CPV O cursinho que mais aprova na fGV FGV – economia – 2a Fase – 13/dezembro/2009 02. Observe o padrão indicado na tabela a seguir: MATEMÁTICA 01. a) Construa o gráfico das funções f(x) = 2 + sen x e g(x) = 2 + cos 2x para 0 £ x £ 2p. b) Admita que f(x) e g(x) indiquem as cotações das ações das empresas F e G na bolsa de valores de São Paulo no intervalo de horas 0 £ x £ 2p (x = 0 indica 12h00, e x = 2p » 6,28 indica, aproximadamente, 18h17). Determine algebricamente (equações e/ou inequações) o intervalo de horas, com 0 £ x £ 2p, em que a cotação das ações da empresa F foi maior ou igual à cotação das ações da empresa G. Resolução: a) g(x) 3 f(x) 2 1 1 p 2 2 3p 4 3p 5 2 6 2p b) Temos que f(x) = g(x) \ 2 + sen x = 2 + cos 2x Þ sen x = cos 2x Þ sen x = 1 – 2 sen2 x Þ 2 sen2 x + sen x – 1 = 0 sen x = −1 \ ou 1 sen x = 2 π 5π 3π ou x = ou x = 2 6 6 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 3x 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 … 7x 1 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 … a) Determine o algarismo da unidade de 32009. b) Determine o algarismo da unidade de 3423 + 7651 –258. Resolução: a) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3x = 1 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729 37 = 2187 38 = 6561 39 = 19683 30 7x = 1 71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2401 75 = 16807 76 = 117649 77 = 823543 78 = 5764801 79 = 40353607 70 Observando a tabela, vemos que o algarismo da unidade de 3x, x Î N, é uma sequência de período 4, isto é, se repete a cada 4 termos. Como 2009 4 , 1 502 o resto 1 indica que o algarismo da unidade de 32009 é 3. logo x = Desta forma, observando os gráficos de f(x) e g(x) no item anterior, temos que π 5π 3π f(x) ³ g(x) para ≤ x ≤ , ou seja, ou x = 6 6 2 3423 = ...7 , Portanto: 3423 + 7651 – 258 = ...6 entre 12h31min e 14h37min ou às 16h43min. Isto é, o algarismo da unidade é 6. CPV fgv092fnoveco 2x =1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 20 b) Analogamente, dividindo 423 por 4 obtemos o resto 3, dividindo 651 por 4 obtemos o resto 3 e dividindo 58 por 4 obtemos o resto 2, então 7651 = ...3 e 258 = ...4 1 2 fgv – 13/11/2009 CPV o cursinho que mais aprova na fGV 03. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um plano paralelo à sua base, distante 2m dela. A área total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à metade da área total da pirâmide original. a) Calcule a altura da pirâmide original. b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela secção para o caso em que a aresta da base da pirâmide maior mede 3m. Resolução: a) Como o plano de secção é paralelo à base, podemos afirmar que a pirâmide menor é semelhante à pirâmide original. Daí, se chamarmos a área total de ST e a área da pirâmide menor de S', temos: 2 S' 1 h = = ⇒ h = (2 2 + 2) m ST 2 h + 2 Portanto, a altura da pirâmide menor é h = (2 2 + 2) m Logo, a altura da pirâmide original é (2 2 + 4)m 2 b) A razão de semelhança entre as bases é k = 04. Sabe-se que a1, a2, a3, …, a2009 representa um arranjo aleatório dos números 1, 2, 3, … , 2009. a) Determine se o produto (a1 – 1).(a2 –2).(a3 –3). … (a2009 – 2009) é um número par ou ímpar, justificando sua resposta com argumentos matemáticos. b) Qual é a probabilidade de que o arranjo a1, a2, a3, …, a2009 tenha seus 1000 primeiros termos em progressão aritmética de razão 2? (não há necessidade de fazer cálculos, apenas deixe seu resultado indicado com notação fatorial) Resolução: a) Inicialmente, note que na série apresentada (1, 2, 3, ..., 2009), existem exatamente 1004 números pares e exatamente 1005 números ímpares. 1. Para que o produto solicitado seja par, basta que ao menos um dos fatores (ai – i) seja par. 2. Para que o produto seja ímpar, é necessário que todos esses fatores (ai – i) sejam ímpares. Assim, as possíveis combinações necessárias seriam [ai = par e i = ímpar] ou [ai = ímpar e i = par]. Entretanto, existem 1005 fatores com i = ímpar e somente 1004 possibilidades de valores pares para ai. Ou seja, é ímpossível parear esses números de modo que todo fator (ai – i) resulte ímpar, de modo que haverá ao menos um fator par. Logo, o produto solicitado sempre será, obrigatoriamente, PAR. 1 2 9 2 m 2 Assim, a área da base da pirâmide menor mede S'b = O volume do tronco da pirâmide pode ser calculado pela diferença entre os volumes das pirâmides. Daí, o volume pedido será: 9 9 ( 2 2 + 4) 2 ( 2 2 + 2) VT = − 3 3 CPV 3 \ VT = (3 2 + 9) m fgv092fnoveco b) Existem 11 PAs de razão 2 utilizando 1000 números dentre 1, 2, 3, 4, ... , 2009, a saber: ( 1, 3, 5, ..., 1999) ( 2, 4, 6, ... , 2000) ( 3, 5, 7, ... , 2001) (11, 13, 15, ... , 2009) A quantidade de vezes que cada PA aparece nos 2009! arranjos aleatórios dos números 1, 2, 3, ... , 2009 é 1009!, pois devemos permutar os 1009 últimos números do arranjo. Assim, a probabilidade pedida é 11 . 1009 ! 2009 !