UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA Luis Alex Huahuachampi Mamani MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS DE UMA BRANA NEGRA NO MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD Ilhéus, BA, Brasil 2013 Luis Alex Huahuachampi Mamani MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS DE UMA BRANA NEGRA NO MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC, BA), para a obtenção do grau de Mestre em Física. Área de Concentração: Física Orientador: Alex dos Santos Miranda Ilhéus, BA, Brasil 2013 Luis Alex Huahuachampi Mamani MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS DE UMA BRANA NEGRA NO MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC, BA), para a obtenção do grau de Mestre em Física. COMISSÃO EXAMINADORA: Alex dos Santos Miranda, Dr. (UESC) (Presidente/Orientador) Henrique Boschi Filho, Dr. (UFRJ) André Luis Batista Ribeiro, Dr. (UESC) Ilhéus, 25 de Fevereiro de 2013. A minha família e minha namorada. AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus pela oportunidade de continuar neste Mundo. A minha Mãe Julia Victoria, pelo apoio incondicional, pela coragem para enfrentar a vida, e por ensinar-nos que não só com luxo e dinheiro podemos ser felizes. A minha namorada Jessica por ter-me dado forças nos momentos mais difíceis, quando começava a acreditar que não tinha mais motivo para continuar estudando esta área do conhecimento tão bonita. Aos meus irmãos Jaime, Luz Marina, Emma por terem-me apoiado na minha formação pessoal e cientíca, sem eles não estaria aqui agora. A todos os amigos que deixe para trás. Em especial, o meu melhor amigo Eloy Felipe, que por coisas da vida não está mais conosco. Neste cantinho do Brasil conheci meu orientador Alex e sua esposa Simoni, que me apoiaram muito. Aos professores Adriano, André, Fermin, Alejandra entre outros, dos quais aprendi que não só de conhecimento pode viver um homem. Também a pessoas como Flávio Sampaio, bom colega e melhor amigo. entre outras boas pessoas. Maiara Sampaio, que me ajudou com o Português, Não posso terminar os agradecimentos sem car grato com a Universidade Estadual de Santa Cruz pela oportunidade de fazer o mestrado no que é a minha paixão, a Física Teórica; e à CAPES pelo apoio nanceiro. Simetria cordância se denota de integram está H. muitas num vinculada Weyl esse à tipo partes, tudo. simetria. de con- pelo que A beleza MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS DE UMA BRANA NEGRA NO MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD RESUMO Nos anos recentes, a correspondência AdS/CFT tem sido utilizada no estudo da física de altas energias. Uma versão modicada desta correspondência relaciona uma teoria de supergravidade num espaço-tempo anti-de Sitter de com dimensionalidade 3+1 4+1 dimensões e uma teoria de campos dual a cromodinâmica quântica holográca (QCD). No presente trabalho, investiga-se o espectro dos mésons vetoriais, que são representados por perturbações eletromagnéticas na teoria gravitacional dual. No espaço em que se desenvolve a dinâmica das perturbações existe um background especíco para o modelo soft-wall. Determinam-se as frequências de oscilação dos modos produzidos pelas perturbações eletromagnéticas e mostrase que estas correspondem aos pólos de funções de correlação corrente-corrente da teoria de campos dual. Estas frequências apresentam uma parte real que é interpretada como a massa dos mésons vetoriais, e a parte imaginária como o inverso do tempo de decaimento destes estados de quasepartícula. As equações de movimento encontradas são expressas em termos de variáveis invariantes de gauge. Estas equações são resolvidas inicialmente no regime hidrodinâmico (ω T e q T ), e depois utiliza-se a prescrição de Son-Starinets para determinar as funções de correlação. Desta análise, mostra-se que apenas a componente longitudinal apresenta pólos hidrodinâmicos, e determina-se assim o coeciente de difusão que caracteriza o transporte de cargas na teoria dual. Ao nal do trabalho, as equações de movimento são resolvidas com a utilização de dois métodos numéricos: o método das séries de potência (para temperaturas elevadas) e o método de ressonâncias de Breit-Wigner (para baixas temperaturas). Palavras-chave: branas negras; espaço Anti-de Sitter; modos quasenormais; correspondência AdS/QCD LISTA DE FIGURAS 2.1 Uma representação do espaço-tempo AdS como um hiperbolóide. Extraído de [17]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 (a) Representa a propagação de uma corda aberta livre. (b) Representa a propagação de corda aberta, após ter interagido uma vez. Extraído de [3]. . . . 2.3 (a) Representa a propagação de uma corda, após ter duas interações. Diagrama não-planar, tem uma fronteira interna. Extraído de [3]. 3.1 18 20 (b) . . . . . . . 21 Apresenta-se (à esquerda), a diferença das densidades de ação, como função da temperatura normalizada (πT )2 /c. Pode-se observar a transição de fase entre o espaço AdS térmico, e o AdS com buraco negro, sendo que a linha vertical representa a temperatura na qual acontece esta transição. Também é apresentado (à direita), o calor especíco do AdS com buraco negro, como função de 4.1 (πT )2 /c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal para diferentes valores da temperatura, observa-se que este potencial não apresenta poço, para 0.546. 4.2 30 T̂ 2 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal, no regime de baixas temperaturas. Observa-se que quando a temperatura diminui, a barreira de potencial na esquerda aumenta. Portanto, para temperaturas mais baixas, os estados de quasipartícula têm mais probabilidade de ser formados. . . . . . . . 5.1 41 Mostra-se a função espectral como função da energia, para diferentes valores da temperatura T̂ 2 . Em todos os casos o número de onda é zero. Observa-se que a localização dos picos está relacionada com a parte real da frequência e a largura esta relacionada à parte imaginária ω̂I . ω̂R , Também se observa que para um valor xo da temperatura e energia em aumento, a largura do pico vai aumentando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 50 5.2 Mostra-se a função espectral como função da energia para varios valores do número de onda. Em todos os casos a temperatura é, T̂ 2 = 0.0484. Observa- se que a localização dos picos vai-se deslocando mais para a direita enquanto o número de onda vai aumentando. A altura e largura da função espectral também sofrem modicações com o número de onda diferente de zero. . . . . . 6.1 Resultados numéricos para as frequências dos modos quasenormais. 51 Na es- querda, observa-se o comportamento da parte real da frequência, associado à massa dos mésons. Na direita, a parte imaginária associada ao tempo de decaimento dos estados de quasipartícula. A.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Apresenta-se a trajectória de Regge dos mésons. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 11 2 A CORRESPONDÊNCIA AdS/CFT 14 2.1 Teorias com simetria conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 A álgebra do grupo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Funções de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 O espaço-tempo Anti-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 O surgimento da correspondência AdS/CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1 O limite de 't Hooft na teoria de supercordas . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 D3-Branas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.3 O limite de Maldacena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 O MODELO SOFT-WALL 25 3.1 O modelo soft-wall a temperatura zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 O espectro de massa dos mésons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 O modelo soft-wall a temperatura nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Transição de fase e temperatura de desconnamento (Tc ) 29 . . . . . . . . . . . . 4 PERTURBAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS 32 4.1 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Equações tipo-Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Soluções assintóticas das equações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Análise do potencial longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.5 Análise do potencial transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.6 Temperaturas intermediárias e elevadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.7 Baixas temperaturas 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 FUNÇÕES DE GREEN RETARDADAS 5.1 Funções de Green térmicas retardadas 5.2 Funções espectrais 5.3 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6 MODOS QUASENORMAIS 52 6.1 Modos quasenormais de buracos negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2 Soluções analíticas no regime hidrodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.1 Perturbações longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.2 Perturbações transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Solução numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3.1 Método de séries de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3.2 Método de ressonâncias Breit-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3.3 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.3 7 Considerações nais 61 A Cordas abertas e mésons 63 B Teoria da resposta linear 68 B.1 Medidas e funções de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B.2 Temperatura nita 70 B.3 Função de Green retardada e tensor condutividade elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Hidrodinâmica 71 73 C.1 Funções de correlação e o modo de difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 C.2 Exemplo: difusão de campo magnético em plasmas Astrofísicos . . . . . . . . . 74 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO O estudo da teoria de cordas iniciou na década de 1960, quando o físico italiano Gabriele Veneziano percebeu que a amplitude de espalhamento de muitas partículas tinha um comportamento semelhante àquele apresentado pela função gamma de Euler [1]: A(s, t) ≡ g onde α0 s, g Γ(1 − α(s))Γ(1 − α(t)) , Γ(1 − α(s) − α(t)) é uma constante arbitrária que regula a intensidade do acoplamento e t sendo e s as variáveis de Mandelstam [2]. (1.1) α(s) = α0 + Além disso, já era conhecido que, para muitas partículas, o momento angular (J ) é proporcional ao quadrado da massa (m), como 1 na equação J = m2 α0 . onde α0 (1.2) é a chamada constante de Regge [2]. Este fato sugeriu a ideia de que as partículas poderiam ser modos de oscilação de um só objeto, uma corda fundamental com dimensões na escala de Planck [35]. Por outro lado, tem-se a cromodinâmica quântica (QCD), uma teoria de gauge não abeliana, descoberta na década de 1960, com os trabalhos de Murray Gell-Mann e George Zweig [6, 7]. de cordas. Esta teoria conseguiu descrever melhor as interações fortes do que a teoria A QCD explica a interação forte como uma troca de glúons entre quarks, que acontece no interior dos hádrons [8]. Na sua forma perturbativa (para energias elevadas), a QCD descreve bem a física de partículas como quarks e glúons, encontradas nos maiores aceleradores de partículas do planeta, como o LHC e o RHIC. No entanto, a sua forma 1 Para uma análise mais detalhada das trajetórias de Regge e sua relação com a teoria de cordas, ver apêndice A. 12 não perturbativa (para baixas energias, onde temos o problema de connamento dos quarks, por exemplo) é de difícil análise, o que levou nos últimos anos ao estudo da QCD na rede para a investigação neste regime de baixas energias. Deve-se mencionar também que a QCD apresenta um tipo especial de simetria entre a carga de cor dos quarks, o grupo de simetria é SU(3) [6]. Com as diculdades apresentadas pela QCD a baixas energias, os cientistas procuraram outras alternativas para estudar a física de partículas neste regime. Como consequência disso, voltaram os olhares para a teoria de cordas, criada originalmente como uma teoria para descrever as interações fortes, e praticamente esquecida pela comunidade de física de hádrons devido ao sucesso da QCD. No entanto, graças ao trabalho de muitos pesquisadores e em especial de Juan Maldacena [9], os cientistas que estudam as interações fortes voltaram a explorar esta teoria, que é uma candidata à teoria de unicação das forças fundamentais da natureza [10, 11]. A teoria de cordas mostrou um outro caminho para estudar a física de partículas no regime de baixas energias. Este caminho alternativo relaciona uma teoria de calibre (gauge ) superconforme com simetria das num espaço AdSd+1 SU (N ), num espaço de dimensão d, com uma outra teoria de cor- × M,2 sendo M uma variedade compacta. Esta dualidade, proposta em 1997, é conhecida como a correspondência AdS/CFT (ou conjectura de Maldacena) [9]. Pode-se indicar que a correspondência AdS/CFT é uma realização do chamado princípio holográco (dualidade) [12, 13], que relaciona uma teoria em d d+1 dimensões com outra em dimensões. Desde que foi publicado o trabalho de Maldacena, a taxa de publicações envolvendo aplicações da correspondência AdS/CFT tem crescido num ritmo elevado, assim como também as técnicas utilizadas para a determinação de diferentes quantidades físicas [9, 1417]. A correspondência AdS/CFT original foi posteriormente modicada com o objetivo de quebrar a simetria conforme. Isto costuma ser feito mediante a introdução de uma escala de massa na forma de parede dura, como acontece no modelo hard-wall [1820], ou com a introdução de um campo tipo-dílaton no modelo soft-wall [21]. Estas modicações fenomenológicas na correspondência original levaram ao que se denomina na atualidade como correspondência AdS/QCD. Além disso, para fornecer propriedades termodinâmicas adicionais à teoria [22], introduz-se uma brana negra neste cenário, o que também altera a correspondência original [9]. Estas versões modicadas da correspondência têm sido exploradas nos últimos anos para extrair informações da QCD (ver, por exemplo, referências [15, 20, 21, 2330]). 2 AdS é a forma simplicada de Anti-de Sitter 13 Sabe-se que a QCD tem a particularidade de possuir uma constante de acoplamento que depende da energia fraca para energias elevadas e forte para baixas energias. A ideia fundamental da correspondência AdS/QCD é mapear esta teoria numa teoria gravitacional dual, também conhecida como supergravidade IIB (supergravidade porque possui supersimetria), cuja dinâmica é desenvolvida num espaço de 4+1 dimensões (por isso o nome de princípio holográco). A potencialidade da correspondência repousa no fato de que, no regime de QCD a baixas energias, a constante de acoplamento na teoria gravitacional dual é fraca. Portanto, uma desvantagem numa teoria se transforma numa vantagem na sua teoria dual. Deve-se ter em consideração que a teoria dual à QCD não é bem conhecida. O procedimento usual de trabalho é começar com uma teoria de supercordas a baixas energias, que se reduz a uma teoria de supergravidade IIB neste regime, e depois escolher um background de tal maneira que este reproduz algumas propriedades conhecidas da QCD [21]. Na presente dissertação, utiliza-se um background especíco, constituído pelo espaço-tempo AdS mais um campo escalar adicional tipo-dílaton (Φ), o qual representa um corte na região do infravermelho do espaço-tempo AdS, responsável pela quebra da simetria conforme na teoria de campos dual. Para concluir esta introdução, apresenta-se uma breve descrição de como está constituído o trabalho. No capítulo 2, são revisados os conceitos de teorias de campo com simetria conforme e as propriedades do espaço-tempo AdS, dando especial ênfase às simetrias dos dois modelos, e ao nal do capítulo, apresenta-se uma revisão da correspondência AdS/CFT e de como esta foi originalmente formulada. No capítulo 3, revisa-se o modelo soft-wall a temperatura zero e a temperatura nita, mostrando a obtenção dos espectros de massa dos mésons vetoriais a T =0 e a transição de fases entre um espaço-tempo AdS térmico (sem buraco ne- gro) e um com buraco negro. No capítulo 4, são apresentadas as equações de movimento das perturbações eletromagnéticas, suas soluções assintóticas e uma análise do potencial efetivo para diferentes valores de temperatura. Já no capítulo 5, determinam-se as funções de Green retardadas por meio da prescrição de Son-Starinets, e as funções espectrais associadas aos mésons vetoriais. O estudo dos modos quasenormais é apresentado no capítulo 6. O modo hidrodinâmico (no regime de baixas frequências e números de onda pequenos em comparação à temperatura) é determinado usando métodos perturbativos, e uma solução numérica é apresentada na parte nal deste capítulo. Finalmente, são apresentadas as conclusões mais relevantes no capítulo 7, e também alguns apêndices com temas importantes para o desenvolvimento do trabalho. CAPÍTULO 2 A CORRESPONDÊNCIA AdS/CFT A correspondência AdS/CFT foi resultado do desenvolvimento e compreensão de dois modelos téoricos de grande interesse na física moderna. Por um lado, tem-se as teorias quânticas de campos e por outro, as teorias de gravitação. Originalmente, ambas foram concebidas para explicar fenômenos físicos em diferentes escalas. A teoria de cordas é candidata a ser a teoria que unicaria as interações fundamentais da natureza, permitindo uma descrição de efeitos de gravidade quântica. A correspondência AdS/CFT nasceu do estudo de D3-branas na teoria de cordas, e de como estas induzem uma teoria de campos com simetria (com N grande) sobre geometria tipo AdS5 N SU (N ) D3-branas no regime de baixas energias, e também induzem uma × S5 perto das N D3-branas. Neste capítulo, faz-se uma revisão dos conceitos mais relevantes que levaram ao surgimento da correspondência AdS/CFT. 2.1 Teorias com simetria conforme Qualquer teoria sem escalas ou parâmetros com dimensões é invariante sob uma transformação de escala. Como um exemplo simples, considera-se a ação de um campo escalar com interação de ordem quatro Z S= λ 4 2 dx (∂φ) + φ . 4! 4 Realizando uma mudança de escala nas coordenadas x → λx (2.1) e no campo φ(x) → λφ(λx), observa-se que a ação permanece invariante sob estas transformações. Porém, a simetria é quebrada quando se adiciona uma escala, como um parâmetro de massa ou temperatura. Um exemplo conhecido de uma teoria invariante sob transformações de escala é a teoria de Yang-Mills acoplada a férmions e escalares não massivos [17, 31, 32]. As teorias com sime- 15 tria conforme também são aplicados em outras áreas da física, como por exemplo na física estadística [33]. 2.1.1 A álgebra do grupo conforme Em geral, invariância sob transformações de escala indica invariância sob um grupo maior de transformações conforme. Uma transformação conforme em um espaço-tempo d- dimensional é uma mudança de coordenadas que redimensiona o elemento de linha, Dilatação : Transformação Conforme onde xµ → λxµ ⇒ (dx)2 → λ2 (dx)2 xµ → x0µ ⇒ (dx)2 → (dx0 ) = Ω2 (x) (dx)2 : Ω(x) é uma função qualquer. (2.2) 2 (2.3) Pode-se observar de (2.3) que uma transformação de escala é um caso particular das transformações conforme, para o qual Ω(x) = λ. Uma transformação conforme redimensiona comprimentos, mas preserva ângulos. A partir de uma transformação innitesimal x0µ = xµ + vµ (x), com Ω(x) = 1 + ω(x)/2, ∂µ vν + ∂ν vµ − No caso em que d = 2, deriva-se a seguinte condição: 2 τ (∂ vτ ) ηµν = 0. d (2.4) a equação (2.4) possui innitas soluções, o que mostra que o grupo conforme tem dimensão innita [17, 32]. Por outro lado, quando é numerável. Assim, no caso em que da mesma maneira que se obtém dilatação e Kµ geral, existem Jµν δxµ = aµ , obtém-se Pµν d 6= 2, o número de soluções como gerador de translações, como gerador das transformações de Lorentz, D como gerador de transformações conforme especiais [17, 31, 32, 3436]. (d + 1)(d + 2)/2 SO(2, d) geradores do grupo conforme de Em [17, 31, 32, 34, 36]. Os geradores do grupo conforme satisfazem a seguinte álgebra: [Jµν , Jρσ ] = iηµρ Jνσ ± permutações; [Jµν , Kρ ] = i(ηµρ Kν − ηνρ Kµ ); [D, Kµ ] = −iKµ ; onde ηµν = diag(−1, 1, · · · , 1). [Jµν , Pρ ] = i(ηµρ Pν − ηνρ Pµ ); [Jµν , D] = 0; (2.5) [D, Pµ ] = iPµ ; [Kµ , Pν ] = −2iJµν − 2iηµν D, Por outro lado, as partículas são identicadas com ma- ssas e números quânticos de Lorentz correspondentes aos números de Casimir do grupo de Poincaré [17, 31, 32]. Quando se tem invariância conforme, o operador massa Pµ P µ não co- muta mais com outros geradores. A massa e a energia podem ser redimensionadas por uma 16 transformação conforme. Por exemplo, se na representação do grupo conforme existe um estado com uma determinada energia, então existem estados com energia arbitrária entre zero e innito, os quais são obtidos aplicando o gerador de dilatação. É por isso que o formalismo da matriz S não tem signicado nas teorias com simetria conforme [17, 32]. Em teorias de campos com simetria conforme, consideram-se campos que sejam bem comportados sob dilatações. Por exemplo, se λ = eα em φ(x) → λ∆ φ(λx), eiαD gera uma dilatação. Nesse caso, a relação de comutação entre o gerador de dilatações e um campo escalar φ(x) é [D, φ(x)] = i(∆ + xµ ∂ µ )φ(x), onde ∆ identica a dimensão conforme [17, 31, 32, 3436]. Os objetos físicos de interesse são operadores invariantes de gauge. O estudo também se limita a campos e operadores que são aniquilados pelo operador Kµ em x = 0. Estes operadores são chamados de operadores primários, enquanto que os operadores gerados pela aplicação de Pµ e outros geradores são chamados de descendentes [17]. Existe uma outra maneira de encontrar novos números quânticos para o grupo conforme com base numa análise do ponto de vista da teoria de grupos. Este método alternativo, no entanto, não será revisado aqui. Para maiores detalhes, recomenda-se os trabalhos [17, 31, 32, 3436]. 2.1.2 Funções de correlação A invariância conforme impõe muitos vínculos sobre uma teoria de campos. Um destes vínculos envolve as funções de Green por meio das identidades de Ward [17, 32]. Sempre é Oi (x) possível encontrar uma base de operadores primários de escala). Então, o conjunto (Oi , ∆i ) com valor xo de ∆i (dimensão fornece o espectro da teoria de campos. As funções de um, dois e três pontos são completamente xadas pela invariância conforme [17, 32]: hOi (x)i = 0, (2.6) hOi (x)Oi (y)i = Aδij , |x − y|2∆i hOi (xi )Oj (xj )Ok (xk )i = |xi − xj (2.7) |∆i +∆j −∆k |x j λijk . − xk |∆j +∆k −∆i |xk − xi |∆k +∆i −∆j A unitariedade da teoria limita a dimensão dos campos primários. dimensão de um campo escalar em quatro dimensões é (∆ = 1) ∆ ≥ 1. (2.8) Por exemplo, a A saturação desta desigualdade implica que o operador satisfaz as equações para um campo livre [17, 31, 32]. Um outro exemplo de interesse é um campo vetorial desigualdade (∆ = 3) Oµ , para o qual ∆ ≥ 3. A saturação da implica que existe uma corrente conservada associada ao operador, 17 ∂ µ Oµ = 0. Da mesma forma, um operador simétrico de spin implica em ∂ µ Oµν = 0 2, Oµν , tem ∆ ≥ 4, e ∆=4 [32]. 2.2 O espaço-tempo Anti-de Sitter Uma vez realizada a revisão sobre teorias de campo com simetria conforme, passa-se agora a uma revisão da parte gravitacional da correspondência AdS/CFT. O espaço-tempo anti-de-Sitter (AdS) é a solução com máxima simetria das equações de Einstein com constante cosmológica negativa [14, 17, 31, 32, 3436], 1 S= 16πG5 Rµν − Fazendo R = 35 Λ, Z dx5 p |g|(R − Λ), gµν Λ R = − gµν . 2 2 o tensor de Ricci ca reduzido a (2.9) Rµν = Λ3 gµν . Este resultado indica que a solução das equações do campo gravitacional com constante cosmológica é um espaço-tempo de Einstein. Se, além disso, deseja-se que o espaço-tempo tenha máxima simetria, então o tensor de curvatura de Riemann pode ser escrito na forma [32, 35, 36] Rµντ ρ = Λ (gµτ gνρ − gµρ gντ ). 12 Para uma assinatura minkowskiana, a solução com de-Sitter (dS), enquanto que, no caso Λ < 0, Λ > 0 (2.10) é conhecida como espaço-tempo o espaço-tempo é chamado de Anti-de Sitter (AdS) [32]. Estes espaços também podem ser encontrados resolvendo uma equação quadrática. Para o caso do espaço-tempo AdS5 , tem-se [17, 31, 32, 34] X02 + X52 − X12 − X22 − X32 − X42 = R2 , onde 1 Λ =− . 2 R 12 (2.11) A equação anterior representa a equação de um hiperbolóide (ver gura (2.1) para uma representação gráca) num espaço plano de seis dimensões. A métrica neste espaço plano é ds2 = −dX02 − dX52 + dX12 + dX22 + dX32 + dX42 . (2.12) O espaço-tempo AdS5 tem isometria SO(2,4) e, além disso, é homegeneo e isotrópico [17, 31]. 18 Figura 2.1: Uma representação do espaço-tempo AdS como um hiperbolóide. Extraído de [17]. A equação (2.11) pode ser resolvida mediante um conjunto de coordenadas globais [17], X0 = R cosh ρ cos τ ; X5 = R cosh ρ sin τ ; Xi = R sinh ρX̂i , 4 X X̂i2 = 1 (2.13) i=1 de modo que a métrica (2.12) assume a forma ds2 = R2 − cosh2 ρ dτ 2 + dρ2 + sinh2 ρ dΩ23 , onde Ω3 é a 3-esfera. O nome de coordenadas globais é devido a que (2.14) ρ ∈ R+ e τ ∈ [0, 2π] cobrem todo o hiperbolóide. Pode-se observar que o tempo é periódico e com isso existem curvas tipo-tempo fechadas (ver gura (2.1)). Para modicar isto, considera-se o recobrimento 1 universal, onde τ ∈ R. Considera-se apenas o espaço AdS5 com recobrimento universal no estudo da correspondência AdS5 /CFT4 [17, 32]. Existe um outro conjunto de coordenadas (de Poincaré), introduzido com base num vetor de Lorentz em quatro dimensões X0 = xµ = (t, ~x) 1 1 + u2 (R2 + ~x · ~x − t2 ) ; 2u Xj = R u x j (j = 1, 2, 3); X4 = e uma quinta coordenada u>0 [17]: X5 = R u t; 1 (1 − u2 (R2 − ~x · ~x + t2 )). 2u (2.15) Nestas novas coordenadas, a métrica é modicada mais uma vez, tomando a forma 2 ds = R 2 1 2 2 µ ν du + u ηµν dx dx . u2 (2.16) fn chamada de recobrimento uniuma variedade Riemanniana Mn , existe uma única variedade M n n m f versal de M e existe uma aplicação sobrejetiva π : M → M que é um difeomorsmo local [37]. 1 Dada 19 Pode-se observar que a métrica (2.16) apresenta fatias (cortes) isomórcas ao espaço-tempo de Minkowski quadri-dimensional. O espaço-tempo de Minkowski é folhado sobre a métrica de Minkowski sendo multiplicada por um fator u2 . u ∈ [0, ∞], com Isto signica que um observador, u2 , num dos referenciais de Minkowski, observa longitudes sendo redimensionadas pelo factor conforme sua localização na quinta dimensão. Além disso, a fronteira do espaço-tempo AdS5 u=∞ encontra-se em (fronteira conforme), e o horizonte ca em u=0 [17, 32]. Existe uma outra maneira de expressar a métrica nas coordenadas de Poincaré [32] (usualmente utilizada). Basicamente, redene-se a quinta coordenada na forma u = 1/Z , de modo que a métrica assume a forma ds2 = Agora, a fronteira em Z = ∞. (u = ∞) R2 Z2 dZ 2 + ηµν dxµ dxν . ca na posição Z = 0, (2.17) enquanto que o horizonte (u = 0) ca Para nalizar esta revisão sobre o espaço-tempo AdS, deve-se observar que a correspondência AdS/CFT explora o fato do grupo SO(2,4) ser o grupo de isometrias do espaço-tempo AdS5 , e também o grupo de simetrias da teoria de campos conforme em quatro dimensões. Esta comparação pode ser realizada, alternativamente, com uma análise dos subgrupos que aparecem na escolha dos sistemas de coordenadas supracitados. Para uma revisão, ver os trabalhos [17, 32]. 2.3 O surgimento da correspondência AdS/CFT Tendo feito uma revisão dos principais conceitos envolvidos na correspondência AdS/CFT, é hora de desenvolver os fundamentos que levaram ao seu nascimento em 1997 [9]. Inicialmente, revisa-se o limite de 't Hooft [38] conforme observado desde o ponto de vista da teoria de cordas. 2.3.1 O limite de 't Hooft na teoria de supercordas Para compreender melhor a correspondência AdS/CFT, precisa-se compreender como uma teoria de gauge não-abeliana com simetria zinhança de N SU (N ) (com N muito grande) surge na vi- D3-branas muito próximas [3, 17]. Esta teoria de gauge possui uma constante de acoplamento gYM , que é adimensional e controla a intensidade das interações entre bósons de gauge. Consequentemente, a amplitude do processo tem que incluir um fator da constante de acoplamento gYM . G. 't Hooft mostrou que há um limite controlável de N → ∞, no qual 20 o acoplamento físico relevante não é mais gYM , e sim o acoplamento de 't Hooft 2 λ = gYM N que é mantido nito [38]. Por outro lado, a intensidade das interações entre cordas abertas é controlada pela constante de acoplamento g0 . Então, a amplitude dos processos (por exemplo que duas cordas se juntem numa só) deve incluir um factor de bósons de gauge ). g0 (processo similar ao caso das interações dos Na teoria de cordas os bósons de gauge são representados por cordas abertas. Portanto, a constante de acoplamento da teoria de gauge coincide com a constante de acoplamento das interações entre cordas abertas [3]. Agora examina-se a propagação de uma corda aberta com extremos lodalizados na e j -ésima D3-brana, sendo i 6= j . i Para determinar a amplitude da propagação mecânico- quântica de uma corda aberta desde uma condição inicial até outra nal, debe-se somar sobre todos los estados intermédios possíveis. A seguir, vai-se considerar algumas das primeiras contribuições para o cálculo dessa amplitude. As contribuições das interações podem ser organizados em diagramas que mostram a evolução da propagação uma corda. O diagrama mais simples é aquele no qual a corda se propaga livremente, na gura 2.2(a) mostra-se a ta produzida pela propagação da corda, as arestas são rotuladas pelas D3-branas i e j [3]. A amplitude associada neste primeiro caso não depende da constante de acoplamento, nem de N. Portanto, pode-se expressar da seguinte maneira A0 = c0 . (2.18) Figura 2.2: (a) Representa a propagação de uma corda aberta livre. (b) Representa a propagação de corda aberta, após ter interagido uma vez. Extraído de [3]. O próximo caso com a possibilidade mais simples é que a corda aberta separa-se em duas e depois voltam a se juntar numa só (como é mostrado na gura 2.2(b)). As interações que acontecem são representados por pontos nas guras (cada ponto contribui com uma 21 constante de acoplamento gYM ), neste caso temos só uma interação. Portanto, a constante de acoplamento tem que ser elevada ao quadrado, enquanto que a fronteira interior fechada é identicada como a k -ésima D3-brana (cada fronteira fechada contribui com um fator N ). Assim, neste caso a amplitude é 2 A1 = c1 gYM N. (2.19) Agora, pode-se considerar duas interações. Neste caso tem-se uma ta a mais adicionada, como mostra-se na gura 2.3(a). A amplitude do processo é 2 N )2 . A2 = c1 (gYM (2.20) Considerando outras interações pode-se geralizar a expressão para determinar a amplitude da propagação, como 2 Am = cm (gYM N )m . A= Portanto, a amplitude total é ∞ X Am = m=0 ∞ X 2 cm (gYM N )m . (2.21) m=0 Após substituir a constante de acoplamento de 't Hooft, temos A= ∞ X cm λm = f0 (λ) (2.22) m=0 Figura 2.3: (a) Representa a propagação de uma corda, após ter duas interações. (b) Diagrama não-planar, tem uma fronteira interna. Extraído de [3]. Para determinar a amplitude total A, deve-se adicionar à amplitude (2.22) as ou- tras contribuições que surgem quando adicionam-se mais tas que não dão surgimento a novas fronteiras fechadas nos diagramas. O exemplo mais simples é apresentado na gura 2.3(b). Esta gura é resultado de ter adicionado mais uma interação na gura 2.3(a), esta 22 nova interação não aumenta o número de fronteiras, pelo contrario, o número de fronteiras fechadas diminui em um. As guras que têm esta propriedade são denominadas diagramas não planares. Em geral temos o seguinte, uma ta nova adicionada na gura pode aumenta em um, ou diminuir em um, o número de fronteiras que existe. No caso em que diminui temos um fator adicional 2 gYM /N (λ/N). Considerando estes termos na amplitude total têm-se [3] A = f0 (λ) + f2 (λ) 1 2 N + f4 (λ) 1 4 N + ··· , (2.23) que é válido quando N é grande e o acoplamento de 't Hooft xo [3]. Além disso, este resultado é similar ao encontrado por 't Hooft quando procurava uma forma alternativa para descrever a QCD a baixas energias [38]. Pode-se indicar então que uma teoria de gauge é dual a uma teoria de cordas abertas no limite de 't Hooft. 2.3.2 D3-Branas Na seção anterior mostrou-se como pode-se induzir uma teoria Yang-Mills perto das N D3-branas coindicentes. Nesta seção vai-se fazer uma revisão de como no limite de baixas 5 energias pode-se gerar um espaço-tempo AdS5 ×S perto das N D3-branas. Existem duas teorias de cordas consistentes com máxima supersimetria, estas teorias moram num espaçotempo de 10 dimensões [35]. Estas são, a teoria de cordas de tipo IIA e IIB. Desde que a correspondência AdS/CFT só trabalha com a teoria IIB. A seguir só considera-se esta teoria. O multipleto IIB supersimétrico contém os seguintes campos Bosónicos [32,34]: a métrica Bµν , e 3 potenciais gµν , um campo escalar (dílaton) φ, um tensor anti-simétrico de 2 índices (C0 , C2 , C4 ). Além disso, a supersimetria requere que C4 seja auto-dual (F5 = ∗F5 = dC4 ). A ação que descreve a dinâmica da teoria de supercordas IIB é SIIB onde, 2A Z 1 2 1 10 √ −2φ 2 dx ge R + 4(∂φ) − Hµντ − = (2π)7 (α0 )4 12 ! √ 2 2 F̃µντ F̃µντ g 1 ρσ (Fµ )2 + + − µ1 ···µ10 Cµ1 ···µ4 Hµ5 ···µ7 Fµ8 ···µ10 + Férmions, 2 3! 5! 2 Hµντ representa a curvatura de Bµν , e F̃µ1 ···µp+1 2 é a curvatura modicada. curvatura modicada se dene como: F̃µ1 ···µp+1 = Fµ1 ···µp+1 − B{µ1 µ2 Fµ3 ···µp+1 } (2.24) A solução 23 D3-branas foi determinada impondo as restrições 2 ds = R4 1+ 4 r −1/2 −dt + 2 3 X ! 2 (dxi ) i=1 Bµν = 0 R4 + 1+ 4 r O resultado (2.25) é uma solução tipo buraco negro, onde Enquanto que C0 = φ = Const. e r 1/2 dr2 + r2 dΩ25 . N D3-branas estão localizadas. (2.25) representa a coordenada radial. R pode se reescrever como R4 ≡ 4πgs N (α0 )2 , com gs = eφ . é o lugar onde as [39] O horizonte (r = 0) Na métrica (2.25) tem duas regiões de interesse que devem ser analisados [9, 14, 17, 32, 34]. Região: rR É usual introduzir uma nova variável Z ≡ R2 /r. Nesta região a métrica (2.25) ca reduzida à forma 2 ds = R 2 1 Z2 −dt + dx + dy + dz + dZ 2 2 2 2 2 O resultado (2.26) representa a métrica do espaço-tempo AdS5 + dΩ25 × S5 . (2.26) (ver seção 2.2), onde R representa o radio da 5-esfera e do espaço AdS. Região: rR Nesta região obtém-se a métrica de um espaço-tempo plano em 10 dimensões [9, 14, 17, 32, 34]: ds = −dt + 2 2 9 X (dxi )2 . (2.27) i=1 2.3.3 O limite de Maldacena O limite de Maldacena [9] consiste em manter xos as escalas de longitud, enquanto α 0 → 0. Neste limite só a região AdS5 × S5 gs e N, da geometria das D3-branas sobrevive e contribui na dinâmica das cordas, enquanto que a dinâmica da região assimptoticamente plana, desacopla-se da teoria. Lembra-se agora que no limite de N se uma teoria de gauge (Super Yang-Mills grande e as SU (N )) N D3-branas muito próximas, induze- sobre as N D3-branas. Neste caso, a ação 24 pode ser expressada como S 0 = SSYM + SIIB Minkowski + SInteração , onde SIIB Minkowski é a ação na região longe das entre as duas regiões (perto e longe das N N D3-branas e SInteração (2.28) é a ação de interação D3-branas). No limite de Maldacena a ação de interação é desprezível. Por outro lado temos que na região próxima das região com geometria AdS5 × S 5. N D3-branas (r R), tem-se uma Portanto, no limite de Maldacena a ação é S 00 = SIIB AdS5 × S 5 + SIIB Minkowski . (2.29) O fato de estar estudando o mesmo sistema físico (D3-branas) levou a Maldacena à conclusão de que as duas ações, (2.28) e (2.29) têm que ser equivalentes [9]. SSYM ≡ SIIB AdS5 × S 5 . O resultado (2.30) indica que a teoria de Yang-Mills com supersimetria estendida (2.30) N = 4 em 4 dimensões, é equivalente a uma teoria de supergravedade IIB num espaço AdS5 ×S 5 [9, 14, 17]. Usando a correspondência AdS/CFT pode-se calcular quantidades físicas mapeando estas numa outra teoria dual. Para uma revisão de como determinar quantidades físicas usando a correspondência ver as referências [35, 9, 14, 17, 31, 32, 3436]. CAPÍTULO 3 O MODELO SOFT-WALL O modelo soft-wall foi originalmente proposto sem a presença de efeitos térmicos (a temperatura zero) [21]. Este modelo nasceu com o objetivo de aproximar mais os resulta- dos teóricos (numéricos) aos experimentais, para o espectro de mésons. O campo escalar tipo dílaton, característico deste modelo, é introduzido `à mão', e representa um corte no espaço-tempo AdS. Propriedades adicionais foram incluídas com a adição de um horizonte de eventos (brana negra) na teoria. uma transição de fases. Entre estas propriedades, destaca-se o surgimento de Na teoria dual, a temperatura de transição (Tc ) entre a fase AdS sem buraco negro e a fase com buraco negro é interpretada como a temperatura de transição connamento/desconnamento dos quarks, ou seja, a temperatura de formação do plasma de quarks e glúons. Estes e outros conceitos envolvidos no modelo soft-wall são revisados no presente capítulo. 3.1 O modelo soft-wall a temperatura zero Os autores de [21] propõem a introdução de um campo escalar de fundo sobre o espaço AdS, tal que este campo escalar tipo-dílaton tenha a forma geometria do espaço-tempo AdS. A forma do campo Φ (Z ) Φ (Z ) = cZ 2 e não interra na foi escolhida de tal modo que se reproduza as trajetórias tipo-Regge de partículas com elevado número quântico radial S, n e spin conhecidas a partir de resultados experimentais [40]. A particularidade deste campo de fundo é que ele pode ser interpretado como um corte macio na região do infravermelho (IR) do espaço-tempo AdS. Além disso, ele se acopla às perturbações produzidas por campos externos, como o campo eletromagnético. O background de um espaço-tempo AdS a temperatura zero 26 (ou seja, sem horizonte de eventos) é descrito pela métrica: ds2 = gM N dxM dxN = onde ηµν = (−1, 1, 1, 1), xµ R2 Z2 (ηµν dxµ dxν + dZ 2 ), (3.1) são as coordenadas usuais e Z a quinta coordenada. 3.2 O espectro de massa dos mésons 2 Os resultados experimentais mostram que o quadrado da massa de hádrons leves (mn ) é diretamente proporcional ao número quântico radial, m2n ∝ n, para o caso em que a partícula está altamente excitada. Uma situação similar acontece quando se tem spin elevado m2S ∝ S . S 1, Em resumo, os resultados experimentais mostram o seguinte comportamento da massa dos mésons: m2n ∝ n, m2S ∝ S. (3.2) Conhecido o comportamento experimental da massa dos mésons, determina-se agora uma expressão analítica para este espectro de massas, utilizando o procedimento adotado no trabalho [21]. Deve-se ter em consideração que os mésons são representados na teoria gravitacional dual por perturbações do campo eletromagnético em 4+1 dimensões. Estas perturbações propagam-se num background constituído pelo espaço-tempo AdS puro, cuja métrica é dada por (3.1), mais o campo escalar tipo dílaton Φ (Z ) = cZ 2 . A ação que descreve a dinâmica desde campo de gauge é 1 S=− 2 g5 onde g52 Z é a constante de acoplamento e √ d5 x −ge−Φ(Z ) FM N F M N , gM P são as componentes do tensor métrico (3.1). Os índices M, N, P,...(maiúsculas latinas) tomam valores tensor campo eletromagnético em 4+1 (3.3) 0, 1 . . . , 4, e FM N = ∂M AN − ∂N AM é o dimensões. O calibre (gauge ) escolhido para simplicar as equações de movimento é o radial, xµ = AZ = 0. Por outro lado, a invariância do sistema por translações nas coordenadas (t, x, y, z) implica que o potencial vetor pode ser convenientemente escrito na forma de uma transformada de Fourier: Z Aµ (Z , x) = d4 k ik·x e Aµ (Z , ω, q). (2π)4 (3.4) Sem perda da generalidade, a direção de propagação da perturbação pode ser escolhida como 27 z, de modo que o vetor de onda assume a forma kµ = (−ω, 0, 0, q). Com isso, o potencial vetor pode ser escrito na forma simplicada Z Aµ (Z , x) = dqdω −iωt+iqz e Aµ (Z , ω, q). (2π)2 (3.5) Aplicando o princípio de mínima ação à equação (3.3), encontram-se as seguintes equações de movimento: Após introduzir √ ∂M ( −ge−Φ F M N ) = 0. √ B = cZ 2 + ln ( cZ ) (3.6) e levar em conta que Ex = ωAx Ey = ωAy Ez = ωAz + qAt , (3.7) obtém-se a seguinte equação para as componentes do campo elétrico: eB ∂Z e−B ∂Z Ej + m2 Ej = 0, onde (3.8) j = x, y, z . A forma mais simples de resolver a equação (3.8) é tranformá-la numa equação dife- rencial tipo-Schrödinger. Para fazer isso, realiza-se a seguinte transformação de Bogoliubov: Ej = eB/2 ψ. (3.9) 1 Após substituir (3.9) em (3.8), encontra-se a equação −ψn00 + V ψn = En ψn , onde En = m2n /c e o potencial efetivo V = V (3.10) é dado por 3 (B 0 )2 B 00 − = cZ 2 + . 4 2 4cZ 2 (3.11) A equação (3.10), com o potencial (3.11), possui solução exata. De fato, (3.10) é um 1A equação (3.10) é similar à equação radial de um oscilador harmônico em 2 dimensões [41, 42]. 28 caso particular da equação geral −ψn00 m2 − 1/4 2 + cZ + ψn = En ψn . cZ 2 (3.12) Para essa equação, os autovalores da energia são En = 4n + 2m + 2 (n = 0, 1, 2, . . . ) (3.13) e as autofunções normalizadas são √ √ 2 ψn ( cZ ) = e−cZ /2 ( cZ )m+1/2 onde Lm n s √ 2n! Lm n ( cZ ) (m + n)! são os polinômios associados de Laguerre. A equação (3.10) corresponde ao caso em que 4(n + 1). (3.14) Com isso, o espectro de massa dos mésons ρ m = 1, de modo que En = m2n /c = a temperatura zero é m2n = 4c(n + 1). (3.15) Para obter uma expressão geralizada do espectro de massas de partículas leves, ver o trabalho [21]. Assim, seguindo um procedimento similar ao desenvolvido, encontra-se a expressão geral: m2n,S = 4c(n + S). (3.16) O resultado (3.16) está em concordância com o que os resultados experimentais indicam (3.2). Agora, considera-se como exemplo o caso das partículas leves chamadas glueballs escalares. Neste caso, tem-se o valor do spin campo escalar φ(Z ) S = 2, os glueballs escalares são representados por um na teoria gravitacional dual, este campo escalar, interage com os dois campos que constituem o background na teoria gravitacional (o espaço-tempo AdS e dílaton). Nos trabalhos [27, 43], foi realizado um estudo detalhado dos glueballs escalares usando o modelo soft-wall a temperatura nita, nestes trabalhos é conrmado o espectro de massas a temperatura zero. m2Gn = 4c(n + 2). (3.17) Assim, de fato, em nosso trabalho temos 3 campos envolvidos: o primeiro representa os mésons vetoriais na teoria gravitacional dual (o campo elétrico), o segundo é o espaçotempo AdS com buraco negro (este buraco negro introduz propiedades térmicas além das que 29 existiam), e nalmente temos o campo escalar tipo dílaton, que representa um corte na região do infravermelho do espaço-tempo AdS. Deve-se ter em conta que neste modelo o campo externo acopla-se aos dois campos background (espaço-tempo AdS + dílaton), enquanto que eles não se acoplam mutuamente. 3.3 O modelo soft-wall a temperatura nita O modelo soft-wall, originalmente proposto a temperatura zero, foi revisado na seção anterior. Uma possível variação deste modelo consiste na introdução de um horizonte de eventos no background AdS, que irá fornecer propriedades termodinâmicas à teoria de campos dual. Assim, o modelo soft-wall a temperatura nita é caracterizado pela métrica de uma brana negra 2 ds = onde f (Z ) = 1 − Z 4 /Z 4h . R2 Z2 − f (Z )dt + dx + dy + dz 2 2 2 2 + R2 dZ 2 , Z 2 f (Z ) (3.18) Conforme comentado acima, também temos um campo escalar tipo dílaton estático sobre o background AdS, o qual pode ser escrito como Φ(Z ) = cZ 2 . A fronteira, e horizonte cam localizados em Z B c =0 (3.19) e Z = Zh, é proporcional ao quadrado de uma escala de massa (c no trabalho de Herzog [25], enquanto que T respectivamente. A constante ≈ 0.2501 m2ρ ) que foi determinada é interpretado como a temperatura na teoria de campos dual. 3.4 Transição de fase e temperatura de desconnamento (Tc ) Uma análise da temperatura de desconnamento dos quarks foi realizada no trabalho de Herzog [25]. Esta temperatura na teoria gravitacional dual, é interpretado como uma transição do tipo Hawking-Page em primeiro ordem entre um espaço AdS térmico sem buraco negro, e um espaço AdS com buraco negro [22]. Esta transição de fase, é interpretado na teoria de campos dual como a transição entre o connamento e o desconnamento dos quarks [25]. A temperatura que caracteriza o buraco negro é conhecida como a temperatura Hawking, T = 1/(π Z h ). Para baixas temperaturas (T < Tc ), a fase de AdS térmico é (globalmente) estável, enquanto que, o AdS com buraco negro é instável. Por outro lado, para temperaturas elevadas (T > Tc ) o AdS com buraco negro se torna estável. A temperatura de transição de fase, entre connamento/desconnamento no modelo soft-wall, foi determinada por Herzog 30 0.5 16 14 0 12 Buraco Negro CBN SBN − SAdS AdS Térmico −0.5 −1 10 Fase de BN Fase de BN 8 Instável Metaestável 6 Transição Confinamento/Desconfinamento −1.5 4 2 0 −2 −2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 5 0.5 1 1.5 2 2.5 (πT)2/c (πT) /c 2 Figura 3.1: Apresenta-se (à esquerda), a diferença das densidades de ação, como função da temperatura normalizada (πT )2 /c. Pode-se observar a transição de fase entre o espaço AdS térmico, e o AdS com buraco negro, sendo que a linha vertical representa a temperatura na qual acontece esta transição. Também é apresentado (à direita), o calor especíco do AdS com buraco negro, como função de (πT )2 /c. como sendo √ Tc = 0.4917 c [25]. O parâmetro, comparação com a massa do méson leve é Tc = 191 ρ √ c = 388 Mev, foi determinado fazendo uma [25], portanto a temperatura de transição de fase Mev. A densidade da ação (energia livre), para os dois estados (AdS com e sem horizonte de eventos) pode ser expressa na seguinte forma [29], SAdS SBN onde Ei(ν),2 N2 2 3 −γ β , = 2 c 4π 2 (3.20) N2 2 c 1 1 2 −cZ 2h = SAdS + 2 c Z h Ei(−cZ h ) + e − 3 + 3 , 4π Zh Zh 2Z h (3.21) é a função expointegral. Por outro lado, o calor especíco fornece informações sobre a estabilidade local dos estados (AdS puro e AdS com buraco negro), e pode ser determinado usando as expressões (3.20) e (3.21). No caso do AdS com buraco negro, tem-se CBN ∂2 π 2 2 3 − (πTc )2 4c SBN = N T e +6 −3 . ≡ −β ∂β 2 2 (πT )2 2 (3.22) A transição de fase e a estabilidade (local), podem ser analisadas a partir dos grácos da diferença da densidade de ação (energia livre) e do calor especíco, como funções da temperatura normalizada, pelo parâmetro √ c. Estes resultados, baseados nos trabalhos [27, 29], são apresentados na gura 3.1. O gráco do calor especíco, mostra a fase de instabilidade (local) do AdS com buraco negro, para temperaturas menores que, (πT )2 /c ≈ 0.75. Esta fase, corresponde ao plasma de quarks e glúons resfriado, na teoria de campos dual. Então conclui- 2 Denida como Ei(ν) = − R∞ −ν t−1 e−t dt 31 se que esta fase (plasma), é metaestável para temperaturas maiores que, (πTc )2 /c ≈ 2.4. 0.75, e menores que, Isto devido a que, o calor especíco é positivo neste intervalo de temperaturas, mas a fase de buraco negro é globalmente instável. Se os efeitos causados pelo dílaton são pequenos, o calor especíco (3.22), reduz-se a uma expressão que é sempre positiva: CBN = 3π 2 2 3 N T . 2 (3.23) CAPÍTULO 4 PERTURBAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS De acordo com a correspondência AdS/CFT, cada operador na teoria de campos da fronteira possui seu dual na teoria gravitacional. No caso das perturbações eletromagnéticas, os operadores densidade de corrente na teoria de campos têm como duais as componentes do potencial vetor no lado gravitacional. Conforme mostrado no presente capítulo para o modelo soft-wall a temperatura nita, a dinâmica das perturbações produzidas por um campo eletromagnético sobre o espaço-tempo AdS se reduz a um par de equações diferenciais ordinárias. As informações contidas nestas equações podem ser extraídas de forma mais simples após transformá-las em equações tipo-Schrödinger. Estudando o comportamento destas equações nas vizinhanças da fronteira e do horizonte, são determinadas soluções assintóticas das equações de movimento. No nal do capítulo, se faz uma análise dos potenciais efetivos obtidos ao transformar as equações de movimento em equações tipo-Schrödinger. 4.1 Equações de movimento As equações de movimento são derivadas da ação que descreve a dinâmica das perturbações de um campo de gauge em 4+1 dimensões. No modelo soft-wall , a forma explícita desta ação é dada por: Nc2 S=− 64π 2 R Z √ d5 x −ge−Φ FM N F M N , (4.1) Aplicando o princípio de mínima ação à (4.1), obtém-se as equações de movimento: √ ∂M ( −ge−Φ F M N ) = 0. (4.2) 33 Para determinar a forma explícita destas equações, deve-se levar em conta as componentes não-nulas do tensor métrico (3.18): gtt = − R2 Z2 f (Z ) gxx = gyy = gzz = gZZ = 2 R Z2 R2 Z 2 f (Z ) g =− Z tt , 2 R2 f (Z ) g xx = g yy = g zz = g ZZ = Z 2 f (Z ) R2 Z 2 R2 Além disso, é necessário conhecer também o determinante do tensor métrico é dado por √ −g = R5 /Z 5 . √ . −g , o qual Após realizar algumas simplicações, encontram-se as seguintes equações de movimento em termos das componentes do potencial vetor: ∂Z At − 2 1 Z + 2cZ q qAt + ωAz = 0, ∂Z At − f (4.3) ∂Z f 1 1 ∂Z Aa + − − 2c Z ∂Z Aa + 2 (ω 2 − q 2 f )Aa = 0, f Z f ∂Z f 1 ω 2 ∂Z Az + − − 2c Z ∂Z Az + 2 qAt + ωAz = 0, f Z f 2 (a = x, y) (4.4) (4.5) ω∂Z At + qf ∂Z Az = 0. (4.6) As equações anteriores podem agora ser escritas em função das componentes do campo elétrico, que são dadas por: Ex = ωAx Ey = ωAy Ez = ωAz + qAt . (4.7) Assim, nalmente, têm-se as equações de movimento procuradas: ω 2 ∂Z lnf 1 (ω 2 − q 2 f ) ∂Z Ez + 2 − − 2c Z ∂Z Ez + Ez = 0. ω − q2f Z f2 2 1 (ω 2 − q 2 f ) Ea = 0, ∂Z Ea + ∂Z lnf − − 2c Z ∂Z Ea + Z f2 2 (4.8) (a = x, y). (4.9) Deve-se ter em consideração que a equação diferencial para a componente longitudinal (4.8) possui pontos singulares em Z = 0, ±Z h , ± p 4 1 − ω 2 /q 2 Z h , enquanto que os pontos singu- lares da equação para a componente transversal (4.9) são 0, ±Z h , ±∞. Na próxima seção, procuram-se soluções das equações de movimento, mas para fazer isso, têm que ser transformadas em equações tipo-Schrödinger. 34 4.2 Equações tipo-Schrödinger Como comentou-se antes, para obter informações relevantes das equações de movimento (4.8) e (4.9), é conveniente transformá-las em equações tipo-Schrödinger. Para fazer isso é conveniente expressar a equação (4.2) na seguinte forma eB f ∂Z e−B f ∂Z Ez + [ω 2 − q 2 f ]Ez = 0, onde B = Φ + ln(Z [ω 2 − q 2 f ]/R). como r∗ = tal que r∗ satisfaz a relação Ez = eB/2 ψz Zh 2 (4.10) Introduzindo a coordenada tartaruga [27, 55], denida − arctan Z Zh ∂r∗ = −f (Z )∂Z . 1 + ln 2 −Z Zh + Z Zh , (4.11) Fazendo uma transformação de Bogoliubov em (4.10). Obtém-se a equação ∂r2∗ ψz + ω 2 ψz = V ψz , (4.12) onde o potencial longitudinal efetivo é V = q2f + aqui B0 = ∂r∗ B. (B0 )2 B00 − , 4 2 (4.13) Seguindo o procedimento anterior pode-se determinar a equação tipo-Schrödinger que são satisfeitas pelas componentes transversais, eA f ∂Z e−A f ∂Z Ea + [ω 2 − q 2 f ]Ea = 0, onde A = Φ + ln(Z /R). Fazendo a transformação de Bogoliubov (4.14) Ea = eA/2 ψa em (4.14). Obtém-se a equação ∂r2∗ ψa + ω 2 ψa = V̄ ψa , (4.15) e o potencial transversal, é denido como V̄ = q 2 f + (A0 )2 A00 − . 4 2 (4.16) 35 4.3 Soluções assintóticas das equações fundamentais Uma vez conhecidas as equações de movimento, investiga-se agora o comportamento das componentes do campo elétrico nas proximidades do horizonte de eventos e da fronteira. Para fazer isso, leva-se em conta que o potencial é zero no horizonte. Neste caso, tem-se um comportamento de onda livre para ψz o que implica a existência de ondas planas entrantes e saintes no horizonte. A segunda região de interesse é a fronteira, onde se tem uma combinação de soluções normalizáveis e não-normalizáveis. Inicialmente estuda-se o comportamento nas vizinhanças do horizonte. Devido a que o potencial (4.30) é zero no horizonte, a equação diferencial (4.12) tem a forma ∂r2∗ ψz + ω 2 ψz = 0, (4.17) ψz ∼ Aint e−iωr∗ + Aout e+iωr∗ . (4.18) cuja solução é dado por: Observa-se do resultado anterior que a função de onda das soluções (−) ψz (onda entrante) e (+) ψz ψz é expressado como uma superposição (onda sainte). Por outro lado, a solução da equação de Schrödinger (4.12) perto do horizonte pode ser determinada usando o método de séries de potência. Além disso, esta solução pode ser expressado em termos das soluções de onda entrante e sainte, a saber " ψz(±) (Z ) = e±iωr∗ 1 + (±) a1 1− Z Zh + (±) a2 1− Z Zh # 2 + ··· , (4.19) onde q 2 ω 2 Z 2h + 4 c ω 2 Z 2h + 2ω 2 + 8q 2 . 2(iZ h ω ± 2)ω 2 4 1 3 3 =− 4 Z h ω Z h ω + 16Z h ω − 160i + 384 q 8ω (Z h ω + 2i)(Z h ω + 4i) (±) a1 (±) a2 = +8ω 2 (Z h (2ω(Z h ω + 8i) + cZ h (Z h ω(Z h ω − 4i) + 16)) − 16)q 2 3 4 2 4 +2ω 4c (4 − iZ h ω)Z h + 16ic ω Z h + iω Z h + 12 . (4.20) (4.21) Estas soluções podem ser expressadas como uma combinação linear de uma base formada pelas soluções da equação diferencial (4.12) perto da fronteira (ψ1 e (−) ψz(−) = A(−) z ψ1 + Bz ψ2 ψz(+) = A(+) z ψ1 + Bz(+) ψ2 . ψ2 ), na forma: (4.22) 36 A seguir, determina-se as soluções da equação diferencial (4.12) perto da fronteira. Nesse caso, têm-se as soluções ψ1 (normalizável) e ψ2 (não-normalizável). A segunda solução (não-normalizável) é determinado usando o teorema de Fuchs [57, 58], ψ1 (Z ) = 3/2 " Z 1 + a2 Zh ψ2 (Z ) = Z 1 + b2 Zh a0 e b0 2 + a4 Zh −1/2 " onde os coecientes Z Z 2 Zh + b4 Zh # 4 Z Z Zh + ··· , (4.23) # 4 + · · · + 2Dψ1 (Z ) ln são escolhidos iguais a 1, enquanto que b2 Z Zh , (4.24) é arbitrário e pode ser zero, os coecientes restantes são: − q2) 1 32ω 2 2 4 2 2 2 4 a2 = − , a4 = 8c Z h + q − ω Z h + 2 + 96 8 192 q − ω2 2 2 2 32q 2 1 Z h (ω − q ) 2 2 2 4 2 4 8c Z h − 3 q − ω Z h + 2 b4 = , D = − . 64 q − ω2 4 2 2 Z h (ω (4.25) Como se fez antes, pode-se expressar a solução normalizável e não-normalizável, como uma combinação linear de uma base formada pelas soluções de tipo onda entrante e sainte: ψ1 = Aint(1) ψz(−) + Aout(1) ψz(+) (4.26) ψ2 = Aint(2) ψz(−) + Aout(2) ψz(+) . A relação entre os coecientes de conexão das equações (4.22) e (4.26) é da forma (−) (−) Az Bz (+) Az (+) Bz = Aint(1) Aout(1) Aint(2) Aout(2) −1 (4.27) Estes coecientes vão ser utilizados para determinar a função espectral da componente longitudinal do campo elétrico, mais para frente no trabalho. 1 Com as soluções assimptóticas das equações tipo-Schrödinger determinadas, procede- se agora com uma análise do comportamento das componentes do campo elétrico perto do horizonte. Para fazer isto, usa-se as transformações de Bogoliubov. Substituindo as soluções assimptóticas, obtém-se o comportamento da componente longitudinal do campo elétrico no horizonte. Ez = Ge−iωr∗ + Heiωr∗ . Dependendo do sinal, a componente 1 Devido Ez (4.28) tem o comportamento típico de uma onda entrante a que as equações tipo-Schrödinger são as mesmas no caso, q = 0. 37 (−), ou de uma onda sainte (+). Além disso, sabe-se que classicamente as branas negras não emitem radiação, por esse motivo considera-se apenas o sinal (−) no resultado (4.28). Fazendo a mesma análise para as outras componentes do campo elétrico, encontra-se novamente o resultado (4.28). Observa-se, portanto, que as componentes transversais do campo elétrico, Ea , têm o mesmo comportamento que a componente longitudinal Ez . Para analizar o comportamento das componentes do campo elétrico próximo da fronteira, igual que antes, usa-se as transformações de Bogoliubov e as soluções assimptóticas (4.26). Mostra-se assim que o comportamento das componentes do campo elétrico próximo da fronteira é (−) 2 ; (j = x, y, z) Ej(−) = A(−) j (ω, q) + Bj (ω, q)Z + · · · onde as reticências indicam termos de mais altas ordens em Z e o sobrescrito Ej(−) satisfaz uma condição de onda entrante no horizonte. (4.29) (−), indica que Os resultados acima serão utilizados mais adiante no trabalho para determinar as funções de correlação corrente-corrente, na teoria de campos dual. 4.4 Análise do potencial longitudinal Após a obtenção das soluções assimptóticas que foram determinadas na seção anterior, nesta seção estuda-se o potencial que surge depois de introduzir a coordenada tartaruga na equação de movimento da componente longitudinal do campo elétrico. Como foi determinado antes, a expressão do potencial longitudinal é dada por (4.30) (B0 )2 B00 V =q f+ − , 4 2 2 onde B0 = ∂r∗ B. Que pode ser escrito em forma explícita, como função da coordenada Z 1 (4c2 Z 4 − 5) Z 8 2 (2Z 2 q 4 + (4c2 Z 4 − 9) q 2 + 8ω 2 (cZ 2 + 3)) Z 4 V (Z ) = 2 − + 8 4Z Zh q 2 Z 4h 4ω 2 (ω 2 (cZ 2 + 3) − 4q 2 ) Z 2 12ω 4 Z 6 2 2 2 2 +c Z + +q Z +3 . 4 8 Z h (ω 2 − q 2 f (Z )) 2 q 2 Z 4h (ω 2 − q 2 f (Z )) Agora, vai-se analisar o potencial para alguns casos particulares da temperatura parâmetro c. (4.30) (4.31) T, e do Para o caso de temperatura zero, o potencial (4.31) ca reduzido à forma V (Z ) = T =0 1 Z2 3 2 2 2 4 +Z q +c Z , 4 (4.32) 38 que é igual ao potencial apresentado no trabalho [21]. Quando consideram-se os efeitos do parâmetro V (Z ) c=0 f (Z ) =− 2 4Z − 5Z 4 4 Zh + 4q 2 c desprezíveis, o potencial tem a forma 4Z 2 ((q 2 − 3ω 2 ) Z 4 + (ω 2 − q 2 ) Z 4h ) 2 −1 Z −3 . 8 Z h (ω 2 − q 2 f (Z )) 2 (4.33) Por outro lado, quando o número de onda é zero, nota-se que o potencial não depende mais da energia. O fato de ter momento zero, pode ser interpretado sicamente como aqueles estados de quasipartícula formados na teoria dual apresentam unicamente energia de repouso. O caso de interesse neste trabalho é quando não temos momento. Portanto (4.31) ca como V (Z ) q=0 f (Z ) 5Z 4 4c2 Z 8 16cZ 6 2 4 = − 4 + + 4c Z + 4 + 3 . 4 4Z 2 Zh Zh Zh (4.34) 4.5 Análise do potencial transversal Continuando o desenvolvimento do trabalho, agora se faz a mesma análise feita na seção anterior, para o caso do potencial transversal V̄ = q 2 f + (A0 )2 A00 − . 4 2 (4.35) Este potencial escrito em forma explicita é, 4 f (Z ) Z 2 2 2 4 2 2 V̄ = 3 + 4q Z + 4c Z + (5 − 4cZ [cZ − 4]) 4 . 4Z 2 Zh (4.36) Como antes, vai-se analisar o potencial para alguns casos particulares da temperatura do parâmetro c. T, e Para o caso de temperatura zero, o potencial (4.35) ca reduzido à forma V̄ (Z ) = T =0 1 Z2 3 2 2 2 4 +q Z +c Z . 4 Enquanto considera-se os efeitos do parâmetro V̄ (Z ) c=0 f (Z ) = 4Z 2 c (4.37) desprezíveis, temos 3+ 4q 2 Z 2 +5 Z 4 2 Zh . (4.38) O caso estudado neste trabalho é para momento zero, assim (4.35) é V̄ (Z ) q=0 f (Z ) 4c2 Z 8 16cZ 6 5Z 4 2 4 = − 4 + + 4c Z + 4 + 3 . 4 4Z 2 Zh Zh Zh (4.39) 39 Como pode-se apreciar dos resultados (4.34) e (4.39), o comportamento do potencial longitudinal e transversal é o mesmo, quando o número de onda é zero. A seguir se faz uma análise do potencial (4.34) para diferentes valores da temperaturas (pequenas, intermedias e elevadas). Os mesmos resultados são obtidos para o potencial (4.39). 4.6 Temperaturas intermediárias e elevadas Gracou-se o potencial (4.34) normalizado (pelo parâmetro c) como função da coorde- nada tartaruga (também normalizada pelo mesmo parâmetro), isto, para diferentes valores da temperatura T̂ 2 . Os resultados são apresentados na gura 4.1. Como pode ser observado, para valores elevados de T̂ o potencial apresenta comportamento assimptótico (T̂ medida que a temperatura vai diminuindo, o potencial começa a se curvar (T̂ o valor da temperatura atinge T̂c2 ≈ 0.546, 2 2 = 1). > 1), na Quando o potencial ainda não aprensenta poço, mas se continua-se diminuindo a temperatura, vai-se ter a formação de um poço de potencial (gura 4.2). Também pode-se observar que o valor do potencial aumenta com a temperatura, isto, para um valor xo da coordenada tartaruga. Então conclui-se que neste regime de temperaturas, não se formam estados de quasepartícula na teoria de campos dual, e, o espectro dos modos quasenormais não têm diferença signicativa, do caso no qual o dílaton é zero, como apresentado nos trabalhos [24, 51] 14 10 8 12 6 4 10 2 (πT) /c=0.546 2 V/c 0 8 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 2 (πT) /c=100 6 2 (πT) /c=25 4 2 (πT) /c=1 2 2 (πT) /c=9 2 (πT) /c=225 0 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 r* c1/2 Figura 4.1: Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal para diferentes valores da temperatura, observa-se que este potencial não apresenta poço, para T̂ 2 & 0.546. 40 4.7 Baixas temperaturas Nesta seção apresenta-se os resultados do potencial longitudinal no regime de baixas temperaturas. Na gura 4.2, pode-se observar o comportamento do potencial para diferentes 2 valores da temperatura. Pode-se notar que, à medida que a temperatura diminui, a barreira de potencial formado perto da fronteira (r∗ = 0), vai ganhando altura. Devido a que a temperatura é muito pequena, pode-se fazer uma expansão, usando como parâmetro o valor pequeno da temperatura. V = 3 (−4c2 Z 4 + 8cZ 2 + 1) 4 2 4 (4cZ 2 (cZ 2 − 4) − 5) 8 6 8 2 2 16 + c Z + π Z T + π Z T +O T , 4Z 2 2 4 (4.40) onde pode-se observar nos dois primeiros termos da direita, o potencial a temperatura zero (4.32). Os seguintes termos são correções devido à temperatura. Além disso, pode-se expressar o potencial como função da coordenada tartaruga (4.11), que perto da fronteira pode ser expressado na forma [27], Z = −r∗ r4 1 − ∗4 5zh . (4.41) Portanto, substituindo (4.41) em (4.40), e considerando só termos que contribuem mais na temperatura, teremos: V = 4 2 4 4 3 2 2 2 2 4 + c r + 1 + 5cr − 3c r ∗ ∗ ∗ π r∗ T . 4r∗2 5 (4.42) Observa-se que o potencial é uma combinação linear de varior termos, entre eles, uma barreira de potencial innito, localizado em r∗2 , r∗ → 0, um termo tipo oscilador harmônico e as contribuições da temperatura. Cada termo adicional contribui para que o poço de potencial tenha a forma da gura 4.2. Conclui-se o análise do potencial a baixas temperaturas indicando que os poços de potencial formados neste regime, ajudam na formação dos estados de quasipartícula, que são associados aos estados de mésons vetoriais formados na teoria de campos dual. Estes mésons formados, vão possuir unicamente energia de repouso, isto devido a que o momento é zero em nosso análise. 2 Os valores da temperatura foram escolhidos baseados na referência [45] 41 20 2 (πT) /c=0.0148 15 2 V/c (πT) /c=0.0187 2 10 (πT) /c=0.0253 2 (πT) /c=0.0394 5 2 (πT) /c=0.0905 0 −10 −8 −6 −4 −2 0 r* c1/2 Figura 4.2: Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal, no regime de baixas temperaturas. Observa-se que quando a temperatura diminui, a barreira de potencial na esquerda aumenta. Portanto, para temperaturas mais baixas, os estados de quasipartícula têm mais probabilidade de ser formados. CAPÍTULO 5 FUNÇÕES DE GREEN RETARDADAS No presente capítulo, as funções de Green retardadas são determinadas com a utilização da prescrição de Son-Starinets [15]. Devido ao fato das utuações na densidade de carga (no lado CFT) se acoplarem às utuações eletromagnéticas (no lado AdS), ocorre o surgimento de um modo hidrodinâmico de difusão no setor longitudinal das perturbações. Determinam-se também as funções espectrais por meio de uma integração numérica da equação de movimento. Para tanto, utiliza-se a solução assintótica normalizável como condição inicial e integra-se a equação desde uma vizinhança da fronteira até uma outra nas proximidades do horizonte. Os resultados numéricos mostram a fase na qual é mais provável acontecer a formação de estados de quasepartículas. 5.1 Funções de Green térmicas retardadas Numa teoria de campos a temperatura nita, as funções de Green térmicas retardadas são denidas como [24] Z R (k) Cµν = −i d4 xe−ik·x θ(t) h[Jµ (x), Jν (0)]i. (5.1) A expressão (5.1) representa a transformada de Fourier da média térmica do comutador entre componentes da densidade de corrente, em dois pontos diferentes do espaço-tempo. 1 Como consequência das identidades de Ward no vácuo, as funções de correlação corrente-corrente 1 Para uma revisão mais detalhada de como determinar a função de Green térmica retardada, veja o apêndice B. 43 Cµν (k) são proporcionais ao projetor sobre vetores conservados [24], a saber, Pµν = ηµν − onde k 2 = −k02 + k2 e ηµν = diag(−, +, +, +). kµ kν k2 Todas as componentes dos correlatores Cµν (k) são assim determinados por meio uma função escalar simples, Cµν (k) = Pµν Π(k 2 ) onde Pµν é o projetor e Π(k 2 ) uma função escalar. (5.2) No caso em que considera-se o valor esperado num estado que tem unicamente simetria de rotação, é conveniente dividir o projetor Pµν T L em duas componentes, a saber, transversal (Pµν ) e longitudinal (Pµν ): T L Pµν = Pµν + Pµν Estes projetores são denidos de tal maneira que satisfazem a condição T µν L Pµν η Pµν = 0, e são denidos como: T P00 = 0, P0iT = 0, PijT = δij − ki kj , k2 L T Pµν = Pµν − Pµν . Além disso, estes projetores satisfazem as relações T L k µ Pµν = k µ Pµν = 0. Portanto, qualquer ex- pressão construída com estes projetores satisfaz automaticamente a conservação da corrente. Quando têm-se simetrias sob rotações, as funções de correlação corrente-corrente são determinados por duas funções escalares independentes associadas à parte transversal e longitudinal ΠL (k0 , k2 ) ΠT (k0 , k2 ), [24], T L Cµν (k) = Pµν ΠT (k0 , k2 ) + Pµν ΠL (k0 , k2 ). Se, se faz: ΠT = ΠL = Π, (5.3) a expressão (5.3) reduz-se à forma invariante de Lorentz (5.2). Não é difícil comprovar que, devido à invariância rotacional, no limite k → 0, os projetores são iguais, em consequência, as funções escalares também devem satisfazer a condição: lim ΠT (k0 , k2 ) = lim ΠL (k0 , k2 ). k→0 k→0 Como um caso particular, pode-se considerar uma teoria de campos em quatro dimensões a temperatura nita, sem perda de generalidade, pode-se considerar como direção de propagação 44 o eixo z, tal que, o quadri-momento ca reduzido à forma: −ω 2 + q 2 , kµ = (−ω, 0, 0, q), com k2 = com esta informação, as componentes das funções de correlação corrente-corrente não nulas são: Cxx (k) = Cyy (k) = ΠT (ω, q). (5.4) Como também, q2 Ctt (k) = 2 ΠL (ω, q), 2 ω −q ω2 Czz (k) = 2 ΠL (ω, q). 2 ω −q qω Ctz (k) = 2 ΠL (ω, q), 2 ω −q Para sistemas físicos em equilibrio termodinâmico estável à temperatura tamento a baixas energias (regime hidrodinâmico) das funções 2 ser descrito por uma teoria hidrodinâmica efetiva [16, 24]. ΠT (ω, q) ΠT e ΠL , T, (5.5) o compor- é universal e pode Neste regime de baixas energias, não apresenta singularidades para nenhum valor da frequência, isto, devido a que não se acopla com as utuações da densidade de carga. Por outro lado, os correlatores que envolvem conservação da carga devem exibir uma singularidade hidrodinâmica, e a relação de dispersão (ω ω(q) → 0, quando q → 0. A função ΠL (ω, q) apresenta uma singularidade = −iDR q 2 ) neste regime, devido a que se acopla com as utuações da densidade de carga, onde DR é a constante de difusão de carga, associada com a corrente Jµ (x) de (5.1), mais para frente no trabalho determina-se o valor da constante de difusão no modelo soft-wall. Por outro lado, precisa-se determinar as funções de correlação corrente-corrente na teoria de campos dual, para fazer isso, utiliza-se a prescrição Son-Starinets como apresentada no trabalho [15]. Para usar esta prescrição, deve-se expressar a ação na forma: Z S= onde Z h d4 k φ (−k)F(k, Z )φ0 (k) 0 , (2π)4 ZB √ F = K −gg ZZ f−k (Z )∂Z fk (Z ). (5.6) (5.7) Assim. A função de Green retardada é determinado usando a fórmula G (k) = −2F(k, Z ) R . (5.8) ZB Então, usa-se a prescrição de Son-Starinets para determinar as funções de Green retardadas (avançadas) quando é satisfeito o seguinte: 1. Procurar uma solução da equação diferencial com as seguintes propriedades: 2 Ver apêndice C 45 • A solução é igual a 1, na fronteira (normalizável); • Para momento tipo-tempo, a solução tem uma expressão assimptótica correspondente à condição de onda entrante (sainte) no horizonte. Enquanto que, para momento tipo-espaço, a solução é regular no horizonte. 2. A função de Green retardada, é então dada por (5.7). G = −2F∂M , Só a contribuição da fronteira tem que ser considerado. onde F é dado por Termos de superfície provenientes do horizonte ou, mais geralmente, da parte infravermelho da geometria de fundo (correspondente à posição das branas) devem ser descartados. Esta parte da métrica inuência nos correlatores, unicamente através da condição na fronteira impostas sobre o campo [15]. Para usar a prescrição de Son-Starinets em nosso trabalho, é preciso expressar a ação de nosso modelo na forma (5.6), portanto, começa-se pela ação (4.1), 1 S=− 2 4g5 Z √ d5 x −ge−Φ FM N F M N . (5.9) Pode-se expressar a ação em termos das componentes do potencial vetor, usando a transformada de Fourier, R S=− 2 2g5 Z dωdq (2π)2 e−Φ Z Z h ! ~ Z , −k) · ∂Z A( ~ Z , k)] [At (Z , −k)∂Z At (Z , k) − f (Z )A( , (5.10) ZB introduzindo as componentes do campo elétrico no resultado (5.10) R S = lim 2 Z →0 2g 5 Z dωdq (2π)2 e−Φ Z f (Z ) f (Z ) Ez ∂Z Ez − 2 (Ex ∂Z Ex + Ey ∂Z Ey ) . q 2 f (Z ) − ω 2 ω (5.11) Além disso, as componentes do campo elétrico podem ser expressados como um produto de duas funções, a saber, uma dependendo só da quinta coordenada, e a outra só do momento: Ex (Z , k) = fx (Z )Ex0 (k), Ey (Z , k) = fy (Z )Ey0 (k), Ez (Z , k) = fz (Z )Ez0 (k), de tal maneira que a função que só depende da quinta coordenada seja normalizável na fronteira fx,y,z (Z B ) = 1, portanto, na equação (4.29) Ex (Z , k) fx (Z ) = = 1, Ex0 (k) Z B ⇒ Ex0 (k) = A(−) x (ω, q), 46 substituindo em (4.29), obtém-se a seguinte expressão normalizada para mesmo para as outras duas funções, fy (Z ) e fx (Z ), e se faz o fz (Z ) fx (Z ) = 1 + · · · + (−) Z + · · · Ax (ω, q) (−) By (ω, q) 2 . fy (Z ) = 1 + · · · + (−) Z + ··· Ay (ω, q) (−) Bz (ω, q) 2 fz (Z ) = 1 + · · · + (−) Z + · · · Az (ω, q) (−) Bx (ω, q) 2 (5.12) Por outro lado. A ação (5.11) também pode ser expressado em termos do campo elétrico na fronteira R S = lim 2 Z→0 2g5 Z " # " (−) B dωdq e−Φ f (Z ) z E0 Ez0 (2π)2 q 2 f (Z ) − ω 2 z A(−) z e−Φ f (Z ) − ω2 " Ex0 (−) Bx (−) Ax # " Ex0 + Ey0 (−) By (−) Ay # !# Ey0 . Agora, pode-se expressar o resultado anterior em termos do potencial vetor. Sabe-se que: Ex0 = ωA0x Ey0 = ωA0y Ez0 = ωA0z + qA0t Finalmente, depois de simplicar e reduzir, obtém-se: " # " # (−) (−) dωdq −R B B z z S= A0z (−k) ω 2 (−) A0z (k) + A0z (−k) ωq (−) A0t (k) (2π)2 2g52 (q 2 − ω 2 ) Az Az " # " # ! " # (−) (−) (−) B B R B z z x +A0t (−k) ωq (−) A0z (k) + A0t (−k) q 2 (−) A0t (k) + 2 A0x (−k) A0x (k) (−) 2g Az Az Ax 5 " # ! (−) By +A0y (−k) A0y (k) . (−) Ay Z Usando a prescrição de Son-Starinets (5.8), determinam-se assim os correlatores correntecorrente: Cµν (ω, q) = −2Fµν (ω, q) (5.13) 47 (−) Rq 2 Bz (ω, q) Ctt = 2 2 g5 (q − ω 2 ) A(−) z (ω, q) (−) Bz (ω, q) Rωq Ctz = Czt = 2 2 g5 (q − ω 2 ) A(−) z (ω, q) (−) Rω 2 Bz (ω, q) Czz = 2 2 (−) 2 g5 (q − ω ) Az (ω, q) (−) R Bx (ω, q) Cxx = Cyy = − 2 (−) g5 Ax (ω, q) (5.14) Como já temos determinado as relações entre os correlatores corrente-corrente e as funções de dois pontos, denidas antes, em (5.4) e (5.5), pode-se obter as funções de correlação transversal e longitudinal (−) R B (ω, q) y ΠT (ω, q) = − 2 (−) g5 Ay (ω, q) (5.15) R Bz (ω, q) Π (ω, q) = − 2 (−) g5 Az (ω, q) (−) L A parte imaginária da função de Green retardada (5.15) é de nosso interesse, devido a esta expressão ser utilizado para determinar a função espectral, como foi feito nos trabalhos [24, 27, 45]. N2 R R(ω, q) ≡ −2ImCzz (ω, q) = c2 Im 8π (−) Bz (−) Az ! . (5.16) Na próxima seção, use-se usar o resultado (5.16) para determinar a função espectral dos mésons vetoriais, numericamente. 5.2 Funções espectrais Desde o ponto de vista numérico, é mais conveniente trabalhar com as equações tipoSchrödinger (4.12) e (4.15). Por esse motivo, nesta seção determina-se a função espectral dos mésons vetoriais no modelo soft-wall a temperatura nita, usando as soluções assimptóticas da seção 4.3. Para determinar os resultados numéricos, seguiu-se o procedimento apresentado nos trabalhos [27,45]. O objetivo é resolver a equação tipo-Schrödinger (4.12) numericamente, para funções de onda que satisfazem a condição: ψz (Z ) → ψ1 (Z ), quando Z →0 (a função de onda converge à solução normalizável na fronteira). A ideia geral é integrar numericamente a equação diferencial, desde um ponto próximo da fronteira (Z i ), até outro muito próximo do horizonte (Z f ). Como condição inicial, são usadas as soluções assimptóticas determinadas 48 perto da fronteira, avaliadas em Z i . Para a solução normalizável, temos ψ1 (Z i ) = Zi 3/2 " 1 + a2 Zh 1 ∂Z ψ1 (Z i ) = 2 Zi 1/2 2 Zi + a4 Zh " 3 + 7a2 Zh Zi Zi 4 # Zh 2 + 11a4 Zh Zi 4 # (5.17) , Zh e para a solução não-normalizável ψ2 (Z i ) = −1/2 " Zi 1 + b2 Zh 1 ∂Z ψ2 (Z i ) = 2 Zi −3/2 " Zi 2 + b4 Zh −1 + 3b2 Zh Zi Zi 4 # + 2Dψ1 (Z i ) ln Zh 2 + 7b4 Zh Zi Zh 4 # Zh Zi +2D ∂ν ψ1 (Z i ) ln Zi Zh + Z h ψ1 (Z i ) Zi (5.18) onde os coecientes foram determinados em (4.25). Como se fez antes, pode-se expressar as soluções perto da fronteira avaliadas no ponto nal Z f , como uma combinação linear das funções de onda entrante e sainte, ψ1 (Z f ) = Aint(1) ψz(−) (Z f ) + Aout(1) ψz(+) (Z f ) ∂Z ψ1 (Z f ) = Aint(1) ∂Z ψz(−) (Z f ) + (5.19) Aout(1) ∂Z ψz(+) (Z f ), que se pode escrever em forma compacta, e considerando as duas soluções (normalizável e não-normalizável) ψb (Z f ) = (−) ψz (Z f ) (+) ψz (Z f ) (+) (−) ∂Z ψz (Z f ) ∂Z ψz (Z f ) ∂Z ψb (Z f ) Aint(b) Aout(b) , (b = 1, 2) (5.20) onde os elementos da matriz são as funções de onda entrante e sainte no horizonte, e suas respectivas derivadas, avaliadas num ponto muito próximo do horizonte Z f . O que se precisa são os coecientes Aint e Aout , já que com estes pode-se determinar a parte imaginária da função de Green retardada (5.15) [27, 45]. Aint(b) Aout(b) = (−) ψz (Z f ) (−) (+) ψz (Z f ) (+) ∂Z ψz (Z f ) ∂Z ψz (Z f ) −1 ψb (Z f ) ∂Z ψb (Z f ) , (b = 1, 2) (5.21) 49 está-se interessado na relação entre Aout(1) /Aout(2) , esta quantidade vai proporcionar a função (−) (−) de Green retardada Bz /Az em (5.16). Com ajuda da relação entre os coecientes de conexão (4.27), pode-se encontrar essa relação (−) Bz (−) Az =− (−) (−) Aout(1) ∂Z ψz (Z f )ψ2 (Z f ) − ψz (Z f )∂Z ψ2 (Z f ) =− (−) (−) Aout(2) ∂Z ψz (Z f )ψ1 (Z f ) − ψz (Z f )∂Z ψ1 (Z f ) (5.22) 5.3 Resultados numéricos Nesta seção apresentam-se os resultados numéricos, que foram determinados para a componente longitudinal do campo de gauge. A seguir, mostra-se a função espectral obtida utilizando o procedimento descrito na seção anterior. Pode-se observar que esta depende da frequência (ω̂ ), número de onda (q̂ ) e da temperatura (T̂ ). O primeiro caso, mostrado na gura 5.1, aprensenta a função espectral para o caso no qual não temos deslocamento (q̂ = 0). Os valores da temperatura neste gráco, foram escolhidas de acordo à análise feita do potencial, na seção 4.7. Os picos mostrados na gura, indicam que a função de Green retardada (5.16) apresenta pólos. Estes pólos estão relacionados com as frequências dos modos quasenormais da brana negra, produzidos pela componente logitudinal do campo de gauge. Na teoria dual, estes modos quasenormais estão relacionados com estados de quasepartícula (mésons vetoriais) de spin 1 [27,55]. A frequência destes modos quasenormais apresenta parte real (ω̂R ) e imaginária (ω̂I ). A parte real está relacionado à massa dos mésons vetorias quando q̂ = 0, enquanto a parte imaginária, ao tempo de decaimento dos estados de quasepartícula formados próximo da transição connamento/desconnamento. Uma outra coisa que se observa na função espectral, é que, quando a temperatura aumenta, a largura dos picos também aumenta, e, devido a que se cumple a relação t = 2π/ω̂I , o tempo de decaimento vai diminuir, fazendo com que os estados de quasepartícula tenham um tempo de vida curto. Portanto, baseados no análise anterior pode-se concluir que, na medida que a temperatura aumenta, os estados de quasipartícula são mais instáveis. Isto esta em concordância com a análise feita do potencial, na qual, a altura da barreira de potencial vai diminuindo, enquanto a temperatura aumenta (ver gura 4.2), isto implica que menos modos de oscilação quem presos no poço de potencial formado. Uma outra particularidade da gura 5.1, é que, a localização dos picos estão distribuidos de tal maneira que se cumple a condição: ω̂ 2 ≈ 4n, para n = 1, 2, 3 . . . , isto, para um valor xo da temperatura. Próximo dos picos, pode-se ajustar uma função tipo Breit-Wigner [27, 43, 45], na forma R(ω̂, 0) ∼ ω̂I , (ω̂ − ω̂R )2 + ω̂I2 (5.23) 50 2 500 (πT) /c=0.0196 2 (πT) /c=0.0289 (−) Im(Bz /Az ) 400 2 (πT) /c=0.0441 (−) 300 200 2 (πT) /c=0.0784 2 (πT) /c=0.0961 100 2 (πT) /c=0.2209 0 2 4 6 8 10 ω2/c 12 14 16 18 Figura 5.1: Mostra-se a função espectral como função da energia, para diferentes valores da temperatura T̂ 2 . Em todos os casos o número de onda é zero. Observa-se que a localização dos picos está relacionada com a parte real da frequência ω̂R , e a largura esta relacionada à parte imaginária ω̂I . Também se observa que para um valor xo da temperatura e energia em aumento, a largura do pico vai aumentando. onde ω̂R representa a localização do pico no eixo da frequência, e ω̂I a largura dos picos. Uma outra coisa que se pode observar na gura 5.1, é que os picos da função espectral dependem da temperatura. Assim, para temperaturas maiores do que T̂c2 = 2.3864, não temos mais picos formados. Por outro lado, quando diminuimos a temperatura, o pico começa a se posicionar nos respectivos valores que têm a temperatura zero [21] (ver seção 3.2). Por exemplo, para o primeiro modo excitado, o pico ca em ω̂ 2 = 3.9865 (isto calculado numericamente), enquanto que para o segundo modo, o pico vai-se posicionar em para o valor xo da temperatura T̂ 2 = 0.0204, ω̂ 2 = 7.8665 (calculado numericamente), e assim por diante. Para o caso com momento linear diferente de zero apresenta-se a gura 5.2, estes resultados foram obtidos para o valor xo da temperatura, a saber, T̂ 2 = 0.0484. Nesta gura, observa-se que os picos diminuim sua altura, enquanto aumenta-se o momento. Além disso, a largura dos picos também aumenta, enquanto a energia e o momento aumentam. Isto quer dizer que os estados de quasepartícula são mais instáveis, se comparados com o caso quando q̂ = 0, isto devido a que os estados de quasepartícula formados, além de possuir a energia associada com a temperatura diferente de zero, têm uma energia adicional, associada com o momento diferente de zero. A localização dos picos sobre o eixo da energia, também é modicada enquanto o número de onda vai incrementando. Sabe-se da relação de dispersão 51 ω̂ 2 ≈ ω̂02 + q̂ 2 [45], onde ω̂o é a frequência quando o momento é zero. Analisando a relação de dispersão, poderia-se dizer que, quando o número de onda é diferente de zero, a localização do pico vai ser deslocado numa quantidade temos que o pico se localiza em q̂ 2 , ω̂ 2 = 3.9161 à direita. Assim por exemplo, no caso q̂ = 0 (resultado numérico), agora usando a relação de dispersão poderia-se determinar a nova localização do pico quando temos q̂ = 1, ω̂ 2 = 4.9161, ω̂ 2 = 4.9119. mas o valor determinado numericamente, para o caso q̂ = 1, é como Esta discrepância nos resultados é produzida pelo efeito da temperatura nita da teoria (à temperatura zero, a relação de disperção é ω̂ 2 = ω̂02 + q̂ 2 ). 500 1/2 q/c1/2=0.0 q/c1/2=0.5 q/c1/2=1.0 q/c1/2=1.5 q/c1/2=2.0 q/c1/2=2.5 q/c =3.0 300 (−) (−) Im(Bz /Az ) 400 200 100 0 4 6 8 10 ω2/c 12 14 16 18 Figura 5.2: Mostra-se a função espectral como função da energia para varios valores do número de onda. Em todos os casos a temperatura é, T̂ 2 = 0.0484. Observa-se que a localização dos picos vai-se deslocando mais para a direita enquanto o número de onda vai aumentando. A altura e largura da função espectral também sofrem modicações com o número de onda diferente de zero. CAPÍTULO 6 MODOS QUASENORMAIS Nesta parte do trabalho, são resolvidas as equações de movimento, primeiramente, usando métodos perturbativos e, depois, utilizando métodos numéricos. Um dos métodos numéricos utilizados é o método de séries de potência, apresentado originalmente em [55]. Utilizado desde então para o cálculo de modos quasenormais de buracos negros no espaçotempo AdS, este método é aplicado apenas nos regime de temperaturas intermediárias e b elevadas (T & 1), já que a convergência deste método para o modelo soft-wall a baixas temperaturas [48] não é boa. O segundo método utilizado é o método de ressonâncias de BreitWigner. Implementado inicialmente na referência [26] para o cálculo de modos quasenormais de buracos negros AdS, este método tem boa convergência no regime de baixas temperaturas b (T 1), no qual se observa que ω̂I ω̂R . No trabalho [27], implementou-se este método para o cálculo das frequências quasenormais associadas a glueballs escalares no modelo soft-wall . 6.1 Modos quasenormais de buracos negros Conforme será mostrado na sequência, os modos quasenormais são soluções de equações linearizadas que governam as utuações clássicas de um buraco negro (ou brana negra), submetidas a condições de fronteira especícas [44]. Para um espaço-tempo assimptoticamente Anti-de Sitter, essas condições são a de onda entrante no horizonte e a condição de Dirichlet na fronteira. Estas condições são satisfeitas apenas por soluções com frequências complexas, as chamadas frequências quasenormais. Os modos quasenormais de perturbações eletromagnéticas no espaço-tempo AdS estão associados a utuações de correntes conservadas na teoria de campos dual [26, 55]. Contudo, a relação entre estes modos quasenormais e as funções de correlação corrente-corrente não é imediata. Para estabelecer esta relação, trabalha-se com 53 variáveis invariantes por transformações de calibre, de tal modo que os pólos das funções de 1 correlação são exatamente as frequências de oscilação dos modos quasenormais [15, 24, 51]. 6.2 Soluções analíticas no regime hidrodinâmico O objetivo nesta seção é resolver as equações de movimento no regime de baixas frequências e pequenos números de onda em comparação com a temperatura Hawking da brana negra 2 (conhecido como regime hidrodinâmico), ou seja, no regime em que são satisfeitas as seguintes condições ω e1 e qe 1. 6.2.1 Perturbações longitudinais Para o setor longitudinal das perturbações eletromagnéticas, realiza-se a substituição (−) Ez = f (Z )−ieω/4 F (Z ) na equação diferencial (4.8). Em termos dessa nova variável, a equação (4.8) transforma-se em 2ie ωZ 3 4e ω2Z 3 1 0 − 4 − 2cZ − F+ F + 4 Z hf Z h f (e ω 2 − qe2 f ) Z 6 2 4iZ 6 ω e3 Z ω e ω e2 4iZ 6 ω e 2ie ω Z 2 4icZ 4 ω e qe2 − 8 2 2 − + + 8 2 + 4 − − 2 F = 0, 4 Z h f [e ω − qe2 f ] Z 8h f 2 Z 2h f 2 Zhf Zhf Zhf Zhf 00 (6.1) Agora, resolve-se a equação diferencial (6.1) usando um método perturbativo em multi escala [56], F ( Z ) = F0 + ω e F1 + qe 2 G1 + qe ω e H1 + · · · (6.2) Impondo a condição de onda entrante no horizonte, encontram-se as seguintes soluções para os dois primeiros termos da perturbação: F0 = C2 " iF0 −2cZ 2h e Ei c F1 (Z ) = 2 e 1 Para 2 As 2 Zh −2cZ 2h + Z2 − Ei −c (6.3) 2 Zh − Z2 − 2q 2 Ei 2cZ 2h + Ei cZ 2h + 2 2 ω cZ h 2q 2 −c(Z 2h −Z 2 ) e − ω 2 cZ 2h 4 # 4 Zh − Z , + ln 2Z 4h maiores detalhes, ver apêndice C. funções normalizadas pela temperatura são ω e = ω/(πT ), e qe = q/(πT ). (6.4) 54 Com isso, a componente longitudinal do campo de gauge, Ez(−) Ez , assume a forma: iω Z h −2cZ 2h 2q 2 2 2 = F0 f 1+ e Ei c Z 2h + Z 2 − Ei −c Z 2h − Z 2 − 2 2 e−c(Z h −Z ) − 4 ω cZ h 4 2 4 2 2 2q Zh − Z −2cZ 2h 2 2 Ei 2cZ h + Ei cZ h + 2 2 + ln e + O(ω̃ , q̃ ) . ω cZ h 2Z 4h −iω 4πT (6.5) O resultado (6.5) expressa o comportamento da componente longitudinal do campo elétrico, no regime hidrodinâmico. A condição de Dirichlet na fronteira, Ez (0) = 0, produz uma equação algébrica, cuja solução é dada por: ω = −i −cZ 2h 1−e q 2 + O(q 3 ). 2cZ h (6.6) Esta é a frequência quasenormal fundamental do problema de valor de contorno tipo-Dirichlet para Ez . O resultado anterior mostra que, no regime hidrodinâmico, 3 a função ΠL (ω, q) tem um pólo em ω = −iDR q 2 , onde DR = (1 − e−cZ h )/(2cZ h ).4 2 (6.7) Na teoria de campos dual, este pólo corresponde sicamente à difusão de carga com uma constante de difusão DR . Realizando uma expansão em séries perto da fronteira AdS, a expressão (6.5) pode ser escrita como i(1 − e−cZ h ) 2 ie−cZ h (ω 2 − q 2 ) 2 =1+ q + Z + .... 2cZ h ω 2ω Z h 2 Ez(−) (Z ) 2 (6.8) Comparando (6.8) com o resultado (4.29) do capítulo 4, determinam-se facilmente os valores dos coecientes (−) Az e (−) Bz : i(1 − e−cZ h ) 2 =1+ q , 2cZ h ω 2 A(−) z (ω, q) ie−cZ h (ω 2 − q 2 ) = . 2ω Z h 2 Bz(−) (ω, q) (6.9) Assim, a função de correlação longitudinal (5.15) assume a seguinte forma no regime hidrodinâmico: R e−cZ h (ω 2 − q 2 ) Π (ω, q) = + .... 2Z h g52 (iω − DR q 2 ) 2 L 3 Ver (6.10) apêndice C. valor de DR coincide com o resultado obtido no trabalho [24] para valores desprezíveis do parâmetro c. Este valor também está em concordância com o resultado calculado no trabalho [47], quando a carga Q é zero. 4O 55 6.2.2 Perturbações transversais A solução da parte transversal do campo de gauge (4.9), é determinado da mesma (−) maneira que foi feita para o caso longitudinal, se faz a troca Ea à condição de onda entrante, no horizonte. Substituindo Ea Schrödinger (4.15). (−) = f (Z )−iω̃/4 F (Z ), relacionado , na equação diferencial tipo- A solução geral, depois de aplicar o método de perturbação em multi escala, como se fez na seção 6.2.1, ca na forma: " iω̃ iω̃ 2 Ei c −Z 2h + Z 2 + e−2cZ h Ei c 4 4 iω̃γ 2 (1 − e−2cZ h ) 4 # iω̃ iω̃ 4 iω̃ 2 Z 2 2 + ln cZ h 1 − e−2cZ h − ln(2) 1 + e−2cZ h + ln 1 − 4 + O(ω̃ 2 , q̃ 2 ) . 4 4 4 Zh Ea(−) = F0 f −iω̃/4 1 − 2 Zh + Z2 + (6.11) O resultado (6.11), representa o comportamento da componente transversal do campo elétrico, no regime hidrodinâmico. A condição Dirichlet na fronteira (Ei (0) = 0) produz a seguinte equação algébrica 1− iω̃ iω̃γ iω̃ 2 2 Ei c −Z 2h + Z 2 + e−2cZ h Ei c Z 2h + Z 2 + (1 − e−2cZ h )+ 4 4 4 4 iω̃ iω̃ iω̃ 2 Z 2 2 ln cZ h 1 − e−2cZ h − ln(2) 1 + e−2cZ h + ln 1 − 4 = 0, 4 4 4 Zh Z=0 (6.12) que não apresenta solução compatível no regime hidrodinâmico. Com isso conclui-se que a função ΠT (ω, q) 5 não apresenta pólos neste regime. Uma forma de visualizar melhor o fato de que a função de correlação não apresenta pólos, é fazer uma expansão do resultado (6.11), en torno da fronteira, a saber Ea(−) (Z ) = 1 + iω̃e−cZ h 2 Z 2 2 Zh + ... (6.13) comparando (6.13) com o resultado (4.29) do capítulo 4, pode-se determinar facilmente o valor das constantes: A(−) z (ω, q) = 1, Bz(−) (ω, q) = i ω Zh e−cZ h . 2 (6.14) Assim, a função de correlação transversal (5.15) ca expressado como ΠT (ω, q) = − 5 Se, 2iRω −cZ 2h e + ... g52 Z 3h (6.15) considera-se os efeitos do campo escalar tipo dílaton desprezíveis, obtém-se as mesmas soluções que foram encontradas nos trabalhos [24, 49] 56 6.3 Solução numérica Na seção anterior, determinou-se a solução da equação de movimento, no regime de baixas energias e comprimentos de onda elevados. Agora pode-se usar métodos numéricos para determinar uma solução mais geral. não emitem radiação. Sabe-se de argumentos clássicos que as branas negras Com essa informação, só se considera a condição de onda entrante no horizonte. Portanto, substituindo ψz = e−iωr∗ φz , na equação (4.12), obtém-se a seguinte equação diferencial: P (Z ) d2 φz dφz + Q(Z ) + R(Z )φz (Z ) = 0, 2 dZ dZ (6.16) onde: P (Z ) = 4Z 2h f 2 (Z )Z 2 (ω 2 − q 2 f (Z ))2 ; (6.17) Q(Z ) = 8Z 2h f (Z )Z 2 (ω 2 − q f (Z )) 2 iω Z h − 2 2 Z 3 ! ; Zh " R(Z ) = −4Z 4h Z 2 f (Z )q 2 (ω 2 − q 2 f (Z ))2 − 3Z 4h f (Z ) − 4 " + 16Z 4 2 Z Zh # 4 Z (6.18) 4 # 2 (ω 2 − q 2 f (Z ))2 Zh − 3f (Z ) (ω 2 − q 2 f (Z ))2 − 8Z 4 f (Z )2 ω 2 (ω 2 − 2q 2 f (Z )) " 4 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 − 16Z f (Z )ω (ω − q f (Z )) 2Z c − 1 − 8Z f (Z )q f (Z ) q c Z h + 8 +4 Z 4 2 Zh " f (Z )cZ 3h (ω 2 − q f) − 2 Z 2 #2 2 Zh Z Zh # 4 ω2 ω (6.19) 6.3.1 Método de séries de potência O objetivo agora é resolver a equação diferencial (6.16) numericamente. O método está baseado no clássico método de Fröbenius [57, 58], o qual é aplicado, fazendo uma expansão em séries de potência em torno do horizonte. Além disso, a função φz , deve ter comportamento regular na região comprendida entre a fronteira e o horizonte do espaço AdS, substituindo φ(−) z (Z ) = ∞ X n=0 a(−) n 1− Z Zh φz : n , o sinal negativo representa a condição de onda entrante, no horizonte. (6.20) Além disso, esta função deve satisfazer a condição de Dirichlet na fronteira do espaço AdS. Por outro lado, 57 os polinômios: P (Z ), Q(Z ) Q(Z ), e séries de potência perto de, Z P (Z ) = 17 X pm 1 − m=0 podem ser expressados também como uma expansão em = Z h: m Z Zh ; Q(Z ) = 16 X m=0 qm 1 − Z m Zh ; R(Z ) = 19 X m=0 rm 1 − Z m Zh . (6.21) Substituindo as expressões (6.20) e (6.21) na equação diferencial (6.16), obtém-se a relação de recorrência para determinar o valor dos coecientes (−) an . Estes coecientes dependem da frequência (ω ), do número de onda (q ) e da temperatura (T ). Como se fez antes, elegese o valor do coeciente os coecientes a2 , a3 , . . . a0 = 1, o próximo coecente (−) a1 , é dado pela expressão (4.20) e são determinados, impondo-se a condição de Dirichlet na fronteira. Assim, o problema se reduz a resolver a equação algébrica: ∞ X a(−) n (ω, q, T ) = 0. (6.22) n=0 As raízes da equação (6.22) representam as frequências dos modos quasenormais produzidos pelas perturbações da componente logitudinal do campo elétrico, no background considerado. Devido a que é impossível resolver a soma innita, se faz um truncamento da série num valor determinado. Este valor é escolhido de tal maneira que a tolerância entre duas soluções sucessivas (do mesmo coeciente), seja menor do que um valor muito pequeno. Tendo em consideração a análise feita no capítulo 5, a localização e largura dos picos na função espectral, estão relacionados com a parte real e imaginária da frequência dos modos quasenormais. Assim, substitui-se ω = ωR − iωI , na relação de recorrência. Estas frequências determinadas numericamente têm uma interpretação na teoria de campos dual que foi analisado no capítulo 5. 6.3.2 Método de ressonâncias Breit-Wigner O método foi desenvolvido originalmente para o cálculo de amplitudes de espalhamento na mecânica quântica (ver por exemplo capítulo 18 de [59]), depois implementado para o estudo dos modos quasenormais de estrelas ultrarelativistas numa série de trabalhos [60 63]. Nos últimos anos, o método foi implementado para o cálculo dos modos quasenormais de buracos negros AdS no trabalho [26]. normalizável (ψ1 ) O procedimento usual é trabalhar com a solução da equação diferencial (4.12), e escrever ψ1 como uma combinação linear 58 das soluções perto do horizonte, impondo a condição de onda entrante. Portanto, de (4.18) ψ1 = Aint(1) e−iωr∗ + Aout(1) e+iωr∗ = α(ω)Y1 (ω; r∗ ) − β(ω)Y2 (ω; r∗ ), (6.23) α = (Aout(1) + Aint(1) ), −β = −i(Aout(1) − Aint(1) ).6 Sabe-se que onde é fácil observar que: os modos quasenormais são soluções normalizáveis da equação de movimento, estes modos quasenormais têm frequências associadas do tipo: ω = ωR − iωI . Além disso, os modos estão associados aos pólos da função de Green térmica retardada na teoria de campos dual. Encontrar esses pólos é equivalente a resolver a equação próximo da ressonância pode-se expressar Aout(1) = 0 Aout(1) ∼ ω − ωQNM , onde em (6.23). Assim, ωQNM = ωR − iωI é a frequência quasenormal. Também se observa em (6.23), que os coecientes estão relacionados por Aout(1) = A∗int(1) . Com esta informação, escreve-se α e β como α2 + β 2 = 4Aint(1) Aout(1) ≈ const. (ω − ωR )2 + ωI2 . (6.24) As frequências dos modos quasenormais são determinados minimizando a equação (6.24), uma vez que o valor mínimo de mínimo, como ω = ωR . ω é determinado, a parte real é igualada a este A parte imaginária da frequência pode ser determinada fazendo um ajuste na parábola (6.24). Por outro lado, a parte imaginária também pode ser determinada impondo a condição de onda entrante sobre a solução complexa que tem a forma [63]: ψc = ψ1 + iψI . (6.25) Esta solução complexa deve satisfazer a equação (4.12), junto com a frequência complexa (ωc = ω+iωI ).7 Após substituir a solução complexa na equação diferencial, cam as equações: ∂r2∗ ψ1 − V ψ1 + (ω 2 − ωI2 )ψ1 − 2ωωI ψI = 0 (6.26) ∂r2∗ ψI − V ψI + (ω 2 − ωI2 )ψI + 2ωωI ψ1 = 0 (6.27) Considerando-se o fato que ωI Y (ω; r∗ ) + O(ωI ) lineares em ωI , ωI ω , pode-se expressar a solução complexa como, [61]. Após ser substituido em (6.26) e (6.27), consideram-se só termos e obtém-se ∂r2∗ ψ1 − V ψ1 + ω 2 ψ1 = 0, 6 As 7A ψI = funções Y1 (ω; r∗ ) e Y2 (ω; r∗ ) são o cos(ω r∗ ) e sin(ω r∗ ) respectivamente. partir deste ponto, vai-se trabalhar com ω , em lugar de ωR , como se fez nos trabalho [6063]. (6.28) 59 ∂r2∗ Y − V Y + ω 2 Y + 2ωψ1 = 0. (6.29) A familia de soluções de (6.29) pode ser expressada na forma: Y (ω; r∗ ) = ∂ψ1 /∂ω . Agora é fácil obter a solução complexa (6.25), em termos da solução assimptótica, como ψc (ω; r∗ ) = (α + iωI ∂ω α)Y1 − (β + iωI ∂ω β)Y2 + iωI α∂ω Y1 − iωI β∂ω Y2 , nas condições de trabalho atuais (ωI ∂ω α(ω) e ∂ω β(ω). ω ), α(ω) e Também acontece o mesmo com β(ω) (6.30) são desprezíveis em comparação a ∂ω Y1 (ω; r∗ ) e ∂ω Y2 (ω; r∗ ) (eventualmente, nas condições de trabalho está-se considerando uma situação anterior, nas quais os termos dominantes em (6.30) sejam Y1 (ω; r∗ ) e Y2 (ω; r∗ ) [61]), com essas simplicações, (6.30) ca como ψc (ω; r∗ ) = 1 1 ([α − ωI ∂ω β] + i [ωI ∂ω α + β]) eiωr∗ + ([α + ωI ∂ω β] + i [ωI ∂ω α − β]) e−iωr∗ . 2 2 (6.31) Impondo a condição de onda entrante no horizonte, o coeciente do primeiro termo da direita é zero. Com isso, obtém-se a parte imaginária da frequência ωI = onde ∂ω β α =− , ∂ω β ∂ω α (6.32) é a derivada com relação à frequência, avaliada no valor mínimo ωR (para uma análise mais detalhada ver [61]). Na obtenção dos resultados numéricos, a parte imaginária da frequência foi determinada usando os 3 métodos apresentados. Os resultados foram discriminados fazendo uma comparação entre os 3 valores calculados (da parte imaginária), estes resultados têm que ser iguais, para que o valor da frequência seja aceito como solução. 6.3.3 Resultados numéricos As frequências quasenormais foram determinadas para o caso no qual q=0 e fazendo variar a temperatura. Na região de temperaturas elevadas as frequêcias têm comportamento linear, o que está em concordância com os resulados do modelo hard-wall apresentados nos trabalhos [24, 49]. Nesta região os efeitos do campo escalar tipo dílaton são desprezíveis e o espectro de frequências dos modos quasenormais têm a forma 2 ω̂R/I = 4n2 T̂ 2 [24]. Assim, nossos resultados têm este comportamento para temperaturas elevadas. Na gura 6.1 apresentam-se os resultados obtidos, a frequência apresenta parte real (ω̂R ) e imaginária (ω̂I ), como esperado. 60 22 n=4 20 20 n=3 n=4 18 15 n=2 n=3 14 ωI2/c ωR2/c 16 12 10 10 n=2 n=1 8 5 6 n=1 n=0 4 n=0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 (πT)2/c 0 0 0.1 0.2 πT)2/c 0.3 0.4 0.5 ( Figura 6.1: Resultados numéricos para as frequências dos modos quasenormais. Na esquerda, observase o comportamento da parte real da frequência, associado à massa dos mésons. Na direita, a parte imaginária associada ao tempo de decaimento dos estados de quasipartícula. Como observa-se na gura 6.1, o campo escalar tipo dílaton começa a ser importante a baixas temperaturas, este background, faz que as frequências dos modos quasenormais tenham um comportamento diferente daquele a temperaturas elevadas. As frequências convergem a valores especícos que são determinados pelo espectro de massas dos mésons a temperatura zero (3.15) (ver capítulo 3). número n A convergência do método de séries de potência depende do (modo de oscilação). Assim, para o primeiro modo excitado o método de séries de potência têm boa convergência até a temperatura T̂ 2 = 0.0438, para temperaturas menores do que este valor usa-se o método de ressonâncias Breit-Wigner. Então, os dois métodos se complementam bem para determinar as frequências dos modos quasenormais, mas isto acontece só para os dois primeiros modos, como se pode observar na esquerda da gura 6.1. A partir do terceiro modo os métodos trabalham bem nos seus respectivos intervalos de conança, enquanto que para temperaturas intermédias os dois métodos não apresentam solução. O fato de ter curvas incompletas a partir do terceiro modo, pode ser devido à limitação dos métodos numéricos usados no cálculo das frequêcias. CAPÍTULO 7 Considerações nais No desenvolvimento do trabalho foram encontrados alguns fatos importantes que são apresentados a seguir. Da análise do comportamento da energia livre como função da temperatura (gura 3.1) observa-se a temperatura de transição entre os estados AdS térmico e AdS com buraco negro. Por outro lado, o calor especíco mostra a estabilidade local da fase AdS com buraco negro, que é interpretado na teoria de campos dual como a fase de plasma de quarks e glúons. A estabilidade do plasma varia com a temperatura, diminuindo quando a temperatura diminui, no intervalo 0.75 < T̂ 2 < 2.39 a fase do plasma é metaestável, a mais mínima perturbação faz que os quarks se Hadronizem. Para temperaturas inferiores a 0.75 a fase de plasma é instável, isto é conrmado pela gura da energia livre, que nesse intervalo de temperaturas está na fase de AdS térmico globalmente estável (connamento). Por outro lado, a análise das soluções assimptóticas das equações tipo-Schrödinger mostrou que no horizonte têm-se ondas entrantes e saintes. Devido a argumentos clássicos, só foram considerados ondas entrantes. Além disso, a análise do potencial mostrou que só para valores da temperatura inferiores a T̂c2 = 2.39, têm-se a formação de poços de potencial perto da fronteira, esta análise reforça o fato de ter a fase AdS térmico como uma fase globalmente estável para temperaturas menores à T̂c e, portanto, têm-se connamento dos quarks ou, estados de quasepartícula formados. As funções de correlação carregam informação relevante sobre os estados de quasepartícula formados. A análise da gura 5.1 mostra que os estados de quasepartícula são formados a baixas temperaturas, onde a fase AdS térmico é globalmente estável e o potencial apresenta poços. Portanto, quanto mais a temperatura diminui, os estados de quasepartícula formados são mais estáveis e o tempo de decaimento é maior, porque a largura dos picos é 62 pequena. A massa destas quasepartículas é igual à frequência onde os picos estão localizados. Após introduzir um valor do número de onda diferente de zero (gura 5.2), a estabilidade dos estados de quasepartícula diminui na medida que a energia e o número de onda aumentam. Estes resultados estão em concordância com os resultados encontrados em trabalhos anteriores que estudam glueballs e mésons escalares [27, 43, 45], e méson vetoriais [45]. Também foram determinadas as frequências dos modos quasenormais. No regime hidrodinâmico, mostrou-se que só a componente longitudinal apresenta frequências, e o coeciente de transporte de carga foi determinado. Uma solução mais geral foi determinado usando métodos numéricos, os resultados foram apresentados na gura 6.1. O comporta- mento da parte real da frequência, que está associada à massa dos estados de quasepartícula, indica que a massa diminui, mas começa a incrementar quando a temperatura está próximo de zero. Quando temos um valor da temperatura quase zero, as quasepartículas têm massa dado por m2n = 4c(n + 1). A parte imaginária da frequência sustenta esta armação, porque têm valores que convergem a zero e, portanto o tempo de decaimento aumenta. APÊNDICE A Cordas abertas e mésons A relação clássica entre o momento angular e o quadrado da massa de uma corda aberta em rotação (J = α0 M 2 ) sugere que as trajetórias tipo Regge, de exitações mesônicas, podem ter uma explicação do ponto de vista da teoria das cordas abertas [3], como observado na análise a seguir. Por exemplo o méson (ρ+ , ρ0 , ρ− ). ρ(776) de massa 776 M eV Estes mésons são constituídos de quarks u e d é um tripleto de mésons assim como de anti-quarks [8]. Além disso, a combinação do momento angular de spin (S ) nos mésons é um, enquanto o momento angular orbital (L) é zero. Com essa informação, conclui-se que o momento angular total (J = S + L) é J = 1. Sabe-se também que os mésons de píons com tempos de vida ao redor de O méson a2 (1320) com ρ(776) 10−23 s ρ são instáveis e decaem num par [8]. S = 1. pertence à trajetória dos mésons com J = 2, ρ3 (1690) com J = 3, a4 (2040) com J = 4, e Outros casos são: ρ5 (2350) Para ter ideia da precisão da trajetória linear, ajusta-se uma linha nos 2 com J =5 primeiros mésons, J = α0 M 2 + β 0 . Após fazer o ajuste obtém-se as constantes α0 e β. [3, 40]. (A.1) Assim, a equação (A.1) ca como J = 0.87702(GeV )−2 M 2 + 0.47188. (A.2) Agora com ajuda da equação (A.2) pode-se determinar as massas dos outros mésons. Os valores calculados são apresentados na tabela A.1. Também são representados gracamente os resultados anteriores na gura A.1. Chegado neste ponto, a seguir tenta-se recuperar o comportamento tipo Regge (J = 64 J Experimental (MeV) Calculado (MeV) % de variação 1 776 776 0 2 1320 1320 0 3 1690 1699 0.5 4 2040 2006 1.7 5 2350 2272 3.3 Tabela A.1: Mostra-se os valores experimentais e calculados das massas dos mésons. 6 5.5 −2 2 J= 0.87702(GeV) M + 0.47188 5 4.5 4 J 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 5 6 2 (M/GeV) Figura A.1: Apresenta-se a trajectória de Regge dos mésons. α0 M 2 ) desde o marco da teoria de cordas. A abordagem seguida nesta parte do trabalho está baseada no livro de Barton Zwiebach [3]. Para começar, considera-se o méson sendo representado por uma corda aberta relativista girando classicamente no plano (x2 , x3 ) e com momento linear zero. Por outro lado, o operador momento angular é determinado usando o fato que a ação da teoria de cordas é invariante sobre transformações de Lorentz [35]. Isto permite determinar um conjunto de correntes conservadas conservadas resultantes Mµν , para o caso de cordas abertas (onde Z Z π Mτµν (τ, σ)dσ Mµν = 0 1 A world-sheet a ) (Mµν 1 na world-sheet. σ ∈ [0, π]) são: π (Xµ Pντ − Xν Pµτ )dσ. = As cargas (A.3) 0 é a superfície que se forma quando uma corda aberta se propaga no espaço-tempo. Os parâmetros que caracterizam uma world-sheet são: τ e σ , para maior detalhe ver referências [35]. 65 Além disso, sabe-se que: P σµ = − onde P σµ e Pτµ 1 0 Xµ , 0 2πα Pτµ = são as densidades de momento, Xµ 1 Ẋ µ 0 2πα (A.4) as coordenadas e parâmetro de inclinação, que está relacionado com a tensão α0 conhecido como (T0 ) e comprimento (ls ) da corda 1 = ls2 . 2πT0 ~c α0 = (A.5) Por outro lado, substituem-se as densidades de momento (A.4) na equação (A.3), esta última ca em termos da coordenada e sua derivada, M µν 1 = 2πα0 Z π (X µ Ẋ ν − X ν Ẋ µ )dσ (A.6) 0 onde a coordenada é expressa de uma maneira mais conveniente, a saber [3]. µ X (τ, σ) = xµ0 + √ 2α0 α0µ τ +∞ X √ 1 µ −inτ 0 + i 2α α e cos(nσ), n n n=−∞ | {z } (A.7) n6=0 e sua derivada com relação ao parâmetro Ẋ µ = √ 2α0 τ, X αnµ e−inτ cos(nσ). (A.8) n∈Z Após substituir os resultados anteriores em (A.6) e fazer as simplicações, obtém-se M µν = xµ0 pν − xν0 pµ ∞ X 1 µ ν ν −i α−n αn − α−n αnµ . n n=1 Para o caso de nosso interesse, a corda aberta girando no plano linear zero, o operador momento angular relevante é J = M 23 = −i (A.9) (x2 , x3 ) e com momento J = M 23 , ∞ X 1 (2) (3) (3) α−n αn − α−n αn(2) . n n=1 (A.10) Observa-se que o resultado (A.10) mistura osciladores de duas coordenadas espaciais. Para 66 simplicar o resultado anterior denem-se novos osciladores (αn e 1 αn ≡ √ αn(2) + iαn(3) , 2 é fácil mostrar que (αn )† = ᾱ−n , ᾱn ), como 1 ᾱn ≡ √ αn(2) − iαn(3) , 2 (A.11) e as relações de comutação que satisfazem estes novos operadores são: [αm , ᾱn ] = mδm+n,0 ; [αm , αn ] = [ᾱm , ᾱn ] = 0. (A.12) Em termos dos novos osciladores (A.10) ca J= ∞ X 1 (α−n ᾱn − ᾱ−n αn ) . n n=1 (A.13) Usando os novos osciladores pode-se escrever os estados como sendo [3], |λi = ∞ Y (α−k )λk (ᾱ−k )λ̄k |p+ , p~T i (A.14) k=1 onde p+ λk ≥ 0 é o momento do cone de luz e e λ̄k ≥ 0 são inteiros. p~T o momento transversal. Além disso, sabe-se que Os autovalores do operador momento angular podem ser determinados resolvendo o seguinte problema de autovalores J|λi = J |λi, ⇒ J = ∞ X (λn − λ̄n ). (A.15) n=1 Devido a que se precisa determinar o quadrado da massa com momento angular denido (comportamento de Regge), considera-se a expressão [3], α0 M 2 + 1 = N ⊥ = N23 + N 0 , onde N23 = ∞ X (2) α−n αn(2) + (3) α−n αn(3) (A.16) , (A.17) n=1 N⊥ é separado em dois termos: uma contribuição da direção (x2 , x3 ) e N0 (as outras con- tribuições transversais). O resultado (A.17) expressado em termos dos novos osciladores têm a forma, N23 = ∞ X n=1 (α−n ᾱn + ᾱ−n αn ) , (A.18) 67 com autovalores N23 = N23 = P∞ k=1 ∞ X k(λk + λ̄k ). k(λk + λ̄k ) ≥ k=1 A conclusão é que, N23 ≥ |J |. Devido a que ∞ X λk + k=1 ∞ X λk λ̄k ≥ k=1 e λ̄k ≥ 0, ∞ X é válido que |λk − λ̄k | = |J |. (A.19) k=1 Por outro lado temos que os autovalores da equação (A.16), são α0 M2 + 1 = N23 + N 0 , ⇒ α0 M2 + 1 ≥ N23 . (A.20) O resultado anterior é válido quando se considera os autovalores da contribuição transversal positivos (N 0 ≥ 0). Finalmente, obtém-se |J | ≤ 1 + α0 M2 . O resultado (A.21) é a versão quântica da equação (A.1). saturada, é válido que J = 1 + α 0 M2 . tem-se que o valor da constante β0 (A.21) Quando se tem a desigualdade Fazendo uma comparação com o resultado (A.1), é conhecido, enquanto que o valor da constante α0 não. Dos resultados anteriores conclui-se que o modelo de corda aberta relativista girando num plano (x2 , x3 ), reproduz bem o comportamento tipo Regge dos mésons vetoriais [40]. APÊNDICE B Teoria da resposta linear B.1 Medidas e funções de correlação Neste apêndice discute-se como representar medições na Física. As medições físicas locais de um sistema quântico microscópico (muitos corpos), signica na prática analizar a perturbação que é criada pela aplicação de uma força externa na vizinhança de algum ponto r0 no tempo t0 , a resposta do sistema é então medida em algum outro ponto r num tempo posterior t > t0 . Só se está interessado na resposta global do sistema a uma perturbação uniforme, como acontece no caso de muitas medições termodinâmicas. Por exemplo, num experimento típico de ótica temos uma onda eletromagnética externa incidindo sobre o sistema (pode ser um metal). Para o caso de um campo eletromagnético com energia sucientemente baixa pode-se ignorar sua natureza mecânico quântica e estuda-lo como uma onda clássica. Esta onda interage com os graus de liberdade do sistema de varias maneiras. Assim, o potencial escalar acopla-se à densidade de carga local através de um termo da forma ρ̂(x, t) R d3 xA0 (x, t)ρ̂(x, t), A0 onde é o operador densidade de carga (na representação de Heisenberg). Por outro lado, o potencial vector A(x, t) acopla-se ao operador corrente ĵ(x, t). Portanto, observa-se que um campo eletromagnético clássico pode induzir correntes no sistema [6567]. Na sequência deste apêndice vai-se discutir uma teoria geral de este tipo de medições. Seja, b H o Hamiltoniano que descreve o sistema isolado (sem perturbação). Uma maneira de testar suas propriedades é acoplar o sistema a uma perturbação externa fraca (asumindo que o estado inicial é estável), e determinar como o estado inicial e estados excitados são afetados pela perturbação. Por outro lado temos b t) O(x, um observável local, como por exemplo a densidade local (densidade de corrente ou magnetização). O Hamiltoniano total bT H que 69 descreve o sistema fracamente acoplado a uma perturbação externa, que é representado pelo Hamiltoniano b ext , H é bT = H b +H b ext . H (B.1) Tem-se que considerar que a perturbação não só é fraca (se for esse o caso, poderia-se usar teoria de perturbações para obter informação do sistema). Além disso, o campo externo tem que ser ligado e desligado adiabaticamente. A representação de Heisenberg do sistema isolado, com Hamiltoniano b, H é agora a representação de interação do sistema acoplado ao campo externo. Portanto, os observáveis físicos do sistema acoplado evoluem de acordo ao Hamiltoniano do sistema isolado, mas os estados vão acompanhar a perturbação externa (fonte) [65]. |ψα (ti )i fraca Consequentemente, o valor esperado do observável do sistema descrito pelo Hamiltoniano b ext , H b (t) U no estado inicial é modicada devido à ação da perturbação como b t)|ψα (ti )i hψα (ti )|O(x, onde b H b t) O(x, b † (t)O(x, b t)U b (t)|ψα (ti )i, hψα (ti )|U → (B.2) é o operador evolução ordenado no tempo que se dene como [65, 66]: b (t) = T U Z i t b 0 0 0 exp − Hext (x , t )dt . ~ ti (B.3) Tendo em consideração a informação anterior, pode-se determinar a resposta do sistema, inicialmente no estado |ψα (ti )i, devido a uma perturbação externa que atua entre t, b t)|ψα (ti )i = − i δhψα (ti )|O(x, ~ Z t b t), H b ext (x0 , t0 )]|ψα (ti )idt0 , hψα (ti )|[O(x, ti e (B.4) ti observa-se que esta resposta se expressa em função do valor esperado no estado inicial, do comutador entre a perturbação e observável. Além disso, deve-se comentar que o resultado (B.4) está ordenado no tempo. Portanto, temos a perturbação atuando no instante resposta é determinada pela medição do observável se b t) é um observável local, H b ext O(x, b O b ext (x, t) = H Z 1 Ordenamento Em geral, b t)f (x, t) d3 x O(x, Para simplicar o problema, considera-se que |ψα (ti )i,1 t > t0 . e a representa uma fonte externa que acopla-se linearmente ao observável. respecto ao estado inicial num tempo posterior t0 (B.5) b t) está ordenado normalmente com O(x, precisa-se então que b t)|ψα (ti )i = 0. hψα (ti )|O(x, Este fato, normal indica que os operadores aniquilação estão à direita dos operadores criação. 70 pode ser interpretado na seguinte maneira. Está-se considerando operadores que medem as utuações do observável longe do valor esperado. Como consequência disso, a mudança linear no valor esperado do observável, induzido pela fonte b t)|ψα (ti )iF = − i hψα (ti )|O(x, ~ Z t 0 Z dt f (x, t) é b t), O(x b 0 , t0 )]|ψα (ti )if (x0 , t0 ). d3 x0 hψα (ti )|[O(x, (B.6) ti Portanto, a resposta é linear na força. O coeciente de proporcionalidade entre a mudança no valor esperado χ(xt; x0 t0 ) b t)|ψα (ti )i hψα (ti )|O(x, e a força, dene uma susceptibilidade geralizada através da denição b t)|ψα (ti )iF ≡ “χ · f = hψα (ti )|O(x, Identica-se a susceptibilidade geralizada χ(xt; x0 t0 ) Z d4 x χ(xt; x0 t0 )f (x0 , t0 ). (B.7) como o propagador retartado, ou função de Green retardada [64, 65]. i b t), O(x b 0 , t0 )]|ψα (ti )i χ(xt; x0 t0 ) ≡ − θ(t − t0 )hψα (ti )|[O(x, ~ (B.8) B.2 Temperatura nita Qualquer sistema físico em equilibrio termodinâmico encontra-se a uma temperatura nita T. Pode ser mostrado que há uma maneira simples e fácil de adaptar aos métodos a temperatura zero, os efeitos produzidos pelas utuações térmicas, isto pode ser feito quando considera-se que todo o sistema está em equilibrio com um banho térmico a temperatura e com potencial químico µ T zero, portanto, o sistema pode ser analisado no ensemble grande canônico. Usando a matriz densidade de Gibbs ρG e a grande função de partição ZG , que são denidas como [6466]: b ρbG ≡ e−β H ; onde b β = 1/(kT ), H ZG = T r{b ρG } = e−βΩG , é o Hamiltoniano, ZG é grande função de partição e (B.9) ΩG o grande potencial. A média térmica no ensemble grande canônico de um observável físico local é dado por b t)i = hO(x, b t)b T r{O(x, ρG } . T r{b ρG } b t) O(x, (B.10) 71 Por outro lado, temos autovalores Eλ . {|λi} um conjunto completo de autoestados do Hamiltoniano b H com Portanto, dene-se a média térmica do sistema como b t)i = hO(x, P b O(x, t)|λie λ hλ|P −βEλ λe −βEλ . (B.11) Assim por exemplo para calcular a média térmica de um observável, deve-se primeiro conhecer o valor esperado do observável de acordo à mecânica quântica e depois calcular a média térmica. Para o resultado (B.8) temos que a média térmica é i b b 0 )]i. O(x χµν (x − x0 ) = − θ(x0 − x00 )h[O(x), ~ (B.12) B.3 Função de Green retardada e tensor condutividade elétrica Considera-se como exemplo o acoplamento entre um campo elétrico externo e a densidade de corrente local num sistema de partículas descrito pelo Hamiltoniano [6570]. bT = H b +H b ext (A), H onde: R b ext = d3 x0 ĵ(x0 , t0 )·A(x0 , t0 ). H (B.13) Tem-se o sistema num estado inicial |ψα (ti )i. Depois ser ligado o campo externo, o sistema evolui no tempo ate um estado nal. Pode-se determinar a variação no valor esperado da densidade de corrente usando o resultado (B.4), que neste caso especíco pode ser expressado como 1 δhĵn (x)i = ~ Z R d4 x0 Cnm (x − x0 )Am (x0 ); (m, n = 1, 2, 3) (B.14) onde R Cnm (x − x0 ) = −iθ(x0 − x00 )h[ĵn (x), ĵm (x0 )]i (B.15) é a função de Green térmica retardada, ou a função de correlação corrente-corrente. Portanto, pode-se indicar que o resultado (B.15) mede a variação da corrente, em relação à corrente na representação de interação, deve-se mencionar também que o resultado satisfaz o princípio de causalidade. Conclui-se então que δhĵn (x)i em (B.14) representa sicamente a corrente induzida sobre o sistema δhĵn (x)i = hĵn (x)iind . 72 Por outro lado, tem-se o campo elétrico externo representado como Eext = −∂0 A. Além disso, a transformada de Fourier do potencial vetor Z Am (x) = d4 k ikx e Am (k), (2π)4 Z e Am (k) = 0 dx0 e−ikx Am (x0 ). (B.16) Após substituir a transformada de Fourier em (B.14) e fazer as simplicações, obtém-se hĵn (p, ω)iind = 1 R ext Cnm (p, ω)Em (p, ω). i~ω (B.17) O resultado (B.17) determina a resposta global do sistema devido ao campo elétrico externo aplicado. Portanto conclui-se que o tensor condutividade elétrica é [70] σnm (p, ω) = 1 R C (p, ω). iω~ nm (B.18) APÊNDICE C Hidrodinâmica No desenvolvimento do trabalho usa-se o limite hidrodinâmico como uma prova não trivial da correspondência AdS/CFT à temperatura nita. Sabe-se que o comportamento a grandes distâncias (número de onda pequeno) e baixas frequências, de qualquer teoria que interage (a temperatura nita), pode ser descrito pela hidrodinâmica [16, 50, 51]. Este fato é válido por uma intuição física que vem de nossa experiência com sistemas macroscópicos. Devido a sua natureza universal, a hidrodinâmica impõe requerimentos precisos na forma das funções de correlação de correntes conservadas no espaço-tempo de Minkowski [51]. C.1 Funções de correlação e o modo de difusão Para observar o requerimento imposto pela hidrodinâmica sobre as funções de correlação térmica, considera-se alguma teoria à temperatura nita na qual a carga global é conservada. A corrente é j µ, onde j0 é a densidade de carga espacial. O potencial químico é considerado zero, portanto, no equilibrio térmico tem-se hj 0 i = 0 (valor global médio da carga é zero). Como foi estudado no apêndice B, a resposta linear a uma perturbação externa é medida usando a função de correlação (ou função de Green térmica retardada) Z R (ω, ~k) Cµν = −i dx4 e−ikx θ(t)h[ĵµ (x), ĵν (0)]i, (C.1) esta função representa a resposta ao acoplamento entre uma perturbação externa e a corrente. Quando se tem o caso no qual ω e ~k são pequenos comparados com a temperatura, a per- turbação externa propaga-se lentamente no espaço-tempo [16, 51], portanto, uma descrição hidrodinâmica macroscópica do sistema é possível. Se a corrente no sistema é conservada, a 74 equação de conservação da corrente é satisfeita, ∂µ j µ = 0, com densidade de corrente dada por P µν é o projetor denido como (C.2) j µ = ρuµ − DP µν ∂ν ρ, P µν = η µν + uµ uν , referencial de repouso do uido temos onde ρ é a densidade de carga e tal que satisfaz a condição uµ = (1, 0, 0, 0), P µν uµ = 0. No a equação (C.2) ca na forma ∂t ρ − D∇2 ρ = 0. (C.3) A equação (C.3) corresponde a um modo superamortecido. Além disso, a relação de dispersão pode ser determinado introduzindo a transformada de Fourier na densidade de carga Z ρ(t, ~x) = d4 k −iωt+i~k·~x e ρ̃(ω, ~k). (2π)4 Após ser simplicada, a relação de dispersão é correlação retardada de j0 ω = −iD|~k|2 , (C.4) o que implica que a função de tem que ter um polo no plano complexo ω. C.2 Exemplo: difusão de campo magnético em plasmas Astrofísicos No seguinte exemplo mostra-se como o polo da função de Green está relacionado à relação de dispersão e ao coeciente de difusão. Antes de começar com a análise considereram-se alguns aspectos de um plasma. Plasma astrofísico é um gás que contém um número sucientemente grande de partículas livres carregadas (elétrons e íons), cuja dinâmica é governada pelas forças electromagnéticas. Além disso, precisa ter pelo menos 1% de ionização [71,72]. Ná análise a seguir, só se considera a parte eletrônica do plasma, por isso pode ser caracterizado localmente por uma densidade ne , uma velocidade média ~ve e uma distribuição de velocidades 1/2 3kTe Maxwelliana, que é caracterizada por ter uma velocidade de dispersão vth = , porme tanto, a pressão dos elétrons é pe = ne kTe . Então, o movimento dos elétrons do plasma está governado pela equação. ne me onde, P~ei d~ve ~ e + ne me~g − ne e(E ~ + ~ve × B) ~ + P~ei , = −∇p dt (C.5) é a taxa de transferência de momento dos íons para os elétrons por colisões elásticas. Para simplicar o problema, considera-se a massa dos elétrons desprezível em comparação à massa dos íons (me mi ). Desconsiderar os termos que contêm me em (C.5) é equivalente a 75 indicar que, em qualquer instante, todas as forças estão em equilibrio, portanto, ca-se com uma expressão para o campo elétrico ~ = −~ve × B ~ − 1 ∇p ~ e + 1 P~ei . E ene ene Uma expressão para P~ei (C.6) pode ser determinada, supondo que o elétron ca em repouso após uma colisão com um íon (no centro de massa do sistema e-íon) me~ve + mi~vi , V~ = me + mi onde ~vi (C.7) é a velocidade média dos íons. Também deve-se considerar que cada elétron colide νc = ni vth σei vezes por segundo, onde σei é a seção de choque clássico, portanto, a força de atrito por colisões e-íon, é P~ei = ne ni vth σei me (~vi − ~ve ), sendo ni a densidade dos íons [72]. Zeni~vi − ene~ve (C.8) Por outro lado, tem-se a densidade de corrente e considerando a neutralidade da carga J~ = Zeni = ene , a equação (C.8) ca como ne vth σei me ~ P~ei = J. Ze (C.9) η = vth σei me /e2 como a resistividade elétrica, obtém- Após substituir (C.9) em (C.6) e denir se uma expressão para o campo elétrico ~ = −~ve × B ~ − 1 ∇p ~ e + η J. ~ E ene Usando a lei de Faraday ~ = −∇ ~ ×E ~, ∂t B e a lei de Ampere (C.10) ~ ×B ~, µ0 J~ = ∇ a equação que governa a difusão do campo magnético do plasma astrofísico é ~ =∇ ~ × (~ve × B) ~ + η ∇2 B ~ − 1 ∇n ~ e × ∇p ~ e. ∂t B µ0 en2e Para simplicar o problema considera-se um caso no qual ~. ~ve k B Além disso, se faz (C.11) ~ e× ∇n ~ e /n2 = ~q(~x, t), este termo é conhecido como bateria de Biermann e é um gerador de campo ∇p e magnético [71]. Introduzindo estas simplicações em (C.11) temos a equação que governa a difusão do campo magnético com fonte ~− ∂t B ~q(~x, t) η 2~ 1 ∇ B = − ~q(~x, t), µ0 e (C.12) 76 fazendo D = η/µ0 , o problema de Green equivalente é 1 ∂t G(~x|~x0 ; t|τ ) − D∇2 G(~x|~x0 ; t|τ ) = − δ(~x − ~x0 )δ(t − τ ). e (C.13) Introduzindo as transformadas de Fourier: Z d4 k −iωt+i~k·~x e ~ G(~x|~x0 ; t|τ ) = e G(ω, k), (2π)4 Z Z d3 k i~k·(~x−~x0 ) dω −iω(t−τ ) δ(~x − ~x0 ) = e , δ(t − τ ) = e 3 (2π) 2π (C.14) na equação (C.13), obtém-se a função de Green: iωτ −i~k·~ x0 e ~k) = e . G(ω, e iω − D|~k|2 (C.15) O resultado anterior mostra que a função de Green tem um polo no plano complexo da frequência determinado por iω − D|~k|2 = 0, onde D é o coeciente de difusão (transporte) do campo magnético. Portanto, para determinar a solução geral da equação de difusão (C.12) precisa-se determinar a função G(~x|~x0 ; t|τ ), que se obtém substituindo (C.15) em (C.14). Além disso, para que a solução seja causal, adiciona-se a função degrau de Heaviside H(t − τ ) |~ x−~ x0 |2 G(~x|~x0 ; t|τ ) = H(t − τ )e− 4D(t−τ ) e [4πD(t − τ )]3/2 . (C.16) Finalmente, a solução geral é ~ x, t) = B(~ 1 e [4πD]3/2 Z |~ x−~ x |2 0 ~ e (~x0 , τ ) × ∇p ~ e (~x0 , τ ) H(t − τ )e− 4D(t−τ ) ∇n d3~x0 dτ (t − τ )3/2 n2e (~x0 , τ ) (C.17) Resultado que permite determinar a evolução do campo magnético no plasma, propagando-se no espaço-tempo. Referências Bibliográcas [1] G. Veneziano, Construction of a crossing-simmetric, Regge-behaved amplitude for lin- early rising trajectories, Il Nuovo Cimento A (1965-1970), 1968. [2] P. D. B. Collins, An introduction to Regge theory & high energy physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1977, UK. [3] B. Zwiebach, A rst course in string theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2ed., 2009. UK. [4] E. Kiritsis, String theory in a nutshell. Princeton: Princeton University Press, 2007. USA. [5] K. Becker, M. Becker, J. Schwarz String theory and M-theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2006. USA. [6] Murray. Gell-Mann, Symmetries of Barions and Mesons, Phys. Rev. 125, 3, 10671084, (1962). [7] G. Zweig, An SU3 model for strong interaction symmetry and its breaking, CERN-TH412, 80 p, 1964. [8] D. Griths, Introduction to elementary particle. Jhon wiley & sons, 2009. Germany [9] J. M. Maldacena, The Large N limit of superconformal eld theories and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998) [hep-th/9711200]. [10] E. Witten, Duality, Spacetime and Quantum Mechanics, Physics Today, Vol. 50(5), 1997. [11] E. Witten, Magic, mistery, and matrix, Notices of AMS, Vol. 45, Num. 9 (1998). [12] G. 't Hooft, Dimensional reduction in quantum gravity, gr-qc/9310026. 77 78 [13] L. Susskind, The World as a hologram, J. Math. Phys. 36, 6377 (1995) [hep- th/9409089]. [14] E. Witten, Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and connement in gauge theories, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 505 (1998) [hep-th/9803131]. [15] D. T. Son, A. O. Starinets, Minkowski-space correlators in AdS/CFT Correspondence: recipe and aplications JHEP 0209, 042 (2002) [arXiv:hep-th/0205051v2]. [16] D. T. Son and A. O. Starinets, Viscosity, Black Holes, and Quantum Field Theory, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 57, 95 (2007) [arXiv:0704.0240 [hep-th]]. [17] O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri and Y. Oz, Large N eld theories, string theory and gravity, Phys. Rept. 323, 183 (2000) [hep-th/9905111]. [18] J. Polchinski and M. J. Strassler, Hard scattering and gauge/string duality, Phys. Rev. Lett. 88, 031601 (2002) [hep-th/0109174]. [19] H. Boschi-Filho and N. R. F. Braga, Gauge/string duality and scalar glueball mass ratios, JHEP 0305, 009 (2003) [hep-th/0212207]. [20] J. Erlich, E. Katz, D. T. Son and M. A. Stephanov, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 261602 [hep-ph/0501128]. [21] A. Karch, E. Katz, D. T. Son and M. A. Stephanov, Linear Connement and AdS/QCD, Phys. Rev. D 74, 015005 (2006) [arXiv:hep-ph/0602229]. [22] S. W. Hawking and D. N. Page, Thermodynamics of black holes in Anti-de Sitter space, Commun. Math. Phys. [23] T. M. Kelley, The 87 (1983) 577. Dynamics and Thermodynamics of Soft-Wall AdS/QCD, arXiv:1108.0653 [hep-ph]. [24] P. K. Kovtun and A. O. Starinets, Quasinormal modes and holography, Phys. Rev. D 72, 086009 (2005) [arXiv:hep-th/0506184]. [25] C. P. Herzog, A Holographic Prediction of the Deconnement Temperature, Phys. Rev. Lett. 98, 091601 (2007) [hep-th/0608151]. [26] E. Berti, V. Cardoso and P. Pani, Breit-Wigner resonances and the quasinormal modes of anti-de Sitter black holes, Phys. Rev. D 79, 101501 (2009) [arXiv:0903.5311 [gr-qc]]. 79 [27] A. S. Miranda, C. A. Ballon Bayona, H. Boschi-Filho and N. R. F. Braga, Black-hole quasinormal modes and scalar glueballs in a nite-temperature AdS/QCD model, JHEP 0911, 119 (2009) [arXiv:0909.1790 [hep-th]].disponha [28] P. Colangelo, F. De Fazio, F. Giannuzzi, F. Jugeau and S. Nicotri, Light scalar mesons in the soft-wall model of AdS/QCtal que cumple-seD, Phys. Rev. D 78, 055009 (2008) [arXiv:0807.1054 [hep-ph]]. [29] C. A. Ballon Bayona, H. Boschi-Filho, N. R. F. Braga and L. A. Pando Zayas, On a Holographic Model for Connement/Deconnement, Phys. Rev. D 77, 046002 (2008) [arXiv:0705.1529 [hep-th]]. [30] P. Colangelo, F. De Fazio, F. Jugeau and S. Nicotri, On the light glueball spectrum in a holographic description of QCD, Phys. Lett. B 652, 73 (2007) [hep-ph/0703316]. [31] E. D'Hoker and D. Z. Freedman, Supersymmetric gauge theories and the AdS/CFT correspondence, hep-th/0201253. [32] A. Zaaroni, Introduction to AdS-CFT correspondence, Lectures, 2009. [33] P. H. Ginsparg, Applied Conformal Field Theory, hep-th/9108028. [34] J. L. Petersen, Introduction to the Maldacena conjecture on AdS/CFT, Int. J. Mod. Phys. A 14, 3597 (1999) [hep-th/9902131]. [35] H. Nastase, Introduction to AdS-CFT, arXiv:0712.0689 [hep-th]. [36] C. A. M. Ballón B., Um estudo da correspondência AdS/CFT, Tese mestrado, UFRJ/IF, 2005. [37] A. L. de Paula Lacerda, Uma estimativa para curvatura de Ricci em hipersuperfícies na esfera, Tese mestrado, UFBA/IM, 2005. [38] G. 't Hooft, A Planar Diagram Theory for Strong Interactions, Nucl. Phys. B 72, 461 (1974). [39] G. T. Horowitz and A. Strominger, Black strings and P-branes, Nucl. Phys. B 197 (1991). [40] Beringer, J. et al. Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 86, 010001 (2012) [41] J. J. Sakurai, Modern quantum mechanis, Addison-Wesley, 1994, USA. 360, 80 [42] D. J. Griths, Introduction to quantum mechanics, Prentice Hall, 1995, USA. [43] P. Colangelo, F. Giannuzzi and S. Nicotri, Holographic Approach to Finite Temperature QCD: The Case of Scalar Glueballs and Scalar Mesons, Phys. Rev. D 80, 094019 (2009) [arXiv:0909.1534 [hep-ph]]. [44] E. Berti, V. Cardoso and A. O. Starinets, Quasinormal modes of black holes and black branes, Class. Quant. Grav. 26, 163001 (2009) [arXiv:0905.2975 [gr-qc]]. [45] M. Fujita, K. Fukushima, T. Misumi and M. Murata, Finite-temperature spectral function of the vector mesons in an AdS/QCD model, Phys. Rev. D 80, 035001 (2009) [arXiv:0903.2316 [hep-ph]]. [46] C. A. M. Ballón B., AdS/QCD: Uma abordagem para as interações fortes via teoria de cordas, Tese doutorado, UFRJ/IF, 2009. [47] Y. Kim, Y. Matsuo, W. Sim, S. Takeuchi and T. Tsukioka, Quark Number Susceptibility with Finite Chemical Potential in Holographic QCD, JHEP 1005, 038 (2010) [arXiv:1001.5343 [hep-th]]. [48] A. S. Miranda, Modos quase-normais e a correspondência AdS/CFT, Tese doutorado, UFSM/IF, 2008. [49] A. Nunez and A. O. Starinets, AdS / CFT correspondence, quasinormal modes, and thermal correlators in N=4 SYM, Phys. Rev. D 67, 124013 (2003) [hep-th/0302026]. [50] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid mechanics, ELSEVIER-Butterworth Heinemann, 2ed., 2009, China. [51] G. Policastro, D. T. Son and A. O. Starinets, From AdS/CFT correspondence to hydrodynamics, JHEP 0209, 043 (2002) [hep-th/0205052]. [52] G. Policastro, D. T. Son and A. O. Starinets, From AdS/CFT correspondence to hydrodynamics. 2. Sound waves, JHEP 0212, 054 (2002) [hep-th/0210220]. [53] D. Birmingham, I. Sachs and S. N. Solodukhin, Conformal eld theory interpretation of black hole quasinormal modes, Phys. Rev. Lett. 88, 151301 (2002) [hep-th/0112055]. [54] G. Policastro, D. T. Son and A. O. Starinets, The Shear viscosity of strongly coupled N=4 supersymmetric Yang-Mills plasma, Phys. Rev. Lett. th/0104066]. 87, 081601 (2001) [hep- 81 [55] G. T. Horowitz and V. E. Hubeny, Quasinormal modes of AdS black holes and the approach to thermal equilibrium, Phys. Rev. D 62, 024027 (2000) [hep-th/9909056]. [56] E. J. Hinch, Perturbation Methods, Cambridge Texts, 1995, USA. [57] G. B. Arfken, H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, ELSEVIER, 6ed., 2005, USA. [58] D. G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Internacional Thomson Editores, 6ed., 1997, México. [59] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum mechanics (non-relativistic theory), Butterworth Heinemann, 3ed., 2003, UK. [60] S. Chandrasekhar and V. Ferrari, On the Non-Radial Oscillations of a Star, Proc. R. Soc. Lond. A February 8, 1991 432 1885 247-279. [61] S. Chandrasekhar, V. Ferrari and R. Winston, On the Non-Radial Oscillations of a Star II. Further Amplications, Proc. R. Soc. Lond. A, 1991 434 1892 635-641. [62] S. Chandrasekhar and V. Ferrari, On the Non-Radial Oscillations of a Star III. A Reconsideration of the Axial Modes, Proc. R. Soc. Lond. A, 1991 434 1891 449-457. [63] S. Chandrasekhar and V. Ferrari, On the Non-Radial Oscillations of a Star. IV an Application of the Theory of Regge Poles, Proc. R. Soc. Lond. A April 8, 1992 437 1899 133-149. [64] R.Kubo, H. Ichimura, T. Usui, N. Hashitsume Statistical mechanics, North-Holland, 1988, Netherlands. [65] E. Fradkin, General eld theory, University of Illinois at Urbana-Champaign (notas de aula), 2011, USA. [66] J. W. Negele, H. Orland, Quantum many-particle systems, Westview Press, 1998, USA. [67] R.Kubo, M. Toda, N. Hashitsume Statistical physics II, Springer-Verlag, 1985, Germany. [68] S. Sachdev, The landscape of the Hubbard model, arXiv:1012.0299 [hep-th]. 82 [69] J. -W. Chen, Y. -J. Kao, D. Maity, W. -Y. Wen and C. -P. Yeh, Towards A Holographic Model of D-Wave Superconductors, Phys. Rev. D 81, 106008 (2010) [arXiv:1003.2991 [hep-th]]. [70] M. M. Roberts and S. A. Hartnoll, Pseudogap and time reversal breaking in a holographic superconductor, JHEP 0808, 035 (2008) [arXiv:0805.3898 [hep-th]]. [71] T. J. M. Boyd, J. J. Sanderson, The physics of plasmas. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, USA. [72] E. M. de Gouveia Dal Pino, Magnetic elds in the universe, Universidade de São Paulo (notas de aula), 2004, Brasil.