cap3-iqp

1
F602 Eletromagnetismo II
Turma C
2o. Semestre - 2010
Márcio José Menon
Capítulo III ONDAS ELETROMAGNÉTICAS NO VÁCUO
• ÍNDICE
1. Conceitos e Propriedades Fundamentais das Ondas
2. Equação de Onda para os Campos Elétrico e Magnético no Vácuo
3. Ondas Eletromagnéticas Planas Monocromáticas
4. Energia e Momento das Ondas Eletromagnéticas
1. Conceitos e Propriedades Fundamentais das Ondas
1.1 Introdução
1.1.1 Conceito Físico Elementar de Onda
1.1.2 Série e Transformada de Fourier - Resumo
a) Série de Fourier
a1) Forma Trigonométrica
• Funções de Período 2 π
• Funções de Período λ
a2) Forma Exponencial
• Funções de Período 2 π
• Funções de Período λ
b) Transformada de Fourier
b1) Dedução em Uma Dimensão
b2) Extensão ao Caso Tridimensional
1.2. Ondas em Uma Dimensão
1.2.1 Equação de Onda e Função de Onda
a) Dedução da Equação de Onda
b) Função de Onda
b1) Argumento da Função de Onda
b1) Exemplos e Contra-Exemplos
1.2.2 Função de Onda Harmônica
a) Expressão Geral
a1) Funções Harmônicas e Importância
a2) Função de Onda
b) Grandezas Características Básicas
b1) Fase e Amplitude
b2) Período e Frequências Temporais
b3) Período e Frequência Espaciais: Comprimento de Onda e Número de Onda
b4) Frente de Onda e Velocidade de Fase
b5) Sentido de Propagação - Constante de Fase e Numero de Onda
b6) Resumo
2
c) Função de Onda Complexa
c1) Motivação
c2) Expressão Geral e Notação
c3) Pacotes de Onda e Evolução
d) Reflexão e Transmissão: Condições de Contorno
d1) Sistema e Condições Físicas
d2) Funções de Onda
d3) Condições de Contorno
d4) Características da Reflexão e Transmissão
e) Polarização das Ondas - Função de Onda Vetorial
e1) Ondas Transversais
e2) Conceito e Função de Onda Polarizada
e3) Polarizações Linear e Elíptica
1.3. Ondas em Duas e Três Dimensões
1.3.1 Equação de Onda
a) Campos Escalares
b) Campos Vetoriais
1.3.2 Funções de Onda Harmônicas
a) Conceitos Básicos
a1) Relação entre Intensidade e Amplitude
a2) Frente de Onda
b) Ondas Planas
b1) Definição e Expressão Geral
b2) Velocidade de Fase
b3) Polarização
b4) Operações Diferenciais
c) Ondas Esféricas e Circulares
c1) Esféricas
c2) Circulares
2. Equação de Onda para os Campos Elétrico e Magnético no Vácuo
2.1 Equações de Maxwell na Ausência de Cargas e Correntes Livres
2.2 Equação de Onda para o Campo Elétrico
2.3 Equação de Onda para o Campo Magnético
2.4 Velocidade de Propagação
3. Ondas Eletromagnéticas Planas Monocromáticas
3.1 Conceito e Definição
3.1.1 Funções de Onda Plana
3.1.2 Espectro Eletromagnético e Monocromatismo
3.2 Transversalidade das Ondas Eletromagnéticas
3.2.1 Relação Entre os Campos Elétrico, Magnético e Direção de Propagação
3.2.2 Relação entre as Amplitudes
3.2.3 Exemplo “Clássico”
3
3.3 Polarização de uma Onda Eletromagnética
3.3.1 Importância do Campo Elétrico
3.3.2 Plano de Polarização
4. Energia e Momento em Ondas Eletromagnéticas
4.1 Resultados Básicos
4.1.1 Energia e Momento em Campos Eletromagnéticos
4.1.2 Onda Eletromagnética Polarizada
4.2 Expressões Gerais
4.2.1 Densidade Volumétrica de Energia
4.2.2 Densidade Superficial de Potência (Vetor de Poynting)
4.2.3 Densidade Volumétrica de Momento
4.3 Valores Médios em Um Ciclo de Oscilação
4.4 Intensidade de uma Onda Eletromagnética
4.5 Pressão da Radiação
4.5.1 Conceito e Expressão Geral
4.5.2 Exemplos e Aplicações
Referências do Capítulo
• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd edition (Person Education,
New Jersey, 1999), capítulo 9.
• E. Hecht, Optics, 3rd edition (Addison-Wesley, 1998).
• F.S. Crawford, Waves, Curso de Física de Berkeley, Volume 3 (MacGraw-Hill, New
York, 1975) {SG}
4
• QUESTÕES PROPOSTAS
Os exemplos e problemas indicados, referem-se à referência principal (Griffiths, 3a. edição).
1. Alguns Conceitos e Propriedades Fundamentais das Ondas
Questão 1. Considere uma corda com densidade linear de massa µ, distendida sob uma
tensão T e oscilando em relação à posição de equilíbrio (eixo z). Aplicando a segunda lei
de Newton a um elemento da corda e considerando pequena inclinação (de modo que sen θ
possa ser aproximado por tan θ), mostre que o deslocamento transversal f de cada ponto da
corda, em relação à posição de equilíbrio, obedece à equação
s
∂2f
1 ∂2f
T
= 2 2,
onde v =
.
2
∂z
v ∂t
µ
Questão 2. a) Mostre que se f (z, t) descreve um pulso de forma (perfil) fixa movendo-se
movendo-se com velocidade V no sentido + ẑ, o argumento de f tem dependência funcional
z − V t, isto é f (z, t) = f (z − V t).
b) Mostre que, se o movimento do pulso é no sentido − ẑ, a dependência é do tipo g(z, t) =
g(z + V t).
c) Mostre que as funções de onda dos 2 ítens anteriores obedecem à equação de onda da
questão 1, para V = v (velocidade de propagação dos pulsos).
c) Dê alguns exemplos e contra-exemplos de funções de onda em uma dimensão.
Questão 3. Uma onda harmônica unidimensional, propagando-se na direção + ẑ é expressa
por
F (z, t) = A cos (kz − ωt + δ).
Justificando a resposta em detalhe, mostre que a mesma onda propagando-se no sentido
contrário, − ẑ, pode ser expressa por
G(z, t) = A cos (− kz − ωt + δ).
Questão 4. Exemplo 9.1 e Problema 9.3.
Questão 5. Problema 9.2.
Questão 6. Considere duas cordas com densidades lineares u1 e u2 , conectadas em z = 0
(contínuas) e uma onda harmônica incidente da corda 1 (z < 0) para a corda 2 (z > 0).
a) Escreva as funções de onda em z < 0 e em z > 0.
b) Quais são as condições de contorno em z = 0?
c) Determine as expressões das amplitudes das ondas refletida e transmitida em função da
amplitude da onda incidente.
5
d) Justificando a resposta, interprete fisicamente o que ocorre se u1 > u2 e se u1 < u2 .
Questão 7. a) Explique o conceito de polarização de uma onda harmônica unidimensional.
Qual a expressão da função de onda?
b) Explique o que significa polarização linear e polarização elíptica (à esquerda e à direita).
Questão 8. Problema 9.8.
Questão 9. Considere uma corda com densidade volumétrica ρ e uma onda harmônica
propagando-se na direção + ẑ:
F (z, t) = A cos (kz − ωt).
a) Considerando um elemento de massa ∆m da corda, mostre que a energia mecânica total
(cinética mais potencial) desse elemento pode ser expressa por
1
∆E = ∆m ω 2A2 .
2
b) Mostre que a intensidade (potência por unidade de área normal à direção de propagação)
pode ser expressa por
1
I = ρ v ω 2 A2 ,
2
onde v =
ω
.
k
Resultado fundamental: intensidade ∝ (amplitude)2.
Questão 10. a) Dê a definição de frente de onda.
b) Dê a definição de onda plana.
c) A partir da definição de frente de onda e do fato de a intensidade ser proporcional ao
quadrado da amplitude da onda, mostre que a função de onda plana é expressa por
~
IF(~r, t) = IA ei(k·~r−ωt) ,
onde IA é uma constante complexa (independente de r).
c) Repita o ítem anterior para uma onda esférica, mostrando que a função de onda é expressa
por
~
IF(~r, t) =
IA ei(k·~r−ωt)
.
r
Questão 11. Para uma onda plana polarizada,
~ r , t) = IA
~ ei(~k·~r−ωt) ,
IF(~
~ = IA n̂,
IA
demonstre os seguintes resultados:
a)
∂ ~
~ r , t),
IF(~r, t) = −iω IF(~
∂t
b)
~ · IF(~
~ r, t) = i~k · IF(~
~ r , t),
∇
6
c)
~ × IF(~
~ r, t) = i~k × IF(~
~ r, t),
∇
d)
~ 2 IF(~
~ r , t) = −k 2 IF(~
~ r, t).
∇
2
~ 2 IF(~
~ r , t),
~ r, t) = 1 ∂ IF(~
e) ∇
v 2 ∂t2
v=
ω
.
k
2. Equação de Onda para os Campos Elétrico e Magnético no Vácuo
Questão 12. a) Escreva as equações de Maxwell correspondentes ao vácuo e na ausência de
cargas e correntes livres.
b) Mostre que os campos elétrico e magnético obedecem às seguintes equações de onda:
2~
~ 2E
~ = µ0 ǫ0 ∂ E ,
∇
∂t2
2~
~ 2B
~ = µ0 ǫ0 ∂ B .
∇
∂t2
c) Mostre que a velocidade de propagação é
v=√
1
Km
≈ 300.000
.
µ0 ǫ0
s
3. Ondas Eletromagnéticas Planas Monocromáticas
Questão 13. Mostre que as equações do ítem anterior possuem soluções do tipo (onda plana
polarizada):
~ r , t) = IA
~ ei(~k·~r−ωt) .
IF(~
~ eB
~ soluções da equação de onda na forma de ondas planas
Questão 14. Considere E
monocromáticas, propagando-se na direção k̂:
~ r , t) = IE
~ 0 ei(~k·~r−ωt) ,
IE(~
~ r, t) = IB
~ 0 ei(~k·~r−ωt) ,
IB(~
ω
= c.
k
~ eB
~ (Gauss), mostre que
a) A partir das equações de Maxwell para os divergentes de E
~ r , t) e IB(~
~ r , t) são perpendiculares à direção de propagação k̂.
IE(~
b) A partir da lei de Ampère-Maxwell, mostre que
~
~ r, t) = k̂ × IE(~r, t) .
IB(~
c
~ 0 = E0 eδE Ê e IB
~ 0 = B0 eδB B̂, mostre que
c) Expressando as amplitudes na forma polar, IE
B0 =
E0
c
e
δB = δE
(campos em fase).
Questão 15. a) Explique e discuta o conceito de polarização de uma onda eletromagnética
(OEM).
7
b) Se n̂ é o vetor de polarização de uma OEM plana monocromática, escreva as expressões
~ r, t) e IB(~
~ r , t) (utilize os resultados da questão 14).
de IE(~
c) Mostre que os campos físicos (reais), são dados por
~ r, t) = E0 cos (~k · ~r − ωt + δ) n̂,
E(~
~ r, t) = E0 cos (~k · ~r − ωt + δ) k̂ × n̂.
B(~
c
Questão 16. Exemplo 9.2.
4. Energia e Momento em Ondas Eletromagnéticas
Questão 17. Considere uma OEM propagando-se na direção ẑ com polarização na direção
x̂.
~ r, t) e B(~
~ r , t) (questão anterior, ítem c)
a) Escreva a expressão dos campos físicos E(~
b) Mostre que a densidade volumétrica de energia transportada na direção ẑ é dada por
dUem
= ǫ0 E02 cos2 (kz − ωt + δ).
dτ
c) Mostre que o vetor de Poynting e a densidade volumétrica de momento, podem ser expressos por
~ = dUem ~c,
S
dτ
d~pem
1 dUem
=
ẑ.
dτ
c dτ
Questão 18. Mostre que os valores médios das grandezas da questão anterior, num ciclo de
oscilação são dados por
D E 1
ǫ0 2
1
d~
p
dUem
em
2
~ = c ǫ0 E ẑ,
= E0 ,
= ǫ0 E02 ẑ.
S
0
dτ
2
2
dτ
2c
Questão 19. Defina intensidade I de uma onda eletromagnética e mostre que
D E cǫ
~ = 0 E2.
I = |S|
2 0
Note que, de fato, intensidade ∝ (amplitude)2.
Questão 20. Mostre que a pressão da radiação, numa superfície completamente absorvedora, pode ser expressa por
Prad =
I
ǫ0
= c E02 .
c
2
Questão 21. Problema 9.10.
Questão 22. Problema 9.12.
....................................................................................