PÊNDULO ELÁSTICO

Mecânica e Ondas – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007/2008
DF - Universidade do Algarve
PÊNDULO ELÁSTICO
1. Resumo
Um corpo ligado a uma mola é posto em movimento oscilatório. Determinam-se as
características do movimento e estuda-se a conservação da energia mecânica.
2. Tópicos teóricos
Y
l0
l
r
Fel
m
r
P
X
Fig. 1
Considere o sistema da figura 1. Quando se suspende uma massa, m, na mola, o seu
comprimento aumenta de l0 para l. À grandeza ∆l = l − l 0 dá-se o nome de elongação da
mola.
Quando o corpo se encontra em equilíbrio estático, o seu peso é totalmente compensado
pela força elástica produzida pela mola, o que permite escrever a condição:
g
∆l = m ,
(1)
k
onde g é a aceleração da gravidade e k a constante da mola. Esta equação estabelece uma
proporcionalidade directa entre a elongação sofrida pela mola e a massa do corpo que nela se
suspende.
Consideremos agora a situação dinâmica, isto é, a situação em que o pêndulo elástico não
se encontra em equilíbrio (fig 2).
PE - 43
Física Geral I – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007 / 2008
ADF - Universidade do Algarve
Y
l
X
r
Fel
m
r
P
Fig. 2
r
r
Nesta situação o peso ( P ) e a força elástica ( Fel ) não se anulam entre si e as leis da
dinâmica permitem escrever:
r
r
∑i Fi = ma ⇔
(2)
r
r
r
⇔ Fel + P = ma
r
onde a é a aceleração adquirida pelo corpo.
O desenvolvimento dos cálculos permite determinar a elongação da mola (deslocamento do
corpo) relativamente à posição de equilíbrio estático em função do tempo. No caso em que o
pêndulo elástico é posto em movimento partindo do repouso e com uma elongação inicial y0,
a lei do movimento será:
 k 
y(t ) = y0 cos
t 
m


(3)
onde as grandezas y(t) e y0 são medidas relativamente à posição de equilíbrio estático
definida por (1).
Verifica-se que o movimento adquirido pelo sistema é um movimento oscilatório
k
e período:
caracterizado por uma frequência angular própria de ω =
m
T = 2π
m
k
(4)
O período do movimento depende, desta forma, das características do pêndulo elástico,
nomeadamente da sua massa e da constante da mola.
Uma forma alternativa de abordar o estudo do pêndulo elástico consiste em verificar que
todas as forças que sobre ele actuam (força elástica e força gravítica) são conservativas. Ao
considerar apenas estas forças comete-se, obviamente, a aproximação de desprezar as forças
de atrito de fricção e de resistência do ar que actuam sobre o sistema. Nesta aproximação
pode-se escrever:
QL - 44
Mecânica e Ondas – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007/2008
DF - Universidade do Algarve
E pg + E pel + Ec = c te
(5)
quando o corpo se encontra numa posição genérica de elongação y. As grandezas EPg, EPel e Ec
têm, respectivamente, o significado de energia potencial gravítica, energia potencial elástica e
energia cinética. Define-se a origem do referencial da figura 2, uma vez mais, na posição de
equilíbrio estático dada pela equação (1). Considera-se ainda que essa posição define a origem
da energia potencial gravítica. Nestas condições, pode-se escrever a conservação da energia
mecânica na forma:
1 2 1 2 1 2 1 2
ky A + mv A = ky B + mv B .
2
2
2
2
(6)
Se, em particular, o ponto A for o ponto de elongação máxima do pêndulo e o ponto B for o
de passagem pela posição de equilíbrio estático, teremos yA = y0, vA = 0 e yB = 0. Resulta
então:
ky 02 = mv 2 ⇔
⇔v=
k
y
m
(7)
Esta equação estabelece uma dependência directa da velocidade de passagem pela posição de
equilíbrio na amplitude do movimento do pêndulo.
3. Problemas propostos
Pretende-se, neste trabalho experimental:
3.1.
determinar a constante da mola;
3.2.
analisar o comportamento do período do movimento oscilatório em função da
massa;
3.3.
estudar a lei de conservação da energia mecânica durante o movimento.
4. Material
Calha vertical com mola incorporada.
Massas marcadas.
Relógio electrónico.
Detector fotoeléctrico.
Régua graduada com cursores.
Fios de ligação.
PE - 45
Física Geral I – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007 / 2008
ADF - Universidade do Algarve
5. Procedimento experimental
Tenha o cuidado de anotar os erros de leitura de escala associados a todos os aparelhos de
medida que usar.
Determinação da constante da mola.
5.1.
5.1.1.
Marque na régua graduada a posição de equilíbrio da mola na ausência de
massas.
5.1.2.
Suspenda uma massa na mola e meça a nova posição de equilíbrio.
5.1.3.
Repita o procedimento 10 vezes, aumentando gradualmente a massa suspensa
(sugere-se que aumente de 20 g em 20 g até 180 g), medindo, para cada valor
da massa, a posição de equilíbrio da mola.
Estudo do movimento oscilatório do pêndulo.
5.2.
5.2.1.
Estudo do período do movimento.
5.2.1.1. Escolha uma massa para o pêndulo. Ponha o sistema em movimento,
conferindo-lhe uma certa elongação e largando-o sem velocidade inicial.
5.2.1.2. Meça 10 vezes o período do movimento sem alterar as condições da
experiência. Anote numa tabela adequada a elongação inicial (que poderá ser
de cerca de 10 cm), a massa e os tempos medidos.
5.2.1.3. Repita para 5 massas diferentes (sugere-se que seja de 30 g em 30 g até
perfazer 150 g).
5.2.2.
Estudo da conservação da energia mecânica
5.2.2.1. Escolha uma massa para o pêndulo (convém que seja grande para que o valor
inicial da massa do pêndulo tenha pouco significado) e ponha-o em
movimento nas condições de 5.2.1.1..
5.2.2.2. Determine a velocidade de passagem do pêndulo pela posição de equilíbrio,
medindo 10 vezes o tempo de passagem da massa pelo detector fotoeléctrico.
Anote numa tabela adequada a massa, a elongação inicial e os tempos.
5.2.2.3. Repita a experiência 5 vezes aumentando, em cada uma delas, a elongação
inicial de 1 cm (comece, por exemplo, por 6 cm e prossiga até 10 cm).
6.
Análise dos resultados obtidos
6.1. Determinação da constante da mola.
6.1.1.
QL - 46
Elabore um gráfico da elongação sofrida pela mola em função da massa nela
suspensa.
Mecânica e Ondas – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007/2008
6.1.2.
6.2.
DF - Universidade do Algarve
Determine, a partir de uma regressão linear dos resultados, a constante da
mola.
Estudo do movimento oscilatório do pêndulo.
6.2.1.
Estudo do período do movimento.
6.2.1.1. Calcule o valor médio e o erro estatístico associados às medidas do período
do movimento.
6.2.1.2. Verifique a lei de variação do período com a massa elaborando um gráfico de
T em função de m e ajustando-lhe uma linha recta.
6.2.2.
Estudo da conservação da energia mecânica.
6.2.2.1. Calcule os valores médios e os erros estatísticos associados aos tempos
referidos em 5.2.2.2.. Determine, a partir desses valores, as velocidades de
passagem da massa pela posição de equilíbrio.
6.2.2.2. Elabore um gráfico da velocidade em função da elongação inicial. Procure
verificar a lei de conservação da energia mecânica ajustando uma linha recta
a este gráfico.
PE - 47
Física Geral I – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007 / 2008
ADF - Universidade do Algarve
Apêndice
Estudo do pêndulo elástico
Y
l0
l
r
Fel
m
r
P
X
Fig A.1
Considere o sistema da figura A.1. Quando se suspende uma massa, m, da mola, o seu
comprimento aumenta de l0 para l. À grandeza ∆l = l − l 0 dá-se o nome de elongação da
mola.
Atendendo a que o corpo se encontra em equilíbrio, as leis da mecânica permitem
escrever:
r r
F
∑ i =0⇔
i
r
r r
⇔ Fel + P = 0 ⇒
(A.1)
⇒ Fel − P = 0
r
r
já que a linha de acção do peso, P , e da força elástica, Fel , é a mesma e segundo YY.
Resulta, então, atendendo a
 Fel = k l − l0
,

P
=
mg

(A.2)
onde k representa a constante da mola e g a aceleração gravítica:
k l - l0 = mg ⇔
⇔ k∆l = mg ⇔
g
⇔ ∆l = m
k
Verifica-se por (A.3) que a elongação é uma função linear da massa do pêndulo.
(A.3)
Consideremos agora a situação dinâmica, isto é, a situação em que o pêndulo elástico não
se encontra em equilíbrio (fig. A.2).
QL - 48
Mecânica e Ondas – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007/2008
DF - Universidade do Algarve
Y
X
l
r
Fel
m
r
P
Fig. A.2
Nesta situação o peso e a força elástica não se anulam entre si e as leis da dinâmica
permitem escrever:
r
r
∑ Fi = ma ⇔
i
r
r
r
⇔ Fel + P = ma ⇒
⇒ k ( y + ∆l ) − mg = ma y ⇔
(A.4)
⇔ − ky + k∆∆− mg = ma y
já que o movimento ocorre apenas segundo YY e se considera a origem deste eixo na posição
de equilíbrio estático, definida pela equação (A.3). Atendendo ainda a esta equação, pode-se
escrever:
− ky = ma y ⇔
d2y
+ ky = 0 ⇔
d t2
d2y k
⇔
+ y=0
d t2 m
⇔m
(A.5)
que é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, de coeficientes constantes e
homogénea. A sua solução é:
y (t ) = c1e
i
k
t
m
+ c2 e
−i
k
t
m
(A.6)
onde c1 e c2 são duas constantes de integração que devem ser determinadas pelas condições
iniciais do movimento do pêndulo. Uma vez que, nas experiências a realizar, o pêndulo será
posto em movimento a partir do repouso, conferindo-se-lhe uma certa elongação inicial, y0, as
condições iniciais são:
 y (0) = y 0

v(0) = 0
(A.7)
e permitem calcular: c1 = c2 = y0/2. Resulta então:
PE - 49
Física Geral I – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007 / 2008
ADF - Universidade do Algarve
 k 
y(t ) = y0 cos
t 
m


(A.8)
onde as grandezas y(t) e y0 são medidas relativamente à posição de equilíbrio estático
definida por (A.3).
Verifica-se que o movimento adquirido pelo sistema é um movimento oscilatório
k
.
caracterizado por uma frequência angular própria de ω =
m
O período do movimento, T, será dado por:
y (t + T ) = y (t ) ⇔
 k
 k 
k 
⇔ y 0 cos
t+
T  = y0 cos
t  ⇒
m
m
m




⇒
(A.9)
k
T = 2π
m
ou seja,
T = 2π
m
k
(A.10)
O período do movimento depende, desta forma, das características do pêndulo elástico,
nomeadamente da sua massa e da constante da mola.
Uma forma alternativa de abordar o estudo do pêndulo elástico consiste em verificar que
todas as forças que sobre ele actuam (força elástica e força gravítica) são conservativas. Ao
considerar apenas estas forças comete-se, obviamente, a aproximação de desprezar as forças
de atrito de fricção e de resistência do ar que actuam sobre o sistema. Nesta aproximação, e
fazendo referência à figura A.2, pode-se escrever:
E pg + E pel + E c = c te ⇔
1
1
2
k (∆l + y ) + mv 2 = c te ⇔
2
2
1
1
2
⇔ mgy + k (∆l − y ) + mv 2 = c te
2
2
⇔ mgy +
(A.11)
quando o corpo se encontra numa posição genérica de elongação y e EPg, EPel e Ec têm o
significado de energia potencial gravítica, energia potencial elástica e energia cinética,
respectivamente. Considera-se que a origem do referencial da figura A.2 se encontra, uma vez
mais, na posição de equilíbrio estático definida pela equação (A.3). Considera-se ainda que
essa posição define a origem da energia potencial gravítica. Nestas condições, e fazendo uso
novamente da equação (A.3), pode-se escrever a conservação da energia mecânica (soma da
energia potencial com a energia cinética) na forma:
(
)
1
1
k ∆l 2 + y 2 + mv 2 = c te .
2
2
QL - 50
(A.12)
Mecânica e Ondas – MIEET, Física
Protocolos das Aulas Práticas – 2007/2008
DF - Universidade do Algarve
O facto desta quantidade se manter constante ao longo de toda a trajectória do corpo
permite seleccionar dois pontos dessa trajectória, A e B, para os quais se pode escrever:
(
)
(
)
1
1
1
1
k ∆l 2 + y A2 + mv A2 = k ∆l 2 + y B2 + mv B2 .
2
2
2
2
(A.13)
Se, em particular, o ponto A for o ponto de elongação máxima do pêndulo e o ponto B for o
de passagem pela posição de equilíbrio estático, teremos yA = y0, vA = 0 e yB = 0. Resulta
então:
ky 02 = mv B2 ⇔
⇔ vB =
k
y0
m
(A.14)
Esta equação estabelece uma dependência directa da velocidade de passagem pela posição de
equilíbrio na amplitude do movimento do pêndulo.
PE - 51