Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electr´onica

A N ÁLISE , S IMULAÇ ÃO E T ESTE
DE
C IRCUITOS RC NO D OM ÍNIO DO T EMPO
T RABALHO DE L ABORAT ÓRIO
Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica
Teresa Mendes de Almeida
[email protected]
Área Cientı́fica de Electrónica - DEEC - IST
Março de 2012
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
1
1 Introdução
Neste trabalho de laboratório são considerados circuitos dinâmicos de primeira ordem e o seu comportamento no domı́nio
do tempo. É realizada a sua análise teórica e feita a simulação do seu funcionamento, que depois são comprovadas experimentalmente. É estudado o comportamento em regime estacionário e em regime transitório para sinais com mudanças
abruptas do tipo escalão.
Para a realização do trabalho de laboratório é necessário fazer uma preparação antes da aula de laboratório que consta
da leitura do guia do trabalho, da aprendizagem dos conceitos teóricos necessários, da análise teórica e da simulação
dos circuitos a serem montados no laboratório, da resposta a todas as questões teóricas que são colocadas no guia de
trabalho, assim como no planeamento das tarefas a realizar durante a aula de laboratório. Na aula de laboratório devem
ser realizadas as experiências, registados os resultados e elaborado o relatório que é entregue no final da aula.
1.1
Objectivos
Os objectivos deste trabalho de laboratório são a análise teórica e experimental, no domı́nio do tempo, de circuitos RC de
primeira ordem. São analisados os seu modos de funcionamento em regime estacionário e em regime transitório quando
a fonte de tensão de entrada muda de forma abrupta (quando é ligada e desligada).
1.2
Conhecimentos Teóricos
Para a realização deste trabalho de laboratório são necessários os seguintes conhecimentos teóricos: técnicas de análise
de circuitos resistivos lineares (lei de Ohm, leis de Kirchhoff, método dos nós, circuitos equivalentes de Thévenin e de
Norton, etc.) e de análise de circuitos dinâmicos de primeira ordem no domı́nio do tempo.
1.3
Material e Equipamento
No inı́cio do laboratório deve requisitar todo o material necessário e no fim da aula deve devolvê-lo e deixar a bancada
arrumada e limpa e todos os equipamentos desligados.
Para a realização deste trabalho de laboratório são necessários os seguintes equipamentos: base de montagem com fontes
de tensão constante ajustáveis ±15V , multı́metro, osciloscópio, frequencı́metro, gerador de funções, cabos BNC-BNC, e
um Tê. Para realizar as montagens precisa de uma placa breadboard, fios, alicate e/ou descarnador e pinça.
Os componentes a serem utilizados nos circuitos são: resistências de 10kΩ, 18kΩ, 24kΩ, 30kΩ; e condensador de 10nF .
2
Análise Teórica dos Circuitos
Considere os circuitos dinâmicos RC de 1a -ordem da figura 1, que se pretendem estudar neste trabalho. Na análise em
regime estacionário o gerador de tensão, vG (t), é uma fonte de tensão constante que está ligada há muito tempo. Na análise
do regime transitório considera-se que a fonte é ligada (em t = 0s) e desligada (em t = td ) e pretende determinar-se qual
o efeito dessas alterações abruptas sobre as grandezas eléctricas do circuito.
Note que o circuito da figura 1(b) permitirá, durante a aula de laboratório, visualizar no osciloscópio a tensão v4 (t), a qual
é directamente proporcional à corrente no condensador. Desta forma é possı́vel visualizar no osciloscópio uma forma de
onda correspondente à corrente no condensador, a qual não pode ser visualizada directamente no osciloscópio.
2.1
Análise em Regime Estacionário
Considere que o gerador é uma fonte de tensão de valor constante, vG (t) = VF = 8V , que foi ligada há muito tempo e,
por isso, os circuitos já atingiram o regime estacionário, estando todas as grandezas eléctricas constantes.
a) Apresente equações simbólicas para calcular as tensões nodais Va , Vb e Vc a partir de VF e Rk (k = 1, 2, 3).
Calcule as tensões nodais Va , Vb e Vc .
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
R1
a
vG(t)
R3
b
c
C
R2
v2(t)
2
vC(t)
iC(t)
d
(a)
R1
z
y
R2
vG(t)
R3
x
C
R4
v2(t)
w
v4 (t)
i4(t)
v
(b)
R1 = 10kΩ
R2 = 30kΩ
R3 = 24kΩ
R4 = 18kΩ
C = 10nF
Figura 1: Circuitos RC de primeira ordem.
b) Considere que se pretende calcular as tensões nodais Vw , Vx , Vy e Vz usando o método dos nós. Apresente a
equação matricial simbólica correspondente à aplicação formal do método dos nós e calcule as tensões nodais.
Sugestão: note que, em regime estacionário, o comportamento do condensador pode ser visto como correspondente
a uma resistência de valor infinito.
c) Calcule a intensidade das correntes em todos os componentes dos dois circuitos (considere os sentidos da esquerda
para a direita e, para os componentes na vertical, de cima para baixo).
d) Calcule a energia armazenada nos circuitos.
2.2
Determinação de Equivalentes de Thévenin e de Norton
Considere que o sinal de entrada é gerado por uma fonte de tensão constante, vG (t) = VG , e determine o circuito
equivalente de Thévenin visto pelo condensador do circuito da fig. 1(a) e o circuito equivalente de Norton visto pelo
condensador da fig. 1(b). Para isso, retire o condensador do circuito e determine os circuitos equivalentes vistos a partir
dos nós onde os terminais dos condensadores estão ligados, respondendo às questões seguintes.
a) Para cada um dos circuitos determine três equações simbólicas que permitam o cálculo directo de RT h , VOC e
ISC , unicamente a partir das resistências e da fonte de tensão VG . Pode usar notação simplificada para indicar
resistências ligadas em série e paralelo: RS = RA + RB e RP = RA //RB .
b) Para VG = 8V e os valores das resistências indicados na figura 1, calcule os valores de RT h , VOC e ISC . Apresente
os esquemas eléctricos dos circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton identificando os nós (c, d) e (x, w).
c) Como se alteram os circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton se o sinal da fonte de tensão for VG = 10V ?
2.3
Análise em Regime Transitório
Considere agora a análise dos circuitos em regime transitório quando o gerador de tensão está a funcionar como uma fonte
de tensão constante que é ligada em t = 0s e que mais tarde, em t = td , é desligada, como indicado na figura 2.
a) Apresente equações simbólicas para calcular as constantes de tempo dos circuitos e determine os seus valores
(sugestão: utilize os resultados obtidos nas alı́neas anteriores).
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo



 0V
VG
0
td
3
t(s)
vG (t) = VG × u (t) − VG × u (t − td ) =
VG



0V
,
t < 0s
, 0s < t < td
,
t > td
Figura 2: Impulso de fonte de tensão ligada em t = 0s e desligada no instante de tempo td .
b) Para o circuito da fig. 1(a) determine a equação de vC (t), válida para −∞ < t < +∞, sabendo que VG = 8V e
td = 2.5ms. Para isso deve analisar o circuito para t < 0s (assumindo regime estacionário), no intervalo t > 0s
(admitindo que VG se mantém constante até t = +∞) e, finalmente, no intervalo de tempo t > td , para determinar
o novo transitório devido ao facto da fonte ter sido desligada em t = td .
c) Com base nos resultados anteriores, determine iC (t) e v2 (t) no circuito da fig. 1(a).
d) Nas condições da alı́nea b), diga, de forma qualitativa, como varia a energia armazenada no condensador da fig. 1(a)
no intervalo de tempo 0 < t < 5ms.
e) Considere o circuito da fig. 1(b) e determine a equação de v4 (t), válida para −∞ < t < +∞, quando VG = 8V e
td = 2.5ms.
Sugestão: tenha em conta os resultados do trabalho já desenvolvido na análise dos circuitos.
f) Admitindo que se pretende realizar uma experiência no laboratório que corresponda à análise teórica feita (transitórios devido à fonte ter sido ligada e desligada), em vez de ser usada uma fonte de tensão pode ser usado o gerador
de funções, escolhendo um sinal com forma de onda quadrada com amplitude 4V e componente DC também de
4V , o que permite obter um sinal de entrada periódico, vG (t) = vG (t + T ), que comuta de forma abrupta entre
0V e 8V . Qual deve ser a frequência máxima da onda quadrada para que, no laboratório, se possa observar os dois
condensadores a carregar e descarregar totalmente?
3
Simulação do Funcionamento dos Circuitos
Utilize o programa LTSpice IV para fazer a simulação dos circuitos. Siga os passos indicados a seguir e obtenha os
resultados pedidos. Todos os resultados da simulação devem ser obtidos antes da aula de laboratório.
Impressão dos resultados da simulação
Para a impressão dos resultados da simulação (gráficos e esquema eléctrico) tenha em conta o seguinte:
(i) estando seleccionada a janela com o gráfico a imprimir, escolha o menu File → Print setup → orientation →
landscape;
(ii) veja o gráfico escolhendo o menu File → Print Preview (o gráfico deve abranger toda a folha A4);
(iii) imprima o gráfico;
Nota: no caso de apenas dispor de impressora a preto e branco, pode seleccionar a opção print monochrome e
depois, com canetas de cores, pode identificar(pintando) com cores as diferentes curvas e respectivas legendas nos
vários gráficos.
(iv) ao anexar as folhas ao relatório, identifique todas as folhas de resultados com número de página no canto inferior
direito e com o número/letra da alı́nea correspondente no canto superior direito.
Simulação
Para cada circuito crie um novo esquema eléctrico (new schematic) e comece por colocar as resistências, o condensador,
a massa (ground) e o gerador de tensão (componente voltage que se encontra na directoria principal dos componentes do
simulador). Depois faça as ligações entre os componentes do circuito (wire) e altere os valores das caracterı́sticas dos
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
4
componentes para obter o circuito desejado. Note que pode utilizar os prefixos do sistema internacional de unidades nos
parâmetros de cada componente, por exemplo, R = 18kΩ ↔ 18k (em vez de 18000) ou C = 10nF ↔ 10n.
Guarde (save as) os esquemas numa directoria diferente da directoria por defeito, para que não altere nenhum dos ficheiros
originais do programa (sugestão: crie uma directoria relativa ao trabalho de laboratório e guarde lá todos os ficheiros). Dê
nomes sugestivos aos ficheiros para mais facilmente identificar os circuitos e os resultados obtidos. Associe nomes aos
nós do circuito (label net) e aos componentes, de acordo com as variáveis dos esquemas eléctricos (figuras 1(a) e 1(b)).
a) Depois de ter o esquema completo corra a simulação (run) e escolha a opção “DC op pnt” (análise em regime
estacionário ou cálculo do ponto de funcionamento em repouso — DC operating point). Registe os resultados para
as tensões nos nós e as intensidades das correntes nos ramos de acordo com os sentidos considerados na análise
teórica.
b) Pretende-se agora simular o comportamento dos circuitos em regime transitório correspondente à análise teórica
feita. Para isso, altere a fonte de tensão para um gerador de impulsos através das opções avançadas (advanced) do
componente. O significado dos parâmetros é:
PULSE(V1
V2
Tdelay
V2
Trise
Tfall
Ton
Tperiod
Ncycles)
V1
tr
ton
tf
tperiod
V1 = Vinitial — valor mı́nimo
V2 = Von — valor máximo
Trise — tempo de subida
Tf all — tempo de descida
Ton — tempo no nı́vel máximo
Tperiod — perı́odo da onda
Ncycle — número de ciclos da forma de onda que vão ser gerados
Tdelay — atraso de tempo da onda relativamente a t = 0s
Admita Tdelay = 0s e os tempos de subida e descida desprezáveis, face ao perı́odo dos sinais (por exemplo, utilize
Trise = Tf all = 1ps). Para um ciclo de uma onda quadrada pode então considerar-se:
Tperiod = Trise + Ton + Tf all + Ton ≈ 2 × Ton
,
Trise = Tf all << Ton
(1)
Para se poderem visualizar os resultados para 4 ciclos (Ncycles = 4), de um sinal com forma de onda quadrada e
frequência 200Hz, considere Ton = 2.5ms e Tperiod = 5ms.
Depois de ajustados todos os parâmetros do gerador, altere o comando de simulação para poder visualizar as formas
de onda dos sinais ao longo do tempo. Para isso elimine o comando .op e volte a correr a simulação escolhendo a
opção transient com um tempo de simulação (stop time) igual a Ncycles ×Tperiod = 20ms, o que permite visualizar
os quatro ciclos das formas de onda dos sinais. Corra a simulação para cada um dos circuitos e obtenha os resultados
pedidos nas alı́neas seguintes.
c) Para o circuito da fig. 1(a) faça um gráfico com as três tensões nodais (pondo a marca do rato sobre os nós aparece
uma ponta de prova e seleccionando o nó, o gráfico é feito automaticamente). Corrija a escala vertical (seleccione-a
pondo a marca do rato em cima da escala) para o gráfico ficar com quadrı́culas de 0.5V , valor mı́nimo 0V e valor
máximo 8V .
Faça um gráfico com a tensão e a corrente no condensador. Pondo a marca do rato sobre um componente do circuito
aparece uma ponta de prova medidora de corrente e seleccionando o componente, o gráfico é feito automaticamente
— sempre que necessário, pode corrigir o sentido da corrente, representando (−In ) em vez In .
Imprima o esquema eléctrico e os dois gráficos e anexe-os ao relatório.
d) Considere agora o funcionamento do circuito da fig. 1(a) quando o sinal do gerador varia muito mais rapidamente
(frequência mais elevada). Para isso, é preciso alterar o sinal do gerador e o tempo de simulação.
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
5
Repita a alı́nea anterior para as tensões (gráfico com as tensões nodais va , vb e vc ) mas aumente 10 vezes a
frequência do sinal (diminua Ton e Tperiod 10 vezes), altere o número de ciclos para Ncycle = 10 e o tempo
de simulação (stop time) para 5ms. Ajuste a escala vertical como anteriormente. Imprima o gráfico e anexe-o ao
relatório. Comente o que observa comparando com o caso anterior.
e) Para o circuito da fig. 1(b) faça o gráfico de vG (t), v4 (t) e vC (t) = vx (t) − vw (t). Considere para o gerador
e o tempo de simulação os parâmetros iniciais, para poder visualizar os resultados para 4 ciclos de um sinal de
frequência 200Hz. Imprima o gráfico e anexe-o ao relatório.
f) Leve para a aula de laboratório os ficheiros (pode levar um computador portátil ou usar o PC do laboratório) e
ser-lhe-á pedido que obtenha novos resultados após introduzir uma alteração no circuito.
4
Análise Experimental em Regime Transitório
Antes de efectuar os registos das formas de onda do osciloscópio ajuste sempre as escalas verticais por forma a maximizar
a resolução e garantir que está a ser visualizado sempre pelo menos um perı́odo completo do sinal. Sempre que for
explicitado, as escalas devem ser ajustadas de acordo com as indicações dadas. No relatório, para além das escalas, é
necessário identificar o nı́vel de referência 0V e os sinais dos dois canais.
4.1
Circuito da Figura 1(a)
a) Ajuste a referência de 0V (GND) dos dois canais do osciloscópio no limite inferior do écran e depois escolha para
ambos os canais o modo DC e uma escala 1V /div. Ajuste o sincronismo pelo canal 1. Ligue o gerador de funções
ao canal 1 do osciloscópio. Escolha uma forma de onda quadrada com amplitude 4V e componente DC (offset) de
4V , para obter uma onda quadrada de patamares 0V e 8V , como foi considerado na análise teórica e na simulação.
Escolha uma frequência de 200Hz.
b) Depois do sinal ajustado ligue-o à base de montagem (com um cabo BNC-BNC) e ao seu circuito. Visualize no
canal 2 do osciloscópio a tensão v2 (t) (utilize um cabo BNC-BNC ligado à base de montagem). Ajuste a base de
tempo por forma a ver um perı́odo completo dos dois sinais. Registe as formas de onda dos dois sinais.
c) Visualize agora no canal 2 do osciloscópio a tensão no condensador. Registe as formas de onda dos dois sinais.
d) Vá aumentando a frequência do sinal até 2kHz e observe os sinais do gerador e do condensador (vá ajustando as
escalas de tempo e do canal 2).
Registe um perı́odo completo das formas de onda para um sinal com 2kHz de frequência.
e) Compare os resultados experimentais com a análise teórica e com os resultados da simulação. Comente eventuais
diferenças. Tire conclusões do trabalho que realizou com este circuito RC.
4.2
Circuito da Figura 1(b)
Introduza a resistência R4 no circuito.
a) Ajuste a referência de 0V (GND) dos dois canais no centro do écran. Depois escolha o modo DC para ambos
os canais e ajuste o sincronismo pelo canal 1. Mantenha o gerador de funções ligado ao canal 1 do osciloscópio.
Escolha as escalas verticais da forma mais conveniente para poder ter resolução gráfica máxima.
Verifique que o sinal do gerador mantém forma de onda quadrada com amplitude 4V , componente DC (offset) de
4V e frequência de 200Hz.
b) Depois do sinal ajustado aplique-o ao circuito. Visualize no canal 2 do osciloscópio a tensão v4 (t). Registe as
formas de onda dos dois sinais.
c) Compare os resultados experimentais com a análise teórica e com os resultados da simulação. Comente eventuais
diferenças. Tire conclusões do trabalho que realizou com este circuito RC.
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
6
5 Sugestões Complementares
São de seguida colocadas algumas questões e dadas algumas sugestões que permitem, aos alunos/grupos que assim o
entenderem, complementar a sua aprendizagem sobre aspectos teóricos e experimentais deste trabalho de laboratório.
a) Para ambos os circuitos determine o equivalente de Norton visto pelo condensador, usando métodos de simplificação
de circuitos (conversão de geradores e ligações série/paralelo entre componentes).
b) Utilize o programa de simulação para determinar os parâmetros dos circuitos equivalentes de Thévenin/Norton,
vistos dos terminais dos condensadores.
c) Determine experimentalmente os três parâmetros dos circuitos equivalentes de Thévenin/Norton correspondentes
aos circuitos vistos dos dois terminais dos condensadores.
d) Considere o gráfico de iC (t) obtido na análise teórica (resposta ao impulso de 8V ). Como interpreta a mudança de
sinal na corrente iC (t)?
e) Considere o resultado obtido na simulação do circuito RC quando o sinal de entrada tem 2kHz de frequência.
Determine teoricamente a expressão matemática que descreve vC (t) nos últimos perı́odos que estão representados (quando o sinal vC (t) já é periódico — o que não acontece no inı́cio do gráfico porque o condensador está
inicialmente descarregado).
f) Considere o circuito da fig. 1(a) com um sinal quadrado de extremos ±4V e frequência 200Hz. Faça a análise
teórica do circuito determinando vC (t) e iC (t). Confirme os resultados através de simulação e de realização experimental.
g) Utilize o programa de simulação para, em ambos os circuitos, fazer dois gráficos onde representa a potência instantânea e a energia associada ao condensador. Identifique os intervalos de tempo em que o condensador está a
armazenar ou a libertar energia e relacione esse facto com o sinal positivo ou negativo da potência instantânea.
h) Considere que no circuito da fig. 1(b) existe outro condensador de capacidade C ligado entre o nó y e a resistência
R3 . Calcule teoricamente v4 (t) (para −∞ < t < +∞) quando o sinal de entrada é um impulso de 10V e dura 1ms
(sugestão: tenha em conta os resultados obtidos nas análises feitas anteriormente).
i) Considere o circuito da fig. 1(a) com o condensador substituı́do por uma bobine (L = 50mH). Calcule teoricamente vL (t) para um impulso de amplitude VG = 8V e duração td = 25µs. Comprove os seus resultados através
da simulação do circuito.
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
TCFE 2011/2012
Número:
Número:
Número:
Turno:
Nome:
Nome:
Nome:
Grupo:
7
Data:
/
RELATÓRIO
2
2.1
Análise Teórica dos Circuitos
Análise em Regime Estacionário
Va
a)
Vb
Vc
Equação
Valor
Eq. matricial simbólica
b)
Vw =
Vx =
Vy =
Circuito da fig. 1(a)
c)
Circuito da fig. 1(b)
IF = IG =
I3 =
IF = IG =
I3 =
I1 =
IC =
I1 =
I4 =
I2 =
IC =
I2 =
Circuito da fig. 1(a)
d)
Vz =
Circuito da fig. 1(b)
/
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
8
2.2 Determinação de Equivalentes de Thévenin e de Norton
a)
Circuito da fig. 1(a)
Equação
Valor
Equação
Valor
VOC
ISC
RTh
Circuito da fig. 1(b)
VOC
ISC
RTh
b)
Circuito eq. de Norton
Circuito eq. de Thévenin
c)
Circuito 1(a)
VG = 8V
VG = 10V
Circuito 1(b)
VOC
VOC
ISC
ISC
RT h
RT h
VG = 8V
VG = 10V
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
9
2.3 Análise em Regime Transitório
Equação
Valor
τ(a)
a)
τ(b)
b)


















vC (t) =
c)



































iC (t) =



































v2 (t) =
d)

















,
t ≤ 0s
,
0s ≤ t ≤ 2.5ms
,
t ≥ 2.5ms
,
t < 0s
,
0s < t < 2.5ms
,
t > 2.5ms
,
t < 0s
,
0s < t < 2.5ms
,
t > 2.5ms
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
e)
10


















v4 (t) =
,
,

















,
f)
Circuito da fig. 1(a)
Circuito da fig. 1(b)
fmax
3
Simulação do Funcionamento dos Circuitos
a)
Circuito da fig. 1(a)
Circuito da fig. 1(b)
Va =
I1 =
Vz =
IG =
Vb =
I2 =
Vy =
I1 =
Vc =
I3 =
Vx =
I2 =
IC =
Vw =
I3 =
IC =
I4 =
c)
– esquema eléctrico
– gráfico das tensões nodais
d)
– gráfico das tensões nodais
e)
– gráfico das tensões vG (t), v4 (t) e vC (t)
f)
– simulação com alteração no circuito
– gráfico da corrente/tensão
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
4 Análise Experimental em Regime Transitório
4.1 Circuito da figura 1(a)
a)-b)
CH1: _____V/div
CH2: _____V/div
_____s/div
c)
CH1: _____V/div
CH2: _____V/div
_____s/div
d)
CH1: _____V/div
CH2: _____V/div
_____s/div
e)
11
Análise, Simulação e Teste de Circuitos RC no Domı́nio do Tempo
12
4.2 Circuito da figura 1(b)
a)-b)
CH1: _____V/div
CH2: _____V/div
_____s/div
c)
5
Sugestões Complementares
CH1: ________V/div
CH2: ________V/div
_________s/div
CH1: ________V/div
CH2: ________V/div
_________s/div