Introduç˜ao `a´Algebra Linear - 1a lista de exerc´ıcios Prof.

Introdução à Álgebra Linear - 1a lista de exercı́cios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Ache uma forma escalonada para cada matriz abaixo. (Lembre que a forma escalonada
não é única, então você pode obter uma resposta diferente do gabarito!)


µ
¶
µ
¶
3
1
2 −1
2 1 0


0
2
P =
N=
T =
8 −4
−1 3 7
1 −1



2 2 0 2 0
W = 1 1 2 2 8 
0 0 2 3 11


Z=



0
3 2
2
3
3
−1
2 0
7
3
1 

2 −1 2
0
1 −8 

1
1 2 −7
1
6 
0
6 4
2 −1 −2
2 - Ache
½ as soluções dos sistemas lineares abaixo.
2x + y = 0
(a)
−x + 3y = 7

+2w = 0
 2x +2y
x +y +2z +2w = 0
(b)

2z +3w = 11

 x −y +3z = 4
2x +y −z = 0
(c)

3x
+2z = 5

6x +3y −z = −1



−4x −y +z = 3
(d)
x −2y
=1



3x +3y −z = −4

3y +2z +2w +3v = 3




+7w +3v = 1
 −x +2y
2x −y +2z
+v = −8
(e)


x +y +2z −7w +v = 6



6y +4z +2w −v = −2

x + 2y + z = 0



−x + 4y + 3z + 2w = 0
(f)
3y + 2z + w = 0



2x + y − w = 0
1
3 - Considere as matrizes abaixo e faça


µ
1 0 1
2
M = 0 1 0  N =
−1
0 0 1
µ
¶
µ
2 −1
0
P =
Q=
8 −4
0
o que se pede:
¶
1 0
3 7
1
2
¶
µ

¶
3
0 1

0
O=
T =
1 0
 1
µ
¶
0
1 1
R=
S= 0
0 2
1

1
2 
−1 
1 0
0 1 
0 0
(a) Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?
(b) Ache a transposta de N e de T ;
(c) Calcule P + Q;
(d) Calcule
N · M,
P · Q,
P · (Q + 2O),
T · N,
N · T,
M · N t.
(e) Uma potência da matriz M é um produto da forma M · M · . . . · M . Calcule as
seguintes potências: M 2 , M 3 e M 4 .
(f) Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se sua transposta é igual a sua inversa, isto
é, se A·At = I, onde I é a matriz identidade. Quais das matrizes acima são ortogonais?
(g) Calcule a inversa, quando existir, das matrizes R, P e O.
4 - Considere a matriz

0
2 a−b
0 .
A= a+b 0
0
0
0

(a) Encontre a e b para que a matriz A seja simétrica;
(b) Encontre a e b para que a matriz A seja anti-simétrica.
5 - No que segue considere matrizes de ordem 2 × 2. Mostre que:
(a) A soma M + M t é uma matriz simétrica;
(b) A diferença M − M t é uma matriz anti-simétrica;
(Obs.: Os mesmos resultados valem para matrizes de ordem superior.)
6 - Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais são inversı́veis.





0
4
µ
¶
1 0 1
1 0
2

2 −1
1 −1
1  V =
M = 0 1 0  P =
U = 0 2

8 −4
0
2
0 0 1
1 0 −3
0
3
2
0
0
1
3

2
3 

2 
0
7 - Calcule o determinante e encontre as inversas das matrizes abaixo, quando estas existirem:






0 2 3
1 1 1
1 0 0
A= 1 2 4  B= 0 2 1  C= 0 1 0 
1 0 1
1 1 4
1 0 1






6
3 −1 −1
0
4 0 2
3
0 0 0
 −4 −1




1
3 
 E =  1 −1 0 3  F =  0 −1 0 0 
D=
 1 −2




0
1
0
2 1 2
0
0 4 0 
3
3 −1 −4
0
3 3 0
0
0 0 6
8 - O sistema linear dado em forma matricial por

0
 0
D·X =
 0
0


,

com D dada no exercı́cio anterior, é possı́vel? Caso afirmativo, ele é determinado ou
indeterminado? Justifique.
9 - Resolva os sistemas lineares abaixo colocando-os na forma matricial e usando inversão
de matrizes. Nos itens (b) e (c), use informações da questão 7.
½
4x + 3y = 5
(a)
6x + 5y = 3

 x +y +z = 1
2y +z = 4
(b)

x +y +4z = 1

4y
+2w = 6



x −y
+3w = 1
(c)
2y
+z
+2w
=1



3y +3z
=3
10 - Seja A uma matriz quadrada de ordem n × n. Sabendo que uma matriz que tem uma
linha inteiramente nula não é inversı́vel verifique, usando as operações elementares, que:
(a) Se a linha Li é um múltiplo da linha Lj de A, então A não é inversı́vel;
(b) Se a linha Li é soma das linhas Lj e Lk de A, então A não é inversı́vel.
(c) O mesmo ocorre com as colunas? Isto é, se uma matriz A tem uma coluna que é um
múltiplo de outra ou igual a soma de duas outras, então A é não inversı́vel?
3
11 - Determine os valores de a, b ∈ R
resolva este sistema.

3x



x
5x



x
para os quais o sistema linear abaixo é possı́vel e
−7y
+ y
+3y
+ y
=a
=b
= 5a + 2b
=a+b−1
12 - Determine os valores de k para os quais cada sistema linear abaixo é possı́vel e determinado; possı́vel e indeterminado e impossı́vel.

 x + y +kz = 2
3x +4y +2z = k
(a)

2x +3y − z = 1

 x + y − z =1
2x +3y +kz = 3
(b)

x +ky +3z = 2
Gabarito:
µ
1 - Fazendo L1 ↔ L2 e L2 → L2 + 2L1 temos N 0 =
¶
−1 3 7
;
0 7 14 

1 −1
2 ;
Fazendo L1 ↔ L3 e L3 → L3 − 3L1 e L3 → L3 − 2L2 temos T 0 =  0
0
0
¶
µ
2
−1
Fazendo L2 → L2 − 4L1 temos P 0 =
;
0
0
−L2
Fazendo L1 ↔ L2 e L2 → L2 − 2L1 e L2 →
e L3 → L3 − L2 temos
2


1 1 2 2 8
0

0 0 2 1 8 ;
W =
0 0 0 2 3
Fazendo L1 ↔ L2 e L3 → L3 + 2L1 e L4 → L4 + L1 e L3 → L3 − L2 e L4 → L4 − L2 e
L4
L5 → L5 − 2L2 e L3 ↔ L4 e L4 → L4 + 6L3 e L5 → L5 − L3 e L4 →
e L5 → L5 + 4L4
5


−1 2 0
7 3 1
 0 3 2
2 3 3 


.
0
0
0
−2
1
4
temos Z 0 = 


 0 0 0
0 2 3 
0 0 0
0 0 0
4
2 - (a) x = −1 e y = 2.
11
−11
11
(b) x = −t − , y = t, z =
ew= .
2
4
2
(c) Não existe soluções.
(d) x = 1, y = 0 e z = 7.
−16t − 55
1 − 2t
5
3
(e) x =
,y=
, x = t, x = − e x = .
12
3
4
2
s + 2t
−2s − t
(f) x =
,y=
z=sew=t
3
3
3 - (a) A matriz
O ésimétrica. Nenhuma delas é anti-simétrica.

µ
¶
2 −1
3 0
1
t
t


1
3
(b) N =
e T =
.
1 2 −1
0µ 7
¶
2
0
(c) P + Q =
.
µ 8 −2
¶
µ
¶
µ
¶
2 1 2
0 0
−2 4
(d) N · M =
e P ·Q =
e P · (Q + 2O) =
−1 3 6 
0 0
 −816

µ
¶
2 5
5
6
7
6
4
t



1 3 
−2
6 14
e N ·T =
e M ·N =
T ·N =
4 −2
0 7
 3 −2 −7




1 0 2
1 0 3
1 0 4
3
4
2





0 1 0
0 1 0
0 1 0 
e M =
e M =
(e) M =
0 0 1
0 0 1
0 0 1
(f) O e S sãoµortogonais.
¶ µ
¶
1 2 −1
1 −1/2
−1
(g) R =
=
1
0
1/2
2 0
¶
µ
0 1
−1
P não é inversı́vel pois det(P ) = 0 e O = O =
1 0
4 - (a) A matriz é simétrica se M = M t , o que nos dá o sistema
½
a+b=2
a−b=0
que tem como única solução a = b = 1.
(b) A matriz é anti-simétrica se M = −M t , o que nos dá o sistema
½
a + b = −2
a−b=0
que tem como única solução a = b = −1.
5 - (a) Sendo
µ
M=
5
a b
c d
¶
temos
µ
t
M +M =
a b
c d
¶
µ
+
que é claramente uma matriz simétrica.
(b) Sendo
a c
b d
µ
µ
t
M −M =
a b
c d
¶
µ
−
a c
b d
µ
2a b + c
b + c 2d
=
a b
c d
M=
temos
¶
¶
,
¶
¶
µ
0
b−c
c−b
0
=
¶
,
que é claramente uma matriz anti-simétrica.
6 - det(M ) = 1, det(P ) = 0, det(U ) = −10, det(V ) = 18. Assim, M , U e V são
inversı́veis.
7 - Temos det(A) = 0, det(B) = 6, det(C) = 1, det(D) = 0, det(E) = 18, det(F ) =
−72. Assim, apenas as matrizes B, C, E e F são inversı́veis, com inversas




7 −3 −1
7/6 −1/2 −1/6
1
3 −1 
1/2 −1/6  =  1
B −1 =  1/6
6
−2
0
2
1/3
 −1/3
0
1 0 0
C −1 =  0 1 0 
 −1 0 1



5/6 1 −7/3
7/9
15 18 −42 14
 1/3 0 −1/3

1/9 
2 
 = 1  6 0 −6

E −1 = 
 −1/3 0


1/3
2/9
−6 0
6
4 
18
2/3 −2/9
−3 0 
12 −4

 −1/6 0

1/3
0
0
0
4
0 0 0


 0 −1
0
0 
 = 1  0 −12 0 0 
F −1 = 
 0
0 3 0 
0 1/4
0  12  0
0
0 0 2
0
0
0 1/6
8 - Como o sistema é homogêneo, ele possui ao menos a solução trivial x = y = z =
w = 0. Mais ainda, como a matriz D não é inversı́vel, temos que o sistema tem na verdade
um número infinito de soluções. Assim o sistema é possı́vel e indeterminado.
9 - (a) Como a matriz
µ
4 3
6 5
M=
é inversı́vel com inversa
M
−1
1
=
2
µ
¶
5 −3
−6
4
6
¶
,
então temos
µ
X=M
−1
·
Assim x = 8 e y = −9.
(b) Como a matriz
¶
1
=
2
µ
16
−18
¶
µ
=
8
−9
¶
.


1 1 1
B= 0 2 1 
1 1 4
é inversı́vel com inversa

7/6 −1/2 −1/6
1/2 −1/6  ,
=  1/6
−1/3
0
1/3

B −1
então temos
5
3

 

1
−1
X = B −1 ·  4  =  2  .
1
0
Assim x = −1, y = 2 e z = 0.
(c) Como a matriz


0
4 0 2
 1 −1 0 3 

E=
 0
2 1 2 
0
3 3 0
é inversı́vel com inversa

E −1
então temos
5/6
 1/3
=
 −1/3
−1/6

1 −7/3
7/9
0 −1/3
1/9 
,
0
1/3
2/9 
0
2/3 −2/9

 
6
6



1   2
X = E −1 · 
 1  =  −1
3
−1


.

Assim x = 6, y = 2, z = −1 e w = −1.
10 - (a) Suponha que Li é igual a k·Lj para algum k ∈ R. Fazendo a operação elementar
Li → Li − k · Lj , obteremos uma linha nula, e portanto A não será inversı́vel.
(b) Fazendo as operações Li → Li − Lj e Li → Li − Lk , obtemos uma linha nula e
portanto A não é inversı́vel.
(c) Sim. Se A é desta forma então sua transposta AT é como em (a) ou como em (b) e
portanto AT não é inversı́vel. Mas então A não pode ser inversı́vel pois vimos que se uma
matriz é inversı́vel, então sua transposta também é. Assim A não é inversı́vel.
7
11 - Precisamos montar e escalonar a matriz



3 −7
a
 1


1
b
 −→ 
M =
 5

3 5a + 2b 
1
1 a+b−1
estendida do sistema:

1 1
b
0 1 (3b − a)/10 
 = M0
0 0 (24a − 12b)/5 
0 0
a−1
onde realizamos as operações L1 ↔ L2 , L2 → L2 − 3L1 , L3 → L3 − 5L1 , L4 → L4 − L1 ,
L2 → −L2 /10 e L3 → L3 + 2L2 . Assim, o sistema será possı́vel se
24a − 12b
=0
5
o que nos dá a = 1 e b = 2. Substituindo estes valores na matriz escalonada, obtemos


1 1 2
 0 1 1/2 

M0 = 
 0 0 0 
0 0 0
a−1=0
e
que é a matriz estendida do sistema

x+y



y
0



0
=
=
=
=
2
1/2
0
0
que tem como única solução x = 3/2 e y = 1/2.
12 - (a) Precisamos montar e

1 1
k

3 4
2
M=
2 3 −1
escalonar a matriz estendida do sistema:



2
1 1
k
2
k  −→  0 1 2 − 3k k − 6  = M 0
1
0 0 k−3 3−k
onde realizamos as operações L2 → L2 − 3L1 , L3 → L3 − 2L1 e L3 → L3 − L2 . Logo o
sistema será:
• possı́vel e determinado se k − 3 6= 0, ou seja, k 6= 3;
• possı́vel e indeterminado se k − 3 = 0 e 3 − k = 0, ou seja, k = 3;
• impossı́vel se k − 3 = 0 e 3 − k 6= 0, o que nunca ocorre.
(b) Precisamos montar e escalonar a matriz estendida do sistema:




1 1 −1 1
1 1
−1
1
k 3  −→  0 1
k+2
1  = M0
M = 2 3
1 k
3 2
0 0 6 − k2 − k 2 − k
onde realizamos as operações L2 → L2 − 2L1 , L3 → L3 − L1 e L3 → L3 − (k − 1)L2 . Logo
o sistema será:
8
• possı́vel e determinado se 6 − k 2 − k 6= 0, ou seja, k 6= −3 e k 6= 2;
• possı́vel e indeterminado se 6 − k 2 − k = 0 e 2 − k = 0, ou seja, k = 2;
• impossı́vel se 6 − k 2 − k = 0 e 2 − k 6= 0, ou seja, k = −3.
9