1-Introdução 2-Desenvolvimento do Problema

Estudo do efeito de Zeeman forte e fraco nos níveis de
energia do átomo de Hidrogénio
Bruno Santos, nº63444-Paulo Luz ,nº63406
Professora Doutora Teresa Peña
Física Quântica da Matéria
Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica
Instituto Superior Técnico
Lisboa, Maio de 2010
•
Campo Magnético Forte
Vejamos o caso do campo magnético fraco.
Resumo: Resolve-se o problema 6 da terceira série de problemas
indicado pela docente, tendo por objectivo o estudo davariação
na energia dos níveis atómicos do Hidrogénio a quando da
aplicação de um campo magnético. Este problema é também
conhecido como efeito de Zeeman. Neste sentido, pretende-se
levantar a degenerescência dos níveis de energia do átomo de
hidrogénio.
Tendo em conta o nosso Hamiltoniano, o termo
relativo à energia cinética e ao potencial de Coulomb é
inalterado, podendo indicar essa energia como En,
energia do átomo de hidrogénio não perturbado.
1-Introdução
Vejamos agora o termo da estrutura fina.
O problema em questão é qual a variação na energia
dos níveis de energia do átomo de Hidrogénio a
quando da aplicação de um campo magnético. Este
problema é também conhecido como efeito de Zeeman.
A energia da correcção relativista:

Er


4n
(3)
−
3
1
2 mc 2 

l +


2

(E )2 
=− n 
2-Desenvolvimento do Problema
2
só depende dos valores próprios de L e do número
2
quântico principal. Ora o valor médio de L é inalterado
pela aplicação de um
campo magnético (apesar
de as suas componentes o
serem) logo a correcção
relativista
na
energia
mantém-se igual.
Comecemos por indicar o Hamiltoniano total. Como
visto, o Hamiltoniano para o átomo de hidrogénio não
perturbado, tendo em conta a contribuição de
estrutura fina, acoplamento spin-órbita e a correcção
relativista, é dado por:
H = H 0 + (H r + H SL )
Da aplicação de um campo magnético exterior advém
outro termo dado por:
Vejamos
agora
o
acoplamento spin-órbita.
ሬԦ௘௫௧ = −൫µ + µ ൯. ‫ܤ‬
ሬԦ௘௫௧ =
‫ܪ‬′ ௓ = −ߤԦ. ‫ܤ‬
௟
௦
ሬԦ௘௫௧ (1),
= ߤ଴ ൫݃௟ ‫ܮ‬ሬԦ + ݃௦ ܵԦ൯. ‫ܤ‬
No caso do campo magnético exterior fraco, este vai
originar o aparecimento de um momento de força
onde ߤ଴ é o magnetão de Bohr.
fazendo com que
precessem rapidamente em
r
torno de B . Mas devido ao acoplamento spin-órbita e
Juntando então todos os termos tem-se o
Hamiltoniano total:
r
r
r
no caso do campo magnético fraco o vector J = L + S
r r

p2
e2
p4
1
e2 S • L 
+
H =
−
+ −
+
2 m 4πε 0 r  8m 3c 2 2 m 2 c 2 4πε 0 r 3 
r r
e r
+
( L + 2 S ) • Bext ( 2)
2m
r
r
precessa-se muito mais lentamente que L e S
podendo considerar que não varia, sendo então os
2
2
estados próprios de J e JZ os bons números quânticos .
Assim:
Vejamos agora os vários casos possíveis, tendo em
conta a intensidade do campo magnético em relação
1
ao acoplamento spin-órbita :
•
r r
Se L
∆E SL = nljm j H SL nljm j =
r r
1
e2
S•L
=
nljm j
nljm j (4)
2 m 2 c 2 4πε 0
r3
Campo Magnético Fraco
1
2
No anexo é verificado o valor da intensidade do
campo magnético para se considerar fraco ou forte
relativamente ao acoplamento spin-órbita.
No anexo faz-se a demonstração de que na hipótese
de campo fraco ou forte se pode assumir que os
vectores indicados são constantes do movimento.
1
Considerando, sem perda de generalidade que
o campo magnético define o eixo dos zz, temse finalmente:
j ( j + 1) + 34 − l (l + 1) 
heB 
EB =
1 +
 m j (10)
2m 
2 j ( j + 1)

Utilizando o facto de que
J 2 = (L + S )(L + S )
⇔ L•S =
(
)
1 2
J − L2 − S 2 (5)
2
Obtém-se
∆E SL =
2 E n2  j ( j + 1) − l (l + 1) − 34 
n
 ( 6)
mc 2  a 03 n 3 (2l + 1)(l + 1) 
Assim os níveis de energia do átomo de
Hidrogénio no caso de aplicação de um campo
magnético fraco são dados por:
Somando agora a correcção relativista e
acoplamento spin-órbita;
E fS =
E n2 
1 mc 2α 2
4n 
+
3−
+
2
2 
2 n
j + 12 
2mc 
j ( j + 1) + 34 − l (l + 1) 
heB 
+
1
+

 m j (11)
2m 
2 j ( j + 1)

E nlm l m S = −
E n2 
4n 
3−
 (7 )
2 
j + 12 
2mc 
De notar que tanto para j = l +
1
2
e j = l − 12
a contribuição da estrutura fina é igual!
No caso do campo magnético forte os bons
números quânticos são os estados próprios de
Vejamos agora a contribuição para a correcção
dos níveis de energia provocada pela aplicação
do campo magnético externo.
LZ e S Z pois neste caso o momento angular
total não se conserva, como no caso do campo
fraco.
r r
∆E B = nljm j − µ • B nljm j =
= nljm j
A contribuição da correcção relativista não é
alterada.
r r
e r
( L + 2 S ) • B nljm j (8)
2m
E a contribuição do acoplamento spin-órbita é
neste caso:
Como J = L + S então L + 2 S = J + S
∆E SL = nlm l m s H SL nlm l m s =
No entanto não se sabe à partida o valor
2
esperado de S nos estados próprios de J e
J Z . Mas notando que o valor médio (no
tempo) de S não é mais que a projecção de S
segundo J já que, neste caso J é uma
constante do movimento. Assim:
⇔ ∆ E SL =
E fS =
Tendo em conta que:
(J
2


4m l m s
n 3 3
 (12 )
 a 0 n ( 2l + 1)(l + 1) 
13,6eV 2  3 l (l + 1) − m l m s
α  −
l (l − 12 )(l + 1)
n3
 4n

 (13)

E a contribuição da aplicação do campo
magnético:
L = J − S ⇒ L2 = J 2 + S 2 − 2 J • S
1
2
mc
2
A contribuição da estrutura fina é:
S•J
S= 2 J
J
⇔ J •S =
(E n )2
)
+ S 2 − L2 (9)
H B = nlm l m s | H B | nlm l m s =
2
ehB
(m l + 2m s )
2m
(14)
Para verificar o levanto da degenerescência
causado por este efeito, para n=2, apresentase o seguinte gráfico:
Assim os níveis de energia do átomo de
Hidrogénio no caso de aplicação de um campo
magnético forte são dados por:
Enlml m S = −
+
13,6eV
n2

 3 l (l + 1) − m m  

2
l s
 −
1
−
α

+
1
4
n

l
l
+
(
l
+
1)  

2


eh
B (ml + 2ms )
2me
(
)
(15)
Em primeiro vamos proceder ao estudo dos
níveis de energia e, por sua vez , o
levantamento da degenerescência , para o
caso do efeito de Zeeman fraco.
Para n=2 , l=0( j=1/2) ou l=1 (j=1/2 ou j=3/2).
Os oito estados são:
Igualmente para n=2 estudemos agora o efeito
de Zeeman forte nas energias do átomo de
hidrogénio.
Neste sentido, através da equação da energia
total obtida anteriormente , substituindo para
n=2, fica que
ߙଶ
ቇ ሼ… ሽ቉
2
ሬԦ௘௫௧ (18)
+ (݉௟ + 2 ݉௦ )ߤ଴ ‫ܤ‬
‫ܧ‬௡,௟,௠ೞ, ௠೗ = −3,4ܸ݁ ቈ1 − ቆ
ଷ
௟(௟ାଵ)ି௠೗ ௠ೞ
቉
భ
௟ቀ௟ା ቁ(௟ାଵ)
, comሼ… ሽ = ଼ − ቈ
Nestes quatro casos,
(16)
మ
.
Resumindo os estados de n=2 numa tabela
surge que:
Nestes últimos quatro casos,
(17)
Logo as energias dos oitos estados são:
Quanto ao levanto da degenerescência, isto
desprezando a estrutura fina ,podemos
verificar que existem apenas cinco níveis
distintos, correspondentes aos valores
possíveis de (݉௟ + 2 ݉௦ ):
3
(݉௟ + 2 ݉௦ )
Grau de
degenerescência
-2
1
-1
2
0
2
1
2
2
2
Para o estudo do efeito de Zeeman forte e
fraco para n=3 procede-se de forma análoga.
3-Conclusão
Verifica-se então que a aplicação de um
campo magnético levanta a degenerescência
do átomo de hidrogénio. Mesmo no caso do
campo aplicado ser fraco, relativamente ao
acoplamento spin-órbita.
De notar ainda que os níveis de energia vêem
a sua energia aumentada e diminuída
relativamente ao nível não perturbado de
igual forma, o que não se poderia prever à
partida.
4-Bibliografia
-Introduction to Quantum Mechanics, 2nd
Edition, David Griffiths, 2005, Pearson
International Edition, Pearson Prentice Hall;
- Quantum Physics, 3rd Edition, Stephen
Gasiorowicz, 2003, John Wiley & Sons.
i
3
Em anexo encontra-se as tabelas relativas
ao efeito de Zeeman fraco e forte para o nível n=3 do átomo de
Hidrogénio.
4