JAQUELINE APARECIDA FORATTO LIXANDRÃO SANTOS

PRODUÇÃO DE IDÉIAS SOBRE PROBABILIDADE DESENVOLVIDA POR
ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL EM ATIVIDADES EXPLORATÓRIO–
INVESTIGATIVAS.
JAQUELINE APARECIDA FORATTO LIXANDRÃO SANTOS (UNIVERSIDADE SÃO
FRANCISCO - ITATIBA/SP).
Resumo
Este é um trabalho em andamento que surgiu da seguinte questão: Que idéias
sobre probabilidade desenvolvem os alunos tendo como contexto atividades
exploratório–investigativas? Para esse propósito está sendo elaborada uma
sequência de atividades do tipo exploratório–investigativas tendo como contexto a
probabilidade, que será desenvolvida em duas salas do 7º ano do ensino
fundamental (com aproximadamente 30 alunos em cada sala), pela pesquisadora
em uma escola da Rede Pública Estadual, onde ministra aulas. A pesquisa tem
como objetivos identificar ideias probabilísticas que emergem do processo de
comunicação (oral/escrita) tendo como contexto de sala de aula atividades
exploratório–investigativas e analisar o processo de produção de tais idéias em um
contexto de interação e negociação em aulas exploratório–investigativas. Tendo em
vista a dinâmica das atividades, que é caracterizada pelo processo de exploração,
formulação de questões e conjecturas, teste, reformulação e justificação de
conjecturas e o objetivo da pesquisa, nossa análise se pautará na etapa de
desenvolvimento e socialização das atividades por meio do diário de campo da
professora, nos registros escritos e nas gravações de áudio e vídeo dos alunos.
Acreditamos que o presente trabalho contribua com as pesquisas em estocástica,
no ensino da probabilidade nas escolas e consequentemente no pensamento
probabilístico dos estudantes.
Palavras-chave:
Probabilidade, Estocástica, Investigações atemáticas.
Introdução
O objetivo deste artigo é apresentar nossa pesquisa[1] de mestrado, que está em
andamento. Iniciamos os nossos estudos e hipóteses por meio de reflexões sobre
experiências no processo de ensino e aprendizagem de matemática, mais
precisamente em relação às probabilidades, compartilhando das reflexões
apresentadas por Powell e Bairral: "No modelo tradicional de ensino, apelidado por
alguns de "cuspe e giz", encontramos poucas situações que solicitam que os alunos
reflitam sobre a matemática que vão aprender, sobre o que pensam dessa área ou
sobre eles próprios em relação à disciplina" (POWELL; BAIRRAL, 2006: 47)
Em outras palavras, partimos da hipótese de que o modelo tradicional[2] de ensino
não tem mobilizado o desenvolvimento do pensamento estatístico e probabilístico
dos alunos, provavelmente seus conceitos têm sido apresentados de forma préconcebida, onde predominam as regras e a memorização das mesmas, as
narrações de práticas e reflexões de outras pessoas (aprendizagem passiva).
Pensamos que a estatística e probabilidade são sugestivos quanto à investigação, à
processo dinâmico, à ligação dialética entre ideário e reflexões e para tal propomos
uma sequência de atividades em uma abordagem de investigação[3], envolvendo
conceitos relacionados à probabilidade como principio norteador de nossa pesquisa,
com o desejo de identificar neste contexto as idéias sobre este conceito que os
alunos apresentam no processo de comunicação (oral/escrita) e analisar o processo
de produção destas idéias levando em conta a interação entre alunos, professorapesquisadora e a sequência de atividades.
Abordamos, respectivamente, nos próximos trechos uma síntese da revisão teórica
que pretendemos trabalhar sobre conceitos probabilísticos e investigações
matemáticas. Posteriormente apresentamos a metodologia adotada na
investigação, uma das tarefas realizadas em sala de aula - Jogo do Lobo Mau e da
Chapeuzinho-, assim como as respostas/argumentações dos alunos durante a
realização da atividade. Ao final, nossas considerações a respeito da pesquisa e da
tarefa apresentada.
O Pensamento
estocástica
Probabilístico:
concepções
sobre
probabilidade
e
Segundo Costa, o estudo matemático das probabilidades estabelece relação com
estatística na "utilização de técnicas analíticas para identificar e caracterizar
eventuais relações entre as variáveis em estudos e os níveis de relação entre tais
variáveis que se fundamenta na Teoria das Probabilidades" (COSTA, 2007: 25). Em
nosso trabalho, deteremos-nos ao estudo da teoria das probabilidades, porém
entendemos que não seja possível tratarmos do pensamento probabilístico isolado
de uma perspectiva mais ampla que inclui a estatística, como é proposto pelos
estudos no campo da estocástica.
As diferentes abordagens frente às concepções probabilísticas, de acordo com
Fernandes (1999), apresentam caráter multifacetado e que pode induzir a
diferentes perspectivas. De modo semelhante, Shaughnessy (1992) ressalta que a
tradição dualista da noção de probabilidade, (como grau de crença e como cálculo
de frequências), ainda é bastante comum.
Vários autores (Hawkins & Kapadia,1984; Orton (apud CIRINO 2007, p. 33);
Fernandes, 1999 e Godino et al., 1996) apresentam classificações quanto aos
conceitos de probabilidade, a maioria delas coincidem em número e denominação,
no entanto, outras utilizam outros termos, porém com características semelhantes.
Atribuem-se ao conceito clássico a definição de concepção clássica baseada em
Laplace por meio da obra "Teoríe analytique dês probabilités", publicada em 1812.
Assim, a probabilidade é definida pela razão entre números de casos favoráveis em
relação ao número total de casos possíveis, desde que esteja explícito que todos os
resultados sejam igualmente prováveis de ocorrer. Nesta definição de
probabilidade:"...assume-se implicitamente a eqüiprobabilidade de todos os
acontecimentos elementares do espaço amostral e constitui uma abordagem a
priori da probabilidade, pois calculam-se probabilidades antes da realização de
qualquer experiência física" (FERNANDES, 1999: 51).
Tal definição também é contemplada por Carvalho e Oliveira (2002), ao retomar
que a característica de eqüiprobabilidade também é garantida pela estratégia de
utilização de simetria física ou por outra estratégia utilizada nas situações-problema
a fim de evidenciar que todos os resultados tenham as mesmas vantagens que os
demais.
A principal característica do conceito frequentista ou empírico é que a probabilidade
de um acontecimento emerge do processo de uma experimentação. Segundo
Carvalho e Oliveira (CARVALHO; OLIVEIRA, 2002), o valor da probabilidade é dado
pela frequência relativa de sucessos obtidos na realização de um experimento:
Dado o interesse pela ocorrência de um sucesso específico, vamos simbolizá-lo por
A, registramos o número de vezes que isto acontece n a e o número total de
repetições n realizadas em um determinado experimento. A razão freqüencial ou a
freqüência relativa de que A ocorra, ou seja, n a /n parece tender a um limite à
medida que o número total de experimentações tenda ao infinito. (p.2)
Dessa forma, as probabilidades são atribuídas baseadas em resultados de
experiências realizadas, o que é denominado por: probabilidade a posteriori, uma
vez que é calculada depois dos experimentos terem sido realizados. Nesta
perspectiva, eventos individuais são inseridos no coletivo, ou seja, eventos
semelhantes são inseridos em um mesmo contexto, assumindo essas propriedades
individuais.
Assim, a interpretação de tal probabilidade envolve dificuldades, pois pode conduzir
as pessoas a decisões equivocadas. Essas dificuldades são resultantes da utilização
de um mesmo limite para a freqüência relativa e também da definição do que se
entende por "aleatoriedade" e por "semelhança" (Fernandes, 1999).
Na perspectiva subjetivista, as probabilidades expressam grau de crença ou
percepção pessoal. O individuo utiliza suas experiências e conhecimento sobre o
assunto para expressar a probabilidade de um sucesso, o que possibilita diferentes
medidas de probabilidade para um mesmo sucesso. Fernandes (1999) a designa
por "personalista", pois segundo o autor as duas concepções anteriores - clássica e
frequentista - são propriedades do mundo real, enquanto que na percepção
subjetivista as probabilidades são avaliações pessoais de situações aleatórias,
inerentes à mente do individuo. Desse modo, a probabilidade passa de uma
avaliação externa ao sujeito para uma avaliação centrada no sujeito.
Shaughnessy (1992) ressalta que é possível matematizar probabilidades subjetivas
como uma forte dependência sobre o teorema de Bayes, e uma teoria que
possibilite uma (re)significação de probabilidades, baseada nas informações
acessíveis - informações prévias e as suas experiências.
A concepção formal ou axiomática da probabilidade, vigente nos dias atuais,
originou-se dos trabalhos de Kolmogorov. Surgiu como oposição à concepção
clássica e apoiada na teoria dos conjuntos. Segundo Carvalho e Oliveira
(CARVALHO; OLIVEIRA, 2002):
O autor elege E como espaço amostral associado a um experimento aleatório e A
como um subconjunto formado pelos sucessos de E. A função P definida sobre A é
uma medida de probabilidade de E se: todo sucesso S ÎA corresponde um número
P(S), tal que 0 < P(S) < 1, a probabilidade do sucesso certo é dado por P(E)=1 e a
probabilidade de um sucesso impossível é dado por P(E)=0. (p. 3)
Em que a compreensão sobre tais conceitos relacionados ao pensamento
probabilístico nos possibilita para essa pesquisa? Acreditamos que algumas dessas
diferentes concepções estejam presentes no ideário e discurso de alunos na
Educação Básica, principalmente daqueles que ainda não tiveram a oportunidade de
vivenciar teoricamente conceitos relacionados à probabilidade como medida, idéia
de aleatoriedade, probabilidade condicional, etc. Com relação a uma perspectiva
didática, poderíamos ainda acrescentar as concepções estocásticas/probabilísticas
sugeridas por Shaughnessy (1992), Azcárate e Cardeñoso (apud Serradó et al ,
2006: 95).
Serradó et al orientou-se nos referidos estudos para elaborar um modelo
explicativo de hipóteses progressivas do conhecimento probabilístico. Os autores
utilizam esse modelo como referencia na orientação, interpretação de dados e
formulação de hipóteses em suas investigações. O modelo configura quatro
hipóteses de progressão, em relação ao tratamento da probabilidade, que são
divididas em dois aspectos, conceitual e quantificador.
Quadro 1 - Resumo das hipóteses de progressão do conhecimento probabilístico
proposto por Serradó et al (2006: 96, tradução nossa).
Aspecto
conceitual
Aspecto
quantificador
Inclusão não
explícita
Tratamento
intuitivo
Apresentam
algumas
explicações
subjetivas
Explicações
subjetivas e
laplacianas em
contextos de
jogos
Promove
raciocínio
aritmético
Tratamento
emergente
Tratamento
normativo
Explicações
Modelização
subjetivas,
(laplaciana,
frequênciais e
frequencial e
laplacianas em
bayesiana)
qualquer tipo de como base para
contexto
uma definição
axiomática
Raciocínio aditivo
Raciocínios
Aplicação e
sobre incerteza proporcionais e
raciocínio
do sucesso (como combinatórios combinatórios
síntese de
incompletos
de propriedade
azar/necessidade)
baseados em
e
visão normativa
raciocínio
proporcional
É indiscutível a importância das pesquisas sobre as concepções e conhecimentos
probabilísticos e estocásticos, sejam elas por diferentes enfoques ou linhas de
investigações, para contornarmos as dificuldades enfrentadas em sala de aula por
professores e alunos frente ao ensino e aprendizagem das probabilidades e
estatística, assim como a metodologia adotada e os papéis desempenhados por
alunos e professores.
Abordagem Investigativa:
Matemáticas
Resolução
de
Problemas
e
Investigações
Na organização das tarefas e na dinâmica em sala de aula, partimos da idéia de
cenário para investigação, segundo Skovsmose (2008):
"As práticas em sala de aula baseadas num cenário de investigação diferem
fortemente daquelas baseadas em exercício. A distinção entre elas tem a ver com
as "referências" que visam levar os estudantes a produzir significados para
atividades e conceitos matemáticos" (SKOVSMOSE, 2008: 21-22).
Para o autor, o significado de referência não está relacionado somente com as
características dos conceitos e sim com as ações e os motivos dessas ações, mais
precisamente com o contexto que possibilita ao aluno localizar um objetivo em suas
ações.
Para Ernest (1998), os conceitos de problema e investigações estão relacionados
com a inquirição matemática e estabelece distinção entre:
•· Foco ou objeto de inquirição: trata-se do problema em si ou do ponto de partida
da investigação;
•· Processo de inquirição: na investigação tem-se um objetivo e não um destino
enquanto que no processo de resolução de problemas tem-se um caminho a
encontrar para alcançar o objetivo. Em outras palavras, nas investigações parte-se
de uma situação problemática, porém outras situações vão surgindo durante a
realização da atividade que faz com que a mesma se tome outros rumos. No
entanto, na resolução de problemas você parte de um problema, cuja resolução é a
atividade de procura de caminho, que não se conhece de antemão, para atingir o
seu objetivo (que pode estar relacionado com uma ou mais solução, da mesma
forma que pode não ter uma solução).
•· Pedagogia da inquirição: considera a resolução de problemas e as investigações
como uma abordagem pedagógica que envolve mudanças nos processos
matemáticos e no papel do professor que "deixa de ter o controle sobre as
respostas, sobre os métodos aplicados pelos alunos e sobre as escolha de
conteúdos de cada aula" Ernest (apud LIMA, 2006: 29).
De acordo com as colocações dos autores, entendemos que há consenso de que
resolução de problemas e as investigações matemáticas estão relacionadas ao
processo de inquirição, e estão ligados aos processos de interpretação dos alunos e
pela dinâmica em que são abordados em sala de aula.
Ponte et al. (2006) sugere que a dinâmica das atividades investigativas seja
organizada em três fases:
•· Introdução: momento que a tarefa é apresentada a classe;
•· Desenvolvimento: realização da tarefa nos pequenos grupos (cada aluno tem
uma função[4] pré-definida);
•· Discussão dos resultados: socialização das conclusões dos grupos e
formulação de novas conclusões.
O autor acrescenta que esse contexto possibilita ao aluno uma postura ativa, ou
seja, de formulador de questões, conjecturas, provas e refutações perante o seu
grupo, colegas de classe e professor, tanto na realização da tarefa como na
apresentação dos resultados.
Resumindo, de acordo com essas perspectivas, organizamos nossa sequência de
atividades, tendo como foco questões estocásticas, onde os sujeitos organizados
em pequenos grupos (quarto alunos), ora encontravam o seu próprio caminho para
resolver o problema, ora criavam problemas dentro da situação. Optamos pela
organização da dinâmica, dividida em três fases, como sugerida por Ponte et al.
(2006).
Metodologia de Investigação
Como foi mencionada na introdução, a pesquisa está em andamento, a revisão
teórica está sendo concluída e iniciaremos o processo de análise. Ela se caracteriza
como um estudo de caso em uma abordagem qualitativa, de acordo com as
perspectivas abordadas pelos autores: Lüdke e André (1986), Bogdan e Biklen
(1994) e Goldenberg (1997). O foco central de nossa investigação são as idéias
probabilísticas que desenvolvem os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental em
um ambiente investigativo, em uma perspectiva de resolução de problemas.
Os sujeitos envolvidos são alunos de duas classes do 7º ano do ensino
Fundamental, de uma Escola da Rede Estadual de Ensino do interior de São Paulo,
em que a professora[5]-pesquisadora ministra aulas de Matemática.
Foi proposto aos sujeitos, em contexto de sala de aula, uma sequência de
tarefas[6] que visam mais diretamente às probabilidades, porém é possível
identificar em algumas, aspectos relativos à estatística. No total são dezoito
tarefas, divididas em nove etapas que proporcionaram aos alunos contato com a
linguagem ligada à estocástica, análise de possibilidades, estimativa de medida de
chances, experimentação e avaliação de situações reais e simuladas. Também
procuramos empregar os quatro conceitos de probabilidade como sugerido por
Shaughnessy (1992) que defende uma abordagem pragmática que envolve vários
conceitos de modelagem probabilística, que apresentamos anteriormente.
A realização da sequência de atividades com alunos e pesquisa de campo exigiram
instrumentos de coleta de dados adequados aos procedimentos adotados. Dessa
forma, a coleta de informações se deu por meio dos: (a) registros escritos dos
grupos de alunos em folha impressa fornecida pela professora, realizados durante a
atividade, (b) registros em áudio de entrevista semi-estrutuada realizada com
alguns alunos fora do contexto de sala de aula, (c) registros em vídeo da classe
durante a socialização das atividades e (d) registros escritos da professorapesquisadora no diário de campo.
Pretendemos analisar todo o material coletado, descritos acima, talvez organizando
as atividades por eixo temático, centrando nossa atenção nos elementos que
emergiram no contexto de sala de aula, os quais descrevemos abaixo:
•· Quais as idéias sobre os conceitos probabilísticos que os alunos apresentam no
processo de comunicação (oral/escrita) durante a dinâmica investigativa?
•· Como acontece a interação entre os envolvidos frente à sequência de atividades
e quais as influências dessa interação na formação do pensamento probabilístico?
Os quadros, a seguir, apresentam, respectivamente, uma das tarefas propostas aos
alunos e as respostas/justificativas apresentadas pelo grupo, por meio de registro
escrito, sobre a tarefa.
Quadro 2 - A tarefa "o jogo do Lobo Mau e da Chapeuzinho"[7]
Lobo Mau propôs o seguinte jogo para Chapeuzinho Vermelho:
- Cada um lança alternadamente, 10 vezes uma moeda para cima.
- Se as duas moedas apresentam cara, a Chapeuzinho ganha 1 ponto.
- Caso isso não ocorra. O Lobo Mau é quem ganha 1 ponto.
Quem obtiver o maior número de pontos ficará com os doces da vovó.
•a) Você considera o jogo justo? Justifique.
•b) Quem tem mais chances de ficar com os doces? Por quê?
c) Então, o que é melhor? Ser a Chapeuzinho ou o Lobo Mau?
Quadro 3 - Respostas/Justificativas transcritas dos registros escritos dos grupos,
feitos durante o desenvolvimento da tarefa:
"GRUPOS DO NÃO"
Você considera o 7 grupos responderam que
jogo justo?
não era justo.
Quem tem mais
Lobo.
chances de ficar com
os doces?
"GRUPOS DO SIM"
6 grupos responderam que
o jogo era justo.
Ambos, os dois, ninguém,
qualquer um.
Por quê?
Lobo quer trapacear;
Lobo tem mais chances de
vencer;
Tem chances iguais (as
mesmas);
Se um perder o ponto passa
para o outro;
O Lobo tem que fazer só uma
coroa e Chapeuzinho tem que Jogam a moeda
alternadamente;
fazer duas caras;
Se sair cara e coroa o Lobo é
quem ganha;
Chapeuzinho pode ganhar
ou perder e o Lobo também.
2 x caras a Chapeuzinho
ganha, 1 x coroa e 2 x coroa o
Lobo ganha;
O lobo tem duas chances de
ganhar e a Chapeuzinho só
uma;
Então, o que é
melhor? Ser a
Chapeuzinho ou o
Lobo Mau?
O Lobo tem duas
possibilidades e Chapeuzinho
apenas uma, mas isso não
quer dizer que o Lobo
ganhará.
Lobo (todos os grupos).
Chapeuzinho (2 grupos);
Qualquer um, tanto faz (3
grupos) e Nenhum (1
grupo).
Na socialização, as respostas e argumentações apresentadas foram as seguintes:
•n Grupos "do não" argumentaram dizendo aos "colegas do sim" ter três possíveis
resultados: cara/cara, coroa/coroa e cara/coroa. Com a intervenção da professora
(registrando na lousa as possibilidades e questionando-os quanto às chances de
cada um) concluíram que havia quatro possibilidades e formalizaram que as
chances do Lobo era de ¾ (75%) e da Chapeuzinho ¼ (25%).
•n Todos passaram a achar o jogo injusto e baseado no julgamento de alguns
alunos em relação à atitude do Lobo surgiu uma discussão sobre questões éticas.
Considerações Finais
Como já foi mencionado, a pesquisa está em andamento, não tendo ainda iniciado
o processo formal de análises, porém reflexões e considerações foram realizadas a
partir das preciosas contribuições da Profa. Beatriz D'Ambrosio no seminário interno
à linha de pesquisa Matemática, Cultura e Práticas Pedagógicas da USF/Itatiba e
nos conduziram a coleta de novos dados. Outras atividades, envolvendo a temática
desenvolvida nas tarefas serão realizadas com alguns alunos (individualmente),
fora do contexto de sala de aula, juntamente com entrevistas semi-estruturadas. O
objetivo é analisar se as hipóteses observadas no momento da socialização se
confirmam em outras atividades e contexto.
Durante o desenvolvimento das tarefas, apresentada neste artigo, "o jogo do Lobo
Mau e da Chapeuzinho", observamos que a mesma promoveu o trabalho
colaborativo entre os sujeitos da pesquisa. Os alunos fizeram uso de linguagem
estocástica, de hipóteses conceituais e quantificadoras - nos registros realizados
nos grupos e nas argumentações perante os colegas e professora - as quais
pretendemos fazer novas observações.
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[1]Profª Jaqueline Aparecida Foratto Lixandrão Santos - Mestranda da Universidade
São Francisco - Itatiba/SP e Profª Drª Regina Célia Grando - Orientadora.
[2] Prática de ensino onde reflexões de outras pessoas são-lhes narradas e pede-se
simplesmente que eles memorizem. Procedimento denominado por Freire (1970,
1973) de método bancário e por Gattegno (1970) de método tradicional de ensino.
(apud POWELL e BAIRRAL, 2006: 48)
[3] Um cenário de investigação é aquele que convida os alunos a formular questões
e a procurar explicações. Quando os alunos assumem o processo de exploração e
explicação, o cenário para investigação passa a constituir um novo ambiente de
aprendizagem. No cenário de investigação os alunos são responsáveis pelo
processo. - Skovsmose (2008: 21)
[4] Redator, responsável pelos registros escritos do grupo; cronometrista, aquele
que organiza o tempo necessário e utilizado durante a tarefa; orador, que
apresenta as conclusões do grupo perante a classe e coordenador, orienta o
trabalho do grupo.
[5] A professora cursou o magistério, licenciatura em ciências/matemática e
pedagogia, especialização em educação Infantil. Atua há dezesseis anos na
Educação, iniciou como professora em classes de Educação Infantil, posteriormente
nos anos iniciais do Ensino Fundamental, atualmente leciona Matemática nas séries
finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio em uma Escola da Rede Estadual
de Ensino.
[6] A sequencia de atividades foi elaborada junto ao grupo pesquisa em Educação
Matemática da Universidade São Francisco (campus de Itatiba) - GRUCOMAT
(Grupo Colaborativo de Matemática)- o qual fazemos parte.
[7] LOPES, A. J. (Bigode). Matemática agora é feita assim. 7ª séries. São Paulo:
FDT, 2000.