FT_Aula6_Cinemática dos Fluidos

FENÔMENOS DE
TRANSPORTES
AULA 6 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
PROF.: KAIO DUTRA
Conservação da Massa
◦O primeiro princípio físico para o qual nós aplicamos a relação
entre as formulações de sistema e de volume de controle é o
princípio de conservação da massa: a massa do sistema
permanece constante.
◦Formulação de volume de controle da conservação de massa:
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Conservação da Massa
◦ O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume
de controle; o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa
para fora através da superfície de controle. A Equação indica que a soma da
taxa de variação da massa dentro do volume de controle com a taxa líquida
de fluxo de massa através da superfície de controle é zero. A equação da
conservação da massa é também chamada de equação da continuidade.
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Conservação da Massa
◦Ao usar a Equação da Continuidade, um cuidado deve ser
tomado na avaliação do produto escalar ·
: ele
pode ser positivo (escoamentos para fora (b), α = 0) ou negativo
(escoamento para dentro, α = 180°).
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Conservação da Massa – Casos especiais
◦ Considere primeiramente, o caso de um
fluido incompressível, no qual a massa
específica permanece constante. Quando ρ
é constante, ele não é uma função do
espaço
e
nem
do
tempo.
Consequentemente,
para
fluidos
incompressíveis:
◦ A integral de sobre todo o volume de
controle é simplesmente o volume total do
volume de controle. Assim, dividindo por ρ,
escrevemos:
◦ Para um volume de controle não
deformável, de forma e tamanho fixos, o
volume é constante. A conservação de
massa torna-se:
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Conservação da Massa – Casos especiais
◦ As dimensões do integrando na Equação da continuidade é L³/t. A
integral sobre uma seção da superfície de controle é comumente
chamada taxa de fluxo de volume ou vazão em volume, ou ainda
vazão volumétrica. Desse modo, para um escoamento
incompressível, a vazão volumétrica para dentro de um volume de
controle deve ser igual à vazão volumétrica para fora do volume de
controle.
◦ A vazão volumétrica Q, através de uma seção de uma superfície de
controle de área A, é dada por:
Velocidade Média:
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Exemplo 1
◦ Considere o escoamento permanente
de água em uma junção de tubos
conforme mostrado no diagrama. As
áreas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 =
0,2 m² e A3 = 0,15 m². O fluido também
vaza para fora do tubo através de um
orifício em com uma vazão volumétrica
estimada em 0,1 m³/s. As velocidades
médias nas seções 1 e 3 são V1 = 5 m/s
e V3 = 12 m/s, respectivamente.
Determine a velocidade do escoamento
na seção 2.
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Equação da Quantidade de movimento
para um Volume de Controle
◦ A segunda lei de Newton, para um sistema movendo-se em relação a
um sistema de coordenadas inerciais pode ser escrita pela equação
abaixo:
◦ Onde define-se que a taxa de variação da quantidade de movimento
com o tempo é igual a força que a modifica.
◦ Onde a quantidade de movimento linear do sistema é dada por:
𝑑𝑃 = 𝑉𝑑𝑚
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Equação da Quantidade de movimento
para um Volume de Controle
◦ Desta forma a taxa de variação da quantidade de movimento linear
com o tempo pode ser escrita da seguinte forma:
𝑑𝑃
𝑑𝑚
=𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡
◦ Substituindo a taxa de variação da massa com o tempo na equação
do momento, temos:
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Equação da Quantidade de movimento
para um Volume de Controle
◦ As foças geradoras de perturbação na quantidade de movimento são
de duas formas (superfície (S) e campo (B)):
◦ Então teremos:
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Equação da Quantidade de movimento
para um Volume de Controle
◦ A Equação abaixo estabelece que a força total atuando sobre o
volume de controle é igual à taxa de variação da quantidade de
movimento dentro do volume de controle (a integral de volume) e/ou
à taxa líquida na qual a quantidade de movimento está entrando ou
saindo do volume de controle através da superfície de controle.
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Equação da Quantidade de movimento
para um Volume de Controle
◦ A equação da quantidade de movimento
é uma equação vetorial. Geralmente
escreveremos as três componentes
escalares,
como
medidas
nas
coordenadas xyz do volume de controle.
◦ Obs.: O sinal do produto escalar da
velocidade com a área deve ser conforme
a equação da continuidade, onde
escoamentos para fora são positivos,
escoamentos para dentro são negativos.
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Equação da Quantidade de movimento –
Análise Diferencial
◦ Já vimos que a segunda lei de Newton
para um sistema é dada por:
◦ Para um sistema infinitesimal de
massa dm, a segunda lei de Newton
pode ser escrita:
◦ Introduzindo a aceleração de um
elemento de fluido de massa dm em
movimento em um campo de
velocidade, podemos escrever a
segunda lei de Newton na seguinte
forma vetorial:
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Equação da Quantidade de movimento –
Análise Diferencial
◦ As forças que atuam sobre um elemento
fluido podem ser classificadas como forças
de campo e forças de superfície; forças de
superfície incluem tanto forças normais
quanto
forças
tangenciais
(de
cisalhamento).
◦ Se as tensões no centro do elemento
diferencial forem tomadas como σxx, τyx e
τzx, então as tensões atuando na direção x
em cada face do elemento (obtidas por
uma expansão em séries de Taylor em
torno do centro do elemento) serão
conforme mostrado na figura.
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Equação da Quantidade de movimento –
Análise Diferencial
◦ Para obter a força de superfície
resultante na direção x, dFSx,
devemos somar as forças nesta
direção:
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Equação da Quantidade de movimento –
Análise Diferencial
◦ Quando a força da gravidade é a única força de corpo atuante, a força
de corpo por unidade de massa é igual:
◦ Expressões semelhantes podem ser deduzidas para as componentes da
força nas direções y e z:
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Equação da Quantidade de movimento –
Análise Diferencial
◦ Então temos duas expressões para as componentes de dF, teremos:
◦ Igualando as duas expressões, teremos a expressão para a quantidade
de movimento:
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Equação de Navier-Stokes
◦ Para um fluido newtoniano,
a
tensão
viscosa
é
diretamente proporcional à
taxa de deformação por
cisalhamento.
Aplicando
expressões complexas que
relacionam
tensão
e
viscosidade obtém-se as
famosas Equações de NavierStokes.
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Equação de Navier-Stokes
◦ As equações de Navier-Sotkes são bastante simplificadas quando
aplicadas ao escoamento incompressível com viscosidade constante.
Sob estas condições, as equações se reduzem a:
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Equação de Navier-Stokes
◦ Esta forma das equações de Navier-Stokes é provavelmente
(junto com a equação de Bernoulli) o conjunto de equações
mais famoso em mecânica dos fluidos, e tem sido
largamente estudado.
◦ Por exemplo, teoria de lubrificação (descrição do
comportamento de rolamento de máquinas), escoamento
em tubos, e até mesmo o movimento do seu café quando
você o mexe, são explicadas por essas equações.
Infelizmente, elas não podem ser resolvidas analiticamente.
◦ Para situações mais complexas, tais como um sistema de
clima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa,
as soluções para a equação de Navier-Stokes
frequentemente devem ser encontradas com a ajuda de
computadores.
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Francês
Claude Louis Marie Henri Navier
Irlandês
George Gabriel Stokes
Equação de Navier-Stokes
◦ Embora estas equações foram escritas no século
19, ainda não foi comprovado que, as três
dimensões existem sempre soluções , ou que, se
elas existem, então não contêm qualquer
singularidade (ou infinito ou descontinuidade).
◦ Existe um prêmio de U$ 1.000.000 que foi
oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de
Matemática Clay para qualquer um que fizer
progressos substanciais na direção de uma
matemática teórica que possa ajudar a entender
este fenômeno.
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Francês
Claude Louis Marie Henri Navier
Irlandês
George Gabriel Stokes
Exemplo 2
◦A água sai de um bocal estacionário e
atinge uma placa plana, conforme
mostrado. A água deixa o bocal a 15
m/s; a área do bocal é 0,01 m².
Considerando que a água é dirigida
normal à placa e que escoa
totalmente ao longo da placa,
determine a força horizontal sobre o
suporte.
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Exemplo 3
◦Uma placa plana com um orifício de 50 mm de diâmetro está
instalada na extremidade de um tubo de 100 mm de diâmetro.
Água escoa através do tubo e do orifício com uma vazão de 0,05
m³/s. O diâmetro do jato a jusante do orifício é 38 mm. Calcule a
força externa necessária para manter a placa de orifício no lugar.
Despreze o atrito na parede do tubo.
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Exercícios
Fx=-954,7N
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Exercícios
F=132N
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
◦ A figura mostra um redutor em uma tubulação. O volume interno do
redutor é 0,2 m3e a sua massa é 25 kg. Avalie a força total de reação que
deve ser feita pelos tubos adjacentes para suportar o redutor. O fluido é a
gasolina (SG=0,72).
◦ Fx=4679N.
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