Sistema Massa-Mola - Prof. Firmino

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Sistem a M assa-M ola
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-
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/+
+
)
E quilíbrio de Forças
• Comece por considerar a
massa em repouso. Quais são
as forças que atuam sobre
ele?
kx0
– A gravidade age para baixo
Fg=mg
–
,
% '
+
!
1
2
mg
Fr=-kx0
•Quando a massa está em repouso, temos o equilíbrio
dessas forças:
mg = kx0
E quilíbrio de Forças
• Agora vamos deslocar a massa
para baixo um pouco e deixar
ir. Quais são as forças que agem
sobre ele agora?
– A gravidade age para baixo k(x+x0)
Fg=mg
–
,
+
% '
3
%
/+
4 mg
x+x0
•
1
2
Fr=-k(x+x0)
E quilíbrio de Forças
,
+
#
#
4
F = mg − k ( x + x0 )
mas sabemos que a partir de
quando a massa está em repouso
que
k(x+x0)
mg = kx0
5
mg
#
F = − kx
2° Lei de N ew ton
•
,
+
%
#
F = − kx
•
A 2° Lei de Newton’s diz
• Então
d 2x
F = ma = m 2
dt
d 2x
m 2 = − kx
dt
4
2° Lei de N ew ton
d 2x
m 2 = − kx
dt
4
'
%+
*
4 &
!
'
!
5
5 5
'
+
+
/+ ,5
'
+
3
!
2° Lei de N ew ton
d 2x
m 2 = − kx
dt
Há muitas técnicas para resolução de equações como esta,
que você pode aprender mais tarde.... Um método é o da
adivinhação. Como esperamos que o sistema que
estamos estudando a oscilar no tempo, vamos supor que a
solução parece
6 5
+
#
7
5
/+ ,-
5
2° Lei de N ew ton
d 2x
m 2 = − kx
dt
+#
+
x(t) '
/+ ,-
8
Solução!
•
9
x(t)
1
*
#4
•
•
5
/+
'
5
–
' '
9 /+
'
/+ ,/<=
ω2 =
k
m
ω=
k
m
>
+ '
+
:;
é:
(
!
• Para determinar A e nós temos que conhecer as
condições iniciais, i.e. x(0) e v(0).
E nergia
%
•
5
!
/+
%
•
9
&
/+
/+ ># !
%
4
9
'
%
%
5
4
%
5
% '
+ '
4
5
8
/+
E nergia
E = K +U
Mas
= 12 mv 2 + 12 kx 2
x(t ) = A sin(ω t + δ )
v(t ) = dx / dt = Aω cos(ωt + δ )
Então
,-
!
E nergia
…Assim
ω2 =
k
m
Nós obtemos
E nergia
E = 12 kA2
/+
' 3
4
%
4
'
%
% 4
!
5
!
%
'
' +
A
5
!
Posição e E nergia
!
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E nergia
%
•
' 3
'
•
%
4
,- !
e
4
% '
+
/+=
4 ' /+
(
!
+
'
3
5 9
+'
?
' @
Um bloco cuja a massa m é )*
está preso a uma
mola cuja constante elástica é ) +& . O bloco é
puxado sobre uma superfície sem atrito por uma
distância
, a partir da posição de
equilíbrio em
e liberado a partir do repouso
no instante
. (a) Quais são a frequência
angular, a frequência e o período do movimento
resultante? (b) Qual é amplitude das oscilações? (c)
Qual é a velocidade máxima - do bloco e onde se
encontra o bloco quando tem essa velocidade? (d)
Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco?
(e) Qual é a constante de fase do movimento?
?
' @
Solução:
(a) Quais são a frequência
angular, a frequência e o
período do movimento
resultante?
A frequência angular é
) +&
")*
."#* $% &'
A frequência
/
0
."#*
0
" ) 12
+ ,O período:
")4 '
" )
/
(b) Qual é amplitude das
oscilações?
O bloco é liberado a 11 cm. A
energia total é conservada, logo o
deslocamento máximo é
,
(c) A velocidade máxima - ?
Se a equação do deslocamento é
3
?
' @
Logo,
Assim a função cosseno tem o
máximo de 1, logo
-
5 ."#*
"
&'
(d) A aceleração máxima %- ?
Sabemos,
%
Logo,
%%5 ."#*
&'
-
?
• +'
+ ,(e) A fase do movimento?
Dado a condição inicial tempo
6
7 8 9:
-.
7
Tomando o inverso da função coseno, obtemos
0&
' :
& /+ #
' + +
"# ; <
e foi projetado para
oscilar em frequência /
12 e com uma
amplitude
, . (a) Qual é a energia
mecânica total do sistema bloco-mola? (b)
Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo
ponto de equilíbrio?
?
' :
+ ,-
Solução:
(a) A energia total é
>
" # ;
Sabemos a frequência angular é
=
<
"# ;
" # ;
0/
0
>
" 4# ; F G
" ; F
(b) Queremos a velocidade para a
energia potencial nula, logo
12
+&
" ;
F
?
+
? x3
U(x) = ½ m
+
B
"# ;
")
?76 @A B A 7 7CD AE
•
"
4
dE/dt = 03
C
&'
' A
m
% '
2x 2 !
<
5
/+
/<=
E4
#D !
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'
5
%+
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