Pró-Reitoria de Graduação Curso de Licenciatura em Matemática Trabalho de Conclusão de Curso O DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS ADITIVAS NO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL – ESTUDO DE CASO Autor: Rawlinson Naylor Oliveira Teixeira Orientadora: Erondina Barbosa Silva Brasília - DF 2012 RAWLINSON NAYLOR OLIVEIRA TEIXEIRA O DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS ADITIVAS NO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL - UM ESTUDO DE CASO Artigo apresentado ao curso de graduação em Matemática da Universidade Católica de Brasília, como requisito parcial para obtenção do Título de Licenciado em Matemática. Orientadora: Erondina Barbosa da Silva Brasília 2012 Artigo de autoria de Rawlinson Naylor Oliveira Teixeira intitulado “O DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS ADITIVAS NO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL - UM ESTUDO DE CASO”, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em 15 de junho de 2012, defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada: _____________________________________________________ Prof.ª MSc. Erondina Barbosa da Silva Orientadora Matemática – UCB _____________________________________________________ Prof. MSc. Vilmondes Rocha Avaliador Matemática - UCB _____________________________________________________ Prof. Esp. Demosthenes Bittencourt Junior Avaliador Matemática – UCB Brasília 2012 4 O DESENVOLVIMENTO DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS ADITIVAS NO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL - UM ESTUDO DE CASO RAWLINSON NAYLOR OLIVEIRA TEIXEIRA Resumo O presente trabalho está inserido na área de Educação matemática e se baseia na Teoria de Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. A pesquisa se relaciona à resolução de problemas do campo conceitual aditivo por alunos do 6º ano ensino fundamental de uma escola pública do DF, onde foram coletados os dados no 1º bimestre do ano de 2012. Além da Teoria dos Campos Conceituais, utilizou-se como referencial teórico os Parâmetros Curriculares Nacionais para a área de Matemática para os anos iniciais e anos finais, que abordam os significas das operações de adição e subtração. Para analisar como alunos do 6º ano do ensino fundamental progridem no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao campo conceitual aditivo, objetivo central da pesquisa, foi desenvolvido um trabalho de campo em três etapas, na primeira procurou trabalhar a estrutura do sistema de numeração decimal, utilizando jogo no tapetinho que é um QVL (quadro valor de lugar); na segunda foi realizado um circuito de problemas do campo aditivo, com o objetivo e diagnosticar as principais dificuldades dos alunos; na terceira etapa, atividades lúdicas e de resolução de problemas buscaram superar os obstáculos observados na segunda etapa; na quarta e última etapa foi feito um exercício avaliativo com itens da Prova Brasil, que mostrou o progresso dos alunos na resolução de problemas do campo aditivo. Palavras-chave: Campos Conceituais; Estruturas Aditivas; Educação Matemática 1. INTRODUÇÃO Os Parâmetros curriculares Nacionais (PCN) de Matemática para os anos iniciais (BRASIL, 1998a) apresentam exemplos dos vários significados das operações de adição e subtração. Dentre esses significados um está relacionado à ideia de comparar, como mostra o exemplo a seguir: Paulo tem 24 figurinhas e Carlos tem 19. Quantas figurinhas Paulo tem a mais que Carlos? Historicamente, em situações como essa, os alunos têm muita dificuldade em encontrar a estratégia adequada para chegar à resposta correta. É comum que eles perguntem: “é de mais ou é de menos?” Uma outra situação que os alunos também têm muita dificuldade diz respeito a ideia de comparar, mas nesse caso está implícita a ideia de completar uma quantidade como no exemplo, a seguir: Comprei um álbum que cabem 30 fotografias. Já coloquei 19. Quantas fotografias faltam para completar o álbum? Essas situações discutidas nos PCN de Matemática estão presentes nos livros didáticos do 4º, 5º e 6º anos. Mas a questão é: porque os alunos erram tanto na resolução desses problemas? Por que o aluno não consegue associar o que aprendeu com aquilo que é perguntado no problema? E mais: por que os alunos chegam ao 6º ano ainda errando 5 problemas simples que envolvem essas ideias? Será possível construir essas ideias com os alunos de forma mais significativa?. As duas situações abordadas anteriormente, além de outras que serão tratadas nesse trabalho, têm como pano de fundo o que tem sido chamado de campo conceitual aditivo (VERGNAUD, 2009) que envolve as operações de adição e subtração. A primeira situação envolve a ideia de comparação e, tradicionalmente, os alunos erram porque a expressão “a mais” os levam a deduzir que se trata de um problema que se resolve por meio da adição. A segunda situação envolve a ideia de completar e tradicionalmente a escola exige que o aluno resolva por meio de uma subtração, mas o raciocínio muitas vezes é aditivo. Ele pensa: ”para completar trinta fotografias falta uma, para trinta faltam dez, logo, faltam onze fotografias”. Outra solução bastante comum também é o aluno contar nos dedos a partir do dezenove: vinte,vinte um, vinte e dois, vinte e três... vinte e nove, trinta, encontrando também onze. Os que fazem isso chegam a registrar como solução a seguinte operação: 19 +11 30 Essas duas situações são apenas ilustrativas dos conflitos cognitivos pelos quais passam os alunos ao tentar resolver problemas do campo aditivo. Muitas vezes, a escola, desconsiderando o alto teor de dificuldade, os induz a resolverem de forma algorítmica, sem uma análise mais profunda da situação. Ainda há a crença de que é possível treinar os alunos para resolver esse tipo de situação. O pior ainda é que nem todas as ideias da adição e subtração são corretamente trabalhadas em sala de aula e, muitas vezes, os alunos são exigidos a dar respostas às situações para as quais ainda não possuem conhecimento construído. A maioria das situações aditivas trabalhadas em sala de aula diz respeito a ideia de juntar/retirar e de transformação positiva e negativa, presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,1998, p. 70). Não obstante as dificuldades próprias das situações de adição e da subtração, no contexto da resolução de problemas’, quando esses algoritmos precisam ser utilizados como ferramentas, muitas vezes se faz opção por aquilo se considera mais fácil, ou seja, por receitas prontas, mas essas receitas nem sempre funcionam para todas as classes de situações. Isso tem sido questionado por muitos pesquisadores, como por exemplo, o francês Gérard Vergnaud, criador da Teoria dos Campos Conceituais, principal referencial teórico desse artigo. O trabalho desse pesquisador almeja proporcionar um quadro coerente e alguns princípios para o estudo da progressão de crescimento e aprendizagem de habilidades complexas, como as que envolvem a resolução de situações que envolvem a adição e a subtração, chamado por ele de campo conceitual aditivo (VERGNAUD, 2009, p.18). Este trabalho está inserido na área de Educação matemática, e se relaciona a resolução de problemas do campo conceitual aditivo por alunos do 6º ano do Ensino Fundamental. Nesta etapa, os alunos estão começando a caminhar de forma mais independente, mas ainda estão na fase das operações concretas, quando são capazes de realizar operações complexas, mas a partir da realidade concreta. O objeto de estudo é a resolução de problemas de adição e subtração e a possibilidade de mediação do professor para a aprendizagem significativa de crianças do 6º ano do ensino fundamental. A Necessidade de tal iniciativa de estudo é a preocupação com os alunos que alcançam e até concluem a etapa final do Ensino Fundamental sem uma base mínima e crítica sobre as operações elementares da matemática, tornando assim um bolsão de estudantes com pouca compreensão de situações cotidianas que exigem a ação desses. Muitos alunos carregam essas dificuldades ao longo de toda vida, não construindo conhecimentos básicos necessários para cursar o ensino médio ou ingressar no ensino superior. 6 Como as orientações curriculares brasileiras de maneira geral e do Distrito Federal de maneira específica indicam uma organização não linear dos conteúdos, trazendo a ideia de currículo em espiral e currículo em rede, em que todos os temas estão relacionados e não se esgotam em uma única série, estamos considerando que os resultados dessa pesquisa podem gerar contribuições tanto para o Pedagogo, como para o Professor de Matemática, pois ambos, em geral, desconhecem a ideia de que as operações matemáticas só adquirem sentido dentro das situações e que essas operações têm diferentes significados. O que essa pesquisa se propõe é investigar como os alunos constroem os diferentes significados das operações de adição e subtração e como o professor pode mediar essa construção, ou seja, que situações o professor pode propor para tornar significativos esses conceitos para os alunos. Assim, se questiona: é possível levar o aluno a interpretar e resolver questões de níveis diferentes sem que necessite utilizar uma mesma regra de operação? Ou, ainda, é possível organizar o trabalho pedagógico de tal forma que o professor tenha espaço, tempo e oportunidade clara de expor para o aluno a relação conjunta da adição e subtração sem separar em regras para operações “de mais” e operações de “menos”? Assim, a questão central que norteia o presente trabalho é: Como os alunos progridem no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao campo conceitual aditivo? Baseados na teoria dos campos conceituais de Gerárd Vergnaud estamos considerando que abordagem integrada da adição e subtração em contextos significativos para as crianças pode elevar a competência delas na resolução de problemas e, portanto, possibilitar o desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas necessárias à vida cotidiana e ao prosseguimento dos estudos. 1.1 OBJETIVOS O objetivo central do presente estudo é analisar como alunos do 6º ano do ensino fundamental progridem no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao campo conceitual aditivo. São objetivos específicos 1. Identificar que situações podem tornar significativa a aprendizagem dos conceitos de adição e subtração. 2. Analisar que tipo de mediação pode ser feita pelo professor para a aprendizagem conjunta das operações de adição e subtração. 1.2 PERCURSO METODOLÓGICO O presente trabalho foi realizado segundo uma abordagem qualitativa por meio de uma pesquisa de campo participante e colaborativa que segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 112) é aquela “em que o pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo, mas, sobretudo para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes.”. Os dados da pesquisa foram coletados no âmbito do projeto de extensão “Matemática – nenhum a menos”1, que tem por objetivo elevar a competência matemática de estudantes dos anos finais do ensino fundamental, por meio do acompanhamento pedagógico da 1 Projeto de extensão da Universidade Católica de Brasília-UnB, realizado no CEF 01 da Estrutural e Coordenado pela Professora Erondina Barbosa da Silva. 7 interação entre estudantes em situação de sucesso escolar e estudantes em situação de fracasso, em turno contrário ao turno regular dos estudos. Em última instância o que se deseja no projeto é a superação dos obstáculos (IGLIORI, 2002) que impedem os alunos a avançarem em suas aprendizagens matemáticas. Este projeto acontece no Centro de Ensino Fundamental 01 da Estrutural e os dados foram coletados no 1º bimestre do ano de 2012, pelo pesquisador que atua no projeto na condição de estagiário. Os sujeitos da pesquisa são 18 alunos regularmente matriculados no 6º ano do ensino fundamental e que participam do projeto por indicação dos seus respectivos professores. Esses alunos tem em média 12 anos de idade. É importante salientar que em conversa inicial com o grupo de professores de Matemática do 6º ano, esses indicaram que a estrutura do sistema de numeração decimal e as operações básicas com números naturais são os principais obstáculos a serem atacados pelo projeto. 2. A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS O presente trabalho se baseia na Teoria de Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Trata-se de uma teoria cognitivista neo-piagetiana que propicia uma estrutura coerente e alguns princípios básicos ao estudo do desenvolvimento cognitivo e da aprendizagem das competências complexas, sobretudo as que dependem da ciência e da técnica (SANTANA, 2006), sendo, portanto, particularmente importante ao estudo do desenvolvimento de conceitos matemáticos, no processo de ensino e aprendizagem. De acordo com Moreira (2002, p. 9), Vergnaud define o campo conceitual como “um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e representações de tipos diferentes, mas intimamente relacionados.”. Na resolução de um problema os alunos mobilizam essas diferentes representações, de acordo com a situação dada. Mas é importante pensar que ao propor uma situação para o aluno o professor age de modo diverso que o matemático profissional. Para Vergnaud (2009), a noção de complexidade de compreensão de um conceito não está para o matemático assim como para o professor, pois o matemático caça os “axiomas” mais significativos, mas o professor procura as noções simplificadas para o estudante, no qual mesmo o estudante não compreende instantaneamente. Mas o ponto chave é que os conceitos só se tornam claros e objetivos por meio das situações propostas. E aqui temos o cerne da teoria, o campo conceitual é, antes de tudo, um conjunto de situações (FÁVERO, 2005), ou seja, o conceito só adquire sentido dentro da situação. 2.1 MAS O QUE É UM CONCEITO? Um conceito matemático não se reduz à definição de um objeto e tampouco pode estar preso apenas ao seu significado geral, mas ao seu desenvolvimento em diferentes momentos e situações. Como afirma Vergnaud (1993), é por meio das situações e questionamentos a serem encarados e solucionados que um conceito ganha sentido para a criança. Para Fávero (2005) tanto como um novo conceito quanto um novo esquema são gerados pela pessoa e caminha para a resposta de novas situações as quais ela se adapta. O sentido é individual e 8 não está dado a priori, não está na situação. O sentido é uma produção do sujeito e é por isso que algumas situações podem fazer sentido para uma pessoa e não fazer para outra. Segundo Vergnaud (2009) a ordem de complexidade progressiva das relações que o aluno estabelece não é uma ordem total ou linear. Pois o normal seria pensar que o aluno parte de um aprendizado para o seu seguinte aprendizado e depois para o posterior a este, como mostra o esquema a seguir: A D B C E F... Figura 1. Esquema – Vergnaud (2009, p. 16) Vergnaud (2009) argumenta que o que ocorre é uma ordem parcial ou com vários ramos, como mostra o esquema a seguir. A ordem pode partir de dois aprendizados subordinados a outros aprendizados que nem mesmo são pré-requisitos desses dois aprendizados. Por exemplo, para uma noção C o aluno necessariamente não precisaria ter aprendido a noção B, mas sim uma noção A e depois partir para uma noção D. Pois um conceito não é gerado apenas por si só, mas pela ligação com outros conceitos e ao conjuntos de relações. (FAVERO, 2005). A B C D E I F G H J Figura 2. Esquema – Vergnaud (2009, p. 16) O que as ideias desse autor, presentes no esquema acima, nos mostram é que a construção de um conceito não segue uma ordem linear. No caso da nossa pesquisa, a construção das diversas ideias que envolvem a adição e a subtração devem ter em conta não apenas essa não linearidade, mas, sobretudo as situações que vão dar sentido a esses conceitos. Por isso é necessário uma análise profunda das tarefas que são propostas aos alunos. Paralelamente à análise das tarefas é preciso fazer a análise dos acertos e erros dos alunos. A partir da análise de acertos é possível observar quais passos foram utilizados pelo aluno para alcançar o objetivo da tarefa proposta a ele e isso deve acontecer na resolução dos problemas mais simples até os mais complexos (VERGNAUD, 2009). Com relação aos erros, Vergnaud (2009) argumenta que a atenção a esses é essencial, pois fornece a percepção das dificuldades que o aluno enfrentou, e assim é possível intervir para fazer o aluno superar o obstáculo encontrado. Segundo Vergnaud (2009) o conceito gira em torno de uma tríade: conjunto de situações que justifiquem o conceito; conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) e o conjunto de suas representações. Para analisar a construção de um conceito é necessário analisar essa tríade. Vergnaud (2003) utiliza a seguinte representação para mostrar a relação entre esses três conjuntos: Conceito = (Situações, Invariantes, Representações). C = (S, I, R). De acordo com Moreira (2002), as situações (S) que dão sentido ao conceito, vinculam se ao real ou ao contexto sociocultural que tomamos emprestado para propor as tarefas aos alunos. As invariantes operacionais (I) dizem respeito aos objetos, propriedades e relações reconhecidas e utilizadas pelos sujeitos na resolução da tarefa. Já as representações simbólicas 9 (R) são a linguagem natural, os signos, os símbolos, gráficos, sentenças utilizados para representar as invariantes operacionais. É central na teoria dos campos conceituais o conceito de esquema, herdado da teoria de Piaget. De acordo com Vergnaud (1990, apud MOREIRA, 2002, p. 12) um esquema é a “organização invariante do comportamento para uma classe de situações.” Esse autor vai adiante e afirma que os algoritmos são exemplos de esquemas, mas nem todo esquema é algorítmico. Assim, podemos concluir que há um conjunto de esquemas associados à classe de situações que dão sentido aos conceitos de adição e subtração e que estão vinculados ao campo conceitual aditivo. Segundo Vergnaud (2009) o sentido psicológico referente ao conceito de situação está intimamente ligado ao processo cognitivo e as resposta da pessoa às situações a que ela é confrontada. No que se refere ao campo aditivo, existe uma heterogeneidade de situações e os conhecimentos dos alunos são lapidados pelas situações presentes ao seu questionamento e aprendizado, seja partindo de um esquema já conhecido por ele próprio ou construído em meio a outros esquemas que vão tomando conta desse desenvolvimento e, principalmente, em conceitos a serem descobertos e trabalhados para a construção de uma possível solução (MOREIRA, 2002). 3. CAMPOS CONCEITUAIS: ESTRUTURAS ADITIVAS. O campo conceitual das estruturas aditivas é concomitantemente um agregado de situações que exigem o uso de uma ou mais adições e subtrações, de invariantes operacionais (teoremas e conceitos) e de representações simbólicas que possibilitam analisar essas situações como tarefas matemáticas (SANTANA, 2007). De acordo com Santana (2007) ao campo conceitual aditivo estão associados diversos conceitos como os de número, numeral, antecessor, sucessor. E também diversas ações como: seriar, ordenar, reunir, juntar, somar, acrescentar, subtrair, separar, afastar, transformar, comparar. Para Vergnaud (2003) são componentes das estruturas aditivas, por exemplo, os conceitos de cardinal e de medida, de transformação temporal por aumento ou diminuição (perder ou ganhar certa quantia), de relação de comparação (ter bombons a mais que), de composição binária de medidas (quanto no total?), de composição de transformações e relações, de inversão, de deslocamento, etc. Para Vergnaud (2009) as relações aditivas são relações ternárias que se abrem em um leque de diferentes caminhos e possibilita resultados variados de transformações aditivas. Esse teórico apresenta “seis esquemas ternários fundamentais” dos problemas aditivos, apresentados a seguir: − Primeira Categoria: dois números naturais se compõem para resultar em um terceiro numero natural. − Segunda categoria: Uma transformação opera sobre um número natural resultando em outro número natural. − Terceira categoria: Uma relação liga dois números naturais. − Quarta categoria: Duas transformações se entrelaçam para resultar em uma transformação − Quinta categoria: Uma transformação opera numa relação relativa para resultar num relação relativa. − Sexta categoria: duas relações relativas se entrelaçam para resultar em uma relação relativa. 10 4. AS SITUAÇÕES ADITIVAS NOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA A ÁREA DE MATEMÁTICA Os parâmetros curriculares nacionais para a área de Matemática para os anos iniciais – PCN (BRASIL, 1998a, p. 69), apresentam quatro classes de situações relativas ao campo conceitual aditivo. Muito embora não façam referência à Teoria dos Campos Conceituais de Gerárd Vergnaud, o texto indica a necessidade de um tratamento conjunto para as operações de adição e subtração como sugere a teoria: O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática traz novas referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais. A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseiase no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas. A mesma justificativa é encontrada também nos PCN de Matemática para os anos finais (BRASIL, 1998b) que argumentam que muitos alunos chegam ao final do ensino fundamental sem uma compreensão adequada dos números e das operações numéricas. Acrescentam ainda que muitos até operam com os números, mas não sabem interpretar os resultados ou relacionar a situação com a operação correspondente que possibilita encontrar a resposta correta. Os PCN (BRASIL, 1998a) argumentam que a construção dos significados da adição e subtração levam tempo e que é necessária a descoberta de diferentes procedimentos de solução das situações. A seguir apresentamos os quatro grupos de situações, bem como os exemplos que os PCN apresentam para cada situação: GRUPO 1: situações associadas à ideia de combinar dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como ação de “juntar”. Nesse grupo estão as situações vinculadas à primeira categoria apontada por Vergnaud (2009) em que dois números naturais se compõem para resultar em um terceiro numero natural. Os exemplos a seguir, retirados dos PCN (2009, p. 70), mostram os problemas que envolvem as ideias de juntar e separar correspondentes à categoria: Ex. 1: Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa classe? Ex. 2: Em uma classe há alguns meninos e 13 meninas, no total são 28 alunos. Quantos meninos há nessa classe? Ex. 3: Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas? GRUPO 2: situações ligadas à ideia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que pode ser positiva ou negativa. Nesse grupo estão as situações vinculadas à segunda categoria apontada por Vergnaud (2009), ou seja, uma transformação opera sobre um numero natural resultando em outro numero natural. Os exemplos a seguir, retirados dos PCN (2009, p. 70), mostram as ideias de ganhar ou acrescentar e perder, ou retirar correspondentes à categoria: Ex: 1: Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação positiva). Ex: 2: Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação negativa). Ex. 3: Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas figurinhas ele possuía? 11 Ex. 4: Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 27. Quantas figurinhas ele ganhou? Ex. 5: No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo ele perdeu 20 e terminou o jogo com 7 figurinhas. Quantas figurinhas ele possuía no início do jogo? Ex. 6: No início de um jogo Pedro tinha 20 figurinhas. Ele terminou o jogo com 8 figurinhas. Oque aconteceu no decorrer do jogo? GRUPO 3: situações ligadas à ideia de comparação. Nesse grupo estão as situações vinculadas. Nesse grupo estão as situações vinculadas à terceira categoria apontada por Vergnaud (2009), ou seja, uma relação liga dois números naturais, por comparação. Os exemplos a seguir, retirados dos PCN (2009, p. 70), mostram as ideias de comparar: Ex. 1: No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20 e Carlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos? Ex. 2: Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. Quantas figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo? Ex. 3: Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. Quantas figurinhas tem Carlos? GRUPO 4 : estão as situações que supõem a compreensão de mais de uma transformação (positiva ou negativa). Nesse grupo estão as situações vinculadas às quarta categoria categoria apontada por Vergnaud (2009), ou seja, duas transformações se entrelaçam para resultar em uma transformação, conforme mostram os exemplos a seguir, retirados dos PCN (2009, p. 107): Ex. 1: — No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo? Ex. 2: No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e ganhou 7 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo? Ex. 3: Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo? É importante observar que em cada grupo as ideias exploradas relacionam tanto à adição quanto à subtração, reforçando a orientação de que essas precisam ser trabalhadas conjuntamente, como integrantes de um campo conceitual que possuem um conjunto de situações, de invariantes operacionais (esquemas, algoritmos) e de símbolos e signos matemáticos utilizados com a função representativa. Assim, o desenvolvimento das habilidades relativas à resolução de problemas do campo aditivo, requer a compreensão de todas essas ideias, motivo pelo qual se infere que o trabalho leva tempo e não pode ser reduzido apenas à etapa inicial do ensino fundamental. É importante também que na etapa final tais ideias sejam trabalhadas. Esses mesmos significados são explorados nos PCN de Matemática para os anos finais (BRASIL, 1998b, p. 108), incorporando as operações também com números racionais e inteiros e as demais categorias apontadas por Vergnaud (2009). 5. RESULTADOS E DISCUSSÃO A fim de possibilitar uma melhor análise dos resultados da pesquisa de campo, a discussão será feita em quatro etapas correspondentes às atividades que foram propostas aos alunos, no âmbito do Projeto de Extensão “Matemática – nenhum a menos”, com o objetivo de fazê-los avançar na compreensão das situações aditivas. 12 1ª ETAPA: O TAPETINHO E A COMPREENSÃO DA ESTRUTURA DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Conforme já foi dito, os professores indicaram que os alunos tinham dificuldade na compreensão da estrutura do sistema de numeração decimal. Isso se confirmou no acompanhamento dos cadernos dos alunos e das atividades propostas por seus professores. Muitos deles apresentavam erros tanto nos exercícios como nos problemas, principalmente nas operações que implicava o agrupamento, comumente chamado de “vai um”, na adição e o desagrupamento, comumente chamado de “pedir emprestado” na subtração. Consideramos que essa incompreensão poderia ser um obstáculo à resolução de problemas do campo conceitual aditivo. Em razão disso, a primeira atividade proposta foi o “Tapetinho” que na verdade é um tabuleiro em forma de QVL (Quadro Valor de Lugar) que possibilita aos alunos fazerem agrupamentos e desagrupamentos de palitos o para compreensão da composição de da decomposição do número. Com o tapetinho, foi jogado o “Nunca 10” (ANEXO A), usando palitos inicialmente e, posteriormente, com material dourado. As figuras 3 e 4, a seguir, mostram o tapetinho. Figura 3. Tapetinho Figura 4. Alunos jogando o Nunca 10 com material dourado O jogo foi realizado em grupos de 5 ou 6 alunos. Cada aluno na sua vez lançava um dado e pegava a quantidade correspondente, que era então colocada na coluna das unidades. Toda vez que formava uma dezena tinham que agrupar a quantidade amarrando com elásticos, que era então colocada na coluna das dezenas. Ganhava o jogo o primeiro aluno que agrupando palitos formasse uma centena. Nesse processo os alunos de maneira lúdica e intuitiva iam agrupando, compondo quantidades e consequente realizando as operações mentais de juntar, acrescentar e comparar, que estão na base do campo conceitual aditivo (VERGNAUD, 2009). Quando o primeiro aluno completava uma centena era a hora de desmanchar os agrupamentos de palitos até não restar mais nenhum no tapetinho. Nesse momento, os alunos também de forma intuitiva iam desagrupando, decompondo quantidades e, consequentemente, realizando as operações mentais de separar, retirar, diminuir e comparar que estão também na base do campo conceitual aditivo. O fragmento abaixo mostra o diálogo entre o pesquisador e o aluno Eliandro que acumulou em seu tapetinho nove amarrações com dez palitos na coluna das dezenas e seis palitos ficaram sobrando na coluna das unidades. Ele jogou dois dados e obteve a quantidade 8 que deveria ser acrescida ao que já tinha. Nesse momento ele diz Eliandro: Pesquisador: Eliandro: — eu passei da casa de dezena, eu ganhei”. — E “porque ele você ganhou? . — “Eu cheguei a cem”. 13 Pesquisador: Ele orgulhoso dizia: Eliandro: — Certo, mas se não é mais dezena ou unidade era o que então. “Então o que é uma centena? — é uma centena, porque aqui cem palitos com mais quatro aqui. E continuava a explicação : Eliandro: — Oxe, professor, olha aqui são dez dezenas. Ah, professor, eu já posso amarrar essas dez também. Esse fragmento mostra a compreensão do aluno da estrutura do sistema de numeração decimal. Mostra que ele compreende o que é unidade, dezena e centena. O jogo “Nunca dez” possibilitou o alargamento dessa compreensão. Isso se manifestou nas atividades propostas a seguir, bem como nos exercícios deixados pelos professores e que implicavam no uso dessa estrutura. Após várias edições do jogo “Nunca 10” com palitos, foi introduzido o material dourado, que apresenta uma dificuldade adicional, pois implica não apenas em amarrar os palitos, mas na troca de 10 cubinhos por uma barra que representa a dezena. No entanto, não se observou dificuldade nesse processo. O PCN (BRASIL 1998a) fala da importância do aluno utilizar o número como instrumento ou ferramenta para representar e resolver situações-problema. Nesse sentido, o jogo “Nunca dez”, representou uma situação lúdica e significativa para os alunos utilizarem quantidades e suas representações em um contexto de situações aditivas. “Esse jogo contribuiu efetivamente para que os alunos compreendessem o desagrupamento nas operações de adição e subtração que implicava na composição (vai um) e na decomposição pegar emprestado”). 2º ETAPA: CIRCUITO DE PROBLEMAS DO CAMPO CONCEITUAL ADITIVO. Para analisar o desempenho dos alunos na resolução de problemas do campo aditivo, foi montado um circuito de problemas (ANEXO B). Esse circuito teve um caráter diagnóstico e era constituído de dezesseis problemas que foram impressos em tamanho grande e colocados de quatro em quatro sobre as bancadas do laboratório onde o projeto de extensão é desenvolvido. Os alunos foram orientados a escolher oito dos dezesseis problemas para resolverem, mas ao final, retornaram resolvendo os problemas deixados de lado. A figura 5, a seguir, mostra alunos resolvendo os problemas do circuito. Figura 5. Circuito de problemas Uma primeira análise revela que o formato de circuito atraiu bastante os alunos. Podemos inferir que a motivação foi alta pelo simples fato de eles poderem se movimentar em volta da mesa e fazer escolhas. 14 Os alunos foram orientados a resolver os problemas do jeito que quisessem, ou seja, não foi cobrado que eles utilizassem algoritmos padronizados. Os problemas do circuito relacionavam-se às situações dos grupos 1, 2, 3 e 4, descritos nos PCN e já mencionados nesse artigo. Essas situações, por sua vez, relacionavam-se às ideias de juntar, separar, completar, comparar, ganhar, perder e havia também problemas envolvendo mais de uma dessas ideias. A partir do circuito foi possível elaborar um plano de ação para o desenvolvimento das habilidades relacionadas ao campo conceitual aditivo, intervindo nos obstáculos observados nos registros escritos dos alunos e que os impediam, em menor ou maior grau, terem sucesso e segurança na resolução dos problemas. Na construção dos problemas procuramos contextos que pudessem ser significativos para os alunos, como por exemplo os relacionados à esportes, jogos, brinquedos, animais, carros, etc, pois Segundo Vergnaud (2003, p. 85) “as tarefas escolares não são, em sua natureza, diferentes das tarefas que uma criança pode enfrentar na sua vida cotidiana”. No circuito aconteceu algo curioso. Como eles tinham que escolher apenas 8 dos 16, simplesmente não liam o problema, escolheram baseados no critério “tamanho do texto” e não na dificuldade. Muito embora não fosse um jogo a situação foi lúdica e mesmo sem a nossa orientação, eles disputaram para ver quem terminava primeiro. Ao final, solicitamos que retornassem para ler os problemas que haviam deixado e eles, então, chegaram a conclusão que os maiores não eram os mais difíceis. 5.1 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 1 Para análise das situações do GRUPO 1 foram escolhidos os problemas de números 1, 10 e 15 do circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas a ideia descrita na primeira categoria de Vergnaud (2009), em que “dois números naturais se compõem para resultar em um terceiro numero natural.” O problema 10 envolve a ideia de juntar duas quantidades para compor em uma quantidade total. Problema 10 No estacionamento do restaurante comunitário há 12 gols e 17 pálios. Quantos carros há nesse estacionamento? Trata-se de um problema bem simples e com quantidades pequenas, sem necessidade de agrupamento. Todos os alunos resolveram por meio de uma adição e acertaram o resultado. O problema 1, do mesmo grupo, envolve a ideia de obter uma quantidade a partir da composição de outras duas. Esse era um pouco mais difícil, pois envolvia quantidades maiores e exigia o desagrupamento. Problema 1 Em uma escola havia 548 alunos. Desse total, 389 eram meninas. Quantos meninos havia na escola? Observamos que 8 alunos compreenderam a ideia, escolhendo a operação de subtração para resolver o problema. Esses 8 alunos erraram no desagrupamento, como mostra a figura 6 a seguir com a resolução da aluna Thais. 15 Figura 6: resolução do problema 1 – Thais (12 anos) Do grupo de 18, apenas 3 alunos obtiveram acerto total tanto na operação quanto do procedimento correto para atingir a resposta. Os demais não conseguiram resolver adequadamente o problema e apenas somaram as quantidades, demonstrando incompreensão na leitura/interpretação do problema. O problema 14 também envolve a ideia de se obter uma quantidade pela composição de outras duas, mas nesse caso a linguagem é uma dificuldade visto que fala em “algumas tartarugas”, uma quantidade ausente que acrescida a quantidade presente de coelhos forma o total de animais. Problema 14 Na casa de Raimundo há algumas tartarugas e 18 coelhos, sendo o total de 29 animais. Quantas tartarugas há na casa de Raimundo?” É importante observar que embora o raciocínio seja aditivo, pois a quantidade de tartarugas mais a quantidade de coelhos dá o total de animais, a escola, em geral, exige que os alunos resolvam por meio de uma subtração. Metade dos alunos não conseguir resolver adequadamente e a maioria dos alunos procederam como a aluna Bianca que apenas somou as quantidades, como mostra a figura 7, a seguir. Figura 7. Resolução do problema 14 – Bianca (13 anos) A análise dos resultados indica a necessidade de dar continuidade ao trabalho com a estrutura do sistema de numeração decimal e também com a leitura/interpretação das situações. 5.2 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 2 Para análise das situações do GRUPO 2 foram escolhidos os problemas de números 11 e 13 do circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas à ideia descrita na segunda categoria de Vergnaud (2009), em que “uma transformação opera sobre um numero natural resultando em outro numero natural.” Essa transformação tanto pode ser positiva, quanto negativa. 16 O problema 11 envolve uma transformação positiva, associada à ideia de ganhar. Trata-se de um problema fácil, em que não há necessidade de fazer agrupamento na adição. Problema 11 Amanda ganhou de sua mãe 12 canetinhas. E do seu pai ganhou 16 canetinhas. Quantas canetinhas ela tem agora? Dos 18 alunos, apena um não interpretou corretamente e resolveu por meio de uma subtração. Os demais resolveram corretamente. O problema 13 envolve uma transformação negativa, associada à ideia de perder. É também um problema de fácil, em que não há a necessidade de fazer desagrupamento na subtração. Problema 13 Eduardo tinha 26 bolinhas de gude. Jogando com Carlos perdeu 11. Quantas bolinhas de gude Eduardo tem agora? O problema 13 apresentou um equilíbrio de acertos e erros. Dos 18 alunos, 10 somaram as quantidades ao invés de subtrair, demonstrando dificuldade na interpretação da situação. A análise indica a necessidade de aprofundar o trabalho de leitura/interpretação das situações que envolvem transformações positivas e negativas. Muito embora as ideias de ganhar e perder sejam bastante comuns, o índice de erros, superior a 50% do total de alunos, mostra que tais ideias no contexto educacional não são triviais. 5.3 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 3 Para análise das situações do GRUPO 3 foram escolhidos os problemas de números 7 e 8 do circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas à ideia descrita na terceira categoria de Vergnaud (2009), em que “uma relação liga dois números naturais” por comparação. O problema 7 é um típico problema do terceiro grupo que envolve a ideia de comparar e completar quantidades. Para saber quantas páginas o livro de Alexandre tem a mais que o livro de Rita, o aluno deve comparar as quantidades. Para saber quantas páginas faltam para ambos terminar de ler, eles precisam utilizar a ideia de completar quantidade que também é uma ideia comparativa. Problema 7 Rita e Alexandre gostam muito de ler. O livro que Rita está lendo tem 120 páginas e ela leu 40 páginas. Alexandre está lendo um que tem 228 páginas e ele já leu 57 páginas. a)Quantas páginas o livro de Alexandre tem a mais que o livro de Rita ? b)Quantas páginas faltam para Rita terminar de ler o livro? c)Quantas páginas faltam para Alexandre terminar de ler o livro? No item “a”, a expressão “a mais” não indica a operação de adição. Nesse tipo de problema, os alunos, em geral, têm mais dificuldade. Entretanto, isso não ocorreu muito provavelmente em virtude de um aluno ter feito a mediação necessária para a compreensão do problema, como descrevemos a seguir. 17 O aluno Eliardo pegou o seu caderno de 20 matérias e seu livro didático de Matemática e emparelhando os dois disse: “não é para fazer conta de mais.” Ele ainda justificou: “se fizer conta de mais, a gente está juntando todas as páginas.” Isso foi suficiente para que todos compreendessem que a operação necessária era a de subtração. Como todos podiam circular livremente pelas bancadas, eles se aglomeraram em torno da bancada do problema 7 para o resolverem. A figura 8, a seguir, mostra o registro do aluno Eliardo para o problema. Figura 8. Resolução do problema 7, item a – Eliandro (11 anos) Os itens “b” e “c” do problema 7 questiona quantas paginas faltam para Rita e Alexandre terminarem de ler o livro, respectivamente. A maioria dos estudantes deixaram os itens sem resposta. Apenas três alunos obtiveram êxito e respondendo quase da mesma forma que a aluna Bia, cujo registro é mostrado na figura 9, a seguir. Esses alunos utilizaram a operação de subtração para resolver o problema. Figura 9. Resolução do problema 7, itens a, b e c – Bia (12 anos) As análises indicam que a necessidade de ampliar a compreensão dos alunos de situações problemas que envolvem as ideias de comparar e completar. O baixo número de alunos que conseguiram resolver corretamente os problemas indica que esse é o grupo de situações com apresenta maior dificuldade. Por outro lado, indica também a possibilidade dos estudantes ajudarem uns aos outros, conforme prevê o projeto de extensão “Matemática – nenhum a menos.” 5.4 ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO GRUPO 4 Para análise das situações do GRUPO 4 foi escolhidos o problema de números 16 circuito. Nesse grupo estão as situações ligadas à ideia descrita na quarta categoria de Vergnaud (2009), em que “duas transformações se entrelaçam para resultar em uma transformação”o, ou, em outras palavras situações que possuem mais de uma transformação. O problema 16 possui uma transformação positiva, pois Julina ganha 16 bonecas, mas a quantidade de bonecas que ela tem antes de ganhar é um dado desconhecido, o que resulta em uma dificuldade adicional, pois embora seja uma transformação positiva, para ter acesso a essa quantidade, o aluno tem que fazer uma subtração. Além disso, o problema tem um dado desnecessário, ou seja, para saber quantas bonecas Juliana tinha antes do natal, não é necessário saber que ela doou 6 bonecas para o bazar. Muito embora o problema traga quantidades pequenas, estas peculiaridades tornam o problema mais difícil. 18 Problema 16 Juliana tinha algumas bonecas antes do natal, ganhou16 dos seus parentes no dia de Natal e ficou com 30 bonecas, mas doou para o bazar 6 bonecas. Quantas bonecas ela tinha antes do natal?” Dos 18 alunos, apenas a aluna Bia acertou o problema, conforme registro mostrado na figura 10, a seguir. Isso mostra que a situação se revelou mesmo muito difícil para os alunos. Figura 10. Resolução do problema 16 – Bia (12 anos) Os demais não conseguiram interpretar a situação. Muitos até resolveram corretamente, mas somavam ou subtraiam do resultado as 6 bonecas que foram doadas. Outros, ainda, apenas subtraíram as 6 bonecas da quantidade 30. Isso revela que os alunos pensam que todos os dados de um problema devem ser utilizados, independentemente da leitura/interpretação. A análise indica a necessidade de um planejamento que incorpore à organização do trabalho pedagógico problemas com mais de uma transformação, com várias ideias e também problemas com dados necessários. De modo geral, o Circuito de problemas do campo conceitual aditivo revelou uma grande fragilidade dos alunos na resolução dos problemas, sobretudo na leitura/interpretação das situações. Foi observado que os alunos participantes, que ao se deparar com situações desconhecidas, questionavam: “professor, é de mais ou de menos?” Muitas vezes faziam uma leitura rápida e diziam: “professor, o que eu uso para achar o resultado?”. Em muitas situações os alunos expressavam indignação ou desânimo dizendo: “eu não entendi nada!”. Por meio dessa atividade diagnóstica, percebemos que haviam obstáculos a serem superados para que os alunos do 6º ano, participantes do projeto de extensão, avançassem no desenvolvimento das habilidades relativas à resolução de problemas do campo conceitual aditivo. Nosso principal questionamento era: que situações podem tornar significativa a aprendizagem dos conceitos de adição e subtração? 3º ETAPA. ANALISE DE TAREFAS E OFICINAS PARA SUPERAÇAO DOS POSSÍVEIS OBSTÁCULOS Após a realização do circuito de problemas, as folhas de respostas dos alunos foram minuciosamente observadas e os erros foram categorizados. Observamos que haviam duas categorias de erros. A primeira era resultado do baixo domínio da estrutura do sistema decimal. Os alunos liam e interpretavam corretamente os problemas, mas erravam as operações, sobretudo quando havia agrupamento e desagrupamento. O segundo estava à leitura/interpretação da situação, sobretudo à noção mecânica de relacionar as expressões “ a mais” ou “ a menos” dos problemas, com as operações de adição e subtração. Para Vergnaud (2009) ao analisar acertos e erros o mediador tem a possibilidade de compreender os procedimentos dos alunos e as dificuldades que ele enfrenta, para assim poder fornecer meios de remediar essa situação. 19 Feito isso, cada aluno foi convidado a analisar seu próprio erro, momento em que íamos realizando as mediações e intervenções necessárias para que ele compreendesse seu próprio pensamento e pudesse avançar nas hipóteses que não resultaram em acerto. Em seguida, planejamos uma série de atividades, que passamos a relatar: 6. CONSTRUÇÃO DE PROBLEMAS ADITIVOS E A VIVÊNCIA DE SITUAÇÕES ENVOLVENDO O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO Consideramos que os alunos avançariam muito na superação dos obstáculos apresentados se eles pudessem agir mais concretamente sobre as situações. Em razão disso criamos várias situações em que eles podiam ser os protagonistas, resolvendo problemas concretos, por meio de cálculos mentais e escritos. As atividades envolviam jogos, contagem de objetos, comparação de pontos, comparação de objetos enfileirados, entre outros. As figuras 11 e 12, a seguir mostra uma das atividades. Figura 11. Pulando os obstáculos. Figura 12. Comparando as tampinhas. Também consideramos que era absolutamente necessário trabalhar as duas operações de forma conjunta como aponta a teoria dos campos conceituais. Segundo Vergnaud (2009) a subtração não precisa ser definida como uma operação inversa da adição, pois ela tem uma significação própria. Ela afirma que a maior necessidade e de mostrar o caráter oposto e recíproco da adição e da subtração. Paralelamente ao trabalho de construção dos problemas, íamos discutindo os problemas que tinham gerado dúvidas e erros no Circuito. Nesse processo solicitávamos aos alunos que reconstruíssem suas respostas. Em um desses momentos percebemos que Vergnaud (2009, 2003) realmente tinham razão quanto o caráter recíproco das operações de adição e subtração. A figura 11, a seguir, mostra que o aluno Ricardo utiliza uma adição para resolver o problema 07 e seu registro não o impede de dar a resposta correta. 20 Figura 13. Resolução do problema 7 – Ricardo (11 anos) Como os alunos demostraram grandes dificuldades com os problemas do GRUPO 3, associados aos esquemas relativos a “quantos faltam para”, “qual a diferença”, “quantos a menos” e “quantos a menos”, decidimos priorizar tais situações. Uma das atividades consistia na montagem de cenário que remetesse à ideia de comparação. O cenário era constituído de duas representações físicas de carrinhos e tampinhas emparelhados um a um. Solicitamos então que eles elaborassem perguntas sobre o cenário. Essas perguntas na verdade eram problemas. O resultado foi bastante satisfatório, pois todos os alunos construíram perguntas que se relacionavam aos três grupos de situações (BRASIL, 1998) ou as três categorias (VERGNAUD, 2009) de que temos falado. Depois de construídas as perguntas eram trocadas, para que os colegas respondessem as perguntas uns dos outros. Nesse momento o colega avaliava se a linguagem estava clara e, se não estivesse, devolvia ao autor para reformulação. O processo de criação de problemas a partir do cenário de carrinhos e tampinhas possibilitou aos alunos refletirem sobre as mais diversas situações do campo conceitual aditivo. A figura 11, a seguir, mostra o registro de Leandro para o cenário dos carrinhos. O problema criado por eles refere-se ao Grupo 3 e traz a ideia de completar, de “quantos faltam para”. Figura 14. Problema criado por Leandro (12 anos) A partir do cenário das tampinhas, a aluna Paula elaborou um problema do Grupo 1, como mostra a figura 12. Figura 15. Problema criado por Paula (11 anos) 21 4ºETAPA APLICAÇÃO DA PROVA BRASIL COM PROBLEMAS ADITIVOS A 4ª etapa da pesquisa consistiu na aplicação de uma lista contendo 10 exercícios da Prova Brasil2 (ANEXO C), que foram retirados do Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011), divulgado pelo Ministério da Educação (MEC), no site do Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP). Descritor 13: Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional. Descritor 17:Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. Descritor 19: Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da adição ou subtração: juntar, alteração de um estado inicial (positiva ou negativa), comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa) (BRASIL, 2011) A seguir, apresentamos o item, o desempenho dele na Prova Brasil e o desempenho dos participantes do projeto. O ITEM 3 da lista, relativo ao descritor 13, exigia que do aluno reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal em uma situação contextualizada, ou seja, o aluno teria que saber a quantidade de centenas do número 7.500. O Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011) mostra que apenas 25% dos alunos acertaram ao item. Trata-se, portanto, de um item difícil. Figura 16. Item do descritor 13 retirado do caderno da Prova Brasil A tabela a seguir, mostra que o desempenho dos alunos do Projeto foi bastante superior, pois 13 acertaram ao item porque escolheram a alternativa B, o que representa aproximadamente 72% do total de 18 alunos. 03 alunos, ou 17%, foram atraídos para a alternativa A e 02 alunos, ou 11%, foram para a alternativa D. Nenhum aluno escolheu a alternativa C. Tabela 1 – Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa A B C D 17% 72% 0% 11% O resultado indica que os alunos desenvolveram a habilidade, visto que o item não é trivial. Não se trata de apenas identificar o valor posicional de um número, mas perceber que no número 7500, há 75 centenas. 2 3 Avaliação nacional de caráter censitário aplicada ao 5º e 9º ano do ensino fundamental, cujo nome oficial é Unidade que compõe a Matriz de Referência e que descreve uma habilidade. 22 O ITEM 9 da lista, relativo ao descritor 17, exigia que o aluno efetuasse uma adição de números naturais. Para chegar o resultado, o aluno terá que realizar a composição (vai um). De acordo com as informações do Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011), 72% dos alunos brasileiros acertaram ao item, que se mostrou fácil. Figura 17. Item do descritor 17 retirado do caderno da Prova Brasil A tabela a seguir, mostra que o desempenho dos alunos do Projeto foi muito bom, pois os 18 alunos acertaram ao item porque escolheram a alternativa D. Tabela 2 – Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa A B C D 100% O ITEM 10 da lista, relativo ao descritor 19, exige que o aluno resolva um problema complexo, pois envolve a comparação de quantidades e também a transformação positiva, portanto, é uma situação do grupo 4. De acordo com as informações do Caderno da Prova Brasil (BRASIL, 2011), 27% dos alunos brasileiros acertaram ao item. Esse dado mostra que o item se revelou muito difícil. 23 Figura 18. Item do descritor 19 retirado do caderno da Prova Brasil A tabela a seguir, mostra que o desempenho dos alunos do projeto foi bastante superior à média nacional. Dos 18 alunos que responderam ao item, 12 ou 67% do total, escolheram a alternativa D, que é a correta. Mas 4 alunos, ou 22% do total, escolheram a alternativa A. Um aluno, ou 5,5% do total, escolheu a alternativa B e também 1 aluno, ou 5,5% escolheu a alternativa C. Tabela 3 – Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa Percentual de respostas as alternativas pelos alunos da Pesquisa A B C D 22% 5,5% 5,5% 67% O resultado mostra que os quatro alunos que marcaram a alternativa A apenas repetiram um dado do enunciado. O aluno que assinalou a alternativa B somou 210 à diferença resultante de 3879 e 2416. E o aluno que marcou a alternativa C somou duas vezes 210 à diferença. Muito embora o resultado mostre que o desempenho tenha sido melhor que a média nacional, as respostas indicam que os alunos ainda têm dificuldade em problemas que envolvem a categoria 3 de Vergnaud (2009), que exige que o estabelecimento de uma relação entre dois números por meio da comparação, em síntese, problemas em que eles precisam calcular a diferença. O resultado revela ainda que os alunos têm dificuldade em resolver problemas que exigem a coordenação de mais de uma ideia. A figura 18, a seguir, mostra o processo de resolução da aluna Bia para o problema 10. Figura 19. Resolução do problema 10 pelo aluno Bia (11 anos) 24 O registro acima mostra que há muito para ser comemorado, mas os resultados indicam que ainda há muito por fazer. 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS O principal objetivo desta pesquisa foi analisar como alunos do 6º ano do ensino fundamental progridem no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos relativos ao campo conceitual aditivo. Para isso, tínhamos também como objetivo identificar situações que pudessem tornar essa aprendizagem significativa e analisar que tipo de mediação poderia ser feito para que acontecesse a construção conjunta dos conceitos das operações de adição e subtração. A primeira etapa da pesquisa, realizada com jogos sobre o tapetinho (QVL) permitiu confirmar o que os professores já haviam adiantado, os estudantes do 6º ano tinham dificuldades significativas em relação à estrutura do número e tais dificuldades eram obstáculos para a construção das habilidades relativas ao campo conceitual aditivo. Essa etapa mostrou também que os jogos são importantes instrumentos de mediação da aprendizagem matemática. Após a primeira etapa, percebemos que muitos alunos compreendiam os agrupamentos na base 10, valor posicional, composição e decomposição de quantidades. Além disso, eles passaram a errar menos nas adições e subtrações de números que implicavam na composição (vai um) e decomposição (pegar emprestado). No circuito de problemas do campo aditivo, que constituiu a segunda etapa da pesquisa, percebemos que alguns alunos ainda tinham problemas com a estrutura do número e também percebemos que a principal dificuldade dos alunos estava na resolução dos problemas do campo aditivo, que envolviam as ideias de comparar e completar, e também os problemas que envolviam a coordenação de mais uma ideia. Esses problemas, relativos aos Grupos 3 e 4 (BRASIL, 2008) correspondiam as categorias 3 e 4 de Vergnaud (2009). Tais situações mostraram as fragilidades dos alunos na resolução dos problemas, principalmente na leitura/interpretação das situações. Foi observado que os alunos tinham dificuldade com as terminologias de “a mais” ou “quantos faltam para”. A terceira etapa da pesquisa consistiu no desenvolvimento de atividades, principalmente para fazer os alunos avançarem na compreensão das situações do terceiro e quatro grupo. Após análise dos problemas do circuito e discussão dos mesmos, os alunos compreenderam a necessidade de ler/interpretar com mais cuidado cada problema, observando as terminologias de cada um, conforme defende (FERREIRA, 2002). As atividades foram desenvolvidas por meio de recursos lúdicos e situações contextualizados, que motivaram e desafiaram os alunos construirem esquemas para a resolução de problemas. As situações possibilitaram a construção conjunta do significado das operações como aponta a teoria dos campos conceituais (VERGNAUD, 2002, 2009), e a vivência de situações envolvendo o campo conceitual aditivo. Privilegiou-se nessa a ação concreta dos alunos e também a elaboração de problemas a partir de um contexto dado. A quarta etapa e última etapa da pesquisa, foi constituída da aplicação de uma lista com 10 itens da Prova Brasil, divulgados pelo Ministério da Educação. A resposta dos alunos mostram que muitos deles construíram habilidades relativas à estrutura do número e as ideias da adição e subtração, ou do campo conceitual aditivo. No entanto, ainda indicam que ainda é preciso investir na resolução de problemas do campo aditivo, para que seja consolidada a aprendizagem dos conceitos desse campo. 25 Como a maioria dos alunos apresentaram grandes dificuldades em produzirem problemas do campo aditivo, no que se refere ao domínio da língua portuguesa, podemos inferir também que a dificuldade de leitura e interpretação é um dos obstáculos à resolução de problemas. A pesquisa nos mostra, entretanto, que por meio de jogos e de situações contextualizadas e significativas para os alunos, como os esportes, por exemplo, é possível fazê-los progredir no desenvolvimento e na aprendizagem dos conceitos e adição e subtração. Estudos adicionais precisam ser feitos no sentido de acompanhar os alunos, por um período maior de tempo, tanto na resolução de problemas do campo aditivo, como na produção desses problemas. REFERÊNCIAS BIBILIOGRÁFICAS BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – anos iniciais. Brasília: MEC/SEF, 1998 a. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – anos finais. Brasília: MEC/SEF, 1998b. ______. Ministério da Educação. Plano de Desenvolvimento da Educação : prova Brasil Brasília :Ministério da Educação,2011. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/prova%20brasil_matriz2.pdf>. Acesso em: 29 maio 2012. D’AMBRÓSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? In: Temas e Debates – revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM, ano II, nº 2, 1989. COSTA, Antonio Carlos Gomes DA. Encontro e travessias: O adolescente diante de si mesmo e do Mundo. São Paulo – SP: Instituto Ayrton Senna, 2001.p. 83 – 84. FAVERO,Maria Helena. Psicologia e conhecimento : subsídios da psicologia do conhecimento para analise de ensinar e aprender.Brasília:Editora UNB,2005. FERREIRA, Nilton Cezar. C. Matemática: é preciso ler, escrever e se envolver. Disponível em: <http://scholar.google.com.br/scholar?q=MATEM%C3%81TICA%3A+%C3%89+PRECISO +LER%2C+ESCREVER+E+SE+ENVOLVER&hl=pt-BR&lr=&lr====>. Acesso em: 09 abr. 2012. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas-SP: Autores Associados, 2006. IGLIORI, Sonia B. C. A noção de “obstáculo epistemológico” e a educação matemática. In: MACHADO, Silvia D. A. et al. São Paulo: EDUC, 2002. 26 MOREIRA, Marco Antonio. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências (UFRGS), Porto Alegre, v. 7, n. 1, 2002. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID80/v7_n1_a2002.pdf>. Acesso em: 09 nov. 2011. SANTANA, Eurivalda Ribeiro dos Santos; OLIVEIRA, A. M.; CARZOLA, Irene Mauricio. Estruturas aditivas: um estudo de caso com alunos de 5ª série do Ensino Fundamental 2007. Disponível em: www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/.../PO52976777500T.doc. Acesso em: 08 nov. 2011. SANTANA, Eurivalda Ribeiro dos. Santos.; CAZORLA, Irene. Mauricio;CAMPOS Tânia Maria Mendonça. Desempenho de estudantes em diferentes situações no Campo Conceitual das Estruturas. In: III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2006. Disponível em: <http://www.fcc.org.br/pesquisa/publicacoes/eae/arquivos/1401/1401.pdf> Acesso em: 08 nov. 2011. VERGNAUD, Gerárd. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: Ed. da UFPR, 2009. ______. Teoria dos campos conceituais. In: NASSER, Lilian. (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro, 2003. p. 1-26. ______. Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro, 1993. p. 1-14 27 ANEXO A: Jogo “Nunca 10” Material: palitos, elásticos, um dado, fichas numéricas e tapetinho. Objetivo: compreender o agrupamento (composição) e desagrupamento (decomposição) do número dentro do sistema de numeração decimal Regras: jogo para equipes de 4 ou 5 estudantes. Cada jogador, na sua vez, lança o dado e pega o número de palitos correspondente. Se a quantidade for maior ou igual a dez ele deve amarrar formando grupos de 10. O grupo de 10 deve passar para a segunda coluna (grupos). Se a quantidade for menor, ele deve esperar a próxima rodada para fazer o agrupamento caso tenha 10 palitos. A idéia é que “Nunca 10” palitos ficam soltos. A cada jogada, o estudante deve registrar a quantidade com as fichas numéricas. Ganha a primeira fase do jogo o jogador que formar 10 grupos de 10 ou um grupo de 100 primeiro. Nessa primeira fase está acontecendo à composição do número. A hora que o primeiro estudante formar o grupão, todos param e começa o processo inverso. Agora cada jogador vai desmanchar grupos de acordo com a quantidade tirada no dado. Se tiver tirado, por exemplo, 9 no dado e não tiver palitos soltos, deverá desmanchar um grupo de 10 para poder retirar o 9. Desta forma, os jogadores estarão desagrupando palitos ou decompondo o número. Na segunda fase, ganha o jogo quem primeiro terminar de desagrupar, ou seja, tiver ficado sem palitos na mão. Uma regra, em geral, criada pelas crianças é que se a pessoa tiver 6 palitos na mão, só pode vencer caso tenha tirado 6. Se tirar mais que 6 deverá aguardar uma nova rodada. Idade: a partir dos 6 anos. O tapetinho que pode ser construído numa tampa de caixa de sapato, numa metade de folha de cartolina ou em uma folha de emborrachado. Centena Dezena Unidade Grupões Grupos Soltos 2. Nunca 10 simbólico – neste caso deve se usar palitos coloridos e definir uma cor para a unidade, uma cor para a dezena e uma cor para a centena. Ex: soltos ou unidades – palito verde grupos ou grupos de 10 – palito azul grupões ou grupos de 10 x 10 – palito vermelho 3. Nunca 10 com dinheirinho – usando as notinhas de um, dez e cem. 4. Nunca 10 utilizando o material dourado. 5. Nunca 10 utilizando o ábaco. 28 ANEXO B: Circuito de Problemas. 1)Em uma escola havia 548 alunos. Desse total, 389 eram meninas. Quantos meninos havia na escola? 2)Em uma banca na feira há 127 laranjas e 235 maças. Quantas frutas há na banca? 3)Para comemorar o aniversário de Paulo, sua mãe comprou 220 latas de refrigerante de laranja,370 latas de refrigerante de limão e algumas latas de refrigerante de uva. O total de latinhas era de 700. Quantas latas de refrigerante de uva foram compradas ? 4)Durante o ano, Caio conseguiu juntar R$127,00,economizando da mesada que recebe. Caio também ganhou R$184,00 de presente do seu avô. Quanto Caio tem em dinheiro? 5) Mariana é desenhista e tinha 98 lápis de cor. Ela comprou uma caixa com mais 36 lápis. Quantos lápis ela tem agora? 6)Carlos colecionava carrinhos em miniatura. Ele conseguiu juntar 96 carrinhos. Ele deu 29 carrinhos para um amigo. Com quantos carrinhos Carlos ficou ? 7)Rita e Alexandre gostam muito de ler. O livro que Rita está lendo tem 120 páginas e ela leu 40 páginas. Alexandre está lendo um que tem 228 páginas e ele já leu 57 páginas. a)Quantas páginas o livro de Alexandre tem a mais que o livro de Rita ? b) Quantas páginas faltam para Rita terminar de ler o livro? c)Quantas páginas faltam para Alexandre terminar de ler o livro? 8)O time de basquete o Brasília disputou a final de um campeonato com o Flamengo-RJ. Na final, denominada melhor de três, venceu a equipe que ganhou o maior número de partidas. Veja os resultados das duas equipes na tabela a seguir Brasília 78 X 82 Flamengo Brasília 102 X 99 Flamengo Brasília 99 x 97 Flamengo a)Quem ganhou o campeonato? b)Quantos Pontos fez o Brasília nas três partidas? c)Quantos pontos fez o Flamengo nas três partidas? d) Qual é a diferença entre o numero de pontos do Brasília e numero de pontos do Flamengo? 9)Na decisão de um campeonato de basquete, foram realizadas três partidas. Na primeira partida, compareceram 2.853 pessoas ao ginásio. Na segunda, 1.987 e, na final, 3.587? a)Em qual partida o publico foi maior? b)Nos três jogos, quantas pessoas compareceram no total? c)Qual a diferença de publico entre o terceiro e o primeiro jogo? 10) No estacionamento do restaurante comunitário há 12 gols e 17 Pálios. Quantos carros há nesse estacionamento? 11)Amanda ganhou de sua mãe 12 canetinhas. E do seu pai ganhou 16 canetinhas. Quantas canetinhas ela tem agora? 12)Na casa da vovó há alguns cachorros e 26 gatos, sendo o total de 48 animais. Quantos cachorros há na casa da vovó? 13)Eduardo tinha 26 bolinhas de gude. Jogando com Carlos perdeu 11.Quantas bolinhas de gude Eduardo tem agora? 14)Na casa do seu Raimundo há algumas tartarugas e 18 coelhos, sendo o total de 29 animais. Quantas tartarugas há na casa de Raimundo? 15)Na casa de Raimundo há algumas tartarugas e 18 coelhos, sendo o total de 29 animais. Quantas tartarugas há na casa de Raimundo ? 16) Juliana tinha algumas bonecas antes do natal, ganhou 16 dos seus parentes no dia de Natal e ficou com 30 bonecas, mas doou para o bazar 6 bonecas. Quantas bonecas ela tinha antes do natal? ANEXO C – Lista de problemas da Prova Brasil Resolva os problemas abaixo, deixando registrados todos os seus cálculos: 1. (PB – 5º ano) Uma escola recebeu a doação de 3 caixas de 1 000 livros, mais 8 caixas de 100 livros, mais 5 pacotes de 10 livros, mais 9 livros. Esta escola recebeu (A) 3 589 livros. (B) 3859 livros. (C) 30 859 livros. (D) 38 590 livros. 2. (PB – 5º ano) No número 10.060, o algarismo 6 ocupa a ordem da (A) Centena simples (B) Dezena simples (C) Unidade simples (D) Dezena de milhar 3. (PB – 5º ano) O litoral brasileiro tem cerca de 7.500 quilômetros de extensão. Este número possui quantas centenas? (A) 5 (B) 75 (C) 500 (D) 7.500 4. (PB – 5º ano) Um número pode ser decomposto em 5 x 100 + 3 x 10 + 2. Qual é esse número? (A) 532 (B) 235 (C) 523 (D) 352 5. (PB – 5º ano) Adriana vai fazer esta subtração: 679 – 38 O resultado dessa operação será (A) 299 (B) 399 (C) 631 (D) 641 6. (PB – 5º ano) Faltam 31 dias para o aniversário de João. Quantas semanas completas faltam para o aniversário dele? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 30 7. (PB – 5º ano) Numa fazenda, havia 524 bois. Na feira de gado, o fazendeiro vendeu 183 de seus bois e comprou mais 266 bois. Quantos bois há agora na fazenda? (A) 507 (B) 607 (C) 707 (D) 727 8. (PB – 9º ano) Pedro e João jogaram uma partida de bolinhas de gude. No final, João tinha 20 bolinhas, que correspondiam a 8 bolinhas a mais que Pedro. João e Pedro tinham juntos (A) 28 bolinhas. (B) 32 bolinhas. (C) 40 bolinhas. (D) 48 bolinhas. 9.(PB – 5º ano) No mapa abaixo está representado o percurso de um ônibus que foi de Brasília a João Pessoa e passou por Belo Horizonte e Salvador. João Pessoa 956 km Salvador Brasília 714 km 1430 km Belo Horizonte Quantos quilômetros o ônibus percorreu ao todo? (A) 1670 km. (B) 2144 km. (C) 2386 km. (D) 3100 km. 10. (PB – 5º ano) Na escola de Ana há 3 879 alunos. Na escola de Paulo há 2 416 alunos. Então, a diferença entre elas é de 1 463 alunos. Se, no próximo ano, 210 alunos se matricularem em cada escola, qual será a diferença entre elas? (A) 2 416 alunos. (B) 1 673 alunos. (C) 1 883 alunos. (D) 1 463 alunos.