Física 821 Módulo 1· Introdução à Cinemática

Física 821
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Módulo 1· Introdução à Cinemática
Trajetória
orientada
1. Conceitos básicos
A Mecânica é a parte da Física que estuda o movimento dos corpos. Por motivos didáticos, é dividida em três
partes: Cinemática, Dinâmica e Estática. Para estudar os
movimentos dos corpos, é necessário que se conheça um
determinado referencial.
• Referencial: é um ponto ou corpo que adotamos
como referência para estudar o movimento. Em cinemática
podemos adotar qualquer referencial.
• Movimento: um corpo encontra-se em movimento
toda vez que a sua posição varia, com o decorrer do tempo,
em relação a um certo referencial.
• Repouso: um corpo encontra-se em repouso quando
ele não muda de posição, com o decorrer do tempo, em relação a um certo referencial.
Um corpo pode estar em movimento em relação a um
re­fe­ren­c ial e em repouso em relação a outro refe­rencial. Por
exemplo, uma pessoa dentro de um automóvel a 60 km/h.
A pessoa está em movimento em relação ao solo, porém em
repouso em relação ao automóvel.
• Ponto material: um corpo é chamado de ponto material quando as suas dimensões são desprezíveis, se comparadas com o percurso por ele executado.
Por exemplo, um automóvel no percurso de Ribeirão Preto
a São Paulo é um ponto material, porém este mesmo automóvel
fazendo manobras numa garagem não é um ponto material, porque devemos levar em consideração todas as suas dimensões.
• Trajetória: é o caminho determinado por uma sucessão de pontos, por onde o móvel passa em relação a um
certo referencial.
Num mesmo movimento, considerando-se dois referenciais diferentes, podemos ter duas trajetórias diferentes.
Como exemplo, veja a figura a seguir.
Escala
1m
0
s=–2m
s=+2m
s=0
Origem
dos espaços
Referência
O espaço de um móvel nos fornece a sua localização na
trajetória, em relação à origem dos espaços (s = 0). A distância do móvel à origem (0), medida ao longo da trajetória, é precedida de um sinal algébrico (+) ou (–) para indicar a região da trajetória: à direita ou à esquerda da origem,
conforme a orientação escolhida para essa trajetória.
Um marco quilométrico de uma rodovia corresponde,
na prática, à grandeza espaço.
Quando se diz que um carro está no km 32, isto indica
que ele se posiciona a 32 km da origem (km 0) da rodovia.
3. Deslocamento escalar (∆s)
O deslocamento escalar é dado pela variação de espaço
sofrido por um móvel durante um certo intervalo de tempo.
∆s = s2 – s1
s1 = espaço de partida
s2 = espaço de chegada
Assim, na trajetória esquematizada a seguir, vamos calcular o deslocamento escalar de um móvel que vai de A até
D, em etapas.
A
–5
A lâmpada que se destaca do teto de um vagão (em
tráfego uniforme nos trilhos) cai de forma retilínea em
relação ao vagão e, ao mesmo tempo, apresenta trajetória
parabólica em relação aos trilhos.
2. Espaço (s)
PV3N-10-12
Para descrevermos o movimento de um ponto material
ao longo de sua trajetória, precisamos aprender a localizar
o móvel através da grandeza física espaço. Para isso, devemos escolher uma orientação para a trajetória, a seguir
uma origem (ponto zero da trajetória) e dividi-la em partes
iguais, num determinado sistema de unidades.
–4
B
–3
–2
C
–1
0
1
D
2
3
+
4
5
(m)
• A até D: ∆s AD = sD – s A = 3 – (–4) = 7 m
• B até C: ∆sBC = sC – sB = 1 – (–2) = 3 m
• D até B: ∆sDB = sB – sD = –2 – 3 = –5 m
• C até A: ∆sCA =s A – sC = –4 – 1 = –5 m
• A até A: ∆s AA = s A – s A = –4 – (–4) = 0
∆s > 0: o móvel se desloca a favor da orientação da
trajetória.
∆s < 0: o móvel se desloca no sentido contrário ao de
orientação da trajetória.
∆s = 0: o móvel não se movimentou ou, se houve
movimento, o espaço de chegada coincidiu com o de partida.
70
70
4. Função horária do espaço
Quando um móvel está em movimento em relação a um
determinado referencial, seu(s) espaço(s) varia(m) no decorrer do tempo. Podemos, então, expressar o espaço de um
móvel como uma função do tempo: s = f (t). Essa expressão
recebe o nome de função horária do espaço e representa a
lei do movimento para esse móvel.
Apresentamos, a seguir, alguns exemplos de funções
horárias do espaço:
1) s = 5 + 3t (função do 1o grau)
2) s = 2 – 2t + 3t2 (função do 2o grau)
Conhecendo-se a função horária do espaço de um móvel, é possível determinarmos a sua posição em qualquer
instante desejado. Tomando-se como exemplo a função horária s = 5 + 3t, podemos construir uma tabela, relacionando as posições (s) com os tempos (t). Adotando o Sistema
Internacional de Unidades, temos:
s = 5 + 3t (SI)
• para t = 0 s: s = 5 + 3(0) ⇒ s = 5 m
• para t = 2 s: s = 5 + 3(2) ⇒ s = 11 m
• para t = 5 s: s = 5 + 3(5) ⇒ s = 20 m
Os resultados acima indicam-nos, portanto, que, para
qualquer instante (t) que substituirmos, a função fornecerá a posição do móvel em relação à origem dos espaços.
5. Velocidade escalar média
A velocidade escalar média de um móvel representa a
velocidade escalar constante que o móvel poderia ter usado
entre duas posições de sua trajetória, ou seja, ao longo de
seu deslocamento escalar.
Estabeleceu-se o critério de que a velocidade escalar
média é dada pela razão entre o deslocamento escalar efetuado e o intervalo de tempo gasto para efetuá-lo, e não
como usamos no cotidiano, fazendo a relação entre a distância percorrida e o intervalo de tempo.
Ou seja:
vm =
∆s s2 s2 − s1
=
=
∆t t2 t2 − t1
A velocidade escalar média não depende da forma da
trajetória (retilínea ou curvilínea). Só depende das condições inicial e final do movimento.
No Sistema Internacional (SI), a unidade para a velocidade é o metro por segundo (m/s). Outras unidades, tais
como cm/s e km/h, são muito utilizadas.
As relações entre elas são as seguintes:
• 1 m/s = 100 cm/s
 1 
 1.000 
• 1 km / h = 
m /s = 
m /s
 3.600 
 3, 6 
Logo, para transformar km/h em m/s, dividimos por 3,6
e para o inverso, multiplicamos por 3,6.
Como exemplo, suponha um carro efetuando um deslocamento escalar de 36 km num intervalo de tempo de 0,50 h. A
sua velocidade escalar média neste percurso corresponde a:
vm =
∆s 36 km
72
=
= 72 km / h =
m / s = 20 m / s
∆t 0, 50 h
3, 6
O resultado encontrado (72 km/h = 20 m/s) significa a
suposta velocidade escalar constante que o carro poderia
ter utilizado no trajeto.
6. Velocidade escalar instantânea
Muitos meios de transporte utilizados pelo homem,
como o carro, o trem e o avião, possuem um instrumento
– o velocímetro – que indica o módulo da velocidade escalar instantânea |v|, ou seja, o valor absoluto da velocidade
escalar do móvel no instante em que efetuamos a leitura,
em relação à Terra. Entretanto, devemos lembrar que a velocidade escalar tem um sinal algébrico de acordo com o
sentido de tráfego do móvel na trajetória orientada.
80
80
km/h
km/h
v = + 80 km/h
v = – 80 km/h
Progressivo
Retrógrado
Quando o movimento for progressivo (movimento a
favor da orientação da trajetória), a velocidade escalar instantânea será positiva (v > 0) e, quando for retrógrado
(movimento oposto ao da orientação da trajetória), a velocidade escalar instantânea será negativa (v < 0).
Exercícios Resolvidos
1. Os espaços de um móvel variam com o tempo de acordo
com a função: s = 8 – 4 · t, em que s é o espaço em metros
e t ≥ 0 é o tempo em segundos.
a) Calcule o espaço inicial do móvel.
b) Determine o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
Resposta:
a) Em t = 0: s0 = 8 – 4 · 0 ⇒ s0 = 8 m
b) Para s = 0: 0 = 8 – 4 · t ⇒ 4 · t = 8 ⇒ t = 2 s
2. Os espaços de um móvel variam com o tempo de acordo com
a função s = – 1 · t2 + 2 · t – 6, com unidades no SI. Calcule a
velocidade média do automóvel entre os instantes 1 s e 5 s.
Resposta:
Vamos substituir os instantes na função.
t1 = 1 s ⇒ s1 = – 1 · 12 + 2 · 1 – 6 = – 5 m
t2 = 5 s ⇒ s2 = – 1 · 52 + 2 · 5 – 6 = – 21 m
vm =
s2 − s1 − 21 − ( −5) − 16
=
⇒ v m = −4 m / s
=
5−1
4
t2 − t1
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Exercícios de Aplicação
1. (PUC-SP) Leia com atenção a tira da Turma da Mônica
mostrada abaixo e analise as afirmativas que se seguem,
considerando os princípios da Mecânica Clássica.
CASCÃO! VOCÊ NÃO
SABE QUE É PLOIBIDO
ANDAR DE SKATE
AQUI NO PALQUE?
LÁ VAI O ÁS DO SKATE!
2. Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória
retilínea, conforme as funções horárias: s A = 1 + 2 t e
sB = 6 – 3 t, sendo a posição s em metros e o tempo t em
segundos. Determine:
a) a distância entre os móveis no instante t = 0;
b) o instante em que A encontra-se com B.
Resposta:
a) As posições iniciais dos móveis são:
s A = 1 + 2·(0) = 1 m
sB = 6 – 3·(0) = 6 m
∴ d = sB – s A = 6 m – 1 m = 5 m
b) Encontro: s A = sB · 1 + 2 · t = 6 – 3 · t ⇒ t = 1 s
MAS EU ESTOU PARADO! QUEM
ESTÁ ANDANDO É O SKATE!
Turma da Mônica / Mauricio de Souza
I.
Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate e também em relação ao amigo Cebolinha.
II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate,
mas em movimento em relação ao amigo Cebolinha.
III. Cebolinha encontra-se em movimento em relação ao
amigo Cascão.
Estão corretas:
a) apenas I.
b) I e II.
c) I e III.
d) II e III.
e) I, II e III.
Resposta: D
Nota-se na tira que, embora Cascão mantenha-se em
repouso em relação ao skate, há movimento relativo entre
Cascão e Cebolinha.
3. (Fatec-SP) Um carro faz uma viagem de São Paulo ao
Rio. Os primeiros 250 km são percorridos com uma velocidade escalar média de 100 km/h. Após uma parada de 30
minutos para um lanche, a viagem é retomada, e os 150 km
restantes são percorridos com velocidade escalar média de
75 km/h. A velocidade escalar média da viagem completa
foi, em km/h:
a) 60
d) 90
b) 70
e) 100
c) 80
Resposta: C
∆t = ∆s/vm
• ∆t1 = (250 /100) → ∆t1 = 2,5 h
• ∆t2 = 0,5 h (lanche)
• ∆t3 = (150/75) → ∆t3 = 2,0 h
∆t total = 2,5 h + 0,5 h + 2,0 = 5,0 h
∴ vm =
∆s 400 km
=
= 80 km / h
∆t
5h
PV3N-10-12
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Exercícios Propostos
4. Movimento e repouso são conceitos relativos, isto é, dependem do referencial adotado.
Com base nisso, assinale a opção correta.
a) A Terra está em movimento.
b) O Sol está em repouso.
c) Um passageiro dormindo em um avião em pleno voo está
em repouso.
d) Se um corpo A está em movimento em relação a um corpo B,
então o corpo B está em movimento em relação ao corpo A.
e) Se a distância entre dois corpos permanecer constante,
então um está parado em relação ao outro.
5. (UFMG) Júlia está andando de bicicleta, com velocidade
constante, quando deixa cair uma moeda. Tomás está parado na rua e vê a moeda cair.
Considere desprezível a resistência do ar. Assinale a alternativa em que estão mais bem representadas as trajetórias da moeda, como observadas por Júlia e por Tomás.
a) Júlia
Tomás
b)
Júlia
Tomás
c)
Júlia
Tomás
d)
Júlia
Tomás
6. (PUC-RS) Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória retilínea, conforme as funções horárias: sA = 30 + 20 t e
sB = 90 – 10 t , sendo a posição s em metros e o tempo t em
segundos. No instante t = 0, a distância, em metros, entre
os móveis era de:
a) 30
c) 60
e) 120
b) 50
d) 80
7. (PUC-RS) O instante de encontro, em segundos, entre os
móveis A e B do exercício anterior foi:
a) 1
c) 3
e) 5
b) 2
d) 4
8. O gráfico ilustra a posição s, em função do tempo t, de
uma pessoa caminhando em linha reta durante 400 segundos. Com base no gráfico, analise as afirmações a seguir.
s (m)
100
80
60
40
20
0
100
200
300
400
t (s)
I.
Em nenhum instante a pessoa parou.
II. O deslocamento da pessoa, durante os 400 s, foi 180 m.
III. A distância percorrida pela pessoa, durante os 400 s,
foi 120 m.
Está correto apenas o que se afirma em:
a) I.
d) I e II.
b) II.
e) II e III.
c) III.
9. A velocidade de 90 km/h corresponde a:
a) 30 m/s
d) 15 m/s
b) 25 m/s
e) 10 m/s
c) 20 m/s
10.(PUC–Campinas–SP) Grandezas físicas importantes na
descrição dos movimentos são o espaço (ou posição) e o
tempo. Numa estrada, as posições são definidas pelos marcos quilométricos. Às 9h50, um carro passa pelo marco
50 km e, às 10h05, passa pelo marco quilométrico 72. A
velocidade escalar média do carro nesse percurso vale,
em km/h:
a) 44
d) 80
b) 65
e) 88
c) 72
11.(Fuvest-SP) Um avião vai de São Paulo a Recife em 1h40.
O deslocamento entre essas duas cidades é de aproximadamente 3.000 km.
a) Qual a velocidade média do avião em km/h?
b) Prove que esse avião é supersônico.
(Dado: velocidade do som no ar = 340 m/s)
12. (Vunesp) Um automóvel desloca-se com velocidade
escalar média de 80 km/h durante os primeiros quarenta e
cinco minutos de uma viagem de uma hora e com velocidade escalar média de 60 km/h durante o tempo restante. A
velocidade escalar mé­d ia do automóvel, nessa viagem, em
km/h, foi igual a:
a) 60
d) 75
b) 65
e) 80
c) 70
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Módulo 2· Movimento uniforme
1. Velocidade escalar constante
Um objeto encontra-se em movimento uniforme, em
relação a um determinado referencial, quando a sua velocidade escalar não varia no decorrer do tempo. Devido a
isso, o móvel percorre deslocamentos escalares iguais em
intervalos de tempos iguais, independentemente da forma
de sua trajetória.
A figura a seguir representa um movimento uniforme,
em trajetória retilínea, com velocidade escalar constante
de 4 m/s.
1s
v = 4 m/s
constante
Geometricamente, isto corresponde à área sob o gráfico
v x t.
v
$s > 0
$t
0
t
$t
$s < 0
1s
3. Função horária do espaço
4m
4m
Suponha um móvel trafegando com velocidade escalar
constante v ao longo de uma trajetória genérica, como ilustra a figura a seguir.
t=0
Observe que a cada 1 s o móvel cumpre deslocamentos
escalares iguais de 4 m.
No movimento uniforme, a velocidade escalar instantânea é constante e diferente de zero, sendo igual à velocidade escalar média.
v = vm ⇒ v =
∆s
(constante ≠ 0)
∆t
Essa velocidade escalar constante terá valor positivo
quando o movimento for progressivo e valor negativo
quando for retrógrado.
2. Diagrama horário da velocidade
Como no movimento uniforme a velocidade linear é
constante positiva ou negativa, podemos representá-la por
meio do diagrama horário abaixo:
v
PROGRESSIVO
t
0
RETRÓGRADO
Propriedade
A variação de espaço (∆s) de um movimento uniforme,
num intervalo de tempo (∆t), é dada por:
PV3N-10-12
∆s = v · ∆t
t
v
v
s0
s
+
$s
Em destaque na figura, observamos que o móvel no instante t = 0 encontra-se no espaço inicial s0. Após um tempo
t, ele atinge a posição s.
Lembrando que no movimento uniforme o deslocamento escalar é dado por meio da expressão ∆s = v · ∆t, podemos deduzir sua função horária do espaço assim:
∆s = v · ∆t
s − s0 = v · (t − 0)
s − s0 = v · t
s = s0 + v · t
Observe que todo movimento uniforme terá este tipo
de função horária do espaço, isto é, trata-se de uma função
matemática do primeiro grau, em que s0 e v serão os seus
coeficientes linear e angular, respectivamente.
Como exemplo, veja a tabela a seguir. Ela nos traz a
relação espaço-tempo de um objeto em movimento uniforme.
s(m)
2
5
8
11
t(s)
0
1
2
3
Acompanhe os passos a seguir:
1) Pela tabela, temos:
• t = 0 ⇒ s0 = 2 m
• v =
∆s 3m
=
= 3 m /s
∆t 1s
2) Montagem da função horária:
s = s0 + v · t ⇒ s = 2 + 3 · t (SI)
74
74
s
Repare que esta expressão final relacionará todos os dados da tabela anterior:
• t = 0 ⇒ s = 2 + 3 · (0) = 2 m
• t = 1 s ⇒ s = 2 + 3 · (1) = 5 m
• t = 2 s ⇒ s = 2 + 3 · (2) = 8 m
....e assim por diante.
4. Diagrama horário do espaço
Já que a função horária do espaço de todo movimento
uniforme é do primeiro grau, o gráfico espaço x tempo
terá a forma de uma reta inclinada, a partir do espaço
inicial (s 0).
s
ivo
ress
$s
g
Pro
s0
Ret
$t
róg
0
rad
o
0
v
t
$s
$t
t
Se for progressivo (v > 0), o espaço será crescente no
decorrer do tempo. Se retrógrado (v < 0), o espaço decrescerá com o tempo.
Observe no gráfico que: v = ∆s =N tg θ
∆t
Exercícios Resolvidos
km 20
1. Um carro se desloca em uma estrada retilínea com velocidade escalar constante. A figura mostra as suas posições,
anotadas em intervalos de 1 min, contadas a partir do km
30, onde se adotou t = 0.
t=0
t = 1 min
t = 2 min
t = 3 min
km 30
km 28
km 26
km 24
Responda:
a) O movimento é progressivo ou retrógrado?
b) Qual a sua velocidade escalar em km/h?
Resposta:
a) É retrógrado, pois suas posições são decrescentes no
decorrer do tempo.
b) Observa-se que a cada minuto o carro retrocede 2 km
na rodovia, ou seja, apresenta ∆s = − 2 km.
Logo:
v=
0
km 300
A (60 km/h)
(80 km/h) B
Resposta:
As funções horárias para os carros A e B são:
s A = 20 + 60t e sB = 300 – 80t
No ponto de encontro, temos s A = sB. Então:
20 + 60t = 300 – 80t ⇒ t = 2,0 h
Substituindo t = 2,0 h nas equações horárias dos dois
carros:
s A = 20 + 60.(2,0) ⇒ s A = 140 km
sB = 300 – 80.(2,0) ⇒ sB = 140 km
Portanto, o encontro dos carros A e B ocorre no km 140,
ou seja, a 140 km da origem dos espaços.
Construindo-se os gráficos s x t para os dois móveis,
percebe-se o processo de encontro ocorrido.
300
∆s − 2 km − 2 km
=
=
= −120 km / h
1
∆t
1 min
h
60
s (km)
B
140
2. Dois carros A e B movimentam-se na mesma rodovia. No
instante t = 0, suas posições e os respectivos módulos de
suas velocidades escalares constantes estão indicadas na
figura abaixo. Determine o ponto de encontro dos móveis.
20
A
0
t(h)
2
Exercícios de Aplicação
1. (PUC-SP) A distância da Terra ao Sol é de, aproximadamente, 144 · 106 km, e a velocidade de propagação da
luz no vácuo, 300.000 km/s. Um astrônomo observa com o
seu telescópio uma explosão solar. No momento em que a
observação é feita, o fenômeno no Sol:
a) está ocorrendo no mesmo instante.
b) já ocorreu há 16 segundos.
c) já ocorreu há 8 segundos.
d) já ocorreu há 16 minutos.
e) já ocorreu há 8 minutos.
Resposta: E
∆t =
∆s 144 ⋅ 106
=
= 480 s = 8 min
v
3 ⋅ 105
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75
2. (Fuvest-SP) Um automóvel faz uma viagem em 6 horas
e sua velocidade escalar varia em função do tempo, aproximadamente, como mostra o gráfico. A velocidade escalar
média do automóvel na viagem foi de:
3. (PUCCamp-SP) O movimento dos corpos A e B, que trafegam numa mesma trajetória retilínea, é representado por
meio do gráfico posição x tempo anexo. Supondo que os
móveis permaneçam em seus estados de movimento, pode-se afirmar que os corpos se encontram no instante:
v (km/h)
s (m)
60
45
35
30
A
t (h)
0
2
3
a) 38 km/h
b) 40 km/h
c) 45 km/h
6
0
v (km/h)
60
20 t(s)
10
a) 40 s
b) 30 s
c) 25 s
Resposta: B
d) 20 s
e) 10 s
Resposta: B
A2
30
A1
0
B
5,0
d) 48 km/h
e) 50 km/h
t (h)
2
3
6
∆s = A1 + A2
∆s = 2 ⋅ 30 + 3 ⋅ 60 = 240 km
∆s 240 km
=
= 40 km / h
vm =
6h
∆t
Exercícios Propostos
4. (FEI-SP) Em 1946, a distância entre a Terra e a Lua foi
determinada pelo radar, cujo sinal viaja a 3,00 · 108 m/s.
Se o intervalo de tempo entre a emissão do sinal de radar e
a recepção do eco foi 2,56 s, qual a distância entre a Terra
e a Lua?
a) 7,68 · 108 m
b) 1,17 · 108 m
c) 2,56 · 108 m
d) 1,17 · 108 m
e) 3,84 · 108 m
PV3N-10-12
5. (Fuvest-SP) Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma locomotiva desloca-se a 20 m/s. Sendo o comprimento de cada elemento da composição 10 m, qual é
o intervalo de tempo que o trem gasta para ultrapassar
completamente:
a) um sinaleiro?
b) uma ponte de 100 m de comprimento?
− 10 m

= −1 m / s
vA =
10 s
∆s 
v=

5m
∆t 
v =
= 0, 5 m / s
 B 10 s
s A = 45 − 1 ⋅ t
s = s = s0 + v ⋅ t 
SB = 0 + 0, 5 ⋅ t
•Encontro ⇒ s A = sB
45 – 1 · t = 0,5 · t
1,5 · t = 45
t = 30 d
6. (ESPM-SP) Considere um automóvel que faz uma viagem
em 4 horas e a sua velocidade escalar varia, aproximadamente, segundo o gráfico a seguir. A velocidade escalar média, em km/h, da viagem foi de:
v (km/h)
60
50
t (h)
0
a) 35
b) 40
c) 45
2
3
4
d) 55
e) 60
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76
7. (Mackenzie-SP) A figura mostra, em determinado instante, dois carros, A e B, em movimento retilíneo uniforme.
O carro A, com velocidade escalar 20 m/s, colide com o B
no cruzamento C.
50 m
C
A
30 m
B
Desprezando-se as dimensões dos automóveis, a velocidade escalar de B é:
a) 12 m/s
d) 6 m/s
b) 10 m/s
e) 4 m/s
c) 8 m/s
8. (FEI-SP) A posição de uma partícula, ao longo de sua
trajetória, varia no tempo conforme a tabela.
s (m)
25
21
17
13
9
5
t (s)
0
1
2
3
4
5
A função horária das posições desse movimento é:
a) s = 4 – 25t
d) s = – 4 + 25t
b) s = 25 + 4t
e) s = –25 + 4t
c) s = 25 – 4t
9. (Mackenzie-SP) Um móvel se desloca sobre uma reta
conforme o diagrama a seguir.
x (m)
2,0
10.(UFSM-RS) Dois ciclistas percorrem, com velocidades
constantes, uma pista retilínea. No tempo t = 0, o primeiro encontra-se a 10 m da origem e o segundo, a 15 m.
Sabendo-se que suas velocidades escalares são, respectivamente, 15 m/s e 10 m/s, o intervalo de tempo decorrido e a
distância a partir da origem onde dará o encontro serão:
a) 1 s e 15 m
b) 1 s e 25 m
c) 2 s e 25 m
d) 2 s e 50 m
e) 3 s e 25 m
11.(Fuvest-SP) Marta e Pedro combinaram encontrar-se
em um certo ponto de uma autoestrada plana, para seguirem viagem juntos. Marta, ao passar pelo marco zero
da estrada, constatou que, mantendo uma velocidade
média de 80 km/h, chegaria na hora certa ao ponto de
encontro combinado. No entanto, quando ela já estava
no marco do quilômetro 10, ficou sabendo que Pedro tinha se atrasado e, só então, estava passando pelo marco
zero, pretendendo continuar sua viagem a uma velocidade média de 100 km/h. Mantendo essas velocidades, seria
previsível que os dois amigos se encontrassem próximos a
um marco da estrada com indicação de:
km
20
(a)
km
30
( b)
km
40
(c )
km
50
(d )
km
60
(e )
12.(ESPM-SP) Dois móveis, A e B, descrevem movimentos
uniformes numa mesma trajetória retilínea e suas posições
são representadas a seguir:
s (m)
12
8,0
B
2,0
A
t (s)
0
– 20
– 30
O instante em que a posição do móvel é definida por
x = 20 m é:
a) 6,0 s
d) 12 s
b) 8,0 s
e) 14 s
c) 10 s
0
t (s)
4,0
O encontro entre os móveis ocorrerá no instante:
a) 4,0 s
d) 10 s
b) 6,0 s
e) 12 s
c) 8,0 s
Física 821
77
77
Módulo 3· Aceleração escalar
1. Aceleração escalar média
A aceleração escalar é a grandeza física que nos indica o
ritmo com que a velocidade escalar de um móvel varia.
A aceleração escalar média corresponde à aceleração escalar que o móvel poderia ter mantido constante num certo
intervalo de tempo. Por definição, ela é calculada assim:
am =
t1
∆v v2 − v1
=
∆t
t2 − t1
v1
acelerações escalares instantânea e média apresentam o mesmo valor. Nestes casos, usamos o termo aceleração escalar
sem necessidade de especificar se é média ou instantânea.
3. Classificação
De modo geral, podemos detalhar esses casos assim:
3.1. Movimento acelerado
É aquele em que o módulo da velocidade escalar instantânea aumenta no decorrer do tempo.
t2
80
v2
+
No Sistema Internacional (SI), a unidade para a aceleração escalar média é o metro por segundo por segundo
(m/s/s), que abreviamos por m/s2. Outras unidades podem
ser utilizadas, tais como cm/s2 e km/h2.
A aceleração escalar média apresenta o mesmo sinal da
variação de velocidade escalar instantânea (∆v), pois o intervalo de tempo (∆t) é sempre positivo.
Quando informamos que num certo intervalo de tempo o
móvel teve uma aceleração escalar média de 2 m/s2, isto significa que em média a sua velocidade escalar esteve aumentando de 2 m/s a cada segundo. Em contrapartida, se ela fosse
de − 2 m/s2, isso indicaria que a velocidade escalar do móvel
esteve diminuindo em média de 2 m/s a cada segundo.
2. Aceleração escalar instantânea
É a aceleração que um móvel possui em cada instante
de movimento.
Tomemos a definição da aceleração escalar média
∆v
e consideremos um intervalo de tempo muito
am =
∆t
pequeno, próximo de zero. Nessas condições, quanto mais
próximo de zero for o intervalo de tempo, mais a aceleração
escalar média aproxima-se da instantânea.
am =
∆v
, com ∆t próximo de zero.
∆t
80
km/h
km/h
v
v
a
v>0
a>0
a
v>0
a>0
Acelerado
Para que isto ocorra, a aceleração e a velocidade devem
ter o mesmo sentido, ou seja, os valores escalares de v e a
possuem o mesmo sinal.
3.2. Movimento retardado
É aquele em que o módulo da velocidade escalar instantânea diminui no decorrer do tempo.
80
80
km/h
km/h
v
v
a
v>0
a<0
a
Retardado
v<0
a>0
Para que isto ocorra, a aceleração e a velocidade devem
ter sentidos opostos, ou seja, os valores escalares de v e a
possuem o sinais opostos.
3.3. Movimento uniforme
Em movimentos nos quais a velocidade escalar instantânea varia de quantidades iguais em intervalos de tempo
iguais, a aceleração escalar é uma constante e, portanto, as
É o movimento em que o valor da velocidade escalar
(não nula) se mantém constante e isso ocorre quando a
aceleração escalar for nula (a = 0).
Exercícios Resolvidos
PV3N-10-12
1. Uma motocicleta parte do repouso e em 5 s sua a velocidade escalar atinge 72 km/h. Calcule, nessa arrancada, a
aceleração escalar média do móvel com unidades no SI.
Resposta:
Antes de substituir na fórmula da aceleração, devemos
converter a velocidade da moto para m/s. Ou seja:
v0 = 0
v = 72 km/h =
72
m/s = 20 m/s
3, 6
∆t = 5 s
v − v 0 20 − 0
am =
=
⇒ a m = 4 m/s2
5
∆t
78
78
2. Dada a equação da velocidade de um móvel em função
do tempo v = 12 – 3 · t, com unidades no SI, responda se o
movimento é acelerado ou retardado, nos seguintes intervalos de tempo:
a) entre os instantes 1 s e 3 s;
b) entre os instantes 4 s e 6 s.
Resposta:
a) • t1 = 1 s ⇒ v1 = 12 – 3 · 1 = 9 m/s
• t2 = 3 s ⇒ v2 = 12 – 3 · 3 = 3 m/s
Nesse intervalo de tempo, a velocidade é positiva e diminui seu valor em módulo, portanto o movimento é progressivo e retardado.
b) • t3 = 4 s ⇒ v3 = 12 – 3 · 4 = 0 m/s
• t4 = 6 s ⇒ v4 = 12 – 3 · 6 = – 6 m/s
Nesse intervalo de tempo, a velocidade torna-se negativa e aumenta seu valor em módulo, portanto o movimento
é retrógrado e acelerado.
Exercícios de Aplicação
1. Numa pista de prova, um carro parte do repouso e atinge a velocidade escalar de 108 km/h (30 m/s) após 6 segundos. Imediatamente, o motorista freia de modo que o carro
pare num intervalo de 5 segundos.
a) Determine a aceleração escalar média do carro em cada
etapa de movimento: na arrancada (primeiros 6 s) e na freada (últimos 5 s).
b) Complete a tabela a seguir, imaginando serem constantes suas acelerações escalares em cada etapa.
v(m/s)
t(s)
0
0 1
2
3
4
5
30
6 7
8
9
0
10 11
Resposta:
a) • Na arrancada:
am =
∆v 30 − 0
=
= 5 m/s2
∆t
6
am =
∆v 0 − 30
=
= −6 m/s2
∆t
5
b)
v (m/s) 0
t (s)
0
5
1
10 15 20 25 30 24 18 12 6 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2. (UEL-PR) A seguir está representado o gráfico da velocidade escalar (v) de um ponto material em função do tempo (t).
v
0
t1
t
Sobre esse movimento, é correto afirmar que:
a) é sempre acelerado.
b) é sempre retardado.
c) não muda de sentido.
d) no início é retardado e após t1 é acelerado.
e) no início é acelerado e após t1 é retardado.
Resposta: D
Nota-se, pelo gráfico, que a velocidade escalar do ponto material é crescente, isto é, sua aceleração escalar é
sempre positiva (a > 0). Comparando os sinais de v e a,
temos:
• no início → v < 0 e a > 0 retardado
• após t1 → v > 0 e a > 0 acelerado
3. (Mackenzie-SP) Ao abandonarmos uma pequena esfera
de aço do telhado de um prédio localizado no centro da cidade de São Paulo, ela passa a ter uma aceleração de módulo
9,78 m/s2. Desprezando-se a resistência do ar, o módulo da
velocidade da esfera:
a) passará a ser constante após atingir o valor de 9,78 m/s.
b) diminui de 9,78 m/s a cada segundo de queda.
c) aumenta de 9,78 m/s a cada segundo de queda.
d) é de 9,78 m/s ao chegar ao solo.
e) aumenta à razão de 9,78 m/s a cada metro de queda.
Resposta: C
A aceleração constante de 9,78 m/s2 significa que a velocidade da esfera aumenta de 9,78 m/s a cada 1 s de queda.
Essa aceleração é denominada gravidade.
Física 821
79
79
Exercícios Propostos
4. (Unirio-RJ) Caçador nato, o guepardo é uma espécie de
mamífero que reforça a tese de que os animais predadores estão entre os bichos mais velozes da natureza. Afinal, a velocidade é essencial para os que caçam outras espécies em busca
de alimentação. O guepardo é capaz de, saindo do repouso e
correndo em linha reta, chegar à velocidade de 72 km/h em
apenas 2,0 segundos, o que nos permite concluir, em tal situação, ser o módulo de sua aceleração média, em m/s2, igual a:
a) 10
c) 18
e) 50
b) 15
d) 36
9. (UCG-GO) Se o movimento de uma partícula é retrógrado e retardado, então a aceleração escalar da partícula é:
a) nula.
d) positiva.
b) constante
e) negativa.
c) variável.
10.(UFRJ) Um móvel, em movimento retilíneo, tem velocidade escalar v variando com o tempo t, de acordo com o
gráfico. Podemos afirmar que, entre os instantes:
v
5. (FEI–SP) Uma motocicleta, com velocidade escalar de
90 km/h, tem seus freios acionados bruscamente e para
após 25 s. Qual é o módulo da aceleração que os freios
aplicaram na motocicleta?
a) 1 m/s2
d) 2.250 m/s2
2
b) 25 m/s
e) 3,6 m/s2
2
c) 90 m/s
6. (UFPE) Um carro está viajando numa estrada retilínea
com a velocidade de 72 km/h. Vendo adiante um congestionamento no trânsito, o motorista aplica os freios durante
2,5 s e reduz a velocidade para 54 km/h. Supondo que a
aceleração é constante durante o período de aplicação dos
freios, calcule o seu módulo em m/s2.
a) 1,0
c) 2,0
e) 3,0
b) 1,5
d) 2,5
7. (Unirio-RJ) Numa rodovia, um motorista dirige com velocidade v = 20 m/s, quando avista um animal atravessando
a pista. Assustado, o motorista freia bruscamente e consegue parar 5,0 segundos após e a tempo de evitar o choque.
A aceleração média de frenagem foi, em m/s2, de:
a) 2,0
d) 10
b) 4,0
e) 20
c) 8,0
8. (Mackenzie–SP) O gráfico a seguir indica a velocidade,
em função do tempo, de um corpo que se movimenta sobre
uma trajetória retilínea. Assinale a alternativa correta.
v
B
A
0
t1
t3
t2
t4
t5
t
a) 0 e t1, o movimento é retrógrado acelerado.
b) t1 e t2, o movimento é progressivo acelerado.
c) t2 e t3, o movimento é retrógrado acelerado.
d) t3 e t4, o móvel está parado.
e) t4 e t5, o movimento é progressivo retardado.
11.(FEI-SP) Dado o gráfico da velocidade v em função do tempo t, no instante t’, podemos afirmar que o movimento é:
v
t’
a) uniforme.
b) progressivo acelerado.
c) retrógrado acelerado.
t
d) retrógrado retardado.
e) progressivo retardado.
12.(Ufal) Analise as afirmações sobre o movimento, cujo
gráfico da posição x tempo é representado abaixo, indicando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).
s
C
E
H
D
t
F
G
PV3N-10-12
(Obs. – O ponto A é a origem dos eixos.)
a) O movimento é acelerado nos trechos AB e GH.
b) O movimento é acelerado nos trechos AB e CD.
c) O movimento é acelerado o tempo todo.
d) O movimento é retardado nos trechos CD e GH.
e) O móvel está parado nos trechos BC, DE e FG.
0
(( )
(( )
(( )
(( )
(( )
t1
t2
t’
t3
t
O movimento é acelerado de 0 a t1.
O movimento é acelerado de t1 a t2.
O movimento é retardado de t2 a t3.
A velocidade escalar é positiva de 0 a t2.
A velocidade escalar é negativa de t1 a t3.
80
80
Módulo 4· Movimento uniformemente variado
1. Aceleração escalar constante
Um objeto encontra-se em movimento uniformemente
variado (MUV) quando a sua velocidade escalar varia de
quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. Nestas
condições, podemos dizer que a aceleração escalar média
coincide com o valor da aceleração escalar instantânea e podemos chamá-la simplesmente de aceleração escalar (a).
a = am ⇒ a =
∆v
(cte ≠ 0)
∆t
Como no movimento uniformemente variado a aceleração escalar é constante positiva ou negativa, podemos
representá-la através do diagrama horário abaixo:
Lembrando que ∆v = a · ∆t, podemos deduzir a função
horária de sua velocidade assim:
∆v = a · ∆t
v – a0 = a · (t – 0) ⇒ v = v 0 + a · t
Observe que todo MUV terá esse tipo de função, isto é,
trata-se de uma função matemática do 1o grau, sendo que
v 0 e a correspondem aos seus coeficientes linear e angular,
respectivamente.
3. Diagrama horário da velocidade
Já que a função horária da velocidade de todo MUV
é do primeiro grau, o gráfico velocidade x tempo terá
a forma de uma reta inclinada, a partir da velocidade
inicial v 0 .
v
a
v
a>
t
0
0
v0
$t
v1
0
0
Propriedade
A variação de velocidade (∆v) de um MUV, num intervalo de tempo (∆t), é dada por:
∆v = a · ∆t
Geometricamente, isto corresponde à área sob o gráfico
a x t.
a
$v > 0
$v
Q
v0
0
t
$v
a tg Q
$t
t
Observe no gráfico que: a =
∆v
= tg θ
∆t
4. Deslocamento escalar
Analogamente ao que ocorreu no estudo de movimento
uniforme, a área compreendida entre o gráfico v x t e o eixo
dos tempos expressa o deslocamento escalar ocorrido no
intervalo de tempo escolhido.
v
$t
0
t
V
$t
V0
$s
t
$v < 0
2. Função horária da velocidade
Considere um móvel trafegando em movimento uniformemente variado, com aceleração escalar a.
V
0
(t =
0)
a
0
Entre os instantes 0 e t, a área do trapézio destacado
no gráfico acima representa o deslocamento escalar efetuado
pelo MUV. Podemos, para facilitar o cálculo, dividir o trapézio
em um retângulo e um triângulo, de forma que, somando-se
suas respectivas áreas, teremos o deslocamento (∆s).
v
V
(t)
Em destaque na figura acima, observamos que o móvel
no instante t = 0 possui velocidade escalar inicial v 0. Após
um tempo t, ele atinge a velocidade escalar v.
t
A1 = v 0 ⋅ t
V
V0
,0
$v = a·t
$2
$1
t
t
A2 =
a 2
⋅t
2
∆s = v 0 ⋅ t +
a 2
⋅t
2
Física 821
81
81
Essa expressão horária do 2o grau, denominada função
horária do deslocamento, permite calcular o deslocamento escalar ocorrido entre o instante inicial (t = 0) e um
instante final (t) qualquer, bastando que se conheça a velocidade escalar inicial (v 0) do móvel e a sua aceleração
escalar (a).
5. Velocidade escalar média
Sabemos que a razão ∆s/∆t fornece a velocidade escalar média de qualquer movimento. Entretanto, no MUV, ela
também pode ser calculada por meio da média aritmética
das velocidades instantâneas inicial (v 0) e final (v). Observe a demonstração a seguir:
v
v
v0
$s
0
t
t
$t
∆s = área do trapézio
 v + v
⋅ ∆t
∆s =  0
 2 
vm =
∆s = v 0 ⋅ t +
a 2
⋅t
2
 v − v0  a  v − v0 
+ ⋅
∆s = v 0 ⋅ 
 a  2  a 
2
Desenvolvendo a expressão acima, vem:
v2 = v20 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s
7. Função horária do espaço
Podemos obter a relação espaço-tempo do MUV por meio
da função horária do deslocamento, já demonstrada. Observe:
a
∆s = v 0 ⋅ t + ⋅ t2
2
a
s − s0 = v 0 ⋅ t + ⋅ t2
2
a
s = s0 + v 0 + ⋅ t2
2
Portanto, todo movimento uniformemente variado possui função horária do espaço do segundo grau, sendo s0 , v 0
e a/2 os coeficientes da função.
v0 + v
2
8. Diagrama horário do espaço
Por meio da velocidade escalar média calculada, podemos também determinar o deslocamento escalar acontecido. Por exemplo, um carro em MUV que varia sua velocidade
escalar de 15 m/s para 25 m/s, num prazo de 4,0 segundos,
desloca:
∆s = v m ⋅ ∆t
 v + v
 15 + 25 
⋅ 4, 0 ⇒ ∆s = 80 m
⋅ ∆t = 
∆s =  0
 2 
 2 
6. Equação de Torricelli
A equação de Torricelli é uma expressão que relaciona
as três grandezas fundamentais do MUV: velocidade, aceleração e variação de espaço, independentemente do tempo.
A determinação da equação de Torricelli é feita a
partir da fusão das funções horárias da velocidade e
do deslocamento, com a eliminação da grandeza tempo.
Observe:
v = v0 + a ⋅ t ⇒ t =
Substituindo esse valor de t na função horária do deslocamento, temos:
v − v0
a
A representação gráfica de toda função matemática do
segundo grau é uma parábola. Como a função horária do
espaço do MUV é do 2o grau, o gráfico s x t será parabólico.
s
Parábolas
a>0
s0
a<0
t
t1
(inversão)
A concavidade da parábola do gráfico s x t será voltada
para cima quando a aceleração escalar do MUV for positiva. Se a aceleração escalar for negativa, a concavidade da
parábola será voltada para baixo.
Repare que o vértice da parábola, do gráfico s x t acima,
ocorre no instante (t i) de inversão do sentido de movimento (o móvel deixa de ser progressivo para ser retrógrado, ou
vice-versa). Dessa forma, o instante do vértice da parábola,
no gráfico s x t, sempre representa o momento em que a
velocidade do móvel é nula.
PV3N-10-12
82
82
Exercícios Resolvidos
1. Um automóvel com velocidade escalar de 90 km/h (ou
seja, 25 m/s) é freado uniformemente e vem a parar após
10 s. Analisando esta frenagem, calcule:
a) a aceleração escalar do carro;
b) seu deslocamento escalar até parar.
Resposta:
a) v = v 0 + a · t
0 = 25 + a · 10 ⇒ a = – 2,5 m/s2
a
b) ∆s = v 0 ⋅ t + ⋅ t2
2
− 2, 5
∆s = 25 ⋅ 10 +
⋅ 102 ⇒ ∆s = 125 m
2
Podemos também calcular o deslocamento escalar sem
utilizar a aceleração escalar. Observe:
 v + v
 25 ⋅ 0 
⋅ 10
⋅ ∆t ⇒ ∆s = 
∆s = v m ⋅ ∆t =  0
 2 
 2 
∆s = 125 m
2. Um carro parte do repouso com uma aceleração escalar
constante de 2,0 m/s2 e percorre 25 m. Nesse percurso:
a) Qual a velocidade escalar final atingida pelo carro?
b) Qual a sua velocidade escalar média?
Resposta:
a) Nota-se pelos dados a ausência da grandeza tempo.
Logo, devemos determinar a velocidade atingida através de
uma equação não horária. Usando a equação de Torricelli,
temos:
v2 = v20 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s
v2 = 02 + 2 ⋅ 2 ⋅ 25 ⇒ v = 10 m / s
v0 + v
⇒
2
0 + 10
vm =
⇒ v m = 5, 0 m / s
2
b) v m =
Exercícios de Aplicação
1. (Fuvest-SP) Um veículo parte do repouso, em movimento retilíneo, e acelera à razão constante de 2 m/s2. Pode-se
dizer que sua velocidade e a distância percorrida, após 3 s,
valem, respectivamente:
a) 6 m/s e 9 m
b) 6 m/s e 18 m
c) 3 m/s e 12 m
d) 12 m/s e 36 m
e) 2 m/s e 2 m
Resposta: A
1. v = v 0 + a · t
v = 0 + 2 · 3 ⇒ v = 6 m/s
2. ∆s = v 0 ⋅ t +
d = 0⋅3+
a 2
⋅t
2
2 2
⋅ 3 ⇒ d = 9m
2
2. (Vunesp) Durante uma viagem pelo interior de São Paulo,
um motorista de carro desloca-se retilineamente com velocidade escalar constante de 72 km/h, quando vê uma vaca parada no meio da pista, a 100 m de distância. Imediatamente
ele aciona os freios, adquirindo uma aceleração escalar constante de módulo 5,0 m/s2. Pode-se afirmar que o motorista:
a) não conseguirá evitar a colisão com o animal.
b) conseguirá parar o carro exatamente na frente do animal.
c) conseguirá parar o carro a 60 m do animal.
d) conseguirá parar o carro a 50 m do animal.
e) conseguirá parar o carro a 40 m do animal.
Resposta: C
72
• v 0 =
m/s = 20 m/s
3, 6
• v2 = v20 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s
02 = 202 + 2 ⋅ ( −5) ⋅ ∆s ⇒ ∆s = 40 m
• Logo, o carro para a uma distância da vaca igual a
d = 100 m – 40 m ⇒ d = 60 m.
3. (UFRJ) Um ponto material descreve uma trajetória retilínea em relação a um sistema de referência e sua função
horária do espaço é dada por:
s = 3 + 5 t + t2 (s em metros e t em segundos)
Podemos afirmar que a sua velocidade inicial e a sua
aceleração escalar são, respectivamente:
a) 3 m/s e 5 m/s2
d) 3 m/s e 10 m/s2
b) 5 m/s e 2 m/s2
e) 5 m/s e 0,5 m/s2
c) 5 m/s e 1 m/s2
Resposta: B
Por comparação, temos:
a 2

s = s0 + v 0 ⋅ t + 2 ⋅ t
∴ v = 5 m/s e v = 2 m/s2
↓
↓
↓

s = 3 + 5 ⋅ t + 1 ⋅ t2

Física 821
83
83
Exercícios Propostos
4. (Cefet-MG) Um móvel parte do repouso, desloca-se em
movimento retilíneo sobre um plano horizontal e tem sua
aceleração (a) em função do tempo (t) descrita pelo gráfico.
a (m/s2)
6
4
2
0
1
2
3
4
5
t (s)
A velocidade, em m/s, e a distância percorrida, em m,
até o instante t = 5 s são, respectivamente:
a) 6 e 75.
c) 15 e 150.
e) 30 e 150.
b) 6 e 150.
d) 30 e 75.
5. (UFSCar-SP) Em um piso horizontal um menino dá um empurrão em seu caminhãozinho de plástico. Assim que o contato entre o caminhãozinho e a mão do menino é desfeito,
observa-se que em um tempo de 6,0 s o brinquedo foi capaz de
percorrer uma distância de 9,0 m até cessar o movimento. Se
a desaceleração do caminhãozinho se manteve constante, a
velocidade inicial obtida após o empurrão, em m/s, foi de
a) 1,5.
c) 4,5.
e) 9,0.
b) 3,0.
d) 6,0.
6. (Unicamp-SP) Um corredor de 100 metros rasos percorre
os 20 primeiros metros da corrida em 4,0 s com aceleração
constante. A velocidade atingida ao final dos 4,0 s é então
mantida constante até o final da corrida.
a) Qual é a aceleração do corredor nos primeiros 20 m da
corrida?
b) Qual é a velocidade atingida ao final dos primeiros 20 m?
c) Qual é o tempo total gasto pelo corredor em toda a prova?
7. (PUCCamp-SP) Um automóvel parte do repouso no instante t = 0 e acelera uniformemente com 5,0 m/s2, durante
10 s. A velocidade escalar média do automóvel entre os instantes t = 6,0 s e t = 10 s, em m/s, foi de:
a) 40
c) 30
e) 20
b) 35
d) 25
8. (UFPE) O gráfico da velocidade em função do tempo de
um ciclista, que se move ao longo de uma pista retilínea, é
mostrado abaixo.
v (m/s)
12
8
4
0
1
2
3
4
t (s)
Considerando que ele mantém a mesma aceleração entre
os instantes t = 0 e t = 7 segundos, determine a distância
percorrida neste intervalo de tempo. Expresse sua resposta
em metros.
9. (Mackenzie-SP) Um trem de 100 m de comprimento, com
velocidade escalar de 30 m/s, começa a frear com aceleração escalar constante de módulo 2,0 m/s2, no instante em
que inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem para no
momento em que seu último vagão está saindo do túnel. O
comprimento do túnel é:
a) 25 m
b) 50 m
c) 75 m
d) 100 m
e) 125 m
10.(ESPM-SP) O movimento uniformemente variado de
uma partícula é representado pelo gráfico posição x tempo
adiante:
s (m)
10
t (s)
0
4
8
Podemos afirmar que a velocidade escalar inicial vale:
a) 1,25 m/s
b) 2,5 m/s
c) 5,0 m/s
d) 10 m/s
e) 40 m/s
11.(PUC-SP) Duas partículas, A e B, movem-se numa
mesma trajetória retilínea, de modo que suas posições
obedecem às equações: s A = 10 + 4 t e s B = 2 t 2, em que
s A e s B são medidos em metros e t em segundos. Pode-se
afirmar que:
a) o movimento de A é acelerado.
b) o movimento de B é uniforme.
c) a aceleração de A é de 4 m/s2.
d) a aceleração de B é de 4 m/s2.
e) os móveis estarão juntos no instante t = 2 s.
12.(UFPE) A equação horária, durante os primeiros 8 segundos, de um ciclista que se move ao longo de uma pista
reta é dada por x = 4t + t2, com x medido em metros e t,
em segundos. Qual a sua velocidade no instante t = 8,0 s?
Expresse sua resposta em km/h.
PV3N-10-12