Módulo 2 - peb.ufrj

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
Módulo 2
Thévenin
Norton
Helmholtz
Mayer
Ohm
Galvani
Conteúdo
2 - Elementos básicos de circuito e suas associações..................................................................1
2.1 - Resistores lineares e invariantes.....................................................................................1
2.1.1 - Curto circuito..........................................................................................................2
2.1.2 - Circuito aberto........................................................................................................2
2.2 - Resistor linear e variante................................................................................................2
2.3 - Resistores não lineares e invariantes..............................................................................3
2.3.1 - Interruptor...............................................................................................................3
2.3.2 - Diodo......................................................................................................................3
2.3.3 - Diodo túnel.............................................................................................................4
2.4 - Associação de resistores.................................................................................................6
2.4.1 - Associação série.....................................................................................................6
2.4.2 - Associação paralela................................................................................................7
2.5 - Fonte de tensão independente........................................................................................9
2.5.1 - Associação de fontes de tensão............................................................................11
2.6 - Fonte de corrente independente....................................................................................11
2.6.1 - Associações de fontes de corrente........................................................................13
2.7 - Modelo de Thévenin e Norton.....................................................................................14
2.8 - Associação de fontes e resistores.................................................................................14
2.8.1 - Divisor de tensão..................................................................................................14
2.8.2 - Divisor de corrente...............................................................................................15
2.9 - Fontes controladas........................................................................................................16
2.10 - Exercícios...................................................................................................................17
2 Elementos básicos de circuito e suas associações
Resistor, diodo, transistor, válvula, capacitor, indutor e transformador, entre outros
elementos de circuito, são elementos reais que podem ser representados por modelos ou
associação de modelos, cada qual apresentando apenas 1 propriedade física.
2.1 Resistores lineares e invariantes
Os resistores são os elementos de circuito mais comuns e concentram a característica
de resistência elétrica, ou seja de oposição a passagem da corrente elétrica. Existem diversos
símbolos para o resistor: na Europa se utiliza um retângulo (como os elementos apresentados
no capítulo anterior), nos Estados Unidos e no Brasil o símbolo mais comum é apresentado na
figura abaixo.
O resistor é caracterizado pelas seguintes relações:
v t =R⋅it  , onde R é resistência (Ohm – Ω).
it =G⋅v t  , onde G é condutância (Siemens – S)
R=G−1
Normalmente R e G são lineares (como no gráfico da figura abaixo) e invariantes com
o tempo, mas isto não é uma exigência.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
1
OBS.: São condições essenciais para a linearidade:
f ⋅x =⋅f  x 
f  x 1x 2 = f  x 1 f  x 2
2.1.1 Curto circuito
R=0 . Isto significa que a diferença de tensão entre dois terminais de um curto
circuito é zero, independente da corrente que circula por este elemento. Idealmente o curto
circuito é representado por um fio. Num gráfico v x i o curto circuito se caracteriza por ser
uma reta paralela ao eixo da corrente e que passa pela origem.
2.1.2 Circuito aberto
R=∞ . Isto significa que não há circulação de corrente pelo circuito aberto,
independente da tensão aplicada a seus terminais. Idealmente o curto circuito é representado
por dois nós não conectados. Num gráfico v x i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta
paralela ao eixo da tensão e que passa pela origem.
2.2 Resistores não lineares e invariantes
Aqueles que apresentam uma relação não linear entre tensão e corrente porém são
invariantes com o tempo (não são funções do tempo).
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
2
2.2.1 Interruptor
Uma chave ideal pode ser modelada por por um curto circuito ou por circuito aberto
dependendo de estar fechada ou aberta respectivamente. Um modelo mais realístico pode
representar as resistência de contatos elétricos (R1) quando a chave está fechada e uma
resistência de isolação (R2) de quando a chave esta aberta. Outros modelos para a chave
podem ser utilizados, como na figura abaixo.
2.2.2 Diodo
Um elemento com comportamento muito semelhante ao de uma chave comutada por
tensão é o diodo eletrônico, cujo símbolo e curva v x i são apresentados na figura abaixo.
Observe que a curva v x i não é simétrica o que significa que este elemento apresenta
polaridade, ou seja, dependendo de como ele for ligado ao circuito este terá um
comportamento diferente.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
3
Tradicionalmente o diodo é modelado pela equação

it =I S⋅ e
onde
q⋅v t 
K⋅T
−1

K⋅T
≈26mV para a temperatura ambiente.
q
É muito comum, na prática, simplificar os cálculos de circuitos que utilizam diodos
substituindo seu comportamento real (descrito pela exponencial acima) por uma chave
controlada (um curto circuito ou circuito aberto). Eventualmente este modelo pode estar
associada com outros elementos como fontes e resistores.
2.3 Associação de resistores
2.3.1 Associação série
A associação série de resistores é aquela onde um terminal de um resistor se conecta a
um terminal do próximo formando uma seqüência de resistores. Esta associação, ilustrada na
figura abaixo pelos resistores R1 e R2 , tem um comportamento elétrico semelhante ao de
uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
4
O valor da resistência equivalente pode ser calculada da seguinte maneira:
v =v R1v R2
v =I⋅R 1I⋅R2
v= I⋅ R1R2 
v =I⋅R EQ
R EQ=R 1R2
Genericamente
R EQ=∑ R n (a resistência equivalente é maior que todas as
resistências individuais da associação).
Cabe ressaltar que a resistência equivalente da associação é equivalente apenas do
ponto de vista da tensão e da corrente nós A e C (na figura acima) pois a potência dissipada
por cada resistor será diferente da potência dissipada pelo equivalente assim como a tensão
sobre cada resistor será diferente da tensão sobre o resistor equivalente.
A figura acima também apresenta um símbolo não utilizado anteriormente. Um
triângulo interligado ao nó C. Este símbolo marca o nó como se fosse um nome e costuma ser
utilizado para representar uma referência de tensão (também chamado de terra, massa, chassi,
retorno...). Quando ele está presente no circuito as medidas de diferença de tensão são dadas
com relação a este ponto. Abaixo vemos curvas de tensão em função da corrente para a
associação série apresentada anteriormente.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
5
A tensão V  a equivale a diferença de tensão V A−V C , a tensão V b  equivale a
diferença de tensão V B−V C , por outro lado a tensão V  A , B ou V AB equivale a diferença
de tensão V A−V B . Estas representações de diferenças de potencial são comuns em circuitos
e sempre que se deseja expressar uma diferença de tensão entre a referência e um nó qualquer
do circuito basta indicar o nome deste nó. Quando a diferença de potencial se refere a uma
medida que não inclua o nó de referência então se indicam os dois nós para os quais a
diferença de tensão esta sendo fornecida ou solicitada.
2.3.2 Associação paralela
A associação paralela de resistores é aquela onde um terminal de cada resistor se
conecta a um determinado nó e todos os demais terminais se conectam a um outro nó. Esta
associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores R1 e R2 , tem um comportamento
elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
6
O valor da condutância equivalente pode ser calculado da seguinte maneira.
i TOTAL=i R1i R2
i TOTAL=v⋅G 1v⋅G 2
i TOTAL=v⋅G1G2
i TOTAL=v⋅G EQ
G EQ=G 1G2
Genericamente G EQ=∑ Gn (a condutância equivalente é maior que todas as
condutâncias individuais da associação, ou seja a resistência equivalente é menor que todas as
resistências da associação). Novamente aqui, assim como em todas as associações realizadas
nesta disciplina, o conceito de equivalente está diretamente relacionado com o comportamento
da tensão e da corrente entre dois nós, ou seja, para que dois circuitos sejam equivalentes a
equação de tensão em função de corrente para quaisquer dois nós deve ser igual em ambos os
circuitos.
A figura abaixo mostra o gráfico das condutâncias formadas por R1 , R2 e R EQ
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
7
2.4 Fonte de tensão independente
As fontes de tensão são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos
mantendo constante a diferença de potencial entre seus terminais, independentemente da
corrente que circule pela fonte. Existem diversos símbolos para a fonte mas o mais comum
está representado na figura abaixo.
Observe na figura abaixo que a curva v x i da fonte de tensão é uma reta paralela ao
eixo da corrente, como se fosse um curto circuito (a resistência de uma fonte de tensão ideal é
zero) porém esta curva não passa pela origem, ou seja não tem um comportamento linear.
Correntes positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e nesta
região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, esta sendo carregada. Quando a corrente é
negativa (sentido contrario ao de referência) a fonte fornece energia (p<0).
Fontes de tensão reais apresentam uma diminuição da tensão em seus terminais que é
proporcional a corrente fornecida para a carga. A figura abaixo apresenta um modelo para
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
8
fonte de tensão real formado por uma fonte de tensão ideal vo em série com uma resistência
RS,. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar uma carga RL.
v i=Rs⋅ivo ou i  v=
v vo
–
Rs Rs
O comportamento v x i da fonte de tensão real é semelhante ao mostrado na figura
abaixo. Neste exemplo, vo=10V e RS =10  . Observe que com estes valores a curva de
tensão nos terminais da fonte está longe de ser considerada constante, mas a medida que Rs
for diminuído a curva torna-se mais parecida com a da fonte ideal.
2.4.1 Associação de fontes de tensão
Fontes de tensão podem ser associadas em série e em paralelo. Se forem conectadas
em série a fonte de tensão equivalente será dada pela soma algébrica das tensões de cada
fonte. Por outro lado, se as fontes forem conectadas em paralelo todas devem ter o mesmo
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
9
valor e a mesma polaridade. Isto deve ocorrer para que o somatório das tensões em cada
caminho fechado seja nulo, obedecendo a LTK.
2.5 Fonte de corrente independente
As fontes de corrente são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a
circuitos mantendo constante corrente que atravessa seus terminais, independentemente da
diferença de tensão entre seus terminais. Existem diversos símbolos para a fonte mas o mais
comum está representado na figura abaixo.
Observe na figura abaixo que a curva v x i da fonte de corrente é uma reta paralela ao
eixo da tensão, como se fosse um circuito aberto (a resistência de uma fonte de corrente ideal
é infinita) porém esta curva não passa pela origem, ou seja não tem um comportamento linear.
Tensões positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e nesta
região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, esta sendo carregada. Quando a tensão é
negativa (sentido contrario ao de referência) a fonte fornece energia (p<0).
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
10
Fontes de corrente reais apresentam uma diminuição da corrente de saída a medida que
a tensão nos terminais da fonte aumenta. A figura abaixo apresenta um modelo de uma fonte
de corrente real, representada por uma fonte de corrente ideal io e uma resistência RS. Esta
fonte está sendo utilizada para alimentar a carga RL. Desenhe o gráfico de v com relação a i.
v i=Rs⋅iRs⋅io ou i  v=
v
−io
Rs
O comportamento v x i da fonte de corrente real é semelhante ao mostrado na figura
abaixo. Neste exemplo, io=1A e RS =10  . Observe que a curva abaixo é idêntica aquela
obtida para o exemplo de fonte de tensão real com vo=10V e RS =10  . Se estes dois
circuitos apresentam a mesma característica v x i então os dois circuitos são equivalentes do
ponto de vista dos seus terminais.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
11
2.5.1 Associações de fontes de corrente
Fontes de corrente podem ser associadas em série ou em paralelo. Se forem ligadas em
série todas as fontes devem ter a mesma intensidade e o mesmo sentido para que seja
respeitada a LCK. Se ligadas em paralelo podem ter qualquer valor e sentido e, neste caso, a
fonte equivalente corresponde a uma fonte cuja intensidade e sentido é dada pela soma
algébrica das correntes das fontes individuais.
2.6 Modelo de Thévenin e Norton
Como foi mostrado os modelos de fontes de tensão e corrente reais apresentam a
mesma equação para a curva v x i e portanto podem ser equivalentes. Estes equivalentes
recebem nomes especiais (Thévenin e Norton respectivamente) e podem ser vistos na figura
abaixo.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
12
Para substituir um equivalente Thévenin por um Norton e vice versa basta comparara
as equação de cada equivalente. Comparando as equações de tensão
v i=Rs⋅iRs⋅io , v i=Rs⋅ivo
observa-se que vo=Rs⋅io , a inclinação do gráfico v(i) é Rs e seu intersepto é vo .
Comparando-se as equações de tensão
i  v=
v
v vo
−io , i  v= –
Rs
Rs Rs
observa-se que io=
vo
1
, a inclinação do gráfico i(v) é
e seu intersepto é −io .
Rs
Rs
2.7 Associação de fontes e resistores
2.7.1 Divisor de tensão
Um problema muito comum em circuitos é o cálculo da tensão sobre um resistor numa
ligação série de fonte de tensão e resistores conforme indicado na figura a seguir.
A tensão v pode ser obtida da seguinte maneira:
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
13
i TOT =
vs
R1R 2R3
v=i TOT⋅R2
v=
vs
⋅R
R1 R2R3 2
Genericamente v i =
vs
⋅R
∑ Rn i
2.7.2 Divisor de corrente
Outro problema muito comum é o cálculo de uma determinada corrente num circuito
paralelo entre uma fonte de corrente e resistores, como ilustrado na figura abaixo.
A corrente i1 pode ser obtida da seguinte maneira
v TOT =
is
G 1G 2G 3
i 1=v TOT⋅G 1
i 1=
is
⋅G
G 1G 2G 3 1
Genericamente i i=
is
⋅G
∑ Gn i
2.8 Fontes controladas
Uma fonte controlada é um elemento de circuito com 2 braços onde o primeiro é
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
14
formado por um curto circuito ou circuito aberto e o segundo por uma fonte de tensão ou
corrente. A forma de onda na fonte do segundo braço é uma função na tensão de circuito
aberto ou da corrente de curto circuito do primeiro braço ou seja a fonte do segundo braço é
controlada pela tensão ou corrente no primeiro braço. Assim, existem quatro combinações
possíveis de fontes controladas que estão representadas na figura abaixo.
Fonte de corrente controlada por corrente: i 2 =α⋅i 1
Fonte de corrente controlada por tensão: i 2 =gm⋅v1
Fonte de tensão controlada por tensão: v 2 = μ⋅v1
Fonte de tensão controlada por corrente: v 2 =rm⋅i 1
Estas fontes são muito comuns em eletrônica e representam o funcionamento de
circuitos ou elementos como transistores, amplificadores operacionais e válvulas. Os símbolos
utilizados diferem um pouco na literatura e nos simuladores. Via de regra o símbolo da fonte
continua o mesmo utilizado para fontes independentes ou assume um formato de losângulo. A
dependência com a corrente ou a tensão do primeiro braço é explicitada pela equação que
governa o funcionamento da fonte.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
15
Diferente das fontes independentes, fontes controladas representadas por α, gm, µ e rm
constantes são fontes lineares e invariantes com o tempo mas também podem existir fontes
controladas não lineares e variantes.
As fontes independentes representam fornecimento de energia ou seja a ação do
mundo externo e são componentes não lineares por natureza. As fontes controladas
representam comportamento de elementos eletrônicos (resistores, por exemplo) acoplados ou
seja podem ser elementos lineares. Nos exemplos mostrados acima, com coeficientes
constantes, a impedância de uma fonte de corrente controlada não é infinita e a impedância de
uma fonte de tensão controlada não é zero. De resto as fontes controladas podem ser
consideradas fontes de tensão ou corrente e assim são consideradas na análise de circuitos.
2.9 Exercícios
1) Observando a curva v x i de um elemento é possível determinar se ele apresenta
polaridade?
Sim. Simetria impar indicam elementos sem polaridade.
2) Calcule a resistência equivalente para os circuitos da figura abaixo
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
16
Circuito da esquerda: Req=R1
Circuito da direita: Req=R1
R2⋅R3
R2R3
R4⋅ R2R3
R4R2R3
3) Apresente as curvas v x i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma
chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria
possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e
invariantes. No LTSpice insira a diretiva spice: .model D d(N=0.001) para obter um diodo
próximo do ideal.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
17
4) Para os circuitos da figura abaixo calcule as tensões e as correntes sobre os
elementos. Considere R1=1  , R1=2  e R1=3  . Determine quem absorve e quem
fornece energia.
Circuito de cima a esquerda
R1=1  , v R1=v 1 , i R1=2 A , i V1=−1 A , p V1=−2 W , p R1 =4 W , p I1=−2 W
R1=2 , v R1=v 1 , i R1=1 A , i V1=0 A , p V1=0 W , p R1 =2 W , p I1=−2 W
R1=3  , v R1=v 1 , i R1=2 /3 A , i V1=1/3 A , p V1=2 /3 W , p R1 =4 /3 W , p I1=−2 W
Circuito de cima a direita
R1=1  , v R1=1V , i R1=i I1 , i V1=i I1 , p V1=2 W , p R1 =1 W , p I1=−3W
R1=2 , v R1=2 V , i R1=i I1 , i V1=i I1 , p V1=2 W , p R1 =2 W , p I1=−4 W
R1=3  , v R1=3 V , i R1=i I1 , i V1=i I1 , p V1=2 W , p R1 =3W , p I1=−5 W
Circuito de baixo, v R2=3 V , p R2 =3W
R1=1  , i R1=2 A , i V1=−1 A , p V1=−2 W , p R1 =4 W , p I1=−5 W
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
18
R1=2 , i R1=1 A , i V1=0 A , p V1=0 W , p R1 =2 W , p I1=−5 W
R1=3  , i R1=2 /3 A , i V1=1/3 A , p V1=2 /3 W , p R1 =4 /3 W , p I1=−5 W
5) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito abaixo.
Os resultados estão apresentados na tabela abaixo. As células pintadas correspondem
as fontes que fornecem energia.
IR1=3A, VR1=6V, PR1=18W
IR6=4A, VR6=16V, PR6=64W
IR5=2A, VR5=10V, PR5=20W
VI1=V7+VR1=26V, PI1=78W
IV10= 4A, PV10= 200W
VI2=VV8+VR5=25V, P=50W
IR7=V9 / R7 = 4A, VR7= 40V,
VI3=VV10+VR6–VV9=26V,
VR4=15V, IR4=2A, PR4=30W
PR7= 160W
P=104W
VR2=20V, IR2=5A, PR2=100W
VR3=VV9–VR2–VR4=5V,
IV7=IR1+IR3–IR2=0A, PV7=0W
IR3=2A, PR3= 10W
IV8=IR3+IR5–IR4=2A, PV8=30W
IV9=IR4+IV8+II3+IR7-II2 =10A,
PV9=400W
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
19
6) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2 .
v 2 =25 V , v 1=−1V
7) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo.
Circuito da esquerda igual a uma fonte de tensão de valor V1. Circuito da direita igual
a uma fonte de corrente de valor I1.
8) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra
rede chamada Π ou ∆. Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser
equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e
RC para que a rede Y seja equivalente a uma dada rede ∆. b) Determine os valores de R1, R2
e R3 para que a rede ∆ seja equivalente a uma dada rede Y.
a) R AC = RA RC , R AB= RARB , R BC =RBRC
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
20
R AC = R1 //  R2R3=
R1⋅ R2R3 R1⋅R2R1⋅R3
=
R1R2R3
R1R2R3
R AB= R2 //  R1R3=
R2⋅ R1R3 R1⋅R2R2⋅R3
=
R1R2R3
R1R2 R3
R BC =R3 //  R1R2=
R3⋅ R1R2 R1⋅R3R2⋅R3
=
R1R2 R3
R1R2R3
RARC=
R1⋅R2 R1⋅R3
(1)
R1R2R3
RARB=
R1⋅R2R2⋅R3
(2)
R1R2R3
RBRC =
R1⋅R3R2⋅R3
(3)
R1R2R3
12 – 3=2⋅RA , 23 – 1=2⋅RB , 13− 2=2⋅RC
RA=
R1⋅R2
R2⋅R3
R1⋅R3
, RB=
, RC=
R1R2R3
R1R2R3
R1R2R3
b) considerando que RT =R1R2R3
então RA=
R1⋅R2
R2⋅R3
R1⋅R3
, RB=
, RC=
RT
RT
RT
2
RA⋅RB=
R1 ⋅R2⋅R3
R1⋅R2⋅R3
R1⋅R22⋅R3
, RA⋅RC=
, RB⋅RC =
2
2
RT
RT
RT 2
RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC=
3
R1⋅R22⋅R3R12⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32
RT 2
1
1 R1⋅R2 2⋅R3R12⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32
⋅RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC= ⋅
RA
RA
RT 2
1
RT R1⋅R22⋅R3R12⋅R2⋅R3R1⋅R2⋅R32
⋅RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC=
⋅
RA
R1⋅R2
RT 2
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
21
RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC R2⋅R3R1⋅R3R3
=
RA
RT
2
RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC R3⋅ R2R1 R3
=
RA
R1R2R3
R3=
RA⋅RBRA⋅RC RB⋅RC
,
RA
R2=
RA⋅RB RA⋅RC RB⋅RC
RC
R1=
RA⋅RBRA⋅RCRB⋅RC
RB
9) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos ThéveninNorton determine o valor da tensão v.
R4 e R6 não influenciam a tensão v e podem ser desconsiderados
V 12=V 1V 2=10−4=6V
O modelo Thevènin formado por V 12 e R1 pode ser transformado em um Norton
I 12=V 12 /R 1=6/2=3 A e R1=2 .

1
1
1
Req =


R1 R3R5 R2
−1

=1,14  , e I eq=I 12I 1=310=13 A .
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
22
Assim, v= I eq⋅Req =14,85V
10) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor R L )
v RL= RL⋅gm⋅v1 e v 1=
v RL= RL⋅gm⋅
v s⋅R1
R1R 2
v s⋅R1
com polaridade positiva para baixo.
R1R 2
11) Para o circuito abaixo, calcular vL (tensão sobre o resistor R L ).
Solução:
vL =
v 1=
v L=
v2
µ ⋅ v1
⋅ RL =
⋅ RL
R2 + RL
R2 + RL
vS
⋅R
RS R1 1
μ⋅v S⋅R1⋅R L
 R L R2⋅ R SR1 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
23
12) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente
Solução:
RE=
V L 1−a⋅I 1⋅RL
=
=1−a⋅R L
IS
IS
Observe que dependendo do valor de a a impedância equivalente conectada em
paralelo com a fonte de corrente varia. Se a=1 a impedância é nula e o circuito se comporta
como um curto circuito. Se 0a1 a impedância será uma parcela da impedância da carga.
Se a1 a impedância é negativa.
13) Para os circuitos abaixo calcular o valor de v o considerando que o ganho A do
amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de v o quando o ganho A tende a
infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão
independente de valor v o e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é
nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
24
Solução para o primeiro circuito.
Redesenhando o circuito para facilitar o equacionamento
i 1=
v i−v o
R1R2
v _=i 1⋅R 2v o=
v _=
v i−v o
⋅R v
R1R 2 2 o
v i⋅R 2v o⋅R1
R 1 R 2
v o= A⋅ v + −v _ 
como v + =0 , v o =−A⋅v _
v _=−
v o =−
vo
v ⋅R v ⋅R
=− i 2 o 2
A
R1R 2
R2
⋅v
R1R 2 i
R1
A
se lim v o=−
A∞
R2
⋅v
R1 i
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
25
Observe que se A tende a infinito e a saída v o é finita então a diferença de tensão entre
as duas entradas do amplificador operacional obrigatoriamente deve ser ser nula.
Considerando antecipadamente as duas entradas do operacional com o mesmo potencial
podemos resolver o problema da seguinte forma:
v + =v _ =0 logo
vi
v
=− o , então
R1
R2
i 1=
v o =−
R2
⋅v .
R1 i
v + =v _ =0
i 1=
v i−0 0−v o
=
R1
R2
v o =−
R2
⋅v
R1 i
Para o segundo circuito, resolvendo da forma simplificada:
v R1=v i
i R1=i R2=
v o=
v 0−v i v i
=
R2
R1
 
R2
1 ⋅v i
R1
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781
26