Refração e Leis da Refração

Óptica
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Introdução
Consideremos dois meios com propriedades eletromagnéticas e ópticas distintas. Por propriedades eletromagnéticas distintas queremos dizer que o meio 1 tem permitividade e permissividade
dadas por (ε1, µ1), enquanto que o meio 2 é caracterizado pelas constantes (ε2, µ2). Do ponto de vista
do fenômeno da refração da luz, quando esta passa de um meio para outro, a propriedade óptica
relevante é uma constante caraterística do meio denominada índice de refração.
É bom frisar que, quando a luz incide sobre uma superfície, que separa dois meios materiais distintos,
podem ocorrer dois fenômenos: reflexão e refração da luz. Parte da luz volta para o meio do qual
ela se origina, ou seja, reflexão da luz. A outra parte da luz passa de um meio para o outro e, depois
de atravessar a interface de separação, a luz propaga-se nesse segundo meio material − fenômeno
chamado de refração da luz. Os dois fenômenos ocorrem concomitantemente, podendo predominar
um sobre o outro. Que tipo de fenômeno predominará é uma questão que envolve as condições de
incidência da luz e a natureza dos dois meios. A reflexibilidade é uma propriedade associada à maior
ou menor facilidade dos raios luminosos de voltarem para o mesmo meio de onde vieram.
Figura 1: Refração e Reflexão de ondas eletromagnéticas.
1
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Um dos fenômenos mais interessantes da natureza tem origem no fenômeno da refração,
o arco-íris. Esse fenômeno é uma consequência de duas refrações (numa análise simplificada):
uma refração ocorre quando a luz incide na superfície da gota e outra quando a luz sai da gotícula
de chuva. Após a incidência, ocorre a dispersão da luz e, como consequência, a luz violeta (numa
extremidade do espectro) experimenta, ao sair da gota, um desvio de 40 graus, e a luz vermelha sai
formando um ângulo de 42 graus. Esse é o resultado da refração levando em conta a dispersão da luz.
O entendimento das leis da refração pode ser conseguido por meio de qualquer uma das
formulações da óptica geométrica. Neste capítulo, apresentaremos a formulação baseada no
princípio de Fermat, o princípio de que a luz vai de um ponto a outro no menor tempo. No entanto,
a melhor abordagem do problema é aquela que analisa a refração de ondas eletromagnéticas
quando incidem sobre a superfície de separação entre dois meios.
O meio 1 é o que a luz incide, e o 2 é o outro. Entre os meios existe uma interface de separação.
Neste capítulo, essa superfície será admitida como sendo plana. Num dos capítulos subsequentes,
admitiremos, por exemplo, o caso de uma superfície esférica.
Quando a luz passa de um meio material para outro, podem ocorrer a reflexão da luz (em geral
uma parte é refletida) e a refração da luz. A intensidade da radiação refratada, bem como da radiação
refletida, depende da polarização da luz, dos ângulos de incidência e da refração. Essa é uma
questão cuja resposta só é dada adequadamente na teoria eletromagnética.
Na teoria ondulatória, analisamos o que acontece com uma onda eletromagnética na interface
entre dois meios. Fazemos uso das equações de Maxwell e, o que é mais importante, das condições
de contorno satisfeitas pelos campos elétrico e magnético.
Segue, das condições de contorno, que a frequência de uma onda eletromagnética não se altera
quando a luz passa de um meio para o outro.
As frequências num meio e no outro são iguais:
v1 = v2
( 1 )
Isso acontece porque a dependência temporal de uma onda plana tem que ser a mesma para
cada um dos dois lados da interface.
No entanto, a velocidade da luz e a direção de propagação se alteram quando a luz passa de um
meio para o outro. A única exceção a esta última regra ocorre quando a incidência é oblíqua.
Figura 2
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3
Índice de refração
Ao mudar de meio, a luz altera sua velocidade de propagação, o que é, de certa forma, esperado:
ao aumentarmos a densidade de um meio, maior será a dificuldade de propagação nele.
Como visto anteriormente, a velocidade da luz no vácuo é a maior velocidade que um objeto
pode atingir. À velocidade da luz no vácuo denominamos c. Num meio material qualquer, a
velocidade da luz (v) é menor do que c. Portanto, podemos sempre escrever uma relação linear
entre ambas:
V=
c
n
( 2 )
n=
c
V
( 3 )
ou, equivalentemente,
O coeficiente n é o índice de refração do meio. É uma das grandezas físicas que caracterizam o
meio (a densidade, por exemplo, seria outra).
Tendo em vista que a frequência não muda, quando a luz passa de um meio para outro, o
comprimento de onda muda. De acordo com (000), temos:
V = νλ =
c ν 0λ 0
=
n
n
( 4 )
Donde se infere que o comprimento de onda num determinado meio é menor do que o comprimento de onda quando ela se propaga no vácuo. Isto é:
λ=
λ0
n
( 5 )
Sabemos, ao estudar as ondas eletromagnéticas, que o índice de refração tem estreita relação
com as propriedades eletromagnéticas do meio. Isso porque, como visto no capítulo 2, a velocidade
da luz é dada por:
v = ( εµ )
−1
2
( 6 )
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As constantes ε e µ são a permitividade e permissividade do meio. O índice de refração é,
portanto, dado por:
n=
εµ
ε 0µ 0
( 7 )
Por definição, o índice de refração do vácuo é 1.
nvácuo = 1.
( 8 )
O índice de refração do ar é muito próximo de 1; o da água tem um valor próximo de 1,33.
Em geral, é possível elaborar modelos voltados para fazer previsões sobre o índice de refração
de um meio. É, em geral, um tópico do eletromagnetismo quando se procura desenvolver modelos
simples para entender a constante dielétrica. O valor desse índice, para vários materiais, pode ser
obtido por meio de dados experimentais e contidos em tabelas.
Os índices de refração de uma substância são muito sensíveis ao estado físico em que ela se
encontra (sólido, líquido ou vapor). Pode depender ainda da pressão, temperatura e de outras
grandezas físicas.
Abaixo, apresentamos uma tabela de índices de refração para diversas substâncias.
Tabela 1
Meio Material
Ar
Água
Vidro
Glicerina
Álcool Etílico
Diamante
Acrílico
Cr39
Vidro Crown
Vidro High Lite
Policarbonato
Super High Lite (lantânio)
Hiper High Lite (lantânio)
Índice de Refração (n)
1,00
1,33
1,50
1,90
1,36
2,42
1,49
1,498
1,523
1,701
1,590
1,80
1,90
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Leis da Refração
Credita-se a um indivíduo árabe chamado Ibn Sahl um manuscrito, de 984, no qual ele enuncia a
lei conhecida hoje como lei de Snell-Descartes. Teria ele utilizado essa lei para confeccionar lentes.
Muito mais tarde, já em 1602, Thomas Harriot teria apresentado essa mesma lei, sem no entanto
deixar escritos.
Willebrord Snellius (Snell), em 1621, derivou uma forma equivalente àquela que conhecemos hoje,
mas não lhe deu publicidade durante sua vida. René Descartes, em seu famoso Discurso sobre o Método,
derivou a lei em 1637 e cuidou de utilizá-la em vários problemas que envolvem a óptica geométrica.
A lei da refração é, por isso, conhecida como lei de Snell-Descartes. Essa é outra lei fundamental
da óptica geométrica. Ela estabelece uma relação entre o ângulo de incidência (θ1), o ângulo de
refração (θ2) e os índices de refração de cada um dos meios (n1 e n2). Essa lei se escreve
n1 senθ1 = n2 senθ2.
Figura 3
( 9 )
As leis da refração são, a rigor, composta por duas leis.A primeira estabelece que o plano incidente
(constituído pela normal e o raio incidente e a normal) é igual ao plano da refração (constituído
pela normal e o raio refratado).
Se a incidência for normal (ângulo de incidência zero), o ângulo refratado será nulo. Nesse caso,
a luz não sofre qualquer desvio. A única consequência da refração, no caso da incidência normal, é
a alteração da velocidade da luz ao passar de um meio para o outro.
Se a incidência for oblíqua, o raio luminoso se aproximará mais da normal no meio que for mais
refringente (isto é, o meio que tiver o maior índice de refração). O meio com menor índice de refração
é, por outro lado, aquele em que a luz se propaga mais rápido.
Dedução das Leis da Refração
A seguir, deduziremos as leis da refração a partir do princípio de Fermat.
Para deduzi-la, lembremos que o tempo despendido pela luz para ir de A até B é dado pela soma
dos tempos entre dois percursos ao longo de linhas retas, uma vez que, para meios homogêneos,
vale o princípio da propagação retilínea. Mesmo para propagações retilíneas, no entanto, temos
Figura 4
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6
infinitas possibilidades associadas aos infinitos pontos C sobre a superfície de separação. O tempo
despendido entre A e B pode ser escrito como:
( 10 )
T = tA − tB
Na expressão, tA é o tempo gasto pela luz ao se deslocar entre A e C e tB é o tempo do
percurso entre os pontos C e B . Como o movimento se dá ao longo de um segmento de reta,
podemos escrever:
tA =
AC 1
2
2
=
x2 + ( y − yA ) + ( zA ) ,
v1
v1
( 11 )
Neste caso, v1 é a velocidade da luz no meio 1.
Considerando-se o raio refratado, o tempo tB é dado por:
tB =
1 2
2
2
x + ( y − yB ) + ( z B ) 

v2 
( 12 )
onde v2 é a velocidade da luz no meio 2.
Como a luz procura economizar tempo, vamos determinar o ponto C a partir da exigência
do tempo mínimo. O tempo mínimo ocorrerá para os pontos X desde que as duas condições
estejam satisfeitas:
∂T ( x, y )
=0
∂x
x= x
m
∂T ( x, y )
∂y
( 13 )
=0
y = ym
No caso da refração, tendo em vista que a velocidade no meio 2 é diferente (v2), a expressão para
o tempo gasto no percurso é:
T = T ( x, y ) =
1 2
1
2
2
2
2
x + ( y − y A ) + ( z A )  +  x 2 + ( y − yB ) + ( z B ) 

 v2 
v1 
( 14 )
Figura 5
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7
A condição para o tempo mínimo, nesse caso, é igual a (000) e (000). Obtemos, analogamente
que, da primeira equação, segue que a única solução possível é:
( 15 )
xm = 0,
Donde inferimos que o plano de incidência coincide com o plano de refração.
A segunda condição, análoga à equação (000), se torna agora:

1
v1 

ym − y A
( ym − y A ) + ( z A )
2
2
 
+ 1
  v2
 
ym − y B
( ym − y B ) + ( z B )
2
2

=0


( 16 )
Donde obtemos a condição
sin θ1 sin θ2
=
v1
v2
( 17 )
Conclui-se que as duas leis são consequências do princípio da economia de tempo.
Figura 6
Ângulo-limite de refração
Se o meio (2) tiver um índice de refração maior do que o do meio (1) (no qual a luz incide), então,
o ângulo de refração atingirá um valor máximo à medida que aumentarmos o ângulo de incidência.
Esse valor máximo ocorre quando o ângulo de incidência for igual a 90 graus. Referimo-nos a esse
ângulo-limite como o ângulo de limite de refração.
Para determinarmos o ângulo-limite, basta notar que, para o ângulo de incidência nulo, teremos
ângulo de refração também nulo. À medida que aumentamos o ângulo de incidência, o ângulo de
refração também aumenta. O maior valor para o ângulo de incidência é 90°. Para esse ângulo de
incidência atingimos o valor-limite para o ângulo do raio refratado (θL):
n1 sen90 = n2 senθL
( 18 )
Como sen90° = 1, obtemos o ângulo-limite:
sin θ L =
Figura 7
n1
n2
( 19 )
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Ângulo-limite de incidência – reflexão total
Consideremos agora o caso em que o meio (1) é mais refringente do que o meio (2). Isto é, esse
meio tem um índice de refração maior do que o meio no qual a luz incide. Pode-se observar que o
ângulo de incidência atinge um valor máximo, que é o limite de incidência para que ocorra a refração.
Novamente aqui podemos argumentar que, para um ângulo de incidência nulo, teremos um
ângulo de refração nulo. Ao aumentarmos o valor do ângulo de incidência, teremos um aumento
no ângulo de refração. No entanto, agora o ângulo de refração é sempre maior do que o ângulo de
incidência (pois n1 > n2).
A determinação do ângulo-limite de incidência é feita de maneira inteiramente análoga ao caso
anterior. Utilizamos a lei de Snell-Descartes e, lembrando que o maior valor possível (em princípio
para o ângulo de refração) é 90o, obtemos o ângulo-limite de incidência (θL), ou seja:
Figura 8
( 20 )
n1 senθ0c = n2 sen90°.
Portanto, para n1 > n2,
senθ L =
n2
n1
( 21 )
O que ocorre se a luz incidir num ângulo superior ao limite dado pela expressão acima?
Nesse caso, ocorre o que se denomina reflexão total. Isto é, a luz retorna para o meio do qual ela
se originou e simplesmente não ocorre refração.
A ocorrência da reflexão total é responsável por um tipo de dispositivo utilizado hoje em larga
escala na área das telecomunicações. Trata-se das fibras ópticas, que permitem que a luz seja
conduzida por meio da direção de uma fibra (a fibra óptica). Ela se tornou fundamental como um
meio para levar informações codificadas e é hoje um dos principais instrumentos voltados para o
trânsito de informações (na telefonia, por exemplo).
Figura 10
Figura 9
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9
Imagens na Refração
A refração altera a forma como os nossos sentidos percebem os objetos. Uma colher, por exemplo,
dentro da água parece ter se entortado.
Vamos analisar, neste capítulo, a formação de imagens, considerando-se a superfície de separação
entre dois meios como sendo um plano. Tal arranjo tem o nome de dioptro plano.
Antes de considerarmos o caso de um objeto extenso, vamos analisar a imagem P’ de um ponto
de objeto P situado no meio (2). O ponto P pode ser pensado como um ponto de um objeto dentro
da água, por exemplo. Podemos, agora, imaginar dois raios luminosos oriundos do ponto P. Consideremos um raio incidindo perpendicularmente e outro não. Aquele que incide perpendicularmente
à superfície não muda de direção. O outro que incide obliquamente muda de direção.
Colher dentro de um copo com água.
Note-se que os raios refratados não se encontram. No entanto, o prolongamento desses raios
refratados se encontram num ponto P’. Esse é o ponto imagem de P. A imagem P’ é virtual, uma vez
que ela é determinada pelo prolongamento dos raios luminosos refratados.
Para um objeto extenso, basta considerarmos um conjunto de raios luminosos.
A consequência para um objeto extenso é a de que a sua imagem se encontrará deslocada.
Assim, os índios aprenderam há muito tempo que não se deve atirar o arco, quando estiverem
pescando, na posição em que enxergam o peixe, mas numa posição ligeiramente acima do ponto
em que ele é visto.
Figura 11
Meios não-homogêneos
Muitas vezes há interesse no estudo da propagação da luz em meios ditos não-homogêneos.
De fato, muitos fenômenos podem ser explicados a partir da análise desse caso.
A base para o estudo dos meios não-homogêneos é o princípio de Fermat. Ele foi estabelecido
por Pierre de Fermat, em 1662, e se constitui num princípio geral do qual se pode lançar mão para
deduzir a lei de Snell-Descartes. Esse princípio estabelece que, qualquer que seja a natureza do
meio, a luz atravessará um meio de forma que despenda o menor tempo possível ao percorrer um
caminho que interliga dois pontos.
Figura 12
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10
Algo semelhante ao princípio de Fermat teria sido formulado por Hirão de Alexandria, cerca do
ano 60 da nossa era. No caso, Hirão analisava as leis da reflexão (?), e teria demonstrado que, se a
luz se propaga entre dois pontos, de tal forma que, no percurso, ela experimenta apenas reflexões
especulares, o percurso seguido pela luz tem o menor comprimento dentre todos os caminhos que
se pode considerar.
Para um meio homogêneo, o tempo despendido pela luz para percorrer uma distância d é dado por
d nd
=
v
c
=
t
( 22 )
onde v é a velocidade da luz no meio e n é o seu índice de refração. Definimos o caminho óptico da
luz que se propaga no meio como o produto:
dopt = nd
( 23 )
Considerando-se o caso em que o meio é composto de N diferentes materiais caracterizados
por diferentes índices de refração, o tempo necessário para a luz efetuar todo o trajeto é dado pela
soma dos tempos necessários para atravessar cada um dos meios. Temos então:
N
N
i =1
i =1
t = ∑ ti = ∑
di 1 N
= ∑ ( di )opt
vi c i=1
( 24 )
De acordo com a expressão acima, esse princípio pode também ser pensado como o princípio
no caminho óptico mínimo.
Figura 13: Raio que se propaga numa série de meios homogêneos com índices
de refração diferentes.
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O princípio de Fermat aplicado a um meio não-homogêneo nos remete a um problema matemático de minimizar o tempo gasto, levando-se em conta todos os possíveis caminhos a serem perseguidos pela luz. Ao aplicarmos tal princípio para dois meios homogêneos, obtemos a lei da refração.
Para um meio no qual o índice varia continuamente, em função de um parâmetro que pode ser
o comprimento de uma curva (parâmetro s), o caminho óptico é definido como:
d opt = ∫ n ( s )ds
( 25 )
Γ
onde n é o índice de refração como função da distância ao longo da curva Γ.
O princípio de Fermat pode ser utilizado para entendermos os seguintes fenômenos, entre outros.
Miragens
Miragens acontecem quando existe um intenso gradiente de temperatura na atmosfera.
Na realidade, esse gradiente existe, mas numa pequena intensidade. A temperatura na atmosfera
decresce à razão de 1 grau Celsius a cada 100 metros. Isso não é suficiente para provocar miragens.
Elas ocorrem só para gradientes acima de 2 graus Celsius a cada 100 metros. Ela só é facilmente
perceptível se o gradiente for próximo de 5 graus a cada 100 metros. Assim, para efeito prático, o
fenômeno acaba não sendo tão comum. Essas condições ocorrem no deserto, mediante o aquecimento da areia pela incidência dos raios solares ou numa pista asfaltada (pela mesma razão).
Figura 14
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A miragem é o resultado do encurvamento dos raios luminosos ao atravessar um meio cujo
índice de refração varia continuamente.
O ar quente é mais denso do que o ar frio e tem, consequentemente, um índice de refração
maior. À medida que a luz passa do ar mais frio para o mais quente, os raios se curvam na direção
oposta à do gradiente de temperatura. Quando ela passa do ar mais quente para o mais frio eles
se curvam na direção do gradiente.
O efeito miragem é observado por viajantes nos desertos, mas pode também ser constatado
quando observamos imagens de nuvens refletidas no asfalto que, no caso, acabam se parecendo
mais com poças d’água no asfalto.
Turbulencia atmosférica
Trata-se de um fenômeno bastante comum, na medida em que se vêem estrelas cintilantes
ao se olhar o céu. Como consequência de variações de densidade e do índice de refração do ar, o
caminho percorrido pela luz não é estável, acarretando variações aparentes na posição das estrelas.
Outra consequência da aberração estelar diz respeito ao surgimento de erradas “borradas”
(vide Figura 16).
Figura 15: Imagem de uma estrela borrada pela turbulência e a mesma imagem
sem a turbulência.
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Bons estudos!
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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