Artigo 01

A UTILIZAÇÃO DA ANALOGIA DE GRELHA PARA ANÁLISE DE
PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO
Marcos Alberto Ferreira da Silva (1); Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho(2); Roberto
Chust Carvalho(2)
(1) Aluno de Pós-Graduação em Construção Civil – DECiv/UFSCar
[email protected]
(2) Professores Adjuntos – DECiv/UFSCar
[email protected]
[email protected]
Resumo
Diversos métodos para a análise e dimensionamento de lajes de concreto armado de
pavimentos de edifícios têm sido propostos e usados ao longo dos anos. Esses métodos
são usados para analisar os deslocamentos, os esforços internos, os elementos de apoio
e a capacidade de carga das lajes; conhecendo-se a distribuição dos esforços atuantes,
tais como momentos fletores, momentos de torção e esforços cortantes, é possível
verificar as tensões e calcular as armaduras necessárias nestas lajes. A substituição de
uma laje por uma série ortogonal de vigas que se cruzam formando uma grelha é uma
das mais antigas propostas de solução. Dividindo as lajes em um número adequado de
faixas é possível reproduzir o comportamento estrutural de pavimentos em concreto
armado com praticamente qualquer geometria e em diferentes situações de esquema
estrutural. Esta é a base do processo de analogia de grelha, o qual possibilita que se faça
o cálculo integrado do pavimento. Neste trabalho comparam-se os esforços e os
deslocamentos transversais de lajes isoladas e de lajes associadas obtidos a partir do
emprego do processo de analogia de grelha com aqueles obtidos através do emprego de
tabelas de lajes e, verifica-se a influência de parâmetros como o espaçamento da malha,
a rigidez a torção dos elementos e o tipo de carga (concentrada nos nós ou distribuída
nas barras da grelha) utilizada para carregar a estrutura equivalente, nos resultados
fornecidos por este processo.
V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto
1
1 Introdução
Devido à falta de recursos computacionais capazes de resolver o grande volume
de equações simultâneas necessárias para analisar um pavimento como um todo,
durante muito tempo o cálculo de pavimentos de edifícios compostos por lajes e vigas de
concreto armado foi feito de maneira simplificada, considerando-se as lajes como
elementos isolados apoiados em elementos rígidos, as vigas. Hoje, com o avanço dos
microcomputadores, cada vez mais potentes e velozes e, com o surgimento de
programas de análise estrutural avançados que possibilitam o cálculo integrado, a
situação é outra, podendo-se analisar o comportamento de um pavimento como um todo,
levando-se em consideração a influência da flexibilidade dos apoios e da rigidez à torção,
tanto das lajes como das vigas, sendo ainda possível de se incluir na análise a não
linearidade física do concreto armado.
Entre os diversos processos de cálculo que possibilitam a análise integrada de um
pavimento, levando-se em consideração a influência desses parâmetros, destaca-se o
processo de analogia de grelha, o qual vem sendo muito usado em
programas
computacionais de análise de estruturas de concreto armado amplamente difundidos no
país e de grande aceitação no meio profissional.
Além de possibilitar o cálculo integrado de um pavimento, o processo de analogia
de grelha permite ainda que, fazendo-se apenas pequenas modificações em um mesmo
conjunto de dados, se analise um mesmo pavimento em diferentes situações de
esquema estrutural, propiciando desta maneira, ao projetista, rapidez na definição do
sistema estrutural mais adequado a ser utilizado.
2 Processo de Analogia de Grelha
Baseado na substituição de um pavimento por uma grelha equivalente, onde os
elementos da mesma (barras da grelha equivalente) passam a representar os elementos
estruturais do pavimento (lajes e vigas), este processo permite reproduzir o
comportamento estrutural de pavimentos com praticamente qualquer geometria, seja ele
composto de lajes de concreto armado maciças, com ou sem vigas, ou então de lajes
nervuradas.
Para analisar um pavimento através do processo de analogia de grelha deve-se
dividir as lajes que o compõem em um número adequado de faixas, as quais terão
larguras dependentes da geometria e das dimensões do pavimento. Considerando que,
assim como as vigas, estas faixas possam ser substituídas por elementos estruturais de
V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto
2
barras exatamente nos seus eixos, obtém-se então uma grelha equivalente que passa a
representar o pavimento.
Quanto aos carregamentos, considera-se que as cargas distribuídas atuantes no
pavimento se dividem entre as barras da grelha equivalente de acordo com a área de
influência de cada uma; as cargas podem ser consideradas uniformemente distribuídas
ao longo das barras da grelha ou então concentradas diretamente nos seus nós.
As características geométricas que devem ser consideradas para as barras da
grelha equivalente são de dois tipos: as do elemento placa (laje) e as do elemento vigaplaca (viga-laje). O cálculo da inércia à flexão dos elementos de placa é feito
considerando-se uma faixa de largura b, a qual é dada pela soma da metade dos
espaços entre os elementos vizinhos, e altura h, a qual é representada pela espessura da
placa. Para se avaliar a parcela geométrica da rigidez à torção, no estádio I, segundo
HAMBLY (1976), deve-se considerar o dobro da rigidez à flexão. Assim, para um
elemento de placa, pode-se escrever:
If =
b ⋅ h3
12
e
I t = 2 ⋅ If =
b ⋅ h3
6
onde If e I t são respectivamente os momentos de inércia à flexão e à torção do elemento
de placa.
Para o elemento viga-placa, na flexão, pode-se considerar uma parte da placa
trabalhando como mesa da viga, configurando então, dependendo da posição, uma viga
de seção T ou meio T. Uma vez determinada a largura colaborante, a inércia à flexão da
seção resultante pode ser calculada supondo a peça trabalhando tanto no estádio I como
no II.
A inércia à torção do elemento viga no estádio I, de maneira simplificada, usando a
Resistência dos Materiais e considerando a viga como retangular, sem levar em conta a
contribuição da laje adjacente, é dada pela expressão:
It =
h ⋅ b3
3
onde b e h são respectivamente a largura e altura do elemento viga.
Como indica CARVALHO (1994), no estádio II, pode-se considerar o valor da
inércia à torção do elemento viga como sendo 10% daquele dado pela Resistência dos
Materiais. Assim:
It =
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h ⋅ b3
30
3
Os valores do módulo de deformação longitudinal à compressão do concreto (E c ) ,
do módulo de deformação transversal do concreto (Gc ) , e do coeficiente de Poisson (ν)
relativo às deformações elásticas podem ser determinados a partir das recomendações
da NBR 6118.
3 Situações Analisadas
Para exemplificar a possibilidade de uso do processo de analogia de grelha na
análise de pavimentos de edifícios, para comparar os resultados obtidos mediante a sua
utilização com aqueles obtidos quando se empregam tabelas de lajes isoladas (teoria das
placas delgadas) e, para verificar a influência de parâmetros como o espaçamento da
malha, a rigidez a torção dos elementos e o tipo de carga utilizada para carregar a
estrutura equivalente, nos resultados fornecidos por este processo, foram resolvidos
diversos exemplos, os quais serão apresentados a seguir.
Para a determinação dos esforços e deslocamentos das placas atráves da teoria
das placas delgadas, utilizou-se tabelas de lajes apresentadas em CARVALHO &
FIGUEIREDO FILHO (2001), as quais foram extraídas de BARES (1972) e devidamente
adaptadas, por estes autores, para o coeficiente de Poisson (ν) igual a 0,2 e, para a
resolução das grelhas analisadas, foi utilizado o programa GPLAN4 de CORRÊA &
RAMALHO (1987), versão educativa, desenvolvido na Escola de Engenharia de São
Carlos da Universidade de São Paulo.
EXEMPLO 1 – Para comparar os resultados obtidos mediante o emprego do processo de
analogia de grelha com os obtidos atráves da teoria das placas delgadas, foi analisada
inicialmente uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8cm de espessura, suposta
simplesmente apoiada no seu contorno, considerado indeslocável verticalmente. Utilizouse os dados:
Dados para o concreto :
E c = 3,20 x 10 7 kN/m 2 ; ν = 0,2; Gc = 1,28 x 10 7 kN/m 2
Dados do carregamen to da placa :
peso próprio : g1 = 0,08 ⋅ 25 = 2,00 kN/m 2

2
⇒ carga total = 6,00 kN/m 2
carga permanente g2 = 1,00 kN/m

2
sobrecarga de utilização q = 3,00 kN/m
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4
Para analisar a placa através do processo de analogia de grelha foi utilizada uma
grelha equivalente composta de 25 nós e 40 barras (figura 1), com espaçamento de 75cm
entre as barras nas duas direções.
Figura 1: Grelha equivalente da placa do exemplo 1 (25 nós e 40 barras).
O carregamento da grelha equivalente foi feito considerando as cargas
uniformemente distribuídas nas suas barras; o valor numérico destas cargas foi
determinado a partir da área de influência das barras. Assim:
 0,75 ⋅ 0,75

⋅ 6,00 

4
 = 1,125 kN/m
para as barras do contorno : p = 
0,75
 0,75 ⋅ 0,75

⋅ 6,00 ⋅ 2 

4
 = 2,250 kN/m
para as barras do centro : p = 
0,75
Os esforços e os deslocamentos no centro da placa, obtidos admitindo
comportamento linear, estão apresentados no quadro 1.
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5
QUADRO 1 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro da placa
quadrada do exemplo 1
mx = my
Flecha
Analogia de Grelha (A)
2,895
2,106
Tabelas (B)
2,381
1,385
razão (A/B)
1,216
1,521
Modelos de cálculo
Comparando os resultados apresentados no quadro 1, observa-se que o momento
fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou maior que aquele obtido
utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente 22%, enquanto que a flecha resultou
maior em aproximadamente 52%. No exemplo 3 poderá ser observado que estes
percentuais diminuiram na medida em que se reduziu o espaçamento da malha.
EXEMPLO 2 – Ainda na intenção de comparar os resultados obtidos mediante o emprego
da analogia de grelha com
os obtidos atráves da teoria das placas delgadas, foi
analisada neste exemplo uma placa retangular de 3,00 x 4,80m e de 8cm de espessura,
suposta simplesmente apoiada no seu contorno, considerado indeslocável verticalmente.
Para analisar a placa através da analogia de grelha foi utilizada uma grelha equivalente
composta de 55 nós e 94 barras (figura 2), com espaçamento entre as barras de 48cm na
maior direção da placa e, de 75cm, na menor direção.
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Figura 2: Grelha equivalente da placa retangular do exemplo 2 (55 nós e 94 barras).
As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras. Os dados
para o concreto e para os carregamentos foram os mesmos do exemplo 1. Os esforços e
os deslocamentos no centro da placa, obtidos considerando comportamento linear, estão
apresentados no quadro 2.
QUADRO 2 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro da placa
retangular do exemplo 2
mx
my
Flecha
Analogia de Grelha (A)
5,194
1,636
3,554
Tabelas (B)
4,504
1,696
2,830
razão (A/B)
1,153
0,965
1,256
Modelos de cálculo
Comparando os resultados apresentados no quadro 2, observa-se que o momento
fletor na menor direção da placa, obtido através da utilização da analogia de grelha,
resultou maior que aquele obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente
15%, enquanto que o momento fletor na maior direção da placa resultou 3,5% menor e, a
flecha, resultou maior em aproximadamente 26%.
EXEMPLO 3 – Para averiguar a influência do espaçamento da malha nos resultados da
analogia de grelha, foi analisada a mesma placa do exemplo 1 considerando mais três
malhas com espaçamentos diferentes: malha de 50 x 50cm, composta de 49 nós e 84
barras, malha de 30 x 30cm, composta de 121 nós e 220 barras e, malha de 15 x 15cm,
composta de 441 nós e 840 barras. As cargas foram consideradas uniformemente
distribuídas nas barras. Os esforços e os deslocamentos no centro da placa, obtidos
considerando comportamento linear, estão apresentados no quadro 3.
QUADRO 3 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma mesma
placa quadrada para quatro tipos diferentes de grelha equivalente
Malha da grelha equivalente
Malha 1 (75 x 75cm)
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N° de nós
mx = my
Flecha
25
2,895
2,106
7
Malha 2 (50 x 50cm)
49
2,636
1,941
Malha 3 (30 x 30cm)
121
2,450
1,799
Malha 4 (15 x 15cm)
441
2,320
1,693
Os resultados apresentados no quadro 3 mostram claramente que existe uma
influência da malha utilizada na análise da placa; observa-se que os valores do momento
fletor e da flecha diminuíram na medida em que se reduziu o espaçamento da malha.
Comparando os resultados obtidos para a malha 4 (malha mais "fina") com aqueles
obtidos utilizando-se as tabelas de placa (exemplo 1), observa-se uma pequena diferença
no valor do momento fletor, aproximadamente 3%, para menos, enquanto que para a
flecha observa-se uma diferença de aproximadamente 23%, para mais.
EXEMPLO 4 – Para averiguar se ocorre grande variação nos valores do momento fletor e
da flecha ao considerar-se as cargas como concentradas diretamente nos nós da grelha
equivalente ou como uniformemente distribuídas nos elementos da mesma, resolveu-se
novamente a placa do exemplo 1 utilizando as malhas 1, 2 3 e 4 do exemplo 3,
considerando para estas, as cargas aplicadas diretamente nos seus nós. Para determinar
o valor numérico da carga a ser aplicada diretamente em um nó, determina-se
inicialmente a sua área de influência, multiplicando-a a seguir pela carga atuante por
metro quadrado na placa. Para efeito de ilustração apresenta-se a seguir, para a malha 1,
o cálculo da carga a ser aplicada diretamente nos nós:
0,75 ⋅ 0,75
⋅ 6,00 = 0,844 kN
4
0,75 ⋅ 0,75
nós da periferia : p =
⋅ 6,00 ⋅ 2 = 1,688 kN
4
nós de canto : p =
nós centrais : p =
0,75 ⋅ 0,75
⋅ 6,00 ⋅ 4 = 3,375 kN
4
Os resultados obtidos, considerando comportamento linear, estão apresentados no
quadro 4.
Os resultados obtidos, pelo menos para este exemplo, mostram que para fins
práticos não há diferença alguma em considerar-se as cargas aplicadas diretamente nos
nós da grelha equivalente ou uniformemente distribuída nas barras da mesma.
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QUADRO 4 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma mesma
placa quadrada para as situações de cargas concentradas nos nós e uniformemente
distribuídas nos elementos
Tipo de carga
Tipo de carga
concent. uniform
concent. uniform
(A)
e
(C)
(B)
Malha da grelha
mx = my mx = my
e
(D)
razão
Flecha
Flecha
(A/B)
razão
(C/D)
Malha 1 (75 x 75cm)
2,919
2,895
1,008
2,002
2,106
0,951
Malha 2 (50 x 50cm)
2,652
2,636
1,006
1,899
1,941
0,978
Malha 3 (30 x 30cm)
2,457
2,450
1,002
1,785
1,799
0,992
Malha 4 (15 x 15cm)
2,320
2,320
1,000
1,690
1,693
0,998
EXEMPLO 5 – Para averiguar a influência do módulo de deformação transversal do
concreto nos resultados da analogia de grelha, foi analisada novamente a placa do
exemplo 1, para as malhas 1, 2, 3 e 4 do exemplo 3, considerando a relação
Gc /E c = 0,2 . As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras das
grelhas equivalentes e, admitiu-se comportamento linear. Os resultados obtidos para esta
nova relação e aqueles já obtidos para a relação G c /E c = 0,4 (exemplo 3), estão
apresentados no quadro 5.
Pelos resultados obtidos percebe-se que, tanto o momento fletor como a flecha no
centro da placa, aumentaram quando se diminuiu a relação G c /E c de 0,4 para 0,2; este
comportamento era esperado, uma vez que ao diminuir o valor do módulo de deformação
transversal do concreto, diminui-se a rigidez à torção dos elementos da grelha
equivalente e, consequentemente, ocorre uma diminuição dos momentos torsores nas
extremidades das barras desta grelha; como o equilíbrio da grelha deve ser mantido, ele
é obtido através do balanceamento entre momentos fletores e momentos torsores, ou
seja, os momentos torsores diminuindo, originam um aumento dos momentos fletores e
também da flecha no centro da placa.
QUADRO 5 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma
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placa quadrada para as relações G c /E c = 0,2 e Gc /E c = 0,4
Relação G c /E c
Relação Gc /E c
Malha da grelha
0,2
0,4
0,2
0,4
(A)
(B)
(C)
(D)
Flecha
Flecha
m x = m y m x = m y razão
(A/B)
razão
(C/D)
Malha 1 (75 x 75cm)
3,308
2,895
1,143
2,359
2,106
1,120
Malha 2 (50 x 50cm)
3,182
2,636
1,207
2,286
1,941
1,178
Malha 3 (30 x 30cm)
3,073
2,450
1,254
2,205
1,799
1,226
Malha 4 (15 x 15cm)
2,973
2,320
1,281
2,128
1,693
1,257
EXEMPLO 6 – Para comparar os resultados obtidos através da teoria das placas
delgadas, a qual considera as bordas das placas como apoios indeslocáveis na direção
vertical, com os obtidos quando se considera os contornos dessas mesmas placas
deformáveis verticalmente, resolveu-se novamente a placa do exemplo 1, considerando
porém, que agora, a mesma encontra-se apoiada em seu contorno em vigas de seção de
20 x 30cm, estando estas vigas apoiadas em pilares nas suas extremidades (figura 3).
Para analisar a placa através do processo de analogia de grelha foi utilizada a malha 4
(441 nós e 840 barras) do exemplo 3. As vigas de contorno da laje foram consideradas
como retangulares, sem levar em conta a contribuição da laje adjacente e, as inércias à
flexão e à torção das mesmas, foram calculadas para o estádio I. As cargas foram
consideradas uniformemente distribuídas nos elementos da grelha equivalente. Os dados
para o concreto e para os carregamentos foram os mesmos do exemplo 1. Os esforços e
os deslocamentos obtidos para o centro da placa estão apresentados no quadro 6.
Comparando os resultados apresentados no quadro 6, observa-se que o momento
fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou menor que o obtido
utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 27% e, a flecha, resultou menor
em aproximadamente 7%. Em função da inércia à torção das vigas de contorno ser
elevada, maior que a própria inércia à flexão das mesmas, nos nós correspondentes ao
encontro dos elementos de placa com os elementos de viga (nós do contorno da grelha
equivalente), surgem momentos fletores negativos elevados, contribuindo para que
ocorra uma redução do momento fletor positivo e da flecha no centro da placa.
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10
VIGA (20/30)
3,0 m
LAJE
(H = 8 cm)
PILAR
VIGA (20/30)
VIGA (20/30)
PILAR
VIGA (20/30)
PILAR
PILAR
3,0 m
Figura 3: Placa quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente.
QUADRO 6 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa
quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente e razão com o valor
fornecido pela teoria das placas delgadas
mx = my
Flecha
Analogia de Grelha (A)
1,693
1,576
Tabelas (B)
2,320
1,693
razão (A/B)
0,730
0,931
Modelos de cálculo
EXEMPLO 7 – Neste exemplo procurou-se verificar a variação que ocorre nos valores do
momento fletor e da flecha no centro da placa do exemplo 6, ao considerar-se a inércia à
torção das vigas de contorno dessa placa no estádio II, mantendo-se inalterada a inércia
à flexão das mesmas (estádio I). A inércia à torcão das vigas no estádio II foi
considerada, segundo recomendação apresentada em CARVALHO (1994) e, já
comentada neste trabalho, como sendo 10% da inércia à torção das vigas no estádio I.
Os resultados obtidos neste exemplo estão apresentados no quadro 7.
QUADRO 7 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa
quadrada apoiada em vigas deformáveis verticalmente e com inércia à torção
considerada ora no estádio I e ora no estádio II
V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto
11
mx = my
Flecha
Com inércia à torção no estádio II (A)
2,093
1,914
Com inércia à torção no estadio I (B)
1,693
1,576
razão (A/B)
1,236
1,214
Situação das vigas de contorno
Pelos resultados obtidos observa-se que o momento fletor e a flecha no centro da
placa aumenta bastante quando se considera a inércia à torção das vigas de contorno da
placa no estádio II; no quadro 8 apresenta-se a comparação dos resultados obtidos
considerando-se as vigas de contorno com inércia à torção no estádio II com os obtidos
empregando-se a teoria das placas delgadas.
QUADRO 8 – Momento fletor (em kN.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa
quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente e com inércia à
torção no estadio II e razão com o valor fornecido pela teoria das placas delgadas
mx = my
Flecha
Analogia de Grelha (A)
2,093
1,914
Tabelas (B)
2,320
1,693
razão (A/B)
0,902
1,131
Modelos de cálculo
Comparando os resultados apresentados no quadro 8, observa-se que o momento
fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou menor que aquele obtido
utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 10%, enquanto que a flecha
resultou maior em aproximadamente 13%.
EXEMPLO 8 – Com a intenção de mostrar que mediante a utilização do processo de
analogia de grelha é possivel calcular pavimentos de concreto armado de uma forma
integrada, fugindo do cálculo clássico, o qual considera os elementos componentes do
pavimento de forma isolada, sem levar em conta a interação entre os mesmos, neste
exemplo foi analisado um pavimento composto por quatro lajes, seis vigas e nove pilares,
conforme mostra a figura 4 e, os resultados assim obtidos, foram comparados com os
obtidos utilizando-se tabelas de placas.
V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto
12
VIGA (20/40)
P2
L1
H = 10cm
P3
L3
H = 10cm
4m
P5
P6
L4
H = 10cm
4m
VIGA (20/40)
VIGA (20/40)
P4
VIGA (20/40)
L2
H = 10cm
VIGA (20/40)
P1
VIGA (20/40)
P7
P8
4m
P9
4m
Figura 4: Fôrma do pavimento do exemplo 8.
Os dados utilizados neste exemplo foram:
Dados para o concreto :
E c = 3,20 x 10 7 kN/m 2 ; ν = 0,2; G c = 1,28 x 10 7 kN/m 2
Dados do carregamen to das lajes :
peso próprio : g1 = 0,10 ⋅ 25 = 2,50 kN/m 2

2
⇒ carga total = 6,50 kN/m 2
carga permanente g2 = 1,00 kN/m

2
sobrecarga de utilização q = 3,00 kN/m
A inércia à torção das vigas foi calculada no estádio II ( 10% da inércia à torção no
estádio I), enquanto que a inércia à flexão das mesmas, foi calculada no estádio I. As
vigas foram consideradas como retangulares, sem levar em conta a contribuição da laje
adjacente. Para analisar o pavimento através da analogia de grelha foi utilizada uma
grelha equivalente composta de 441 nós e 840 barras, com espaçamento de 40cm entre
as barras nas duas direções. As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas
nas barras. Os resultados obtidos neste exemplo estão apresentados no quadro 9.
QUADRO 9 – Momentos fletores (em kN.m/m) e flecha (em mm) nas lajes do pavimento
do exemplo 8
V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto
13
mx = my
xx = xy
Flecha
L1=L2=L3=L4 (A)
3,123
-6,325
2,043
Tabelas (B)
2,922
-7,270
1,258
razão (A/B)
1,069
O,870
1,624
Laje
Comparando os resultados apresentados no quadro 9, observa-se que o momento
fletor positivo obtido através da utilização da analogia de grelha resultou pouco maior que
o obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente 7%, enquanto que o
momento fletor negativo resultou menor em aproximadamente 13% e, a flecha, resultou
maior em aproximadamente 62%.
4 Conclusões
As conclusões deste trabalho são apresentadas a seguir:
•
Os resultados apresentados no quadro 3 mostram claramente que existe uma
influência da malha utilizada na análise da placa; observou-se que os valores do
momento fletor e da flecha diminuíram na medida em que se reduziu o espaçamento
da malha;
•
para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,
suposta
simplesmente
apoiada
em
seu
contorno,
considerado
indeslocável
verticalmente, verificou-se que ocorreu uma razoável variação nos valores do
momento fletor e da flecha em função do espaçamento da malha utilizada na sua
análise; da malha mais "larga" (75 x 75cm) para a mais "fina" (15 x 15cm), tanto o
momento fletor como a flecha sofreram uma redução de aproximadamente 20%;
•
para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,
suposta
simplesmente
apoiada
em
seu
contorno,
considerado
indeslocável
verticalmente, verificou-se que tanto o momento fletor como a flecha obtidos
considerando-se as cargas aplicadas diretamente nos nós da grelha equivalente
resultaram praticamente iguais àqueles obtidos considerando-se as cargas aplicadas
uniformemente distribuídas nas barras dessa mesma grelha;
•
para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,
suposta simplesmente apoiada em seu contorno, o qual foi considerado indeslocável
verticalmente, pode-se verificar que tanto o momento fletor como a flecha no centro
da placa, aumentaram quando se diminuiu a relação G c /E c de 0,4 para 0,2;
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•
para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,
apoiada em seu contorno em vigas de 20 x 30cm, consideradas deformáveis
verticalmente e, com as inércias à torção e à flexão calculadas no estádio I, verificouse que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha,
considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou menor que aquele obtido
utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 27% e, a flecha, resultou
menor em aproximadamente 7%;
•
para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura,
apoiada em seu contorno em vigas de 20 x 30cm, consideradas deformáveis
verticalmente e, com inércia à flexão calculada no estádio I e inércia à torção
calculada no estádio II, verificou-se que o momento fletor obtido através da utilização
da analogia de grelha, considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou maior que
o obtido considerando-se a inércia à torção destas mesmas vigas no estádio I,
aproximadamente 24%; o mesmo ocorreu com a flecha, que resultou maior em
aproximadamentre 21%;
•
para o centro de uma laje quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, apoiada
em seu contorno em vigas de 20 x 30cm, consideradas deformáveis verticalmente e,
com inércia à flexão calculada no estádio I e inércia à torção calculada no estádio II,
verificou-se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha,
considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou menor que o obtido utilizando-se
as tabelas de placa, aproximadamente 10%, enquanto que a flecha resultou maior em
aproximadamente 13%;
•
exceto para um caso (exemplo 6), a flecha obtida através da utilização analogia de
grelha resultou maior que a obtida através da utilização das tabelas de placas;
•
o processo de analogia de grelha permite dinamizar a análise de um mesmo
pavimento em diferentes situações de esquema estrutural, dimensões em planta,
espessura das lajes, dimensões de vigas, condições de apoio e carregamentos;
•
com a utilização do processode analogia de grelha é possível calcular pavimentos de
concreto armado de uma forma integrada, fugindo do cálculo clássico, o qual
considera os elementos componentes do pavimento de forma isolada, sem levar em
conta a interação entre os mesmos. Com o cálculo integrado, a contribuição de cada
elemento que compõe o pavimento fica corretamente caracterizada e, dessa forma, os
esforços e os deslocamentos determinados tendem a ser mais precisos e mais
próximos dos valores reais;
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5 Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2001). NBR-6118. Projeto de
concreto estrutural – procedimento. Texto base do projeto de revisão da NBR-6118 e
NBR-7197. Rio de Janeiro, 2001.
BARES, R. Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona: Editorial
Gustavo Gili S.A., 1972.
CARVALHO, R. C. Análise não-linear de pavimentos de edifícios de concreto através
da analogia de grelha. 1994. Tese de Doutorado. Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São
Paulo, São Carlos.
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas
usuais de concreto armado. São Carlos: EdUFSCar, 2001. 308 p.
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R.; FURLAN JÚNIOR, S. Cálculo de lajes
de concreto com a analogia de grelha. In: CONGRESSO DE ENGENHARIA CIVIL DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA, 2., 1996, Juiz de Fora. Anais... Juiz de
Fora: UFJF, 1996. p. 154-163.
CORRÊA, M. R. S.; RAMALHO, M. A. Sistema laser de análise estrutral. In: SIMPÓSIO
NACIONAL DE TECNOLOGIA DE CONSTRUÇÃO: SOFTWARE PARA O PROJETO DE
EDIFÍCIOS, 5., 1987, São Paulo.
HAMBLY, E. C. Bridge deck behaviour. London: Chapman and Hall, 1976.
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