Resoluções das secções 4 e 5

FEUP Licenciatura em Eng. Civil Computação
10
4
4.1
Arrays
Dada uma matriz A(n × n) e um vector v(n × 1) de números inteiros escreva instruções
para:
Matlab
(a) vericar se todos os elementos de v são positivos.
(b) calcular o produto dos elementos pares de v .
(c) determinar a soma do produto de cada elemento da diagonal principal da matriz
A pelo elemento correspondente de v .
(d) determinar o somatório dos elementos das duas primeiras linhas e da última linha.
Resolução:
A=input('matriz quadrada nxn= ');
v=input('vector com nx1= ');
%a)
a=all(v>0)
%b)
b=prod(v(mod(v,2)==0))
%c)
c=sum(diag(A).*v) % diag dá um vector coluna
%d)
d1=sum(A(1,:)+A(2,:)+A(end,:))
% ou melhor
d2=sum(sum(A([1,2,end],:)))
4.2
Repita os exercícios 1.1 e 1.2, destas folhas de exercícios, usando instruções
Resolução:
%1.1
disp('1.1')
v=input('vector= ');
%a)
disp('a)')
vv=v;
vv(mod(vv,2)==1)=0
%b)
disp('b)')
vimpar=v(mod(v,2)==1)
%c)
disp('c)')
p=prod(v(1:2:end))
%d) já têm de saber if
disp('d)')
Matlab.
4. Arrays
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x=input('Qual o valor? ');
vv=find(v==x);
if isempty(vv)
disp(['não há elementos iguais a ', num2str(x)])
else
disp(['O índice do elemento é ',int2str(vv(1))])
end
%1.2
disp('1.2')
A=input('matriz = ');
%a)
disp('a)')
A(1,:)=sum(A([1,2],:))
%b)
disp('b)')
vl=any(mod(A(:,3),10)==5)
%c)
disp('c)')
p=prod(A(end,:))
%d)
disp('d)')
x=input('escalar? ');
MS=A+x
%e)
disp('e)')
s=sum(diag(A)) % diag dá os elementos em que os índices são iguais
%f)
disp('f)')
A=A([end 2:end-1 1],:)
4.3
Dada uma matriz A escreva instruções
(a)
(b)
(c)
(d)
Matlab para:
determinar a matriz C : Cij = Aij ∗ j .
determinar quais os índices dos elementos de A maiores do que 3.
eliminar as colunas ímpares de A.
eliminar as linhas de A com elementos ímpares.
Resolução:
A=input('matriz = ');
%a)
[n, m]=size(A);
p=1:m;
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aux=p(ones(n,1),:); % tambem pode ser p(ones(1,n),:)
C=A.*aux
% uma alternativa as duas ultimas linhas. Acho-a preferivel pois nao
% tem que usar a matriz aux com n*m elementos
%for i=1:n
% C(i,:)=A(i,:).*p
%end
%b)
% se so quiser a ordem no vector coluna com todos os elementos da matriz
k=find(A>3)
% ou se quiser o indice de linha e o indice de coluna
[i,j]=find(A>3);
disp([i j])
%c)
A(:,1:2:m)=[] % se nao quiser alterar A fazer B=A(:,2:2:m)
%d)
l=any(mod(A,2)~=0,2);
A(l,:)=[]
5. Instruções se salto, ciclos e repetição
5
5.1
13
Instruções se salto, ciclos e repetição
Matlab e escreva um possível enunciado
Explique o que fazem os seguinte programa
para o problema que cada programa resolve.
(a) n=input('dimensao da matriz quadrada= ');
A=fix(10*rand(n))
for i=1:n
t=A(i,i);
A(i,i)=A(i,n+1-i);
A(i,n+1-i)=t;
end
disp(A)
Resolução:
Escreva um programa que proceda à troca entre os elementos da
diagonal principal e os da secundária, para uma matriz quadrada inteira gerada
aleatoriamente entre 0 e 10.
Explicação: No início do programa é pedida a dimensão da matriz que é armazenada em n. É então gerada, aleatoriamente rand(n), uma matriz quadrada
de dimensão n × n com valores entre 0 e 1. Ao multiplicar essa matriz por 10 e ao
considerar a parte inteira fix(... vai-se obter uma matriz com números inteiros
entre 0 e 10 ( a probabilidade de encontrar o 10 é praticamente nula pois só é
obtida quando na matriz aleatória se tiver exactamente 1).
Depois é utilizado um ciclo for para percorrer todos os elementos i=1:n da diagonal principal A(i,i) e da diagonal secundária A(i,n+1-i). Com A(i,i) temos
a diagonal principal porque o índice da linha é igual ao índice da coluna e, com
A(i,n+1-i) temos a diagonal secundária porque a soma dos índices dos elementos
da diagonal secundária é n + 1 = i + (n + 1 − i).
As instruções dentro do ciclo permitem, com a ajuda da variável auxiliar t, trocar
os conteúdos dos elementos das duas diagonais que estão na mesma linha pois,
em ambos, o índice da linha é igual a i.
No nal a matriz resultante é escrita.
Enunciado:
(b) M=input('matriz= ');
[nl nc]=size(M);
if nl~=nc
disp['M tem que ser quadrada')
else
j=nc-1;
pr=1;
for i=2:2:nl
pr=pr*M(i,i)*M(j,i);
j=j-2;
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end
end
disp(['produto= ',num2str(pr)])
Resolução:
Escreva um programa que, dada uma matriz quadrada, calcule o
produto dos elementos das diagonais principal e secundária pertencentes a colunas
pares da matriz. Se a matriz não for quadrada deve ser escrita uma mensagem de
erro e o programa pára.
Explicação: No início do programa é pedida a matriz que é armazenada em M
e em nl e nc ([nl nc]=size(M)) são armazenados respectivamente o número de
linhas e colunas (a sua dimensão). Com o if é analisado se nl e nc são diferentes.
Se forem, é escrita a mensagem M tem que ser quadrada e, como não tem mais
instruções depois de end, o programa termina. Caso contrário vai ser denida
uma variável j = nc − 1 (nc = nl) que vai ser índice de linha em M(j,i). Como
o primeiro valor que i toma é 2, este elemento vai pertencer à diagonal secundária
de M pois (nc − 1) + 2 = nc + 1 = nl + 1 e os elementos da diagonal secundária
são caracterizados pela soma dos índices ser igual a nl + 1. Os restantes elementos
M(j,i) percorridos pelo ciclo for vão ter o índice da coluna i incrementado de
2 unidades e o índice j decrementado também de 2 unidades, logo a sua soma
continua a ser nl+1 e o elemento vai percorrer os elementos da diagonal secundária
pertencentes a colunas pares. Como M(i,i) percorre os elementos da diagonal
principal (índice da linha igual ao índice da coluna) com o i a variar de 2 até nl
por incrementos de 2 unidades, estes elementos só pertencem às colunas pares.
Com pr=pr*M(i,i)*M(j,i); é efectuado recursivamente o produto de todos esses
elementos, armazenando o resultado em pr. Para o resultado dessa recursão ser
correcto, antes do ciclo começar com pr=1 é inicializada a variável de recorrência
com o elemento neutro do produto.
No m do ciclo, e quando nl = nc é escrito o valor desse produto usando um
disp.
Enunciado:
5.2
Escreva um programa em
Matlab que:
(a) peça ao utilizador uma matriz M .
(b) peça ao utilizador um vector coluna v com tantos elementos quantas as linhas de
M , abortando se não for esse o caso.
(c) calcule o produto escalar do vector v com a penúltima coluna da matriz M .
(d) escreva a sub-matriz de M de dimensão 2 × 2 , cujo termo do canto superior
esquerdo é o termo (2,1) de M .
(e) escreva V ou F conforme o vector v seja igual a uma das duas primeiras
colunas de M .
5. Instruções se salto, ciclos e repetição
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Resolução:
M=input('matriz nxm = ');
v=input('vector nx1 = ');
[nl nc]=size(M);
[nlv ncv]=size(M);
if nl~=nlv
disp(' o vector nao tem a dimensao pretendida ')
return
else
produto_escalar=v'* M(:,end-1)
submatriz=M(2:3,1:2)
if all(v==M(:,1))|| all(v==M(:,2))
disp('V')
else
disp('F')
end
end
5.3
Matlab
Escreva programas para comparar a execução vectorial do
com a execução
por ciclos ... Use as funções tic e toc ou cputime para controlar os tempos de
execução.
(a) Some todos os elementos de uma matriz quadrada gerada aleatóriamente. Para
não ter que trabalhar com matrizes muito grandes, repita o processo várias vezes
com um ciclo.
Resolução:
% n dimensao da matriz
% quantas vezes o calculo vai ser repetido
n=input('dim matriz ');
m=input('dim ciclo ');
a=rand(n);
% usando a funçao sum (elementos num vector)
t1=cputime;
%ou tic;
for i=1:m
s2=sum(a(:));
end
t3=cputime-t1 %ou t3=toc
% usando so um ciclo (elementos num vector)
t2=cputime;
%ou tic;
for k=1:m
s3=0;
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for i=1:n*n
s3=s3+a(i);
end
end
t4=cputime-t2
%ou t4=toc
% usando dois ciclos (elementos numa matriz)
t5=cputime;
%ou tic;
for k=1:m
s3=0;
for i=1:n
for j=1:n
s3=s3+a(i,j);
end
end
end
t6=cputime-t5
%ou t6=toc
(b) Some os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada gerada aleatóriamente.
Resolução:
% n dimensao da matriz
% quantas vezes o calculo vai ser repetido
n=input('dim matriz ');
m=input('dim ciclo ');
a=rand(n);
%controla o tempo de execuçao do ciclo
t=cputime;
%ou tic
for i=1:m
end
t1=cputime-t
%ou t1=toc
%soma vectorial
t=cputime;
%ou tic
for i=1:m
s=sum(diag(a));
end
t2=cputime-t
%ou t2=toc
% soma com ciclos
t=cputime;
%ou tic
for k=1:m
ss=0;
for i=1:n
ss=ss+a(i,i);
end
end
5. Instruções se salto, ciclos e repetição
t3=cputime-t
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%ou t2=toc
(c) Some os elementos da diagonal secundária de uma matriz quadrada gerada aleatóriamente.
Resolução:
% n dimensao da matriz
% quantas vezes o calculo vai ser repetido
n=input('dim matriz ');
m=input('dim ciclo ');
a=rand(n);
%soma vectorial
t=cputime;
%ou tic
for i=1:m
s=sum(diag(fliplr(a)));
end
t1=cputime-t
%ou t1=toc
% soma com ciclos
t=cputime;
%ou tic
for k=1:m
ss=0;
for i=1:n
ss=ss+a(i,n+1-i);
end
end
t2=cputime-t
%ou t2=toc
% escrita dos valores calculados
disp([' soma vectorial ',s]);
disp([' soma com for ',ss]);
(d) Resolva o exercício 5.18 a) de Exercícios de Computação (2003-2004) usando o
termo geral da sucessão com o cálculo vectorial e, usando uma fórmula de recorrência, para denir o termo da sucessão, com um ciclo.
Resolução:
% vai repetir o calculo, soma de 10 parcelas, n vezes
x=input('x= ');
n=input('quantos ciclos? ');
N=10;
% calculo vectorial com termos gerais
tic
for k=1:n
i=0:N-1;
fact=cumprod(1:2*N-1);
seno=sum( (-1).^i.*x.^(2*i+1)./fact(1:2:2*N-1));
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coseno=sum((-1).^i.*x.^(2*i)./[1 fact(2:2:2*N-1)]);
end
t=toc
disp([seno coseno seno^2+coseno^2]);
% calculo com ciclos e termos definidos por recorrencia
tic
for k=1:n
seno=x;
coseno=1;
uis=x;
uic=1;
for i=1:N-1;
uis=-uis*x^2/((2*i+1)*2*i);
uic=-uic*x^2/(2*i*(2*i-1));
seno=seno+uis;
coseno=coseno+uic;
end
end
t2=toc
disp([seno coseno seno^2+coseno^2]);