Cálculo Diferencial e Integral - Servidor de produção do curso de

Kely Diana Villacorta Villacorta
Felipe Antonio Garcia Moreno
Cálculo Diferencial e Integral
Editora da UFPB
João Pessoa
2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Reitora
Vice-Reitor
Pró-reitora de graduação
MARGARETH DE FÁTIMA FORMIGA MELO DINIZ
EDUARDO RAMALHO RABENHORST
ARIANE NORMA DE MENESES SÁ
Diretor da UFPB Virtual
Diretor do CI
JAN EDSON RODRIGUES LEITE
GUIDO LEMOS DE SOUZA FILHO
EDITORA DA UFPB
Diretora
Supervisão de Editoração
Supervisão de Produção
IZABEL FRANÇA DE LIMA
ALMIR CORREIA DE VASCONCELLOS JÚNIOR
JOSÉ AUGUSTO DOS SANTOS FILHO
CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO A DISTÂNCIA
Coordenador LUCIDIO DOS ANJOS FORMIGA CABRAL
Vice-coordenadora DANIELLE ROUSY DIAS DA SILVA
Prof Dr. Lucídio Cabral (UFPB)
Conselho Editorial Prof Dr. Danielle Rousy (UFPB)
Prof. Ms. Eduardo de Santana Medeiros Alexandre (UFPB)
V712c VILLACORTA, Kely Diana Villacorta.
Cálculo diferencial e integral / Kely Diana Villacorta Villacorta,
Felipe Antonio Garcia Moreno; editor: Eduardo de Santana Medeiros
Alexandre. – 1ª Edição Revisada. João Pessoa: Editora da UFPB, 2014.
283. : il. –
ISBN: 978-85-237-0908-2
Curso de Licenciatura em Computação na Modalidade à Distância.
Universidade Federal da Paraíba.
1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. 3. Cálculo. 4. Análise
matemática. I. Título.
CDU: 517.2/.3
Todos os direitos e responsabilidades dos autores.
EDITORA DA UFPB
Caixa Postal 5081 – Cidade Universitária
João Pessoa – Paraíba – Brasil
CEP: 58.051 – 970
http://www.editora.ufpb.br
Impresso no Brasil
Printed in Brazil
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
i
Cálculo Diferencial e Integral
Sumário
1
2
Números Reais
1
1.1
Sistema dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1
Adição e Multiplicação de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2
Subtração e Divisão de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3
Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4.1
Resolvendo Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.1.1
Inequações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.1.2
Inequações de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4.1.3
Inequações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4.1.4
Inequações Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4.1.5
Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios . . . . . . . . .
20
1.4.1.6
Inequações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.5
Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.6
Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.7
Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.8
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Funções
40
2.1
Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.1
Translações e reflexões de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.1.2
Funções comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.1.3
Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.1.4
Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.1.5
Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.1.6
Função definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
ii
Cálculo Diferencial e Integral
2.2
3
4
Função injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.2.1
Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.3
Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4
Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.5
Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.6
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Referências
65
3.1
65
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Índice Remissivo
66
iii
Cálculo Diferencial e Integral
Prefácio
BAIXANDO A VERSÃO MAIS NOVA DESTE LIVRO
Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases para
verificar se há uma versão mais o Histórico de revisões, na início do livro, para verificar o que mudou entre uma versão e outra.
Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciatura
em Computação a Distância um material didático de fácil entendimento dos fundamentos de um
curso de Cálculo Diferencial e Integral. Temos nos esforçado em apresentar o cálculo de forma não
tão rigorosa, isto é, neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e não nos aprofundamos
nas demonstrações destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento teórico com exemplos e com uma
quantidade razoável de atividades para uma fixação do conteúdo, de tal forma que resulte de máximo
proveito aos estudantes.
A obra é composta por 8 capítulos contendo os principais tópicos abordados em uma disciplina básica
de Cálculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de conteúdo, por isto recomendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada capítulo e resolva a máxima quantidade
de atividades.
No primeiro capítulo se faz uma apresentação axiomática dos números reais e suas principais propriedades; no segundo capítulo tratamos das relações e das funções que serão o principal objeto matemático tratado neste livro; no terceiro capítulo estudamos os conceito de limite, fundamental para a
teoria subsequente; no quarto capítulo estudamos a continuidade de uma função; no quinto capítulo
introduzimos a derivada de uma função e suas principais propriedades; no sexto capítulo apresentamos algumas aplicações da derivada; no sétimo capítulo tratamos da integral indefinida e os métodos
de integração; e no oitavo e último capítulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamos
de algumas das aplicações desta.
Sabemos que existem vários outros materiais e livros que abordam o mesmo conteúdo apresentado
aqui, alguns até mais abrangentes. Somos porém, realistas que em uma primeira abordagem demos
prioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos básicos e interpretações, deixando a
prova de todos esses resultados a posteriori.
Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes conceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicações práticas no mundo real.
João Pessoa, agosto de 2013.
Kely D. V. Villacorta
Felipe A. G. Moreno
iv
Cálculo Diferencial e Integral
Público alvo
O público alvo desse livro são os alunos de Licenciatura em Computação, na modalidade à distância.1
Como você deve estudar cada capítulo
• Leia a visão geral do capítulo
• Estude os conteúdos das seções
• Realize as atividades no final do capítulo
• Verifique se você atingiu os objetivos do capítulo
NA SALA DE AULA DO CURSO
• Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso
• Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados
• Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina
Caixas de diálogo
Nesta seção apresentamos as caixas de diálogo que poderão ser utilizadas durante o texto. Confira os
significados delas.
Nota
Esta caixa é utilizada para realizar alguma reflexão.
Dica
Esta caixa é utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares.
Importante
Esta caixa é utilizada para chamar atenção sobre algo importante.
Cuidado
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo que exige cautela.
1 Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraíba, o seu uso não se restringe
a esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB.
v
Cálculo Diferencial e Integral
Atenção
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso.
Os significados das caixas são apenas uma referência, podendo ser adaptados conforme as intenções
dos autores.
Vídeos
Os vídeos são apresentados da seguinte forma:
Figura 1: Como baixar os códigos fontes: http://youtu.be/Od90rVXJV78
Nota
Na versão impressa irá aparecer uma imagem quadriculada.
Isto é o qrcode
(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR) contendo o link do vídeo. Caso você tenha
um celular com acesso a internet poderá acionar um programa de leitura de qrcode para
acessar o vídeo.
Na versão digital você poderá assistir o vídeo clicando diretamente sobre o link.
Compreendendo as referências
As referências são apresentadas conforme o elemento que está sendo referenciado:
Referências a capítulos
Prefácio [iv]
Referências a seções
“Como você deve estudar cada capítulo” [v], “Caixas de diálogo” [v].
Referências a imagens
Figura 2 [vii]
vi
Cálculo Diferencial e Integral
Nota
Na versão impressa, o número que aparece entre chaves “[ ]” corresponde ao número da
página onde está o conteúdo referenciado. Na versão digital do livro você poderá clicar no
link da referência.
Feedback
Você pode contribuir com a atualização e correção deste livro. Ao final de cada capítulo você será
convidado a fazê-lo, enviando um feedback como a seguir:
Feedback sobre o capítulo
Você pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria de
submeter uma sugestão ou crítica?
Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso.
Nota
A seção sobre o feedback, no guia do curso, pode ser acessado em: https://github.com/edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livroscontribuicao.adoc.
Figura 2: Exemplo de contribuição
vii
Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 1
Números Reais
O BJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles e suas
principais propriedades;
• Determinar as raízes de uma equação dada;
• Determinar o conjunto solução de uma inequação dada;
• Dominar o conceito de valor absoluto;
• Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntos
que o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;
• Familiarizar-se com o Axioma do Supremo.
O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexões por
parte do homem. Desde o início de nossa civilização já se conheciam os números inteiros positivos,
ou seja, 1, 2, 3, . . . Os números inteiros, tão grandes quanto 100000, já eram utilizados no Egito em
épocas como 300 a. C.
Na aritmética de números inteiros positivos, que desenvolveram os antigos egípcios e babilônios,
podiam efetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora essa última não tenha sido desenvolvida por completo. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os números
racionais. Por outro lado, os Babilônios tiveram maior êxito no desenvolvimento da aritmética e da
álgebra, e a notação que eles usavam também era superior a dos egípcios, com a diferença que eles
trabalhavam na base 60 e não na base 10.
Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XII,
mediante a tradução de textos árabes, porém, essa notação demorou para ter uma aceitação geral, e
muito depois disso veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do século
XVI, época em que eram descartadas as raízes negativas das equações.
√
Ainda que a necessidade dos números irracionais, tais como 2 e π, já tinha se apresentado aos matemáticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatórios
de construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemáticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagem
atualmente utilizada.
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Cálculo Diferencial e Integral
Embora seja muito interessante apresentar o construção do conjunto dos números reais passo a passo,
o foco deste livro não é o construtivo, pois assumiremos que existam certos objetos, chamados de
números reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as propriedades
dos números reais que serão apresentadas aqui, ou estão entre estes axiomas, ou podem ser deduzidas
a partir deles.
Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, equações, inequações, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando a
teoria apresentada.
1.1
Sistema dos Números Reais
Um conjunto não vazio de suma importância, para o bom entendimento de toda a teoria apresentada
neste livro, é o conjunto dos números reais, denotado por R. Cada elemento de R é chamado de
número real.
Os números reais são identificados por pontos numa reta. E essa identificação dá-se da seguinte
maneira:
-2
-1
-2 0
5
1
5
π
Dada uma reta (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fixamos o ponto 0
da reta, logo, a cada número real x se identifica com o ponto que está situado a x unidades à direita do
0, se x > 0, e com o ponto situado a −x unidades à esquerda do 0, se x < 0.
Essa correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, para cada número
real há um único ponto correspondente na reta, e para cada ponto na reta há um único número real
correspondente. No decorrer deste livro, não faremos nenhuma diferenciação entre ambos elementos.
Logo, o sistema dos números reais, denotado por (R; +; ·; <), é o conjunto R fornecido de duas
operações, adição (+) e multiplicação (·), de uma relação de ordem (<) (lê-se menor que) e de
um axioma chamado Axioma do Supremo. Para simplificar a notação usaremos somente R.
1.1.1
Adição e Multiplicação de Números Reais
Embora as operações de adição e multiplicação sejam duas operações aritméticas com as quais estamos muito acostumados desde o início dos nossos estudos na escola, a adição e a multiplicação de
números reais são duas operações internas em R e são definidas, formalmente, como segue:
Adição
Dados a e b ∈ R existe um único w ∈ R, chamado de soma de a e b, tal que w = a + b.
Multiplicação
Dados a e b ∈ R existe um único z ∈ R, chamado de produto de a e b, tal que z = a · b.
A adição e multiplicação de números reais são regidos pelos seguintes axiomas:
Axioma 1
a + b = b + a,
∀ a, b ∈ R.
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Cálculo Diferencial e Integral
Axioma 2
(a + b) + c = a + (b + c),
∀ a, b, c ∈ R.
Axioma 3
Existe o número real zero, denotado por 0, tal que a + 0 = 0 + a = a,
∀ a ∈ R.
Axioma 4
Para cada número real a existe um real chamado de oposto de a, denotado por −a, tal que
a + (−a) = 0.
Axioma 5
a · b = b · a,
∀ a, b ∈ R.
Axioma 6
(a · b) · c = a · (b · c),
∀ a, b, c ∈ R.
Axioma 7
Existe o número real um, denotado por 1, tal que a · 1 = 1 · a = a, ∀ a ∈ R.
Axioma 8
Para cada número real a, diferente de zero, existe um número real chamado de inverso de a,
1
denotado por a−1 ou , tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.
a
Axioma 9
a(b + c) = a · b + a · c,
∀ a, b, c ∈ R
Nota
a. Os Axiomas 1 e 5 são conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multiplicação, respectivamente;
b. Os Axiomas 2 e 6 são conhecidos como axiomas associativos para a soma e multiplicação, respectivamente;
c. O Axioma 9 é conhecido como axioma distributivo e relaciona a adição e multiplicação de números reais.
O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operações.
Teorema 1.1
Sejam a, b e c ∈ R. Então:
i. Os números 0, 1, −a e a−1 são únicos;
ii. a = −(−a);
iii. Se a 6= 0, então a = (a−1 )−1 ;
iv. a · 0 = 0 · a = 0;
v. −a = (−1) · a;
vi. a · (−b) = (−a) · b;
vii. (−a) · (−b) = a · b;
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Cálculo Diferencial e Integral
viii. Se a + c = b + c, então a = b;
ix. Se a · c = b · c e c 6= 0, então a = b;
x. a · b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0;
xi. a · b 6= 0 se, e somente se, a 6= 0 e b 6= 0;
xii. a2 = b2 se, e somente se, a = b ou a = −b.
Nota
0 e 1 também são conhecidos como elementos neutros para a adição e para a multiplicação, respectivamente;
1.1.2
Subtração e Divisão de Números Reais
Subtração
Dados a e b ∈ R, a subtração, ou diferença, de a e b é definida como a − b = a + (−b).
Divisão ou quociente
a
Dados a e b ∈ R, com b 6= 0, a divisão, ou quociente, de a e b é definida como = a · (b−1 ).
b
Teorema 1.2
Sejam a, b, c e d ∈ R. Então:
i. a − b = −(b − a);
ii. a − b = c se, e somente se, a = b + c;
a
iii. Se b 6= 0, então c = se, e somente se, b · c = a;
b
iv. a · (b − c) = a · b − a · c;
a c a·d ±b·c
v. Se b 6= 0 e d 6= 0, então ± =
.
b d
b·d
1.1.3
Relação de Ordem
Axioma 10
Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R++ , que satisfaz as
seguintes propriedades:
i. Se a ∈ R, então a ∈ R++ ou −a ∈ R++ ou a = 0;
ii. Se a ∈ R++ e b ∈ R++ , então a + b ∈ R++ e a · b ∈ R++ .
Definição 1.1
Sejam a, b ∈ R. Diz-se que:
i. a é menor que b, denotado por a < b, se, e somente se, b − a ∈ R++ ;
ii. a é menor ou igual que b, denotado por a ≤ b, se, e somente se, a < b ou a = b.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. a < b é equivalente a b > a e leia-se “b é maior que a”;
b. Da mesma forma, a ≤ b é equivalente a b ≥ a e leia-se “b é maior ou igual que a”.
O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem.
Teorema 1.3
Dados a, b, c e d ∈ R. Então:
i. a = b ou a < b ou a > b;
ii. a2 ≥ 0. Se a 6= 0, então a2 > 0;
iii. se a < b e b < c, então a < c;
iv. se a < b, então a + c < b + c;
v. Se a < b e c < d, então a + c < b + d;
vi. Se a < b e c > 0, então a · c < b · c;
vii. Se a < b e c < 0, então a · c > b · c;
viii. Se 0 < a < b e 0 < c < d, então a · c < b · d;
ix. Se a 6= 0, então a e a−1 têm o mesmo sinal, isto é:
a. Se a > 0, então a−1 > 0,
b. Se a < 0, então a−1 < 0;
x. Se 0 < a < b, então 0 < b−1 < a−1 ;
xi. Se a < b < 0, então b−1 < a−1 < 0;
xii. a · b > 0 se, e somente se, (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) ;
xiii. a · b ≥ 0 se, e somente se, (a ≥ 0 e b ≥ 0) ou (a ≤ 0 e b ≤ 0)
xiv. a · b < 0 se, e somente se, (a < 0 e b > 0) ou (a > 0 e b < 0) ;
xv. a · b ≤ 0 se, e somente se, (a ≤ 0 e b ≥ 0) ou (a ≥ 0 e b ≤ 0)
xvi. Se a ≥ 0 e b ≥ 0, então a < b se, e somente se, a2 < b2 ;
xvii. a2 + b2 = 0 se, e somente se, a = 0 e b = 0.
Nota
No Teorema 1.3 temos que:
a. O item i é conhecido como Lei da tricotomia;
b. O item iii é conhecido como Lei transitiva;
c. O item iv é conhecido como Lei da monotonia para a soma.
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Cálculo Diferencial e Integral
Importante
a. Se a e b são dois números
reias tais que a2 = b, diz-se que a é a raiz quadrada
√
de b, denotada por√ b. √
Por exemplo, 2 e −2 são raízes quadradas
√ 2 de √4, já2 que
2
2
(−2) = 2 = 4, e 3 e − 3 são raízes quadradas de 3, pois (− 3) = ( 3) = 3.
b. Pelo item ii do Teorema 1.3, não existe a ∈ R e b < 0 tal que a2 = b. Em outras
palavras, no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de números
negativos;
c. Se a2 = 0, então deduz-se que a = 0. Portanto,
√
0 = 0.
Definição 1.2
Uma desigualdade é uma expressão algébrica que contém relações como <, ≤, >, ≥.
Desta forma temos que:
x<y<z
é equivalente a
x < y e y < z;
x<y≤z
é equivalente a
x < y e y ≤ z;
x≤y<z
é equivalente a
x ≤ y e y < z;
x≤y≤z
é equivalente a
x ≤ y e y ≤ z.
Mais ainda, sejam x, y e z ∈ R tais que x < y < z. Então estas desigualdades são representadas na reta
real da seguinte maneira:
Figura 1.1: Distância entre x e y, e distância entre y e z
Ou seja, x está à esquerda de y, a uma distância de y −x unidades e z está à direita de y, a uma distância
de z − y unidades.
1.2
Equações
Definição 1.3
Uma equação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas mediante
uma igualdade.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.1 Tipos de Equações
• Equação de Primeiro grau
3x − 4 = 2 − x
• Equação de Segundo grau
x2 − 4x − 5 = 0
• Equação Racional
x2 − 5x + 4
= x+2
x2 − 4
• Equação Irracional
√
√
x + 3 + x + 4 = −3
• Equação Exponencial
p
3
3(5x+1)/3 =
p
93(x+1)/5
Definição 1.4
Dada uma equação. Diz-se que um número real a é uma raiz da equação, ou é um zero da
equação, se ao substituir a variável da equação por a, a igualdade for verdadeira. Além disso, o
conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado de conjunto solução, denotado por
C. S. Assim, resolver uma equação significa encontrar seu C. S.
Nota
Se não existem soluções reais para a equação, então diz-se que C. S. é vazio, e se escreve,
C. S. = 0/ .
Exemplo 1.2
Dada a equação
x2 − 4x − 5 = 0
temos que:
a. Os números reais −1 e 5 são raízes da equação de segundo grau acima, pois
(−1)2 − 4(−1) − 5 = 0
Assim, C. S. = {−1, 5};
7 / 66
e (5)2 − 4(5) − 5 = 0.
Cálculo Diferencial e Integral
b. Porém, o número real 4 não é uma raiz, pois
(4)2 − 4(4) − 5 = −5 6= 0.
Assim, 4 ∈
/ C. S.
Nota
Para resolver uma equação é necessário por em evidência, de alguma forma, a variável, ou
incógnita, da equação.
Fórmula de Bhaskara
Esta fórmula nos ajudará a encontrar as raízes de uma equação de segundo grau. Assim,
para a equação de segundo grau:
ax2 + bx + c = 0.
temos que
√
−b ± ∆
x=
,
2a
com ∆ = b2 − 4ac.
onde ∆ é conhecido como o discriminante. Assim:
• Se ∆ < 0, então esta equação não tem raízes em R;
• Se ∆ ≥ 0, então esta equação terá as seguintes raízes
√
√
−b + ∆
−b − ∆
ou r2 =
r1 =
2a
2a
em R.
Exemplo 1.3 Resolvamos as seguintes equações
a. 5x + 6 = 8.
Solução
2
5x + 6 = 8 ⇔ 5x = 8 − 6 = 2 ⇔ x = .
5
2
Portanto, é a raiz de 5x + 6 = 8 e
5
2
C. S. =
.
5
b. 5x + 5 = 1 − 3x.
Solução
5x + 5 = 1 − 3x ⇔ 5x + 3x = 1 − 5 ⇔ 8x = −4 ⇔ x = −
1
Portanto, − é a raiz de 5x + 5 = 1 − 3x e
2
1
C. S. = −
.
2
8 / 66
4
1
⇔ x=− .
8
2
Cálculo Diferencial e Integral
c. x2 + 1 = 0.
Solução
x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = −1.
Portanto, do item b do Importante posterior ao Teorema 1.3, para b = −1, podemos
concluir que x2 + 1 = 0 não tem raízes em R e
C. S. = 0.
/
d. 4x2 − x − 3 = 0.
Solução
Método 1 (Usando a fórmula de Bhaskara ou o Discriminante ∆)
2
Dada a equação
que ∆ = (−1)2 − 4(4)(−3) = 49. Assim,
√ 4x − x − 3 = 0, temos
√
−(−1) ± ∆
1 ± 49
1±7
8
6
x=
. Então, x =
⇔ x=
⇔ x = ou x = − ⇔
2(4)
8
8
8
8
3
x = 1 ou x = − .
4
Método 2 (Fatorando)
4x2 − x − 3 = 0 ⇔ (4x + 3)(x − 1) = 0. Pelo item x do Teorema 1.1 para a = 4x + 3
3
e b = x − 1, temos que (4x + 3)(x − 1) = 0 ⇔ 4x + 3 = 0 ou x − 1 = 0 ⇔ x = −
4
ou x = 1.
Método 3 (Completando quadrados)
2
2
2
1
1
49
1
2
2
2
−3 = −
⇔ (2x) −x+ −
=
4x −x−3 = 0 ⇔ (2x) −x+ −
4
4
4
16
2
49
1
7
1 7
3
1
=
⇔ 2x − = − ou 2x − = ⇔ 2x = − ou 2x = 2 ⇔
⇔ 2x −
4
16
4
4
4 4
2
3
x = − ou x = 1.
4
3
Portanto, − e 1 são as raízes de 4x2 − x − 3 = 0 e
4
3
C. S. = − , 1 .
4
1.3
Desigualdades e Intervalos
Definição 1.5
Dados a e b ∈ R, com a < b. Um intervalo é um subconjunto de R e podem ser classificado
em:
Intervalos Limitados
1. Intervalo Aberto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
2. Intervalo Fechado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
9 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Intervalos Ilimitados
1. Intervalo Aberto:
i. (a, +∞) = {x ∈ R : a < x}
ii. (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}
2. Intervalo Fechado:
i. [a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x}
ii. (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}
3. A Reta Real: (−∞, +∞) = R
Nota
Os intervalos semiabertos [a, b) e (a, b] também podem ser referenciados como intervalos
semifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.
Exemplo 1.4
Dados os intervalos:
A = [−5, 2], B = (−2, 3] e C = (2, 6),
temos que:
a. A ∩ B = (−2, 2]
b. A ∩C = 0/
c. B ∩C = (2, 3]
10 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
d. A ∪ B = [−5, 3]
e. A ∪C = [−5, 6)
f. B ∪C = (−2, 6)
1.4
Inequações
Definição 1.6
Uma inequação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas mediante
uma desigualdade.
Exemplo 1.5 Tipos de Inequações
• Inequação de Primeiro grau
3x − 4 ≤ 2 − x
• Inequação de Segundo grau
x2 − 4x − 5 < 0
• Inequação Racional
x2 − 5x + 4
≥ x+2
x2 − 4
• Inequação Irracional
√
√
x + 3 + x + 4 > −3
• Inequação Exponencial
p
3
3(5x+1)/3 <
p
93(x+1)/5
11 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Definição 1.7
Diz-se que um número real a é solução da inequação, ou satisfaz uma inequação, se ao substituir a variável da expressão por a, a desigualdade se faz verdadeira. Além disso, o conjunto
de todas as soluções de uma inequação é chamado de conjunto solução, denotado por C. S.
Assim, resolver uma inequação significa encontrar seu C. S.
Nota
Se não existem soluções reais para a inequação, então diz-se que C. S. é vazio, e se escreve,
C. S. = 0/
Exemplo 1.6
Seja a inequação
x2 − 4x − 5 < 0
Então:
a. O número real 4 é uma solução da inequação de segundo grau acima, pois
(4)2 − 4(4) − 5 = −5 < 0.
Assim, 4 ∈ C. S.
b. Porém, os números reais −1 e 5 não são soluções, pois
(−1)2 − 4(−1) − 5 = 0 6< 0
e (5)2 − 4(5) − 5 = 0 6< 0.
Assim, −1, 5 ∈
/ C. S.
1.4.1
Resolvendo Inequações
1.4.1.1
Inequações de Primeiro Grau
As inequações de primeiro grau numa variável são da forma:
ax + b > 0
ou ax + b < 0
ou ax + b ≥ 0
ou ax + b ≤ 0,
com a 6= 0.
Então, para resolver estas inequações consideramos, sem perda de generalidade que, a > 0. Assim,
i. ax + b > 0
⇔
x > − ab
se, e somente se,
ii. ax + b < 0
⇔
x < − ab
se, e somente se,
iii. ax + b ≥ 0
⇔
x ≥ − ab
se, e somente se,
iv. ax + b ≤ 0
⇔
x ≤ − ba
se, e somente se,
12 / 66
C. S. = − ab , +∞ ;
C. S. = −∞, − ab ;
C. S. = − ab , +∞ ;
C. S. = −∞, − ab .
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.7
Resolvamos as seguintes inequações de primeiro grau:
a. 5x + 6 < 8.
Solução
2
5x + 6 < 8 ⇔ 5x < 8 − 6 = 2 ⇔ x < .
5
Portanto,
2
C. S. = −∞,
.
5
b. 5x + 5 ≥ 1 − 3x.
Solução
5x + 5 ≥ 1 − 3x ⇔ 5x + 3x ≥ 1 − 5 ⇔ 8x ≥ −4 ⇔ x ≥ −
4
1
⇔ x≥− .
8
2
Portanto,
1
C. S. = − , +∞ .
2
c. 3x − 4 < 2 + x.
Solução
3x − 4 < 2 + x ⇔ 3x − x < 2 + 4 ⇔ 2x < 6 ⇔ x <
Portanto,
C. S. = (−∞, 3).
1.4.1.2
6
2
⇔ x < 3.
Inequações de Segundo Grau
As inequações de segundo grau numa variável são da forma:
ax2 +bx+c > 0
ou ax2 +bx+c < 0
ou ax2 +bx+c ≥ 0
ou ax2 +bx+c ≤ 0,
com a 6= 0.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que a > 0. Assim, usando a fórmula de Bhaskara, temos
os seguintes casos:
Caso I
Se ∆ = 0, então ax2 + bx + c = 0 tem uma única raiz, isto é, r = r1 = r2 . Portanto:
i. ax2 + bx + c > 0 se, e somente se, C. S. = R \ {r};
ii. ax2 + bx + c < 0 se, e somente se, C. S. = 0;
/
iii. ax2 + bx + c ≥ 0 se, e somente se, C. S. = R;
iv. ax2 + bx + c ≤ 0 se, e somente se, C. S. = {r}.
Caso II
Se ∆ > 0, então ax2 + bx + c = 0 tem duas raízes diferentes, com r1 < r2 . Portanto:
i. ax2 + bx + c > 0 se, e somente se, C. S. = (−∞, r1 ) ∪ (r2 , +∞);
ii. ax2 + bx + c < 0 se, e somente se, C. S. = (r1 , r2 );
13 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
iii. ax2 + bx + c ≥ 0 se, e somente se, C. S. = (−∞, r1 ] ∪ [r2 , +∞);
iv. ax2 + bx + c ≤ 0 se, e somente se, C. S. = [r1 , r2 ].
Caso III
Se ∆ < 0, então ax2 + bx + c = 0 não tem raízes em R. Portanto:
i. ax2 + bx + c > 0 se, e somente se, C. S. = R;
ii. ax2 + bx + c < 0 se, e somente se, C. S. = 0;
/
iii. ax2 + bx + c ≥ 0 se, e somente se, C. S. = R;
iv. ax2 + bx + c ≤ 0 se, e somente se, C. S. = 0.
/
Exemplo 1.8
Resolvamos as seguintes inequações:
a. x2 − 2 < 3x + 2
Solução
x2 − 2 < 3x + 2 ⇔ x2 − 3x − 4 < 0. Como ∆ = (−3)2 − 4(1)(−4) = 25 > 0, então
x2 − 3x − 4 = 0 tem duas raizes reais diferentes:
√
√
√
√
−(−3) + ∆ 3 + 25 8
−(−3) − ∆ 3 − 25 −2
=
=
= −1 e r2 =
=
= = 4.
r1 =
2(1)
2
2
2(1)
2
2
Aplicando o item ii do Caso II, pois r1 < r2 , temos que C. S. = (−1, 4).
Embora já tenhamos encontrado o conjunto solução para a inequação dada, a seguir apresentamos métodos alternativos para determiná-lo.
Método 1 (Decompondo)
x2 − 2 < 3x + 2
x2 − 3x − 4 < 0
⇔
⇔
(x − 4)(x + 1) < 0.
Logo, pelo item xiv do Teorema 1.3 temos que
(x − 4)(x + 1) < 0 ⇔ (x − 4 < 0
⇔ (x < 4
e x + 1 > 0) ou (x − 4 > 0
e x > −1) ou (x > 4
⇔ −1 < x < 4
ou
0/
⇔
e x + 1 < 0)
e x < −1)
x ∈ (−1, 4) ∪ 0/
⇔ x ∈ (−1, 4).
Método 2 (Completando Quadrados)
x2 − 2 < 3x + 2 ⇔ x2 − 3x < 4
⇔
3 2 25
⇔
x−
<
2
4
9
9
< 4+
4
4
2
3 2
5
x−
−
<0
2
2
x2 − 3x +
⇔
3 5
3 5
⇔
x− −
x− +
<0
2 2
2 2
⇔ (x − 4) (x + 1) < 0.
14 / 66
⇔
8
2
x−
x+
<0
2
2
Cálculo Diferencial e Integral
Assim, trabalhando de forma analoga ao Método 1 acima, temos que
(x − 4) (x + 1) < 0
⇔
x ∈ (−1, 4).
Método 3 (Encontrando o quadro de sinais)
x2 − 2 < 3x + 2
⇔
x2 − 3x − 4 < 0
⇔
(x + 1)(x − 4) < 0.
Assim, os valores de x para os que (x + 1)(x − 4) = 0 são x = −1 e x = 4 (raízes de
cada fator). Logo,
Figura 1.2: Quadro de sinais
Nesta figura observamos que (x + 1)(x − 4) < 0, se x ∈ (−1, 4).
Portanto, em todos estes casos obtivemos,
C. S. = (−1, 4).
b. x2 + 1 < 0
Solução
Para x2 − 1 < 0 temos que ∆ = (0)2 − 4(1)(1) = −16 < 0. Então, do Caso III item ii, se
segue que x2 + 1 = 0 não tem raízes em R.
Portanto,
C. S. = 0.
/
c. 4x2 − x − 3 ≥ 0.
Solução
Para 4x2 − x − 3 ≥ 0 temos que ∆ = (−1)2 − 4(4)(−3) = 49 > 0, então 4x2 − x − 3 = 0
tem duas raizes reais diferentes:
√
√
−(−1) − ∆ 1 − 49
3
=
=−
r1 =
2(4)
8
4
√
√
−(−1) + ∆ 1 + 49 8
e r2 =
=
= = 1.
2(4)
8
8
Portanto, aplicando o item iii do Caso II, pois r1 < r2 ,
3
C. S. = −∞, − ∪ 1, +∞ .
4
15 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
1.4.1.3
Inequações Polinomiais
Seja o polinômio de grau n:
P(x) = an xn + · · · + a1 x + a0
onde a0 , a1 , . . . , an são contantes e an > 0, n ∈ N. Então, as inequações polinomiais numa variável
são da forma:
P(x) > 0 ou P(x) < 0 ou P(x) ≥ 0 ou P(x) ≤ 0.
Assim como nos casos anteriores, este tipo de inequações são resolvidas de acordo com a natureza
das raízes da equação polinomial P(x) = 0. Desde que P(x) tem grau n, então esta equação pode ter
no máximo n raízes em R. Vamos denotar cada uma destas raízes por r1 , r2 , . . . , rn .
Caso I
Se P(x) = 0 tem n raízes diferentes em R, com r1 < r2 < · · · < rn−1 < rn , então alternamos o
sinal + e − nos intervalos consecutivos delimitados por estas raízes, começamos assinando o
sinal + ao intervalo mais a direita, isto é, aquele intervalo à direita da raiz rn , veja a figura a
seguir:
Logo,
i. P(x) > 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos abertos com sinal +, isto é:
a. Se n é par, então C. S. = (−∞, r1 ) ∪ · · · ∪ (rn , +∞);
b. Se n é ímpar, então C. S. = (r1 , r2 ) ∪ · · · ∪ (rn , +∞);
ii. P(x) < 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos abertos com sinal −, isto é:
a. Se n é par, então C. S. = (r1 , r2 ) ∪ · · · ∪ (rn−1 , rn );
b. Se n é ímpar, então C. S. = (−∞, r1 ) ∪ · · · ∪ (rn−1 , rn );
iii. P(x) ≥ 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal +, isto é:
a. Se n é par, então C. S. = (−∞, r1 ] ∪ · · · ∪ [rn , +∞);
b. Se n é ímpar, então C. S. = [r1 , r2 ] ∪ · · · ∪ [rn , +∞);
iv. P(x) ≤ 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal −, isto é:
a. Se n é par, então C. S. = [r1 , r2 ] ∪ · · · ∪ [rn−1 , rn ];
b. Se n é ímpar, então C. S. = (−∞, r1 ] ∪ · · · ∪ [rn−1 , rn ];
Caso II
Seja rk uma raiz de P(x) = 0 com multiplicidade maior ou igual que 2. Então:
i. Se a multiciplicidade de rk é par, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I
sem considerar rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
ii. Se a multiciplicidade de rk é impar, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso I
considerando rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
Caso III
Se alguma raiz de P(x) = 0 não é real, então ela não é consideradas na obtenção dos intervalos
que definem C. S. Em outras palavras, o C. S. será obtido seguindo os procedimentos dos casos
anteriores com as raízes reais.
16 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.9
Resolvamos as seguintes inequações:
a. (x − 1)4 (x + 2)(x + 4) ≤ 0
Solução
Fazendo P(x) = (x − 1)4 (x + 2)(x + 4) = 0, temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = −4,
r2 = −2 e r3 = 1. Notemos que a multiciplicidade de r3 é 4. Então, aplicando o Caso
II item i, r3 = 1 não será considerada para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.
Mais ainda, como a inequação é da forma P(x) ≤ 0, podemos aplicar o item iv(a) do Caso
I, considerando, somente, as raízes r1 = −4, r2 = −2. Ou seja, x pertence à união dos
intervalos com sinal (−). Veja a figura a seguir:
Portanto,
C. S. = [−4, −2].
b. (x2 − 3)5 (x2 + 16)(x2 − 16)(x4 + 1) > 0
Solução
Desde que:
x2 + 16 = 0
e x4 + 1 = 0
não tem raízes em R
temos que, pelo Caso III, x2 + 16 e x4 + 1 não serão consideradas na obtenção dos intervalos que definem C. S. Além disso,
√
√
x2 − 3 = (x + 3)(x − 3) e x2 − 16 = (x − 4)(x + 4).
Assim,
√
√
(x2 − 3)5 (x2 + 16)(x2 − 16)(x4 + 1) > 0 ⇔ (x + 3)5 (x − 3)5 (x − 4)(x + 4) > 0.
√ 5
√ 5
Fazendo P(x) = (x+
3)
(x−
3) (x−4)(x+4) = 0, temos que as raízes de P(x) = 0 são
√
√
r1 = −4, r2 = − 3, r3 = 3 e r4 = 4. Note que tanto r2 como r3 têm multiciplicidade 5.
Do Caso II item ii r2 e r3 serão consideradas para a obtenção dos intervalos que definem
o C. S. Mais ainda, como a inequação é da forma
√P(x) > 0,
√ podemos aplicar o item i(a)
do Caso I, para todas as raízes r1 = −4, r2 = − 3, r3 = 3 e r4 = 4. Ou seja, então x
pertence à união dos intervalos com sinal (+). Veja figura a seguir:
Portanto,
√ √ C. S. = (−∞, −4) ∪ − 3, 3 ∪ (4, +∞).
17 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
1.4.1.4
Inequações Racionais
Sejam os polinômios:
P(x) = an xn + · · · + a1 x + a0
e Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0
onde a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm são contantes, an > 0 e bm > 0, n, m ∈ N e Q(x) é um polinômio
diferente de zero.
Então, as inequações racionais numa variável são da forma:
P(x)
>0
Q(x)
P(x)
<0
Q(x)
ou
ou
P(x)
≥0
Q(x)
ou
P(x)
≤ 0.
Q(x)
Para resolver este tipo de inequações, devemos saber que:
i.
P(x)
>0
Q(x)
⇔
P(x)Q(x) > 0;
ii.
P(x)
<0
Q(x)
⇔
P(x)Q(x) < 0;
iii.
P(x)
≥0
Q(x)
⇔
P(x)Q(x) ≥ 0
e Q(x) 6= 0;
iv.
P(x)
≤0
Q(x)
⇔
P(x)Q(x) ≤ 0
e Q(x) 6= 0.
Logo, fazendo P̂(x) = P(x)Q(x), procedemos como nos casos anteriores para P̂(x) em ordem a obter
o C. S.
Nota
Q(x) 6= 0 implica que os intervalos que contêm alguma das raízes da equação Q(x) = 0
devem ser abertos nesses extremos.
Exemplo 1.10
Resolvamos a seguinte inequação:
x−2 x+2
>
a.
x−4
x
Solução
x−2 x+2
x+2 x−2
(x + 2)(x − 4) − x(x − 2)
>
⇔
−
<0 ⇔
<0
x−4
x
x
x−4
x(x − 4)
⇔
−8
<0
x(x − 4)
⇔
1
> 0.
x(x − 4)
Logo, pelo item i acima,
1
>0
x(x − 4)
⇔
x(x − 4) > 0.
Fazendo P(x) = x(x − 4), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = 0 e r2 = 4. Como a
inequação é da forma P(x) > 0, podemos aplicar o item i(a) do Caso I, pois consideraremos todas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (+), conforme a
figura a seguir:
18 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
C. S. = (−∞, 0) ∪ (4, +∞).
b.
x(x + 2) (x − 1)(x + 2) 2x(x + 2)
+
≤
x−1
x
x+1
Solução
x(x + 2) (x − 1)(x + 2) 2x(x + 2)
x(x + 2) (x − 1)(x + 2) 2x(x + 2)
+
≤
⇔
+
−
≤0
x−1
x
x+1
x−1
x
x+1
x−1
2x
x
+
−
(x + 2) ≤ 0
⇔
x−1
x
x+1
No entanto
x
x−1
2x
x2 (x + 1) + (x − 1)(x − 1)(x + 1) − 2x2 (x − 1)
2x2 − x + 1
+
−
=
=
x−1
x
x+1
(x − 1)x(x + 1)
(x − 1)x(x + 1)
Assim,
x(x + 2) (x − 1)(x + 2) 2x(x + 2)
+
≤
x−1
x
x+1
(2x2 − x + 1)(x + 2)
⇔
≤ 0.
(x − 1)x(x + 1)
Logo, pelo item iv acima,
(2x2 − x + 1)(x + 2)
≤0
(x − 1)x(x + 1)
⇔ (2x2 − x + 1)(x + 2)(x − 1)x(x + 1) ≤ 0
e (x − 1)x(x + 1) 6= 0
Desde que 2x2 − x + 1 = 0 não tem raízes reais, esta expressão não será considerada para
a obtenção de C. S. Assim,
(2x2 − x + 1)(x + 2)(x − 1)x(x + 1) ≤ 0
⇔
(x + 2)(x − 1)x(x + 1) ≤ 0
e (x − 1)x(x + 1) 6= 0
e (x − 1)x(x + 1) 6= 0
Fazendo P(x) = (x + 2)(x − 1)x(x + 1), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = −2,
r2 = −1, r3 = 0 e r4 = 1. Pela nota da subseção 1.4.1.4, (x − 1)x(x + 1) 6= 0 implica que
os intervalos que tenham r2 , r3 e r4 devem ser abertos nestes extremos. Desde que a inequação é da forma P(x) ≤ 0, podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, pois consideraremos
todas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−), veja figura a
seguir:
Portanto,
C. S. = [−2, −1) ∪ (0, 1).
19 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
1.4.1.5
Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios
Sejam f (x) e g(x) duas expressões que envolvem polinômios, na variável x. Então, as inequações
exponenciais envolvendo polinômios numa variável são da forma:
a f (x) > ag(x)
ou a f (x) < ag(x)
ou a f (x) ≥ ag(x)
ou a f (x) ≤ ag(x) ,
onde a > 0, a 6= 1.
Para resolver este tipo de inequação, são considerados dois casos.
Caso I
Se a > 1, então os expoentes da inequação preservam a mesma ordem, isto é:
i.
ii.
iii.
iv.
a f (x) > ag(x)
a f (x) < ag(x)
a f (x) ≥ ag(x)
a f (x) ≤ ag(x)
⇔
⇔
⇔
⇔
f (x) > g(x);
f (x) < g(x);
f (x) ≥ g(x);
f (x) ≤ g(x).
Caso II
Se 0 < a < 1, então os expoentes da inequação invertem a ordem, isto é:
i.
ii.
iii.
iv.
a f (x) > ag(x)
a f (x) < ag(x)
a f (x) ≥ ag(x)
a f (x) ≤ ag(x)
⇔
⇔
⇔
⇔
f (x) < g(x);
f (x) > g(x);
f (x) ≤ g(x);
f (x) ≥ g(x).
Logo, o conjunto solução de cada item é obtido resolvendo esta última inequação, usando os procedimentos vistos nos casos anteriormente.
Exemplo 1.11
Resolver as seguintes inequações:
√
4
a. 2(5x+2)/4 > 24(x+1)/5
Solução
2(5x+2)/4 >
√
4
24(x+1)/5
1
4
⇔ 2(5x+2)/4 > 24(x+1)/5
⇔ 2(5x+2)/4 > 24(x+1)/(4·5) ⇔
2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5
Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x) , com a = 2 > 1, podemos aplicar o item i do
Caso I, isto é
5x + 2 x + 1
2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5 ⇔
>
.
4
5
5x + 2 x + 1
Assim, agora precisamos determinar o C. S. de
>
. Desde que
4
5
5x + 2 x + 1
5x + 2 x + 1
5(5x + 2) − 4(x + 1)
>
⇔
−
>0 ⇔
4
5
4
5
20
⇔
21x + 6
>0
20
⇔
3(7x + 2)
>0
20
⇔
7x + 2 > 0
⇔
2
x>− .
7
20 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Portanto,
2
C. S. = − , +∞ .
7
1
(0, 9)2x+5
x+2
(3x+2)(x+1)
≥
b. (0, 3)
32x+5
Solução
1
2x+5
(3x+2)(x+1)
(0, 9)2x+5
x+2
(3x+2)(x+1)
x+2
⇔ (0, 3)
≥ 0,9
(0, 3)
≥
3
2x+5
3
⇔ (0, 3)
(3x+2)(x+1)
x+2
≥ (0, 3)2x+5 .
Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x) , com a = 0, 3 < 1, podemos aplicar o item iv
do Caso II, isto é
(3x+2)(x+1)
(3x + 2)(x + 1)
≤ 2x + 5.
(0, 3) x+2 ≥ (0, 3)2x+5 ⇔
x+2
(3x + 2)(x + 1)
Assim, agora precisamos determinar o C. S. de
≤ 2x + 5. Desde que
x+2
(3x + 2)(x + 1)
(3x + 2)(x + 1)
≤ 2x + 5 ⇔
− 2x + 5 ≤ 0
x+2
x+2
⇔
(3x + 2)(x + 1) − (2x + 5)(x + 2)
≤0
x+2
x2 − 4x − 8
≤ 0.
x+2
√
√
Como x2 − 4x − 8 = (x − 2 − 2 3)(x − 2 + 2 3), então
√
√
(x − 2 − 2 3)(x − 2 + 2 3)
x2 − 4x − 8
≤0 ⇔
≤0
x+2
x+2
Pelo item iv de Inequações Racionais temos que
√
√
(x − 2 − 2 3)(x − 2 + 2 3)
≤0
x+2
√
√
⇔ (x − 2 − 2 3)(x − 2 + 2 3)(x + 2) ≤ 0 e x + 2 6= 0.
√
√
Fazendo P(x) = (x −
√2 − 2 3)(x −√2 + 2 3)(x + 2), temos que as raízes de P(x) = 0 são
r1 = −2, r2 = 2 − 2 3, r3 = 2 + 2 3. Como a inequação é da forma P(x) ≤ 0, podemos
aplicar o item iv(b) do Caso I. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−),
veja figura a seguir:
⇔
2 -2 3
Lembre que, pela nota da subseção 1.4.1.4, x + 2 6= 0 implica que o intervalos que tenham
r1 devem ser abertos neste extremo.
Portanto,
h
√
√ i
C. S. = (−∞, −2) ∪ 2 − 2 3, 2 + 2 3 .
21 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
1.4.1.6
Inequações Irracionais
Sejam os polinômios:
P(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ,
Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0
e R(x) = cl xl + · · · + c1 x + c0
onde a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm , c0 , c1 , . . . , cl são contantes, an > 0, bm > 0 e cl > 0, n, m e l ∈ N.
Então, os casos particulares das inequações irracionais numa variável, que trabalharemos, são da
forma:
Caso I
Para as inequações da forma:
p
P(x) > Q(x),
p
P(x) ≥ Q(x),
p
p
P(x) < Q(x) e
P(x) ≤ Q(x).
Temos as seguintes equivalências:
p
i. P(x) > Q(x) ⇔
P(x) ≥ 0 e Q(x) ≤ 0
p
ii. P(x) ≥ Q(x) ⇔
P(x) ≥ 0 e Q(x) ≤ 0
p
iii. P(x) < Q(x) ⇔ P(x) ≥ 0 e Q(x) > 0 e
p
iv. P(x) ≤ Q(x) ⇔ P(x) ≥ 0 e Q(x) ≥ 0 e
P(x) ≥ 0 e P(x) > Q2 (x) ;
ou
P(x) ≥ 0 e P(x) ≥ Q2 (x) ;
ou
P(x) < Q2 (x);
P(x) ≤ Q2 (x).
Caso II
Para as inequações da forma:
p
p
p
p
p
p
P(x) + Q(x) > 0,
P(x) + Q(x) ≥ 0,
P(x) ± Q(x) ≥ k,
p
p
p
p
P(x) + Q(x) < 0 e
P(x) + Q(x) ≤ 0.
k > 0,
Temos as seguintes equivalências:
p
p
i. P(x) + Q(x) > 0 ⇔
P(x) ≥ 0 e Q(x) > 0
ou
P(x) > 0 e Q(x) ≥ 0 ;
p
p
ii. P(x) + Q(x) ≥ 0 ⇔ P(x) ≥ 0 e Q(x) ≥ 0;
p
p
p
iii. P(x) ± Q(x) ≥ k, k > 0 ⇔ P(x) ≥ 0 e Q(x) ≥ 0 e P(x) ≥ (k ∓ Q(x))2 ;
p
p
iv. P(x) + Q(x) < 0 ⇔ C. S. = 0;
/
p
p
v. P(x) + Q(x) ≤ 0 ⇔ P(x) = 0 e Q(x) = 0.
Caso III
Para as inequações da forma:
p
P(x) −
p
Q(x) > 0
Temos as seguintes equivalências:
p
p
i. P(x) − Q(x) > 0 ⇔ P(x) ≥ 0
p
p
ii. P(x) − Q(x) ≥ 0 ⇔ P(x) ≥ 0
e
p
p
P(x) − Q(x) ≥ 0
e Q(x) ≥ 0
e P(x) > Q(x);
e Q(x) ≥ 0
e P(x) ≥ Q(x).
22 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.12
Resolvamos as seguintes inequações:
√
a. x2 − x − 2 < 5 − x
Solução
Aplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x2 − x − 2 e Q(x) = 5 − x, temos que:
√
x2 − x − 2 < 5 − x ⇔ x2 − x − 2 ≥ 0
e
e x2 − x − 2 < (5 − x)2
5−x ≥ 0
⇔ (x − 2)(x + 1) ≥ 0
e
5≥x
e x2 − x − 2 < 25 − 10x + x2
⇔ (x − 2)(x + 1) ≥ 0
e
5≥x
e
⇔ (x − 2)(x + 1) ≥ 0
e
5≥x
e x < 3.
9x < 27.
Logo,
(x − 2)(x + 1) ≥ 0
x ≤ 5
x < 3
⇔ x ∈ (−∞, −1] ∪ [2, +∞);
⇔ x ∈ (−∞, 5];
⇔ x ∈ (−∞, 3).
Assim, x pertence à interseção destes intervalos, isto é
x ∈ (−∞, −1] ∪ [2, +∞) ∩ (−∞, 5] ∩ (−∞, 3) = (−∞, −1] ∪ [2, 3).
Portanto,
C. S. = (−∞, −1] ∪ [2, 3).
b.
√
x−8 ≤ 0
Solução
Aplicando o item iv do Caso I, para P(x) = x − 8 e Q(x) = 0, temos que:
√
x−8 ≤ 0 ⇔ x−8 ≥ 0
⇔ x≥8
e
e
0≤0
0≤0
e x−8 ≤ 0
e x ≤ 8.
Logo,
x ≥ 8
0 ≤ 0
x ≤ 8
⇔ x ∈ (−∞, 8];
⇔ x ∈ R;
⇔ x ∈ [8, +∞).
Assim, x pertence à interseção destes intervalos, isto é
x ∈ (−∞, 8] ∩ R ∩ [8, +∞) = {8}.
Portanto,
C. S. = {8}.
c.
√
x+5 < 0
23 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Solução
Aplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x + 5 e Q(x) = 0, temos que:
√
x+5 < 0 ⇔ x+5 ≥ 0
0>0
e
e x + 5 < 02
⇔ x ≥ −5
e
0>0
e x + 5 < 0.
⇔ x ≥ −5
e
0>0
e x < −5.
Logo,
x ≥ −5
0 >
0
x < −5
⇔ x ∈ (−∞, −5];
⇔ 0;
/
⇔ x ∈ (5, +∞).
Assim, x pertence à interseção destes intervalos, isto é
x ∈ (−∞, −5] ∩ 0/ ∩ (−5, +∞) = 0/
Portanto,
C. S. = 0/
Note que, não é necessário fazer as
/ pois da definição
√ que C. S. = 0,
√contas acima para obter
da raiz quadrada, se segue que x + 5 ≥ 0. Assim, x + 5 < 0 é uma inequação não
válida.
Caso IV
Para as inequações da forma:
p
P(x) n Q(x)
≥ 0,
R(x)
p
P(x) n Q(x)
≤ 0,
R(x)
P(x)
p
≤0
R(x) n Q(x)
e
P(x)
p
≥ 0,
R(x) n Q(x)
p
p
n
P(x) ≤ n Q(x),
com n ≥ 1 e impar. Temos as seguintes equivalências:
p
P(x) n Q(x)
P(x)Q(x)
≥0 ⇔
≥ 0;
i.
R(x)
R(x)
p
P(x) n Q(x)
P(x)Q(x)
ii.
≤0 ⇔
≤ 0;
R(x)
R(x)
P(x)
P(x)
p
iii.
≥
0
⇔
≥ 0;
R(x)Q(x)
R(x) n Q(x)
P(x)
P(x)
p
iv.
≤
0
⇔
≤ 0;
R(x)Q(x)
R(x) n Q(x)
p
p
v. n P(x) ≤ n Q(x) ⇔ P(x) ≤ Q(x).
Nota
Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso IV,
porém ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤
por > ou <, respectivamente.
24 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Caso V
Para as inequações da forma:
p
P(x) n Q(x) ≥ 0,
P(x)
p
≤ 0,
R(x) n Q(x)
P(x)
p
≥ 0,
R(x) n Q(x)
p
p
p
n
P(x) ≥ Q(x) e n P(x) ≤ n Q(x),
p
P(x) n Q(x) ≤ 0,
com n ≥ 0 e par. Temos as seguintes equivalências:
p
i. P(x) n Q(x) ≥ 0 ⇔ P(x) ≥ 0 e Q(x) ≥ 0;
p
ii. P(x) n Q(x) ≤ 0 ⇔ P(x) ≤ 0 e Q(x) ≥ 0;
iii.
P(x)
p
≥0
R(x) n Q(x)
⇔
Q(x) > 0
e
P(x)
≥ 0;
R(x)
P(x)
P(x)
p
≤ 0 ⇔ Q(x) > 0 e
≤ 0;
n
R(x)
R(x) Q(x)
p
P(x) ≥ 0 e Q(x) ≤ 0
ou
P(x) ≥ 0 e P(x) ≥ Qn (x) ;
v. n P(x) ≥ Q(x) ⇔
p
vi. n P(x) ≤ Q(x) ⇔ P(x) ≥ 0 e Q(x) ≥ 0 e P(x) ≤ Qn (x);
p
p
vii. n P(x) ≤ n Q(x) ⇔ P(x) ≥ 0 e Q(x) ≥ 0 e P(x) ≤ Q(x).
iv.
Nota
Se a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso V,
porém ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤
por > ou <, nas inequações que envolvam P(x), Q(x) e R(x), respectivamente.
Exemplo 1.13
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
x+5
√
≤0
7
(x − 4) 81 − x2
Solução
Desde que n =√7 é um número impar, podemos aplicar o item ii do Caso IV, para P(x) =
7
x + 5, Q(x) = 81 − x2 e R(x) = x − 4. Assim, temos que:
x+5
√
≤0
7
(x − 4) 81 − x2
⇔
x+5
≤0
(x − 4)(81 − x2 )
⇔
x+5
≥0
(x − 4)(x2 − 81)
Por outro lado, pelo item iii de Inequações Racionais temos que
x+5
≥ 0 ⇔ (x + 5)(x − 4)(x2 − 81) ≥ 0
(x − 4)(x2 − 81)
No entanto,
x2 − 81 = (x − 9)(x + 9)
25 / 66
e (x − 4)(x2 − 81) 6= 0.
Cálculo Diferencial e Integral
Assim,
x+5
√
≤0
7
(x − 4) 81 − x2
⇔
(x+5)(x − 4)(x − 9)(x + 9) ≥ 0
e (x−4)(x−9)(x+9) 6= 0
Fazendo S(x) = (x + 5)(x − 4)(x − 9)(x + 9), temos que as raízes de S(x) = 0 são r1 =
−9, r2 = −5, r3 = 4 e r4 = 9. Pela nota da subseção 1.4.1.4, (x − 4)(x − 9)(x + 9) 6=
0 implica que os intervalos que tenham r1 , r3 e r4 devem ser abertos nestes extremos.
Desde que a inequação é da forma S(x) ≥ 0, podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, pois
consideraremos todas as raízes. Portanto,
C. S. = (−∞, −9) ∪ [−5, 4) ∪ (9, +∞)
b.
x+5
√
≥0
6
(x − 4) 81 − x2
Solução
Desde que
n = 6 é um número par, podemos aplicar o item iii do Caso V, para P(x) = x+5,
√
6
Q(x) = 81 − x2 e R(x) = x − 4, temos que:
x+5
x+5
√
≥0
≥ 0 ⇔ 81 − x2 > 0 e
6
x−4
(x − 4) 81 − x2
Por outro lado, pelo item iii de Inequações Racionais, temos que
x+5
≥0
x−4
⇔
(x + 5)(x − 4) ≥ 0
e x − 4 6= 0
Assim,
x+5
√
≥ 0 ⇔ 81 − x2 > 0
6
(x − 4) 81 − x2
e (x + 5)(x − 4) ≥ 0
e x − 4 6= 0
⇔ x2 − 81 < 0
e (x + 5)(x − 4) ≥ 0
e x 6= 4
⇔ (x + 9)(x − 9) < 0
e (x + 5)(x − 4) ≥ 0
e x 6= 4.
Logo,
(x + 9)(x − 9) < 0
(x + 5)(x − 4) ≥ 0
x 6= 4
⇔ x ∈ (−9, 9);
⇔ x ∈ (−∞, −5] ∩ [4, +∞);
⇔ x ∈ (−∞, 4) ∪ (4, +∞).
Assim, x pertence à interseção destes intervalos, isto é
x ∈ (−9, 9) ∩ (−∞, −5] ∩ [4, +∞ ∩ (−∞, 4) ∪ (4, +∞) = (−9, −5] ∪ (4, 9).
Portanto,
C. S. = (−9, −5] ∪ (4, 9).
Caso VI
Para as inequações da forma:
P(x)
p
p
p
≥0
n2
R(x) Q1 (x) Q2 (x) . . . nk Qk (x)
n1
e
26 / 66
R(x)
p
n1
P(x)
p
p
≤0
Q1 (x) Q2 (x) . . . nk Qk (x)
n2
Cálculo Diferencial e Integral
i. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . , k, então temos as seguintes equivalências:
a.
P(x)
p
p
p
≥0
R(x) n1 Q1 (x) n2 Q2 (x) . . . nk Qk (x)
Q1 (x) > 0
b.
e Q2 (x) > 0
e
⇔
...
P(x)
p
p
p
≤0
n2
R(x) Q1 (x) Q2 (x) . . . nk Qk (x)
e Q2 (x) > 0
e
e
P(x)
≥ 0;
R(x)
e Qk (x) > 0
e
P(x)
≤ 0.
R(x)
⇔
n1
Q1 (x) > 0
e Qk (x) > 0
...
ii. Se ni > 1 e impar, para todo i = 1, . . . , k, então temos as seguintes equivalências:
P(x)
p
p
p
≥0
R(x) n1 Q1 (x) n2 Q2 (x) . . . nk Qk (x)
P(x)
p
p
p
b.
≤0
n1
n2
R(x) Q1 (x) Q2 (x) . . . nk Qk (x)
a.
P(x)
≥ 0;
R(x)Q1 (x)Q2 (x) . . . Qk (x)
P(x)
≤ 0.
R(x)Q1 (x)Q2 (x) . . . Qk (x)
⇔
⇔
iii. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . , l, e ni > 1 e impar, para todo i = l + 1, . . . , k. Temos
as seguintes equivalências:
a.
P(x)
p
p
p
p
p
≥0
R(x) n1 Q1 (x) n2 Q2 (x) . . . nl Ql (x) nl+1 Ql+1 (x) . . . nk Qk (x)
Q1 (x) > 0
b.
e
...
e Ql (x) > 0
e
P(x)
≥ 0;
R(x)Ql+1 (x) . . . Qk (x)
P(x)
p
p
p
p
p
≤0
R(x) n1 Q1 (x) n2 Q2 (x) . . . nl Ql (x) nl+1 Ql+1 (x) . . . nk Qk (x)
Q1 (x) > 0
e
...
e Ql (x) > 0
e
⇔
⇔
P(x)
≤ 0.
R(x)Ql+1 (x) . . . Qk (x)
Nota
Caso os ni ’s dos l primeiros radicais, não sejam pares, reodenamos os
p
Q1 (x),
n1
p
Q2 (x),
n2
...,
p
Qk (x)
nk
de tal forma que isto seja verdadeiro.
Exemplo 1.14
Resolvamos as seguintes inequações:
a.
x2 − 4
√
≤0
√
√
4
(x − 13) x2 − 9 x − 1 6 x − 4
Solução
Desde que n1 = 4, n2 = 2 e n3 = 6, ou seja todos são pares, podemos aplicar o item i(b)
27 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
do Caso VI, para P(x) = x2 − 4, Q1 (x) =
R(x) = x − 13. Assim, temos que:
√
√
√
4 2
x − 9, Q2 (x) = x − 1, Q3 (x) = 6 x − 4 e
x2 − 4
√
≤0
√
√
4
(x − 13) x2 − 9 x − 1 6 x − 4
⇔ x2 − 9 > 0
⇔
e x−1 > 0
x2 − 9 > 0
e x>1
x2 − 4
≤0
x − 13
e x−4 > 0
e
e x>4
x2 − 4
≤0
x − 13
e
x2 − 4
≤0
x − 13
Por outro lado, pelo item iv de Inequações Racionais, temos que
x2 − 9 > 0
⇔
x2 − 4
≤0
x − 13
⇔
e x>4
e
(x2 − 4)(x − 13) ≤ 0
e x − 13 6= 0.
Assim,
x2 − 4
√
≤0
√
√
4
(x − 13) x2 − 9 x − 1 6 x − 4
x2 − 9 > 0
e x>4
e (x2 − 4)(x − 13) ≤ 0
⇔ (x + 3)(x − 3) > 0
e x>4
e (x − 2)(x + 2)(x − 13) ≤ 0
⇔
e x 6= 13
e x 6= 13.
Logo,
(x + 3)(x − 3)
x
(x − 2)(x + 2)(x − 13)
x
⇔
⇔
⇔
⇔
> 0
> 4
≤ 0
6
=
13
x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞);
x ∈ (4, +∞);
x ∈ (−∞, −2] ∪ [2, 13];
x ∈ (−∞, 13) ∪ (13, +∞).
Assim, x pertence à interseção dos seguintes intervalos
(−∞, −3) ∪ (3, +∞) ∩ (4, +∞) ∩ (−∞, −2] ∪ [2, 13] ∩ (−∞, 13) ∪ (13, +∞) = (4, 13).
Portanto,
C. S. = (4, 13).
b.
x2 − 4
√
≤0
√
√
3
(x − 13) x2 − 9 9 x − 1 5 x − 4
Solução
Desde que n1 = 3, n2 = 9 e n3 = 5, ou seja todos
são impares, √
podemos aplicar √
o item
√
3 2
9
2
ii(a) do Caso VI, para P(x) = x − 4, Q1 (x) = x − 9, Q2 (x) = x − 1, Q3 (x) = 5 x − 4
e R(x) = x − 13. Assim, temos que:
x2 − 4
√
≤0
√
√
3
(x − 13) x2 − 9 9 x − 1 5 x − 4
28 / 66
⇔
x2 − 4
≤0
(x − 13)(x2 − 9)(x − 1)(x − 4)
Cálculo Diferencial e Integral
Por outro lado, pelo item iv de Inequações Racionais, temos que
x2 − 4
≤0
(x − 13)(x2 − 9)(x − 1)(x − 4)
(x2 − 4)(x − 13)(x2 − 9)(x − 1)(x − 4) ≤ 0
⇔
e (x − 13)(x2 − 9)(x − 1)(x − 4) 6= 0
⇔ (x − 2)(x + 2)(x − 13)(x − 3)(x + 3)(x − 1)(x − 4) ≤ 0
(x − 13)(x − 3)(x + 3)(x − 1)(x − 4) 6= 0.
e
Fazendo S(x) = (x − 2)(x + 2)(x − 13)(x − 3)(x + 3)(x − 1)(x − 4), temos que as raízes de
S(x) = 0 são r1 = −3, r2 = −2, r3 = 1, r4 = 2, r5 = 3, r6 = 4 e r7 = 13. Pela nota da
subseção 1.4.1.4, (x − 13)(x − 3)(x + 3)(x − 1)(x − 4) 6= 0 implica que os intervalos que
tenham r1 , r3 , r5 , r6 e r7 devem ser abertos nestes extremos. Desde que a inequação é da
forma S(x) ≤ 0, pelo item iv(b) do Caso I de Inequações Polinomiais, se segue que
x ∈ (−∞, −3) ∪ [−2, 1) ∪ [2, 3) ∪ [4, 13).
Portanto,
C. S. = (−∞, −3) ∪ [−2, 1) ∪ [2, 3) ∪ [4, 13)
c.
x2 − 4
√
≤0
√
√
7
(x − 13) x2 − 9 6 x − 1 4 x − 4
Solução
x2 − 4
√
≤ 0 como
√
√
6
(x − 13) x2 − 9 7 x − 1 4 x − 4
x2 − 4
√
≤0
√
√
7
(x − 13) 6 x − 1 4 x − 4 x2 − 9
temos que n1 = 6, n2 = 4 e n3 = 7, ou podemos
aplicar o item
iii(b) do Caso√VI, para
√
√
7
4
6
2
l = 2 e k = 3 e P(x) = x − 4, Q1 (x) = x − 1, Q2 (x) = x − 4, Q3 (x) = x2 − 9 e
R(x) = x − 13. Assim, temos que:
Reescrevendo
x2 − 4
√
≤0
√
√
6
(x − 13) x2 − 9 4 x − 4 7 x − 1
⇔ x−1 > 0
e x−4 > 0
e
x2 − 4
≤0
(x − 13)(x2 − 9)
Por outro lado, pelo item iv de Inequações Racionais, temos que
x2 − 4
≤0
(x − 13)(x2 − 9)
(x2 − 4)(x − 13)(x2 − 9) ≤ 0
⇔
e (x − 13)(x2 − 9) 6= 0.
Assim,
x>1
⇔
x>1
⇔ x>4
e x>4
e x>4
e
x2 − 4
≤0
(x − 13)(x2 − 9)
e (x2 − 4)(x − 13)(x2 − 9) ≤ 0
e (x − 2)(x + 2)(x − 13)(x + 3)(x − 3) ≤ 0
29 / 66
e (x − 13)(x2 − 9) 6= 0
e (x − 13)(x + 3)(x − 3) 6= 0.
Cálculo Diferencial e Integral
Logo,
⇔ x ∈ (4, +∞);
⇔ x ∈ (−∞, −3] ∪ [−2, 2] ∪ [3, 13];
⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, 13) ∪ (13, +∞).
x > 4
(x − 2)(x + 2)(x − 13)(x + 3)(x − 3) ≤ 0
(x − 13)(x + 3)(x − 3) 6= 0
Assim, x pertence à interseção dos seguintes intervalos:
(4, +∞) ∩ (−∞, −3] ∪ [−2, 2] ∪ [3, 13] ∩ (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, 13) ∪ (13, +∞)
= (4, 13).
Portanto,
C. S. = (4, 13).
1.5
Valor absoluto
Definição 1.8
O valor absoluto de um número real, denotado por |a|, é definido como:
|a| =
a,
−a,
se a ≥ 0
se a < 0.
Desde o ponto de vista geométrico |a| representa a distância entre o ponto da reta real a e a origem 0.
|a|
_
a
|a|
a
0
Da mesma forma, |a − b| = |b − a| se interpreta como a distância entre os pontos a e b.
|b-a|=|a-b|
a
Exemplo 1.15
|7| = 7; |0| = 0;
| − 4.3| = 4.3;
b
| − | − 53.7|| = | − 53.7| = 53.7.
Teorema 1.4
Sejam a e b ∈ R, então:
i. |a| ≥ 0 e |a| = 0 se, e somente se, a = 0;
ii. |ab| = |a||b|;
iii. |a + b| ≤ |a| + |b|.
A seguir, enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto de um número real verifica.
30 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Teorema 1.5
Sejam a, b e c ∈ R, então:
i. |a|2 = a2 ;
ii. Se b ≥ 0, então |a| = b se, e somente se, a = b ou a = −b;
iii. |a| = |b| se, e somente se, a = b ou a = −b;
√
iv. | − a| = |a| = a2 ;
a |a|
v. Se b 6= 0, então = ;
b
|b|
vi. Se a < c < b, então |c| < max{|a|, |b|};
a. Se 0 < a, então a < |c| < b;
b. Se b < 0, então −b < |c| < −a;
vii. Se b > 0, então |c| < b se, e somente se, −b < c < b;
viii. Se b ≥ 0, então |c| ≤ b se, e somente se, −b ≤ c ≤ b;
ix. |c| > b se, e somente se, c > b ou c < −b;
x. |c| ≥ b se, e somente se, c ≥ b ou c ≤ −b;
xi. |a| ≤ |b| se, e somente se, −a ≤ |b| e a ≤ |b|;
xii. |a| < |b| se, e somente se, −a < |b| e a < |b|;
xiii. ||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|.
Exemplo 1.16
Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto:
a. |3x − 5| = 4.
Solução
Pelo item ii do Teorema 1.5, para a = 3x − 5 e b = 4, temos que:
|3x − 5| = 4
Portanto,
1
3
⇔
3x − 5 = 4
ou
3x − 5 = −4
⇔
x=3
e 3 são raízes de |3x − 5| = 4 e
C. S. =
1
,3 .
3
b. ||7 − 4x| − 3| = 9.
Solução
Pelo item ii do Teorema 1.5, para a = |7 − 4x| − 3 e b = 9, temos que:
||7 − 4x| − 3| = 9
⇔ |7 − 4x| − 3 = 9
ou |7 − 4x| − 3 = −9
⇔
ou
|7 − 4x| = 12
31 / 66
|7 − 4x| = −6.
1
ou x = .
3
Cálculo Diferencial e Integral
Porém pelo item i do Teorema 1.4 , |7 − 4x| ≥ 0, assim e |7 − 4x| = −6 < 0, é uma
igualdade impossível, isto é, |7 − 4x| = −6 não tem raízes. Então, só devemos analisar
|7 − 4x| = 12.
Novamente, pelo item ii do Teorema 1.5, para a = |7 − 4x| e b = 12, temos que:
|7 − 4x| = 12
⇔ 7 − 4x = 12
⇔ 7 − 12 = 4x
ou
7 + 12 = 4x ⇔
5
4
ou
x=
⇔
Portanto, − 54 e
x=−
19
4
ou
−5 = 4x
ou
7 − 4x = −12
19 = 4x
19
.
4
são raízes de ||7 − 4x| − 3| = 9 e
5 19
C. S. = − ,
.
4 4
c. |x − 2| + 3|x − 4| = 5|x + 1|.
Solução
Denotemos por E(x) a equação |x−2|+3|x−4| = 5|x+1|. Para determinar as raízes desta
equação, igualaremos cada um destes valores absolutos a zero, pois precisamos aplicar a
definição do valor absoluto a cada termo. Fazendo isto, obtemos x = 2, x = 4 e x = −1.
Agora, precisamos analisar os 4 casos a seguir:
Caso 1:
Se x < −1, então
x + 1 < 0 ⇒ |x + 1| = −x − 1
x − 2 < −3 ⇒ |x − 2| = −x + 2
x − 4 < −5 ⇒ |x − 4| = −x + 4
Logo,
E(x) : −x + 2 − 3x + 12 = −5x − 5
⇔
x = −19
Assim, x = −19 e −19 ∈ (−∞, −1), implicando que neste intervalo −19 é uma raíz
de |x − 2| + 3|x − 4| = 5|x + 1|.
Caso 2:
Se −1 ≤ x < 2, então
0 ≤ x+1 < 3 ⇒
|x + 1| = x + 1
−3 ≤ x − 2 < 0 ⇒ |x − 2| = −x + 2
−5 ≤ x − 4 < −2 ⇒ |x − 4| = −x + 4
Logo,
E(x) : −x + 2 − 3x + 12 = 5x + 5
⇔
x=1
Assim, x = 1 e 1 ∈ [−1, 2), implicando que neste intervalo 1 é uma raíz de |x − 2| +
3|x − 4| = 5|x + 1|.
32 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Caso 3:
Se 2 ≤ x < 4, então
3 ≤ x+1 < 4 ⇒
|x + 1| = x + 1
0 ≤ x−2 < 2 ⇒
|x − 2| = x − 2
−2 ≤ x − 4 < 0 ⇒ |x − 4| = −x + 4
Logo,
E(x) : x − 2 − 3x + 12 = 5x + 5
⇔
x=
5
7
5
5
Assim, x = , porém 6∈ [2, 4), implicando que neste intervalo não existem raízes de
7
7
|x − 2| + 3|x − 4| = 5|x + 1|.
Caso 4:
Se 4 ≤ x, então
5 ≤ x + 1 ⇒ |x + 1| = x + 1
2 ≤ x − 2 ⇒ |x − 2| = x − 2
0 ≤ x − 4 ⇒ |x − 4| = x − 4
Logo,
E(x) : x − 2 + 3x − 12 = 5x + 5
⇔
x = −19
Assim, x = −19, porém −19 6∈ [4, +∞), implicando que neste intervalo não existem
raízes de |x − 2| + 3|x − 4| = 5|x + 1|.
Portanto, −19 e 1 são as raízes de |x − 2| + 3|x − 4| = 5|x + 1| e
C. S. = {−19, 1}.
Exemplo 1.17
Resolvamos as seguintes inequações com valor absoluto:
a. |x + 1| < x2 + 2x + 1.
Solução
Pelo item xii do Teorema 1.5 para a = x + 1 e b = x2 + 2x + 1 temos que:
|x + 1| < x2 + 2x + 1
⇔
−(x + 1) < x2 + 2x + 1
e (x + 1) < x2 + 2x + 1
Assim,
i. Encontremos o conjunto solução de −(x + 1) < x2 + 2x + 1, e o denotemos por
C. S.1
33 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Pelo item ix do Teorema 1.5 para b = −(x + 1) e c = x2 + 2x + 1 temos que:
−(x + 1) < x2 + 2x + 1
⇔ x2 + 2x + 1 > −(x + 1) ou
x2 + 2x + 1 > −x − 1
⇔
x2 + 2x + 1 < −(−(x + 1))
x2 + 2x + 1 < x + 1
ou
⇔
x2 + 3x + 2 > 0
ou
x2 + x < 0
⇔
(x + 2)(x + 1) > 0
ou
x(x + 1) < 0
⇔
x ∈ (−∞, −2) ∪ (−1, +∞)
Logo,
C. S.1 = (−∞, −2) ∪ (−1, +∞).
ii. Encontremos o conjunto solução de (x + 1) < x2 + 2x + 1, e o denotemos por C. S.2
Novamente, pelo item ix do Teorema 1.5 para b = x + 1 e c = x2 + 2x + 1 temos que:
(x + 1) < x2 + 2x + 1
⇔ x2 + 2x + 1 > (x + 1) ou
x2 + 2x + 1 < −(x + 1)
⇔
x2 + x > 0
ou
x2 + 3x + 2 < 0
⇔
x(x + 1) > 0
ou
(x + 2)(x + 1) < 0
⇔
x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, +∞)
Logo,
C. S.2 = (−∞, −1) ∪ (0, +∞).
Então, o C. S. será obtido intersectando C. S.1 e C. S.2, isto é,
(−∞, −2) ∪ (−1, +∞) ∩ (−∞, −1) ∪ (0, +∞) = (−∞, −2) ∪ (0, +∞)
Portanto,
C. S. = (−∞, −2) ∪ (0, +∞).
x + 3
< 4x + 3.
b. x + 1
Solução
Pelo item vii do Teorema 1.5 para c =
x+3
e b = 4x + 3 temos que:
x+1
34 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
x + 3
x + 1 < 4x + 3
⇔
⇔
⇔
⇔ x > − 34
⇔
⇔
4x + 3 > 0
x
> − 34
e
0<
x > − 43
e
− (4x + 3) <
x+3
−4x − 3 <
x+1
e
x > − 34
e
0 < 4x + 3 +
x+3
x+1
x+3
< 4x + 3
x+1
e
x+3
< 4x + 3
x+1
4x + 3 −
e
x+3
>0
x+1
(4x + 3)(x + 1) + x + 3
(4x + 3)(x + 1) − (x + 3)
e
>0
x+1
x+1
2
2x + 4x + 3
x(2x + 3)
e 0<2
e 2
>0
x+1
x+1
x > − 43
e
0<
2x2 + 4x + 3
x+1
e
x(2x + 3)
>0
x+1
Assim,
i. Encontremos o conjunto solução de x > − 43 , e o denotemos por C. S.1.
Desde que x > − 34 é equivalente a x ∈ − 34 , +∞ . Segue-se que, C. S.1 = − 43 , +∞ .
2x2 + 4x + 3
, e o denotemos por C. S.2.
x+1
2x2 + 4x + 3
Desde que 2x2 + 4x + 3 = 0 não tem raízes reais, então 0 <
é equivalente
x+1
a x + 1 > 0. Logo, C. S.2 = (−1, +∞).
x(2x + 3)
iii. Encontremos o conjunto solução de
> 0, e o denotemos por C. S.3.
x+1
x(2x + 3)
Desde que,
> 0 é equivalente a x(2x + 3)(x + 1) > 0. Segue-se que, r1 =
x+1
− 32 , r2 = −1 e r3 = 0, então C. S.3 = − 32 , −1 ∪ (0, +∞).
ii. Encontremos o conjunto solução de 0 <
Então, o C. S. será obtido intersectando C. S.1, C. S.2 e C. S.3, isto é,
3
3
− , +∞ ∩ (−1, +∞) ∩
− , −1 ∪ (0, +∞) = (0, +∞)
4
2
Portanto,
C. S. = (0, +∞)
1.6
Axioma do Supremo
Antes de começar a falar sobre os limitantes de um conjunto A ⊂ R, vejamos alguns conjuntos
importantes em R:
35 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
• O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto
N = {1, 2, 3, 4, . . . }.
Se n ∈ N, então n é dito de número natural.
• O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
Se z ∈ Z, então z é dito de número inteiro.
• O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto
na
o
: a ∈ Z e b ∈ Z, com b 6= 0 .
b
Se q ∈ Q, então q é dito de número racional.
Q=
• O conjunto dos números aplicar aacionais, denotado por I, é o conjunto
I = {x ∈ R : x 6∈ Q}.
Se x ∈ I, então x é dito de número irracional.
Assim, verifica-se que:
Z = −N ∪ {0} ∪ N,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
R = Q∪I
e Q ∩ I = 0.
/
Nota
a. Entre os números irracionais temos:
•
√ √ √
√
2, 3, 7 4, − 7, . . .
• π = 3, 141592 . . .
• e = 2, 71828182 . . .
b. Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que:
• Entre dois números racionais existe um conjunto infinito de números irracionais;
• Entre dois números irracionais existe um conjunto enumerável de números racionais.
Definição 1.9
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. A é limitado superiormente se existe M ∈ R tal que
x ≤ M,
∀ x ∈ A.
O número M é chamado de limitante superior de A.
36 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
ii. A é limitado inferiormente se existe m ∈ R tal que
m ≤ x,
∀ x ∈ A.
O número m é chamado de limitante inferior de A.
iii. A é limitado se existe L > 0 tal que
|x| ≤ L,
∀ x ∈ A.
Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente.
Exemplo 1.18
a. Os conjuntos N e (−1, +∞) são conjuntos limitados inferiormente, em particular m = −1,
m = −2 são limitantes inferiores. No entanto, estes conjuntos não são limitados superiormente.
b. Os conjuntos (−∞, 4] e −N são conjuntos limitados superiormente, em particular M = 4, M =
20 são limitantes superiores. No entanto, estes conjuntos não são limitados inferiormente.
2
: z ∈ Z \ {0} e {x ∈ R : 2x − x2 ≥ −7} são conjuntos limitados, em partic. Os conjuntos
3z
cular por 4.
Definição 1.10
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. s ∈ R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se:
a. s é limitante superior de A, isto é, x ≤ s, ∀ x ∈ A.
b. Se b ∈ R e b < s, então existe x ∈ A tal que b < x ≤ s.
Em outras palavras, o supremo de um conjunto é o menor de seus limitantes superiores.
ii. r ∈ R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se:
a. r é limitante inferior de A, isto é, r ≤ x, ∀ x ∈ A.
b. Se c ∈ R e r < c, então existe x ∈ A tal que r ≤ x < c.
Em outras palavras, o ínfimo de um conjunto é o maior de seus limitantes inferiores.
Nota
Se o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses elementos são
chamados máximo de A, denotado por max(A), e mínimo de A, denotado por min(A),
respectivamente.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.19
Dados os conjuntos
9
A = −1, ,
4
B=
1
:k∈N
k
e C = {x ∈ Q : −20 ≤ x}
temos que:
a. Inf(A) = −1, Sup(A) =
9
= max(A). Portanto, A é limitado.
4
b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B é limitado.
c. Inf(C) = −20 = min(C). Porém, C não é limitado superiormente, logo, não tem supremo.
Portanto, não é limitado.
O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos números reais.
Axioma 11 (Axioma do Supremo)
Todo subconjunto B 6= 0/ de R e limitado superiormente, possui um supremo s = Sup(B) ∈ R.
Teorema 1.6
Seja A ⊂ R com A 6= 0.
/ Se A é limitado inferiormente, então este possui ínfimo.
Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele será
apenas enunciado.
O seguinte princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e para provar várias
propriedades referentes aos números inteiros.
Teorema 1.7 (Princípio da boa ordem)
Todo subconjunto não vazio de Z, limitado inferiormente, possui ínfimo.
1.7
Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos as noções básicas sobre o conjunto dos Números Reais com o intuito
de fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento nos próximos capítulos.
Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os axiomas que regem a adição
e multiplicação. Seguindo esse raciocínio, apresentamos dois teoremas que mostram as principais
propriedades da substração e divisão.
Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois elementos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., esse conceito e suas
principais propriedades foram revisadas.
Nas seções subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, equações, inequações e valor absoluto, além de terem sido apresentados exemplos ilustrativos.
Por último, mas não menos importante, o axioma do supremo e o princípio da boa ordem foram
apresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,
supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre funções, já que esta teoria é fundamental para, por exemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais.
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Cálculo Diferencial e Integral
1.8
Atividades
1. Encontre M tal que:
i. 2x − x2 ≤ M,
ii. − x2 + 4x + 13 ≤ M
∀ x ∈ R.
x+6
iii. − 3 < M,
2x + 1
3x + 4
− 2 < M,
v. x−1
2x + 7 1 iv. 2 − < M,
x
2
x−2 < M,
vi. 2
x + 4x − 5 ∀ x ∈ (0, 4).
∀ x ∈ (3, 7).
2
x − 5x < M,
viii. 2
x + x + 10 se
∀ x ∈ R.
∀ x ∈ (2, 5).
se
1
|x − 2| < .
2
|x + 1| < 1.
2. Encontre as raízes reais das seguintes equações:
i. 12x − 4 = 3x + 9.
ii. 2x2 − 11x − 4 = 0.
iv. x2 − 4x = 3x + 4.
v. |2x − 1| = x − 1.
iii. x4 − 2x2 − 8 = 0.
3. Encontre o conjunto solução das seguintes inequações:
i. 3x − 8 < 5x − 2.
ii. 3x2 − 5x − 2 > 0.
iii. (x2 + x − 6)(4x − 4 − x2 ) ≤ 0.
iv.
x2 − 2x + 3
> −2.
x2 − 4x + 3
√
vii. x2 − 2x − 15 > x + 1.
32
x
4
≥
−
.
x2 − 4 x − 2 x + 2
√
viii. x2 − 11x + 30 > 6 − x.
v.
s
ix.
x−2 x+5
≤
.
x+4 x+3
vi.
x2 + 3x − 4
√
> x − 2.
4 − x2 + 6x
2
x + 3x − 2 < 1.
x. x2 − 1 1 2
1
xi. 3 |x + 1| −
≥ 1 − 2 |x + 1| − .
6
6
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 2
Funções
O BJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Determinar com precisão o domínio e a imagem de uma função real;
• Dado o gráfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma função;
• Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora;
• Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composição de funções;
• Encontrar a inversa de uma função, se ela existir;
• Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemático relativo às
funções definidas no conjunto dos números reais.
Ao relacionarmos o espaço em função do tempo, a intensidade da fotossíntese realizada por uma
planta em função da intensidade da luz a que ela é exposta, ou uma pessoa em função da impressão
digital, percebemos quão importante é o conceito de função, pois este nos permite compreender as
relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc., presentes no nosso cotidiano. Portanto,
neste capítulo, revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Iniciaremos
o capítulo dando a definição formal deste objeto matemático, que é o objetivo de estudo deste capítulo
e de todos os outros.
2.1
Funções
Em diversas situações, apresentam-se relações que existem entre um conjunto de objetos e outro
conjunto de outros objetos, por exemplo: quando calculamos a área de um círculo, esta depende
do raio do círculo; a distância de um objeto que viaja a uma velocidade constante ao longo de um
percurso depende do tempo; etc. Em cada caso, o valor da quantidade variável, denotada por y,
depende do valor de outra quantidade variável, denotada por x. Dizemos então que y é uma função de
x e a escrevemos como y = f (x).
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x
Entrada
f
Saída
f(x)
Figura 2.1: Representação de uma função como uma máquina.
Definição 2.1
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B, denotada por f : A → B, é
uma regra que associa um único elemento f (x) ∈ B a cada elemento x ∈ A.
f
f(x)
x
A
B
Associados a uma função temos os conjuntos: domínio, imagem e gráfico de uma função, e a seguinte
definição estabelece estes importantes conceitos.
Definição 2.2
Seja a função f : A → B. Então:
i. O domínio da função f é o conjunto {x ∈ A : f (x) ∈ B}, e é denotado por Dom( f ); isto
é, o domínio de f é o subconjunto de A cujos elementos são todos os possíveis valores de
entrada da função f .
ii. A imagem da função f é o conjunto { f (x) ∈ B : x ∈ A}, e é denotado por Im( f ); isto é, a
imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos são todos os valores de f (x) conforme
x varia ao longo do conjunto A.
iii. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da função f é o conjunto
{(x, y) ∈ R × R : y = f (x)}, e é denotado por Graf( f ).
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Nota
Seja uma função f : A → B.
a. A notação y = f (x) (leia-se “y é igual a f de x”) expressa que y é o valor
de f em x, neste caso, x é denominada variável independente e y variável
dependente.
b. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, se
Im( f ) = B, diz-se que f é uma aplicação de A sobre B.
c. Se A e B são subconjuntos de R, então f é chamada de função real de variável
real.
d. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondência
y = f (x), então:
i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior subconjunto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido e
resulte em valores reais. Isso é denominado domínio natural da função.
ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 são as coordenadas x, para os
quais o gráfico de f intersecta o eixo x. Estes valores são denominados
zeros de f , raízes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y = f (x) com o
eixo x.
e. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma função. Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o gráfico
da equação y = f (x). Os pontos do gráfico são da forma (x, f (x)), ou seja,
a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada x
correspondente.
Exemplo 2.1
Para f definida a seguir, determinemos o domínio, a imagem e seu gráfico:
a. Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9} e f : A → B definida por f (x) = x + 2.
Solução
Desde que f (1) = 1 + 2 = 3, f (2) = 2 + 2 = 4, f (3) = 3 + 2 = 5, f (4) = 4 + 2 = 6,
verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são
3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3, 4} e Im( f ) = {5, 6} e o gráfico de f é apresentado no item
(a) da figura abaixo
1
b. Seja f : R → R definida por f (x) = .
x
Solução
A função f dada está definida para todo x ∈ R, exceto x = 0; assim Dom( f ) = R \ {0}.
Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente y:
1
y= .
x
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Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de y não seja evidente nessa equação,
o gráfico de f (veja o item (b) da figura abaixo) sugere que Im( f ) = R \ {0}. Para provar
isto, resolvamos a equação acima para x, em termos de y:
x 6= 0
⇒
xy = 1
⇔
1
x= .
y
Agora está evidente que essa expressão está definida para todo y ∈ R, exceto para y = 0.
Portanto, Im( f ) = R \ {0}.
y
y
9
8
7
6
5
-
y
10 9 8 7 6 Im( f ) 5 4 3 2 1 -
Graf( f )
0
x
Graf( f )
-
-
x
1 2 3 4
0
(a)
Graf( f )
1 2 3 4 5 6
Dom( f )
(b)
x
(c)
c. Seja f : (0, 5] → [1, 10) definida por f (x) = (x − 3)2 + 1.
Solução
Da definição de f temos que, para qualquer valor de x, f (x) está bem definida. Assim,
Dom( f ) = (0, 5]. Por outro lado, para x ∈ (0, 5], se segue que
0<x≤5
⇔
−3 < x − 3 ≤ 2
⇔
0 ≤ (x − 3)2 < 9 ⇔
1 ≤ (x − 3)2 + 1 < 10
Logo, o valor de f (x) varia sobre o intervalo [1, 10). Portanto, Im( f ) = [1, 10).
Nesse caso, f é uma aplicação de (0, 5] sobre [1, 10) e Im( f ) pode ser escrita como
f ((0, 5]) = [1, 10). Veja o item (c) da figura acima.
A próxima nota nos diz que nem toda curva no plano é o gráfico de uma função.
Teste da Reta Vertical
Uma relação f : R → R com domínio localizado no eixo horizontal e a imagem localizada
no eixo vertical é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico no
máximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que o
item (b) não corresponde a uma função.
L
y = f (x)
y
y
P
Q
R
S
Graf( f )
Graf( f )
x
0
(a)
T
x
0
(b)
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Cálculo Diferencial e Integral
2.1.1
Translações e reflexões de uma função
Esta seção se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções.
Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funções
relacionadas.
Teorema 2.1 (Testes de simetria)
i. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x por
−x em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
ii. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y por
−y em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
iii. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se x por
−x e y por −y em sua equação obtém-se uma equação equivalente.
Esboçando gráficos
Para esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outra
função já conhecida, y = f (x). Seja o gráfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figura
abaixo. Então o gráfico de:
• y = − f (x) é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) da
figura abaixo;
• y = f (−x) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) da
figura abaixo;
• y = | f (x)| é obtida transladando a parte do gráfico original que se encontra abaixo do eixo x
( f (x) < 0) de forma simétrica a este último e mantendo a parte do gráfico que está por cima
do eixo x ( f (x) ≥ 0). Veja o item (d) da figura abaixo;
y
y
y = f (x)
y
y
y = f (x)
y = |f (x)|
f(x)
0
x
x
x
0
x
0
0
x
y = - f (x)
y = f (- x)
y = f (x)
(a)
(b)
(c)
y = f (x)
(d)
Sejam k > 0 e h > 0. Então o gráfico de:
• y = f (x) + k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para cima.
Veja o item (a) da figura abaixo;
• y = f (x) − k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para baixo.
Veja o item (a) da figura abaixo;.
• y = f (x + h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a
esquerda. Veja o item (b) da figura abaixo;
• y = f (x − h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a
direita. Veja o item (b) da figura abaixo;
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Cálculo Diferencial e Integral
• y = f (x − h) + k se obtém efetuando uma dupla translação h unidades para a direita horizontalmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaixo.
y
y
y = f (x) + k
y
y = f (x - h) + k
y = f (x+h)
y = f (x-h)
y = f (x)
h
h
k
0
k
x
k
x
0
h
x
0
y = f (x)
y = f (x) - k
y = f (x)
(a)
(b)
(c)
Exemplo 2.2
Dadas as seguintes funções:
a. f (x) = x2 ;
b. f (x) = −x2 ;
c. h(x) = x2 + 1;
d. i(x) = (x + 1)2 ;
e. j(x) = (x − 1)2 − 2;
f. k(x) = |x2 − 2|.
Nas figuras abaixo encontramos, na sua respectiva letra, o esboço do gráfico de cada uma delas.
y
y
y
y = x2
1
y = x2
x
0
y = x2 + 1
x
0
y = x2
x
0
y = - x2
(a)
(b)
y
y
y=x
y = (x +1)2
1
0
y
2
x
y=x
1
y = (x -1)2 - 2
(d)
(c)
x
0
y = |x 2 - 2|
2
y=x2-2
-2
(e)
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x
0
(f)
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2.1.2
Funções comuns
Agora apresentaremos algumas funções reais de variável real que são de uso frequente em cálculo.
Função linear
É a função definida por f (x) = mx + b, onde m e b são constantes. O domínio da função linear
é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R. Seu gráfico é a reta com coeficiente angular, ou
inclinação, m que intersecta o eixo x em (0, b); veja o item (a) da figura abaixo.
Casos particulares
a. Quando b = 0, a função f (x) = mx passa pela origem; no item (b) da figura abaixo
vemos a ilustração destas retas, para valores diferentes de m.
b. Quando m = 1 e b = 0, a função f (x) = x é chamada de função identidade, também
denotada por Id(x), e seu gráfico é a reta diagonal do primeiro e do terceiro quadrante;
veja o item (c) da figura abaixo.
c. Quando m = 0, a função f (x) = b é chamada de função constante e, nesse caso,
Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaixo.
y
y
y
y
y = 2x
y = - 4x
y = 23 x
y = mx + b
0
y=-x
y=b
y=x
b
y = 25 x
x
0
x
0
Dom( f ) = R
Im( f ) = {b}
Dom( f ) = R
Im( f ) = R
(a)
(b)
x
(c)
(d)
Função valor absoluto
É a função definida por f (x) = |x|, x ∈ R. Da definição de valor absoluto, temos:
√
x,
2
|x| = x =
−x,
se x ≥ 0;
se x < 0.
O domínio da função valor absoluto é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = [0, +∞); veja o
item (a) da figura abaixo.
Função raiz quadrada
√
É a função definida por f (x) = x, x ≥ 0. O domínio da função raiz quadrada é Dom( f ) =
[0, +∞) e sua imagem é Im( f ) = [0, +∞); veja o item (b) da figura abaixo.
Função raiz cúbica
√
É a função definida por f (x) = 3 x, x ∈ R. O domínio da função raiz cúbica é Dom( f ) = R e
sua imagem é Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaixo.
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Cálculo Diferencial e Integral
y
y
y
y = |x|
x
x
0
Dom( f ) = [0, + )
Im( f ) = [0, + )
8
Dom( f ) = R
Im( f ) = [0, + )
(a)
0
(b)
x
Dom( f ) = R
Im( f ) = R
8 8
0
y = 3x
y= x
(c)
Função polinomial de grau n
É a função definida por f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +· · ·+an , x ∈ R, onde a0 , a1 , . . . , an são constantes
reais, a0 6= 0 e n ∈ N∪{0}. O domínio da função polinomial é Dom( f ) = R, porém, sua imagem
depende de n.
Casos particulares
a. f (x) = xn , n ∈ N:
i. Se n é par, sua imagem é Im( f ) = [0, +∞), seu gráfico é simétrico em relação ao
eixo y com formato geral de uma parábola, y = x2 , embora não sejam realmente
consideradas assim quando n > 2, e cada gráfico passa pelos pontos (−1, 1) e
(1, 1); veja o item (a) da figura abaixo.
ii. Se n é ímpar, sua imagem é Im( f ) = R, seu gráfico é simétrico à origem com
formato geral de uma cúbica y = x3 , e cada gráfico passa pelos pontos (−1, −1)
e (1, 1); veja o item (b) da figura abaixo.
iii. Quando n cresce, no intervalo (−1, 1) os gráficos ficam mais achatados e nos
intervalos (−∞, −1) e (1, +∞) cada vez mais próximos ao eixo y;
b. Função quadrática ou função polinomial de 2◦ grau: f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0. O
b2
b
.
gráfico desta função é uma parábola de vértice − , c −
2a
4a
b2
i. Se a > 0, a parábola se abre para cima e Im( f ) = c − , +∞ ; veja o item (c)
4a
da figura abaixo. Mais ainda, o valor mínimo da função ocorre no vértice, isto é,
b
b2
f −
= c−
é o valor mínimo da função.
2a
4a
b2
ii. se a < 0, a parábola se abre para baixo e Im( f ) = −∞, c −
; veja o item (d)
4a
da figura abaixo. Mais ainda, o valor máximo da função ocorre no vértice, isto é,
b
b2
f −
= c−
é o valor máximo da função.
2a
4a
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Cálculo Diferencial e Integral
y
c
c
x
0
y = x6
y = x4
y = x2
y
y
y
y = x7
y = x5
y = x3
Dom( f ) = R
Im( f ) = [0, + )
b2
4a
x
0
b2
4a
x
b
2a
0
x
b
2a
0
8
Dom( f ) = R
Im( f ) = R
(a)
(c)
(b)
(d)
Função racional
É a função definida por
a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an
, x ∈ R.
b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm
Esta função é o quociente dos polinômios P(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an e Q(x) = b0 xm +
b1 xm−1 + · · · + bm , onde a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm são constantes reais, a0 , b0 6= 0 e n, m ∈ N ∪
{0}. O domínio da função racional é Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) 6= 0} ≡ R \ {x ∈ R : Q(x) = 0}.
f (x) =
Casos particulares
1
a. f (x) = n , n ∈ N:
x
i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem é Im( f ) =
1
R \ {0}, seu gráfico é semelhante ao gráfico de y = e cada gráfico passa pelos
x
pontos (−1, −1) e (1, 1); veja o item (a) da figura abaixo;
ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem é Im( f ) =
1
(0, +∞) e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y = 2 , e cada gráfico passa
x
pelos pontos (−1, 1) e (1, 1); veja o item (b) da figura abaixo;
iii. O fato de 0 ∈
/ Dom( f ) implica que o gráfico tem uma quebra na origem. Por esse
motivo, zero é denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito será visto
no Capítulo 4;
iv. Quando n cresce, nos intervalos (−∞, −1) e (1, +∞), os gráficos ficam mais achatados e nos intervalos (−1, 0) e (0, 1) cada vez mais próximos ao eixo y:
1
b. f (x) =
, n ∈ N:
1 + xn
i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {−1}, sua imagem é Im( f ) =
R \ {0} e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no
item (c) da figura abaixo;
ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R, sua imagem é Im( f ) = (0, 1] e
seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (d) da
figura abaixo.
y
y
y
y
1
1
y= x
0
y=
x
0
x
-1
0
8
(b)
(c)
48 / 66
x
0
Dom( f ) = R \ { - 1}
Im( f ) = R \ {0}
Dom( f ) = R \ {0}
Im( f ) = (0, + )
Dom( f ) = R \ {0}
Im( f ) = R \ {0}
(a)
1
x2
x
Dom( f ) = R
Im( f ) = (0, 1]
(d)
Cálculo Diferencial e Integral
Função algébrica
É qualquer função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição,
subtração, multiplicação, divisão ou extração de raízes). Todas as funções racionais são algébricas, porém existem outras funções mais complexas inclusas nesse conjunto. Os gráficos desse
tipo de função variam amplamente e, assim sendo, é difícil fazer afirmações sobre elas, veja os
itens (a), (b) e (c) da figura abaixo.
y
y
y
4
20
-2
-1
2
10
1
5
0 1
-1
2
3
x
-3
-2
1/3
y = 3x (2+ x)
1
0 1
-5
-1
Dom( f ) = R
Im( f ) = R
2
x
3
-3
Dom( f ) = R
Im( f ) = - 9 3 4, +
[4
(a)
y = x2/3(x+2)2
2
-2
0 1
-1
-1
2
x
3
Dom( f ) = R
Im( f ) = [0, + )
)
8
-3
3
15
8
y = x(1 - x)
2/5
(c)
(b)
Função trigonométrica
Existem 6 funções básicas trigonométricas, sen(x), cos(x), tg(x), sec(x), cossec(x) e cotg(x).
Os gráficos das funções seno e cosseno são mostrados na figura abaixo nos itens (a) e (b),
respectivamente.
y
y
y = sen(x)
1
y = cos(x)
1
3
2
2
2
0
3
x
2
2
2
2
0
3
2
2
-1
2
3
2
2
x
-1
(a)
(b)
Im( f ) = [-1, 1]
Dom( f ) = R
Função exponencial
É da forma f (x) = ax , onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Em todos os casos, o
domínio é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = (0, +∞). Os gráficos para as bases 2, 3, 5, 7
são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo.
y = 7-x
-x
y= 5
y
y
y = 7x
y
y = log2 x y = log x
3
y = 5x
y = log5 x
y = 3-x
x
y= 3
y = log7 x
-x
y= 2
y = 2x
1
x
Dom( f ) = R
Im( f ) = (0,+
(a)
0
8
0
x
1
x
Dom( f ) = (0,+
Im( f ) = R
)
(b)
49 / 66
(c)
8
1
0
)
Cálculo Diferencial e Integral
Função logarítmica
É da forma f (x) = loga x, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Esta função
é a inversa da função exponencial. Em todos os casos, o domínio é Dom( f ) = (0, +∞) e sua
imagem é Im( f ) = R. O item (c) da figura acima mostra os gráficos da função logarítmica para
a = 2, 3, 5, 7.
Função sinal
É denotada por sgn(x), x ∈ R, leia-se sinal de x, e está definida por

 −1,
0,
sgn(x) =

1,
se x < 0;
se x = 0;
se x > 0.
O domínio da função sinal é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = {−1, 0, 1}. Seu gráfico é
apresentado no item (a) da figura abaixo.
y
y
y = sgn(x)
y= x
2
1
-3
0
x
-2
-1
0 1
-1
Dom( f ) = R
Im( f ) = {-1, 0, 1}
(a)
-2
-3
2
3
x
Dom( f ) = R
Im( f ) =
(b)
Função maior inteiro
É denotada por bxc, x ∈ R, leia-se maior inteiro de x, e está definida por
bxc = n se, e somente se, n ≤ x < n + 1, n ∈ Z
Isto é, bxc representa o maior número inteiro que não supera x. O domínio da função maior
inteiro é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = Z. Seu gráfico é apresentado no item (b) da
figura acima.
Propriedades da função maior inteiro
a. x − 1 < bxc ≤ x, ∀ x ∈ R;
b. Se n ∈ Z ⇒ bx + nc = bxc + n, ∀ x ∈ R;
c. Se f (x) = baxc, com a 6= 0, a longitude do intervalo onde a função permanece cons1
tante é ` = .
|a|
50 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.3
Dada a função maior inteiro bxc:
a. Se x = 3, 1415 ⇒ bxc = 3;
b. Se x = 3 ⇒ bxc = 3;
c. Se x = −1, 25 ⇒ bxc = −2;
d. Se x ∈ [−2, −1) ⇒ bxc = −2;
e. Se x ∈ [−1, 0) ⇒ bxc = −1;
f. Se x ∈ [0, 1) ⇒ bxc = 0;
g. Se x ∈ [1, 2) ⇒ bxc = 1.
Exemplo 2.4
Esbocemos os gráficos das seguintes funções:
a. f (x) = b3xc
Solução
n
n 1
Pela definição, b3xc = n ⇔ n ≤ 3x < n + 1 ⇔ ≤ x < + . O gráfico desta função é
3
3 3
apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função perma1
nece constante é ` = .
3
j xk
b. f (x) = −
3
Solução
j xk
x
Pela definição, − = n ⇔ n ≤ − < n + 1 ⇔ −3n − 3 < x ≤ −3n. O gráfico desta
3
3
função é apresentado no item (b) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função
1
é constante é ` = = 3.
− 1 3
y
-1
2
3
y
y = 3x
2
2
1
1
1
3
0 1 2 1
3 3
-1
3
x
-9
-3
0
-1
-2
-2
-3
-3
(a)
2.1.3
-6
(b)
Função par e função ímpar
Definição 2.3
51 / 66
y=
x
3
6
9
x
Cálculo Diferencial e Integral
i. Uma função f : R → R é chamada par se para todo x ∈ Dom( f ) se verifica −x ∈ Dom( f )
e f (−x) = f (x).
y
y
y
y
y = |x|
1
y = xn
y=
x
0
x
0
y=
x
0
Dom( f ) = R
Im( f ) = [0, + )
1
xn
x
0
Dom( f ) = R
Im( f ) = (0, 1]
8
Dom( f ) = R \ {0}
Im( f ) = (0, + )
8
1
xn+1
Figura 2.2: Em todos os gráficos de funções pares n é par.
ii. Uma função f : R → R é chamada ímpar se para todo x ∈ Dom( f ) se verifica −x ∈
Dom( f ) e f (−x) = − f (x).
y
y
y
y=n x
y
y=x
x
0
1
y = xn
0
x
0
y = xn
x
x
0
Dom( f ) = R
Im( f ) = R
Dom( f ) = R \ {0}
Im( f ) = R \ {0}
Dom( f ) = R
Im( f ) = R
Figura 2.3: Em todos os gráficos de funções ímpares n é ímpar.
Nota
a. O gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eixo y, uma vez que f (−x) =
f (x), um ponto (x, y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x, y) estiver no
gráfico. Uma reflexão através do eixo y não altera o gráfico;
b. O gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação à origem, uma vez que f (−x) =
− f (x), um ponto (x, y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x, −y) estiver no
gráfico.
2.1.4
Função periódica
Definição 2.4
Uma função f : R → R é dita periódica se existe um número real t 6= 0 tal que para todo
x ∈ Dom( f ) se verifica:
i. x + t ∈ Dom( f );
ii. f (x + t) = f (x).
O menor valor de t tal que os itens acima sejam verificados é denominado de período de f .
52 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.5
As seguintes funções são periódicas:
a. f (x) = x − bxc , x ∈ R. De fato, notamos que f (x + 1) = (x + 1) − bx + 1c = x + 1 − (bxc + 1) =
x − bxc = f (x) e desde que não existe outro número real t tal que 0 < t < 1 e que seja o período
de f , assim f é de período 1; veja o item (a) da figura abaixo.
y
f(x) = x
y
x
1
-4
-3
-2
-1
1
0
3
2
4
x
-
-
2
x
2
-1
(a)
f(x) = |sen(2x)|
1
-1
Dom( f ) = R
Im( f ) = [0, 1]
(b)
b. f (x) = |sen(x)|, x ∈ R. Afirmamos que o período de f é t = π. De fato, f (x + π) = |sen(x +
π)| = | − sen(x)| = |sen(x)| = f (x); veja o item (b) da figura acima.
2.1.5
Função crescente e função decrescente
Definição 2.5
Seja f uma função definida em um intervalo I e x1 e x2 dois pontos em I.
i. Se f (x2 ) > f (x1 ) sempre que x1 < x2 , então dizemos que f é crescente em I; veja o item
(a) da figura abaixo.
y
y
f(x1)
f(x2)
f(x2)
f(x1)
0
a
x1
x2 b
x
I
0
a
x1
x2
b
x
I
ii. Se f (x2 ) < f (x1 ) sempre que x1 < x2 , então dizemos que f é decrescente em I; veja o
item (b) da figura acima.
Nota
Uma função é crescente se seu gráfico é ascendente e é decrescente se seu gráfico é descendente, em ambos casos, da esquerda para a direita.
53 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.6
A função f (x) = |x2 − 4|, veja gráfico abaixo, é crescente nos intervalos [−2, 0] e [2, +∞), e decrescente nos intervalos (−∞, −2] e [0, 2].
y
4
f(x) = | x2- 4 |
-2
2.1.6
2
x
Função definida por partes
Definição 2.6
Uma função f : R → R é definida por partes se ela é descrita por funções diferentes em partes
diferentes de seu domínio.


f1 (x),


 f2 (x),
f (x) =
..

.


 f (x),
n
onde Ii ⊆ Dom( fi ), ∀ i, Dom( f ) =
Sn
i=1 Ii
se x ∈ I1 ;
se x ∈ I2 ;
..
.
se x ∈ In ;
e Ii ∩ I j = 0,
/ ∀ i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j.
Exemplo 2.7
A função

(x + 1)2 + 1,



|x|,
f (x) =
1,



−cos(x),
se x ∈ (−∞, −1);
se x ∈ [−1, 1);
se x ∈ [1, π);
se x ∈ [π, +∞);
é definida por partes, com Dom( f ) = (−∞, −1) ∪ [−1, 1) ∪ [1, π) ∪ [π, +∞) = R, e na figura abaixo
podemos ver seu gráfico.
y
f(x)
1
-1
1
π
-1
54 / 66
x
Cálculo Diferencial e Integral
2.2
Função injetora, sobrejetora e bijetora
Nesta seção, apresentamos três conceitos muito importantes para funções: injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Definição 2.7
Seja f : A → B uma função. Diz-se que:
i. f é injetora se f (x1 ) = f (x2 ), implica que x1 = x2 para todo x1 , x2 ∈ Dom( f ). Ou equivalentemente, ∀ x1 , x2 ∈ Dom( f ), com x1 6= x2 , temos que f (x1 ) 6= f (x2 ).
ii. f é sobrejetora ou sobre se para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y. Em outras
palavras, f : A → B é sobrejetora se Im( f ) = B.
iii. f é bijetora se, e somente se, f é injetora e sobrejetora.
Nota
a. A função injetora também é conhecida como função univalente ou um a um, já que
existe uma correspondência um para um entre os elementos do domínio e a imagem.
b. Geometricamente, uma função definida por y = f (x) é injetora se, ao traçar retas
paralelas ao eixo x, essas intersectam o seu gráfico em não mais de um ponto; veja a
figura a seguir.
y
y
x
0
Exemplo 2.8
a. A função f : R → R definida por f (x) = 3x + 2, é injetora. De fato, se f (x1 ) = f (x2 ) ⇒
3x1 + 2 = 3x2 + 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 =
x2 . Além
disso,
f é sobrejetora desde que se y ∈ R,
y−2
y−2
y−2
existe x =
tal que f (x) = f
=3
+ 2 = y. Portanto, podemos concluir
3
3
3
que f é bijetora.
b. A função f : R → [0, +∞) definida por f (x) = x2 é sobrejetora pois Im( f ) = [0, +∞). Porém,
não é injetora, pois x1 = −2 e x2 = 2 geram a mesma imagem, isto é, f (−2) = 4 = f (2).
Portanto, f não é bijetora.
55 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
2.2.1
Operações com funções
Da mesma forma que fazemos operações aritméticas com números, podemos realizar este tipo de
operações entre funções, produzindo outras novas.
Definição 2.8
Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais com domínios Dom( f ) e Dom(g). Diz-se que
f e g são iguais se:
i. Dom( f ) = Dom(g);
ii. f (x) = g(x),
∀ x ∈ Dom( f ) = Dom(g).
Exemplo 2.9
As funções
a. f (x) = 4x3 − 6 e g(x) = −(6 − 4x3 ) são iguais desde que Dom( f ) = Dom(g) = R e f (x) = g(x).
p
√
√
b. f (x) = (x − 2)(x − 5) e g(x) = x − 2 x − 5 são diferentes, pois Dom( f ) = (−∞, 2] ∪
[5, +∞) e Dom(g) = [5, +∞), ou seja, Dom( f ) 6= Dom(g).
Definição 2.9
Sejam f e g duas funções reais de variável real com domínios Dom( f ) e Dom(g), respectivamente. Define-se:
A função soma
x ∈ Dom( f + g) = Dom( f ) ∩ Dom(g).
( f + g)(x) := f (x) + g(x),
A função diferença
( f − g)(x) := f (x) − g(x),
x ∈ Dom( f − g) = Dom( f ) ∩ Dom(g).
A função produto
( f · g)(x) := f (x) · g(x),
A função quociente
f
f (x)
(x) :=
,
g
g(x)
x ∈ Dom ( f · g) = Dom( f ) ∩ Dom(g).
f
x ∈ Dom
= Dom( f ) ∩ (Dom(g) \ {x : g(x) = 0}) .
g
A função valor absoluto
| f |(x) := | f (x)|,
x ∈ Dom(| f |) = Dom( f ).
A função produto de uma constante por uma função
(c f )(x) := c f (x),
x ∈ Dom(c f ) = Dom( f ),
onde c ∈ R é uma constante real .
56 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.10
q
√
2
Sejam f (x) = 9 − x e g(x) = x2 − 14 . Encontremos as regras de correspondência das funções:
f + g,
f − g,
f · g,
−8g,
f
,
g
|g|.
Solução
Caculemos os domínios:
Dom( f ) = x ∈ R : 9 − x2 ≥ 0 = [−3, 3];
1
1
1
2
Dom(g) = x ∈ R : x − ≥ 0 = −∞, − ∪ , +∞ ;
4
2
2
1
1
Dom( f ) ∩ Dom(g) = −3, − ∪ , 3
2
2
q
√
2
a. ( f + g)(x) = f (x) + g(x) = 9 − x + x2 − 14 , x ∈ [−3, − 12 ] ∪ [ 12 , 3];
q
√
2
b. ( f − g)(x) = f (x) − g(x) = 9 − x − x2 − 14 ,
q
√
2
c. ( f · g)(x) = f (x) · g(x) = 9 − x · x2 − 14 ,
d. (−8g)(x) = −8g(x) = −8
q
x2 − 14 ,
x ∈ [−3, − 12 ] ∪ [ 12 , 3];
x ∈ [−3, − 12 ] ∪ [ 12 , 3];
x ∈ (−∞, − 12 ] ∪ [ 21 , +∞);
√
f
f (x)
9 − x2
e.
(x) =
=q
, x ∈ [−3, − 12 ) ∪ ( 12 , 3];
g
g(x)
x2 − 41
q
q
1
f. |g|(x) = |g(x)| = x2 − 4 = x2 − 14 , x ∈ (−∞, − 12 ] ∪ [ 21 , +∞).
2.3
Composição de funções
A composição é outra forma de combinar funções, esta operação não tem analóga direta na aritmética
usual.
Definição 2.10
Sejam f : A → B e g : B → C duas funções reais tais que Im( f ) ∩ Dom(g) 6= 0.
/ A composição
de g com f , denotada por g ◦ f , é a função g ◦ f : A → C definida por:
(g ◦ f )(x) := g( f (x)).
O domínio da função composta g ◦ f é dado por
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)} .
Na seguinte figura, ilustramos a função composta g ◦ f
57 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
f
A
g
B
C
Dom( f )
f (g(x))
Dom( g )
g °f
Nota
Falando de forma informal, a operação de composição de duas funções é a operação de
substituir a variável dependente da sua definição pela função que a precede.
Exemplo 2.11
√
Sejam as funções f (x) = 2x − 6 e g(x) = x. Encontremos g ◦ f e f ◦ g.
Solução
a. (g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g (2x − 6) =
logo, o domínio da g ◦ f é
√
2x − 6,
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)}
= {x ∈ R : x ∈ R e 2x − 6 ≥ 0}
= [3, +∞)
√
√
b. ( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 x − 6,
logo, o domínio da f ◦ g é
Dom( f ◦ g) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g)
√ e g(x) ∈ Dom( f )}
= {x ∈ R : x ≥ 0 e x ∈ R}
= [0, +∞)
A seguinte figura ilustra cada uma destas composições.
y
y
1
5
6
x
0
(g ° f )(x) = 2x-6
9
-2
(f ° g )(x) = 2 x - 6
2
2
0
-4
3
4
5
x
-6
Nota
Deste exemplo, podemos concluir que a composição de funções não é comutativa, isto é,
g ◦ f e f ◦ g, em geral, são diferentes.
58 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.12
Sejam as funções
f (x) =
x2
−x3
se x < 1;
se x ≥ 2;
g(x) =
−x
2x
se x < 2;
se x ≥ 4.
Encontremos f ◦ g.
Solução
Neste caso cada uma das funções é definida por partes:
f (x) =
f1 (x)
f2 (x)
se x ∈ Dom( f1 );
se x ∈ Dom( f2 );
g(x) =
g1 (x)
g2 (x)
se x ∈ Dom(g1 );
se x ∈ Dom(g2 ).
Logo, o domínio de f ◦ g será obtido analisando todas as combinações possíveis de f1 , f2 , g1 e
g2 , isto é:
a. f1 ◦ g1 :
Dom( f1 ◦ g1 ) =
=
=
=
=
{x ∈ R :
{x ∈ R :
{x ∈ R :
{x ∈ R :
(−1, 2)
x ∈ Dom(g1 ) e g1 (x) ∈ Dom( f1 )}
x ∈ (−∞, 2) e − x ∈ (−∞, 1)}
x ∈ (−∞, 2) e x ∈ (−1, +∞)}
x ∈ (−∞, 2) ∩ (−1, +∞)}
Então, ( f ◦ g)(x) = f1 (g1 (x)) = f1 (−x) = (−x)2 = x2 , ∀ x ∈ (−1, 2).
b. f1 ◦ g2 :
Dom( f1 ◦ g2 ) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2 ) e g2 (x) ∈ Dom( f1 )}
= {x
∈ R : x ∈ [4, +∞) e 2x ∈ (−∞, 1)}
1
=
x ∈ R : x ∈ [4, +∞) e x ∈ (−∞, )
2
1
=
x ∈ R : x ∈ [4, +∞) ∩ (−∞, )
2
= 0/
Portanto, neste caso a composição f1 ◦ g2 não esta definida.
c. f2 ◦ g1 :
Dom( f2 ◦ g1 ) =
=
=
=
=
{x ∈ R : x ∈ Dom(g1 ) e g1 (x) ∈ Dom( f2 )}
{x ∈ R : x ∈ (−∞, 2) e − x ∈ [2, +∞)}
{x ∈ R : x ∈ (−∞, 2) e x ∈ (−∞, −2]}
{x ∈ R : x ∈ (−∞, 2) ∩ (−∞, −2]}
(−∞, −2)
Então, ( f ◦ g)(x) = f2 (g1 (x)) = f2 (−x) = −(−x)3 = x3 , ∀ x ∈ (−∞, −2).
d. f2 ◦ g2 :
Dom( f2 ◦ g2 ) =
=
=
=
=
{x ∈ R :
{x ∈ R :
{x ∈ R :
{x ∈ R :
[4, +∞)
x ∈ Dom(g2 ) e g2 (x) ∈ Dom( f2 )}
x ∈ [4, +∞) e 2x ∈ [2, +∞)}
x ∈ [4, +∞) e x ∈ [1, +∞)}
x ∈ [4, +∞) ∩ [1, +∞)}
59 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
Então, ( f ◦ g)(x) = f2 (g2 (x)) = f2 (2x) = −(2x)3 = −8x3 , ∀ x ∈ [4, +∞). Portanto,

se x ∈ (−∞, −2);
 x2 ,
3
( f ◦ g)(x) =
x ,
se x ∈ (−1, 2);

3
−8x ,
se x ∈ [4, +∞).
Propriedades da composição de funções
Sejam f , g e h funções reais com domínios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Então
se verifica que:
a. ( f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
b. f ◦ Id = f = Id ◦ f
c. ( f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h
d. ( f − g) ◦ h = f ◦ h − g ◦ h
e. ( f · g) ◦ h = ( f ◦ h) · (g ◦ h)
f
f ◦h
◦h =
f.
g
g◦h
2.4
Função inversa
Dada uma função f : A → B, gostaríamos de saber como o efeito de uma função pode ser invertido
para enviar o resultado de volta e obter o valor de onde veio. Nossa resposta seria: se f (x) = y, então
x = f −1 (y), mas não necessariamente sempre obtemos uma função.
De fato, sempre temos alguma das duas possibilidades: f é injetora ou f não é injetora.
• Se f não é injetora, existem pelo menos dois elementos x1 , x2 ∈ A tais que:
f (x1 ) = y e
f (x2 ) = y então x1 = f −1 (y) e x2 = f −1 (y).
Portanto, a (relação) inversa de f , f −1 , não é uma função de B em A.
• Se f : A → B é injetora, então a inversa f −1 : B → A é uma função injetora e é chamada de função
inversa de f
Ambos casos são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo, respectivamente. No item (c) é
apresentada a interpretação da função inversa.
A
f
B
x1
A
f
B
x1
y1
x2
y2
y
x2
f -1
(a)
f -1
(b)
60 / 66
A
f
B
f -1(y) = x
y = f(x)
f -1
(c)
Cálculo Diferencial e Integral
Propriedades da função inversa
Seja f uma função. Então:
a. f tem inversa se, e somente se, f for injetora;
b. Se f −1 , a inversa de f , existe. Então:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Dom( f −1 ) = Im( f );
Im( f −1 ) = Dom( f );
( f −1 ◦ f )(x) = x, ∀ x ∈ Dom( f );
( f ◦ f −1 )(y) = y, ∀ y ∈ Dom( f −1 );
os gráficos de y = f (x) e y = f −1 (x) são simétricos com respeito à reta L : y = x;
veja o item (a) da figura abaixo.
c. Sejam as funções f e g injetoras. Se existe g ◦ f , então (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 .
y
y
y = f (x)
L: x=y
L: x=y
y = f -1(x)
-1
y = f (x)
0
x
(a)
0
y = f (x)
x
(b)
Nota
Seja f uma função real definida por y = f (x) a qual tem função inversa f −1 . Para encontrar
a regra de correspondência da f −1 , colocamos x em evidência em termos da variável y.
Assim, obtemos x = f −1 (y); porém a convenção de representar a variável independente
por x e a variável dependente por y, faz com que escrevamos f −1 em função de x, isto é,
trocando as variáveis x e y em x = f −1 (y), para obter y = f −1 (x).
Exemplo 2.13
Encontremos a função inversa da função f (x) = 5x − 3, se x ∈ [0, 6].
Solução
Da definição de f , verificamos que f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ 5x1 − 3 = 5x2 − 3 ⇒ x1 = x2 , assim, f é
injetora. Por outro lado, desde que y = f (x), então y = 5x − 3, x ∈ [0, 6]. Pondo em evidência
y+3
a variável x obtemos que x =
, para x ∈ [0, 6]. Agora, podemos determinar como varia a
5
variável y:
y+3
y+3
∈ [0, 6] ⇒ 0 ≤
≤ 6 ⇒ 0 ≤ y + 3 ≤ 30 ⇒ −3 ≤ y ≤ 27 ⇒ y ∈ [−3, 27]
5
5
y+3
x+3
Assim, x =
, para y ∈ [−3, 27], permutamos x por y, isto é, y =
, para x ∈ [−3, 27].
5
5
x+3
Portanto, f −1 (x) =
, para x ∈ [−3, 27].
5
No item (b) da figura acima podemos ver os gráficos de f e f −1 .
x=
61 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
2.5
Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos o importante conceito de função com o intuito de fazer com que o aluno
determine com precisão o domínio, a imagem e o gráfico de uma função real dada; estes conceitos
também foram abordados e foram apresentados diversos exemplos ilustrando esses tópicos.
Nas seções subsequentes, apresentamos alguns casos particulares de funções, com as quais vamos a
lidar no decorrer deste livro, assim como as operações aritméticas e composições que as envolvem.
Por último, e não menos importante, a teoria sobre a inversa de uma função foi apresentada.
No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre limites, o qual nos permitirá definir
com prescisão a noção de continuidade, a qual é uma das ideias mais importantes e mais fascinates
de toda a matemática.
2.6
Atividades
1. Seja f a função definida por:
√
2x2 + 1.

|x|


,
se x 6= 0;
x
iv. f (x) =


1,
se x = 0.
i. f (x) = x2 − 5x + 3.
iii. f (x) =
ii. f (x) =
x3 − 3x2 + x − 2
.
4x2 − x − 5
Em cada caso, calcule f (0), f (−2), f
1
3
.
2. Se f (x) = ax + b é tal que f (3) = 1 e f (−3) = 6, encontre f (x).
3. Sejam f e g funções definidas por:
f (x) =
1,
2,
se 0 ≤ x ≤ 1,
se 1 < x ≤ 2;
e g(x) = f (2x) + f (x − 2).
Encontre Dom(g).
4. Sejam f e g funções definidas por:
1 − x,
x2 ,
se |x| < 1
f (x) =
e g(x) =
x,
x,
se |x| ≥ 1.
f
Encontre ( f + g)(x),
(x) e esboce seus respectivos gráficos.
g
se |x| ≥ 2
se |x| < 2.
5. Seja f : Dom( f ) → [0, 1] definida por:
i. f (x) =
|x|
.
x
ii. f (x) = 2 + x − x2 .
iii. f (x) =
x−1
.
x−3
Em cada caso, determine Dom( f ).
6. Seja f : Dom( f ) → (−2, 6] definida por f (x) = x2 − 4x + 1. Determine Dom( f ), e verifique se
f é injetora e sobrejetora.
62 / 66
Cálculo Diferencial e Integral
7. Determine Dom( f ) das seguintes funções:
√
i. f (x) = x − x3 .
√
3x2
4
iii. f (x) = x2 + 4x − 12 + √
.
4
20 + x − x2
8. Seja a função f definida por:

 x2 − 4
, se x 6= 2;
i. f (x) =
x
−
2
 3,
se x = 2.

 (x − 1)3 ,
iii. f (x) =
10 − x2 ,

−2,
ii. f (x) =
p
3
x − bxc.
|4 − x2 |, se |x| < 3;
5,
se |x| ≥ 3.
ii. f (x) =
se 0 ≤ x < 2;
se 2 ≤ x ≤ 3;
caso contrário .
iv f (x) = (x − bxc)2 .
Em cada caso esboce o gráfico de f , determine Dom( f ) e Im( f ).
9. Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares:
i. f (x) = −x3 + x.
x
iii. f (x) = − .
|x|
ii. f (x) = |x| + 4x2 .
iv. f (x) = −x3 − 2x2 .
10. Sejam f (x) = x3 + 2 e g(x) = x + a, determine o valor de a tal que ( f ◦ g)(3) = (g ◦ f )(a − 1).
11. Sejam f e g duas funções, determine f (x) se:
√
i. g(x) = 1 − x2 e f (g(x)) = 1 − x2 .
ii. g(x) = 2x + 3 e f (g(x)) = 4x2 + 12x + 9.
12. Sejam f e g funções definidas por:
f (x) =
x + 2,
x − 1,
se x| ≤ 1
se x > 1.
e g(x) =
x2 ,
1 − x,
se x < 0
se x ≥ 0.
Encontre ( f ◦ g)(x).
13. Se f (x) = 2x + c e f (c) = 2 f −1 (c2 ), determine o valor de:
i. f (0) · f −1 (0).
14. Dada a função f (x) =
ii.
f (1)
f −1 (1)
.
9 − x2
, x ≥ 0.
4 − x2
i. Prove que f é injetora.
ii. Determine a função f −1 .
iii. Determine Dom( f −1 ).
15. Determine a função inversa, caso ela exista, das seguintes funções:
√
√
i. f (x) = x2 − 4, x ∈ (−∞, −2).
ii. f (x) = 2 − x − x2 , x ∈ [−2, 1].
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Cálculo Diferencial e Integral
16. Sejam as funções definidas por:
√
4
g(x) = 16 − x2 , se x ∈ [0, 4];
√
i(x) = x2 − 1, se x ∈ [1, +∞).
x4 − 1
, se x ≥ 0 e x 6= 2;
16 − x4
√
h(x) = x + 1, se x ∈ [−1, +∞);
f (x) =
i. Determine:
a. ( f ◦ g)−1 e Dom ( f ◦ g)−1 .
b. h−1 · ( f ◦ g)−1 e Dom h−1 · ( f ◦ g)−1 .
c. i · ( f ◦ g)−1 e Dom i · ( f ◦ g)−1 .
d. i ◦ ( f ◦ g)−1 e Dom i ◦ ( f ◦ g)−1 .
ii. Verifique se h · ( f ◦ g)−1 é injetora.
iii. Esboce o gráfico de ( f ◦ g)−1 .
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 3
Referências
3.1
Referências Bibliográficas
[1] APOSTOL, T. M. Cálculo, Vol. 1. Editora Reverté ltda. 2a Edição, 2004.
[2] ÁVILA, G. Cálculo I: Funções de uma variável. Editora LTC, 6a Edição, 1994.
[3] ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. CÁLCULO, Vol. 1. Editora Bookman, 8a
Edição, 2012.
[4] THOMAS, G. B. Cálculo, Vol. 1. Editora Pearson Education do Brasil, 12a Edição,
2012.
[5] ESPINOZA, E. Análisis matemático, Vol. 1 e 2. Editora Edukperu, 6a Edição, 2012.
[6] MITACC, M., TORO, L. Tópicos de cálculo, Vol. 1 e 2. Editora THALES, 3a Edição, 2012.
[7] DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática. Editora
Escolar-MIR, 1977.
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 4
Índice Remissivo
_
ínfimo, 37
D
desigualdade, 6
E
equação, 6
I
inequação, 11
intervalo, 9
Intervalo Aberto, 9, 10
Intervalo Fechado, 9, 10
Intervalos Ilimitados, 10
Intervalos Limitados, 9
L
Lei da monotonia, 5
Lei da tricotomia, 5
Lei transitiva, 5
limitado inferiormente, 37
limitado superiormente, 36
R
raiz, 7
S
sistema dos números reais, 2
supremo, 37
V
valor absoluto, 30
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