análise de fibras ópticas através do método dos elementos finitos

ANÁLISE DE FIBRAS ÓPTICAS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
C. A. Pereira¹, C. E. Rubio-Mercedes²
¹ Bolsista do PIBIC/UEMS, Curso de Matemática, Dourados-MS
² Professor do Curso de Matemática, UEMS/Dourados - MS
Resumo: Este artigo apresenta estudos realizados sobre elementos finitos bididimensionais
(FEM-2D) em coordenadas cilíndricas para a análise da propagação de ondas eletromagnéticas
em guias de onda com simetria cilíndrica. Quatro exemplos são apresentadas: O primeiro
exemplo é uma lente plasmônica de focamento composta por 40 anéis 0.5 µm de largura, o
segundo é uma lente de focamento composta por 40 porém com uma largura de 0.75 µm, o
terceiro exemplo mostra a simulação de uma lente de focamento com camadas mais espaçadas e
0.5µm de largura da lente e por fim o quarto exemplo mostra a simulação de uma lente
plasmônica de focamneto com 38 camadas de ar e metal.
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos. Lente de Focamento. Simulação Numérica.
Abstract: This article presents studies on bididimensionais finite element (FEM-2D) in
cylindrical coordinates for the analysis of propagation of electromagnetic waves in the wave
guide with cylindrical symmetry. Four examples are presented: The first example is a focusing
plasmonic lent composed of 40 layers, with size of 0.5 µm, the second is a focusing plasmonic
lent composed of 40 layers, but with size of 0.75 µm next a focusing plasmonic lent with larger
layers is considered and finally the fourth example is a focusing with 38 layers of air and metal.
Keywords: Finite Element Method. Lens of Focamento. Numerical Simulation.
1. INTRODUÇÃO
Os conceitos fundamentais do Método dos Elementos Finitos (FEM – Finite Element
Method) foram desenvolvidos durante mais de 150 anos, mas é em 1960 que Clough usa pela
primeira vez o termo “Elementos Finitos” [1].
Durante a 1ª metade dos anos 1960 os investigadores de Engenharia aplicaram este
método de solução aproximada a problemas de análise de tensões, escoamentos de fluidos,
Transferência de Calor e outras áreas [3].
O FEM oferece as seguintes vantagens:
- A análise do Comportamento de Objetos de forma e condições de fronteira complexas
constituídas com materiais distintos.
- Reduzir o número de ensaios necessários: o número de vezes que um projeto tem de ser
repetido, diminuindo assim o tempo necessário ao desenvolvimento do projeto.
-Dar mais tempo para avaliação da qualidade em termos de Engenharia do projeto, etc [2].
Atualmente tem sido de grande importância as pesquisas em dispositivos de
processamento de sinais ópticos pois elas tem grande aplicabilidade nas redes de
comunicações. As simulações numéricas possibilitam conhecer a priori o comportamento de
tais dispositivos fotônicos.
Neste Trabalho, para a análise de dispositivos fotônicos com simetria cilíndrica temos
utilizado o FEM em coordenadas cilíndricas, o qual é um método numérico aproximado para a
solução de problemas em meios contínuos, os quais são descritos por equações diferenciais, com
condições de contorno e condições iniciais, pela subdivisão do domínio em subdomínios [4].
Também usamos as camadas perfeitamente casadas (PML, Perfectly Matched Layers) para
truncar domínios bidimensionais usando diferenças finitas no domínio do tempo e o malhador
GID permite gerar malhas adaptativas com muita facilidade para o usuário para as simulações
[5].
2. METODOLOGIA
As implementações computacionais foram feitas usando a linguagem de programação
FORTARAN e MATLAB. Para a execução do projeto utilizamos um processador Pentium 4
com velocidade de processamento 3.2 Ghz e com memória RAM 1 GB.
Tem-se aplicado o FEM na equação de onda escalar bidimensional em coordenadas
cilíndricas. Esta metodologia permite transforma uma equação diferencial num sistema linear
de equações, o qual é resolvido usando a fatoração LU da linguagem para sistemas esparsos
[6].
Temos calculado a distribuição do campo eletromagnético nas diversas estruturas
simuladas, o qual nos permite ter uma visão mais clara do fenômeno envolvido antes de fazer
um projeto pratico de engenharia.
3. RESULTADOS
3.1 Lente Plasmônica de Focamento de Largura 0.5 µm
Primeiramente simulamos lentes plasmônica de focamento, as quais são formadas por uma
seqüência de anéis metálicos cercados por ar, com diferentes larguras e mesma profundidade. As
larguras variantes das aberturas de ar introduzem uma mudança de fase na onda de saída, para se
obter uma interferência construtiva numa distância focal desejada [6].
O metal considerado nas simulações é a prata, que se justifica pela sua facilidade de
fabricação.
As larguras das aberturas (W) de ar em função do raio da lente é mostrado na Fig. 1. Esta
lente de focamento apresenta 40 anéis, os quais são formados intercalando camadas de metal
entre espaços de ar, cujo metal tem índice de refração n = 0.13-2.9i. As as camadas de metal tem
largura constante de 24nm e para esta simulação o comprimento de onda utilizado foi λ = 0.500
µm [7].
Fig. 1. Largura das camadas de ar em função de sua posição r.
O comprimento total da grade é de 6.507 µm e a largura do lente (ou profundidade dos
aneis) é de d = 0.5 µm. A Fig. 2 mostra a geometria do lente de focamento. A malha gerada
possui 14.454 elementos quadráticos e 29.279 nós e o domínio computacional foi [-0.5: 6.0] µm
em Z e [0: 2.2] µm em r. A largura das PMLs consideradas foram de 0.2 µm no eixo r e 0.5 µm
no eixo Z.
6507 µm
ar
metal
2.0µm
d= 0.5 µm
PML
Fig. 2. Geometria da lente de focamento, obtido a partir de uma placa metálica de tamanho d = 0. 5 µm
com diferentes configurações de abertura de ar.
Para estruturas plasmônicas, apenas os campos magnéticos tem uma resposta significativa,
portanto só consideramos o campo magnético nas simulações.
A Fig. 3 mostra o campo magnético obtido para λ = 500 nm, e a Fig. 4 mostra a
distribuição do campo, para z = 1.85µm. Podemos observar na Fig. 4, a largura do focamento é
de 280 nm.
Fig. 3: Distribuição do campo magnético para comprimento de onda λ = 0. 500 µm
280 nm
Fig. 4: Distribuição transversal do campo magnético para o comprimento de onda λ = 0. 500 µm
no foco z = 1.85 µm..
Os gráficos da Fig. 5 e da Fig. 6 mostram resultados de uma simulação utilizando a
mesma estrutura, porém, com índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i, e comprimento de onda
λ = 0.650 µm.
Fig. 5: Distribuição do campo magnético para λ = 0. 650 µm
A Fig. 5 mostra o campo magnético para λ = 0.650µm a Fig. 6 mostra a distribuição
transversal do campo no foco z = 1.6216. A largura do focamento foi de 320 nm.
320 nm
Fig. 6: Distribuição do Campo com λ = 0. 650 µm em z = 1.6216.
Afim de analisarmos qual dos materiais apresenta melhor desempenho, fazemos uma
comparação entre os resultados obtidos com os dois índices.
A Fig. 7 mostra a comparação entre os dois índices de refração. A curva na cor rosa
representa o resultado obtido com o índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i com comprimento
de onda λ = 0.650 µm, e a curva na cor verde mostra o resultado obtido com o índice de refração
de n = 0.13 e -2.9i com comprimento de onda λ = 0.500 µm.
Fig. 7: Distribuição transversal do campo nos focos.
Observamos que o melhor resultado foi obtido com o índice de refração de n = 0.13 2.9i, pois seu foco é mais estreito comparado ao índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i.
Nas simulações quanto menos estreito é o foco melhor é do desempenho da lente, pois
desejamos um foco na ordem nanométrica para nesta tecnologia procura-se compactar os
dispositivos e assim obtermos os mesmos operando do domínio totalmente óptico.
3.2 Lente Plasmônica de Focamento de Largura d = 0.75 µm
A Fig. 8 mostra a geometria de uma lente de focamento com 40 anéis se alternando com
ar e metal, sendo a largura das camadas de ar variante e as de metal de 24nm e a estrutura total
possui 6.507 micrômetros. A diferença com respeito ao primeiro exemplo esta na largura da
lente (ou profundidade das camadas de metal) que possui de 0.75 µm.
O domínio considerado é [-0.5: 6.0] µm em z e [0.0: 2.0] µm em r, a PML foi 0.2 µm no
eixo r e 0.5 µm no eixo Z.
6.507 µm
ar
2.0 µm
metal
PML
0.75 µm
Fig. 8: Geometria da lente de focamento, obtido a partir de uma placa metálica de tamanho d =
0.75 µm, com diferentes configurações de abertura de ar.
A fig. 9 (a) apresenta a distribuição do campo magnético gerado a partir da geometria da
Fig. 8 com índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i e λ = 0.650 µm, o focamento se apresenta
em z = 1.62. A Fig. 9 (b) apresenta a distribuição do campo magnético gerado a partir da mesma
geometria, porém com índice de refração de n = 0.13 - 2.9i e λ = 0.500 µm, o focamento se
apresenta em z = 1.87.
(a)
(b)
Fig. 9: Distribuição do campo magnético para (a) n = 0.0858 - 4.167i e λ = 0.650 µm e (b) n =
0.13 - 2.9i e λ = 0.500 µm
A Fig. 10 mostra a distribuição transversal do campo magnético, a curva na cor verde
representa o resultado obtido com índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i para λ = 0.650 µm e
a curva na cor rosa representa o resultado obtido com índice de refração de n = 0.13 - 2.9i para λ
= 0.500 µm. A largura do foco com índice de refração de n = 0.13 - 2.9i possui 280 nm e a
largura do foco com índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i possui 320 nm, portanto o índice
de refração de n = 0.13 - 2.9i apresentou melhor desempenho pelo fato de seu foco ser mais
estreito.
Fig. 10: Distribuição transversal do campo magnético para comprimento de onda, cor verde com
n = 0.0858 - 4.167i e λ = 0.650 µm e cor rosa com n = 0.13 - 2.9i e λ = 0.500 µm
3.3 Lente de Focamento com Fendas Maiores
A Fig. 11 mostra a geometria de uma lente de focamento com 37 camadas de forma
alternada entre camadas de ar e metal, sendo as larguras das camadas de ar e metal variantes. A
estrutura total possui 6.3 µm no eixo z. Comparado com os exemplos anteriores, a diferença de
esta lente esta na largura das fendas, pois esta estrutura possui fendas de metal mais largas. Esta
lente foi projeta seguindo [6]
Camada de ar
Camadas de metal
PML
d= 0.5 µm
Fig. 11 : Geometria do lente de focamento, obtido a partir de uma placa metálica de tamanho d =
0.5 µm, com diferentes configurações de abertura de ar.
A malha gerada a partir da geometria da Fig. 11 possui 13.462 elementos quadráticos e
27.295 nós, onde o domínio considerado é [-0.5; 6.0]µm em Z e [0.0 ; 2.2] µm em r e a PML foi
de 0.2 µm no eixo r e 0.5 µm no eixo Z.
A Fig. 12 mostra o campo magnético gerado a partir da geometria da Fig. 11, utilizando
índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i e comprimento de onda de λ = 0.650 µm.
Fig. 12: Distribuição do campo magnético para n = 0.0858 - 4.167i e λ = 0.650 µm.
A Fig. 13 mostra a distribuição transversal do campo magnético em z = 1.97µm. Para n =
0.0858 – 4.167i e λ = 0.650 µm.
270 nm
Fig. 13: Distribuição transversal do campo magnético para o comprimento de onda λ = 0. 650
µm.
O gráfico da Fig.14 mostra resultados utilizando a estrutura da Fig. 11, porém com índice
de refração de n = 0.13 - 2.9 i e comprimento de onda de λ = 0.500 µm.
265 nm
Fig. 14: Distribuição transversal do Campo magnético para o comprimento de onda λ = 0. 500
µm.
A Fig. 15 mostra a distribuição transversal do campo, a curva na cor verde representa o
resultado obtido com índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i e comprimento de onda de λ =
0.650 µm e a curva na cor rosa representa o resultado obtido com índice de refração de n = 0.13 2.9i e comprimento de onda de λ = 0.500 µm.
Fig. 15: Distribuição transversal do Campo magnético.
Apesar dos dois resultados obtidos serem bastante semelhantes o índice de refração de n
= 0.13 - 2.9i apresenta um melhor desempenho que o índice de refração de n = 0.0858 - 4.167i,
pois seu focamento é mais estreito, porém a diferença é muito pequena, pois o foco do índice de
refração de n = 0.13 - 2.9i tem 265nm de largura e o foco do índice de refração de n = 0.0858 4.167i tem 270 nm de largura.
3.4 Lente de Focamento do Prof. Vitaly
O quarto exemplo simulado é uma lente plasmônica de focamento com 38 camadas se
alternando com ar e metal, sendo a largura das camadas de metal constante de 24nm e a largura
das camadas de ar variantes, e a estrutura total possui 6.5 µm no eixo z, os dados desta malha
foram cedidos pelo Prof. Vitaly Rodriguez Esquerre, veja Fig. 16 [6].
Anel de metal
PML
Anel de ar
.
d = 0.5 µm
Fig. 16: Geometria da lente de focamento, obtido a partir de uma placa metálica de tamanho d= 0.
5 µm, com diferentes configurações de abertura de ar.
A malha desta estrutura possui 21.335 elementos quadráticos e 43.122 nós. O domínio
considerado é [-0.5: 6.0] µm em Z e [0: 2.2] µm em r. A PML considerada foi de 0.2 µm no eixo
r e 0.5 µm no eixo z.
A Fig. 17 mostra o campo magnético gerado a partir da geometria da Fig. 16, utilizando
índice de refração de n = 0.23 - 2.17i e comprimento de onda de λ = 0.405nm.
Fig. 17: Distribuição do campo magnético n = 0.23 - 2.17i e λ = 0.405 nm.
A Fig. 18 mostra a distribuição transversal do campo magnético com comprimento de
onda de λ = 0.405 nm, para n = 0.23 – 2.17i.
200 nm
Fig. 18: Distribuição transversal do Campo magnético para o comprimento de onda λ = 0. 405µm.
Obtiveram-se resultados satisfatórios com esta lente de focamento, pois conseguiu-se um
focamento de 200 nm e a região fora do focamento possui amplitudes baixas, praticamente nulas
como é desejável.
4. DISCUSSÃO
Desenvolver este trabalho importante para obter experiência como pesquisadora e tem
ajudado na formação como profissional. Algumas dificuldades foram encontradas ao longo dos
trabalhos, sendo uma das mais agravante a falta de literatura em português, porém mesmos com
problemas como este obtivemos um bom trabalho.
Obtivemos resultados satisfatórios e em estrita concordância com literatura estudada, para
tais resultados usamos um processador Pentium 4 com velocidade de processamento 3.2 Ghz e
com memória RAM 1 GB, as implementações computacionais foram feitas usando a linguagem
de programação FORTARAN e MATLAB o que foi de grande importância pois me ajudou a me
familiarizar com tais programas. O programa que utilizei para fazer as simulações foi criado pelo
meu orientador.
Tem se conseguido resultados com focos da ordem nanométrica com os quais tem se
submetido um trabalho para congresso internacional [6], o qual demonstra a confiabilidade da
metodologia utilizada.
5. AGRADECIMENTOS
Agradecemos ao Programa PIBIC/UEMS pela bolsa cedida, sem a qual não teria sido
possível o desenvolvimento do projeto de Iniciação Cientifica.
Agradecemos também ao o suporte financeiro do CNPq (processo número 471658/20073) e FUNDECT (Processo 23/200.317/2008).
6. Referências
[1]M. C. Cunha, Introdução à Simulação de Fluxos em Meios Porosos: Método dos
Elementos Finitos, Projeto de aula, Campinas, Brasil, maio1999.
[2]V. F. R. Esquerre, Modelagem de Estruturas Fotônicas por Elementos Finitos 2D no Domínio
do Tempo,Tese de Doutorado, Campinas,Brasil, abril 2003.
[3]L. A. Preira, Aspectos Fundamentais do Método dos Elementos Finitos, RS.
[4]C. Lima, Introdução Ás Fibras Ópticas. Artigo, 07 de Fevereiro de 2002.
[5]C. E. R. Mercedes, Solução pelo Método das Diferenças Finitas de Problemas de Fotônica e
Mecânica. Relatório Final de Projeto, Maio 2006.
[6] C. E. Rubio-Mercedes, C. A. Pereira, V. F. Rodríguez-Esquerre, D. F. Rêgo, H. E. HernándezFigueroa , Analysis and Design of Subwavelength Focusing by Cylindrical Lenses. Brasil, 2009.
[7] T. Xu, C. Du, C. Wang, X. Luo, Subwavelength imaging by metallic slab lens with nanoslits.
APPLIED PHYSICS LETTERS,V. 91, p.201501.