Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica

Eletromagnetismo
Movimento de Partículas dotadas
de carga elétrica
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
Introdução
O estudo do movimento de partículas carregadas sob a ação de campos elétricos e magnéticos
se reveste de grande importância. Isso envolve não apenas o problema teórico de determinar as
soluções das equações de movimento, como também o uso prático nas pesquisas científicas e seu
uso no domínio da tecnologia.
Na pesquisa científica, podemos citar o problema do confinamento magnético de um plasma,
ou seja, como confinar a matéria no seu quarto estado, quando os constituintes dos átomos se
encontram separados, formando uma sopa de elétrons e núcleos.
Figura 1
Figura 2: Acelerador linear do Instituto de Física da USP.
Outra aplicação desse tópico, ainda no campo científico, envolve a construção de aceleradores
de partículas, que constituem o principal dispositivo para se investigar a estrutura tanto do núcleo
quanto dos constituintes últimos da matéria. Num acelerador (utilizado na Física Nuclear e na
área da Física das Partículas Elementares), procura-se assegurar que as trajetórias das partículas
permaneçam em determinadas órbitas, formando trajetórias praticamente circulares. Ao longo
dessas órbitas, as partículas serão aceleradas e, ao atingir a velocidade almejada, são colocadas em
rota de colisão.
As aplicações mencionadas, física do plasma, física nuclear e física das partículas elementares,
são voltadas para a ciência básica.
1
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
2
As aplicações práticas desse tipo de estudo são muito amplas. O melhor exemplo é o monitor do
computador, em que a trajetória dos elétrons permite que sua colisão com uma substância fosforescente gere as múltiplas cores que observamos na tela do computador.
Figura 3: Esquema de funcionamento do monitor de vídeo.
Apresentaremos soluções explícitas para o problema bastante geral do movimento de partículas
carregadas apenas para o caso de campos uniformes ou campos que variem com o tempo. Apesar
de simples, os casos apresentados são de grande relevância, tendo em vista as muitas aplicações
que podemos fazer.
Expressões Gerais
Quando uma partícula, cuja carga é q, se move em uma região do espaço na qual existe um
campo magnético e um campo elétrico, ela experimenta a ação de duas forças: uma força elétrica


( Fe) e uma força magnética ( Fm). A soma das duas é por vezes conhecida como Força Lorentz e sua
expressão é:
  
 
 
  
F ( r , v , t ) ≡ Fe + Fm = q  E ( r , t ) + v × B ( r , t ) 
( 1 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
3
Figura 4


Na expressão apresentada, v é a velocidade da partícula e r é o vetor de posição.
O problema do movimento de uma partícula sob a ação de campos eletromagnéticos se resume
a encontrar uma solução para o vetor posição, solução essa dependente do tempo,
 
r = r (t )
( 2 )

De tal forma que r ( t ) seja solução da equação de Newton:
m


d 2r
dr   
 
q
E
r
,
t
+
=
 ( ) dt × B ( r , t ) 
dt 2
( 3 )
Em que m é a massa da partícula.
A equação apresentada é, de fato, um conjunto de 3 equações. De forma geral, escrevemos:
d 2x
dz
 dy

m 2 = qEx ( x, y, z , t ) + q  Bz ( x, y, z , t ) − By ( x, y, z , t ) 
dt
dt
 dt

d2y
dx
 dz

m 2 = qE y ( x, y, z , t ) + q  Bx ( x, y, z , t ) − Bz ( x, y, z , t ) 
dt
dt
 dt

d 2z
dy
 dx

m 2 = qEz ( x, y, z , t ) + q  By ( x, y, z , t ) − Bx ( x, y, z , t ) 
dt
dt
 dt

( 4 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
4
Em geral, recaímos em um problema bastante complexo, pois nos referimos à solução de um
conjunto de três equações de segunda ordem que são acopladas (a equação para uma das variáveis envolve as demais).
Exceto para alguns casos nos quais a dependência dos campos com os pontos do espaço e com
o tempo seja bastante simples, é muito difícil conseguir uma solução analítica para uma equação
a derivadas de segunda ordem no tempo. Isso se torna ainda mais difícil ainda se essas equações
estiverem acopladas, como é o caso.
Portanto, deveremos considerar apenas casos simples, mas ainda assim de grande interesse.
Movimento de partículas quando o campo elétrico
depende apenas do tempo
A título de ilustração, consideremos a situação em que uma partícula se mova em uma região
onde o campo elétrico seja uniforme no espaço, mas que dependa do tempo. Escrevemos assim:
 

E ( r , t ) = E0 ( t )
( 5 )
No caso em que o campo magnético é nulo, a equação de Newton se escreve:

 
d 2r (t )

m
=
q
E
 ( r , t ) 
dt 2
( 6 )

 
dv ( t )
m
= q  E ( r , t ) 
dt
( 7 )
Ou, de outra forma:
Utilizando a definição da aceleração, reduzimos o problema a determinar a velocidade da
partícula. Isso é possível porque a equação para a velocidade é uma equação de primeira ordem no
tempo, que pode ser integrada tomando-se a integral no tempo de ambos os lados.

t 
dv ( t ′ )
m∫
dt ′ = q ∫ E ( t ′ )dt ′
0
0
dt ′
t
( 8 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
5
A integral do primeiro termo é trivial e nos leva ao seguinte resultado:

dv ( t ′ )




m∫
dt ′ = m ( v ( t ) − v ( t = o ) ) ≡ m ( v ( t ) − v0 )
0
dt ′
t
( 9 )
Integrando ambos os membros da equação, determinamos a velocidade da partícula como
função do tempo:
t
q 


v ( t ) − v0 = ∫ E0 ( t ′ )dt ′
m0
( 10 )
A solução envolve uma integral no tempo e a velocidade no instante de tempo t = 0. Admitiremos

que a velocidade inicial (v0) seja conhecida: esse é um ponto muito importante. A solução completa
pressupõe o conhecimento da velocidade em algum instante de tempo, o que é chamado de
condição inicial, pois é sabido que o movimento depende de como ele se iniciou (arbitrariamente
tomamos o início do movimento no instante de tempo t = 0). Como resultado das integrais, só nos
interessa o que ocorreu depois desse instante de tempo.
Levando em conta a definição da velocidade, a equação apresentada se escreve agora como
uma equação de primeira ordem para a posição:

t
dr ( t ) 
q 
− v0 = ∫ E0 ( t ′ )dt ′
dt
m0
( 11 )
Integrando cada termo dessa equação como fizemos para o caso da velocidade, encontraremos
que o vetor posição será dado pela expressão:
t ′′ 
q t



r ( t ) = r ( t = 0 ) + v0t + ∫ dt ′′∫ E0 ( t ′ )dt ′
0
m 0
( 12 )
Como esperado, a solução envolve o conhecimento não só da velocidade no instante de tempo
inicial, como também da posição inicial da partícula. As condições iniciais a serem especificadas,
como em todo problema de mecânica, serão os dados sobre a posição e velocidade iniciais:


r ( t = 0 ) ≡ r0


v ( t = 0 ) ≡ v0
( 13 )
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6
Consideremos o caso em que o campo elétrico seja um campo uniforme: o vetor de posição para
qualquer tempo será dado por:
q  2

 
r ( t ) = r0 + v0t +
E0t
2m
( 14 )
Obtemos da equação que o movimento é uniformemente variado, pois a aceleração é constante
e dada por:
q 

a ( t ) = E0
m
( 15 )
Imaginando uma escolha do eixo z coincidindo com a direção do campo elétrico, a solução geral
se escreve como:
x = x +v t
0
0x
y = y0 + v0 y t
( 16 )
qE
z = z0 + v0 z t + o t 2
2m
Eliminando o tempo na primeira equação, obtemos:
t=
x − x0
v0 x
( 17 )
Substituindo essa expressão para o tempo, na equação para z da expressão (000), obtemos a
equação da trajetória:
 x − x0  qEo  x − x0 
z = z0 + v0 z 
+


 v0 x  2m  v0 x 
Figura 5
2
( 18 )
O movimento é uniformemente variado e, de acordo com a expressão, a trajetória da partícula
é uma parábola.
Um exemplo desse caso acontece quando uma partícula atravessa a região compreendida entre
as placas de um capacitor.
Figura 6
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7
Movimento em um campo magnético
Uma característica interessante da força magnética pode ser entendida analisando-se o trabalho

realizado ao longo de um deslocamento infinitesimal dr , dado por:
 
d τ = dr ⋅ Fm
( 19 )
O trabalho realizado pela força magnética, a potência, é nula. Isto é:

d τ dr 
P≡
=
⋅ Fm = 0
dt dt
( 20 )
Isso ocorre porque, de acordo com a expressão (000), a força magnética é sempre perpendicular
à velocidade da partícula. Concluímos portanto que:
A força magnética não realiza trabalho.
Como consequência, a energia cinética de uma partícula sob a ação apenas de campos magnéticos não se altera ao longo do movimento.
Para IB dado por (000), obtemos para (000)
dv
m
= qv × B
dt
( 21 )
Multiplicando (000) por (000), obtemos

 dv
vm
=0
dt
( 22 )
O que implica que a energia da partícula sob a ação do tempo externo se conserva, pois segue
de (000) que:
2
d  mv 

=0
dt  2 


Decorrência do fato de que a função magnética não realiza trabalho.
( 23 )
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8
Campo Magnético Uniforme
Tomemos outro caso simples, mas igualmente interessante: a partícula está sob a ação de um
campo IB constante:
B = Bo K
( 24 )
Para IB dado por (000), obtemos para os componentes:
dx
= B0 y
dt
dy
m = − B0 x
dt

dz
=0
dt
m
( 25 )
A equação (000) apenas implica a conservação do momento na direção longitudinal do campo.
As variáveis
x+ = x + iy
x− = x − iy
( 26 )
Nos termos dessas variáveis, podemos escrever
d 2 x+ −ieB d
=
( x+ )
dt 2
m dt
( 27 )
A parte transversa da equação (000) nada mais significa do que as partes real e imaginária da
equação (000).
Podemos procurar uma solução de (000) sob a forma
x+ = c1e − iωt + c2
( 28 )
x − a = A cos(ωt + y )
y − b = − A sen( wt + y )
( 29 )
A solução procurada se escreve
Figura 7
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
9
Em que
w=
eB
m
( 30 )
A carga de eletron é XXXX. De (000), segue que
( x − a) + ( y − b)
2
2
= R2
( 31 )
O que implica que a projeção da trajetória no plano transverso descreverá um círculo cujo raio é R.
Seja v1 o módulo da velocidade na direção transversa. A partir de (000), pode-se observar que
R 2 ω2 = x 2 + y 2 = vT2
( 32 )
Portanto
R=
vT mv1
=
ω eB '
( 33 )
Uma aplicação muito simples desse resultado é o espectrômetro de massas. Nesse arranjo
experimental, as partículas de massas diferentes entram com uma velocidade inicial XXXX em uma
região onde existe um campo magnético uniforme, como mostra a Figura 000.
Figura 8
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
10
Se tivermos partículas de massas diferenças no feixe, cada partícula (XXXX cargas iguais) deverá
descrever trajetórias circulares cujos raios serão xxx pela relação (vide 000).
R1 M 1
=
R2 M 2
( 34 )
Efeito Hall
O aparecimento de uma diferença de potencial nas extremidades de um condutor transportando
uma corrente i localizada em uma região onde existe um campo magnético uniforme é conhecido
como efeito Hall.
Para entendê-lo, consideramos a situação ilustrada na figura a seguir.
Figura 9
Para um transportador de carga Q, devemos esperar uma tal ação de força magnética sobre ele
que o tenda a se defletir em direção a uma das paredes x = o ou x = a. No entanto, com o passar do
tempo, as cargas se acumulam nas paredes (vide figura) e criam um campo elétrico uniforme EH na
região entre as “placas” contendo as cargas elétricas. A diferença de potencial, que pode ser medida
explicitamente, é dada pela expressão:
VH = aEH
( 35 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
11
Os transportadores de carga elétrica ficam agora sujeitos a dois campos. Para que eles passem
sem deflexão, devemos impor, em relação aos campos elétrico e magnético, a seguinte condição
para a velocidade:
V=
EH
B
( 36 )
De (000), segue que as velocidades dos elétrons que passam sem deflexão satisfazem à condição
V=
VH
aB
( 37 )
Uma das aplicações interessantes do efeito Hall é a possibilidade de determinarmos a densidade
de transportadores. Isso é possível porque, sendo a corrente dada pelo produto
I = JA
( 38 )
Em que J é a densidade de corrente e A é a área de uma seção transversal do condutor. A
densidade de corrente, por outro lado, se relaciona com a densidade (número de transportadores
por unidade de volume - n)
J = neV
( 39 )
I
IBa
=
Aev Aeφ H
( 40 )
Então, de (000) e (000), obtemos:
n=
De (000), concluímos que é possível determinar a densidade de transportadores a partir da
determinação das grandezas consideradas, todas ao alcance experimental.
Figura 10: Esquema de um seletor de velocidades.
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
12
Movimento em campos uniformes e paralelos
Consideremos o caso do movimento de uma partícula sob a ação de um campo magnético e
de um campo elétrico, ambos uniformes e paralelos um em relação ao outro. Vamos supor que o
campo uniforme B0 esteja ao longo do eixo z, o mesmo acontecendo com o campo elétrico. Assim,
admitimos que os campos têm apenas a componente z, e por isso escrevemos:


B = B0 k


E = E0 k
( 41 )
As componentes da força de Lorentz são portanto:
Fx = v y B0
Fy = −vx B0
( 42 )
Fz = E0
A equação de Newton agora se escreve:
dvx
qB0
=
vy
dt
m
dv y
qB
= − 0 vx
dt
m
qE0
dvz
=
dt
m
( 43 )
A solução para a última equação é:
vz ( t ) =
qE0
t + v0 z
m
( 44 )
Em que v0z é a componente z da velocidade inicial (a velocidade no instante de tempo t = 0).
Dessa equação, segue que a dependência da coordenada z com o tempo é:
z (t ) =
qE0 2
t + v0 z t + zo
2m
( 45 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
13
Conclui-se portanto que, se o campo magnético for nulo, a trajetória da partícula será uma
parábola (vide Figura 000).
Consideremos agora o caso mais geral, em que o campo magnético não é nulo. Derivando as
duas primeiras equações com respeito ao tempo e substituindo as derivadas usando essas mesmas
equações, obtemos:
Vx = A cos (ωB t + δ x )
Vy = B cos (ωB t + δ y )
( 46 )
As soluções dessas equações são bem conhecidas, uma vez que se trata de equações análogas
às do movimento do oscilador harmônico. Para a dependência das velocidades com o tempo,
escrevemos:
Vx = A cos ( ωB t + δ x )
Vy = B cos ( ωB t + δ y )
( 47 )
Em que ωB é definido em (46) e as demais constantes aparentemente são arbitrárias. No entanto,
substituindo essas soluções em (43), veremos que as expressões apresentadas apenas solucionam
as duas primeiras equações de (43) se as seguintes condições forem satisfeitas:
A= B
δy ≡ δ
π
δx = − + δ
2
( 48 )
Portanto, a solução para as componentes da velocidade são:
Vx ( t ) = A sin ( ωB t + δ )
Vx ( t ) = A cos ( ωB t + δ )
( 49 )
Consideremos uma partícula incidindo na região onde existe o campo magnético uniforme e

dotada de uma velocidade inicial V0. Os valores das constantes A e δ são determinados a partir das
componentes do vetor velocidade inicial. Obtém-se que:
V0x ≡ Vx (t = 0) = A sin (δ)
V0y ≡ Vy (t = 0) = A cos (δ)
⇒ A = vox 2 +voy 2
( 50 )
Figura 11
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
14
Concluímos que:
voy 2 + vox 2 = v 2 oy ( t ) + v 2 ox ( t )
( 51 )
Essa é uma propriedade bastante geral do movimento.
A solução para o vetor de posição será:
x ( t ) = − A cos ( ωB t + δ ) + x0
y ( t ) = A sin ( ωB t + δ ) + y0
( 52 )
Movimento em um campo magnético uniforme
Nesse caso, consideramos o campo elétrico como sendo nulo. A partir de (000) e (000), obtemos
para a solução da equação básica da mecânica as seguintes componentes do vetor de posição:
x (t ) = −
y (t ) =
A
cos ( ωB t + δ ) + x0
ωB
A
sin ( ωB t + δ ) + y0
ωB
( 53 )
z ( t ) = v0 z t + zo
Consequentemente, a velocidade da partícula não se altera, uma vez que
voy 2 + vox 2 + voz 2 = v 2 oy ( t ) + v 2 ox ( t ) + v 2 oz ( t )
( 54 )
Ou seja, a sua energia cinética não se altera.
A trajetória da partícula pode ser entendida a partir dos seguintes dados:
1. ao longo do eixo z (paralelo ao campo magnético), o movimento é uniforme.
2. considerando-se o movimento ao longo do plano z, vemos que o movimento é circular de
raio R, sendo este dado por:
2
2
A m vox + voy
R=
=
ωB
qB0
( 55 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
15
Essa é uma consequência de, de (000), seguir a expressão:
( x − x0 ) + ( y − y0 ) =
2
2
A2
ω0 2
( 56 )
A partir de (000) e (000), concluímos que a trajetória será uma hélice centrada no ponto de
coordenadas (x0, y0).
O raio do círculo, de acordo com a expressão (000), será diretamente proporcional à massa da partícula.
Figura 12
Figura 13: Combinação de campos elétricos é a base do acelerador denominado cíclotron.
Movimento de um sistema de partículas:
Teorema de Larmor
Consideramos um sistema de partículas tal que elas tenham a mesma carga elétrica _____ e a
mesma carga _____. Se tal sistema esteve sob a ação de uma força central e interna, escrevemos

ri

Fi ( ri ) = Fi ( ri )
ri
 

r −r
 
Fij = i j Fij ri − rj
ri − rj
c
(
)
( 57 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
16
Se tal sistema estiver sob a ação de um corpo magnético externo, então a equação de movimento
da i-ésima partícula será


md 2 ri  c N  qdri 
=
+
+
×B
F
F
∑
i
i
dt 2
dt
j =1
( 58 )

Quando analisada a partir de um referencial não inercial e em rotação com velocidade ω, a
equação (000), levando em conta que
 
Fi ( ri ) e Fij ri − rj
(
)
( 59 )
são invariáveis sob rotações, escreve-se:



  
 ′  dri′

md 2 ri′  c′ N  ′
′
ω
ω
+
ω
×
×
+
F
F
m
r
q
r
B
qB
=
+
−
×
×
×
+ 2mω
(
)
∑
i
ij
i
i
2
dt
dt
j =1
(
)
(
)
( 60 )
Considerando-se um sistema tal que sua velocidade angular seja

 
qB
ω = ωL = −
2m
( 61 )
A frequência definida acima é conhecida como frequência angular de Larmor.
Nesse sistema, a equação do movimento é:

md 2 ri′  c′ N  ′
= Fi + ∑ Fij
dt 2
j =1
( 62 )
Para campos magnéticos pouco intensos, podemos desprezar o último termo da equação apresentada. Assim, para campos magnéticos fracos, a equação pode ser escrita como

md 2 ri′  c′ N  ′
= Fi + ∑ Fij
dt 2
j =1
( 63 )
Ou seja, na aproximação de campo magnético fraco, quando o sistema está sujeito a forças
externas centrais, o único efeito deste campo magnético é provocar um movimento de precessão
com velocidade angular igual à frequência de Larmor
Figura 14
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
17
Exemplo da precessão de Larmor
Como foi deduzido anteriormente, quando uma partícula se move em uma região limitada do
espaço sob ação de um campo central, a adição de um campo magnético fraco produz um movimento
de precessão (Teorema de Larmor). A seguir, daremos um exemplo explícito de tal fenômeno.
Consideremos o caso de um oscilador harmônico central em duas dimensões, sob a ação de um
campo magnético uniforme. Na ausência do campo magnético, escrevemos as equações sob a forma


mr = −kr
( 64 )
em que k é a constante elástica do material. Ou seja, em termos de componentes
mx = −mω02 x
my = −mω02 y
( 65 )
Cuja solução é:
x = x0 cos ( ωot + δ x )
y = y0 cos ( ωot + δ y )
( 66 )
em que
ωo =
k
m
( 67 )
No caso geral, trata-se do problema de superposição de movimentos harmônicos simples.
Em geral, a trajetória é uma figura de Lissajoux. Analisaremos apenas o caso em que a trajetória
seja uma linha reta, ou seja, as fases são tais que:
δx = δ y = 0
( 68 )
Figura 15
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
18
Na presença de um campo magnético, admitindo as partículas como sendo dotadas de cargas
elétricas, estas se movem de tal forma que as equações de movimento passam a ser:
mx = −mω02 x + eBy
( 69 )
my = −mω02 y − eBx
Portanto, a equação para x+ é:
mx+ = mω0 x+ − ieBx+
( 70 )
Procurando uma solução para (000) da forma
x+ = Aeiαt
( 71 )
Substituindo tal solução em (000), obtemos :
−mα 2 − eBα + mω02 = 0
( 72 )
Obtemos duas soluções para o parâmetro α, a saber:
eB
α=−
±
2m
( eB )
4m
2
2
+ ω02
( 73 )
Consideremos o caso no qual o campo magnético é fraco, ou seja, satisfaz a condição:
eB
 wo
2m
( 74 )
Nessas circunstâncias, podemos escrever
ωL =
α = ±ωo − ωL
eB
2m
( 75 )
em que
ωL =
eB
2m
( 76 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
19
é a frequência de Larmor. Temos, portanto duas soluções nesse caso: tomando a soma e a diferença
dessas soluções, encontramos:
(
(e
x1+ + x 2 + = AeiωLt eiω0t + e − iω0t
x1+ − x 2 + = AeiωLt
− iω0t
)
− e − iω0t
)
( 77 )
Inferimos que uma solução possível é a forma
x = − ( x0 cos ωot ) sen ( ωLt + δ L )
y = + ( y0 cos ωot ) cos ( ωL t + δ L )
( 78 )
No caso em que as amplitudes são iguais:
x0 = y0 = A
( 79 )


r ( t ) = ( A cos ω0t ) eϕ ( t )
( 80 )
O vetor posição pode ser escrito como:

Em que eϕ ( t ) é um versor na direção da tangente a uma circunferência, dado em função do
ângulo φ de acordo com a expressão:



eϕ = − senϕi + cos ϕj
( 81 )
A solução (000) indica, portanto, a existência de dois tipos de movimento. Um deles é descrito
como harmônico simples que, originalmente, se dava em uma direção bem definida. O outro é
denominado precessão, com velocidade angular ωL, a velocidade angular de Larmor. Ou seja, nesse
caso o ângulo φ varia com o tempo, de acordo com a expressão:
ϕ(t ) = ωLt + δ L
( 82 )
Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
20
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Eletromagnetismo » Movimento de Partículas dotadas de carga elétrica
Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Mônica Gama.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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