( R R + jLR ωR ) vS
( R R + jLR ωR )( RS + jωSLS ) + ωSωR mSR 2
iS0+ =
i R 0+ =
0+
− jmSR ωR vS0+
( R R + jL R ωR )( R S + jωSLS ) + ωSωR mSR 2
(8.48)
(8.49)
Levando-se as expressões (8.48) e (8.49) nas expressões (8.34) e (8.35),
obtém-se as expressões dos fluxos iniciais, representados por (8.50) e (8.51).
φS0+ =
φR0+ =
(L (R
R
(m (R
R
S
)
+ jLR ωR ) − jmSR ωR vS0+
2
( R R + jLR ωR )( RS + jωSLS ) + ωSωR mSR 2
SR
+ jLR ωR ) − jLR mSR ωR ) vS0+
( R R + jLR ωR )( RS + jωSLS ) + ωSωR mSR 2
(8.50)
(8.51)
Resta-nos determinar as tensões iniciais. Tomando-se a expressão (8.15) temse:
vS+ =
3 jωSt
vSe
2
Para t = 0, tem-se:
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(8.52)
148
CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
3
vS
2
vS+ =
(8.53)
As expressões de fluxo inicial são muito complexas para serem levadas na
expressão (8.44). Porém algumas modificações podem ser feitas.
1) ωR ≅ 0
De fato, se o motor opera na região nominal, próximo da velocidade síncrona, a
pulsação rotórica é praticamente nula.
2) RS ≅ 0
Na região de escorregamento nominal a resistência do estator tem muito pouco
influência no comportamento do motor.
Com tais simplificações, os fluxos iniciais passam a ser representados pelas
expressões (8.54) e (8.55).
3 vS
2 jωS
(8.54)
φR0+ =
3 mSR vS
2 jωSLS
(8.55)
φS0+ =
3 vS − j π2
e
2 ωS
(8.56)
φS0+ =
Assim:
φR0+
3 mSR vS − j π2
=
e
2 ωSLS
(8.57)
Levando-se (8.56) e (8.57) em (8.44), obtém-se a expressão (8.58).
π

2
3 vS  − j π2 mSR j ωm t − 2  
iS+ ( t ) =
e
e −

2 ωSLS' 
LSLR

Por outro lado, a partir da expressão (8.22) obtem-se:
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(8.58)
149
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
(
iSd ( t ) = 2 Re iS+ ( t )
)
(8.59)
Assim:
iSd ( t ) = − 3
2
vS mSR
sen ( ωm t )
'
ωSLS LSLR
(8.60)
Da expressão (8.24) tem-se:
iS1 =
2
iS
3 d
(8.61)
Assim:
iS1 ( t ) = − 2
2
vS mSR
sen ( ωm t )
'
XS LSLR
(8.62)
onde:
iS1 ( t )
'
⇒ corrente na fase 1 do motor.
'
X S = ωS LS ⇒ reatância transitória.
LS
'
⇒ indutância transitória.
A partir da expressão (8.62) pode-se estabelecer duas conclusões
importantes:
(a) a freqüência da corrente de curto-circuito é proporcional à velocidade do motor.
(b) o pico da corrente de curto circuito é limitado pela reatância transitória do motor.
Para se conhecer completamente a corrente de curto-circuito, deve-se
determinar a lei de decrescimento com o tempo. A expressão (8.62) estabelece a
corrente que existiria sem as resistências.
(d) cálculo da corrente de curto-circuito com amortecimento:
Vamos considerar a expressão (8.63), na qual está incluída a resistência
do rotor do motor.
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CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
 RR

mSR
 L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+

R
iS+ ( s ) =  R
LS
'
s
R R + LS ( s − jωm ) s
LR
(8.63)
O denominador pode ser reescrito segundo a expressão (8.64):
R L 
'
∆ = sLS  s − jωm + R S' 
LR LS 

(8.64)
Seja:
'
L L
ζ = S R
LS R R
(8.65)

1 
'
∆ = sLS  s −  jωm − '  
ζ 
 
(8.66)
'
Assim:
onde ζ ' é definido como a constante de tempo de curto-circuito do motor.
Levando-se a expressão (8.66) na expressão (8.63) obtém-se a expressão
(8.67).
 RR

mSR
 L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+

R
iS+ ( s ) =  R

1 
'
sLS  s −  jωm − '  
ζ 
 
(8.67)
Os fluxos iniciais já foram estabelecidos e estão representados pelas
expressões (8.68) e (8.69).
3 vS − j π2
=
e
2 ωS
(8.68)
3 mSR vS − j π2
e
=
2 ωSLS
(8.69)
φS0+
φR0+
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TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
Levando-se as expressões (8.68) e (8.69) na expressão (8.67), obtém-se a
expressão .
iS+ ( s ) =
3 vS − j π2
e
2 ωSLS'
 mSR 2 
RR
s 1 −
 − jωm +
LR
 LR LS 
 
1 
s  s −  jωm − '  
ζ 
 
(8.70)
Como:
2
mSR
=1
LR LS
(8.71)
Assim:
−j
iS+ ( s ) =
3 vSe
2 XS'
π
2
RR
− jωm
LR
 
1 
s  s −  jωm − '  
ζ 
 
(8.72)
Seja:
RR
− jωm
A
B
LR
= +
 

1
1  s
s −  jωm − ' 
s  s −  jωm − '  
ζ
ζ 

 
(8.73)
RR
RR
− jωm
− jωm
LR
LR
=
A=
1
LS R R
− jωm
− jωm
'
'
ζ
LS LR
(8.74)
RR
− jωm
LR
B=
= −A
1
jωm − '
ζ
(8.75)
Assim:
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CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
Levando-se as expressões (8.74) e (8.75) na expressão (8.76) obtém-se a
expressão .
−j
iS+ ( s ) =
3 vSe
2 XS'
π
2
RR
− jωm
LR
LS R R
− jωm
'
LS LR




1
1 −

s

1 
 s −  jωm − ζ'  



(8.77)
mas,
RR
− jωm
LR
≅1
LS R R
−
ω
j
m
'
LS LR
(8.78)
Assim:
−j
iS+ ( s ) =
3 vSe
2 XS'
π
2




1
1 −

s

1 
 s −  jωm − ζ'  



(8.79)
Aplicando-se a transformação inversa de Laplace obtém-se a expressão .
−j
π
3 vSe 2
iS+ ( t ) =
2 XS'

1

 jωm − '  t 
1 − e ζ  




1
π

3 vS  − j π2 j ωm − 2  t − ζ' t 
iS+ ( t ) =
e 
e − e
2 XS' 

(8.80)
(8.81)
como:
{
}
iSd ( t ) = 2 Re iS+ ( t )
(8.82)
obtém-se:
1
− 't
v
iSd ( t ) = 3 S ' sen ( ωm t ) e ζ
XS
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(8.83)
153
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
Portanto a corrente na fase 1 do motor é representada pela expressão (8.84).
1
v − 't
iS1 ( t ) = 2 S ' e ζ sen ( ωm t )
XS
(8.84)
A forma da corrente está representada na Fig. 8.5.
2 Vs
Xs
2 i s (0)
0
1
sζ
2π
ωs
2π
ωm
Fig. 8.5 – Formato da corrente de curto-circuito na fase um.
Vamos fazer um comentário adicional sobre a constante de tempo de curtocircuito.
'
ζ' =
LS LR
LS R R
(8.85)
LR
RR
(8.86)
ζR =
onde ζR é definida como constante de tempo de circuito aberto.
Assim:
'
L
ζ = ζR S
LS
'
(8.87)
Durante o curto-circuito o motor pode ser representado pelo circuito equivalente
mostrado na Fig. 8.6.
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154
CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
LS
RR
iS
vS
1
1
Fig. 8.6 – Circuito equivalente para o motor para análise de curto-circuito.
A tensão vs' 1 tem um valor de pico igual a
2vs .
Como LS ≅ LR quando os parâmetros estão referidos ao estator, pode-se
afirmar que:
'
L
ζ = S
RR
'
(8.88)
(e) comentários sobre a reatância transitória:
A indutância transitória é definida pela expressão (8.89).
L'S = LS −
mSR
LR
2
(8.89)
mas:
LS = A S + amSR
(8.90)
A R + amSR
a2
(8.91)
LR =
onde:
a⇒
relação de transformação entre os enrolamentos do estator e do rotor.
AS ⇒ indutância de dispersão do estator.
AR ⇒ indutância de dispersão do rotor referido ao estator.
Assim:
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TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
2
L'S = A S + amSR −
a 2 mSR
A R + amSR
(8.92)
Multiplicando-se convenientemente os termos por ωS, obtém-se:
2
ωSL'S = ωSA S + aωSmSR −
2
a 2ωS mSR
ωSA R + ωSamSR
(8.93)
Assim:
2
XS' = xS + x m −
xm
xR + xm
(8.94)
Portanto a reatância transitória pode ser facilmente determinada, a partir dos
ensaios a vazio e de rotor bloqueado.
Convém observar que XS' é relativamente baixa. Tomemos os seguintes valores
numéricos como exemplos:
xS = 1Ω
xR = 1Ω
xm = 100Ω
Assim:
XS' =1Ω
8.3 TENSÃO RESIDUAL
Há certos tipos de cargas, como por exemplos bombas de refrigeração de
centrais térmicas, que não podem ser paralisadas mesmo por tempo muito curto. Essas
cargas em geral, são acionadas por motores trifásicos de indução.
Nesses casos, dispõe-se de duas fontes de alimentação. Quando a fonte
principal falha, o motor automaticamente passa a ser alimentado por uma fonte de
emergência.
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156
CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
Quando a fonte principal é interrompida, existe fluxo magnético no motor. Estes
fluxos geram tensões nos enrolamentos do estator, enquanto ele permanece aberto.
Essas tensões são conhecidas com o nome de tensões residuais.
Se a fonte auxiliar for conectada imediatamente após a falha da fonte principal
e se as tensões da fonte e as tensões residuais estiverem com defasamento
inadequado, podem ser produzidos transitórios de correntes e de torques capazes de
danificar o motor. Uma solução possível para resolver esse tipo de problema,
consistem em instalar relés controlados por tensão. Somente quando as tensões
residuais atingirem valores iguais a 25% da tensão de alimentação, a fonte auxiliar é
conectada ao motor.
Neste item será obtida uma expressão aproximada, analiticamente, para
representar as tensões residuais geradas pelo motor.
Consideremos o modelo do motor de indução sob a forma de componentes
simétricas instantâneas, representado pela expressão (8.95). O referencial será
colocado no estator.

R S + pLS
 vS+  
 0 = 
i
   m  p − jn θ 


SR





  iS 
 + 
i

 i
R R + LR  p − jn θ   R + 


pmSR
(8.95)
Durante o transitório a corrente do estator iS+ é nula. Assim o modelo passa a
ser representado pelas expressões (8.96) e (8.97). A velocidade ωm será considerada
constante.
vS+ = pmSR iR +
(8.96)
0 = R R iR + + pLR iR + − jωm LR iR +
(8.97)
Para se conhecer a tensão do estator em função do tempo, deve-se conhecer a
corrente do rotor, que é obtida a partir da solução da equação (8.97).
Aplicando-se a transformada de Laplace na expressão (8.97) obtém-se a
expressão (8.98).
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157
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
0 = R R iR + ( s ) + sLR i R + ( s ) − jωm LR iR + ( s ) − LR iR0+
(8.98)
Assim:
iR+ ( s ) =
i R0+
R

s +  R − jωm 
 LR

(8.99)
Passando para o domínio tempo, obtém-se a expressão .
iR + ( t ) = iR0+ e
R

− R − jωm  t
 LR

(8.100)
Para se conhecer a tensão do estator, a expressão (8.96) é levada na
expressão (8.100) resultando na expressão (8.101).
−
− jωm  t 
d
L
 
vS+ = mSR  iR0+ e  R

dt 


 RR

(8.101)
Assim:

R
vS+ = mSR  jωm − R
LR

R
− Rt

LR
i
e
e jωm t
 R0+

(8.102)
O valor inicial da corrente do rotor, definido pela expressão (8.49) é
representado pela expressão (8.103).
i R 0+ =
− jmSR ωR vS0+
( R R + jL R ωR )( R S + jωSLS ) + ωSωR mSR 2
(8.103)
3
vS
2
(8.104)
− jmSR ωR vS
3
2 ( R R + jL R ωR )( R S + jωS LS ) + ωSωR mSR 2
(8.105)
vS0+ =
Assim:
i R 0+ =
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CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO
Vamos tomar:
ωR ≅ 0 e RS ≅ 0
Assim:
3 mSR ωR vS
2 R R ωS LS
i R 0+ = -
(8.106)
Levando-se a expressão (8.106) na expressão (8.102) obtém-se a expressão
(8.107).
vS+ ( t ) =
R
2
 − LRR t jωm t
3 vS mSR ωR  R R
−
ω
j
e

m e
2 ωSLS R R  LR

(8.107)
ou
R
2
− Rt
3 vS mSR ωR
vS+ ( t ) =
( R R − jωm LR ) e LR e jωmt
2 ωSLS R R LR
ζR =
(8.108)
LR
⇒ constante de tempo de circuito aberto.
RR
2
2
2
R R − jωm LR = R R + ωm LR e− jθR
(8.109)
ω L 
θR = tg −1  m R 
 RR 
(8.110)
Assim:
t
2
−
3 vS mSR ωR
2
2
2
j ω t −θ
vS+ ( t ) =
R R + ωm LR e ζR e ( m R )
2 ωSLS R R LR
{
}
(8.111)
Por outro lado,
2
mSR
≈1
LR LS
Assim:
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(8.112)
159
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
vS+ ( t ) =
3 ωR
vS
2 ωS
(
)
1 + ωm 2ζ R 2 e
−
t
ζR
cos ( ωm t − θR )
(8.113)
Em geral, a constante ζR é importante e a hipótese de que a velocidade do
motor se mantém invariável não é válida.
Se o motor inicialmente gira a vazio tem-se ωm ≅ ωS, sendo ωS a velocidade
síncrona.
Se o motor estivesse girando com velocidade síncrona, acionada por uma
máquina auxiliar, ωR seria nula, não havendo correntes rotóricas e consequentemente
não existiria correntes rotóricas e consequentemente não existiria tensão residual.
O estudo rigoroso de tensão residual não pode ignorar a equação mecânica e
só é possível através de simulação.
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