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ANÁLISE COMBINATÓRIA Profº Cláudio Mendes Princípio mul-plica-vo Se uma decisão A pode ser tomada de x modos e uma outra decisão B pode ser tomada de y modos, o número de modos que podemos tomar a decisão A seguida da decisão B é x ·∙ y (Correios-­‐RJ) Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados, uMlizando os algarismos de 1 até 9? a) 729. b) 576. c) 504. 9 7 8 d) 999. e) 441. 9 ·∙ 8 ·∙ 7 = 504 Permutações Permutar é arranjar objetos disMntos em ordens diferentes Fatorial n! = n ·∙ (n-­‐1) ·∙(n-­‐2) ·∙ ... ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 Ex: De quantos modos podemos arranjar 4 pessoas em 4 cadeiras enfileiradas? 4! = 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 24 modos (Correios-­‐RJ) De quantas maneiras disMntas seis caixas de cores diferentes podem ser empilhadas? a) 36. b) 72. c) 360. 6! = 6 ·∙ 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 720 d) 540. e) 720. Combinações simples Combinação simples são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. C n ,p
n!
=
p!(n − p)!
(Correios-­‐RJ) Um departamento de uma empresa tem 10 funcionários, sendo 6 homens e 4 mulheres. Quantos grupos de trabalho diferentes podem ser formados, contendo 4 homens e 2 mulheres? a) 45. C6,4 ·∙ C4,2 b) 90. c) 30. 6 ·∙ 5 ·∙ 4 ·∙ 3 = 30 = 15 C
=
6,4
d) 60. 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 2 e) 115. C4,2 = 4 ·∙ 3 = 12 = 6 2 ·∙ 1 2 C6,4 ·∙ C4,2 = 15 ·∙ 6 = 90 (Eletrobrás) Uma empresa dispõe de 12 seguranças, dentre eles, João e José. Os seguranças trabalham diariamente, em três turnos, quatro em cada turno. João avisou que irá ao médico na próxima 2ª feira pela manhã, portanto não poderá trabalhar no 1º turno. Sabendo-­‐se que José já foi escalado para trabalhar no 1º turno da próxima 2ª feira, de quantos modos disMntos os demais integrantes desse turno poderão ser escolhidos? (A) 120 3 4 (B) 165 10 ·∙ 9 ·∙ 8 = 120 C
= 10,3 (C) 210 3 ·∙ 2 ·∙ 1 (D) 220 (E) 330 (PETROBRAS) Para se cadastrar em determinado site, é necessário criar uma senha numérica de seis dígitos. Pedro vai uMlizar os algarismos da data de nascimento de seu filho, 13/05/1997. Se Pedro resolver fazer uma senha com algarismos disMntos e iniciada por um algarismo ímpar, serão n possibilidades. Pode-­‐se concluir que n é igual a: (A) 600 (B) 720 (C) 1.440 (D) 2.880 (E) 6.720 Algarismos disMntos: 0, 1, 3, 5, 7, 9 5 5! 5 ·∙ 5! = 5 ·∙ 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 600 (EPE) Quantas são as possíveis ordenações das letras da palavra BRASIL, tais que a letra B figure na 1ª posição ou a letra R figure na 2ª posição? (A) 120 (B) 184 (C) 216 (D) 240 (E) 360 B e R juntas: B 1 5! = 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 120 R 1 B R 1 1 4! = 24 B ou R: 120 + 120 – 24 = 216 5! = 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 120 Conjuntos Profº Cláudio Mendes Conjunto é uma coleção de elementos que segue (ou não) uma regra definida. ∈
∉
Per-nência: x ∈
A x é elemento do conjunto A x ∉ A x não é elemento do conjunto A Ex: A={a, b, c} b ∈
A d ∉
A vmv Inclusão A ⊂
B A ⊄
B EX: Todo elemento de A é elemento de B ⊂
⊂
ou A é subconjunto de B. Existe pelo menos um elemento de A que não é elemento de B ou A não é subconjunto de B. ⊂
C = {b, c, d} D = {a, b, c} E = {b, c, d, e} C ⊂
E D ⊄
C OPERAÇÕES COM CONJUNTOS {
}
A ∩ B = {x x ∈ A e x ∈ B}
A – B = {x x ∈ A e x ∉ B}
=A ouxx ∈xB} ∈ A ou x ∈ B
A U B
= { x x ∈
= {x x ∈ A ou x ∈B}
Ex: = {x x ∈ A ou x ∈B}
A = {a, b, c} B = {b, c, d} A U B = {a, b, c, d} A ∩ B = {b, c} A – B = {a} DIAGRAMAS DE VENN A U B A ∩ B A – B A B A B A B (FINEP) Sabemos que: – X é um conjunto com 5 elementos; – Y é um conjunto com 7 elementos; – A interseção de X com Y possui, no mínimo, 4 elementos. Portanto concluímos que: (A) X ⊄ Y ; (B) X UY possui 7 ou 8 elementos; (C) X UY possui 11 ou 12 elementos; (D) X −Y é unitário; (E) Y − X possui 2 elementos. X 1 4 Y 3 X 0 Y 5 2 Realizada uma pesquisa de opinião entre os moradores de uma cidade, para saber, dentre as marcas de sabão em pó A e B , a que costumavam usar no seu dia a dia, obMvemos os seguintes dados referentes à amostra pesquisada: 30% não usavam essas duas marcas de sabão em pó; 35% usavam a marca A ; 50% usavam a marca B ; foram consultadas 300 pessoas e todas responderam às perguntas. Podemos afirmar que, na amostra pesquisada, a quanMdade de pessoas dessa cidade que uMliza as duas marcas de sabão (A e B), é: A) 75. Não usa A nem B 30% de 300 = 90 B) 100. Usa A 35% de 300 = 105 C) 45. 50% de 300 = 150 Usa B D) 50. 300 – 90 = 210 E) 60. A + B = 255 255 – 210 = 45 Usam A ou B Usam A e B Numa sala de 40 estudantes constatou-­‐se que 16 estudam francês, 17 estudam espanhol, 15 estudam alemão, 4 estudam francês e espanhol, 3 estudam espanhol e alemão, 5 estudam francês e alemão e 1 estuda as três línguas. O número de jovens que estudam uma única língua é: (A) 16 F Uma única língua: (B) 20 8 (C) 25 (D) 27 8 + 8 + 11 = 27 3 (E) 31 4 1 8 A 2 11 E DIVISÃO PROPORCIONAL Profº Cláudio Mendes vmv Divisão proporcional Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número. André, Beto e Carlos receberam a tarefa de limpar um terreno. André trabalhou 2 horas. Beto trabalhou 3 horas e Carlos trabalhou 5 horas. Os três receberam R$ 160,00 como recompensa pelo trabalho. Como os amigos devem repar-r esta quan-a de forma justa? Temos: 2p + 3p + 5p = 160 A = 2p A = 2·∙16 = R$ 32,00 10p = 160 B = 3p C = 5p p = 160 10 p =16 B = 3·∙16 = R$ 48,00 C = 5·∙16 = R$ 80,00 (Correios-­‐RJ)Dividindo-­‐se R$ 3.375,00 em partes A, B e C, proporcionais respecMvamente, a 3, 5 e 7, a parte correspondente a C é igual a: (a) R$ 675,00. 3p + 5p + 7p = 3375 (b) R$ 1.125,00. (c) R$ 2.025,00. 15p = 3375 (d) R$ 1.575,00. p = 3375 (e) R$ 1.350,00. 15 Temos: p = 225 A = 3p B = 5p C = 7p C = 7·∙225 = R$ 1.575,00 EQUAÇÕES DO 1º GRAU 1ª PARTE PROFº CLÁUDIO MENDES EQUAÇÃO É uma sentença algébrica que contém uma igualdade 3x – 7 = 19 1º membro
2º membro
termos: 3x; –7; 19
termo com incógnita: 3x
incógnita: x
termos independentes: –7 ; 19
Resolução de uma equação: Resolver uma equação do 1º grau é
determinar o valor numérico da
incógnita de modo que a igualdade
da sentença seja verdadeira.
x + 7 = 10 x = 3 I Vamos resolver a equação abaixo: – 4x + 13 = 25 4x = 25 – 13 4x = 12 ÷ 12
x = 4
x = 3 Mais um exemplo: + x – 9 = 3x + 11 – – 3x = 11 + 9 x 20
2
– 2 x (-­‐1)·∙( ) = 2 0 ·∙(-­‐1) 2x = -­‐20 ÷ 20
x = −
2
x = -­‐10 Resolva as equações:
a)  x – 15 = 14
b)  2x + 9 = 23
c)  3x – 11 = 2x + 5
d)  2x + 8 = 5x – 10
Equações do 1º grau 2ª Parte Prof Cláudio Mendes Expressões com parênteses: Sinais antes dos parênteses + (− x + 5 + 8x − 3) = − x + 5 +( 8 x −) 3
− x + 5 + 8x − 3
− 4x + 6 − x − 7 = −4x − 6 + x + 7
− (4x + 6 − x − 7) = − 4 x − 6 + x + 7
Número antes dos parênteses − 2(− 4x + 2 + x − 3) = + 8 x − 4 − 2x + 6
Ex: − (− x + 3) + 2(3x −1) = −4 + (− 2x + 5)
x − 3 + 6 x − 2 = −4 − 2x + 5
Eliminar parênteses Agrupar os termos com incógnita. x + 6 x + 2x = −4 + 5 + 3 + 2
9x = 6
6
x=
9
2
x=
3
÷3 ÷3 Efectuar as operações EQUAÇÕES COM DENOMINADORES Observações: =
2x − 5
7
=
2x − 5
7
Um sinal menos antes da fração afeta todos os termos do numerador. Ex: − 2 x + 5 2x − 5
−
=
7
7
2x − 5
7
Esta fração também pode ser apresentada na forma: =
2x 5
−
7 7
x +1
⎛ x − 3 ⎞ x
− 5⎜
⎟ + = −
3
⎝ 2 ⎠ 4
(6) x
(3) (4) − 5 x(6) 15
x (4) 1
+
+ =− −
2(6) 2(6) (43) (4) 3 (4) 3
− 30 x 90 3x
4x 4
+
+
=−
−
12
12 12
12 12
− 30 x + 90 + 3 x = −4 x − 4
− 30 x + 3 x + 4 x = −4 − 90
x(– 1) − 23 x = −94 x(– 1) 94
x=
23
Igualar denominadores: m.m.c.(2,3,4)=12 Todos iguais. Podem ser Mrados NÚMEROS RACIONAIS Profº Cláudio Mendes Número racional é todo número indicado pela a
com b ≠ 0 e é representado expressão b
pela letra QI . ⎧ a
* ⎫
Q = ⎨ a ∈ Z e b ∈ Z ⎬
⎩ b
⎭
Observações: I) Todo número natural é um racional. Ex: 5
5=
2=
2
1
−4=
−4
1
1
II) Todo número inteiro rela-vo é racional. Ex: −4
−4=
5=
5
1
1
FRAÇÕES Fração é o número que representa uma ou mais partes de uma unidade dividida em partes iguais. Exemplos: 1 hora = 60 minutos 1
de hora = 15 minutos 4
3
de hora = 45 minutos 4
vmv a
b
numerador indica quantas partes f o r a m t o m a d a s d o denominador denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade FRAÇÕES DECIMAIS São frações onde o denominador é representado por uma potência de 10. Ex: 3 59 341
3 27 89
,
,
10 100 1000
3 27 89
,
,
10 100 1000
,
,
10 100 1000
FRAÇÕES ORDINÁRIAS São todas as outras frações Ex: 3 27 89
,
,
10 100 1000
3 32 307
,
,
8 81 193
TIPOS DE FRAÇÕES Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. 3
5
Frações Impróprias: O numerador é maior que o denominador. 8
5
13
6
29
12
Frações Aparentes: São frações onde o numerador é divisível pelo denominador. 8
8
6
2
10
5
3
5
3
5
1
2
15
26
3
5
FRAÇÕES EQUIVALENTES São frações que representam a mesma parte do inteiro, logo, são frações de mesmo valor. 1
2
Ex: 1
2
= 1
2
1
2
2
4
= 3
6
= 4
8
Frações equivalentes = 5
10
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Simplificar uma fração é encontrar uma outra fração equivalente onde o numerador e o denominador são primos entre si. 36
60
36
60
Ex: 36 ÷ 2 18 ÷ 2 9 ÷ 3 3
= = = 60 ÷ 2 30 ÷ 2 15÷ 3 5
36
60
Fração irredunvel Simplifique as frações: 36
a) 24
36
24
42
b) 70
c) 56
91
36
24
36
24
FUNÇÃO DO 1º GRAU Profº Cláudio Mendes FUNÇÃO DO 1º GRAU Função do 1º grau é toda função reduƒvel à forma f(x) = ax + b, onde a e b representam números reais. Também pode ser chamada de função afim. FUNÇÃO DO 1º GRAU Função do 1º grau é toda função reduƒvel à forma f(x) = ax + b, onde a e b representam números reais. Também pode ser chamada de função afim. O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU f(x) = ax + b Interseção com eixo x: y O ponto (x1, 0) é a interseção da reta y = ax + b com o eixo x. x1 é a solução da equação ax + b = 0 b x1 Interseção com o eixo y: O ponto de interseção da reta y = ax + b com o eixo y sempre será o ponto (0, b). x Um produto ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização em virtude do seu uso. Esta desvalorização é representada pela função P(t) = 50 -­‐ 5t, em que P é o preço do produto (em reais) e t é o tempo de uso (em anos). O custo dessa máquina após 7 anos de uso será de: (A)R$ 10,00 (B)R$ 35,00 (C)R$ 50,00 (D)R$ 25,00 (E) R$ 15,00 (DECEA) O gráfico abaixo apresenta a quanMdade Q de água que jorra do chuveiro da casa de Maria, em função do tempo t. Ao tomar banho, Maria deixa o chuveiro aberto por 12 minutos. Para que o consumo de água em cada banho passasse a ser de 128 litros, Maria teria que manter o chuveiro fechado por x minutos, enquanto se ensaboa. Conclui-­‐se que x é igual a (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 (Petrobras) O gráfico abaixo apresenta a quanMdade média de CO2, em gramas, lançada na atmosfera por automóveis modelos luxo e mini , em função da distância percorrida, em km. Considere a quanMdade média de CO2 lançada na atmosfera por um carro luxo ao percorrer 600km. Que distância, em km, deveria ser percorrida por um carro mini , de modo que a mesma quanMdade média de CO2 fosse lançada na atmosfera? (A) 800 (B) 900 (C) 1.000 (D) 1.100 (E) 1.200 (BNDES) A figura abaixo ilustra o gráfico da função que associa o volume de gás consumido pelos domicílios de um município ao valor pago por esse consumo. O valor pago, em reais, por cada metro cúbico consumido, é de: (A) 4,00 (B) 4,20 (C) 5,00 (D) 5,60 (E) 7,00 Função do 2º grau (ou função quadráMca) é toda função que Pode ser reduzida à forma f(x) = ax2 + bx + c O gráfico de uma função do 2º grau sempre será uma parábola. Côncava para cima a > 0 Côncava para baixo a < 0 vmv Interseção com o eixo y Uma parábola sempre interceptará o eixo y no ponto (0, c) y c x1 x2 x Zeros da função: Os zeros da função são as raízes x1 e x2 da equação ax2 + bx + c = 0 A parábola sempre interceptará o eixo x nos pontos (x1,0) e (x2,0) (Correios-­‐RJ) A função do 2º grau y = f(x) = – 16x2 + 9x corta o eixo das ordenadas no ponto P, tal que: a) P = 16. b) P = 4. f(x) = -­‐ 16x2 + 9x c) P = – 9. c = 0 a = -­‐16 b = 9 d) P = 3. e) P = zero. Eixo das ordenadas = eixo y. O ponto de interseção de f(x) = ax2 + bx + c é o ponto (0, c). Logo, P = 0 Vér-ce da parábola: O vérMce da função f(x) = ax2 + bx + c é o ponto Δ ⎞
⎛ b
V = ⎜ − ,− ⎟
⎝ 2a 4a ⎠
Se a > 0, o vérMce é ponto mínimo V V Se a < 0, o vérMce é ponto máximo (Infraero) Na figura vemos os gráficos das funções f(x) = x2 – 6x e g(x) = 6x – x2 – 8. Se p é o menor valor assumido por f(x) e q é o maior valor assumido por g(x), então podemos afirmar que q – p é igual a: (A) 2
(B) 2 5
(C) 6
(D) 10
(E) 8 3
−
Δ
4a
Δ
−
4a
Valor máximo ou valor mínimo: f(x) = x2 – 6x g(x) = 6x – x2 – 8 a = 1 b = -­‐6 c = 0 Δ = b2 -­‐ 4ac a = -­‐1 Δ = 36 −
Δ
p=−
4a
36
p=−
= −9
4
q – p = 1 – (– 9) = 1 + 9 = 10 Δ
4a
b = 6 c = -­‐8 Δ = b2 -­‐ 4ac Δ = 4 Δ
q=−
4a
4
q=−
=1
−4
O lucro de uma fábrica é dado em reais por L(x) = 1500.(80 -­‐ x).(x -­‐ 60), onde x é o número de máquinas produzidas por b número de máquinas que esta b
mês na fábrica. x = O −
=
x =−
= fábrica deve 2a
2a
produzir mensalmente para obter o maior lucro possível é: Reduzindo: (A) 50 (B) 60 L(x) = 1500(-­‐x2 + 80x + 60x – 4800) (C) 70 2 + 140x – 4800) L(x) =
1
500(-­‐x
(D) 80 2 + 210000x + 7200000 (E) 90 L(x) =
-­‐
1500x
b
x =−
=
v
v
v
2a
b
210000
xv = −
=−
2 ⋅ (−1500)
2a
210000
xv = −
=
− 3000
70
GRANDEZAS PROPORCIONAIS Profº Cláudio Mendes GRANDEZAS PROPORCIONAIS Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser
medido, contado. As grandezas podem ter suas
medidas aumentadas ou diminuídas.
Ex: o volume, a massa, a superfície, o comprimento,
a capacidade, a velocidade, o tempo.
Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra também aumenta (ou diminui) na mesma proporção. Ex: A quanMdade de laranjas em uma feira e o preço pago por elas. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. Ex: A velocidade de um móvel e o tempo de percurso. Outros exemplos: Número de pessoas em um churrasco e a
quantidade de carne consumida.
Grandezas diretamente proporcionais. Número de erros em uma prova e a nota obtida.
Grandezas inversamente proporcionais. Número de operários e o tempo necessário para
eles construírem uma casa.
Grandezas inversamente proporcionais. Distância percorrida por um automóvel e o gasto de
combustível .
Grandezas diretamente proporcionais.