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X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
SOBRE A PESQUISA E O ENSINO DE NÚMEROS RACIONAIS NA SUA
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA
Tânia Maria Mendonça Campos
Universidade Bandeirantes - UNIBAN
[email protected]
Sandra Maria Pinto Magina
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUCSP
Raquel Factori Canova
Universidade Bandeirante – UNIBAN
Angélica da Fontoura Garcia Silva
Universidade Bandeirante - UNIBAN
Resumo: Este artigo apresenta parte dos resultados de um estudo de intervenção de ensino
realizado com 138 alunos da 3ª e 4ª séries da Educação Básica de uma escola pública do
estado de São Paulo no que se refere o conceito de fração a partir de quatro diferentes
significados. O referencial teórico escolhido foi a Teoria dos Campos Conceituais de
Gérard Vergnaud (1990). Os alunos foram distribuídos em quatro grupos experimentais
(dois de 3ª série e dois de 4ª série) e dois grupos controle (um de cada série). Para avaliar o
alcance dessa intervenção um pré-teste e um pós-teste foram aplicados a todos os alunos
envolvidos no estudo. Os resultados apontam desempenhos significativamente melhores
das crianças dos grupos experimentais, principalmente no que se referem a situações de
frações com significado quociente.
Palavras-chave: Ensino de Fração; Aprendizagem de fração; Ensino Fundamental;
Significados de Fração.
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa trata de um estudo de intervenção realizado em uma escola estadual
localizada na cidade de São Paulo. O objetivo geral é identificar que contribuições um
ensino de fração, sendo introduzido a partir de um determinado significado – seja partetodo, quociente, quantidades intensivas ou operador multiplicativo – traz para o bom
desempenho dos alunos de 3ª e 4ª séries da Educação Básica ao lidar com situações de
fração com os outros significados. No entanto, neste trabalho estamos analisando os
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resultados dos pré-testes e pós-testes aplicados aos grupos experimentais e controle, assim
como o desempenho geral dos alunos, por série e por grupo, ao terem um ensino baseado
nos fundamentos da Teoria dos Campos Conceituais, mais precisamente, considerando os
invariantes operatórios.
A motivação para a realização do estudo centra-se em algumas razões: o trabalho
escolar com frações no Brasil inicia-se, em geral, na 3ª série da Educação Básica (com
crianças na faixa de 9 a 10 anos de idade), e é retomado, sistematicamente, nas séries
subseqüentes. No entanto, pesquisas recentes desenvolvidas no Brasil (Rodrigues, 2005,
Canova, 2006, Silva, 2007, Campos et al.,2009) mostram que alunos têm pouco domínio
desse conceito, fato comprovado em diferentes avaliações externas.
A segunda razão vem da própria literatura sobre os estudos e pesquisas com os
números racionais (Nunes et al. 2003, Behr et al., 1992, Streefland, 1991, para citar apenas
alguns), que apontam diversas dificuldades apresentadas por alunos nos vários níveis de
escolarização e que afirmam ainda existir muitas questões nesse campo conceitual que
merecem especial atenção de pesquisadores.
Parece consenso entre as pesquisas citadas reconhecer que crianças têm dificuldade
tanto em entender fração como sendo um ente matemático (um número ou uma
quantidade) quanto em construir significados para fração. Segundo Streefland (1991), o
que está por trás do fracasso na aprendizagem de frações é a complexidade desse conceito,
somada a uma abordagem tradicional que a escola utiliza ao trabalhar fração: o ensino é,
muitas vezes, dissociado da realidade e prioriza, desde o começo, a transmissão de regras,
ignorando completamente o conhecimento informal que a criança já adquiriu a partir de
experiências vividas fora da escola.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O referencial teórico utilizado no estudo apoiou-se na Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (1990) e na classificação de fração proposta por Nunes (2005).
As situações envolvem quatro significados: parte-todo, quociente, operador multiplicativo
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e quantidades intensivas; os invariantes operatórios: equivalência e ordem e as
representações possíveis: as fracionárias e pictóricas.
De fato, existem diferentes classificações, a priori, dos tipos de significados dos
números racionais, sem que a importância dessas classificações para o ensino tenha sido
esclarecida. Apresentamos aqui uma síntese da classificação proposta por Nunes (2005),
identificando quatro (04) significados possíveis, a saber:
1. A fração como uma relação parte-todo – A idéia presente nesse significado é a da
partição de um todo em n partes iguais, em que cada parte pode ser representada como
1
.
n
Assim, assumiremos como o significado parte-todo, um dado todo dividido em partes
iguais em situações estáticas, na qual a utilização de um procedimento de dupla contagem
é suficiente para se chegar a uma representação correta. Por exemplo, se um todo foi
dividido em cinco partes e duas foram pintadas, os alunos podem aprender a representação
como uma dupla contagem: acima do traço escreve-se o número de partes pintadas, abaixo
do traço escreve-se o número total de partes. Exemplo: Uma barra de chocolate foi
dividida em quatro parte iguais. João comeu três dessas partes. Que fração representa o
que João comeu?
2. A fração como descritora de uma quantidade intensiva – Algumas medidas
envolvem fração por se referirem à quantidades intensivas, nas quais a quantidade é
medida pela relação entre duas variáveis.
Exemplo: Para fazer certa quantidade de suco são necessárias 3 medidas de concentrado de
limão para 7 medidas de água. Que fração representa a medida de concentrado de limão em
relação ao total de suco?
3. A fração como um operador multiplicativo – Como o número inteiro, as frações
podem ser vistas como o valor escalar aplicado a uma quantidade. A idéia implícita é que o
número é um multiplicador da quantidade indicada. Exemplo: Dei
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das balas de um
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pacote de 40 balas para meus irmãos. Quantas balas dei a eles?
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4. A fração como quociente, indicando uma divisão e seu resultado – Este significado
está presente em situações em que envolve a idéia de divisão – por exemplo, uma pizza a
ser repartida igualmente entre 5 crianças. Nas situações de quocientes temos duas variáveis
(por exemplo, número de pizzas e número de crianças), sendo que uma corresponde ao
numerador e a outra ao denominador – no caso,
1
. A fração, nesse caso, corresponde à
5
divisão (1 dividido por 5) e também ao resultado da divisão (cada criança recebe
1
).
5
Exemplo: Três chocolates devem ser divididos para 4 crianças. Que fração de chocolate
cada criança irá receber?
O ESTUDO
O estudo foi realizado em uma escola pública da rede estadual de ensino, localizada
na cidade de São Paulo, região central. O universo de alunos pesquisados foi de três classes
da 3ª série e três da 4ª série, sendo que duas classes de cada série fizeram parte dos grupos
experimentais (GE) e uma classe de cada série formaram os grupos de controles (GC).
Desta forma, o estudo foi aplicado a 138 sujeitos, sendo 84 pertencentes ao GE – 36
advindos da 3ª série e 48 da 4ª – e 54 do GC – 20 da 3ª e 34 da 4ª série.
Inicialmente foi aplicado um instrumento diagnóstico – pré-teste – nas seis classes.
Este continha 22 questões referentes à fração que exploravam os significados de partetodo, quociente, quantidades intensivas e operador multiplicativo. O teste foi aplicado
coletivamente em cada uma das seis classes, com as pesquisadoras lendo oralmente cada
uma das questões e aguardando a resolução individual dos alunos antes de passar a ler
questão seguinte.
Três dias depois iniciou-se a intervenção de ensino. Aqui, as crianças de cada classe
foram divididas em 4 grupos, compostos por 6 ou 7 crianças (a depender da quantidade de
alunos de cada classe). Cada um desses grupos trabalhou com as pesquisadoras, em uma
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única sessão de aproximadamente 90 minutos, um dos quatro significados da fração, a
saber: parte-todo, quociente, quantidades intensivas, ou operador multiplicativo.
Todo o trabalho de intervenção foi feito a partir da apresentação de situaçõesproblema, no programa power-point de um notebook,
para serem resolvidas
individualmente pelos alunos, com posterior, e imediata, discussão coletiva das estratégias
utilizadas por eles na sua resolução. Para que não houvesse discrepância quanto ao
intervalo de tempo entre o pré-teste e as intervenções pelas quais os seis grupos
experimentais passariam, optou-se por trabalhar com classes matutinas e vespertinas. As
classes foram escolhidas de maneira aleatória.
Uma semana após os grupos experimentais terem passado pela intervenção, foi
aplicado o mesmo instrumento diagnóstico (pós-teste) a todos os alunos. Esse intervalo de
uma semana também foi respeitado para o grupo controle.
Para efeito deste artigo, apresentaremos os resultados quantitativos obtidos pelos
dois GE - um de cada série - e pelos dois GC. Isto significa que só serão aqui analisados os
resultados dos desempenhos obtidos pelos quatro grupos nos dois instrumentos
diagnósticos, quais sejam os pré e pós-testes.
ANÁLISE DE DADOS
A análise iniciar-se-á pela apresentação dos resultados gerais obtidos nos quatro
grupos experimentais e de controle. Na sequência a análise prosseguirá apresentando e
interpretando os resultados dos desempenhos dos grupos segundo cada um dos quatro
significados da fração presentes nos pré e pós-testes.
O gráfico 1 abaixo oferece um panorama geral do desempenhos dos grupos nos
dois testes, com relação aos percentuais de acertos. Nele, como esperado, há uma nítida e
maior evolução dos dois grupos experimentais em relação aos grupos de controle.
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20
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Pré-teste
3a série EXP
3a série CON
Total Pre
4a série EXP
Pós-teste
4a série CON
Total Pós
Gráfico 1: Desempenho geral dos grupos experimentais e de controle nos pré e pós-testes.
O gráfico acima aponta que o trabalho de intervenção nos diferentes significados
proporcionou uma melhoria expressiva no resultado do pós-teste dos alunos dos grupos
experimentais. Isso nos remete a reflletir acerca da importância da intervenção.
O baixo desempenho do GC ainda pode sugerir que o conceito de fração não foi
apropriado por estes alunos, com o ensino tradicional, uma vez que os professores
informaram ter ensinado tal conceito. É importante observar que estes dados confirmam os
resultados obtidos nas pesquisas e nos estudos diagnósticos realizados por (Rodrigues,
2005, Canova, 2006, Silva, 2007, Campos et al., 2009).
A questão que se coloca a seguir é saber se esse baixo desempenho dos grupos
aplica-se a qualquer significado da fração, e ainda, se após intervenção esse desempenho
passa a ser satisfatório entre os diferentes significados. Buscaremos essas respostas,
posteriormente, a partir da análise qualitativa dos protocolos. No entanto, os primeiros
resultados já podem ser vistos com o estudo do gráfico 2 apresentado a seguir.
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PT
Quoc
Qde Int Op Mult
3a Controle
3ª controle
PT
Quoc
Qde Int Op Mult
4a Controle
4ª controle
Pré-teste
PT
Quoc
Qde Int Op Mult
3a Experim
3ª experimental
PT
Quoc
Qde Int Op Mult
4a Experim
4ª experimental
Pós-teste
Gráfico 2: Desempenho dos grupos experimentais e de controle nos pré e pós-testes,
considerando os quatro significados da fração.
O primeiro dado que chama atenção no gráfico 2 é que o significado parte todo foi
aquele que, de longe, apresentou maiores percentuais de sucesso no pré-teste para todos os
grupos. Tal fato pode ter ocorrido por que os alunos tiveram o ensino de frações
introduzido pelas suas professoras a partir deste significado.
Nota-se ainda que o significado quociente foi o que obteve os mais baixos índices
de sucesso no pré-teste, para todos os quatro grupos. Porém foi este o significado que
apresentou maior salto entre o pré e pós-teste para os dois GE (aumentou 4,2 vezes no GE
4ª série e 6,4 vezes no GE 3ª série, embora os dois grupos tenham atingido pouco mais de
50% de acertos pós-teste). Esses resultados oferecem apoio empírico para a afirmação de
Streefland (1991) de que o significado quociente é aquele mais facilmente entendido pelos
alunos das séries iniciais.
Observe-se que apenas uma sessão de intervenção foi suficiente para que essas
crianças saissem de patamares de sucesso em torno de 10%, para patemares pouco acima
dos 50%.
Esse último gráfico ainda aponta que a maioria dos alunos das 3ª e 4ª séries foram
capazes de lidar bem com as situações de fração que envolviam os significados
quantidades intensivas e operador multiplicativo.
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CONCLUSÃO
Os resultados apontam desempenhos significativamente melhores das crianças dos
grupos experimentais, principalmente no que se refere a situações com significado
quociente. Observamos, entretanto, que cada grupo de crianças, passou por intervenção
com apenas um dos significados, e mesmo os que não tiveram intervenção com esse
significado avançaram significativamente.
Além disso, vale ressaltar que as situações elaboradas para intervenção considerou
tanto os diferentes significados como os invariantes operatórios. O que nos faz inferir que
uma boa compreensão da lógica das frações nos abre as portas para entender o conceito
deste objeto matemático e suas operações. As frações, como os números naturais,
envolvem a lógica de classes (1/2 = 2/4 = 3/6 etc) e a lógica das relações assimétricas (1/2
> 1/3 > 1/4 etc.). Uma questão fundamental para o ensino das frações é como as crianças
desenvolvem essa lógica no contexto dos números racionais, na sua representação
fracionária.
Com base nos resultados apresentados acima, o estudo corrobora com as idéias de
Vergnaud (1990), que defende como premissa que conhecimento se dá por meio de
resolução de problemas e que na construção de um conceito é preciso vivenciar muitas
situações.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
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