METODOLOGIA CIENTFICA

EXERCÍCIOS/2006
Apostila
EXERCÍCIOS 2006
APOSTILA
MATEMÁTICA
Professor:
LUIZ ANTÔNIO
Edni de Castro Paranhos
Coordenador dos Cursos de Administração
1
EXERCÍCIOS/2006
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>>>>>>>>>> PROGRESSÃO ARITMÉTICA – P. A. <<<<<<<<<<
Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que
engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término de 15ª semana de
tratamento?
a) 22,50 kg
b) 15 kg
c) 10,7 kg
d) 10,55 kg
e) 10,46 kg
Solução:
Resolvendo aritmeticamente, temos:
150 g × 15 = 2250 g = 2,25 kg
8,3 kg + 2,25 kg = 10,55 kg ⇒ alternativa d.
Problemas desse tipo onde há um valor inicial: 8,3 kg que chamaremos de primeiro
termo (a1), um aumento constante: 150 g chamado de razão (r) e um número de acréscimo: 16
– 1, número de termos menos um (n – 1) são resolvidos com maior abrangência, usando a
expressão do termo genérico da progressão aritmética:
an = a1 + (n – 1) . r , onde an neste caso é a 16
a16 = 8300 + (16 – 1) × 150 = 10550 g = 10,55 kg
Definição: P. A. é uma seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é
igual ao anterior mais uma constante (chamada razão).
EXERCÍCIOS
1. Numa P. A. a1 = 7, r = 3, calcule o vigésimo termo.
2. Quantos termos possui a P. A. (6, 9, 12, 15, ..., 231)?
3. Numa P. A. dados a15 = 35 e a6 = 15, calcule a1, r e a36.
4. Numa P. A. é dado a6 = 11 e a11 = 31. Pede-se a40.
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>>>>>>>>>>PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – P. G. <<<<<<<<<<
Uma dívida de R$ 2000,00 é aumentada mensalmente de 10%. Qual será o valor da
dívida depois de 5 meses?
Valor inicial: 2000
Solução:
Depois de:
1 mês: 2000 + 10% de 2000 =
2000 1 + 10
100
= 2000 .(1,1) = 2200,00
2 meses: 2200 + 10% de 2200 = 2200 1 + 10
100
= 2200 . (1,1) = 2420,00
3 meses: 2420 + 10% de 2420 = 2420 1 + 10
100
= 2420 . (1,1) = 2662,00
4 meses: 2662 + 10% de 2662 = 2662 1 + 10 = 2662 . (1,1) = 2928,20
100
5 meses: 2928,20 + 10% de 2928,20 = 2928,20 . (1,1) = 3221,02
Resposta: o valor da dívida será de R$ 3221,02.
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Perceba que a dívida de um determinado mês é igual à dívida do mês anterior
multiplicado por 1,1 (chamada de razão da seqüência e indicada por q). Generalizando para
uma seqüência com n termos, temos:
a1 = a1
a2 =
a3 = a2 . q = a1 . q . q =
a4 = a3 . q = a1 . q2 . q = a1 . q3
an = a1 . q (n – 1) → Fórmula do termo geral de uma P. G.
Voltando ao problema proposto acima, temos:
a1 = 2000 e a6 =? (Depois de 5 meses estamos no 6º mês, por isso devemos calcular a6).
a6 = 2000 . (1,1)5 ⇒ a6 = 3221,02.
Definição: P.G. é uma seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao
anterior multiplicado por uma constante (chamada razão).
EXERCÍCIOS
5. Sabendo que x, x + 9, x + 45 estão em P.G. determinar o valor de x.
6. Qual é o 5º termo da P.G. (243, 81, 27, ...)?
7. Determine a razão q numa P.G. de seis termos onde o último termo vale 972 e o primeiro 4.
8. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (5, 10, 20, ...).
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>>>>>>>>>>PORCENTAGEM <<<<<<<<<<
A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal.
São exemplos de razão centesimais:
30 ,
100
4 ,
100
135
100
e
27,9
100
Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais:
30 = 30%
100
4 = 4%
100
135 = 135%
100
27,9 = 27,9%
100
Tais razões estão expressas em taxas percentuais.
Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto
passaria a custar?
Solução:
Temos:
1º) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 × 32 = 6,40;
2º) o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.
EXERCÍCIOS
9. O preço de venda de uma TV é de R$ 380,00. Uma loja em promoção de Natal oferece desconto de
20% para pagamento à vista. Qual será, então, o preço da TV à vista?
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10. Nas eleições municipais de 1996 em São Paulo, devido às fortes chuvas, 4% dos eleitores foram
impedidos de chegar a tempo aos locais de votação. Se havia 6 milhões de eleitores inscritos, quantos
eleitores efetivamente votaram?
11. Um hipermercado oferece a seus clientes duas formas de pagamento: à vista, com 5% de desconto
sobre o preço marcado, ou no cartão de crédito, com um acréscimo de 10% sobre o preço marcado.
a) Qual é o preço marcado de um produto que, à vista, custa R$ 30,40?
b) Quanto custará, à vista, um produto que, no cartão, sai por R$ 55,00?
12. A prefeitura de uma cidade deseja asfaltar todas as suas vias. Atualmente, a taxa percentual de vias
asfaltadas é de 84%. Quando forem asfaltadas mais 30 vias, essa taxa se elevará a 90%. Quantas vias
ainda precisarão ser asfaltadas para que o objetivo seja atingido?
>>>>>>>>>> ANÁLISE COMBINATÓRIA <<<<<<<<<<
a) Princípio Fundamental da Contagem
Se um acontecimento A pode ocorrer da a modos diferentes, um acontecimento B de b
modos diferentes e um acontecimento C e de c modos diferentes, então, o número de modos
diferentes de ocorrer o acontecimento A, seguido de B, seguido de C é: a . b . c.
Exemplo:
1. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de quatro algarismos podemos
escrever?
6 . 6 . 6 . 6 = 1296
Resposta: 1296 números
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EXERCÍCIOS
13. Uma pessoa possui 5 camisas, 3 calças e 2 pares de sapatos. Usando apenas essas peças, de
quantas maneiras diferentes essa pessoa pode se vestir?
14. Com os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de dois algarismos podemos escrever?
15. Usando somente os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, quantos números:
a) de três algarismos podemos formar?
b) de três algarismos distintos podemos formar?
b) Arranjo Simples
Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de p elementos distintos
qualquer grupo formado por p dos n elementos (p ≤ n), de modo que um grupo difere do outro pela
natureza dos elementos ou pela ordem dos elementos.
Indicamos o número total de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p distintos,
pelo símbolo:
A n,p , onde:
n → número total de elementos
p → número de elementos de cada grupo.
Para determinarmos o número total de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p
distintos, pelo símbolo:
A n, p =
n !
(n – p) !
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Exemplo:
Num concurso de beleza em que participam 8 candidatas, de quantas maneiras
diferentes pode ser formado o grupo das 2 primeiras colocadas?
Observe que neste problema temos: n = 8 e p = 2
Assim, A 8, 2 = 8 ! = 8 . 7 . 6 ! = 8 . 7 = 56.
(8 – 2) !
6!
Logo, podemos ter 56 modos diferentes de formar o grupo das duas primeiras colocadas.
c) Permutação Simples
Dado o conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação simples de n elementos
distintos qualquer grupo formado pelos n elementos.
Indicamos o número total de permutação simples de n elementos distintos pelo símbolo:
P n , onde n → número total de elementos.
Para determinarmos o número total de permutação simples de n elementos distintos sem
escreve-los, usamos a expressão:
Pn=n!
Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra LUSA?
P 4 = 4 ! ⇒ P 4 = 4 . 3 . 2 . 1 ⇒ P 4 = 24
Logo, o número de anagramas é 24.
d) Combinação Simples
Dado um conjunto com n elementos, chama-se combinação simples de p elementos (p≤ n)
qualquer subconjunto formado por p dos n elementos.
Indicamos o número total de combinação simples de n elementos tomados p a p distintos pelo
símbolo:
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C n, p , onde:
n → número total de elementos
p → número de elemento de cada grupo.
Para determinarmos o número total de combinações simples de n elementos distintos tomados p
a p distintos sem escreve-los, usamos a expressão:
C n, p =
n! O
p ! (n- p) !
Exemplo:
Com um grupo de 10 pessoas, quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas?
Observe que: n = 10 e p = 4, assim:
C n, p =
10 !
4 ! (10 – 4) !
= 10 ! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 ! = 10 . 9 . 8 . 7 = 210
4 ! 6!
4 ! 6!
4.3.2.1
Logo, podemos formar 210 comissões.
EXERCÍCIOS
16. Determine o valor de x:
A x, 2 = 90
17. De quantos modos podem ser escolhidos o presidente, o vice-presidente e o tesoureiro de uma
firma entre os seus 10 sócios?
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18. Quantos são os anagramas da palavra REAL?
19. Com relação à palavra BONITA: quantos anagramas existem?
20. Determine o valor de x:
C x, 2 = 28
21. Em uma sala de aula com 20alunos, quantas comissões de 3 alunos podemos formar?
>>>>>>>>>> CONJUNTOS <<<<<<<<<<
Exercício Resolvido
Numa pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de um determinado produto, das três
marcas apresentadas tivemos os resultados indicados na tabela abaixo:
Produto – Marca
N° de
Consumidores
A
120
B
100
C
80
AeB
50
BeC
30
AeC
25
A, B e C
8
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Observe que nesta pesquisa todas as pessoas consumiram pelo menos três produtos. Então,
pergunta-se:
a) Quantas consumiram apenas o produto B?
b) Quantas consumiram somente um dos três produtos?
c) Quantas consumiram mais de um produto?
Colocamos inicialmente n (A ∩ B ∩ C) = 8.
Em seguida n (A ∩B) = 50, n (A ∩ C) = 25 e n (B ∩ C) = 30, subtraindo 8 de cada um.
Finalmente, completamos A, B e C levando-se em conta os elementos já colocados.
a) 28 pessoas
b) 53 + 28 + 33 = 114 pessoas
c) 42 + 8 + 22 + 17 = 89 pessoas
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EXERCÍCIO
22. Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B e C. todas
as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir
Produto
N° de
Consumidores
A
25
B
36
C
20
AeB
6
BeC
4
AeC
5
A, B e C
0
Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um
destes dois produtos.
Com base nestes dados, calcule o número total de pessoas consultadas?
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>>>>>>>>>> CONJUNTOS NUMÉRICOS <<<<<<<<<<
= {0, 1, 2, 3, ...} → números naturais.
= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} → números inteiros.
= a/a∈
eb∈
* → números racionais (podem ser escritos na forma de fração)
b
→ números irracionais. Ex.:
=
∪
2
,, , π, 7
etc. (
=
-
)
→ números reais.
⊂
⊂
⊂
⊂
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EXERCÍCIO
23. Das afirmações a seguir, quatro são falsas. Quais são?
a) –2 ∈
h)
4
∈
i)
7
∈
j)
⊃
b) 0 ∈
c) 1 ∉
3
d) 3 ∈
7
e)
0,2
∈
25
⊂
l)
⊃
m) 0,333... ∈
f) – 3 ∉
g)
k)
n) – 0,5 ∈
∈
o)
2
∈
>>>>>>>>>> PRODUTO CARTESIANO <<<<<<<<<<
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}, vamos construir um novo conjunto a partir
de A e B, formado por todos os pares ordenados, onde o primeiro elemento de cada par
pertença ao conjunto A e o segundo elemento pertença ao B.
Esse novo conjunto chama-se produto cartesiano de A e B.
Indica-se: A x B, (lê-se: A cartesiano B.)
A x B = {(1, 2), (1,4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}
Representamos esse produto em diagrama:
1•
2•
•2
•4
3•
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EXERCÍCIOS
24. Dados: A x B = {(1, 5), (1, 6), (1, 7)} e C x D = {(1, 1), (1, 4), (3, 1), (3, 4)}, determine os
conjuntos:
a) A
b) B
c) C
d) D
>>>>>>>>>> RELAÇÃO <<<<<<<<<<
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}.
Temos A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}.
Vamos considerar alguns subconjuntos de A x B:
a) R1 = {(1, 2), (1, 4)}
1•
•2
2•
•4
3•
b) R2 = { (2, 4)}
1•
2•
3•
•2
•4
Esses subconjuntos de A x B
são todos relações.
OBS: A relação de A em B é
um subconjunto de A x B.
c) R3 = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)}
1•
2•
3•
•2
•4
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EXERCÍCIO
25. Dado o produto cartesiano A x B abaixo, assinale quais das relações dadas são relações
de A em B:
A x B = {(1, 3), (1, 4}), (1, 5), (2, 3), ( 2, 4), (2, 5)}
a)
b)
c)
d)
R = {(1, 3), (2, 5)}
R = {(1, 3), (4, 1), (1, 5)}
R = {(2, 3), (2, 4), (1, 3)}
R = {(1, 3), (2, 3), (5, 2)}
>>>>>>>>>> FUNÇÃO <<<<<<<<<<
Seja o produto cartesiano: A x B
E a relação de A em B:
R = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)}
Em diagrama:
1•
Im (Conjunto Imagem)
•1
•2
2•
•5
3•
A (Domínio)
•4
B (contra- domínio)
Notamos nessa relação que para todo elemento de A há um único correspondente em
B. Então, dizemos que essa relação é uma função de A em B.
Indicação: f: A → B. (Lê-se: função de A em B.)
O conjunto A é chamado de domínio da função (conjunto de partida) e o conjunto B é
chamado de contra-domínio da função (conjunto de chegada).
EXERCÍCIO
26. Identifique apenas os diagramas que representam uma função e, nesse caso, assinale o conjunto
imagem:
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a)
•
•
•
f)
•
•
•
•
b)
•
•
•
•
•
•
•
•
g)
•
•
•
•
•
c)
•
•
•
h)
•
•
•
•
d)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
e)
•
•
i)
j)
•
•
•
•
•
•
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>>>>>>>>>> FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM <<<<<<<<<<
É toda função que pode ser colocada na forma f:
→
definida por f(x) = ax + b ou
y = ax + b, sendo a ≅ 0 e {a e b} ∈
.
O gráfico da função do 1º grau é uma reta. O número real “a” é chamado de coeficiente
angular da reta, ou seja, é o valor da tangente do ângulo que a reta da função forma no sentido
horário {sentido dos ponteiros de um relógio} com o eixo x {abscissa}.
O número real “b” é chamado de coeficiente linear da reta, ou seja, é a interseção do
gráfico da função com o eixo y {ordenada}.
Exemplo:
F(x) = 3x + 6
Cálculo para x = 0
y = 3x + 6
y = 3. 0 + 6
y=6
Cálculo para y = 0
y = 3x + 6
0 = 3x + 6
3x = -6
x = -6 / 3 = -2
y
x
0
-2
y
6
0
Ponto
D
E
6
D
E
-2
0
x
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>>>>>>>>>> FUNÇÃO IDENTIDADE <<<<<<<<<<
consideremos uma função f de
em
tal que, para todo x ∈
x; esta função será chamada função identidade.
, tenhamos f(x) =
Observemos algumas determinações de imagens na função identidade:
Exemplo:
X = 0 ⇒ f (0) = 0 ⇒ y = 0; logo, (0; 0) é um ponto do gráfico dessa função.
X = 1 ⇒ f (1) = 1 ⇒ y = 1; logo, (1; 1) é um ponto do gráfico dessa função.
y
45º
x
0
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>>>>>>>>>> FUNÇÃO CONSTANTE <<<<<<<<<<
Vamos iniciar agora o estudo de algumas importantes funções de variável real.
Consideremos então uma função f de
em
tal que, para todo x ∈
f (x) = c, onde c ∈
; esta função será chamada de função constante.
, tenhamos
O gráfico da função constante é uma reta paralela ou coincidente com o eixo dos x; podemos ter
três casos:
a) C > 0
b) C = 0
y
c) C < 0
y
y
c
x
0
x
0
x
0
c
Observações:
) = {c}; o conjunto-imagem é unitário.
Na função constante, f (
A função constante não é sobrejetora, não é injetora e não é bijetora; e, em
conseqüência disto, ela não admite inversa.
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>>>>>>>>>> FUNÇÃO LINEAR <<<<<<<<<<
Consideremos uma função f de
em
tal que, para todo x ∈
, tenhamos f(x) =
*; esta função será chamada de função linear.
ax, onde a ∈
Observemos que, se fizermos x = 0, teremos f(0) = a . 0, ou seja, f(0) = 0 e, portanto, y =
0; logo, o gráfico dessa função também passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0; 0).
Exemplo:
Se fizermos x = 1, teremos f(1) = a . 1, ou seja, f (1) = a e, portanto, y = a; logo, o gráfico
dessa função passa pelo ponto (1; a).
y
a
x
-1
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>>>>>>>>>> FUNÇÃO QUADRÁTICA OU DO 2º GRAU <<<<<<<<<<
Consideremos uma função f de
em
tal que, para todo x ∈
, tenhamos f(x) =
* e b, c ∈
; esta função será chamada de função quadrática.
ax2 + bx + c, onde a ∈
Pode-se mostrar que o gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola
com eixo de simetria paralelo ao eixo y e com vértice no ponto V de coordenadas
–b ; -Δ
.
2a 4a
>>>>>>>>>> FUNÇÃO EXPONENCIAL <<<<<<<<<<
Consideremos uma função f de
em
tal que, para todo x ∈
, tenhamos f(x) =
, a > 0 e a ≅ 1; esta função será chamada função exponencial de base a.
a , onde a ∈
x
Exemplo:
Na função exponencial f(x) = 3x, teremos a = 3; vejamos algumas imagens dadas por
esta função: f(0) = 30 = 1, f(1) = 1 = 3, f (2) = 32 = 9, f(3) = 33 = 27,
f
1
2
= 31/2 =
,f
2
= 32/5 =
5
=
, f (-1) = 3-1 = 1, f (-4) = 3-4 = 1 = 1 .
3
34 81
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EXERCÍCIO
27. Examinando o gráfico da função abaixo, classifique cada afirmativa em verdadeira ou falsa.
1) Se f(x) > 0 então x > 2
(
)
2) f(x) > 0 somente se x >2
(
)
3) f(x) < 0 somente se x < 0
(
)
4) Se f(x) = 0, então x = 1
(
)
5) Se f(x) = 1, então x = 0
(
)
6)f(x) = 0, somente se x = 2
(
)
28. Os vértices de um triângulo são representados pelas coordenadas A(3, 2), B(2, -3) e C(4, 3). O lado AB está contido em quais quadrantes?
a) 1º e 4º
b) 1º e 2º
c) 1º, 2º e 3º
d) 2º, 3º e 4º
29. O gráfico de uma função f do 1º grau intercepta os eixos coordenados nos pontos P(4, 0) e
Q (0, 3).
a)
b)
c)
d)
e)
1/4
1/3
–4
– 3/2
12
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30. O gráfico abaixo é determinado pela função:
a) f(x) = 4x + 2
d) f(x) = 2x + 4
e)
b) f(x) = x + 2
f(x) = x2
c) f(x) = x – 4
31. Os valores de m para os quais a equação 3x2 – mx + 4 = 0 tem duas raízes reais iguais
são:
32. Com relação ao gráfico da função f(x) = 2 (x – 1)2 – 4 são feitas as seguintes afirmações:
I. é uma parábola com concavidade voltada para cima;
II. é uma parábola cujo vértice é o ponto (-2; 4);
III. o ponto de intersecção com o eixo y é (0; 2 –2).
Nessas condições:
a)
b)
c)
d)
e)
Somente a afirmação I é verdadeira.
Somente a afirmação III é verdadeira.
As afirmações I, II e III são verdadeiras.
As afirmações I e II são verdadeiras.
As afirmações II e III são verdadeiras.
33. Uma bola é largada do alto de um edifício em direção ao solo. Sua altura h em relação ao
solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão
h = - 25t2 + 625. após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
a) 2,5
b) 5
c) 7
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34.
O valor de
x Cursos
que soluciona
a equação
Coordenador
dos
de Administração
d) 10
e) 25
= 64 é:
24
EXERCÍCIOS/2006
Apostila
a) 6
b) 12
c) 24
d) 36
e) nenhuma das respostas anteriores.
Edni de Castro Paranhos
Coordenador dos Cursos de Administração
25
EXERCÍCIOS/2006
Apostila
>>>>>>>>>> LIMITE <<<<<<<<<<
Dizemos que o limite de uma função f(x), definida em um intervalo ao qual o ponto a
pertence, é b se, para todo ε > 0 existir em correspondência algum δ > 0, tal que para todo x, x
≅ a, temos:
0 < | x - a| < δ ⇒ | f(x) – b | < ε
lim f(x) = b
x→a
EXERCÍCIO
35. Calcule o limite:
lim
x→2
2
x + 4 + 2x – 3
x – 1 x2 + 1
>>>>>>>>>> DERIVADAS <<<<<<<<<<
Seja uma função real y = f(x), se existe, finito, o limite de f(x) – f(x0) quando x tende a x0,
ele é chamado derivada de f no ponto x = x0. Indicamos a derivada por f ’ (x0) (lê-se: f linha
de x0). Assim, definimos:
F ’ (x0) =
lim
x→ x0
f (x) – f (x0) =
x – x0
lim
Δx→0
Δy
Δx
EXERCÍCIO
36. Calcule f ’ (x) para a função, usando diretamente a definição:
f(x) = x2 + 4x
Edni de Castro Paranhos
Coordenador dos Cursos de Administração
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