Análise de Circuitos Lineares
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1 Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica Análise de Circuitos Lineares Teresa Mendes de Almeida [email protected] DEEC Área Científica de Electrónica © T.M.Almeida ACElectrónica IST-DEECMarço de 2008 2 Matéria Simplificação de circuitos Resistências em série e em paralelo Fontes de tensão em série Fontes de corrente em paralelo Simplificação de circuitos Circuito Linear Linearidade Homogeneidade Aditividade Aplicação na simplificação de circuitos Teorema da Sobreposição Aplicação na análise e simplificação de circuitos © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Circuitos equivalentes Thévenin Norton Teoremas de Thévenin e de Norton Equivalentes de circuitos sem geradores com geradores independentes com geradores dependentes e independentes só com geradores dependentes Conversão de geradores Aplicação na análise e simplificação de circuitos Exemplos de aplicação TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 3 Simplificação de circuitos Resulta de aplicar Lei Ohm, KCL, KVL Resistências em série RS = R1 + R2 Resistências em paralelo RP = R1 R2 R1 + R2 Geradores de Tensão em série é preciso ter em conta polaridade das tensões V = V1 − V2 + V I + V I Fontes de Corrente em paralelo © T.M.Almeida é preciso ter em conta sentido das correntes I = I1 − I 2 IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 4 Exemplo de simplificação de circuitos Calcular i(t) simplificando o circuito 1 malha todos componentes em série mesma corrente em todos componentes simplificar geradores de tensão v ( t ) = v1 ( t ) − v2 ( t ) + v3 ( t ) − v4 ( t ) − v5 ( t ) simplificar resistências i (t ) = v (t ) RS = RS = R1 + R2 v1 ( t ) − v2 ( t ) + v3 ( t ) − v4 ( t ) − v5 ( t ) R1 + R2 circuitos equivalentes para o cálculo de i(t) resulta um circuito mais simples para o cálculo da grandeza eléctrica pretendida, neste caso, a corrente i(t) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 5 Exemplo de simplificação de circuitos Calcular i5(t)=iR2(t) simplificando o circuito 2 nós – todos componentes em paralelo simplificar fontes de corrente usar equação do divisor de corrente io ( t ) = i1 ( t ) − i3 ( t ) + i4 ( t ) − i6 ( t ) R1 i5 ( t ) = io ( t ) R1 + R2 Calcular Vbc=Vb-Vc=V20kΩ simplificando o circuito simplificar geradores de tensão, simplificar resistências usar equação do divisor de tensão + Vbc - © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica + Vbc - Vbc = TCFE Análise de Circuitos Lineares 20 ( −6 ) = −2V 20 + 40 Março de 2008 6 Circuito Linear Descrito por equações algébricas lineares Componentes do circuito têm características lineares têm características não lineares mas podem ser localmente aproximadas por características lineares modelos lineares por troços linear não linear Linearidade © T.M.Almeida linearidade implica homogeneidade e aditividade f (α x ) = α f ( x ) homogeneidade aditividade f ( x + y) = f ( x) + f ( y) circuito linear x , y → tensão ou corrente f(x) , f(y) → tensão ou corrente IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 Homogeneidade (escalamento) f(αx)= α f(x) Quanto vale I se V=24V? E se V=1,2V? I= V = 6mA R V ↔ x I ↔ f ( x) V = 24V → I = ? = 12mA V = 1, 2V → I = ? = 0, 6mA não é preciso voltar a analisar o circuito para obter o novo resultado como é um circuito linear pode fazer-se escalamento do resultado Quanto vale Vout? © T.M.Almeida pela estrutura do circuito (circuito em escada), para fazer a sua análise é preciso propagar o efeito de VIN=12V desde a entrada até à saída Vout é preciso escolher uma forma de análise do circuito é preciso analisar o circuito da esquerda para a direita usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para Vout analisa-se da direita para a esquerda determina-se VIN correspondente faz-se escalamento (regra de três simples) IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 Homogeneidade (escalamento) f(αx)= α f(x) 8 Quanto vale Vout? 7 usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para Vout analisa-se da direita para a esquerda determina-se VIN correspondente faz-se escalamento (regra de três simples) calcula-se Vout real Quanto vale IO se I = 6mA? V 'out = 4V V 'out = 2mA 2k V '1 = ( 4k + 2k ) I '2 = 12V I '2 = V '1 = 4mA 3k I '0 = I '1 + I '2 = 6mA I '1 = V '0 = 2kI '0 + V '1 = 24V Vout = © T.M.Almeida arbitrar valor numérico para IO (p. ex. 2mA) calcular I e escalar o valor obtido IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares V 'out V0 = 2V V '0 Março de 2008 9 Aditividade f(x+y)=f(x)+f(y) Circuito linear + V1 – © T.M.Almeida + V2 – a corrente I resulta da presença das duas fontes de tensão V1 e V2 a corrente I é a soma de duas parcelas uma resulta da presença de V1: V1 → I1 a outra resulta da presença de V2: V2 → I2 calcular I1: V1=6V V2=0V I1 = 6 = 50 µ A 80k + 40k calcular I2: V1=0V V2=12V I2 = −12 = −0,1mA = −100 µ A 80k + 40k calcular I: I = I1 + I 2 = −50µ A IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Exemplos de aplicação Calcular IO usando linearidade (homogeneidade) Calcular VO usando linearidade (homogeneidade) Março de 2008 10 f (α x ) = α f ( x ) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 11 Teorema da Sobreposição Num circuito linear, contendo vários geradores independentes, a corrente ou a tensão num ponto pode ser calculada como a soma algébrica das contribuições individuais de cada um dos geradores independentes agindo isoladamente considera-se um gerador independente de cada vez eliminam-se os restantes geradores independentes eliminar gerador(fonte) de tensão = substituir-se por curto-circuito eliminar gerador de corrente = substituir-se por circuito aberto num circuito com N geradores independentes faz-se a análise de N sub-circuitos mais simples Calcular i i © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Sub-circuito 1 i1 Sub-circuito 2 i = i1 + i2 i2 TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 12 Exemplo de aplicação Calcular VO=VR6 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) Sub-circuito 1 VO = V 'O + V ''O V 'O = 6kI O 2k + 1k 2 2 = mA 2k + 1k + 6k 3 V 'O = 4V I 'O = Sub-circuito 2 V ''O = 6k 3 = 2V 1k + 2k + 6k Soma algébrica das 2 contribuições © T.M.Almeida divisor de corrente divisor de tensão VO = V 'O + V ''O = 6V analisaram-se 2 circuitos mais simples para cada um escolheu-se um determinado método de análise – que se considere mais adequado (simples e rápido) IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 Exemplos de aplicação Calcular VO usando o Teorema da Sobreposição © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Exemplos de aplicação 13 Março de 2008 14 Calcular IO e IA usando o Teorema da Sobreposição © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton Dado um circuito para análise linear ou não linear Pode ser dividido em 2 circuitos A – circuito linear B – circuito linear ou não linear O circuito linear A pode ser substituído por um circuito equivalente mais simples Circuito equivalente de Thévenin fonte de tensão em série com resistência VOC = tensão em circuito aberto (open circuit) Circuito equivalente de Norton © T.M.Almeida fonte de corrente em paralelo com resistência ISC = corrente de curto-circuito (short-circuit) IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 16 Teorema de Thévenin Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, é equivalente a um circuito constituído por uma fonte de tensão em série com uma resistência 15 VTH = VOC tensão equivalente de Thévenin tensão em circuito aberto RTH resistência equivalente de Thévenin resistência vista dos dois terminais Como determinar circuito equivalente de Thévenin? © T.M.Almeida analisar circuito linear calcular VOC e RTH IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares + VOC - RTH Março de 2008 17 Teorema de Norton Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, é equivalente a um circuito constituído por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência IN = ISC corrente equivalente de Norton corrente medida em curto-circuito RTH resistência equivalente de Thévenin (Norton) resistência vista dos dois terminais Como determinar circuito equivalente de Norton? © T.M.Almeida ISC analisar circuito linear calcular ISC RTH IST-DEEC-ACElectrónica RTH TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 Equivalência entre circuitos Thévenin - Norton Circuitos de Thévenin e Norton são equivalentes ao circuito linear logo são equivalentes entre si Qual a relação entre V RTH = OC VOC, ISC e RTH? I SC Uma vez conhecida esta relação, basta calcular duas das grandezas e pode obter-se a terceira 18 escolher o cálculo das duas grandezas que são mais fáceis de calcular independentemente do tipo de circuito equivalente (Thévenin ou Norton) que se pretende determinar Método de cálculo de VOC, ISC e RTH? © T.M.Almeida depende da estrutura do circuito linear que se tem de analisar e do qual se pretende calcular o circuito equivalente (Thévenin ou Norton) Tem geradores?... São independentes?... Tem geradores dependentes?... IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 19 Circuito sem geradores VOC = 0 ISC = 0 A RTH = simplificação das resistências do circuito Circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton se não existe nenhuma fonte de energia no circuito, não há corrente eléctrica! são apenas uma resistência de valor RTH B Qual o circuito equivalente de Thévenin/Norton? RTH=3kΩ RTH=22kΩ © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 20 Circuito só com geradores independentes Podem calcular-se as 3 grandezas: VOC, ISC ou RTH VOC – calculada com o circuito em aberto ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais RTH – eliminam-se geradores independentes e simplificam-se resistências calcular apenas 2 grandezas – escolher mais fáceis 1 + Calcular equivalente de Thévenin VOC visto para a esquerda dos nós 1 e 2 2 VOC – divisor de tensão VOC = V12 = 20k ( −6 ) = −2V 20k + 40k 1 ISC RTH – elimina-se fonte independente 13, 3kΩ RTH = 20k // 40k = 40k = 13,3k Ω 3 © T.M.Almeida ISC – curto-circuito entre 1 e 2 não passa corrente na R20kΩ IST-DEEC-ACElectrónica 1 2 I SC = −6 = −0,15mA 40k TCFE Análise de Circuitos Lineares 2V 2 Março de 2008 21 Circuito com geradores independentes e dependentes Calcular VOC e ISC VOC – calculada com o circuito em aberto ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais Obter RTH = VOC/ISC Calcular equivalente de Norton visto para a esquerda de a-b VOC = Vab = VO VOC a VOC = 1k × I 12 − 2VO 3k + 1k VOC = 2V I= ISC VO = 0V ⇒ ( 2VO ) = 0, I R =1k Ω = 0 ⇒ I SC = RTH © T.M.Almeida ⇔ I = 2mA RTH 12 = 4mA 3k V = OC = 500Ω I SC IST-DEEC-ACElectrónica b a 500Ω 4mA b TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 22 Circuito só com geradores dependentes VOC = 0 ISC = 0 Não se pode calcular RTH = VOC/ISC se não existe nenhuma fonte de energia independente no circuito, não há corrente eléctrica! obtém-se uma indeterminação matemática É preciso usar uma fonte de teste dependendo do circuito aplica-se fonte de tensão (VT) ou de corrente (IT) aos terminais do circuito V RTH = T a razão entre VT e IT é a resistência equivalente de Thévenin IT IT VT © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares + VT - A IT B Março de 2008 23 Circuito só com geradores dependentes Determinar o equivalente de Thévenin aos terminais AB VOC=0 ISC=0 aplicar fonte de teste de tensão VT=1V calcular a corrente IT=I0 calcular RTH=VT/IT=1/IT cálculo de IT KVL malha exterior, KCL nó V1 calcular Vx, I1, I2 e I3, I0=IT 1 = VAB = Vx + V1 V1 V1 − 2Vx V1 − 1 + + =0 1k 2k 1k 3 Vx = V 7 V 3 I1 = x = mA 1k 7 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica IT 1 − 2Vx 1 = mA 1k 7 1 1 I3 = = mA 2k 2 I2 = I 0 = IT = I1 + I 2 + I 3 = A 15 mA 14 1 14 = kΩ IT 15 RTH = TCFE Análise de Circuitos Lineares 24 VOC I SC gerador de tensão real – tem resistência interna em série gerador de corrente real – tem resistência interna em paralelo Um gerador de tensão real é equivalente a um gerador de corrente real RTH = Geradores reais B Março de 2008 Conversão de Geradores VT esta equivalência pode usar-se para simplificar circuitos Calcular VO IO = 4k 4mA 4k + ( 4 k + 4k ) I O = 1mA VO = 8V © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 25 Como determinar circuito equivalente? Pode determinar-se circuito equivalente calculando o equivalente de todo o circuito linear calculando parcialmente um circuito equivalente nunca se podem separar as variáveis de controlo dos geradores dependentes, da parte do circuito onde estes estão inseridos! Calcular VO VOC = −6V I SC = −18mA VO = − © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares 18 V 7 Março de 2008 26 Exemplos de aplicação Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 27 Exemplos de aplicação Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 28 Exemplos de aplicação Calcular circuitos equivalentes de Thévenin e Norton vistos dos terminais A-B © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008 29 Exemplos de aplicação Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Ferramentas de análise de circuitos lineares Lei de Ohm e Leis de Kirchhoff (KCL e KVL) Componentes em série e paralelo Resistências, geradores(fontes) de tensão e de corrente Homogeneidade (escalamento), Aditividade Teorema da Sobreposição Teoremas de Thévenin e Norton Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton Conversão de geradores 30 Propriedades de circuito linear Março de 2008 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2008
