Aula 19 - Eq de Laplace - professor Daniel Orquiza de Carvalho

Prof.DanielOrquiza
EletromagnetismoI
EletromagnetismoI
Prof.DanielOrquizadeCarvalho
SJBV
Eletromagnetismo I - Eletrostática
Equação de Laplace
(Capítulo 6 – Páginas 160 a 172)
• 
Eq. de Laplace
• 
Solução numérica da Eq. de Laplace
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2
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Equação de Laplace
•  A equação de Laplace permite solucionar problemas onde o potencial ‘V’ é
desconhecido em parte das regiões do problema.
•  Assim como no caso da Eq. de Poisson, normalmente, o potencial é conhecido
nas fronteiras do problema.
•  Exemplo: Capacitor e problemas envolvendo meios dielétricos na presença de
condutores em potenciais ‘V’ conhecidos.
50V
60V
30V
ρv = 0
ρv = 0
1D
2D
-10V
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Equação de Laplace
•  O potencial conhecido nos limites do problema é usado como Condição de Contorno
para encontrar o potencial em todas as regiões.
•  A equação de Laplace é um caso particular da Eq. de Poisson quando o problema
não possui distribuições continuas de carga (densidades de carga).
•  Tendo o potencial elétrico, é possível calcular E, D e J outras grandezas.
60V
30V
ρv = 0
ρv = 0
1D
2D
-10V
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Equação de Laplace
•  Como vimos na aula passada, a equação de Poisson pode ser derivada a partir de
Lei de Gauss.
ρv
∇ V =−
ε
2
•  Se a densidade volumétricas de carga for nula no problema em questão, a Eq. de
Poisson se reduz à Eq. de Laplace.
2
2
2
∂
V
∂
V
∂
V
2
∇ V = 2 + 2 + 2 =0
∂x
∂y
∂z
•  Para um dado problema, a Eq. de Poisson em conjunto com as C.C. permitem
encontrar a distribuição de potencial elétrico em todas as regiões.
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Equação de Laplace
•  A Eq. de Laplace pode ser expressa em outros Sistemas de Coordenadas usando o
operador Laplaciano no sistema em questão.
•  Em Coordenadas Cilíndricas, o operador Laplaciano fica:
2
2
⎛
⎞
1
∂
∂V
1
∂
V
∂
V
∇ 2V =
⎜ρ
⎟+ 2 2 + 2
ρ ∂ρ ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂φ ∂z
•  Em Coordenadas Esféricas, o operador Laplaciano fica:
1 ∂ ⎛ 2 ∂V ⎞
1
∂ ⎛
∂V ⎞
1 ∂2V
∇ V = 2 ⎜r
⎟+ 2
⎜ senθ
⎟+ 2 2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r senθ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ r sen θ ∂φ 2
2
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Procedimento para solução da Eq. Equação de Laplace
①  Resolver a equação de Laplace por integração direta (1D) ou separação de
variáveis (2D). A solução geral é expressa através de constantes de integração.
1D ( se V só é função de x)
∂2V (x)
∇V=
=0
2
∂x
2
②  Aplicar as condições de contorno nas ‘superfícies’ onde V é conhecido e
encontrar a solução particular.
50V
60V
30V
1D
-10V
2D
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Procedimento para solução da Equação de Laplace
③  Tendo o potencial em todos os campos, calcular E, D e J.
!
E = −∇V
④  Tendo Dn nos condutores determinar ρs, Q e C = Q/V, etc.
!
ρS = D ⋅ ân = D n
S
Nas superfícies dos condutores
50V
60V
30V
1D
-10V
2D
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Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas
§ 
Atualmente métodos numéricos são muito usados na solução de problemas de
eletrostática e eletromagnetismo. Um exemplo é o Método das Diferenças Finitas.
§ 
No MDF, as derivadas nas Equação
V(x)
Diferenciais são substituídas por
equações de diferenças.
§ 
V2
Considerando o potencial V(x) ao
lado, a derivada no ponto (a, Va) é
Va
aproximada por:
∂V
V2 −V1
≈
∂x a
h
V1
h/2
h/2
a
x
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Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas
§ 
y
50V
A derivada parcial com relação a ‘x’ no
x
ponto ‘a’ pode ser calculada por:
∂V
V1 −V0
≈
∂x a
h
§ 
V2
V3
A derivada parcial com relação a ‘x’ no
ponto ‘c’ pode ser calculada por:
30V
a
V0
h
h
∂V
V0 −V3
≈
∂x b
h
b
V4
V1
-10V
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Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas
§ 
y
50V
A derivada de segunda ordem em ‘x’ no
x
ponto ‘0’ pode ser calculada usando as
duas derivadas de primeira ordem.
∂V
∂V
−
∂2V
∂x a ∂x
≈
∂x 2 0
h
§ 
V2
b
V3
Substituindo as equações de diferenças:
30V
a
V0
h
h
∂2V
V1 −V0 − (V0 −V3 )
≈
∂x 2 0
h2
b
V4
V1
-10V
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Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas
§ 
y
50V
De forma similar, a derivada de segunda
x
ordem em ‘y’ no ponto ‘0’ fica:
∂V
∂V
−
∂y c ∂y
∂2V
≈
∂y 2 0
h
§ 
V2
d
V3
Substituindo as equações de diferenças:
∂2V
V2 −V0 − (V0 −V4 )
≈
2
∂y c
h2
b
d
h
h
30V
c
V0
V4
a
V1
-10V
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Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas
§ 
Substituindo as duas derivadas parciais
50V
de segunda ordem na Eq. de Laplace:
∂2V ∂2V V1 +V2 +V3 +V4 − 4V0
+ 2 =
=0
2
2
∂x
∂y
h
§ 
o potencial em zero tem que ser a
V3
c
b
média do potencial em 1, 2, 3 e 4.
§ 
iterativamente para encontrar a
distribuição de V.
d
h
Esta equação pode ser resolvida
30V
x
V2
Para que a equação acima seja satisfeita,
1
V0 = (V1 +V2 +V3 +V4 )
4
y
h
V0
V4
a
V1
-10V
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Procedimento para solução da Eq. Equação de Laplace
2V
-3V
2V
2D
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Procedimento para solução da Eq. Equação de Laplace
2V
-3V
-3V
2V
2D
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Exemplo (Cabo Coaxial)
Considere dois condutores cilíndricos separados por um meio dielétrico com εr
= 2,1 (teflon). O condutor interno tem raio a = 4mm e o externo tem raio b = 7
mm.
Se V0 = 5V é aplicado entre o condutor interno e o externo, determine:
(a) E na região entre os condutores.
(b) D nesta região.
(c) ρS no condutor interno.
(d) Q em 1 m de comprimento do condutor interno.
(e) A capacitância (por unid de comprimento).
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Exemplo
Considerando um capacitor de placas paralelas com área S = 7,8 cm2, separação
entre as placas d = 4,3 cm e diferença de potencial V0 = 10V entre as placas.
Considere ainda que a região entre as placas é preenchida por um dielétrico com
εr = 3,2. Determine, usando a Eq. de Laplace:
(a) E entre as placas.
(b) D entre as placas.
(c) ρS na placa com potencial V0 = 10V.
(d) A carga na placa com potencial V0 = 10V.
(e) A capacitância C.
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