Mecânica Quântica CE Aguiar, 2014 Lista de Exercícios 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Programa de Pós-Graduação em Ensino De Física
Mestrado Profissional em Ensino de Física
Mecânica Quântica
C. E. Aguiar, 2014
Lista de Exercícios 2
1. Considere o interferômetro de Mach-Zehnder mostrado na figura abaixo.
D1
D2
2
1
O estado |1⟩ corresponde ao fóton no caminho que passa pelo defasador 1 e chega
ao detector D1, e o estado |2⟩ ao caminho que passa por 2 e vai até D2. Suponha
que ao passar por um semiespelho, o estado do fóton muda de acordo com a
transformação
1
𝑖
|1⟩ ⟶
|1⟩ +
|2⟩ ,
√2
√2
𝑖
1
|2⟩ ⟶
|1⟩ +
|2⟩ .
√2
√2
Quando o fóton é refletido por um espelho, o estado muda de acordo com
|1⟩ ⟶ 𝑖|1⟩ ,
|2⟩ ⟶ 𝑖|2⟩ .
Ao passar por um dos defasadores, o estado do fóton muda por
|1⟩ ⟶ 𝑒 𝑖𝜑1 |1⟩ ,
|2⟩ ⟶ 𝑒 𝑖𝜑2 |2⟩ .
Considere que a defasagem é produzidas pela diferença de comprimentos entre os
dois braços do interferômetro, de modo que 𝜑1 = 𝑘𝐿1 e 𝜑2 = 𝑘𝐿2 , onde L1 e L2 são
as distâncias entre os semiespelhos ao longo dos dois caminhos e 𝑘 = 2𝜋/𝜆 é o
número de onda do fóton.
a) Calcule o estado final do fóton ao passar pelo interferômetro. Explicite os
estados intermediários correspondentes a cada etapa: início  após o primeiro
semiespelho  após os defasadores  após os espelhos  após o segundo
semiespelho.
b) Qual é a amplitude de probabilidade do fóton chegar ao detector D1? E a
probabilidade? Faça o gráfico dessa probabilidade como função de (𝐿1 − 𝐿2 )/𝜆.
c) Quais são a amplitude e a probabilidade do fóton chegar a D2? Faça o gráfico
dessa probabilidade como função de (𝐿1 − 𝐿2 )/𝜆 e compare com o resultado do
item anterior.
2. Um experimento de “dupla fenda” realizado com elétrons está representado na
figura abaixo.
x
1
elétrons
2
Quando apenas a fenda 1 está aberta, um elétron que passa por ela fica no estado
|𝜓1 ⟩. A amplitude de probabilidade de o elétron chegar ao ponto x sobre o anteparo
em frente às fendas é 𝜓1 (𝑥) = ⟨𝑥|𝜓1 ⟩ Da mesma forma, quando só a fenda 2 está
aberta o estado do elétron é |𝜓2 ⟩ e a amplitude de probabilidade deste alcançar o
ponto x é 𝜓2 (𝑥) = ⟨𝑥|𝜓2 ⟩.
a) Qual é a probabilidade P1(x) de o elétron ser encontrado no ponto x quando
apenas a fenda 1 está aberta? E a probabilidade P2(x) dele chegar a x quando a
apenas a fenda 2 está aberta?
b) Suponha que, quando as duas fendas estão abertas, o estado do elétron seja
1
1
|𝜓⟩ =
|𝜓1 ⟩ +
|𝜓2 ⟩
√2
√2
Qual é a amplitude de probabilidade 𝜓(𝑥) de o elétron chegar ao ponto x? E a
probabilidade P12(x) de ele ser encontrado em x? A probabilidade P12(x) é igual
a ½ P1(x) + ½ P2(x)? Existem efeitos de interferência nesse caso?
3. As dimensões do aparato da questão anterior estão dadas na figura abaixo.
1
elétrons
a
r1
x
r2
0
2
D
As distâncias das fendas 1 e 2 ao ponto x são, respectivamente, 𝑟1 =
√𝐷2 + (𝑥 − 𝑎/2)2 e 𝑟2 = √𝐷2 + (𝑥 + 𝑎/2)2 , onde a é a separação entre as fendas
e D a distância destas ao anteparo. Suponha que as amplitudes de probabilidade da
questão anterior sejam dadas por 𝜓1 (𝑥) = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑟1 e 𝜓2 (𝑥) = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑟2 , onde 𝑘 =
2𝜋/𝜆 é o número de onda do elétron e A é uma constante.
a) Calcule as probabilidades P1(x), P2(x) e P12(x) definidas na questão anterior.
b) No caso em que o anteparo está muito distante das fendas (D >> a e D >> x),
mostre que 𝑟2 − 𝑟1 ≈ 𝑎𝑥/𝐷 e calcule P12(x) nesse limite. Esboce um gráfico do
resultado. Qual é a separação entre as franjas de interferência formadas no
anteparo?
4. Considere que ao lado da fenda 1 há um átomo no estado |𝑎⟩. A passagem do
elétron por essa fenda deixa o átomo no estado |𝑏⟩ (com ⟨𝑎|𝑏⟩ = 0).
elétrons
x
1
ab
2
a) Mostre que o estado do sistema elétron-átomo após a passagem do elétron pelas
fendas é dado por
1
1
|𝜓1 ⟩|𝑏⟩ +
|𝜓2 ⟩|𝑎⟩
|Ψ⟩ =
√2
√2
b) Qual é a probabilidade Pa(x) do elétron no estado |Ψ⟩ chegar à posição x
deixando o átomo no estado inicial |𝑎⟩? E a probabilidade Pb(x) de ele chegar ao
mesmo ponto deixando o átomo no estado |𝑏⟩? Compare essas probabilidades
com P1(x) e P2(x) obtidos na questão anterior.
c) Qual é a probabilidade P(x) de o elétron ser encontrado em x, qualquer que seja
o estado do átomo? Como essa probabilidade se compara com ½P1(x) + ½P2(x)?
Os efeitos de interferência ainda existem? Discuta esse resultado em termos da
(in)distinguibilidade dos caminhos do elétron.