Edwin Avolio – avolio@feb - Simpep

XI SIMPEP – Bauru, SP, Brasil, 08 a 10 de novembro 2004
Análise do consumo de energia em refrigeradores domésticos através
de um modelo matemático simplificado
Sidney Yamamoto (UNESP) [email protected]
Edwin Avolio (UNESP) [email protected]
Resumo
Neste trabalho é apresentado um modelo matemático para analisar o comportamento
térmico de um refrigerador doméstico através de funções de transferência, utilizando a
analogia de um sistema térmico convertido para um sistema elétrico simplificado, reduzindo
o equacionamento do modelo térmico existente. Obtidos experimentalmente os pontos das
curvas de temperatura do evaporador, freezer e compartimento interno, determinam-se os
parâmetros das funções de transferência que, devidamente aplicados às equações
diferenciais de 1a. ordem, permite simular o comportamento térmico de um refrigerador
doméstico de forma simples e rápida.
Palavras chave: Sistema de refrigeração, modelo matemático, consumo de energia
1. Introdução
Em algumas investigações de engenharia, é necessária a redução da complexidade das
equações usadas para descrever o sistema e/ou os seus componentes. Uma simplificação pode
ser obtida reduzindo o número de equações, ou transformando em equações com pequeno
número de parâmetros [6].
O comportamento da curva das temperaturas do refrigerador doméstico se aproxima de
equações diferenciais de 2a ordem, quando reduzidas as equações e respectivos parâmetros
[3].
Por PDD (Pull Down Data), o modelo matemático das temperaturas de freezer (x) e
compartimento interno (y) e a capacidade de refrigeração (q) são estabelecidos conforme
(1.1), (1.2) e (1.3), respectivamente, onde os parâmetros das equações diferenciais são obtidos
através do Método dos Mínimos Quadrados [3].
..
.
x(t ) + α 2 x(t ) + α 1 x(t ) = − β q(t ) + α
(1)
y (t ) + α 2 p y (t ) + α 1 p y (t ) = − β p q (t ) + α p
(2)
q (t ) = γ 1 x(t ) + γ 2 y (t ) + γ 3
(3)
..
.
O sistema térmico de um refrigerador doméstico pode ser representado por um sistema
elétrico com componentes elétricos passivos, representados por capacitores, fontes de
potência, resistência.
Utilizando-se de dados obtidos em ensaio de um refrigerador de dois compartimentos
separados, freezer e compartimento interno com condensador de aletas e evaporador em série,
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permite obter os parâmetros das equações do circuito elétrico, através do modelamento
matemático baseado no sistema estabelecido Pull Down Data.
2. Características do refrigerador
O diagrama esquemático do fluxo de resfriamento, nos refrigeradores, é mostrado na fig. 1
[3]. Em geral, o refrigerador doméstico é operado com método de refrigeração indireta sendo
separado em compartimento interno e freezer, do qual é mantido uma temperatura de 3 e –18
°C, respectivamente. O refrigerante comprimido no compressor, do qual flui através da
tubulação do dissipador de calor e do tubo capilar, é evaporado no evaporador e, então, o
fluxo retorna ao compressor através da tubulação de sucção [2].
O refrigerante evaporado no evaporador tem o papel de reduzir a temperatura do
evaporador. O ventilador, instalado na frente do evaporador, ventila o ar refrigerado e
refrigera o alimento no interior do refrigerador [2].
A circulação do ar refrigerado é feita por controle on-off do ventilador de acordo com a
temperatura interna do refrigerador. O método de controle de temperatura típico é o controle
on-off do compressor e do ventilador [2].
Figura 1 – Corte de um Refrigerador doméstico
Os pontos das curvas das temperaturas do evaporador, freezer e compartimento interno são
obtidos através de ensaios realizados, fixando os termopares, tipo K, nos pontos F (freezer), P
(compartimento interno) e B (evaporador), considerando as condições descritas à seguir:
- Temperatura Ambiente constante em 20°C;
- Tanto o compartimento interno como o freezer permaneceram fechados durante todo o
ensaio
- Não houve inserção de alimentos no refrigerador
- Ambas as portas perfeitamente fechadas e vedadas
- Operação continua do compressor
Pelos pontos obtidos no ensaio, determinam-se às curvas das temperaturas experimentais,
como mostrado na figura 2.
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Tc
Tf
Te
Figuras 2 – Curvas das temperaturas obtidas dos ensaios realizados
-
Tem-se:
Tc : Temperatura do compartimento interno;
Tf : Temperatura do Freezer;
Te : Temperatura do Evaporador
Utilizando-se dos dados obtidos em forma matricial, os mesmos são inseridos em
programa MATLAB 6.0-R12, onde determinam-se os parâmetros da função de transferência,
construídas em programa Simulink 4.0-R12, conforme mostrado na fig. 5.
3. Modelo matemático
Analogamente, as funções de transferência podem ser interpretadas como um circuito
elétrico onde tem-se:
- A tensão elétrica nos nós como temperatura.
- A condutância como os trocadores de calor para dissipação/absorção térmica do
sistema de refrigeração.
- A capacitância representando o comportamento dinâmico das curvas de temperatura.
- As fontes de potência como fornecimento de calor do sistema de refrigeração.
O circuito elétrico que representa apenas um compartimento do sistema térmico do
refrigerador, onde é considerada a condutância térmica entre o freezer e compartimento
interno, é mostrado na Figura 3.
Figura 3 – Circuito elétrico para compartimento interno do refrigerador
Utilizando a Lei de Corrente de Kirchhoff (LCK) [7], tem-se as equações dinâmicas do
compartimento interno, conforme mostrado nas equações (3.1), (3.2) e (3.3).
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Pc + Pca = Pcc
(4)
Pca = (Ta − Tc ) Gca
(5)
Pcc = C c
(6)
dTc
dt
Substituindo as equações (5) e (6) em (4), obtêm-se a equação (7).
G
dTc
P
= cc + (Ta − Tc ) ca
Cc
dt
Cc
(7)
Da mesma forma, fazendo o mesmo para o circuito térmico para o freezer, tem-se as
equações:
Pf + Pfa = Pcf
(8)
Pfa = (Ta − T f ) G fa
(9)
Pcf = C f
(10)
dT f
dt
Substituindo as equações (9) e (10) em (8), obtêm-se a equação (11).
dT f
dt
=
Pf
Cf
+ (Ta − T f )
G fa
(11)
Cf
Considerando o sistema completo, sob a mesma fonte de potência, tem-se o circuito
representado pelo circuito da Figura 4.
Figura 4 – Circuito elétrico completo
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Utilizando o a Lei de Corrente de Kirchhoff (LCK) [7], mas considerando que tem-se uma
divisão de potência fornecida ao refrigerador representado por βc e βf, onde somados se
complementam, pode-se equacionar conforme (12) e (13) e (14).
Pc = β c P
(12)
Pf = β f P
(13)
P = Pc + Pf
(14)
Da mesma forma, utilizando-se LCK [7], obtêm-se as equações (15), (16), (17) e (18).
P = Pf + Pe + Pc
(12)
P = (Tc − Te ) Gec
(16)
Pf = (T f − Te ) Gef
(17)
Pe = C e
dTe
dt
(18)
Substituindo as equações (16), (17) e (18) em (12), tem-se a equação diferencial (19):
P
Gef
G
dTe
=
+ (Tc − Te ) ec + (T f − Te )
Ce
Ce
dt
Ce
(19)
4. Simulação do modelo matemático
O modelo proposto foi montado a partir das equações diferenciais de 1a ordem (7), (1) e
(19), em software simulink 4.0-R12 e utilizando os parâmetros da tabela 4.1, simulando-se o
sistema conforme mostrado na Figura 5.
Tabela 4.1 – Tabela de parâmetros
Gca = 3.2229
Gfa = 3.4774
Gec = 1.5779
Gef = 8.5464
Ce = 4.5096
Cc = 28.4880
Cf = 8.7312
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Figura 5 – Circuito elétrico em Simulink 4.0-R12
5. Análise dos resultados experimentais e dos resultados obtidos com o modelo
matemático
Na Figura 6 observam-se os pontos das curvas obtidas pelo ensaio e as curvas obtidas pela
simulação das equações diferenciais do compartimento interno, freezer e evaporador.
Tc `
Tc
Tf `
Tf
Te `
Te
Figura 6 – Comparativo entre as curvas de temperaturas
-
Onde:
Tc, Tf e Te: Temperaturas de Compartimento Interno, Freezer e Evaporador obtidas
do ensaio, respectivamente.
Tc`, Tf ` e Te`: Temperaturas de Compartimento Interno, Freezer e Evaporador
obtidas em simulação, respectivamente.
As temperaturas finais obtidas no ensaio e simulação, e os desvios padrão entre as curvas
obtidas nos ensaios são mostrados na tabela 5.1 e 5.2, respectivamente.
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Tabela 5.1 – Temperaturas Finais das curvas de temperatura entre Ensaio e Simulação
Temperatura Temperatura
Ensaio
Simulação
Compartimento 6.900
6.8883
Interno
Freezer
-11.000
-9.3267
Evaporador
-23.000
-22.7801
Tabela 5.2 – Desvios Padrão das curvas de Temperatura
Compartimento
Interno
Freezer
Evaporador
0.8138
1.1425
1.1447
Para as temperaturas de compartimento interno, freezer e evaporador, o desvio padrão
representa uma distorção média positiva ou negativa de 0.0562°C, 0.1257 °C e 0.2633°C,
respectivamente.
6. Conclusões
Através do modelo simplificado apresentado é possível obter o comportamento
dinâmico e permanente aproximado das temperaturas de compartimento interno, freezer e
evaporador, reduzindo as inúmeras variáveis que compõem o sistema térmico descritas nas
leis da termodinâmica. Pode-se concluir que a simplificação por analogia do sistema térmico
do refrigerador doméstico para um sistema elétrico, utilizando componentes passivos, torna o
equacionamento mais simples e mostra-se eficiente na sua aplicação, conforme pode-se ver
nos resultados das temperaturas finais e desvio padrão das tabelas 5.1 e 5.2, respectivamente e
comportamento das curvas na fig. 6.
Para trabalhos futuros, propõe-se a análise do comportamento térmico junto às variáveis de
um motor de indução monofásico e controle de velocidade implementada pelas leis de
controle da lógica fuzzy.
7. Referências bibliográficas
[1] Korean Industrial Standard(KS), “Household electric refrigerators, Refrigerator-Freezers
and Freezers”, KSC 9305, 1997
[2] B.J. Choi , S.W. Han and S.K. Hong, “Refrigerator Temperature Control Using Fuzzy
Logic and Neural Network”, 1998 IEEE
[3] Y. Sunahara, N. Ohse, T. Kawamura and F. Yamashita, “On a Total Electric Power
Evaluation for a Refrigerator System Based on a Reduced Model”, IECON `88/360
[4] Garcia, Cláudio, “Modelagem e Simulação de Processos Industriais e de Sistemas
Eletromecânicos, São Paulo” – EDUSP, 1997
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[5Boylestad R. L., “introdução à Análise de Circuitos, 8° Edição, Prentice-Hall, 1997
[6] Doran A. L., “Coordinate Selection issues in the Order Reduction of Linear Systems,
Control and Dynamic Systems, Vol. 25, Academic Press, N. Y., 1987
[7] Edminister, Joseph A., “Circuitos Elétricos”, 2. ed, São Paulo, McGraw-Hill do Brasil,
1995
[8] Hanselman Duane C., Littlefield B., “Mastering MATLAB 6: a comprehensive tutorial
and reference”, Prentice-Hall, New Jersey, 2001
[9] Matsumoto E. Y., “MATLAB 6.5: Fundamentos de programação”, São Paulo, Érica, 2002