Elementos Acústicos Concentrados

Elementos Acústicos Concentrados
Elementos Acústicos Concentrados
Quando as dimensões lineares dos elementos de um sistema acústico são muito menores que o comprimento
de onda das freqüências de trabalho , poderemos simplificar nossa análise e considerar o sistema como
composto por elementos concentrados , os quais representarão as propriedades de armazenamento de
energia cinética (inércia), potencial (elasticidade) e dissipação de potência (resistência) dos elementos reais
do sistema. Nossas variáveis entre e através serão a pressão acústica p(t), em unidades de N/m 2 , e a
velocidade volumétrica U(t), em unidades de m 3 /s
Os elementos são os seguintes [1][3]:
1.
Massa Acústica - Representa um volume de ar que pode ser acelerado sem compressão apreciável ,
como o ar no interior de um tubo de paredes lisas, raio a e comprimento
L. A unidade da massa
acústica é o kg/ m 4 . A massa acústica armazena a energia da variável
através , logo seu símbolo será o
do indutor elétrico. A massa desse volume de ar deverá obedecer à segunda lei de Newton da
seguinte forma:
Na prática, teremos sempre que considerar o ar que é deslocado nas extremidades do tubo, que atuam como
L , de
pistões irradiando som, o que exigirá correções a serem adicionadas ao comprimento real do tubo
L’ a ser usado na fórmula acima. A impedância calculada com o
forma a obtermos um comprimento efetivo
L < λ/16 ( para um erro < 5% ).
auxílio da fórmula acima terá validade para
2.
Compliância Acústica - Representa um volume de ar que é comprimido sem deslocamento
apreciável, como o volume de ar V B contido em uma caixa acústica. A unidade da
compliância
5
acústica é o m /N. A compliância acústica armazena a energia da variável acústica "através"
(pressão), logo seu símbolo será o do capacitor elétrico. Podemos mostrar que a
compliância acústica
de um volume V será dada pela fórmula abaixo ( válida desde que a maior dimensão do volume seja
menor que λ/16 [1]):
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e a relação entre p(t) e U(t) será:
3.
Resistência Acústica - representa a dissipação de energia do sistema , seja por atrito viscoso, como
em uma malha ou tela que se interponha no caminho do som, ou pela saída de energia do sistema por
5 . A relação entre p(t) e U(t) será:
radiação ou perdas por vazamento, sua unidade será o N.s/m
Correções e Limitações dos Modelos
1.
Massa Acústica - o ar próximo às extremidades do duto ou tubo que forneça a massa acústica do
sistema deve ser acelerado e acarreta um aumento do comprimento efetivo a ser considerado quando
do cálculo da magnitude da massa acústica . O fator de correção dependerá das condições de
fronteira, ou seja, se o tubo se projeta ou não para fora da parede onde é colocado. Caso o tubo tenha
uma extremidade engastada em uma parede ( "infinita" ), deveremos adicionar ao comprimento real
um fator igual a 0,85a , onde a é o raio em metros do tubo. Caso o tubo tenha uma extremidade livre,
o fator de correção será de 0,61a.
Assim, um furo circular de raio
de:
a em uma parede de espessura
d ( d< λ/16 ) fornecerá uma massa acústica
(116)
Um tubo de raio a e comprimento L, engastado em uma parede e com a outra extremidade livre (
fornecerá uma massa acústica de:
L< λ/16 )
(117)
As fórmulas acima são válidas para valores do raio
a entre 10/ f > a > 0,05/ √f ( a em m , f em Hz ).
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L
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(118)
2.
λ/16 e λ/8, devemos
Compliância Acústica - para volumes cuja maior dimensão esteja entre
considerar uma correção de impedância equivalente a uma massa acústica em série com a
compliância
obtida anteriormente. O valor da massa acústica será proporcional à razão entre a área aberta do
volume e sua profundidade l
A/3
, onde M A é o valor da massa acústica para o mesmo cilindro com as extremidades abertas, calculado
anteriormente.
3.
Resistência Acústica
outros elementos através da medição de seu efeito sobre o fator de qualidade dos elementos
ressonantes do sistema acústico ( massas e
compliâncias ). Existem derivações e valores para
algumas configurações, como tubos extremamente finos e frestas estreitas, na literatura [1].
4.
Transformador Acústico - um conector cuja área varie de forma exponencial ( S(x) = S
x < L , S(0) = S 0 , S(L) = S L
espiras seja igual a S L/S 0 , se L >> λ [1].
mx , 0 <
0. e
Elementos Mecânicos de Translação Concentrados
Também aqui, se as dimensões dos elementos forem bem menores que o comprimento de onda das vibrações,
levando em conta a velocidade de propagação do som em cada corpo, poderemos considerar nossos
elementos mecânicos de translação como concentrados. São os seguintes:
1.
Massa Mecânica M m
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1.
Compliância Mecânica C m (m/N) - inverso da rigidez (k, N/m) - representa os elementos elásticos
do sistema, que obedeçam à lei de Hooke : f = k.(x 1 - x 2 ) , onde k é a rigidez do elemento, ou
f = (x 1 - x 2 ) /C m , onde C m é a compliância mecânica do elemento e x 1 e x 2 são as coordenadas de
posição dos extremos do elemento compliante ou elástico, em relação a um referencial inercial;
Rm v
Rm
1.
Resistência Mecânica
1.
Transformador mecânico
para pequenos deslocamentos [1].
Transdução
Em um alto-falante, a energia elétrica transforma-se em movimento, o qual é transmitido ao meio
circundante, onde se propagará sob a forma de uma onda mecânica progressiva. O elemento capaz de realizar
estas transformações é chamado de transdutor .
Poderemos considerar o transdutor eletro-mecano-acústico como a junção de duas redes de dois acessos
(two-ports ou quadripolos ), uma das quais recebe tensão e corrente em um par de terminais e entrega força
e velocidade aos terminais de entrada da outra, a qual, por sua vez, entregará pressão e velocidade
volumétrica a uma carga acústica ligada à sua saída [2].
Fisicamente, o alto-falante ou transdutor
eletrodinâmico é composto pelas seguintes partes principais:
o cone : é o responsável pela radiação do som e por uma boa parte da massa mecânica do sistema.
Pode ser feito de papel, plástico ou mesmo metal;
a suspensão : sustenta e centraliza o cone, fornecendo a maior parte da elasticidade do sistema;
a aranha : sustenta o conjunto cone + bobina móvel e centraliza-o no entreferro, fornecendo parte da
elasticidade do sistema;
a bobina móvel ;
o conjunto magnético , composto pelo ímã e pelas peças polares.
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Ao aplicarmos uma voltagem eg (t) aos terminais da bobina móvel do alto-falante, provocaremos a circulação
de uma corrente i(t), a qual irá interagir com o campo magnético
B presente no entreferro do conjunto
magnético onde está montada a bobina móvel, gerando uma força cuja magnitude será dada pelo produto
B.l.i, onde B é a densidade de fluxo, l é o comprimento do fio da bobina em metros, e i a intensidade da
corrente elétrica. Esta força irá acelerar o conjunto formado pela bobina móvel, sua forma e o cone,
imprimindo uma velocidade v(t) ao mesmo. Como conseqüência, será induzida uma força contra-eletromotriz
de magnitude igual a B.l.v, em oposição à circulação de corrente pela bobina.
Vamos agora tentar obter um modelo para este processo, para que possamos obter as funções de
transferência necessárias ao projeto de um sistema de
transdução eletroacústica, de uma forma sistemática.
Sejam as seguintes variáveis:
Eg = tensão do gerador (V)
RE = resistência do fio da bobina móvel (Ohms)
Le = indutância da bobina móvel (
Henries )
B = densidade de fluxo do campo magnético (Teslas)
l = comprimento do fio da bobina dentro do campo magnético (m)
Para o transdutor eletrodinâmico, poderemos estabelecer as seguintes relações entre as grandezas elétricas e
mecânicas (usando a Transformada de
Laplace ):
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ou
ou ainda
onde:
F(s) é a Transformada de Laplace da força aplicada ao conjunto mecano-acústico ;
V(s) é a Transformada de Laplace da velocidade do conjunto mecano-acústico , resultante da aplicação
da força F(s);
Eg (s) é a Transformada de Laplace da tensão do gerador;
I(s) é a Transformada de Laplace da corrente que circula pela bobina, interagindo com o campo
magnético do ímã;
Do lado mecano-acústico , poderemos escrever:
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ou
onde F A(s) é a força efetivamente transmitida ao ar, faltando apenas montar as equações que ligam F(s) a
F A(s). Igualando a força aplicada ao somatório das forças que agem sobre a massa das partes móveis do
sistema, teremos:
f(t) = força gerada pela interação entre a corrente i(t) e o campo magnético no entreferro;
f m(t) = força gasta em acelerar a massa do sistema;
f e(t) = força de reação dos elementos elásticos do sistema (
compliâncias );
f R (t) = força dissipada para vencer o atrito dinâmico do sistema ( resistência de perdas );
f a(t) = força transmitida ao ar sob forma de onda sonora
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Podemos observar também que:
Aplicando a Transformada de
Laplace :
ou
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Analogias eletro-mecânicas : Força x Corrente e Força x Tensão
Observando as equações acima, poderemos observar duas coisas:
1.
2.
3.
4.
;
a impedância acústica apresentada ao falante aparece como uma
condutância mecânica, do lado
mecânico;
Podemos analisar o processo de transdução como um produto de duas matrizes de transmissão
uma de elementos armazenadores e dissipadores de energia
e outra de um elemento de
transformação .
O processo de transdução eletro-mecano-acústica implica em uma inversão de impedâncias em
uma de suas etapas, sendo definida a etapa inversora pela escolha de variáveis do modelo
análogo eletromecânico .
Sejam:
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,
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Poderíamos representar nosso sistema como a interligação de
quadripolos a seguir:
a)
b)
Se considerarmos as matrizes M1, M2, M3 e M4 como
matrizes de transmissão ( ABCD ), poderemos
identificar as matrizes M2 e M4 como de um
transformador ideal e de um girador ideal , respectivamente.
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A matriz M1, como matriz de transmissão é singular, ( C = 0 ), mas pode ser identificada como a matriz
admitância de uma rede composta pela associação em
série de RE e Le.
A matriz M3, como matriz de transmissão também é singular, ( B = 0 ), mas pode ser identificada como a
matriz impedância de uma rede composta pela associação em
paralelo das admitâncias Mms , Cms e Gms =
1/Rms.
O que nos levaria ao circuito
eletro-mecano-acústico abaixo:
Por outro lado, se escolhêssemos a força como variável através e a velocidade como
variável entre em nosso sistema mecânico , as posições do girador e do transformador
ideal se intercambiariam e os elementos ligados em paralelo apareceriam em série no
lado mecânico do sistema.
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Esta é a analogia tradicionalmente usada na análise dos sistemas eletroacústicos. Aqui não deveremos
esquecer que o alto-falante comporta-se como um dipolo acústico ao irradiar por ambos os lados do cone,
em contrafase . Assim, a impedância ZA indicada acima refere-se à carga apresentada a ambos os lados do
cone, e nosso "transformador de saída" deveria ter o secundário dividido.
ZAf = impedância acústica apresentada à parte frontal do alto-falante
ZAb = impedância acústica apresentada à parte traseira do alto-falante
Mas isto seria uma complicação desnecessária, já que o efeito observado na parte mecânica será o resultado
da combinação em série de ZAf e ZAb, refletidas para o lado mecânico através do "transformador" com
relação de espiras Sd:1:1 e poderemos considerar o efeito da radiação dipolar em separado.
Ao chegarmos a este ponto, montamos um modelo capaz de nos auxiliar em nosso projeto, permitindo
observar em qualquer um dos domínios (elétrico, mecânico e acústico) os efeitos dos componentes de cada
um dos outros, através de uma simples
reflexão de impedâncias .
Como estaremos interessados no comportamento em
baixas freqüências do sistema, poderemos desprezar em
primeira aproximação a indutância Le da bobina móvel, ficando com o seguinte circuito equivalente
eletro-mecano-acústico :
ou
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Referências:
1.
2.
3.
Beranek , L.L.; Acoustics , McGraw-Hill , 1954; ASA, 1986,1990,1996
Silva, Homero Sette; Análise e Sintese de Alto-Falantes e Caixas Acústicas Pelo Método de Thiele e Small
, H. Sheldon , 1996
Merhaut , Josef; Theory of Electroacoustics , McGraw-Hill , 1981
Copyright Álvaro C. de A. Neiva (1999-2004)
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