matemática

Matemática
Modelagem matemática: aplicações do cálculo
diferencial e integral à resolução de problemas
relacionados às ciências da vida e da natureza
Elaine Regina Marquezin Marinho
Pesquisadora
Profª. Drª. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão
Orientadora
Resumo
Neste trabalho abordaremos os principais modelos utilizados na resolução de problemas relacionados às
ciências da vida e da natureza. Utilizaremos as ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral para a resolução
dos modelos matemáticos formulados a partir de dados reais ou aproximados obtidos através de várias fontes.
Veremos os principais modelos para crescimento de populações tais como Malthus, Verhulst e Lotka-Volterra,
além de importantes modelos para prevenir disseminações de doenças, desintoxicação ou ação de drogas e até
a datação de objetos antigos por meio de material radioativo. Desta maneira, exploraremos neste trabalho a
aplicabilidade dos processos da modelagem matemática aos problemas reais, tornando possível a previsão de
resultados.
Palavras-chave: Modelagem. Malthus. Verhulst. Datação por carbono.
Abstract
In the present work, we will show the main patterns to solve problems related to Life and Nature Sciences,
using Differential Calculus Integral tools to solve Math Models formulated on real dates obtained from several
sources. We will see the main important models of population increase like Malthus, Verhulst and Lotka-Volterra, besides important models to prevent disease dissemination, desintoxication or drug action, and even ancient
objects dated by radioactive material. By this way, this work will explore the aplicability of Math modeling to
real problems and how it makes previsions possible.
Key words: Models. Malthus. Verhulst. Dated by carbon.
Revista PIBIC, Osasco, v. 5, n. 6, 2011, p. 119-125
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Elaine Regina Marquezin Marinho
1 Introdução
O ser humano sempre buscou formas de explicar os
fenômenos da Natureza. Na tentativa, por exemplo, de
responder perguntas simples relacionadas ao cálculo
de áreas e volumes, temos a evolução do processo que
hoje denominamos Modelagem Matemática, que vem
primeiro para responder perguntas dentro da própria
Matemática, mas que ao longo do tempo mostra-se
bastante eficaz em várias outras áreas do conhecimento científico.
O processo de modelagem é bem simples e orientado pela evolução natural do estudo do problema.
Consiste em simplificar um problema, através da sua
análise, traduzindo-o para uma linguagem matemática adequada a facilitar sua resolução. Uma vez obtida
a resposta Matemática, basta traduzir o resultado para
120
a linguagem e interpretação no contexto original.
fósseis e variação de temperatura, entre outros. A seguir veremos alguns desses casos.
2.1 Crescimento populacional
O crescimento de populações pode ser entendido
de uma forma mais geral, isto é, do ponto de vista da
matemática, podemos considerar da mesma maneira o
crescimento de uma população humana, animal ou de
microorganismos. Inicialmente, o crescimento populacional era tratado como um crescimento exponencial expressado pela equação diferencial
dP
= kP ,
dt
mas no início do século XIX, um matemático inglês
chamado Thomas Malthus (1766-1834) criou um modelo baseado na hipótese de que enquanto a população cresce exponencialmente, os meios de subsistência desta população crescem linearmente, logo a
população não teria como sobreviver a partir de um
Os modelos matemáticos são poderosas ferramen-
certo momento. Pensando na ideia de Malthus, em
tas na resolução de problemas práticos em quase todas
1838 um matemático belga, Pierre François Verhulst
as áreas do conhecimento como, por exemplo, a Físi-
(1804-1849), desenvolveu um modelo que é univer-
ca, a Economia, a Química, as Ciências Sociais, e em
salmente utilizado na dinâmica de populações. O que
especial a Biologia, tema deste trabalho. Mostraremos
como modelos matemáticos podem ser utilizados para
prever fenômenos e assim se prevenir quanto a eles.
2 Estudo da modelagem na Biologia
A modelagem matemática vem se mostrando ao
Verhulst fez foi acrescentar à equação exponencial o
termo
 P
1 −  , inibindo a explosão demográfica que
 K
ocorria no modelo anterior. Desta forma chegou-se à
equação que hoje conhecemos como equação logís-
dP
 P
= kP 1 −  , e que tem como solução a
da Biologia, auxiliando nos mais diversos processos
dt
 K
como, por exemplo, na previsão do crescimento de poK
seguinte função: P (t ) =
.
pulações, colônias de bactérias, células e tecidos, bem
1 + ce − kt
longo do tempo uma importante ferramenta no campo
como na disseminação de doenças, datação de objetos
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tica,
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No gráfico acima temos duas curvas, a curva azul representa o crescimento exponencial e a vermelha o crescimento logístico. A observação importante que temos a fazer é que inicialmente as curvas coincidem, mas ao passar do tempo,
vemos que a curva azul cresce indefinidamente, enquanto que a vermelha se estabiliza em um certo valor, chamado de
capacidade de suporte, que denotamos por K. Vejamos um exemplo onde aplicamos este modelo:
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A população mundial era de cerca de 5,3 bi-
lhões em 1990. A taxa de natalidade na década de
1990 variou entre 35 e 40 milhões por ano e a taxa
P(t ) =
100
1 + 17 ,8679e −0, 00377 t
de mortalidade entre 15 e 20 milhões por ano. Vamos
Desta forma, se quisermos saber qual será a po-
assumir que a capacidade de suporte pressupõe que
pulação mundial em 2000, 2100, 2500, basta lembrar
a população mundial seja 100 bilhões de habitantes.
que consideramos 1990 como t=0, é só calcular P(10),
Quais seriam as previsões para a população mundial
P(110) e P(510). Assim, podemos dizer que a população
nos anos 2000, 2100 e 2500?
mundial será de 5,49 bilhões de pessoas em 2000, 7,81
Sabemos que este problema pode ser modelado
pela equação logística, e analisando os dados do problema, chegamos a seuinte equação diferencial:
bilhões de pessoas em 2100 e 27,68 bilhões de pessoas
em 2500.
2.2 Disseminação de doenças
dP
P 

= 0,00377 P1 −

dt
 100 
tratada também como um crescimento populacional.
Utilizando os procedimentos adequados à resolu-
Basta considerarmos o crescimento da população in-
ção do problema, chegamos à solução:
A disseminação de doenças contagiosas pode ser
fectada, tendo como limite natural a população de
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suscetíveis à doença. Portanto, a equação que descreve este processo poderia ser escrita como
dI
= kI
dt
 I
1 − 
 S
a mesma vista no exemplo anterior, apenas trocamos as letras que representam as populações.
,
A tabela abaixo mostra o número cumulativo de casos da AIDS no mundo entre 1980 e 1993 em
milhares.
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A partir destes dados e usando o modelo logístico, chegamos à função
I (t ) =
10000
1 + 9999e −0, 7 t
, considerando hipotéti-
camente que o número de suscetíves à doença fossem 10 milhões. Vamos fazer a comparação de duas curvas descritas no
gráfico abaixo.
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A curva verde representa a função que descrevemos acima, já a curva em azul foi obtida usando um software gráfico de
interpolação, que marcou os pontos da tabela e obteve uma curva que passasse pela maioria destes. Ambas as curvas representam funções logísticas.
2.3 Datação por carbono
Nos anos quarenta, um químico norte-ame-
em um objeto poderia dar pistas de sua idade. Pensan-
ricano chamado Willard Frank Libby, desenvolveu
do nisto, Libby fez as medições em vários objetos de
o método do radiocarbono para determinar a idade
idade conhecida e comprovada por documentos histó-
cronológica de objetos fósseis. Ele observou que a
ricos e comprovou sua técnica para objetos com até 70
quantidade de C-14(carbono 14) de um tecido orgâ-
mil anos, pois após este período a quantidade de C-14
nico morto diminui constantemente com o passar do
passa a ser pequena demais para uma datação preci-
tempo, e assim a medição da quantidade de carbono
sa. A datação por carbono radioativo tornou-se uma
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importante ferramenta, principalmente, em pesquisas
arqueológicas. Em 1960 Libby ganhou o Prêmio Nobel
de Química por sua pesquisa.
Na verdade o processo matemático é bem simples,
pois trata-se de um decaimento exponencial, descri-
dC
= −kC . Sabendo a
to pela equação diferencial
dt
2.4 Lei de aquecimento/resfriamento de Newton
Segundo Newton, um corpo quente se resfria ou
se aquece a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ao seu redor. A
equação diferencial que melhor descreve o processo é
quantidade de C-14 presente no organismo morto,
dT
= k ( A − T ) , sendo A a temperatura do ambiendt
comparamos esta quantidade com a quantidade pre-
te. Assim, se
sente num organismo semelhante ainda vivo, e em
A > T , a equação é positiva e a função
crescente, logo o corpo se aquece. Se
A < T , a equa-
seguida calculamos a partir da função encontrada
quanto tempo foi necessário para se eliminar o C-14.
ção fica negativa e a função decrescente e potanto o
Vejamos um exemplo de aplicação deste método:
corpo se resfria. Em ambos os casos a temperatura do
corpo tende ao equilíbrio com o meio. Um exemplo de
124
Em 1988 três grupos de cientistas acharam que a
aplicação deste tipo de modelo é na determinação da
Mortalha de Turim, suposto tecido para o enterro de
hora da morte de uma pessoa, isto desde que a tempe-
Jesus, continha 91% da quantidade de C-14 encontra-
ratura ainda não tenha se equilibrado com o ambiente;
da em um tecido recentemente feito, do mesmo ma-
neste caso devem ser utilizadas outras técnicas.
terial. Segundo estes dados,qual a idade da Mortalha
Investigadores estimam o momento da morte a
de Turim?
partir da temperatura do corpo, usando a simples regra
Bem, como dissemos, a equação para o processo de
desintegração é:
prática que diz que um cadáver esfria de 2°F durante a
primeira hora e depois a 1°F a hora adicional. A temperatura é medida usando uma sonda introduzida no
dC
= −kC comk>0.
dt
Nestas condições, temos que:
C (t ) = C0 e
−0 , 00012 t
Assim, realizando os cálculos necessários, conclu-
fígado, que sendo grande e vascular, mantém o calor
do corpo por mais tempo. Assumindo uma temperatura ambiente de 68°F e uma temperatura para corpos
vivos de 98,6°F, a temperatura T(t) em °F ao tempo t
em horas é dada por
T (t ) = 68 + 30 ,6e −0, 0676t , onde
t=0 é o instante em que ocorre a morte.
ímos que seriam necessários aproximadamente 785
Note que, por se tratar de um decaimento exponencial,
anos para que se tivesse 91% da quantidade inicial de
a equação descreve um resfriamento mais intenso nos
C-14 e, portanto, o tecido não poderia ter sido usado
primeiros momentos, mas quando a diferença entre as
no enterro de Jesus Cristo.
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temperaturas, do corpo e do ambiente, vão se aproximan-
externa. Este tipo de observação é mais fácil de se fazer
do uma da outra, a velocidade do resfriamento diminui,
por meio do gráfico abaixo:
até que a temperatura do corpo se iguale à temperatura
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3 Conclusão
O trabalho correspondeu às expectativas, atingindo
seus principais objetivos, que eram mostrar as prin-
cipais aplicações da Matemática na área da Biologia.
Esperamos que este trabalho também possa contribuir
para os profissionais de ambas as áreas.
4 Referências bibliográficas
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