os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de
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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ELIZABETH FRACCAROLI JAMMAL OS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS UTILIZADOS NO ESTUDO DAS NOÇÕES DE PONTO E RETA NO PLANO NO ENSINO MÉDIO SÃO PAULO 2011 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ELIZABETH FRACCAROLI JAMMAL OS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS UTILIZADOS NO ESTUDO DAS NOÇÕES DE PONTO E RETA NO PLANO NO ENSINO MÉDIO Dissertação submetida à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência para defesa de dissertação para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Marlene Alves Dias. SÃO PAULO 2011 J31o Jammal, Elizabeth Fraccaroli Os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio./ Elizabeth Fraccaroli Jammal. São Paulo: [s.n.], 2011. 244 fl..il; 30 cm. Dissertação de Mestrado para a obtenção do Título de Mestre em Educação Matemática. Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo. Orientadora: Professora Dra. Marlene Alves Dias 1. Ponto e Reta 2. Teoria Antropológica do Didático 3. Quadros 4. Níveis de Conhecimento 5. Ponto de Vista I. Título CDD: 372.7 ELIZABETH FRACCAROLI JAMMAL OS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS UTILIZADOS NO ESTUDO DAS NOÇÕES DE PONTO E RETA NO PLANO NO ENSINO MÉDIO DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Presidente e Orientador Nome:____________________________________________________ Titulação:__________________________________________________ Instituição:_________________________________________________ Assinatura:_________________________________________________ 2ª Examinador Nome:____________________________________________________ Titulação:__________________________________________________ Instituição:_________________________________________________ Assinatura:_________________________________________________ 3ª Examinador Nome:____________________________________________________ Titulação:__________________________________________________ Instituição:_________________________________________________ Assinatura:_________________________________________________ Biblioteca Bibliotecário:_______________________________________________ Assinatura:________________________________ DATA ___/___/___ . São Paulo, ___ de __________ de Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura:____________________________Local e Data:_______________ Não creio em nada e de nada descreio. O que concebe a imaginação aproxima-nos tanto da verdade como o que pode provar a matemática. Charles Chaplin Dedico este trabalho a: Meu pai (in memorian): mostrou ser um doutor na sabedoria da vida, mesmo tendo frequentado por pouco tempo os bancos escolares. Dele herdei valores morais, honestidade nas lutas pela vida e a rebeldia contra o comodismo. Minha mãe (in memorian): a quem nem o sofrimento e desencantos da vida fizeram perder a dignidade, o afeto e o amor materno. Dela herdei a paciência e o espírito de luta. Minha filha: fonte de minhas mais profundas buscas. Nela encontrei a coragem e me reencontrei. AGRADECIMENTOS A Professora Dra. Marlene Alves Dias, amiga e orientadora, pelo carinho com que me acolheu, pela atenção cedida em todos os momentos, pelo acompanhamento constante na realização do trabalho, comentando, sugerindo, desafiando e, sobretudo acreditando no meu desempenho. As professoras Dra. Maria Helena Palma de Oliveira e Dra. Marger da Conceição Ventura Viana pelas correções e sugestões oferecidas na qualificação. Aos colegas e professores do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da UNIBAN, pelas contribuições nos debates, na troca de experiências e nas conversas ao longo do curso. Aos amigos e colegas, professores e coordenadores da UNIBAN, pelo ininterrupto apoio acadêmico, companheirismo e incentivo constante nos momentos de desânimo e cansaço. Aos amigos Silva, pelas longas horas de debates, traduções e correções; Marcelo pelas suas ricas ideias e intervenções; Eliane e Paulo pela eterna companhia. Á minha família, em especial, pela compreensão de minhas ausências, pelo incentivo e estímulo. A todos, meus sinceros agradecimentos e carinho. RESUMO JAMMAL, E. F. Os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio. 2011. 244f. Programa de Pós Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2011. Este estudo trata de questões relativas ao ensino e aprendizagem das noções de Ponto e Reta no plano, desenvolvidas em Geometria Analítica no Ensino Médio. Assim, o objetivo desse trabalho é identificar um conjunto de tarefas e práticas associadas a essas noções que sobrevivem quando se introduz a Geometria Analítica no Ensino Médio e verificar se elas podem ser consideradas como conhecimentos prévios mobilizáveis para os estudantes que seguem a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no Ensino Superior. O referencial teórico da pesquisa é centrado na noção de quadro e mudança de quadro de Douady, na Teoria Antropológica do Didático de Chevallard, Chevallard e Grenier e Bosch e Chevallard e nas abordagens teóricas em termos de níveis de conhecimento esperados dos estudantes conforme definição de Robert e pontos de vista segundo definição de Rogalski. Analisam-se alguns documentos oficiais propostos para o Ensino Médio nos quais se identificam as expectativas institucionais para o desenvolvimento das noções estudadas tanto do ponto de vista pedagógico como didático. Constróise uma grade de análise e por meio dela analisam-se as relações institucionais esperadas dos estudantes, via livros didáticos e as relações pessoais também esperadas dos estudantes via duas macroavaliações. Os resultados obtidos permitem concluir que, para as relações institucionais esperadas e existentes as articulações de quadros, manipulação de ostensivos e evocação de não ostensivos dependem dos conhecimentos prévios de que os estudantes dispõem e/ou são capazes de mobilizar. Verifica-se ainda que, as noções de ponto e reta no plano são desenvolvidas considerando os quadros das funções, geometria euclidiana plana e cálculo algébrico. Em geral, o nível de conhecimento esperado dos estudantes difere em função do documento analisado, exigindo assim uma atenção em relação aos diferentes grupos de estudantes quando se introduz a Geometria Analítica no Ensino Superior. Palavras-chave: Ponto e Reta, Teoria Antropológica do Didático, Quadros, Níveis de Conhecimento, Ponto de Vista. ABSTRACT JAMMAL, E. F The ostensible and non ostensible used in the study of notions of point and straight at school. 2011. 244f. Mathematics Education Graduation Program, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2011. This study refers to education and learning of notions of Point and Straight in plain, developed in Analitic Geometry School. The object is to identify tasks and practices associated these notions that survive while introducing the Analytic Geometry in School and check if it can be considered how prior knowledge mobilized to students following the Analytic Geometry and Linear Algebra at school. The theoretical has focus in table notions and tables changes of Douady, in Anthropological Theory of Didactics of Chevallard, Chevallard and Grenier and Bosch and Chevallard and in theoretical approaches in knowledge levels expected by students following the Robert definitions and viewpoints following Rogalski. Some official documents analyzed in school show institutional expectations to notions development as many viewpoints pedagogical as didactic. Building an analysis grid to analise the institutional relations expected by students through books and personal relations expected through two macroevaluations. The results indicate that the expected institutional relations and expected the joints of existing framewords, overt manipulation and recall of ostentatious depending on prior knowledge that students posses and / or are able to mobilize. There is still the notions of points and line in the level are developed considering the tables of functions, plane euclidean geometry and algebraic calculus. In general, the level of the expected knowledge of the students differs according to the documents analyzed, requiring an attention in relation to the different groups of students when introduced to the Superior Level of Analytic Geometric. Keywords: Point and Straight, Didactic Anthropologist Theory, Tables, Knowledge Levels, Viewpoints. LISTA DE FIGURAS 01. Representações cartesianas e paramétricas de retas e planos ....... 65 02. Exemplo enunciado no quadro numérico .......................................... 102 03. Exemplo enunciado no quadro algébrico .......................................... 102 04. Exemplo enunciado no quadro algébrico .......................................... 103 05. Exemplo enunciado no quadro geométrico ....................................... 104 06. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa1 ............................... 106 07. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa1 ............................... 106 08. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 2 .............................. 107 09. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 2 .............................. 107 10. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 2 .............................. 108 11. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 3 .............................. 108 12. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 3 .............................. 108 13. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 4 .............................. 109 14. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 4 .............................. 109 15. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 4 .............................. 110 16. Exemplo 4 - Exercício correspondente à tarefa 4................................. 110 17. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 5................................. 111 18. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 5................................. 111 19. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 5................................. 111 20. Exemplo - Exercício correspondente à tarefa 6.................................... 112 21. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 7............................... 113 22. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 7............................... 113 23. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 1............................... 114 24. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 1............................... 114 25. Exemplo - Exercício correspondente à tarefa 2.................................. 115 26. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 3............................... 116 27. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 3............................... 116 28. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 3.............................. 117 29. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 4............................... 119 30. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 4............................... 119 31. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 4............................... 119 32. Exemplo - Exercício correspondente à tarefa 5.................................. 120 33. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 6............................... 121 34. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 6............................... 121 35. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 6............................... 122 36. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 7............................... 124 37. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 7............................... 124 38. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 7............................... 124 39. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 8............................... 125 40. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 8............................... 125 41. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 9............................... 126 42. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 9............................... 126 43. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 9............................... 126 44. Exemplo - Exercício correspondente à tarefa 10................................ 127 45. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 11............................. 128 46. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 11............................. 128 47. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa 12............................. 129 48. Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa 12............................. 129 49. Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa 12............................. 129 50. Exemplo - Exercício correspondente à tarefa 13..................................... 130 51. Expressão que indica a distância entre dois pontos................................ 137 52. Coordenadas de um ponto que divide um segmento dado uma razão qualquer.................................................................................................... 138 53. Condição de alinhamento de três pontos............................................ 139 54. Determinar e coeficiente angular......................................................... 140 55. Equação da reta dado um ponto e coeficiente angular....................... 141 56. Distância de ponto a reta..................................................................... 144 57. Área do triângulo.................................................................................. 145 58. Plano Cartesiano................................................................................ 152 59. Expressão que indica a distância entre dois pontos........................... 153 60. Exemplo de Tarefa sobre distância entre dois pontos........................ 153 61. Coordenadas do ponto médio............................................................. 154 62. Exemplo de tarefa sobre coordenadas do ponto médio..................... 155 63. Condição de alinhamento de três pontos........................................... 156 64. Tarefa sobre condição de alinhamento de três pontos....................... 157 65. Representação de reta dado um ponto e a direção........................... 158 66. Equação reduzida de uma reta............................................................. 159 67. Coeficiente angular de uma reta........................................................... 160 68. Equação geral da reta........................................................................... 160 69. Paralelismo entre retas......................................................................... 162 70. Perpendicularidade entre retas.............................................................. 163 71. Exemplo de tarefa sobre inequação...................................................... 163 72. Ângulo entre retas concorrentes............................................................ 165 73. Área do triângulo................................................................................... 166 74. Tarefas propostas de articulação entre as geometrias......................... 169 75. Organização de conteúdos................................................................... 173 76. Representações de retas...................................................................... 175 77. Função afim ........................................................................................ 176 78. Articulação entre representação gráfica e algébrica........................... 178 79. Tarefa sobre máximo e mínimo........................................................... 179 80. Questão 4 – FUVEST, 2ª. Fase 2006................................................. 189 81. Resolução da questão 10 – FUVEST – 2ª. Fase 2006....................... 189 82. Questão 10 – FUVEST – 2ª. Fase 2006............................................. 190 83. Resolução da Questão 10 – FUVEST – 2ª. Fase 2006.................... 190 84. Questão 6 – FUVEST – 2ª. Fase 2007............................................... 192 85. Resolução da Questão 6 – FUVEST – 2ª. Fase 2007........................ 193 86. Questão 1 – FUVEST- 2ª. Fase 2009................................................. 195 87. Resolução da Questão 1 – FUVEST – 2ª. Fase 2009........................ 195 88. Questão 10 – UNICAMP – 2ª. Fase 2006........................................... 198 89a. Resolução da Questão 10 – UNICAMP – 2ª. Fase 2006.................. 198 89b. Resolução da questão 10 – UNICAMP – 2ª. Fase 2007................... 199 90. Questão 11– UNICAMP – 2ª. Fase 2007............................................. 200 91. Resolução da Questão 11– UNICAMP – 2ª. Fase 2007...................... 201 92. Questão 12 – UNICAMP – 2ª. Fase 2008............................................ 202 93. Resolução da Questão 12 – UNICAMP – 2ª. Fase 2008..................... 203 94. Questão 11 – UNICAMP – 2ª Fase 2010 ........................................... 204 95. Resolução da Questão 11– UNICAMP – 2ª. Fase 2010...................... 205 96. Cálculo das medianas de um triângulo................................................ 236 97. Cálculo da altura de um triângulo......................................................... 237 98. Tarefa: distância entre dois pontos...................................................... 238 99. Tarefa: coordenadas do ponto médio.................................................. 239 100. Exemplo: representação de feixe de retas concorrentes.................. 240 101. Articulação entre representações de equações de retas.................. 241 102. Exemplo 1: articulação entre representações de retas..................... 242 103. Exemplo 2: articulação entre representações de retas..................... 242 104.Representação geométrica do exercício proposto por Aline Robert . 90 LISTA DE QUADROS 01. Organização dos temas estruturais por série – PCNEM............................. 91 02. Variáveis que compõem a grade de análise................................................ 98 03. Tarefas comumente encontradas no EM para o estudo de ponto............... 105 04. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 1...................... 107 05. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 2...................... 108 06. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 3...................... 109 07. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 4...................... 110 08. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 5...................... 112 09. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 6...................... 113 10. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 7...................... 113 11. Tarefas comumente encontradas no EM para o estudo de reta................. 114 12. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 1...................... 115 13. Grade de análise do exemplo correspondente à tarefa 2............................ 116 14. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 3...................... 117 15. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 4...................... 120 16. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 5...................... 121 17. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 6...................... 122 18. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 7...................... 125 19. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 8...................... 126 20. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 9...................... 127 21. Grade de análise do exemplo correspondente à tarefa 10.......................... 127 22. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 11.................... 128 23. Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa 12.................... 130 24. Grade de análise do exemplo correspondentes à tarefa 13........................ 130 25. Temas estruturadores de Matemática, por série e bimestre, EM, SEESP.. 244 LISTA DE TABELAS 01. Tarefas relativas ao estudo de ponto desenvolvidas na obra Matemática, Dante, 2006........................................................................................ 147 02. Tarefas relativas ao estudo de reta desenvolvidas na obra Matemática, Dante, 2006........................................................................................ 149 03. Tarefas relativas ao estudo de ponto desenvolvidas na obra Matemática: Ciência e Aplicação, Iezzi et al.,2006................................................. 167 04. Tarefas relativas ao estudo de reta desenvolvidas na obra Matemática: Ciência e Aplicação, Iezzi et al., 2006................................................ 170 05. Tarefas relativas ao estudo de ponto desenvolvidas no Caderno do Aluno, 2009................................................................................................ 181 06. Tarefas relativas ao estudo de reta desenvolvidas no Caderno do Aluno, 2009................................................................................................ 181 LISTA DE ANEXOS Anexo 1 Cálculo da altura de um triângulo – Técnica do determinante............. 233 Anexo 2 Técnica da representação reduzida e funcional de uma reta.............. 234 Anexo 3 Articulação da noção de mediana de um triângulo e noção da geometria euclidiana....................................................................... Anexo 4 Exemplo de articulação entre as noções trabalhadas em geometria analítica e as suas noções correspondentes em geometria plana...... Anexo 5 236 237 Articulação da noção de distância entre dois pontos e noções de da geometria euclidiana................................................................... 238 Anexo 6 Tarefas sobre coordenadas do ponto médio....................................... 239 Anexo 7 Feixe de retas concorrentes............................................................. 240 Anexo 8 Articulação entre representações de equação de reta................... 241 Anexo 9 ..................................... Organização dos temas estruturadores de Matemática, por série e bimestre, do ensino médio (NPCSP)................................................ 243 LISTA DE ABREVIATURAS CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior CNLDEM Catálogo Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio COFECUB Comitê Francês de Avaliação da Cooperação Universitária com o Brasil DCNEM Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio EDUSP Editora da Universidade de São Paulo EM Ensino Médio ENEM Exame Nacional do Ensino Médio FUVEST Fundação Universitária para o Vestibular INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional MEC Ministério da Educação Cultura e Desporto NPCSP Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo PNLEM Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio PCN Parâmetro Curricular Nacional PCNEM Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio PCN+ Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio (complementar) SBM Sociedade Brasileira de Matemática SEE-SP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo UNESP Universidade Estadual Paulista UNIBAN Universidade Bandeirante de São Paulo UNICAMP Universidade Estadual de Campinas SUMÁRIO Introdução ......................................................................................................... 23 Capítulo 1: Fundamentação teórica 43 1.1 Considerações iniciais ............................................................................. 43 1.2 Síntese de alguns aspectos da Teoria Antropológica do Didático ........... 46 1.3 Síntese das noções de ferramenta/objeto e mudança de quadros conforme definição de Douady ................................................................ 54 1.4 Síntese da noção de níveis de conhecimento esperados dos estudantes conforme definição de Robert ................................................ 58 1.5 Síntese da noção de ponto de vista de Rogalski ..................................... 62 Capítulo 2: Análise das expectativas institucionais esperadas para o trabalho dos professores e estudantes via noção de “topos” 2.1 Considerações iniciais ............................................................................. 68 68 2.2 Lei de diretrizes e bases da educação nacional (Lei 9.394/96) e parâmetros curriculares nacionais do ensino médio (PCNEM) ............... 70 2.3 Proposta curricular do estado de São Paulo ............................................ 74 2.4 “Topos” do professor e “topos” do estudante ........................................... 77 2.5 O “Topos” do professor e do estudante quanto à organização Pedagógica .............................................................................................. 81 2.6 O “Topos” do professor e do estudante quanto à organização didática .. 83 2.7 O “Topos” do professor e do estudante quanto à organização matemática para o ensino médio .............................................................. 85 2.8 Considerações finais ................................................................................ 93 Capítulo 3: Grade de análise das taraefas usuais de ponto e reta em IR² 96 3.1 Considerações iniciais ............................................................................. 96 3.2 A grade de análise ................................................................................... 98 3.3 Tarefas relacionadas ao estudo de ponto ................................................ 105 3.4 Tarefas relacionadas ao estudo de reta ................................................... 114 3.5 Considerações finais ................................................................................ 131 Capítulo 4: Análise das relações institucionais existentes em livros didáticos sobre as noções de ponto e reta em IR² 133 4.1 Considerações iniciais ............................................................................. 133 4.2 A obra “Matemática” – Luis Roberto Dante 136 4.2.1 Comentários e análise ........................................................................ 136 4.2.2 A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas ................... 147 4.3 A obra “Matemática, Ciência e Aplicações” – Gelson Iezzi et al. 151 4.3.1 Comentários e análise ........................................................................ 151 4.3.2 A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas ................... 167 4.4 O caderno do professor e o caderno do aluno da SEESP 171 4.4.1 Comentários e análise ........................................................................ 171 4.4.2 A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas ................... 180 4.5 Considerações finais ................................................................................ 183 Capítulo 5: Análise das relações pessoais esperadas dos estudantes por meio de macroavaliações 185 5.1 Considerações iniciais ............................................................................. 185 5.2 Exame da fundação universitária para o vestibular – FUVEST 186 5.2.1 Comentários ....................................................................................... 186 5.2.2 As tarefas sobre as noções de ponto e reta no plano nos exames da FUVEST ........................................................................................ 5.3 Exame da universidade de Campinas – UNICAMP 5.3.1 Comentários ....................................................................................... 188 196 196 5.3.2 As tarefas sobre as noções de ponto e reta no plano nos exames da UNICAMP ...................................................................................... 197 5.4 Exame nacional do ensino médio - ENEM.............................................. 206 5.5 Considerações finais ................................................................................ 207 Considerações finais e perspectivas futuras ................................................. 209 Bibliografia consultada e referenciada ........................................................... 217 Glossário ............................................................................................................ 227 Anexos ............................................................................................................... 232
