EEL-852 Controle Multivariável Notas de Aula

EEL-852 Controle Multivariável
2.2.1
Notas de Aula
Cálculo do m.d.c. à direita de matrizes polinomiais
Teorema 2.1: Sejam N(s) ∈ IRp×m [s] e D(s) ∈ IRm×m [s] e assuma que det[D(s)] 6≡ 0. Seja U(s)
uma matriz unimodular tal que
U(s)
"
D(s)
N(s)
#


R(s)
=  −− − ,
0
Então R(s) é um m.d.c. à direita de N(s) e D(s)
D(s) ∈ IRm×m [s]
(não singular)
Prova:
(i) R(s) é um divisor comum à direita de N(s) e D(s)
Como U(s) é unimodular, então V (s) = U −1 (s) é uma matriz polinomial
"
D(s) = V11 (s)R(s)
N(s) = V21 (s)R(s)
D(s)
N(s)
#
= V (s)
"
R(s)
0
#
=
"
V11 (s) V12 (s)
V21 (s) V22 (s)
#"
R(s)
0
#
, onde V11 (s) e V21 (s) são matrizes polinomiais.
(ii) Seja, agora, R̄(s) um novo divisor comum de N(s) e D(s).
Portanto,
N(s) = N̄ (s)R̄(s) e D(s) = D̄(s)R̄(s), N̄ (s) e D̄(s) são matrizes polinomiais
Note que
"
U11 (s) U12 (s)
U21 (s) U22 (s)
#"
D(s)
N(s)
#
=
"
R(s)
0
#
U11 (s)D(s) + U12 (s)N(s) = R(s)
U11 (s)D̄(s)R̄(s) + U12 (s)N̄(s)R̄(s) = R(s)
R(s) = U11 (s)D̄(s) + U12 (s)N̄(s) R̄(s)
|
{z
}
matriz polinomial
⇒ R̄(s) é um divisor de R(s)
Prof. Eduardo Nunes
[15:04]
8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável
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Obs. 1: Máximos divisores comuns de matrizes polinomiais não são únicos
Proposição 2.1: Seja R1 (s) um m.d.c. à direita de N(s) e D(s) e U(s) uma matriz unimodular
qualquer. Então a matriz polinomial R2 (s) = U(s)R1 (s) também é um m.d.c. à direita de N(s)
e D(s).
Prova:
N(s) = N̄1 (s)R1 (s) = N̄1 (s)V (s) R2 (s)
| {z }
N̄2 (s)
(N̄2 (s) é uma matriz polinomial.)
D(s) = D̄1 (s)R1 (s) = D̄1 (s)V (s) R2 (s)
| {z }
D̄2 (s)
(D̄2 (s) é uma matriz polinomial.)
Logo, R2 (s) também é um divisor comum à direita de N(s) e D(s). Seja agora Q(s) um
divisor comum à direita qualquer de N(s) e D(s). Como R1 (s) é um m.d.c. à direita, então
Q(s) divide R1 (s)
R1 (s) = R̄1 (s)Q(s) para alguma matriz polinomial R̄1 (s) qualquer
R2 (s) = U(s)R1 (s) = U(s)R̄1 (s) Q(s) = R̄2 (s)Q(s)
| {z }
R̄2 (s)
Logo, Q(s) também será um divisor de R2 (s) e portanto, R2 (s) também será um m.d.c. à
direita de N(s) e D(s).
Obs. 2: A matriz unimodular U(s) do Teorema 2.1 é formada pelo produto de matrizes elementares
Matrizes elementares (3 × 3) - pré-multiplicação
(1) Troca de posição entre duas linhas

0 1 0




E=
1 0 0
(trocar linhas 1 e 2)
0 0 1
|E| = −1
(2) Multiplicção de uma linha por uma constante real c 6= 0

1 0 0




0
c
0
E=


(multiplicar a linha 2 por c ∈ IR∗ )
0 0 1
|E| = c ∈ IR∗
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8 de Outubro de 2014
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(3) Substituir uma linha pela soma desta linha com outra linha multiplicada por um polinômio
p(s)


0

(nova linha 3 é igual a soma da linha 3




0
1
p(s)
E=


(nova linha 2 é igual a soma da linha 2

1
0

E=
0
0
1
com a linha 2 multiplicada por p(s))
0 p(s) 1

1 0
0
0 0
com a linha 3 multiplicada por p(s))
1
|E| = 1
D(s) =


s+1 s+2
0 0 1
{z
}|
{z
}
E1 (s)
M(s)
|
0 1 0
s+1 s+2

s+2 s+1


 1 0 0 


|

e
Exemplo: N(s) =

1
s+2 s+1
1
1
s
s
#

 

 s+2 s+1  →
s 
=
 

1
0 0
"

1
s
s+1 s+2
{z
}
M1 (s)


1

s



 
 −(s+2) 1 0   s+2 s+1  =  0 −s2 −s+1  →



 
−(s+1) 0 1
s+1 s+2
|
{z
}|
{z
}
E2 (s)
M1 (s)

1

0

0
1
0

1
1 0 0

1


 0 1 s  0


|
0
0 0 1
{z
}|
E4 (s)
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

}
|
1
s

}

 

 0 −s2 −s+1  =  0 −s2 −s+1  →
0

 

0 −1 1
0
|
{z
}|
E3 (s)

s
|
−s2 +2
{z
M2 (s)
0
−s2 +2
{z
M2 (s)
s


0
1
 

−s2 −s+1 
= 0
s+1
{z
M3 (s)
}
|
0
s+1
{z
M3 (s)
s

}

1 
→
s+1
{z
}
M4 (s)
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8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável



0 −(s + 1) 1
0 s+1
{z
}|
{z
}
E5 (s)
M4 (s)
|
1
0

0

|
U(s)
"
0
D(s)
N(s)
1
s


0
 0
1
#



R(s)
=  − −− ,
0
1
s
Notas de Aula

 

1 
= 0

1

⇒
"
0 0
{z }
M5 (s)
R(s) =
1 s
0 1
#

0

U(s) = E5 (s)E4 (s)E3 (s)E2 (s)E1 (s) ⇒ U(s) = 
 −s+1
1
0
−2
s
s2 −2 2s+3 −s2 −s+1


V (s) = U −1 (s) ⇒ V (s) = 

Note que:
"
D(s) =
N(s) =
s+2 s+1
1
s
#
=
s+1 s+2 =
"
s+2 −s2 −s+1
1
0
0
s+1
−s2 +2
−s+1
s+2 −s2 −s+1
1

−s
0
s+1 −s2 +2
#"
1 s
0 1
"
#
1 s
0 1
#







= V11 (s)R(s)
= V21 (s)R(s)
Obs. 3: Qualquer par de m.d.c. à direita deve ser relacionado por
R1 (s) = W2 (s)R2 (s) e R2 (s) = W1 (s)R1 (s)
onde W1 (s) e W2 (s) são matrizes polinomiais
Como podemos escrever
R1 (s) = W2 (s)W1 (s)R1 (s)
segue que:
1. Se R1 (s) é não-singular, então W1 (s) e W2 (s) devem ser unimodulares, e conseqüentemente
R2 (s) também é não singular.
2. Se um m.d.c. à direita é unimodular, então todos os m.d.c.s à direita tem que ser unimodulares.
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8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável
2.3
Notas de Aula
DFMs irredutı́veis
Definição: Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo número de colunas são coprimas
à direita se seus m.d.c.s são unimodulares.
Lema 2.1 (Identidade de Bezout): Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo
número de colunas são coprimas à direita se e somente se existirem duas matrizes polinomiais
X(s) e Y (s) tais que
X(s)D(s) + Y (s)N(s) = I
Prova:
(⇒) p → q
Se N(s) e D(s) são coprimas à direita, então de acordo com o Teorema 2.1 existem matrizes
polinomiais U11 (s) e U12 (s) tais que
U11 (s)D(s) + U12 (s)N(s) = R(s)
sendo que R(s) é uma matriz unimodular
⇒ R−1 (s)U11 (s) D(s) + R−1 (s)U12 (s) N(s) = I
|
{z
}
{z
}
|
X(s)
Y (s)
(X(s) e Y (s) são matrizes polinomiais.)
(⇐) q → p
Suponha que existem X(s) e Y (s) polinomiais tais que
X(s)D(s) + Y (s)N(s) = I
Seja R(s) um m.d.c. à direita de N(s) e D(s), então:
N(s) = N̄ (s)R(s) e D(s) = D̄(s)R(s)
X(s)D̄(s)R(s) + Y (s)N̄(s)R(s) = I
X(s)D̄(s) + Y (s)N̄ (s) R(s) = I
⇒ R−1 (s) = X(s)D̄(s) + Y (s)N̄(s) é uma matriz polinomial e, portanto, R(s) é unimodular.
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8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável
Notas de Aula
Definição: G(s) = N(s)D −1 (s) é uma DFM irredutı́vel se N(s) e D(s) forem coprimas à direita.
Lema 2.2 Seja G(s) = N(s)D −1 (s) uma DFM à direita e seja R(s) um m.d.c. à direita de N(s) e
D(s). Se as matrizes polinomiais N̄ (s) e D̄(s) são tais que N(s) = N̄(s)R(s) e D(s) = D̄(s)R(s),
então G(s) = N̄ (s)D̄ −1(s) é uma DFM irredutı́vel de G(s).
Prova:
(i) G(s) = N̄ (s)D̄ −1 (s)
−1
G(s) = N(s)D −1 (s) = N̄ (s)R(s) D̄(s)R(s)
= N̄(s)R(s)R−1 (s)D̄ −1 (s)
⇒ G(s) = N̄ (s)D̄ −1 (s)
(ii) N̄ (s) e D̄(s) são coprimas à direita
De acordo com o Teorema 2.1, tem-se
"
U11 (s) U12 (s)
U21 (s) U22 (s)
#"
D(s)
N(s)
#
=
"
R(s)
0
#
U11 (s)D(s) + U12 (s)N(s) = R(s)
U11 (s)D̄(s)R(s) + U12 (s)N̄(s)R(s) = R(s)
U11 (s)D̄(s) + U12 (s)N̄(s) = I
Portanto, de acordo com o Lema 2.1, as matrizes N̄ (s) e D̄(s) são coprimas à direita.
Definição: Uma matriz G(s) ∈ IRp×m (s) é chamada de
lim G(s) não existe
(i) imprópria: quando s→∞
lim G(s) = K 6= 0
(ii) própria: quando s→∞
lim G(s) = 0
(ii) estritamente própria: quando s→∞
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[15:04]
8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável
Exemplo: G(s) =
lim G(s) =
s→∞
1
s+1
0
1
s+2
s+1
Notas de Aula
⇒ G(s) é uma matriz de transferência própria
G(s) = Gsp (s) + D =
+ 0 1
| {z }
|
{z
}
D
C(sI − A)−1 B
1
s+1
1
s+1
Problema: Obter uma DFM irredutı́vel para Gsp (s) =
Gsp (s) = N(s)D −1 (s) =
"
0
s+1
1 1
| {z }
N(s) |
0
s+1
{z
D(s)
1
s+1
1
s+1
#−1
}
N(s) e D(s) são coprimas à direita?

0 0 1



 0 1 0 



1 0 0

1
⇒
R(s) =
"

1
s+1
−(s+1)
0
1
→
1
1


 0 1 0  0


0 1 1

s+1 

0
1 0 0

0
s+1
1
0 s+1
#



→





1
0 0


1 0

0
−(s+1) 0 1
1

1

1
0
s+1
1


s+1 

→
0


 0 s+1 


0
0
⇒ |R(s)| = s + 1
⇒ R(s) não é unimodular ⇒ N(s) e D(s) não são coprimas à direita.
N(s) = N̄ (s)R(s)
1
R−1 (s) =
s+1
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"
∴
s+1
0
N̄ (s) = N(s)R−1 (s).
−1
1
#
[15:04]
8 de Outubro de 2014
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1 1 1
N̄(s) =
s+1
D(s) = D̄(s)R(s)
1
D̄(s) =
s+1
D̄(s) =
"
"
s+1
0
"
∴
s + 1 −1
0
0
0
s+1
1
#
=
1 0
D̄(s) = D(s)R−1(s).
s+1
−1
1
#
Notas de Aula
⇒
#"
s+1
0
−1
1

#
1
−1

D̄ (s) s + 1
0

1
s+1 
1
Note que N̄ (s)D̄ −1(s) = Gsp (s)
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[15:04]
8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável
2.4
2.4.1
Notas de Aula
Matrizes Polinomiais e Racionais
Forma de Smith
Para N(s) ∈ IRp×m [s] existem matrizes unimodulares U(s) ∈ IRp×p [s] e V (s) ∈ IRm×m [s] tais que
U(s)N(s)V (s) = Σ(s)
onde

i)
 σ (s)
1



σ2 (s)




Σ(s) = 



 −−− −−−




|
|
|
..
|
.
−−−
0
σr (s)
−−−
0
r×(m−r)
|
−−−
−−−
|
(p−r)×r
0
(p−r)×(m−r)
|
















ii) σi (s), i = 1, . . . , r são polinômios mônicos e σi (s)|σi+1 (s)
(σi (s) divide σi+1 (s), i.e. σi+1 (s) = p(s)σi (s))
A Matriz Σ(s) é chamada de forma de Smith de N(s)
Observações:
(i) Seja ∆i (s) o m.d.c. mônico de todos os menores de ordem i da matriz N(s). Pode-se mostrar
que
σi (s) =
∆i (s)
∆i−1 (s)
onde ∆0 (s) = 1, por definição. Os menores de ordem i da matriz N(s) são os determinantes
de todas as submatrizes quadradas i × i de N(s)
(ii) Os polinômios σi (s) são chamados de polinômios invariantes da matriz N(s).
(iii) r é denominado de posto normal de N(s)
(iv) Como U(s) e V (s) são unimodulares, então ρ[N(s)] = ρ[Σ(s)], ∀s. Portanto, N(s) perde
posto para todos os valores de s = z tais que σi (z) = 0.
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[15:04]
8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável
Exemplo:

s+2
s+2
 2
N(s) = 
 s +3s+2
s+1
Cálculo de Σ(s)
s2 −1
s2 +3s+2
Notas de Aula




1)
∆0 (s) = 1
∆1 (s) = 1 (menores de ordem 1 são os próprios elementos de N(s))
Menores de ordem 2:
s+2
s+2
(s−1)(s+1)(s+2) − (s+1)(s+2)2
m12 (s) = =
(s+1)(s+2) (s−1)(s+1) (s+1)(s+2)[6 s − 1− 6 s − 2] = −3(s+1)(s+2)
s+2
s+2
(s+1)(s+2)2 − (s+1)(s+2)
m13 (s) = =
(s+1) (s+1)(s+2) (s+1)(s+2)[s + 2 − 1] = (s+1)2(s+2)
(s+1)(s+2) (s−1)(s+1) (s+1)2(s+2)2 − (s+1)2(s−1)
m23 (s) = =
(s+1)2[s2 +4s+4 − s+1] = (s+1)2(s2 +3s+5)
(s+1)
(s+1)(s+2) ∆2 (s) = s + 1
Portanto:
σ1 (s) =
∆1 (s)
=1
∆0 (s)
⇒
σ2 (s) =
∆2 (s)
=s+1
∆1 (s)
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
1
0




0
s+1
Σ(s) = 


0
0
[15:04]
8 de Outubro de 2014
EEL-852 Controle Multivariável
2)

1
0 0

s+2
Notas de Aula


s+2
0 0 −1




 −(s+1) 1 0   (s+1)(s+2) (s−1)(s+1)  →  0 1




−1
0 1
{z
}
U1 (s)
|




|

1
0
0 0



1 0

−(s+2) 0 1
{z
}
U3 (s)
1
(s+1)(s+2)
s+1
0
−s(s+2)
1
0
s+2
0



1
0
−3(s+1)
(s+1)2(s+2)



U(s) = U4 (s)U3 (s)U2 (s)U1 (s) ⇒ U(s) = 


V (s) = V1 (s) =
1 s(s+2)
0
1

1 1
1 0 0
{z
}
U2 (s)

−3(s+1)
0 (s+1)2(s+2)
s+2



0 

−s(s+2)
1


 0
−3(s+1) 
→






1
0
 0
0
−


3


1
0
0 − (s+1)(s+2) 1
3
{z
}
|
U4 (s)
"
|




⇒





"
|
1

Σ(s) = 
 0
0
1
s+2
0
−1
1 s(s+2)
0
1
{z
V1 (s)
0
s+2

−3(s+1) 
→
s(s+2)
#
→
}


s+1 

0
0
1
(s+1)
3
1
− (s+1)(s2 +3s+5)
3
#

−1



0 


1
(s+1)(s+2) s+2
3
1
−
3



 ⇒ ρ[N(−1)] = 1
0
0
Note que N(−1) = 


0 0
2.4.2
Forma de Smith-McMillan
Seja G(s) ∈ IRp×m (s) escrita como G(s) =
1
N(s), sendo d(s) o mı́nimo múltiplo comum
d(s)
(m.m.c.) mônico dos denominadores de G(s) e N(s) ∈ IRp×m [s]. Então, existem matrizes
unimodulares U(s) e V (s) tais que U(s)N(s)V (s) = Σ(s) onde Σ(s) é a forma de Smith
de N(s).
Prof. Eduardo Nunes
[15:04]
8 de Outubro de 2014