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ANÁLISE DE CIRCUITOS
ELÉTRICOS II
Módulo III
FASORES E IMPEDÂNCIA
UFBA – Curso de Engenharia Elétrica – Prof. Eugênio Correia Teixeira
Números Complexos
Forma Retangular:
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2
Números Complexos
Operações com o j:
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3
Números Complexos
Forma Retangular:
z = x+jy
sendo j=(-1)1/2
Multiplicação:
Para:
z1=x1+jy1 e z2=x2+jy2
Adição e Subtração:
z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2)
z1-z2=(x1-x2)+j(y1-y2)
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4
Números Complexos
Divisão:
Complexo conjugado:
z=x+jy
z*=x-jy
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5
Números Complexos
Forma Polar:
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6
Números Complexos
Formas Exponencial e Polar:
Fórmulas de Euler:
Corolários:
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Números Complexos
Sendo:
Divisão nas Formas
Exponencial e Polar:
Multiplicação nas Formas
Exponencial e Polar:
Multiplicação pelo Conjugado:
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Números Complexos
Conversão entre formas:
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Números Complexos
Representação Retangular:
Representação Polar:
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Números Complexos
Adição:
Subtração:
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Função de Circuito
Para a entrada:
A resposta forçada é:
Equação diferencial relacionando entrada e saída de um circuito:
Substituindo x(t) e yp(t):
Resultando a Função de Circuito:
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Teorema
Se yp(t) for a resposta forçada à entrada complexa x(t), a
resposta forçada à parte real de x(t) será a parte real de yp(t).
O mesmo acontece em relação às partes imaginárias.
Substituindo x(t) e yp(t) na equação seguinte:
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Teorema
Separando os termos das componentes real e imaginária:
Comprova-se que y1(t) é a resposta forçada de x1(t) e
y2(t) é a resposta forçada de x2(t).
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O Fasor
Considerando-se a Função:
Sendo:
uma função complexa;
e
o seu conjugado.
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O Fasor
Fasores Girantes em Sentidos Contrários
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O Fasor
A Resposta Forçada ao Fasor Girante
Tem a forma
Se:
e
Tem-se as projeções dos fasores girantes no eixo real:
e
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O Fasor
Fasor é o valor do Fasor Girante em sentido anti-horário no
instante t =0.
Há uma correspondência entre o Fasor
E a função senoidal
é
A resposta forçada a
Com
e
Função de Circuito
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O Fasor
Se
Sendo
e
De modo semelhante, a resposta forçada a
é
Assim, para a entrada:
Por superposição, têm-se a resposta forçada:
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O Fasor
Adição de duas tensões senoidais:
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O Fasor
Adição de duas tensões senoidais:
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O Fasor
Adição de duas correntes senoidais:
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Exemplo
Determinar i(t) para v(t)=Vm cos ωt .
Sendo s=jω
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Exemplo
Como:
A corrente fasorial é:
E a corrente no domínio do tempo:
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Impedância e Admitância
Considerando-se o circuito com a notação fasorial:
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Impedância e Admitância
Para o Resistor:
Impedância:
Admitância:
Condutância:
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Impedância e Admitância
Para o Capacitor:
i = C dv/dt
Impedância:
Admitância:
(
(Ω)
Reatância Capacitiva:
XC=1/(ωC)
Susceptância Capacitiva:
(Ω)
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Impedância e Admitância
Para o Indutor:
v = L di/dt
Admitância:
Impedância:
(
(Ω)
Reatância Indutiva:
XL=ωL
(
Susceptância Indutiva:
(Ω)
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Impedância e Admitância
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Impedância
Diagrama de Impedâncias
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Impedância
Variação da Impedância com a Frequência Angular
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Impedância e Admitância
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Lei das Tensões
A soma algébrica dos fasores de tensão em um circuito fechado
é igual a zero.
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Lei das Correntes
A soma algébrica dos fasores de corrente em um nó é igual a zero.
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Impedâncias em Série
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Impedâncias em Paralelo
Y1 = I1/V
Y2 = I2/V
Y3 = I3/V
Y = I/V
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Exemplo
Determinar i(t) para v(t)=Vm cos ωt .
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Diagramas Fasoriais
Circuito RLC Série :
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Diagramas Fasoriais
Circuito RLC Paralelo :
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Diagramas Fasoriais
Lugar Geométrico do Fasor I variando-se R ou L de 0 a ∞
Sendo:
e
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Diagramas Fasoriais
Resultando nos seguintes gráficos:
Variação de L:
Semicircunferência de raio Vm/(2R)
Variação de R:
Semicircunferência de raio Vm/(2ωL)
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Ressonância
Variação da Impedância com a Frequência
Para o circuito série RLC:
Tem-se as frequências angular
e cíclica de ressonância:
Que ocorrem quando XL=XC, resultando: VL=-VC
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Ressonância
Gráficos e diagramas das tensões no circuito série RLC em
ressonância:
No circuito ressonante, a corrente está em fase com a tensão.
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Ressonância
Com a frequência de ressonância, o circuito série RLC torna-se
puramente resistivo, com impedância mínima e corrente máxima.
Frequência menor que a de ressonância torna o circuito série RLC
capacitivo e maior que a de ressonância torna o circuito indutivo.
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Ressonância
Fator de Qualidade – Circuito Série RLC
Variação da corrente
com Q:
Largura da banda
de frequência:
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Ressonância
Com a frequência de ressonância, o circuito paralelo RLC tornase puramente resistivo, com impedância máxima e corrente
mínima.
Frequência menor que a de ressonância torna o circuito paralelo RLC
indutivo e maior que a de ressonância torna o circuito capacitivo.
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Ressonância
Fator de Qualidade – Circuito Paralelo RLC
Variação da impedância com Q:
Largura da banda
de frequência:
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Teorema de Thévenin
Aplica-se o Teorema de Thévenin aos circuitos de corrente
alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua.
Circuito equivalente de Thévenin:
Zth é a impedância equivalente da rede linear, a partir dos
terminais A e B, com as fontes independentes desativadas.
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Teorema de Norton
Aplica-se o Teorema de Norton aos circuitos de corrente
alternada, de forma semelhante aos de corrente contínua.
Circuito equivalente de Norton:
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