MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE

MÉTODOS
QUANTITATIVOS
APLICADOS À
CONTABILIDADE
Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc.
Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc.
Chap 9-1
Fundamentos de Testes
de Hipóteses: Testes
para Uma Amostra
Cap. 9
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Chap 9-2
Exercício 1
Defina a hipótese nula e a hipótese alternativa
para a seguinte situação: inspeciona-se uma
amostra de 142 peças de uma grande remessa,
encontrando-se 8% defeituosas. O fornecedor
garante que não haverá mais de 6% de peças
defeituosas em cada remessa. O que tentamos
descobrir é se a afirmação do fornecedor é
verdadeira.
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Chap 9-3
Exercício 2
Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar
para uma firma lotes que não contenham mais de 2% de
defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a
remessa, para verificar a qualidade.
a.indique Ho e H1
b.O fornecedor não deseja remeter lotes com elevado
risco de devolução em razão de número excessivo de
unidades defeituosas, mas também não deseja remeter
lotes com percentagem de defeituosos muito menor que
a estabelecida, de modo que ele também, fornecedor,
faz seu teste antes de proceder à remessa. Indique Ho e
H1.
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Chap 9-4
Exercício 3
Via de regra, em um tribunal os integrantes do
júri não se deixam enganar por provas falsas,
quer sejam a favor ou contra o réu. Tais
enganos ocorrem sim, mas com baixa
probabilidade. Tendo em mente a “filosofia” do
teste de hipóteses da inferência estatística com
qual alternativa se deve trabalhar?
(a) O réu é inocente até prova em contrário.
(b) O réu é culpado até prova em contrário.
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Chap 9-5
Teste de Hipóteses: σ conhecido
Para um teste bi-caudal da média, σ conhecido:
 Converta a estatística da amostra ( X ) em uma estatística de
teste
X μ
σ
n
 Determine o valor crítico de z para o nível de confiança
especificado  a partir de uma tabela ou usando o Excel
Z 
 Decisão: se a estatística de teste cair na região de rejeição, rejeite
H0; caso contrário não rejeite Ho
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Chap 9-6
Teste de Hipótese: σ conhecido
H0 : μ = 3
H1: μ ≠ 3
 Há dois valores
críticos
definindo as
regiões de
rejeição
/2
/2
X
3
Rejeita
H0
Não rejeita H0
-Z
+Z
Rejeita
H0
Z
0
Valor
crítico
inferior
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Valor
crítico
superior
Chap 9-7
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo: Teste a afirmação de que o verdadeiro peso
médio das barras de chocolate produzidas em uma
fábrica é igual a 3 onças.
 Declare as hipóteses nula e alternativa
 H0: μ = 3
H1: μ ≠ 3 (este é um teste bi-caudal)
 Especifique o nível desejado de significância
 Suponha que  = .05 seja escolhido para este teste
 Escolha um tamanho de amostra
 Suponha que um tamanho de amostra n = 100 seja
escolhido
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Chap 9-8
Teste de Hipótese: σ conhecido
 Determine a técnica adequada
 σ é conhecido então pode-se usar o teste Z
 Estabeleça os valores críticos
 Para  = .05 os valores críticos de Z são ±1.96
 Colete os dados e calcule a estatística de teste
 Suponha que os resultados da amostra sejam:
n = 100, X = 2.84
(σ = 0.8 é presumido a partir de dados históricos da
empresa)
Xμ
2.84  3
 .16
Então a estatística de teste é:
Z 
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σ
n

0.8
100

.08
 2.0
Chap 9-9
Teste de Hipótese: σ conhecido
 A estatística de teste está na região de rejeição?
 = .05/2
Rejeita H0 se
Z < -1.96 ou
Z > 1.96;
caso
contrário não
rejeite H0
Rejeita H0
 = .05/2
Não rejeita H0
-Z= -1.96
0
Rejeita H0
+Z= +1.96
Aqui, Z = -2.0 < -1.96, então a
estatística de teste está na região de
rejeição de Ho
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Chap 9-10
Teste de Hipótese: σ conhecido
 Decida e interprete o resultado
 Como z = -2.0 < -1.96, você rejeita a hipótese
nula e conclui que há evidências suficientes de
que a média do peso das barras de chocolate
não é igual a 3 onças.
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Chap 9-11
Teste de Hipótese: σ conhecido
As 6 etapas do Teste de Hipóteses:
1. Defina a hipótese nula, H0 e a hipótese alternativa
H1
2. Escolha o nível de significância, α, e o tamanho da
amostra n.
3. Determine a técnica estatística adequada e o teste a
ser realizado.
4. Encontre os valores críticos e determine a região de
rejeição.
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Chap 9-12
Teste de Hipótese: σ conhecido
5. Colete os dados e calcule a estatística de
teste a partir da amostra.
6. Compare a estatística de teste com o valor crítico
para determinar se a estatística de teste caiu na
região de rejeição. Faça a decisão estatística:
Rejeitar H0 se a estatística de teste cair na região
de rejeição. Escreva a decisão no contexto do
problema em questão.
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Chap 9-13
Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor
 O valor-p é a probabilidade de ser obtida uma
estatística de teste igual ou mais extrema do que o
resultado da amostra, considerando que a hipótese
nula H0 seja verdadeira
 Também conhecido como nível observado de
significância
 Menor valor de  a partir do qual H0 pode ser
rejeitada
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Chap 9-14
Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor
 Converta a estatística da amostra (ex. X) para
a estatística de teste (ex. Estatística Z)
 Obtenha o p-valor em uma tabela ou usando
o Excel
 Compare o p-valor com 
 Se p-valor <  , rejeita H0
 Se p-valor   , não rejeita H0
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Chap 9-15
Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor

Exemplo: Quão provável é encontrar uma amostra com média
igual a 2,84 (ou algo mais distante da média, em qualquer
direção) se a verdadeira média é  = 3.0?
X = 2.84 é traduzida para
uma estatística Z = -2.0
P(Z  2.0)  .0228
/2 = .025
/2 = .025
.0228
.0228
P(Z  2.0)  .0228
p-valor
=.0228 + .0228 = .0456
-1.96
-2.0
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0
1.96
2.0
Z
Chap 9-16
Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor
 Compare o p-valor com 
 Se p-valor <  , rejeita H0
 Se p-valor   , não rejeita H0
Aqui: p-valor = .0456
 = .05
Como .0456 < .05,
você rejeita a hipótese
nula
/2 = .025
/2 = .025
.0228
.0228
-1.96
-2.0
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0
1.96
2.0
Z
Chap 9-17
Teste de Hipótese: σ conhecido
Relação com Intervalo de Confiança
 Para X = 2.84, σ = 0.8 e n = 100, o intervalo
para um nível de confiança de 95% é:
0.8
0.8
2.84 - (1.96)
a 2.84  (1.96)
100
100
2.6832 ≤ μ ≤ 2.9968
 Como o intervalo não contém o valor da média
especificado na hipótese (3.0), você rejeita a hipótese
nula a um nível de significância  = .05
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Chap 9-18
Teste de Hipótese: σ conhecido
Testes Unicaudais
 Em muitos casos, a hipótese alternativa se
concentra em uma determinada direção
H0: μ ≥ 3
H1: μ < 3
H0: μ ≤ 3
H1: μ > 3
Este é um teste de cauda à esquerda (ou
inferior) já que a hipótese alternativa foca
em valores menores do que a média 3
Este é um teste de cauda à direita (ou
superior) já que a hipótese alternativa foca
em valores maiores do que a média 3.
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Chap 9-19
Teste de Hipótese: σ conhecido
Teste de cauda à esquerda
 Há somente um valor crítico, já que a área de
rejeição concentra-se em uma cauda apenas.
α
Rejeita
H0
-Z
Não Rejeita
Z
H0
μ
X
Valor crítico
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Chap 9-20
Teste de Hipótese: σ conhecido
Teste de cauda à direita
 Há somente um valor crítico, já que a área de
rejeição concentra-se em uma cauda apenas.
α
Z
X
Não Rejeita
H0
Z
Rejeita
H0
μ
Valor crítico
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Chap 9-21
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Um gerente de uma companhia telefônica acha que a
conta mensal de telefone celular dos clientes aumentou,
e agora tem um valor médio maior do que $52 por mês.
A companhia deseja testar essa afirmação. Dados
históricos mostram que o desvio padrão é igual a $10.
Forma do teste de hipótese:
H0: μ ≤ 52 a média é menor ou igual a $52 por mês
H1: μ > 52
a média é maior do que $52 por mês
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Chap 9-22
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
 Suponha que  = .10 seja escolhido para o teste
 Encontre a região de rejeição:
Rejeita H0
1- = .90
 = .10
Não rejeita H0
0
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Z
Rejeita H0
Chap 9-23
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Qual é o Z dado a = 0.10?
.90
.10
Z
a = .10
.90
.07
.08
.09
1.1 .8790 .8810 .8830
1.2 .8980 .8997 .9015
z
0 1.28
1.3 .9147 .9162 .9177
Valor Crítico
= 1.28
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Chap 9-24
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
 Obtenha a amostra e calcule a estatística de
teste.
 Suponha que uma amostra com os seguintes
resultados: n = 64, X = 53.1 (=10
assume-se conhecido a partir de dados
históricos)
 Então a estatística de teste é:
Z 
Xμ
53.1  52

 0.88
σ
10
n
64
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Chap 9-25
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
 Conclua e interprete o resultado:
Rejeita H0
1- = .90
 = .10
1.28
0
Z = .88
Não é possível rejeitar H0 já que Z = 0.88 ≤ 1.28
i.e.: não há evidências suficientes de que a conta média de celular é maior
do que $52
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Chap 9-26
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Calcule o p-valor e compare com 
p-valor = .1894
Rejeita H0
 = .10
0
Não Rejeitar H0
1.28
Z = .88
Rejeita
H0
P( X  53.1)
53.1  52.0 

 P Z 

10/ 64 

 P(Z  0.88)  1  .8106
 .1894
Não rejeitar H0 já que o p-valor = .1894 >  = .10
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Chap 9-27
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido
 Se o desvio padrão da população não é
conhecido usa-se o desvio padrão amostral S.
 Devido a essa mudança, deve-se usar a
distribuição t ao invés da distribuição Z para
testar a hipótese nula sobre a média.
 Todas as demais etapas, conceitos e
conclusões são os mesmos.
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Chap 9-28
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido
 Lembre que a estatística t com n-1graus de
liberdade é:
t n -1
X μ

S
n
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Chap 9-29
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido - Exemplo
Afirma-se que o valor médio das diárias de hotel em Nova
York é $168 por noite. Uma amostra aleatória de 25 hotéis
resultou em X = $172.50 e S = 15.40. Teste a afirmação a um
nível de significância  = 0.05.
(Análises através de gráfico da probabilidade normal indicam que a
distribuição da população pode ser aproximada pela distribuição normal)
H0: μ = 168
H1: μ  168
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Chap 9-30
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido - Exemplo
H0: μ = 168
H1: μ ≠ 168
Determine as regiões de rejeição
 α = 0.05
 n = 25
α/2=.025
α/2=.025
  é desconhecido,
então usamos a
estatística t
 Valor Crítico:
t24 = ± 2.0639
Rejeita H0
-t n-1,α/2
-2.0639
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Não rejeita H0
0
Rejeita H0
t n-1,α/2
2.0639
Chap 9-31
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido - Exemplo
X μ
172.50  168
t n 1 

 1.46
S
15.40
n
25
a/2=.025
a/2=.025
-t n-1,α/2
-2.0639
0
t n-1,α/2
1.46
2.0639
Não é possível rejeitar H0: não há evidências suficientes de
que o custo médio verdadeiro é diferente de $168
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Chap 9-32
Teste de Hipóteses:
Relação com Intervalos de
Confiança
 Para X = 172.5, S = 15.40 e n = 25, o
intervalo para um nível de confiança de 95% é:
15.4
15.4
172.5 - (2.0639)
a 172.5  (2.0639)
25
25
166.14 ≤ μ ≤ 178.86
 Como o intervalo contém a média especificada
na hipótese (168), não se pode rejeitar a hipótese
nula a um nível de significância  = .05
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Chap 9-33
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido
 Lembre que assume-se que a estatística da
amostra vem de uma amostra aleatória
extraída de uma população com distribuição
normal
 Se a amostra for pequena (< 30) deve-se
testar a hipótese de normalidade da
população.
 Se a amostra é grande, o Teorema do Limite
Central é aplicável e a distribuição da média
amostral é normal.
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Chap 9-34
Teste de Hipóteses
Proporções
 Variáveis categóricas
 Dois possíveis resultados
 “Sucesso” (observa-se certa característica)
 “Fracasso” (a característica não é observada)
 π indica a fração ou proporção da população
em que “sucesso” é observado. É o
parâmetro da população.
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Chap 9-35
Teste de Hipóteses
Proporções
 A proporção de “sucesso” na amostra é indicada por p
X
número de sucessos na amostra
p

n
tamanho da amostra
 Quando nπ e n(1-π) são ambos maiores do que 5, a
distribuição de p pode ser aproximada pela distribuição
normal com as seguintes média e desvio padrão:
μp  
σp 
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 (1   )
n
Chap 9-36
Teste de Hipóteses
Proporções
 A distribuição amostral de p é
aproximadamente normal, então a estatística
do teste é a Z com valor:
Z
p 
 (1   )
n
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Chap 9-37
Teste de Hipóteses
Proporções - Exemplo
Uma empresa de marketing afirma que o índice de
resposta de sua mala direta é de 8%. Para testar essa
afirmativa, uma amostra aleatória de 500
correspondências foi pesquisada e encontrou-se 30
respostas. Teste a afirmação com um nível de
significância  = .05.
Primeiro, verifique:
n π = (500)(.08) = 40
n(1-π) = (500)(.92) = 460
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Chap 9-38
Teste de Hipóteses
Proporções - Exemplo
H0: π = .08
H1: π ≠ .08
α = .05
n = 500, p = .06
Valores Críticos: ± 1.96
Determine a região de rejeição
Rejeita
Rejeita
.025
.025
-1.96
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0
z
1.96
Chap 9-39
Teste de Hipóteses
Proporções - Exemplo
Decisão:
Estatística de Teste:
Z
p 

 (1   )
n
.06  .08
 1.648
.08(1  .08)
500
.025
.025
-1.96
0
-1.648
z
1.96
Não rejeitar H0 a
 = .05
Conclusão:
Não há evidência
suficiente para rejeitar a
afirmação da empresa
sobre o índice de
resposta ser de 8%.
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Chap 9-40
Armadilhas potencias do teste
de hipóteses e questões éticas
 Adote métodos aleatórios na amostragem para reduzir





potenciais vieses.
Não use respondentes humanos sem consentimento
informado
Escolha o nível de significância, α, antes da coleta de
dados
Não “espione os dados” para escolher entre teste
unicaudal ou bicaudal, ou para determinar o nível de
significância
Não pratique “descarte de dados” para esconder
observações que não suportem as hipóteses formuladas
Divulgue todos os resultados relevantes
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Chap 9-41
Resumo do capítulo
Neste capítulo, nós vimos
 Apresentamos a metodologia do teste de hipóteses
 Usamos o teste Z para médias (σ conhecido)
 Discutimos as abordagens do valor crítico e o p-
valor para testar as hipóteses
 Fizemos testes unicaudais e bicaudais
 Usamos o teste t para médias (σ desconhecido)
 Usamos o teste Z para proporções
 Discutimos armadilhas e questões éticas
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Chap 9-42