Mésons Vetoriais e Modos Quasenormais de Uma Brana

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Luis Alex Huahuachampi Mamani
MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS
DE UMA BRANA NEGRA NO
MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD
Ilhéus, BA, Brasil
2013
Luis Alex Huahuachampi Mamani
MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS DE UMA
BRANA NEGRA NO MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Física da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC,
BA), para a obtenção do grau de
Mestre em Física.
Área de Concentração: Física
Orientador: Alex dos Santos Miranda
Ilhéus, BA, Brasil
2013
Luis Alex Huahuachampi Mamani
MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS DE UMA
BRANA NEGRA NO MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Física da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC,
BA), para a obtenção do grau de
Mestre em Física.
COMISSÃO EXAMINADORA:
Alex dos Santos Miranda, Dr.
(UESC)
(Presidente/Orientador)
Henrique Boschi Filho, Dr.
(UFRJ)
André Luis Batista Ribeiro, Dr.
(UESC)
Ilhéus, 25 de Fevereiro de 2013.
A
minha
família
e
minha
namorada.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela oportunidade de continuar neste Mundo. A minha Mãe Julia
Victoria, pelo apoio incondicional, pela coragem para enfrentar a vida, e por ensinar-nos que
não só com luxo e dinheiro podemos ser felizes. A minha namorada Jessica por ter-me dado
forças nos momentos mais difíceis, quando começava a acreditar que não tinha mais motivo
para continuar estudando esta área do conhecimento tão bonita. Aos meus irmãos Jaime, Luz
Marina, Emma por terem-me apoiado na minha formação pessoal e cientíca, sem eles não
estaria aqui agora. A todos os amigos que deixe para trás. Em especial, o meu melhor amigo
Eloy Felipe, que por coisas da vida não está mais conosco.
Neste cantinho do Brasil conheci meu orientador Alex e sua esposa Simoni, que me
apoiaram muito. Aos professores Adriano, André, Fermin, Alejandra entre outros, dos quais
aprendi que não só de conhecimento pode viver um homem. Também a pessoas como Flávio
Sampaio, bom colega e melhor amigo.
entre outras boas pessoas.
Maiara Sampaio, que me ajudou com o Português,
Não posso terminar os agradecimentos sem car grato com a
Universidade Estadual de Santa Cruz pela oportunidade de fazer o mestrado no que é a
minha paixão, a Física Teórica; e à CAPES pelo apoio nanceiro.
Simetria
cordância
se
denota
de
integram
está
H.
muitas
num
vinculada
Weyl
esse
à
tipo
partes,
tudo.
simetria.
de
con-
pelo
que
A
beleza
MÉSONS VETORIAIS E MODOS QUASENORMAIS DE UMA
BRANA NEGRA NO MODELO SOFT-WALL DE AdS/QCD
RESUMO
Nos anos recentes, a correspondência AdS/CFT tem sido utilizada no estudo da física de
altas energias. Uma versão modicada desta correspondência relaciona uma teoria de supergravidade num espaço-tempo anti-de Sitter de
com dimensionalidade
3+1
4+1
dimensões e uma teoria de campos dual
a cromodinâmica quântica holográca (QCD). No presente
trabalho, investiga-se o espectro dos mésons vetoriais, que são representados por perturbações
eletromagnéticas na teoria gravitacional dual. No espaço em que se desenvolve a dinâmica
das perturbações existe um background especíco para o modelo soft-wall. Determinam-se as
frequências de oscilação dos modos produzidos pelas perturbações eletromagnéticas e mostrase que estas correspondem aos pólos de funções de correlação corrente-corrente da teoria
de campos dual.
Estas frequências apresentam uma parte real que é interpretada como a
massa dos mésons vetoriais, e a parte imaginária como o inverso do tempo de decaimento
destes estados de quasepartícula. As equações de movimento encontradas são expressas em
termos de variáveis invariantes de gauge. Estas equações são resolvidas inicialmente no regime
hidrodinâmico (ω
T
e
q T ),
e depois utiliza-se a prescrição de Son-Starinets para
determinar as funções de correlação.
Desta análise, mostra-se que apenas a componente
longitudinal apresenta pólos hidrodinâmicos, e determina-se assim o coeciente de difusão
que caracteriza o transporte de cargas na teoria dual. Ao nal do trabalho, as equações de
movimento são resolvidas com a utilização de dois métodos numéricos: o método das séries
de potência (para temperaturas elevadas) e o método de ressonâncias de Breit-Wigner (para
baixas temperaturas).
Palavras-chave: branas negras; espaço Anti-de Sitter; modos quasenormais; correspondência
AdS/QCD
LISTA DE FIGURAS
2.1
Uma representação do espaço-tempo AdS como um hiperbolóide.
Extraído
de [17]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
(a) Representa a propagação de uma corda aberta livre.
(b) Representa a
propagação de corda aberta, após ter interagido uma vez. Extraído de [3]. . . .
2.3
(a) Representa a propagação de uma corda, após ter duas interações.
Diagrama não-planar, tem uma fronteira interna. Extraído de [3].
3.1
18
20
(b)
. . . . . . .
21
Apresenta-se (à esquerda), a diferença das densidades de ação, como função
da temperatura normalizada
(πT )2 /c.
Pode-se observar a transição de fase
entre o espaço AdS térmico, e o AdS com buraco negro, sendo que a linha
vertical representa a temperatura na qual acontece esta transição.
Também
é apresentado (à direita), o calor especíco do AdS com buraco negro, como
função de
4.1
(πT )2 /c.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal para diferentes valores
da temperatura, observa-se que este potencial não apresenta poço, para
0.546.
4.2
30
T̂ 2 &
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal, no regime de baixas
temperaturas.
Observa-se que quando a temperatura diminui, a barreira de
potencial na esquerda aumenta. Portanto, para temperaturas mais baixas, os
estados de quasipartícula têm mais probabilidade de ser formados. . . . . . . .
5.1
41
Mostra-se a função espectral como função da energia, para diferentes valores
da temperatura
T̂ 2 .
Em todos os casos o número de onda é zero. Observa-se
que a localização dos picos está relacionada com a parte real da frequência
e a largura esta relacionada à parte imaginária
ω̂I .
ω̂R ,
Também se observa que
para um valor xo da temperatura e energia em aumento, a largura do pico
vai aumentando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
50
5.2
Mostra-se a função espectral como função da energia para varios valores do
número de onda. Em todos os casos a temperatura é,
T̂ 2 = 0.0484.
Observa-
se que a localização dos picos vai-se deslocando mais para a direita enquanto
o número de onda vai aumentando.
A altura e largura da função espectral
também sofrem modicações com o número de onda diferente de zero. . . . . .
6.1
Resultados numéricos para as frequências dos modos quasenormais.
51
Na es-
querda, observa-se o comportamento da parte real da frequência, associado
à massa dos mésons.
Na direita, a parte imaginária associada ao tempo de
decaimento dos estados de quasipartícula.
A.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Apresenta-se a trajectória de Regge dos mésons. . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
11
2 A CORRESPONDÊNCIA AdS/CFT
14
2.1
Teorias com simetria conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.1
A álgebra do grupo conforme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.2
Funções de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2
O espaço-tempo Anti-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3
O surgimento da correspondência AdS/CFT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.1
O limite de 't Hooft na teoria de supercordas . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.2
D3-Branas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.3
O limite de Maldacena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 O MODELO SOFT-WALL
25
3.1
O modelo soft-wall a temperatura zero
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
O espectro de massa dos mésons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3
O modelo soft-wall a temperatura nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.4
Transição de fase e temperatura de desconnamento (Tc )
29
. . . . . . . . . . . .
4 PERTURBAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS
32
4.1
Equações de movimento
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2
Equações tipo-Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3
Soluções assintóticas das equações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.4
Análise do potencial longitudinal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.5
Análise do potencial transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.6
Temperaturas intermediárias e elevadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.7
Baixas temperaturas
40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5 FUNÇÕES DE GREEN RETARDADAS
5.1
Funções de Green térmicas retardadas
5.2
Funções espectrais
5.3
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6 MODOS QUASENORMAIS
52
6.1
Modos quasenormais de buracos negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.2
Soluções analíticas no regime hidrodinâmico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.2.1
Perturbações longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.2.2
Perturbações transversais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Solução numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.3.1
Método de séries de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.3.2
Método de ressonâncias Breit-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.3.3
Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.3
7 Considerações nais
61
A Cordas abertas e mésons
63
B Teoria da resposta linear
68
B.1
Medidas e funções de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
B.2
Temperatura nita
70
B.3
Função de Green retardada e tensor condutividade elétrica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
C Hidrodinâmica
71
73
C.1
Funções de correlação e o modo de difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
C.2
Exemplo: difusão de campo magnético em plasmas Astrofísicos . . . . . . . . .
74
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
O estudo da teoria de cordas iniciou na década de 1960, quando o físico italiano Gabriele
Veneziano percebeu que a amplitude de espalhamento de muitas partículas tinha um comportamento semelhante àquele apresentado pela função gamma de Euler [1]:
A(s, t) ≡ g
onde
α0 s,
g
Γ(1 − α(s))Γ(1 − α(t))
,
Γ(1 − α(s) − α(t))
é uma constante arbitrária que regula a intensidade do acoplamento e
t
sendo
e
s
as variáveis de Mandelstam [2].
(1.1)
α(s) = α0 +
Além disso, já era conhecido que, para
muitas partículas, o momento angular (J ) é proporcional ao quadrado da massa (m), como
1
na equação
J = m2 α0 .
onde
α0
(1.2)
é a chamada constante de Regge [2]. Este fato sugeriu a ideia de que as partículas
poderiam ser modos de oscilação de um só objeto, uma corda fundamental com dimensões na
escala de Planck [35].
Por outro lado, tem-se a cromodinâmica quântica (QCD), uma teoria de gauge não
abeliana, descoberta na década de 1960, com os trabalhos de Murray Gell-Mann e George
Zweig [6, 7].
de cordas.
Esta teoria conseguiu descrever melhor as interações fortes do que a teoria
A QCD explica a interação forte como uma troca de glúons entre quarks, que
acontece no interior dos hádrons [8].
Na sua forma perturbativa (para energias elevadas),
a QCD descreve bem a física de partículas como quarks e glúons, encontradas nos maiores
aceleradores de partículas do planeta, como o LHC e o RHIC. No entanto, a sua forma
1 Para
uma análise mais detalhada das trajetórias de Regge e sua relação com a teoria de cordas, ver
apêndice A.
12
não perturbativa (para baixas energias, onde temos o problema de connamento dos quarks,
por exemplo) é de difícil análise, o que levou nos últimos anos ao estudo da QCD na rede
para a investigação neste regime de baixas energias. Deve-se mencionar também que a QCD
apresenta um tipo especial de simetria entre a carga de cor dos quarks, o grupo de simetria
é SU(3) [6].
Com as diculdades apresentadas pela QCD a baixas energias, os cientistas procuraram
outras alternativas para estudar a física de partículas neste regime. Como consequência disso,
voltaram os olhares para a teoria de cordas, criada originalmente como uma teoria para
descrever as interações fortes, e praticamente esquecida pela comunidade de física de hádrons
devido ao sucesso da QCD. No entanto, graças ao trabalho de muitos pesquisadores e em
especial de Juan Maldacena [9], os cientistas que estudam as interações fortes voltaram a
explorar esta teoria, que é uma candidata à teoria de unicação das forças fundamentais da
natureza [10, 11].
A teoria de cordas mostrou um outro caminho para estudar a física de partículas no
regime de baixas energias. Este caminho alternativo relaciona uma teoria de calibre (gauge )
superconforme com simetria
das num espaço AdSd+1
SU (N ), num espaço de dimensão d, com uma outra teoria de cor-
× M,2
sendo
M
uma variedade compacta. Esta dualidade, proposta
em 1997, é conhecida como a correspondência AdS/CFT (ou conjectura de Maldacena) [9].
Pode-se indicar que a correspondência AdS/CFT é uma realização do chamado princípio
holográco (dualidade) [12, 13], que relaciona uma teoria em
d
d+1
dimensões com outra em
dimensões.
Desde que foi publicado o trabalho de Maldacena, a taxa de publicações envolvendo
aplicações da correspondência AdS/CFT tem crescido num ritmo elevado, assim como também
as técnicas utilizadas para a determinação de diferentes quantidades físicas [9, 1417].
A
correspondência AdS/CFT original foi posteriormente modicada com o objetivo de quebrar
a simetria conforme. Isto costuma ser feito mediante a introdução de uma escala de massa
na forma de parede dura, como acontece no modelo hard-wall [1820], ou com a introdução
de um campo tipo-dílaton no modelo soft-wall [21]. Estas modicações fenomenológicas na
correspondência original levaram ao que se denomina na atualidade como correspondência
AdS/QCD. Além disso, para fornecer propriedades termodinâmicas adicionais à teoria [22],
introduz-se uma brana negra neste cenário, o que também altera a correspondência original [9].
Estas versões modicadas da correspondência têm sido exploradas nos últimos anos para
extrair informações da QCD (ver, por exemplo, referências [15, 20, 21, 2330]).
2 AdS
é a forma simplicada de Anti-de Sitter
13
Sabe-se que a QCD tem a particularidade de possuir uma constante de acoplamento
que depende da energia fraca para energias elevadas e forte para baixas energias. A ideia
fundamental da correspondência AdS/QCD é mapear esta teoria numa teoria gravitacional
dual, também conhecida como supergravidade IIB (supergravidade porque possui supersimetria), cuja dinâmica é desenvolvida num espaço de
4+1 dimensões (por isso o nome de princípio
holográco). A potencialidade da correspondência repousa no fato de que, no regime de QCD
a baixas energias, a constante de acoplamento na teoria gravitacional dual é fraca. Portanto,
uma desvantagem numa teoria se transforma numa vantagem na sua teoria dual. Deve-se ter
em consideração que a teoria dual à QCD não é bem conhecida. O procedimento usual de
trabalho é começar com uma teoria de supercordas a baixas energias, que se reduz a uma
teoria de supergravidade IIB neste regime, e depois escolher um background de tal maneira
que este reproduz algumas propriedades conhecidas da QCD [21]. Na presente dissertação,
utiliza-se um background especíco, constituído pelo espaço-tempo AdS mais um campo escalar adicional tipo-dílaton
(Φ),
o qual representa um corte na região do infravermelho do
espaço-tempo AdS, responsável pela quebra da simetria conforme na teoria de campos dual.
Para concluir esta introdução, apresenta-se uma breve descrição de como está constituído o trabalho. No capítulo 2, são revisados os conceitos de teorias de campo com simetria
conforme e as propriedades do espaço-tempo AdS, dando especial ênfase às simetrias dos dois
modelos, e ao nal do capítulo, apresenta-se uma revisão da correspondência AdS/CFT e de
como esta foi originalmente formulada. No capítulo 3, revisa-se o modelo soft-wall a temperatura zero e a temperatura nita, mostrando a obtenção dos espectros de massa dos mésons
vetoriais a
T =0
e a transição de fases entre um espaço-tempo AdS térmico (sem buraco ne-
gro) e um com buraco negro. No capítulo 4, são apresentadas as equações de movimento das
perturbações eletromagnéticas, suas soluções assintóticas e uma análise do potencial efetivo
para diferentes valores de temperatura. Já no capítulo 5, determinam-se as funções de Green
retardadas por meio da prescrição de Son-Starinets, e as funções espectrais associadas aos
mésons vetoriais. O estudo dos modos quasenormais é apresentado no capítulo 6. O modo
hidrodinâmico (no regime de baixas frequências e números de onda pequenos em comparação à temperatura) é determinado usando métodos perturbativos, e uma solução numérica é
apresentada na parte nal deste capítulo. Finalmente, são apresentadas as conclusões mais
relevantes no capítulo 7, e também alguns apêndices com temas importantes para o desenvolvimento do trabalho.
CAPÍTULO 2
A CORRESPONDÊNCIA AdS/CFT
A correspondência AdS/CFT foi resultado do desenvolvimento e compreensão de dois
modelos téoricos de grande interesse na física moderna. Por um lado, tem-se as teorias quânticas de campos e por outro, as teorias de gravitação. Originalmente, ambas foram concebidas
para explicar fenômenos físicos em diferentes escalas. A teoria de cordas é candidata a ser
a teoria que unicaria as interações fundamentais da natureza, permitindo uma descrição de
efeitos de gravidade quântica. A correspondência AdS/CFT nasceu do estudo de D3-branas
na teoria de cordas, e de como estas induzem uma teoria de campos com simetria
(com
N
grande) sobre
geometria tipo AdS5
N
SU (N )
D3-branas no regime de baixas energias, e também induzem uma
× S5
perto das
N
D3-branas.
Neste capítulo, faz-se uma revisão dos
conceitos mais relevantes que levaram ao surgimento da correspondência AdS/CFT.
2.1 Teorias com simetria conforme
Qualquer teoria sem escalas ou parâmetros com dimensões é invariante sob uma transformação de escala.
Como um exemplo simples, considera-se a ação de um campo escalar
com interação de ordem quatro
Z
S=
λ 4
2
dx (∂φ) + φ .
4!
4
Realizando uma mudança de escala nas coordenadas
x → λx
(2.1)
e no campo
φ(x) → λφ(λx),
observa-se que a ação permanece invariante sob estas transformações. Porém, a simetria é
quebrada quando se adiciona uma escala, como um parâmetro de massa ou temperatura.
Um exemplo conhecido de uma teoria invariante sob transformações de escala é a teoria de
Yang-Mills acoplada a férmions e escalares não massivos [17, 31, 32].
As teorias com sime-
15
tria conforme também são aplicados em outras áreas da física, como por exemplo na física
estadística [33].
2.1.1 A álgebra do grupo conforme
Em geral, invariância sob transformações de escala indica invariância sob um grupo
maior de transformações conforme.
Uma transformação conforme em um espaço-tempo
d-
dimensional é uma mudança de coordenadas que redimensiona o elemento de linha,
Dilatação
:
Transformação Conforme
onde
xµ → λxµ
⇒
(dx)2 → λ2 (dx)2
xµ → x0µ
⇒
(dx)2 → (dx0 ) = Ω2 (x) (dx)2
:
Ω(x) é uma função qualquer.
(2.2)
2
(2.3)
Pode-se observar de (2.3) que uma transformação de escala
é um caso particular das transformações conforme, para o qual
Ω(x) = λ.
Uma transformação
conforme redimensiona comprimentos, mas preserva ângulos. A partir de uma transformação
innitesimal
x0µ = xµ + vµ (x),
com
Ω(x) = 1 + ω(x)/2,
∂µ vν + ∂ν vµ −
No caso em que
d = 2,
deriva-se a seguinte condição:
2 τ
(∂ vτ ) ηµν = 0.
d
(2.4)
a equação (2.4) possui innitas soluções, o que mostra que o grupo
conforme tem dimensão innita [17, 32]. Por outro lado, quando
é numerável. Assim, no caso em que
da mesma maneira que se obtém
dilatação e
Kµ
geral, existem
Jµν
δxµ = aµ ,
obtém-se
Pµν
d 6= 2,
o número de soluções
como gerador de translações,
como gerador das transformações de Lorentz,
D
como gerador de transformações conforme especiais [17, 31, 32, 3436].
(d + 1)(d + 2)/2
SO(2, d)
geradores do grupo conforme
de
Em
[17, 31, 32, 34, 36].
Os geradores do grupo conforme satisfazem a seguinte álgebra:
[Jµν , Jρσ ] = iηµρ Jνσ ± permutações;
[Jµν , Kρ ] = i(ηµρ Kν − ηνρ Kµ );
[D, Kµ ] = −iKµ ;
onde
ηµν =
diag(−1, 1, · · ·
, 1).
[Jµν , Pρ ] = i(ηµρ Pν − ηνρ Pµ );
[Jµν , D] = 0;
(2.5)
[D, Pµ ] = iPµ ;
[Kµ , Pν ] = −2iJµν − 2iηµν D,
Por outro lado, as partículas são identicadas com ma-
ssas e números quânticos de Lorentz correspondentes aos números de Casimir do grupo de
Poincaré [17, 31, 32]. Quando se tem invariância conforme, o operador massa
Pµ P µ
não co-
muta mais com outros geradores. A massa e a energia podem ser redimensionadas por uma
16
transformação conforme. Por exemplo, se na representação do grupo conforme existe um estado com uma determinada energia, então existem estados com energia arbitrária entre zero
e innito, os quais são obtidos aplicando o gerador de dilatação. É por isso que o formalismo
da matriz
S
não tem signicado nas teorias com simetria conforme [17, 32].
Em teorias de campos com simetria conforme, consideram-se campos que sejam bem
comportados sob dilatações.
Por exemplo, se
λ = eα
em
φ(x) → λ∆ φ(λx), eiαD
gera uma
dilatação. Nesse caso, a relação de comutação entre o gerador de dilatações e um campo escalar
φ(x) é [D, φ(x)] = i(∆ + xµ ∂ µ )φ(x), onde ∆ identica a dimensão conforme [17, 31, 32, 3436].
Os objetos físicos de interesse são operadores invariantes de gauge. O estudo também se limita
a campos e operadores que são aniquilados pelo operador
Kµ
em
x = 0.
Estes operadores
são chamados de operadores primários, enquanto que os operadores gerados pela aplicação
de
Pµ
e outros geradores são chamados de descendentes [17]. Existe uma outra maneira de
encontrar novos números quânticos para o grupo conforme com base numa análise do ponto
de vista da teoria de grupos. Este método alternativo, no entanto, não será revisado aqui.
Para maiores detalhes, recomenda-se os trabalhos [17, 31, 32, 3436].
2.1.2 Funções de correlação
A invariância conforme impõe muitos vínculos sobre uma teoria de campos. Um destes
vínculos envolve as funções de Green por meio das identidades de Ward [17, 32]. Sempre é
Oi (x)
possível encontrar uma base de operadores primários
de escala). Então, o conjunto
(Oi , ∆i )
com valor xo de
∆i
(dimensão
fornece o espectro da teoria de campos. As funções de
um, dois e três pontos são completamente xadas pela invariância conforme [17, 32]:
hOi (x)i = 0,
(2.6)
hOi (x)Oi (y)i =
Aδij
,
|x − y|2∆i
hOi (xi )Oj (xj )Ok (xk )i =
|xi − xj
(2.7)
|∆i +∆j −∆k |x
j
λijk
.
− xk |∆j +∆k −∆i |xk − xi |∆k +∆i −∆j
A unitariedade da teoria limita a dimensão dos campos primários.
dimensão de um campo escalar em quatro dimensões é
(∆
= 1)
∆ ≥ 1.
(2.8)
Por exemplo, a
A saturação desta desigualdade
implica que o operador satisfaz as equações para um campo livre [17, 31, 32]. Um
outro exemplo de interesse é um campo vetorial
desigualdade (∆
= 3)
Oµ ,
para o qual
∆ ≥ 3.
A saturação da
implica que existe uma corrente conservada associada ao operador,
17
∂ µ Oµ = 0.
Da mesma forma, um operador simétrico de spin
implica em
∂ µ Oµν = 0
2, Oµν ,
tem
∆ ≥ 4,
e
∆=4
[32].
2.2 O espaço-tempo Anti-de Sitter
Uma vez realizada a revisão sobre teorias de campo com simetria conforme, passa-se
agora a uma revisão da parte gravitacional da correspondência AdS/CFT. O espaço-tempo
anti-de-Sitter (AdS) é a solução com máxima simetria das equações de Einstein com constante
cosmológica negativa [14, 17, 31, 32, 3436],
1
S=
16πG5
Rµν −
Fazendo
R = 35 Λ,
Z
dx5
p
|g|(R − Λ),
gµν
Λ
R = − gµν .
2
2
o tensor de Ricci ca reduzido a
(2.9)
Rµν = Λ3 gµν .
Este resultado indica que a
solução das equações do campo gravitacional com constante cosmológica é um espaço-tempo
de Einstein. Se, além disso, deseja-se que o espaço-tempo tenha máxima simetria, então o
tensor de curvatura de Riemann pode ser escrito na forma [32, 35, 36]
Rµντ ρ =
Λ
(gµτ gνρ − gµρ gντ ).
12
Para uma assinatura minkowskiana, a solução com
de-Sitter (dS), enquanto que, no caso
Λ < 0,
Λ > 0
(2.10)
é conhecida como espaço-tempo
o espaço-tempo é chamado de Anti-de Sitter
(AdS) [32]. Estes espaços também podem ser encontrados resolvendo uma equação quadrática.
Para o caso do espaço-tempo AdS5 , tem-se [17, 31, 32, 34]
X02 + X52 − X12 − X22 − X32 − X42 = R2 ,
onde
1
Λ
=− .
2
R
12
(2.11)
A equação anterior representa a equação de um hiperbolóide (ver gura (2.1) para uma
representação gráca) num espaço plano de seis dimensões. A métrica neste espaço plano é
ds2 = −dX02 − dX52 + dX12 + dX22 + dX32 + dX42 .
(2.12)
O espaço-tempo AdS5 tem isometria SO(2,4) e, além disso, é homegeneo e isotrópico [17, 31].
18
Figura 2.1: Uma representação do espaço-tempo AdS como um hiperbolóide. Extraído de [17].
A equação (2.11) pode ser resolvida mediante um conjunto de coordenadas globais [17],
X0 = R cosh ρ cos τ ;
X5 = R cosh ρ sin τ ;
Xi = R sinh ρX̂i ,
4
X
X̂i2 = 1
(2.13)
i=1
de modo que a métrica (2.12) assume a forma
ds2 = R2 − cosh2 ρ dτ 2 + dρ2 + sinh2 ρ dΩ23 ,
onde
Ω3
é a 3-esfera. O nome de coordenadas globais é devido a que
(2.14)
ρ ∈ R+
e
τ ∈ [0, 2π]
cobrem todo o hiperbolóide. Pode-se observar que o tempo é periódico e com isso existem
curvas tipo-tempo fechadas (ver gura (2.1)). Para modicar isto, considera-se o recobrimento
1
universal,
onde
τ ∈ R.
Considera-se apenas o espaço AdS5 com recobrimento universal no
estudo da correspondência AdS5 /CFT4 [17, 32].
Existe um outro conjunto de coordenadas (de Poincaré), introduzido com base num
vetor de Lorentz em quatro dimensões
X0 =
xµ = (t, ~x)
1 1 + u2 (R2 + ~x · ~x − t2 ) ;
2u
Xj = R u x j
(j = 1, 2, 3);
X4 =
e uma quinta coordenada
u>0
[17]:
X5 = R u t;
1
(1 − u2 (R2 − ~x · ~x + t2 )).
2u
(2.15)
Nestas novas coordenadas, a métrica é modicada mais uma vez, tomando a forma
2
ds = R
2
1 2
2
µ
ν
du + u ηµν dx dx .
u2
(2.16)
fn chamada de recobrimento uniuma variedade Riemanniana Mn , existe uma única variedade M
n
n
m
f
versal de M e existe uma aplicação sobrejetiva π : M → M que é um difeomorsmo local [37].
1 Dada
19
Pode-se observar que a métrica (2.16) apresenta fatias (cortes) isomórcas ao espaço-tempo de
Minkowski quadri-dimensional. O espaço-tempo de Minkowski é folhado sobre
a métrica de Minkowski sendo multiplicada por um fator
u2 .
u ∈ [0, ∞], com
Isto signica que um observador,
u2 ,
num dos referenciais de Minkowski, observa longitudes sendo redimensionadas pelo factor
conforme sua localização na quinta dimensão. Além disso, a fronteira do espaço-tempo AdS5
u=∞
encontra-se em
(fronteira conforme), e o horizonte ca em
u=0
[17, 32].
Existe uma outra maneira de expressar a métrica nas coordenadas de Poincaré [32]
(usualmente utilizada). Basicamente, redene-se a quinta coordenada na forma
u = 1/Z ,
de
modo que a métrica assume a forma
ds2 =
Agora, a fronteira
em Z
= ∞.
(u = ∞)
R2
Z2
dZ 2 + ηµν dxµ dxν .
ca na posição Z
= 0,
(2.17)
enquanto que o horizonte
(u = 0)
ca
Para nalizar esta revisão sobre o espaço-tempo AdS, deve-se observar que a
correspondência AdS/CFT explora o fato do grupo SO(2,4) ser o grupo de isometrias do
espaço-tempo AdS5 , e também o grupo de simetrias da teoria de campos conforme em quatro
dimensões.
Esta comparação pode ser realizada, alternativamente, com uma análise dos
subgrupos que aparecem na escolha dos sistemas de coordenadas supracitados.
Para uma
revisão, ver os trabalhos [17, 32].
2.3 O surgimento da correspondência AdS/CFT
Tendo feito uma revisão dos principais conceitos envolvidos na correspondência
AdS/CFT, é hora de desenvolver os fundamentos que levaram ao seu nascimento em 1997 [9].
Inicialmente, revisa-se o limite de 't Hooft [38] conforme observado desde o ponto de vista da
teoria de cordas.
2.3.1 O limite de 't Hooft na teoria de supercordas
Para compreender melhor a correspondência AdS/CFT, precisa-se compreender como
uma teoria de gauge não-abeliana com simetria
zinhança de
N
SU (N )
(com
N
muito grande) surge na vi-
D3-branas muito próximas [3, 17]. Esta teoria de gauge possui uma constante
de acoplamento
gYM ,
que é adimensional e controla a intensidade das interações entre bósons
de gauge. Consequentemente, a amplitude do processo tem que incluir um fator da constante
de acoplamento
gYM .
G. 't Hooft mostrou que há um limite controlável de
N → ∞,
no qual
20
o acoplamento físico relevante não é mais
gYM ,
e sim o acoplamento de 't Hooft
2
λ = gYM
N
que é mantido nito [38].
Por outro lado, a intensidade das interações entre cordas abertas é controlada pela
constante de acoplamento
g0 .
Então, a amplitude dos processos (por exemplo que duas cordas
se juntem numa só) deve incluir um factor de
bósons de gauge ).
g0
(processo similar ao caso das interações dos
Na teoria de cordas os bósons de gauge são representados por cordas
abertas. Portanto, a constante de acoplamento da teoria de gauge coincide com a constante
de acoplamento das interações entre cordas abertas [3].
Agora examina-se a propagação de uma corda aberta com extremos lodalizados na
e
j -ésima
D3-brana, sendo
i 6= j .
i
Para determinar a amplitude da propagação mecânico-
quântica de uma corda aberta desde uma condição inicial até outra nal, debe-se somar sobre
todos los estados intermédios possíveis.
A seguir, vai-se considerar algumas das primeiras
contribuições para o cálculo dessa amplitude.
As contribuições das interações podem ser
organizados em diagramas que mostram a evolução da propagação uma corda. O diagrama
mais simples é aquele no qual a corda se propaga livremente, na gura 2.2(a) mostra-se a
ta produzida pela propagação da corda, as arestas são rotuladas pelas D3-branas
i
e
j
[3].
A amplitude associada neste primeiro caso não depende da constante de acoplamento, nem
de
N.
Portanto, pode-se expressar da seguinte maneira
A0 = c0 .
(2.18)
Figura 2.2: (a) Representa a propagação de uma corda aberta livre. (b) Representa a propagação de
corda aberta, após ter interagido uma vez. Extraído de [3].
O próximo caso com a possibilidade mais simples é que a corda aberta separa-se em
duas e depois voltam a se juntar numa só (como é mostrado na gura 2.2(b)). As interações
que acontecem são representados por pontos nas guras (cada ponto contribui com uma
21
constante de acoplamento
gYM ),
neste caso temos só uma interação. Portanto, a constante
de acoplamento tem que ser elevada ao quadrado, enquanto que a fronteira interior fechada
é identicada como a
k -ésima
D3-brana (cada fronteira fechada contribui com um fator
N ).
Assim, neste caso a amplitude é
2
A1 = c1 gYM
N.
(2.19)
Agora, pode-se considerar duas interações. Neste caso tem-se uma ta a mais adicionada,
como mostra-se na gura 2.3(a). A amplitude do processo é
2
N )2 .
A2 = c1 (gYM
(2.20)
Considerando outras interações pode-se geralizar a expressão para determinar a amplitude da
propagação, como
2
Am = cm (gYM
N )m .
A=
Portanto, a amplitude total é
∞
X
Am =
m=0
∞
X
2
cm (gYM
N )m .
(2.21)
m=0
Após substituir a constante de acoplamento de 't Hooft, temos
A=
∞
X
cm λm = f0 (λ)
(2.22)
m=0
Figura 2.3: (a) Representa a propagação de uma corda, após ter duas interações. (b) Diagrama
não-planar, tem uma fronteira interna. Extraído de [3].
Para determinar a amplitude total
A,
deve-se adicionar à amplitude (2.22) as ou-
tras contribuições que surgem quando adicionam-se mais tas que não dão surgimento a
novas fronteiras fechadas nos diagramas.
O exemplo mais simples é apresentado na gura
2.3(b). Esta gura é resultado de ter adicionado mais uma interação na gura 2.3(a), esta
22
nova interação não aumenta o número de fronteiras, pelo contrario, o número de fronteiras
fechadas diminui em um. As guras que têm esta propriedade são denominadas diagramas
não planares. Em geral temos o seguinte, uma ta nova adicionada na gura pode aumenta
em um, ou diminuir em um, o número de fronteiras que existe. No caso em que diminui temos
um fator adicional
2
gYM
/N (λ/N).
Considerando estes termos na amplitude total têm-se [3]
A = f0 (λ) + f2 (λ)
1
2
N
+ f4 (λ)
1
4
N
+ ··· ,
(2.23)
que é válido quando N é grande e o acoplamento de 't Hooft xo [3]. Além disso, este resultado
é similar ao encontrado por 't Hooft quando procurava uma forma alternativa para descrever
a QCD a baixas energias [38]. Pode-se indicar então que uma teoria de gauge é dual a uma
teoria de cordas abertas no limite de 't Hooft.
2.3.2 D3-Branas
Na seção anterior mostrou-se como pode-se induzir uma teoria Yang-Mills perto das
N
D3-branas coindicentes. Nesta seção vai-se fazer uma revisão de como no limite de baixas
5
energias pode-se gerar um espaço-tempo AdS5 ×S perto das
N
D3-branas.
Existem duas
teorias de cordas consistentes com máxima supersimetria, estas teorias moram num espaçotempo de 10 dimensões [35]. Estas são, a teoria de cordas de tipo IIA e IIB.
Desde que a correspondência AdS/CFT só trabalha com a teoria IIB. A seguir só
considera-se esta teoria. O multipleto IIB supersimétrico contém os seguintes campos Bosónicos [32,34]: a métrica
Bµν ,
e 3 potenciais
gµν , um campo escalar (dílaton) φ, um tensor anti-simétrico de 2 índices
(C0 , C2 , C4 ).
Além disso, a supersimetria requere que
C4
seja auto-dual
(F5 = ∗F5 = dC4 ).
A ação que descreve a dinâmica da teoria de supercordas IIB é
SIIB
onde,
2A
Z
1 2
1
10 √ −2φ
2
dx
ge
R + 4(∂φ) − Hµντ −
=
(2π)7 (α0 )4
12
!
√
2
2
F̃µντ
F̃µντ
g
1
ρσ
(Fµ )2 +
+
− µ1 ···µ10 Cµ1 ···µ4 Hµ5 ···µ7 Fµ8 ···µ10 + Férmions,
2
3!
5!
2
Hµντ
representa a curvatura de
Bµν ,
e
F̃µ1 ···µp+1
2
é a curvatura modicada.
curvatura modicada se dene como: F̃µ1 ···µp+1 = Fµ1 ···µp+1 − B{µ1 µ2 Fµ3 ···µp+1 }
(2.24)
A solução
23
D3-branas foi determinada impondo as restrições
2
ds =
R4
1+ 4
r
−1/2
−dt +
2
3
X
!
2
(dxi )
i=1
Bµν = 0
R4
+ 1+ 4
r
O resultado (2.25) é uma solução tipo buraco negro, onde
Enquanto que
C0 = φ = Const.
e
r
1/2
dr2 + r2 dΩ25 .
N
D3-branas estão localizadas.
(2.25)
representa a coordenada radial.
R pode se reescrever como R4 ≡ 4πgs N (α0 )2 , com gs = eφ .
é o lugar onde as
[39]
O horizonte
(r = 0)
Na métrica (2.25) tem duas regiões de
interesse que devem ser analisados [9, 14, 17, 32, 34].
Região:
rR
É usual introduzir uma nova variável Z
≡ R2 /r.
Nesta região a métrica (2.25) ca
reduzida à forma
2
ds = R
2
1
Z2
−dt + dx + dy + dz + dZ
2
2
2
2
2
O resultado (2.26) representa a métrica do espaço-tempo AdS5
+
dΩ25
× S5
.
(2.26)
(ver seção 2.2), onde
R
representa o radio da 5-esfera e do espaço AdS.
Região:
rR
Nesta região obtém-se a métrica de um espaço-tempo plano em 10 dimensões [9, 14,
17, 32, 34]:
ds = −dt +
2
2
9
X
(dxi )2 .
(2.27)
i=1
2.3.3 O limite de Maldacena
O limite de Maldacena [9] consiste em manter xos as escalas de longitud,
enquanto
α 0 → 0.
Neste limite só a região AdS5
× S5
gs
e
N,
da geometria das D3-branas sobrevive
e contribui na dinâmica das cordas, enquanto que a dinâmica da região assimptoticamente
plana, desacopla-se da teoria.
Lembra-se agora que no limite de
N
se uma teoria de gauge (Super Yang-Mills
grande e as
SU (N ))
N
D3-branas muito próximas, induze-
sobre as
N
D3-branas. Neste caso, a ação
24
pode ser expressada como
S 0 = SSYM + SIIB Minkowski + SInteração ,
onde
SIIB Minkowski
é a ação na região longe das
entre as duas regiões (perto e longe das
N
N
D3-branas e
SInteração
(2.28)
é a ação de interação
D3-branas). No limite de Maldacena a ação de
interação é desprezível.
Por outro lado temos que na região próxima das
região com geometria AdS5
× S 5.
N
D3-branas
(r R),
tem-se uma
Portanto, no limite de Maldacena a ação é
S 00 = SIIB AdS5 × S 5 + SIIB Minkowski .
(2.29)
O fato de estar estudando o mesmo sistema físico (D3-branas) levou a Maldacena à
conclusão de que as duas ações, (2.28) e (2.29) têm que ser equivalentes [9].
SSYM ≡ SIIB AdS5 × S 5 .
O resultado (2.30) indica que a teoria de Yang-Mills com supersimetria estendida
(2.30)
N = 4 em 4
dimensões, é equivalente a uma teoria de supergravedade IIB num espaço AdS5 ×S
5
[9, 14, 17].
Usando a correspondência AdS/CFT pode-se calcular quantidades físicas mapeando estas
numa outra teoria dual. Para uma revisão de como determinar quantidades físicas usando a
correspondência ver as referências [35, 9, 14, 17, 31, 32, 3436].
CAPÍTULO 3
O MODELO SOFT-WALL
O modelo soft-wall foi originalmente proposto sem a presença de efeitos térmicos (a
temperatura zero) [21].
Este modelo nasceu com o objetivo de aproximar mais os resulta-
dos teóricos (numéricos) aos experimentais, para o espectro de mésons.
O campo escalar
tipo dílaton, característico deste modelo, é introduzido `à mão', e representa um corte no
espaço-tempo AdS. Propriedades adicionais foram incluídas com a adição de um horizonte
de eventos (brana negra) na teoria.
uma transição de fases.
Entre estas propriedades, destaca-se o surgimento de
Na teoria dual, a temperatura de transição (Tc ) entre a fase AdS
sem buraco negro e a fase com buraco negro é interpretada como a temperatura de transição
connamento/desconnamento dos quarks, ou seja, a temperatura de formação do plasma de
quarks e glúons.
Estes e outros conceitos envolvidos no modelo soft-wall são revisados no
presente capítulo.
3.1 O modelo soft-wall a temperatura zero
Os autores de [21] propõem a introdução de um campo escalar de fundo sobre o espaço
AdS, tal que este campo escalar tipo-dílaton tenha a forma
geometria do espaço-tempo AdS. A forma do campo
Φ (Z )
Φ (Z ) = cZ 2
e não interra na
foi escolhida de tal modo que se
reproduza as trajetórias tipo-Regge de partículas com elevado número quântico radial
S,
n e spin
conhecidas a partir de resultados experimentais [40]. A particularidade deste campo de
fundo é que ele pode ser interpretado como um corte macio na região do infravermelho (IR) do
espaço-tempo AdS. Além disso, ele se acopla às perturbações produzidas por campos externos,
como o campo eletromagnético. O background de um espaço-tempo AdS a temperatura zero
26
(ou seja, sem horizonte de eventos) é descrito pela métrica:
ds2 = gM N dxM dxN =
onde
ηµν = (−1, 1, 1, 1), xµ
R2
Z2
(ηµν dxµ dxν + dZ 2 ),
(3.1)
são as coordenadas usuais e Z a quinta coordenada.
3.2 O espectro de massa dos mésons
2
Os resultados experimentais mostram que o quadrado da massa de hádrons leves (mn )
é diretamente proporcional ao número quântico radial,
m2n ∝ n, para o caso em que a partícula
está altamente excitada. Uma situação similar acontece quando se tem spin elevado
m2S ∝ S .
S 1,
Em resumo, os resultados experimentais mostram o seguinte comportamento da
massa dos mésons:
m2n ∝ n,
m2S ∝ S.
(3.2)
Conhecido o comportamento experimental da massa dos mésons, determina-se agora
uma expressão analítica para este espectro de massas, utilizando o procedimento adotado
no trabalho [21].
Deve-se ter em consideração que os mésons são representados na teoria
gravitacional dual por perturbações do campo eletromagnético em
4+1
dimensões.
Estas
perturbações propagam-se num background constituído pelo espaço-tempo AdS puro, cuja
métrica é dada por (3.1), mais o campo escalar tipo dílaton
Φ (Z ) = cZ 2 .
A ação que descreve
a dinâmica desde campo de gauge é
1
S=− 2
g5
onde
g52
Z
é a constante de acoplamento e
√
d5 x −ge−Φ(Z ) FM N F M N ,
gM P
são as componentes do tensor métrico (3.1). Os
índices M, N, P,...(maiúsculas latinas) tomam valores
tensor campo eletromagnético em
4+1
(3.3)
0, 1 . . . , 4,
e
FM N = ∂M AN − ∂N AM
é o
dimensões.
O calibre (gauge ) escolhido para simplicar as equações de movimento é o radial,
xµ =
AZ = 0.
Por outro lado, a invariância do sistema por translações nas coordenadas
(t, x, y, z)
implica que o potencial vetor pode ser convenientemente escrito na forma de uma
transformada de Fourier:
Z
Aµ (Z , x) =
d4 k ik·x
e Aµ (Z , ω, q).
(2π)4
(3.4)
Sem perda da generalidade, a direção de propagação da perturbação pode ser escolhida como
27
z,
de modo que o vetor de onda assume a forma
kµ = (−ω, 0, 0, q).
Com isso, o potencial
vetor pode ser escrito na forma simplicada
Z
Aµ (Z , x) =
dqdω −iωt+iqz
e
Aµ (Z , ω, q).
(2π)2
(3.5)
Aplicando o princípio de mínima ação à equação (3.3), encontram-se as seguintes
equações de movimento:
Após introduzir
√
∂M ( −ge−Φ F M N ) = 0.
√
B = cZ 2 + ln ( cZ )
(3.6)
e levar em conta que
Ex = ωAx






Ey = ωAy




Ez = ωAz + qAt 
,
(3.7)
obtém-se a seguinte equação para as componentes do campo elétrico:
eB ∂Z e−B ∂Z Ej + m2 Ej = 0,
onde
(3.8)
j = x, y, z .
A forma mais simples de resolver a equação (3.8) é tranformá-la numa equação dife-
rencial tipo-Schrödinger. Para fazer isso, realiza-se a seguinte transformação de Bogoliubov:
Ej = eB/2 ψ.
(3.9)
1
Após substituir (3.9) em (3.8), encontra-se a equação
−ψn00 + V ψn = En ψn ,
onde
En = m2n /c
e o potencial efetivo
V =
V
(3.10)
é dado por
3
(B 0 )2 B 00
−
= cZ 2 +
.
4
2
4cZ 2
(3.11)
A equação (3.10), com o potencial (3.11), possui solução exata. De fato, (3.10) é um
1A
equação (3.10) é similar à equação radial de um oscilador harmônico em 2 dimensões [41, 42].
28
caso particular da equação geral
−ψn00
m2 − 1/4
2
+ cZ +
ψn = En ψn .
cZ 2
(3.12)
Para essa equação, os autovalores da energia são
En = 4n + 2m + 2
(n = 0, 1, 2, . . . )
(3.13)
e as autofunções normalizadas são
√
√
2
ψn ( cZ ) = e−cZ /2 ( cZ )m+1/2
onde
Lm
n
s
√
2n!
Lm
n ( cZ )
(m + n)!
são os polinômios associados de Laguerre.
A equação (3.10) corresponde ao caso em que
4(n + 1).
(3.14)
Com isso, o espectro de massa dos mésons
ρ
m = 1,
de modo que
En = m2n /c =
a temperatura zero é
m2n = 4c(n + 1).
(3.15)
Para obter uma expressão geralizada do espectro de massas de partículas leves, ver o trabalho
[21]. Assim, seguindo um procedimento similar ao desenvolvido, encontra-se a expressão geral:
m2n,S = 4c(n + S).
(3.16)
O resultado (3.16) está em concordância com o que os resultados experimentais indicam (3.2).
Agora, considera-se como exemplo o caso das partículas leves chamadas glueballs escalares.
Neste caso, tem-se o valor do spin
campo escalar
φ(Z )
S = 2,
os glueballs escalares são representados por um
na teoria gravitacional dual, este campo escalar, interage com os dois
campos que constituem o background na teoria gravitacional (o espaço-tempo AdS e dílaton).
Nos trabalhos [27, 43], foi realizado um estudo detalhado dos glueballs escalares usando o
modelo soft-wall a temperatura nita, nestes trabalhos é conrmado o espectro de massas a
temperatura zero.
m2Gn = 4c(n + 2).
(3.17)
Assim, de fato, em nosso trabalho temos 3 campos envolvidos: o primeiro representa
os mésons vetoriais na teoria gravitacional dual (o campo elétrico), o segundo é o espaçotempo AdS com buraco negro (este buraco negro introduz propiedades térmicas além das que
29
existiam), e nalmente temos o campo escalar tipo dílaton, que representa um corte na região
do infravermelho do espaço-tempo AdS. Deve-se ter em conta que neste modelo o campo
externo acopla-se aos dois campos background (espaço-tempo AdS + dílaton), enquanto que
eles não se acoplam mutuamente.
3.3 O modelo soft-wall a temperatura nita
O modelo soft-wall, originalmente proposto a temperatura zero, foi revisado na seção
anterior. Uma possível variação deste modelo consiste na introdução de um horizonte de
eventos no background AdS, que irá fornecer propriedades termodinâmicas à teoria de campos
dual. Assim, o modelo soft-wall a temperatura nita é caracterizado pela métrica de uma
brana negra
2
ds =
onde
f (Z ) = 1 − Z 4 /Z 4h .
R2
Z2
− f (Z )dt + dx + dy + dz
2
2
2
2
+
R2
dZ 2 ,
Z 2 f (Z )
(3.18)
Conforme comentado acima, também temos um campo escalar tipo
dílaton estático sobre o background AdS, o qual pode ser escrito como
Φ(Z ) = cZ 2 .
A fronteira, e horizonte cam localizados em Z B
c
=0
(3.19)
e Z
= Zh,
é proporcional ao quadrado de uma escala de massa (c
no trabalho de Herzog [25], enquanto que
T
respectivamente. A constante
≈ 0.2501 m2ρ )
que foi determinada
é interpretado como a temperatura na teoria de
campos dual.
3.4 Transição de fase e temperatura de desconnamento (Tc )
Uma análise da temperatura de desconnamento dos quarks foi realizada no trabalho
de Herzog [25].
Esta temperatura na teoria gravitacional dual, é interpretado como uma
transição do tipo Hawking-Page em primeiro ordem entre um espaço AdS térmico sem buraco
negro, e um espaço AdS com buraco negro [22]. Esta transição de fase, é interpretado na teoria
de campos dual como a transição entre o connamento e o desconnamento dos quarks [25].
A temperatura que caracteriza o buraco negro é conhecida como a temperatura Hawking,
T = 1/(π Z h ).
Para baixas temperaturas (T
< Tc ), a fase de AdS térmico é (globalmente)
estável, enquanto que, o AdS com buraco negro é instável. Por outro lado, para temperaturas
elevadas (T
> Tc )
o AdS com buraco negro se torna estável. A temperatura de transição de
fase, entre connamento/desconnamento no modelo soft-wall, foi determinada por Herzog
30
0.5
16
14
0
12
Buraco Negro
CBN
SBN − SAdS
AdS Térmico
−0.5
−1
10
Fase de BN
Fase de BN
8
Instável
Metaestável
6
Transição
Confinamento/Desconfinamento
−1.5
4
2
0
−2
−2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0
5
0.5
1
1.5
2
2.5
(πT)2/c
(πT) /c
2
Figura 3.1: Apresenta-se (à esquerda), a diferença das densidades de ação, como função da temperatura normalizada (πT )2 /c. Pode-se observar a transição de fase entre o espaço AdS térmico, e o
AdS com buraco negro, sendo que a linha vertical representa a temperatura na qual acontece esta
transição. Também é apresentado (à direita), o calor especíco do AdS com buraco negro, como
função de (πT )2 /c.
como sendo
√
Tc = 0.4917 c
[25]. O parâmetro,
comparação com a massa do méson leve
é
Tc = 191
ρ
√
c = 388
Mev, foi determinado fazendo uma
[25], portanto a temperatura de transição de fase
Mev. A densidade da ação (energia livre), para os dois estados (AdS com e sem
horizonte de eventos) pode ser expressa na seguinte forma [29],
SAdS
SBN
onde
Ei(ν),2
N2 2 3
−γ β ,
= 2 c
4π
2
(3.20)
N2 2
c
1
1
2
−cZ 2h
= SAdS + 2 c Z h Ei(−cZ h ) + e
− 3 + 3 ,
4π
Zh
Zh
2Z h
(3.21)
é a função expointegral. Por outro lado, o calor especíco fornece informações
sobre a estabilidade local dos estados (AdS puro e AdS com buraco negro), e pode ser determinado usando as expressões (3.20) e (3.21). No caso do AdS com buraco negro, tem-se
CBN
∂2
π 2 2 3 − (πTc )2
4c
SBN = N T e
+6 −3 .
≡ −β
∂β 2
2
(πT )2
2
(3.22)
A transição de fase e a estabilidade (local), podem ser analisadas a partir dos grácos
da diferença da densidade de ação (energia livre) e do calor especíco, como funções da
temperatura normalizada, pelo parâmetro
√
c.
Estes resultados, baseados nos trabalhos [27,
29], são apresentados na gura 3.1. O gráco do calor especíco, mostra a fase de instabilidade
(local) do AdS com buraco negro, para temperaturas menores que,
(πT )2 /c ≈ 0.75.
Esta fase,
corresponde ao plasma de quarks e glúons resfriado, na teoria de campos dual. Então conclui-
2 Denida
como Ei(ν) = −
R∞
−ν
t−1 e−t dt
31
se que esta fase (plasma), é metaestável para temperaturas maiores que,
(πTc )2 /c ≈ 2.4.
0.75,
e menores que,
Isto devido a que, o calor especíco é positivo neste intervalo de temperaturas,
mas a fase de buraco negro é globalmente instável. Se os efeitos causados pelo dílaton são
pequenos, o calor especíco (3.22), reduz-se a uma expressão que é sempre positiva:
CBN =
3π 2 2 3
N T .
2
(3.23)
CAPÍTULO 4
PERTURBAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS
De acordo com a correspondência AdS/CFT, cada operador na teoria de campos da
fronteira possui seu dual na teoria gravitacional. No caso das perturbações eletromagnéticas,
os operadores densidade de corrente na teoria de campos têm como duais as componentes do
potencial vetor no lado gravitacional. Conforme mostrado no presente capítulo para o modelo soft-wall a temperatura nita, a dinâmica das perturbações produzidas por um campo
eletromagnético sobre o espaço-tempo AdS se reduz a um par de equações diferenciais ordinárias. As informações contidas nestas equações podem ser extraídas de forma mais simples após transformá-las em equações tipo-Schrödinger. Estudando o comportamento destas
equações nas vizinhanças da fronteira e do horizonte, são determinadas soluções assintóticas
das equações de movimento. No nal do capítulo, se faz uma análise dos potenciais efetivos
obtidos ao transformar as equações de movimento em equações tipo-Schrödinger.
4.1 Equações de movimento
As equações de movimento são derivadas da ação que descreve a dinâmica das perturbações de um campo de gauge em
4+1
dimensões. No modelo soft-wall , a forma explícita
desta ação é dada por:
Nc2
S=−
64π 2 R
Z
√
d5 x −ge−Φ FM N F M N ,
(4.1)
Aplicando o princípio de mínima ação à (4.1), obtém-se as equações de movimento:
√
∂M ( −ge−Φ F M N ) = 0.
(4.2)
33
Para determinar a forma explícita destas equações, deve-se levar em conta as componentes
não-nulas do tensor métrico (3.18):
gtt = −
R2
Z2
f (Z )
gxx = gyy = gzz =
gZZ =







2
R
Z2
R2
Z 2 f (Z )







g =−
Z
tt
,
2
R2 f (Z )
g xx = g yy = g zz =
g ZZ =
Z
2
f (Z )
R2
Z








2

R2 





Além disso, é necessário conhecer também o determinante do tensor métrico
é dado por
√
−g = R5 /Z 5 .
√
.
−g ,
o qual
Após realizar algumas simplicações, encontram-se as seguintes
equações de movimento em termos das componentes do potencial vetor:
∂Z At −
2
1
Z
+ 2cZ
q
qAt + ωAz = 0,
∂Z At −
f
(4.3)
∂Z f
1
1
∂Z Aa +
− − 2c Z ∂Z Aa + 2 (ω 2 − q 2 f )Aa = 0,
f
Z
f
∂Z f
1
ω
2
∂Z Az +
− − 2c Z ∂Z Az + 2 qAt + ωAz = 0,
f
Z
f
2
(a = x, y)
(4.4)
(4.5)
ω∂Z At + qf ∂Z Az = 0.
(4.6)
As equações anteriores podem agora ser escritas em função das componentes do campo
elétrico, que são dadas por:
Ex = ωAx
Ey = ωAy










Ez = ωAz + qAt 
.
(4.7)
Assim, nalmente, têm-se as equações de movimento procuradas:
ω 2 ∂Z lnf
1
(ω 2 − q 2 f )
∂Z Ez + 2
−
−
2c
Z ∂Z Ez +
Ez = 0.
ω − q2f
Z
f2
2
1
(ω 2 − q 2 f )
Ea = 0,
∂Z Ea + ∂Z lnf − − 2c Z ∂Z Ea +
Z
f2
2
(4.8)
(a = x, y).
(4.9)
Deve-se ter em consideração que a equação diferencial para a componente longitudinal (4.8)
possui pontos singulares em Z
= 0, ±Z h , ±
p
4
1 − ω 2 /q 2
Z h , enquanto que os pontos singu-
lares da equação para a componente transversal (4.9) são
0, ±Z h , ±∞.
Na próxima seção,
procuram-se soluções das equações de movimento, mas para fazer isso, têm que ser transformadas em equações tipo-Schrödinger.
34
4.2 Equações tipo-Schrödinger
Como comentou-se antes, para obter informações relevantes das equações de movimento (4.8) e (4.9), é conveniente transformá-las em equações tipo-Schrödinger. Para fazer
isso é conveniente expressar a equação (4.2) na seguinte forma
eB f ∂Z e−B f ∂Z Ez + [ω 2 − q 2 f ]Ez = 0,
onde
B = Φ + ln(Z [ω 2 − q 2 f ]/R).
como
r∗ =
tal que
r∗
satisfaz a relação
Ez = eB/2 ψz
Zh
2
(4.10)
Introduzindo a coordenada tartaruga [27, 55], denida
− arctan
Z
Zh
∂r∗ = −f (Z )∂Z .
1
+ ln
2
−Z
Zh + Z
Zh
,
(4.11)
Fazendo uma transformação de Bogoliubov
em (4.10). Obtém-se a equação
∂r2∗ ψz + ω 2 ψz = V ψz ,
(4.12)
onde o potencial longitudinal efetivo é
V = q2f +
aqui
B0 = ∂r∗ B.
(B0 )2 B00
−
,
4
2
(4.13)
Seguindo o procedimento anterior pode-se determinar a equação
tipo-Schrödinger que são satisfeitas pelas componentes transversais,
eA f ∂Z e−A f ∂Z Ea + [ω 2 − q 2 f ]Ea = 0,
onde
A = Φ + ln(Z /R).
Fazendo a transformação de Bogoliubov
(4.14)
Ea = eA/2 ψa
em (4.14).
Obtém-se a equação
∂r2∗ ψa + ω 2 ψa = V̄ ψa ,
(4.15)
e o potencial transversal, é denido como
V̄ = q 2 f +
(A0 )2 A00
−
.
4
2
(4.16)
35
4.3 Soluções assintóticas das equações fundamentais
Uma vez conhecidas as equações de movimento, investiga-se agora o comportamento
das componentes do campo elétrico nas proximidades do horizonte de eventos e da fronteira.
Para fazer isso, leva-se em conta que o potencial é zero no horizonte. Neste caso, tem-se um
comportamento de onda livre para
ψz
o que implica a existência de ondas planas entrantes e
saintes no horizonte. A segunda região de interesse é a fronteira, onde se tem uma combinação
de soluções normalizáveis e não-normalizáveis.
Inicialmente estuda-se o comportamento nas vizinhanças do horizonte. Devido a que
o potencial (4.30) é zero no horizonte, a equação diferencial (4.12) tem a forma
∂r2∗ ψz + ω 2 ψz = 0,
(4.17)
ψz ∼ Aint e−iωr∗ + Aout e+iωr∗ .
(4.18)
cuja solução é dado por:
Observa-se do resultado anterior que a função de onda
das soluções
(−)
ψz
(onda entrante) e
(+)
ψz
ψz
é expressado como uma superposição
(onda sainte). Por outro lado, a solução da equação
de Schrödinger (4.12) perto do horizonte pode ser determinada usando o método de séries
de potência. Além disso, esta solução pode ser expressado em termos das soluções de onda
entrante e sainte, a saber
"
ψz(±) (Z ) = e±iωr∗ 1 +
(±)
a1
1−
Z
Zh
+
(±)
a2
1−
Z
Zh
#
2
+ ··· ,
(4.19)
onde
q 2 ω 2 Z 2h + 4 c ω 2 Z 2h + 2ω 2 + 8q 2
.
2(iZ h ω ± 2)ω 2
4
1
3 3
=− 4
Z h ω Z h ω + 16Z h ω − 160i + 384 q
8ω (Z h ω + 2i)(Z h ω + 4i)
(±)
a1
(±)
a2
=
+8ω 2 (Z h (2ω(Z h ω + 8i) + cZ h (Z h ω(Z h ω − 4i) + 16)) − 16)q 2
3
4
2
4
+2ω 4c (4 − iZ h ω)Z h + 16ic ω Z h + iω Z h + 12 .
(4.20)
(4.21)
Estas soluções podem ser expressadas como uma combinação linear de uma base formada pelas soluções da equação diferencial (4.12) perto da fronteira (ψ1 e
(−)
ψz(−) = A(−)
z ψ1 + Bz ψ2
ψz(+)
=
A(+)
z ψ1
+
Bz(+) ψ2 .
ψ2 ),
na forma:
(4.22)
36
A seguir, determina-se as soluções da equação diferencial (4.12) perto da fronteira.
Nesse caso, têm-se as soluções
ψ1
(normalizável) e
ψ2
(não-normalizável). A segunda solução
(não-normalizável) é determinado usando o teorema de Fuchs [57, 58],
ψ1 (Z ) =
3/2 "
Z
1 + a2
Zh
ψ2 (Z ) =
Z
1 + b2
Zh
a0
e
b0
2
+ a4
Zh
−1/2 "
onde os coecientes
Z
Z
2
Zh
+ b4
Zh
#
4
Z
Z
Zh
+ ··· ,
(4.23)
#
4
+ · · · + 2Dψ1 (Z ) ln
são escolhidos iguais a 1, enquanto que
b2
Z
Zh
,
(4.24)
é arbitrário e pode ser
zero, os coecientes restantes são:
− q2)
1
32ω 2
2 4
2
2 2 4
a2 = −
, a4 =
8c Z h + q − ω Z h + 2
+ 96
8
192
q − ω2
2
2
2
32q 2
1
Z h (ω − q )
2
2 2 4
2 4
8c Z h − 3 q − ω Z h + 2
b4 =
,
D
=
−
.
64
q − ω2
4
2
2
Z h (ω
(4.25)
Como se fez antes, pode-se expressar a solução normalizável e não-normalizável, como
uma combinação linear de uma base formada pelas soluções de tipo onda entrante e sainte:
ψ1 = Aint(1) ψz(−) + Aout(1) ψz(+)
(4.26)
ψ2 = Aint(2) ψz(−) + Aout(2) ψz(+) .
A relação entre os coecientes de conexão das equações (4.22) e (4.26) é da forma


(−)
(−)
Az
Bz
(+)
Az
(+)
Bz


=
Aint(1) Aout(1)
Aint(2) Aout(2)
−1

(4.27)
Estes coecientes vão ser utilizados para determinar a função espectral da componente longitudinal do campo elétrico, mais para frente no trabalho.
1
Com as soluções assimptóticas das equações tipo-Schrödinger determinadas,
procede-
se agora com uma análise do comportamento das componentes do campo elétrico perto do
horizonte. Para fazer isto, usa-se as transformações de Bogoliubov. Substituindo as soluções
assimptóticas, obtém-se o comportamento da componente longitudinal do campo elétrico no
horizonte.
Ez = Ge−iωr∗ + Heiωr∗ .
Dependendo do sinal, a componente
1 Devido
Ez
(4.28)
tem o comportamento típico de uma onda entrante
a que as equações tipo-Schrödinger são as mesmas no caso, q = 0.
37
(−),
ou de uma onda sainte
(+).
Além disso, sabe-se que classicamente as branas negras não
emitem radiação, por esse motivo considera-se apenas o sinal
(−) no resultado (4.28).
Fazendo
a mesma análise para as outras componentes do campo elétrico, encontra-se novamente o
resultado (4.28). Observa-se, portanto, que as componentes transversais do campo elétrico,
Ea ,
têm o mesmo comportamento que a componente longitudinal
Ez .
Para analizar o comportamento das componentes do campo elétrico próximo da fronteira, igual que antes, usa-se as transformações de Bogoliubov e as soluções assimptóticas
(4.26). Mostra-se assim que o comportamento das componentes do campo elétrico próximo
da fronteira é
(−)
2
; (j = x, y, z)
Ej(−) = A(−)
j (ω, q) + Bj (ω, q)Z + · · ·
onde as reticências indicam termos de mais altas ordens em Z e o sobrescrito
Ej(−) satisfaz uma condição de onda entrante no horizonte.
(4.29)
(−),
indica que
Os resultados acima serão utilizados
mais adiante no trabalho para determinar as funções de correlação corrente-corrente, na teoria
de campos dual.
4.4 Análise do potencial longitudinal
Após a obtenção das soluções assimptóticas que foram determinadas na seção anterior,
nesta seção estuda-se o potencial que surge depois de introduzir a coordenada tartaruga na
equação de movimento da componente longitudinal do campo elétrico. Como foi determinado
antes, a expressão do potencial longitudinal é dada por (4.30)
(B0 )2 B00
V =q f+
−
,
4
2
2
onde
B0 = ∂r∗ B.
Que pode ser escrito em forma explícita, como função da coordenada Z
1 (4c2 Z 4 − 5) Z 8 2 (2Z 2 q 4 + (4c2 Z 4 − 9) q 2 + 8ω 2 (cZ 2 + 3)) Z 4
V (Z ) = 2
−
+
8
4Z
Zh
q 2 Z 4h
4ω 2 (ω 2 (cZ 2 + 3) − 4q 2 ) Z 2
12ω 4 Z 6
2 2
2
2
+c Z +
+q Z +3 .
4
8
Z h (ω 2 − q 2 f (Z )) 2
q 2 Z 4h (ω 2 − q 2 f (Z ))
Agora, vai-se analisar o potencial para alguns casos particulares da temperatura
parâmetro
c.
(4.30)
(4.31)
T,
e do
Para o caso de temperatura zero, o potencial (4.31) ca reduzido à forma
V (Z )
=
T =0
1
Z2
3
2 2
2 4
+Z q +c Z ,
4
(4.32)
38
que é igual ao potencial apresentado no trabalho [21].
Quando consideram-se os efeitos do parâmetro
V (Z )
c=0
f (Z )
=− 2
4Z
−
5Z 4
4
Zh
+ 4q
2
c
desprezíveis, o potencial tem a forma
4Z 2 ((q 2 − 3ω 2 ) Z 4 + (ω 2 − q 2 ) Z 4h )
2
−1 Z −3 .
8
Z h (ω 2 − q 2 f (Z )) 2
(4.33)
Por outro lado, quando o número de onda é zero, nota-se que o potencial não depende mais da
energia. O fato de ter momento zero, pode ser interpretado sicamente como aqueles estados
de quasipartícula formados na teoria dual apresentam unicamente energia de repouso. O caso
de interesse neste trabalho é quando não temos momento. Portanto (4.31) ca como
V (Z )
q=0
f (Z )
5Z 4
4c2 Z 8 16cZ 6
2 4
=
− 4 +
+ 4c Z + 4 + 3 .
4
4Z 2
Zh
Zh
Zh
(4.34)
4.5 Análise do potencial transversal
Continuando o desenvolvimento do trabalho, agora se faz a mesma análise feita na
seção anterior, para o caso do potencial transversal
V̄ = q 2 f +
(A0 )2 A00
−
.
4
2
(4.35)
Este potencial escrito em forma explicita é,
4
f (Z )
Z
2 2
2 4
2
2
V̄ =
3 + 4q Z + 4c Z + (5 − 4cZ [cZ − 4]) 4 .
4Z 2
Zh
(4.36)
Como antes, vai-se analisar o potencial para alguns casos particulares da temperatura
do parâmetro
c.
T,
e
Para o caso de temperatura zero, o potencial (4.35) ca reduzido à forma
V̄ (Z )
=
T =0
1
Z2
3
2 2
2 4
+q Z +c Z .
4
Enquanto considera-se os efeitos do parâmetro
V̄ (Z )
c=0
f (Z )
=
4Z 2
c
(4.37)
desprezíveis, temos
3+
4q 2 Z 2
+5
Z
4
2
Zh
.
(4.38)
O caso estudado neste trabalho é para momento zero, assim (4.35) é
V̄ (Z )
q=0
f (Z )
4c2 Z 8 16cZ 6
5Z 4
2 4
=
− 4 +
+ 4c Z + 4 + 3 .
4
4Z 2
Zh
Zh
Zh
(4.39)
39
Como pode-se apreciar dos resultados (4.34) e (4.39), o comportamento do potencial
longitudinal e transversal é o mesmo, quando o número de onda é zero. A seguir se faz uma
análise do potencial (4.34) para diferentes valores da temperaturas (pequenas, intermedias e
elevadas). Os mesmos resultados são obtidos para o potencial (4.39).
4.6 Temperaturas intermediárias e elevadas
Gracou-se o potencial (4.34) normalizado (pelo parâmetro
c) como função da coorde-
nada tartaruga (também normalizada pelo mesmo parâmetro), isto, para diferentes valores
da temperatura
T̂ 2 .
Os resultados são apresentados na gura 4.1. Como pode ser observado,
para valores elevados de
T̂
o potencial apresenta comportamento assimptótico (T̂
medida que a temperatura vai diminuindo, o potencial começa a se curvar (T̂
o valor da temperatura atinge
T̂c2 ≈ 0.546,
2
2
= 1).
> 1),
na
Quando
o potencial ainda não aprensenta poço, mas se
continua-se diminuindo a temperatura, vai-se ter a formação de um poço de potencial (gura
4.2). Também pode-se observar que o valor do potencial aumenta com a temperatura, isto,
para um valor xo da coordenada tartaruga. Então conclui-se que neste regime de temperaturas, não se formam estados de quasepartícula na teoria de campos dual, e, o espectro dos
modos quasenormais não têm diferença signicativa, do caso no qual o dílaton é zero, como
apresentado nos trabalhos [24, 51]
14
10
8
12
6
4
10
2
(πT) /c=0.546
2
V/c
0
8
−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5
0
2
(πT) /c=100
6
2
(πT) /c=25
4
2
(πT) /c=1
2
2
(πT) /c=9
2
(πT) /c=225
0
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
r* c1/2
Figura 4.1: Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal para diferentes valores da temperatura, observa-se que este potencial não apresenta poço, para T̂ 2 & 0.546.
40
4.7 Baixas temperaturas
Nesta seção apresenta-se os resultados do potencial longitudinal no regime de baixas
temperaturas. Na gura 4.2, pode-se observar o comportamento do potencial para diferentes
2
valores da temperatura.
Pode-se notar que, à medida que a temperatura diminui, a barreira
de potencial formado perto da fronteira (r∗
= 0),
vai ganhando altura.
Devido a que a
temperatura é muito pequena, pode-se fazer uma expansão, usando como parâmetro o valor
pequeno da temperatura.
V =
3
(−4c2 Z 4 + 8cZ 2 + 1) 4 2 4 (4cZ 2 (cZ 2 − 4) − 5) 8 6 8
2 2
16
+
c
Z +
π
Z T +
π
Z T +O T
,
4Z 2
2
4
(4.40)
onde pode-se observar nos dois primeiros termos da direita, o potencial a temperatura zero
(4.32). Os seguintes termos são correções devido à temperatura. Além disso, pode-se expressar
o potencial como função da coordenada tartaruga (4.11), que perto da fronteira pode ser
expressado na forma [27],
Z
= −r∗
r4
1 − ∗4
5zh
.
(4.41)
Portanto, substituindo (4.41) em (4.40), e considerando só termos que contribuem mais na
temperatura, teremos:
V =
4 2 4
4
3
2 2
2
2 4
+
c
r
+
1
+
5cr
−
3c
r
∗
∗
∗ π r∗ T .
4r∗2
5
(4.42)
Observa-se que o potencial é uma combinação linear de varior termos, entre eles, uma
barreira de potencial innito, localizado em
r∗2 ,
r∗ → 0,
um termo tipo oscilador harmônico
e as contribuições da temperatura. Cada termo adicional contribui para que o poço de
potencial tenha a forma da gura 4.2. Conclui-se o análise do potencial a baixas temperaturas
indicando que os poços de potencial formados neste regime, ajudam na formação dos estados
de quasipartícula, que são associados aos estados de mésons vetoriais formados na teoria de
campos dual. Estes mésons formados, vão possuir unicamente energia de repouso, isto devido
a que o momento é zero em nosso análise.
2 Os
valores da temperatura foram escolhidos baseados na referência [45]
41
20
2
(πT) /c=0.0148
15
2
V/c
(πT) /c=0.0187
2
10
(πT) /c=0.0253
2
(πT) /c=0.0394
5
2
(πT) /c=0.0905
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
r* c1/2
Figura 4.2: Apresenta-se o comportamento do potencial longitudinal, no regime de baixas temperaturas. Observa-se que quando a temperatura diminui, a barreira de potencial na esquerda aumenta.
Portanto, para temperaturas mais baixas, os estados de quasipartícula têm mais probabilidade de
ser formados.
CAPÍTULO 5
FUNÇÕES DE GREEN RETARDADAS
No presente capítulo, as funções de Green retardadas são determinadas com a utilização
da prescrição de Son-Starinets [15]. Devido ao fato das utuações na densidade de carga (no
lado CFT) se acoplarem às utuações eletromagnéticas (no lado AdS), ocorre o surgimento de
um modo hidrodinâmico de difusão no setor longitudinal das perturbações. Determinam-se
também as funções espectrais por meio de uma integração numérica da equação de movimento.
Para tanto, utiliza-se a solução assintótica normalizável como condição inicial e integra-se a
equação desde uma vizinhança da fronteira até uma outra nas proximidades do horizonte. Os
resultados numéricos mostram a fase na qual é mais provável acontecer a formação de estados
de quasepartículas.
5.1 Funções de Green térmicas retardadas
Numa teoria de campos a temperatura nita, as funções de Green térmicas retardadas
são denidas como [24]
Z
R
(k)
Cµν
= −i
d4 xe−ik·x θ(t) h[Jµ (x), Jν (0)]i.
(5.1)
A expressão (5.1) representa a transformada de Fourier da média térmica do comutador entre
componentes da densidade de corrente, em dois pontos diferentes do espaço-tempo.
1
Como
consequência das identidades de Ward no vácuo, as funções de correlação corrente-corrente
1 Para
uma revisão mais detalhada de como determinar a função de Green térmica retardada, veja o
apêndice B.
43
Cµν (k)
são proporcionais ao projetor sobre vetores conservados [24], a saber,
Pµν = ηµν −
onde
k 2 = −k02 + k2
e
ηµν = diag(−, +, +, +).
kµ kν
k2
Todas as componentes dos correlatores
Cµν (k)
são assim determinados por meio uma função escalar simples,
Cµν (k) = Pµν Π(k 2 )
onde
Pµν
é o projetor e
Π(k 2 )
uma função escalar.
(5.2)
No caso em que considera-se o valor
esperado num estado que tem unicamente simetria de rotação, é conveniente dividir o projetor
Pµν
T
L
em duas componentes, a saber, transversal (Pµν ) e longitudinal (Pµν ):
T
L
Pµν = Pµν
+ Pµν
Estes projetores são denidos de tal maneira que satisfazem a condição
T µν L
Pµν
η Pµν = 0,
e são
denidos como:
T
P00
= 0,
P0iT = 0,
PijT = δij −
ki kj
,
k2
L
T
Pµν
= Pµν − Pµν
.
Além disso, estes projetores satisfazem as relações
T
L
k µ Pµν
= k µ Pµν
= 0.
Portanto, qualquer ex-
pressão construída com estes projetores satisfaz automaticamente a conservação da corrente.
Quando têm-se simetrias sob rotações, as funções de correlação corrente-corrente são determinados por duas funções escalares independentes associadas à parte transversal
e longitudinal
ΠL (k0 , k2 )
ΠT (k0 , k2 ),
[24],
T
L
Cµν (k) = Pµν
ΠT (k0 , k2 ) + Pµν
ΠL (k0 , k2 ).
Se, se faz:
ΠT = ΠL = Π,
(5.3)
a expressão (5.3) reduz-se à forma invariante de Lorentz (5.2).
Não é difícil comprovar que, devido à invariância rotacional, no limite
k → 0,
os projetores
são iguais, em consequência, as funções escalares também devem satisfazer a condição:
lim ΠT (k0 , k2 ) = lim ΠL (k0 , k2 ).
k→0
k→0
Como um caso particular, pode-se considerar uma teoria de campos em quatro dimensões a
temperatura nita, sem perda de generalidade, pode-se considerar como direção de propagação
44
o eixo
z,
tal que, o quadri-momento ca reduzido à forma:
−ω 2 + q 2 ,
kµ = (−ω, 0, 0, q),
com
k2 =
com esta informação, as componentes das funções de correlação corrente-corrente
não nulas são:
Cxx (k) = Cyy (k) = ΠT (ω, q).
(5.4)
Como também,
q2
Ctt (k) = 2
ΠL (ω, q),
2
ω −q
ω2
Czz (k) = 2
ΠL (ω, q).
2
ω −q
qω
Ctz (k) = 2
ΠL (ω, q),
2
ω −q
Para sistemas físicos em equilibrio termodinâmico estável à temperatura
tamento a baixas energias (regime hidrodinâmico) das funções
2
ser descrito por uma teoria hidrodinâmica efetiva [16, 24].
ΠT (ω, q)
ΠT
e
ΠL ,
T,
(5.5)
o compor-
é universal e pode
Neste regime de baixas energias,
não apresenta singularidades para nenhum valor da frequência, isto, devido a que
não se acopla com as utuações da densidade de carga. Por outro lado, os correlatores que
envolvem conservação da carga devem exibir uma singularidade hidrodinâmica, e a relação
de dispersão
(ω
ω(q) → 0,
quando
q → 0.
A função
ΠL (ω, q)
apresenta uma singularidade
= −iDR q 2 ) neste regime, devido a que se acopla com as utuações da densidade de carga,
onde
DR
é a constante de difusão de carga, associada com a corrente
Jµ (x)
de (5.1), mais
para frente no trabalho determina-se o valor da constante de difusão no modelo soft-wall.
Por outro lado, precisa-se determinar as funções de correlação corrente-corrente na
teoria de campos dual, para fazer isso, utiliza-se a prescrição Son-Starinets como apresentada
no trabalho [15]. Para usar esta prescrição, deve-se expressar a ação na forma:
Z
S=
onde
Z h
d4 k
φ
(−k)F(k,
Z )φ0 (k)
0
,
(2π)4
ZB
√
F = K −gg ZZ f−k (Z )∂Z fk (Z ).
(5.6)
(5.7)
Assim. A função de Green retardada é determinado usando a fórmula
G (k) = −2F(k, Z )
R
.
(5.8)
ZB
Então, usa-se a prescrição de Son-Starinets para determinar as funções de Green retardadas
(avançadas) quando é satisfeito o seguinte:
1. Procurar uma solução da equação diferencial com as seguintes propriedades:
2 Ver
apêndice C
45
•
A solução é igual a 1, na fronteira (normalizável);
•
Para momento tipo-tempo, a solução tem uma expressão assimptótica correspondente à condição de onda entrante (sainte) no horizonte.
Enquanto que, para
momento tipo-espaço, a solução é regular no horizonte.
2. A função de Green retardada, é então dada por
(5.7).
G = −2F∂M ,
Só a contribuição da fronteira tem que ser considerado.
onde
F
é dado por
Termos de superfície
provenientes do horizonte ou, mais geralmente, da parte infravermelho da geometria
de fundo (correspondente à posição das branas) devem ser descartados.
Esta parte
da métrica inuência nos correlatores, unicamente através da condição na fronteira
impostas sobre o campo [15].
Para usar a prescrição de Son-Starinets em nosso trabalho, é preciso expressar a ação
de nosso modelo na forma (5.6), portanto, começa-se pela ação (4.1),
1
S=− 2
4g5
Z
√
d5 x −ge−Φ FM N F M N .
(5.9)
Pode-se expressar a ação em termos das componentes do potencial vetor, usando a transformada de Fourier,
R
S=− 2
2g5
Z
dωdq
(2π)2
e−Φ
Z
Z h !
~ Z , −k) · ∂Z A(
~ Z , k)]
[At (Z , −k)∂Z At (Z , k) − f (Z )A(
,
(5.10)
ZB
introduzindo as componentes do campo elétrico no resultado (5.10)
R
S = lim 2
Z →0 2g
5
Z
dωdq
(2π)2
e−Φ
Z
f (Z )
f (Z )
Ez ∂Z Ez − 2 (Ex ∂Z Ex + Ey ∂Z Ey ) .
q 2 f (Z ) − ω 2
ω
(5.11)
Além disso, as componentes do campo elétrico podem ser expressados como um produto de
duas funções, a saber, uma dependendo só da quinta coordenada, e a outra só do momento:
Ex (Z , k) = fx (Z )Ex0 (k),
Ey (Z , k) = fy (Z )Ey0 (k),
Ez (Z , k) = fz (Z )Ez0 (k),
de tal maneira que a função que só depende da quinta coordenada seja normalizável na
fronteira
fx,y,z (Z B ) = 1,
portanto, na equação (4.29)
Ex (Z , k) fx (Z ) =
= 1,
Ex0 (k) Z B
⇒ Ex0 (k) = A(−)
x (ω, q),
46
substituindo em (4.29), obtém-se a seguinte expressão normalizada para
mesmo para as outras duas funções,
fy (Z )
e
fx (Z ),
e se faz o
fz (Z )



fx (Z ) = 1 + · · · + (−)
Z + · · ·



Ax (ω, q)



(−)

By (ω, q) 2
.
fy (Z ) = 1 + · · · + (−)
Z + ···

Ay (ω, q)




(−)


Bz (ω, q) 2

fz (Z ) = 1 + · · · + (−)
Z + · · ·

Az (ω, q)
(−)
Bx (ω, q)
2
(5.12)
Por outro lado. A ação (5.11) também pode ser expressado em termos do campo elétrico na
fronteira
R
S = lim 2
Z→0 2g5
Z
"
#
"
(−)
B
dωdq
e−Φ f (Z )
z
E0
Ez0
(2π)2 q 2 f (Z ) − ω 2 z A(−)
z
e−Φ f (Z )
−
ω2
"
Ex0
(−)
Bx
(−)
Ax
#
"
Ex0 + Ey0
(−)
By
(−)
Ay
#
!#
Ey0
.
Agora, pode-se expressar o resultado anterior em termos do potencial vetor. Sabe-se que:
Ex0
=






ωA0x
Ey0 = ωA0y
Ez0
=
ωA0z
+




qA0t 
Finalmente, depois de simplicar e reduzir, obtém-se:
"
#
"
#
(−)
(−)
dωdq
−R
B
B
z
z
S=
A0z (−k) ω 2 (−) A0z (k) + A0z (−k) ωq (−) A0t (k)
(2π)2 2g52 (q 2 − ω 2 )
Az
Az
"
#
"
#
!
"
#
(−)
(−)
(−)
B
B
R
B
z
z
x
+A0t (−k) ωq (−) A0z (k) + A0t (−k) q 2 (−) A0t (k) + 2 A0x (−k)
A0x (k)
(−)
2g
Az
Az
Ax
5
"
#
!
(−)
By
+A0y (−k)
A0y (k) .
(−)
Ay
Z
Usando a prescrição de Son-Starinets (5.8), determinam-se assim os correlatores correntecorrente:
Cµν (ω, q) = −2Fµν (ω, q)
(5.13)
47

(−)
Rq 2
Bz (ω, q) 


Ctt = 2 2


g5 (q − ω 2 ) A(−)

z (ω, q) 


(−)

Bz (ω, q) 
Rωq


Ctz = Czt = 2 2


g5 (q − ω 2 ) A(−)
z (ω, q)
(−)
Rω 2
Bz (ω, q) 



Czz = 2 2

(−)
2
g5 (q − ω ) Az (ω, q) 




(−)

R Bx (ω, q) 


Cxx = Cyy = − 2 (−)

g5 Ax (ω, q)
(5.14)
Como já temos determinado as relações entre os correlatores corrente-corrente e as funções
de dois pontos, denidas antes, em (5.4) e (5.5), pode-se obter as funções de correlação
transversal e longitudinal

(−)

R
B
(ω,
q)
y


ΠT (ω, q) = − 2 (−)

g5 Ay (ω, q) 
(5.15)
R Bz (ω, q) 



Π (ω, q) = − 2 (−)
g5 Az (ω, q) 
(−)
L
A parte imaginária da função de Green retardada (5.15) é de nosso interesse, devido a esta
expressão ser utilizado para determinar a função espectral, como foi feito nos trabalhos [24,
27, 45].
N2
R
R(ω, q) ≡ −2ImCzz
(ω, q) = c2 Im
8π
(−)
Bz
(−)
Az
!
.
(5.16)
Na próxima seção, use-se usar o resultado (5.16) para determinar a função espectral dos
mésons vetoriais, numericamente.
5.2 Funções espectrais
Desde o ponto de vista numérico, é mais conveniente trabalhar com as equações tipoSchrödinger (4.12) e (4.15). Por esse motivo, nesta seção determina-se a função espectral dos
mésons vetoriais no modelo soft-wall a temperatura nita, usando as soluções assimptóticas
da seção 4.3. Para determinar os resultados numéricos, seguiu-se o procedimento apresentado
nos trabalhos [27,45]. O objetivo é resolver a equação tipo-Schrödinger (4.12) numericamente,
para funções de onda que satisfazem a condição:
ψz (Z ) → ψ1 (Z ),
quando Z
→0
(a função de
onda converge à solução normalizável na fronteira). A ideia geral é integrar numericamente
a equação diferencial, desde um ponto próximo da fronteira (Z i ), até outro muito próximo
do horizonte (Z f ). Como condição inicial, são usadas as soluções assimptóticas determinadas
48
perto da fronteira, avaliadas em Z i . Para a solução normalizável, temos
ψ1 (Z i ) =
Zi
3/2 "
1 + a2
Zh
1
∂Z ψ1 (Z i ) =
2
Zi
1/2
2
Zi
+ a4
Zh
"
3 + 7a2
Zh
Zi
Zi
4 #
Zh
2
+ 11a4
Zh
Zi
4 #
(5.17)
,
Zh
e para a solução não-normalizável
ψ2 (Z i ) =
−1/2 "
Zi
1 + b2
Zh
1
∂Z ψ2 (Z i ) =
2
Zi
−3/2
"
Zi
2
+ b4
Zh
−1 + 3b2
Zh
Zi
Zi
4 #
+ 2Dψ1 (Z i ) ln
Zh
2
+ 7b4
Zh
Zi
Zh
4 #
Zh
Zi
+2D ∂ν ψ1 (Z i ) ln
Zi
Zh
+
Z h ψ1 (Z i )
Zi
(5.18)
onde os coecientes foram determinados em (4.25).
Como se fez antes, pode-se expressar
as soluções perto da fronteira avaliadas no ponto nal Z f , como uma combinação linear das
funções de onda entrante e sainte,
ψ1 (Z f ) = Aint(1) ψz(−) (Z f ) + Aout(1) ψz(+) (Z f )
∂Z ψ1 (Z f ) =
Aint(1) ∂Z ψz(−) (Z f )
+
(5.19)
Aout(1) ∂Z ψz(+) (Z f ),
que se pode escrever em forma compacta, e considerando as duas soluções (normalizável e
não-normalizável)



ψb (Z f )

=
(−)
ψz (Z f )
(+)
ψz (Z f )
(+)
(−)


∂Z ψz (Z f ) ∂Z ψz (Z f )
∂Z ψb (Z f )
Aint(b)
Aout(b)

,
(b = 1, 2)
(5.20)
onde os elementos da matriz são as funções de onda entrante e sainte no horizonte, e suas
respectivas derivadas, avaliadas num ponto muito próximo do horizonte Z f . O que se precisa
são os coecientes
Aint
e
Aout ,
já que com estes pode-se determinar a parte imaginária da
função de Green retardada (5.15) [27, 45].


Aint(b)
Aout(b)


=
(−)
ψz (Z f )
(−)
(+)
ψz (Z f )
(+)
∂Z ψz (Z f ) ∂Z ψz (Z f )

−1 


ψb (Z f )
∂Z ψb (Z f )
,
(b = 1, 2)
(5.21)
49
está-se interessado na relação entre
Aout(1) /Aout(2) , esta quantidade vai proporcionar a função
(−)
(−)
de Green retardada Bz /Az
em (5.16).
Com ajuda da relação entre os coecientes de
conexão (4.27), pode-se encontrar essa relação
(−)
Bz
(−)
Az
=−
(−)
(−)
Aout(1)
∂Z ψz (Z f )ψ2 (Z f ) − ψz (Z f )∂Z ψ2 (Z f )
=−
(−)
(−)
Aout(2)
∂Z ψz (Z f )ψ1 (Z f ) − ψz (Z f )∂Z ψ1 (Z f )
(5.22)
5.3 Resultados numéricos
Nesta seção apresentam-se os resultados numéricos, que foram determinados para a
componente longitudinal do campo de gauge. A seguir, mostra-se a função espectral obtida
utilizando o procedimento descrito na seção anterior. Pode-se observar que esta depende da
frequência (ω̂ ), número de onda (q̂ ) e da temperatura (T̂ ). O primeiro caso, mostrado na gura
5.1, aprensenta a função espectral para o caso no qual não temos deslocamento (q̂
= 0).
Os
valores da temperatura neste gráco, foram escolhidas de acordo à análise feita do potencial,
na seção 4.7. Os picos mostrados na gura, indicam que a função de Green retardada (5.16)
apresenta pólos. Estes pólos estão relacionados com as frequências dos modos quasenormais da
brana negra, produzidos pela componente logitudinal do campo de gauge. Na teoria dual, estes
modos quasenormais estão relacionados com estados de quasepartícula (mésons vetoriais) de
spin 1 [27,55]. A frequência destes modos quasenormais apresenta parte real (ω̂R ) e imaginária
(ω̂I ). A parte real está relacionado à massa dos mésons vetorias quando
q̂ = 0,
enquanto a
parte imaginária, ao tempo de decaimento dos estados de quasepartícula formados próximo da
transição connamento/desconnamento. Uma outra coisa que se observa na função espectral,
é que, quando a temperatura aumenta, a largura dos picos também aumenta, e, devido a que se
cumple a relação
t = 2π/ω̂I , o tempo de decaimento vai diminuir, fazendo com que os estados
de quasepartícula tenham um tempo de vida curto. Portanto, baseados no análise anterior
pode-se concluir que, na medida que a temperatura aumenta, os estados de quasipartícula são
mais instáveis. Isto esta em concordância com a análise feita do potencial, na qual, a altura
da barreira de potencial vai diminuindo, enquanto a temperatura aumenta (ver gura 4.2),
isto implica que menos modos de oscilação quem presos no poço de potencial formado.
Uma outra particularidade da gura 5.1, é que, a localização dos picos estão distribuidos de
tal maneira que se cumple a condição:
ω̂ 2 ≈ 4n,
para
n = 1, 2, 3 . . . ,
isto, para um valor xo
da temperatura.
Próximo dos picos, pode-se ajustar uma função tipo Breit-Wigner [27, 43, 45], na forma
R(ω̂, 0) ∼
ω̂I
,
(ω̂ − ω̂R )2 + ω̂I2
(5.23)
50
2
500
(πT) /c=0.0196
2
(πT) /c=0.0289
(−)
Im(Bz /Az )
400
2
(πT) /c=0.0441
(−)
300
200
2
(πT) /c=0.0784
2
(πT) /c=0.0961
100
2
(πT) /c=0.2209
0
2
4
6
8
10
ω2/c
12
14
16
18
Figura 5.1: Mostra-se a função espectral como função da energia, para diferentes valores da temperatura T̂ 2 . Em todos os casos o número de onda é zero. Observa-se que a localização dos picos está
relacionada com a parte real da frequência ω̂R , e a largura esta relacionada à parte imaginária ω̂I .
Também se observa que para um valor xo da temperatura e energia em aumento, a largura do pico
vai aumentando.
onde
ω̂R
representa a localização do pico no eixo da frequência, e
ω̂I
a largura dos picos. Uma
outra coisa que se pode observar na gura 5.1, é que os picos da função espectral dependem da
temperatura. Assim, para temperaturas maiores do que
T̂c2 = 2.3864,
não temos mais picos
formados. Por outro lado, quando diminuimos a temperatura, o pico começa a se posicionar
nos respectivos valores que têm a temperatura zero [21] (ver seção 3.2). Por exemplo, para o
primeiro modo excitado, o pico ca em
ω̂ 2 = 3.9865 (isto calculado numericamente), enquanto
que para o segundo modo, o pico vai-se posicionar em
para o valor xo da temperatura
T̂ 2 = 0.0204,
ω̂ 2 = 7.8665 (calculado numericamente),
e assim por diante.
Para o caso com momento linear diferente de zero apresenta-se a gura 5.2, estes
resultados foram obtidos para o valor xo da temperatura, a saber,
T̂ 2 = 0.0484.
Nesta
gura, observa-se que os picos diminuim sua altura, enquanto aumenta-se o momento. Além
disso, a largura dos picos também aumenta, enquanto a energia e o momento aumentam. Isto
quer dizer que os estados de quasepartícula são mais instáveis, se comparados com o caso
quando
q̂ = 0,
isto devido a que os estados de quasepartícula formados, além de possuir a
energia associada com a temperatura diferente de zero, têm uma energia adicional, associada
com o momento diferente de zero. A localização dos picos sobre o eixo da energia, também é
modicada enquanto o número de onda vai incrementando. Sabe-se da relação de dispersão
51
ω̂ 2 ≈ ω̂02 + q̂ 2
[45], onde
ω̂o
é a frequência quando o momento é zero. Analisando a relação de
dispersão, poderia-se dizer que, quando o número de onda é diferente de zero, a localização
do pico vai ser deslocado numa quantidade
temos que o pico se localiza em
q̂ 2 ,
ω̂ 2 = 3.9161
à direita. Assim por exemplo, no caso
q̂ = 0
(resultado numérico), agora usando a relação
de dispersão poderia-se determinar a nova localização do pico quando temos
q̂ = 1,
ω̂ 2 = 4.9161,
ω̂ 2 = 4.9119.
mas o valor determinado numericamente, para o caso
q̂ = 1,
é
como
Esta discrepância nos resultados é produzida pelo efeito da temperatura nita da teoria (à
temperatura zero, a relação de disperção é
ω̂ 2 = ω̂02 + q̂ 2 ).
500
1/2
q/c1/2=0.0
q/c1/2=0.5
q/c1/2=1.0
q/c1/2=1.5
q/c1/2=2.0
q/c1/2=2.5
q/c =3.0
300
(−)
(−)
Im(Bz /Az )
400
200
100
0
4
6
8
10
ω2/c
12
14
16
18
Figura 5.2: Mostra-se a função espectral como função da energia para varios valores do número de
onda. Em todos os casos a temperatura é, T̂ 2 = 0.0484. Observa-se que a localização dos picos vai-se
deslocando mais para a direita enquanto o número de onda vai aumentando. A altura e largura da
função espectral também sofrem modicações com o número de onda diferente de zero.
CAPÍTULO 6
MODOS QUASENORMAIS
Nesta parte do trabalho, são resolvidas as equações de movimento, primeiramente,
usando métodos perturbativos e, depois, utilizando métodos numéricos.
Um dos métodos
numéricos utilizados é o método de séries de potência, apresentado originalmente em [55].
Utilizado desde então para o cálculo de modos quasenormais de buracos negros no espaçotempo AdS, este método é aplicado apenas nos regime de temperaturas intermediárias e
b
elevadas (T
& 1),
já que a convergência deste método para o modelo soft-wall a baixas
temperaturas [48] não é boa. O segundo método utilizado é o método de ressonâncias de BreitWigner. Implementado inicialmente na referência [26] para o cálculo de modos quasenormais
de buracos negros AdS, este método tem boa convergência no regime de baixas temperaturas
b
(T
1), no qual se observa que ω̂I ω̂R .
No trabalho [27], implementou-se este método para
o cálculo das frequências quasenormais associadas a glueballs escalares no modelo soft-wall .
6.1 Modos quasenormais de buracos negros
Conforme será mostrado na sequência, os modos quasenormais são soluções de equações
linearizadas que governam as utuações clássicas de um buraco negro (ou brana negra), submetidas a condições de fronteira especícas [44]. Para um espaço-tempo assimptoticamente
Anti-de Sitter, essas condições são a de onda entrante no horizonte e a condição de Dirichlet
na fronteira. Estas condições são satisfeitas apenas por soluções com frequências complexas,
as chamadas frequências quasenormais. Os modos quasenormais de perturbações eletromagnéticas no espaço-tempo AdS estão associados a utuações de correntes conservadas na teoria
de campos dual [26, 55]. Contudo, a relação entre estes modos quasenormais e as funções de
correlação corrente-corrente não é imediata. Para estabelecer esta relação, trabalha-se com
53
variáveis invariantes por transformações de calibre, de tal modo que os pólos das funções de
1
correlação são exatamente as frequências de oscilação dos modos quasenormais [15, 24, 51].
6.2 Soluções analíticas no regime hidrodinâmico
O objetivo nesta seção é resolver as equações de movimento no regime de baixas frequências e pequenos números de onda em comparação com a temperatura Hawking da brana
negra
2
(conhecido como regime hidrodinâmico), ou seja, no regime em que são satisfeitas as
seguintes condições
ω
e1
e
qe 1.
6.2.1 Perturbações longitudinais
Para o setor longitudinal das perturbações eletromagnéticas, realiza-se a substituição
(−)
Ez
= f (Z )−ieω/4 F (Z ) na equação diferencial (4.8).
Em termos dessa nova variável, a equação
(4.8) transforma-se em
2ie
ωZ 3
4e
ω2Z 3
1 0
− 4
− 2cZ −
F+
F +
4
Z hf
Z h f (e
ω 2 − qe2 f )
Z
6 2
4iZ 6 ω
e3
Z ω
e
ω
e2
4iZ 6 ω
e 2ie
ω Z 2 4icZ 4 ω
e
qe2
− 8 2 2
−
+
+ 8 2 + 4 −
− 2 F = 0,
4
Z h f [e
ω − qe2 f ] Z 8h f 2 Z 2h f 2
Zhf
Zhf
Zhf
Zhf
00
(6.1)
Agora, resolve-se a equação diferencial (6.1) usando um método perturbativo em multi escala
[56],
F ( Z ) = F0 + ω
e F1 + qe 2 G1 + qe ω
e H1 + · · ·
(6.2)
Impondo a condição de onda entrante no horizonte, encontram-se as seguintes soluções para
os dois primeiros termos da perturbação:
F0 = C2
"
iF0 −2cZ 2h e
Ei c
F1 (Z ) =
2
e
1 Para
2 As
2
Zh
−2cZ 2h
+ Z2
− Ei −c
(6.3)
2
Zh
− Z2
−
2q 2
Ei 2cZ 2h + Ei cZ 2h + 2 2
ω cZ h
2q 2 −c(Z 2h −Z 2 )
e
−
ω 2 cZ 2h
4
#
4
Zh − Z
,
+ ln
2Z 4h
maiores detalhes, ver apêndice C.
funções normalizadas pela temperatura são ω
e = ω/(πT ), e qe = q/(πT ).
(6.4)
54
Com isso, a componente longitudinal do campo de gauge,
Ez(−)
Ez ,
assume a forma:
iω Z h −2cZ 2h 2q 2
2
2
= F0 f
1+
e
Ei c Z 2h + Z 2 − Ei −c Z 2h − Z 2 − 2 2 e−c(Z h −Z ) −
4
ω cZ h
4
2
4
2
2
2q
Zh − Z
−2cZ 2h
2 2
Ei 2cZ h + Ei cZ h + 2 2 + ln
e
+ O(ω̃ , q̃ ) .
ω cZ h
2Z 4h
−iω
4πT
(6.5)
O resultado (6.5) expressa o comportamento da componente longitudinal do campo
elétrico, no regime hidrodinâmico. A condição de Dirichlet na fronteira,
Ez (0) = 0,
produz
uma equação algébrica, cuja solução é dada por:
ω = −i
−cZ 2h
1−e
q 2 + O(q 3 ).
2cZ h
(6.6)
Esta é a frequência quasenormal fundamental do problema de valor de contorno tipo-Dirichlet
para
Ez .
O resultado anterior mostra que, no regime hidrodinâmico,
3
a função
ΠL (ω, q) tem
um pólo em
ω = −iDR q 2 ,
onde
DR = (1 − e−cZ h )/(2cZ h ).4
2
(6.7)
Na teoria de campos dual, este pólo corresponde sicamente
à difusão de carga com uma constante de difusão
DR .
Realizando uma expansão em séries
perto da fronteira AdS, a expressão (6.5) pode ser escrita como
i(1 − e−cZ h ) 2 ie−cZ h (ω 2 − q 2 ) 2
=1+
q +
Z + ....
2cZ h ω
2ω Z h
2
Ez(−) (Z )
2
(6.8)
Comparando (6.8) com o resultado (4.29) do capítulo 4, determinam-se facilmente os valores
dos coecientes
(−)
Az
e
(−)
Bz
:
i(1 − e−cZ h ) 2
=1+
q ,
2cZ h ω
2
A(−)
z (ω, q)
ie−cZ h (ω 2 − q 2 )
=
.
2ω Z h
2
Bz(−) (ω, q)
(6.9)
Assim, a função de correlação longitudinal (5.15) assume a seguinte forma no regime hidrodinâmico:
R e−cZ h (ω 2 − q 2 )
Π (ω, q) =
+ ....
2Z h g52 (iω − DR q 2 )
2
L
3 Ver
(6.10)
apêndice C.
valor de DR coincide com o resultado obtido no trabalho [24] para valores desprezíveis do parâmetro
c. Este valor também está em concordância com o resultado calculado no trabalho [47], quando a carga Q é
zero.
4O
55
6.2.2 Perturbações transversais
A solução da parte transversal do campo de gauge (4.9), é determinado da mesma
(−)
maneira que foi feita para o caso longitudinal, se faz a troca
Ea
à condição de onda entrante, no horizonte. Substituindo
Ea
Schrödinger (4.15).
(−)
= f (Z )−iω̃/4 F (Z ), relacionado
, na equação diferencial tipo-
A solução geral, depois de aplicar o método de perturbação em multi
escala, como se fez na seção 6.2.1, ca na forma:
"
iω̃
iω̃ 2
Ei c −Z 2h + Z 2 + e−2cZ h Ei c
4
4
iω̃γ
2
(1 − e−2cZ h )
4
#
iω̃
iω̃ 4
iω̃ 2 Z
2
2
+ ln cZ h 1 − e−2cZ h −
ln(2) 1 + e−2cZ h +
ln 1 − 4 + O(ω̃ 2 , q̃ 2 ) .
4
4
4
Zh
Ea(−) = F0 f −iω̃/4 1 −
2
Zh
+ Z2
+
(6.11)
O resultado (6.11), representa o comportamento da componente transversal do campo elétrico,
no regime hidrodinâmico. A condição Dirichlet na fronteira (Ei (0)
= 0)
produz a seguinte
equação algébrica
1−
iω̃
iω̃γ
iω̃ 2
2
Ei c −Z 2h + Z 2 + e−2cZ h Ei c Z 2h + Z 2 +
(1 − e−2cZ h )+
4
4
4
4
iω̃
iω̃
iω̃ 2 Z
2
2
ln cZ h 1 − e−2cZ h −
ln(2) 1 + e−2cZ h +
ln 1 − 4 = 0,
4
4
4
Zh
Z=0
(6.12)
que não apresenta solução compatível no regime hidrodinâmico. Com isso conclui-se que a
função
ΠT (ω, q)
5
não apresenta pólos neste regime.
Uma forma de visualizar melhor o fato
de que a função de correlação não apresenta pólos, é fazer uma expansão do resultado (6.11),
en torno da fronteira, a saber
Ea(−) (Z ) = 1 + iω̃e−cZ h
2
Z
2
2
Zh
+ ...
(6.13)
comparando (6.13) com o resultado (4.29) do capítulo 4, pode-se determinar facilmente o
valor das constantes:
A(−)
z (ω, q) = 1,
Bz(−) (ω, q) = i
ω
Zh
e−cZ h .
2
(6.14)
Assim, a função de correlação transversal (5.15) ca expressado como
ΠT (ω, q) = −
5 Se,
2iRω −cZ 2h
e
+ ...
g52 Z 3h
(6.15)
considera-se os efeitos do campo escalar tipo dílaton desprezíveis, obtém-se as mesmas soluções que
foram encontradas nos trabalhos [24, 49]
56
6.3 Solução numérica
Na seção anterior, determinou-se a solução da equação de movimento, no regime de
baixas energias e comprimentos de onda elevados. Agora pode-se usar métodos numéricos para
determinar uma solução mais geral.
não emitem radiação.
Sabe-se de argumentos clássicos que as branas negras
Com essa informação, só se considera a condição de onda entrante
no horizonte. Portanto, substituindo
ψz = e−iωr∗ φz ,
na equação (4.12), obtém-se a seguinte
equação diferencial:
P (Z )
d2 φz
dφz
+ Q(Z )
+ R(Z )φz (Z ) = 0,
2
dZ
dZ
(6.16)
onde:
P (Z ) = 4Z 2h f 2 (Z )Z 2 (ω 2 − q 2 f (Z ))2 ;
(6.17)
Q(Z ) =
8Z 2h f (Z )Z 2 (ω 2
− q f (Z ))
2
iω Z h − 2
2
Z
3 !
;
Zh
"
R(Z ) = −4Z 4h Z 2 f (Z )q 2 (ω 2 − q 2 f (Z ))2 − 3Z 4h f (Z ) − 4
" + 16Z 4 2
Z
Zh
#
4
Z
(6.18)
4 # 2
(ω 2 − q 2 f (Z ))2
Zh
− 3f (Z ) (ω 2 − q 2 f (Z ))2 − 8Z 4 f (Z )2 ω 2 (ω 2 − 2q 2 f (Z ))
"
4
2
2
2
2
4
2
3 2 2 4
− 16Z f (Z )ω (ω − q f (Z )) 2Z c − 1 − 8Z f (Z )q f (Z ) q c Z h + 8
+4
Z
4
2
Zh
"
f (Z )cZ 3h (ω 2
− q f) − 2
Z
2
#2
2
Zh
Z
Zh
#
4
ω2
ω
(6.19)
6.3.1 Método de séries de potência
O objetivo agora é resolver a equação diferencial (6.16) numericamente. O método está
baseado no clássico método de Fröbenius [57, 58], o qual é aplicado, fazendo uma expansão em
séries de potência em torno do horizonte. Além disso, a função
φz ,
deve ter comportamento
regular na região comprendida entre a fronteira e o horizonte do espaço AdS, substituindo
φ(−)
z (Z )
=
∞
X
n=0
a(−)
n
1−
Z
Zh
φz :
n
,
o sinal negativo representa a condição de onda entrante, no horizonte.
(6.20)
Além disso, esta
função deve satisfazer a condição de Dirichlet na fronteira do espaço AdS. Por outro lado,
57
os polinômios:
P (Z ), Q(Z )
Q(Z ),
e
séries de potência perto de, Z
P (Z ) =
17
X
pm 1 −
m=0
podem ser expressados também como uma expansão em
= Z h:
m
Z
Zh
; Q(Z ) =
16
X
m=0
qm 1 −
Z
m
Zh
; R(Z ) =
19
X
m=0
rm 1 −
Z
m
Zh
.
(6.21)
Substituindo as expressões (6.20) e (6.21) na equação diferencial (6.16), obtém-se a relação
de recorrência para determinar o valor dos coecientes
(−)
an
.
Estes coecientes dependem
da frequência (ω ), do número de onda (q ) e da temperatura (T ). Como se fez antes, elegese o valor do coeciente
os coecientes
a2 , a3 , . . .
a0 = 1,
o próximo coecente
(−)
a1
, é dado pela expressão (4.20) e
são determinados, impondo-se a condição de Dirichlet na fronteira.
Assim, o problema se reduz a resolver a equação algébrica:
∞
X
a(−)
n (ω, q, T ) = 0.
(6.22)
n=0
As raízes da equação (6.22) representam as frequências dos modos quasenormais produzidos
pelas perturbações da componente logitudinal do campo elétrico, no background considerado.
Devido a que é impossível resolver a soma innita, se faz um truncamento da série num
valor determinado. Este valor é escolhido de tal maneira que a tolerância entre duas soluções
sucessivas (do mesmo coeciente), seja menor do que um valor muito pequeno.
Tendo em
consideração a análise feita no capítulo 5, a localização e largura dos picos na função espectral,
estão relacionados com a parte real e imaginária da frequência dos modos quasenormais.
Assim, substitui-se
ω = ωR − iωI ,
na relação de recorrência. Estas frequências determinadas
numericamente têm uma interpretação na teoria de campos dual que foi analisado no capítulo
5.
6.3.2 Método de ressonâncias Breit-Wigner
O método foi desenvolvido originalmente para o cálculo de amplitudes de espalhamento
na mecânica quântica (ver por exemplo capítulo 18 de [59]), depois implementado para o
estudo dos modos quasenormais de estrelas ultrarelativistas numa série de trabalhos [60
63]. Nos últimos anos, o método foi implementado para o cálculo dos modos quasenormais
de buracos negros AdS no trabalho [26].
normalizável
(ψ1 )
O procedimento usual é trabalhar com a solução
da equação diferencial (4.12), e escrever
ψ1
como uma combinação linear
58
das soluções perto do horizonte, impondo a condição de onda entrante. Portanto, de (4.18)
ψ1 = Aint(1) e−iωr∗ + Aout(1) e+iωr∗ = α(ω)Y1 (ω; r∗ ) − β(ω)Y2 (ω; r∗ ),
(6.23)
α = (Aout(1) + Aint(1) ), −β = −i(Aout(1) − Aint(1) ).6
Sabe-se que
onde é fácil observar que:
os modos quasenormais são soluções normalizáveis da equação de movimento, estes modos
quasenormais têm frequências associadas do tipo:
ω = ωR − iωI .
Além disso, os modos
estão associados aos pólos da função de Green térmica retardada na teoria de campos dual.
Encontrar esses pólos é equivalente a resolver a equação
próximo da ressonância pode-se expressar
Aout(1) = 0
Aout(1) ∼ ω − ωQNM ,
onde
em (6.23).
Assim,
ωQNM = ωR − iωI
é a
frequência quasenormal. Também se observa em (6.23), que os coecientes estão relacionados
por
Aout(1) = A∗int(1) .
Com esta informação, escreve-se
α
e
β
como
α2 + β 2 = 4Aint(1) Aout(1) ≈ const. (ω − ωR )2 + ωI2 .
(6.24)
As frequências dos modos quasenormais são determinados minimizando a equação
(6.24), uma vez que o valor mínimo de
mínimo, como
ω = ωR .
ω
é determinado, a parte real é igualada a este
A parte imaginária da frequência pode ser determinada fazendo um
ajuste na parábola (6.24). Por outro lado, a parte imaginária também pode ser determinada
impondo a condição de onda entrante sobre a solução complexa que tem a forma [63]:
ψc = ψ1 + iψI .
(6.25)
Esta solução complexa deve satisfazer a equação (4.12), junto com a frequência complexa
(ωc
= ω+iωI ).7
Após substituir a solução complexa na equação diferencial, cam as equações:
∂r2∗ ψ1 − V ψ1 + (ω 2 − ωI2 )ψ1 − 2ωωI ψI = 0
(6.26)
∂r2∗ ψI − V ψI + (ω 2 − ωI2 )ψI + 2ωωI ψ1 = 0
(6.27)
Considerando-se o fato que
ωI Y (ω; r∗ ) + O(ωI )
lineares em
ωI ,
ωI ω ,
pode-se expressar a solução complexa como,
[61]. Após ser substituido em (6.26) e (6.27), consideram-se só termos
e obtém-se
∂r2∗ ψ1 − V ψ1 + ω 2 ψ1 = 0,
6 As
7A
ψI =
funções Y1 (ω; r∗ ) e Y2 (ω; r∗ ) são o cos(ω r∗ ) e sin(ω r∗ ) respectivamente.
partir deste ponto, vai-se trabalhar com ω , em lugar de ωR , como se fez nos trabalho [6063].
(6.28)
59
∂r2∗ Y − V Y + ω 2 Y + 2ωψ1 = 0.
(6.29)
A familia de soluções de (6.29) pode ser expressada na forma:
Y (ω; r∗ ) = ∂ψ1 /∂ω .
Agora é fácil obter a solução complexa (6.25), em termos da solução assimptótica, como
ψc (ω; r∗ ) = (α + iωI ∂ω α)Y1 − (β + iωI ∂ω β)Y2 + iωI α∂ω Y1 − iωI β∂ω Y2 ,
nas condições de trabalho atuais (ωI
∂ω α(ω)
e
∂ω β(ω).
ω ), α(ω)
e
Também acontece o mesmo com
β(ω)
(6.30)
são desprezíveis em comparação a
∂ω Y1 (ω; r∗ )
e
∂ω Y2 (ω; r∗ )
(eventualmente,
nas condições de trabalho está-se considerando uma situação anterior, nas quais os termos
dominantes em (6.30) sejam
Y1 (ω; r∗ )
e
Y2 (ω; r∗ )
[61]), com essas simplicações, (6.30) ca
como
ψc (ω; r∗ ) =
1
1
([α − ωI ∂ω β] + i [ωI ∂ω α + β]) eiωr∗ + ([α + ωI ∂ω β] + i [ωI ∂ω α − β]) e−iωr∗ .
2
2
(6.31)
Impondo a condição de onda entrante no horizonte, o coeciente do primeiro termo da direita
é zero. Com isso, obtém-se a parte imaginária da frequência
ωI =
onde
∂ω
β
α
=−
,
∂ω β
∂ω α
(6.32)
é a derivada com relação à frequência, avaliada no valor mínimo
ωR
(para uma
análise mais detalhada ver [61]). Na obtenção dos resultados numéricos, a parte imaginária
da frequência foi determinada usando os 3 métodos apresentados. Os resultados foram discriminados fazendo uma comparação entre os 3 valores calculados (da parte imaginária), estes
resultados têm que ser iguais, para que o valor da frequência seja aceito como solução.
6.3.3 Resultados numéricos
As frequências quasenormais foram determinadas para o caso no qual
q=0
e fazendo
variar a temperatura. Na região de temperaturas elevadas as frequêcias têm comportamento
linear, o que está em concordância com os resulados do modelo hard-wall apresentados nos
trabalhos [24, 49]. Nesta região os efeitos do campo escalar tipo dílaton são desprezíveis e o espectro de frequências dos modos quasenormais têm a forma
2
ω̂R/I
= 4n2 T̂ 2
[24]. Assim, nossos
resultados têm este comportamento para temperaturas elevadas. Na gura 6.1 apresentam-se
os resultados obtidos, a frequência apresenta parte real (ω̂R ) e imaginária (ω̂I ), como esperado.
60
22
n=4
20
20
n=3
n=4
18
15
n=2
n=3
14
ωI2/c
ωR2/c
16
12
10
10
n=2
n=1
8
5
6
n=1
n=0
4
n=0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
(πT)2/c
0
0
0.1
0.2
πT)2/c
0.3
0.4
0.5
(
Figura 6.1: Resultados numéricos para as frequências dos modos quasenormais. Na esquerda, observase o comportamento da parte real da frequência, associado à massa dos mésons. Na direita, a parte
imaginária associada ao tempo de decaimento dos estados de quasipartícula.
Como observa-se na gura 6.1, o campo escalar tipo dílaton começa a ser importante a
baixas temperaturas, este background, faz que as frequências dos modos quasenormais tenham
um comportamento diferente daquele a temperaturas elevadas. As frequências convergem a
valores especícos que são determinados pelo espectro de massas dos mésons a temperatura
zero (3.15) (ver capítulo 3).
número
n
A convergência do método de séries de potência depende do
(modo de oscilação). Assim, para o primeiro modo excitado o método de séries de
potência têm boa convergência até a temperatura
T̂ 2 = 0.0438,
para temperaturas menores
do que este valor usa-se o método de ressonâncias Breit-Wigner.
Então, os dois métodos
se complementam bem para determinar as frequências dos modos quasenormais, mas isto
acontece só para os dois primeiros modos, como se pode observar na esquerda da gura
6.1.
A partir do terceiro modo os métodos trabalham bem nos seus respectivos intervalos
de conança, enquanto que para temperaturas intermédias os dois métodos não apresentam
solução.
O fato de ter curvas incompletas a partir do terceiro modo, pode ser devido à
limitação dos métodos numéricos usados no cálculo das frequêcias.
CAPÍTULO 7
Considerações nais
No desenvolvimento do trabalho foram encontrados alguns fatos importantes que são
apresentados a seguir.
Da análise do comportamento da energia livre como função da temperatura (gura 3.1)
observa-se a temperatura de transição entre os estados AdS térmico e AdS com buraco negro.
Por outro lado, o calor especíco mostra a estabilidade local da fase AdS com buraco negro,
que é interpretado na teoria de campos dual como a fase de plasma de quarks e glúons. A
estabilidade do plasma varia com a temperatura, diminuindo quando a temperatura diminui,
no intervalo
0.75 < T̂ 2 < 2.39 a fase do plasma é metaestável, a mais mínima perturbação faz
que os quarks se Hadronizem. Para temperaturas inferiores a
0.75 a fase de plasma é instável,
isto é conrmado pela gura da energia livre, que nesse intervalo de temperaturas está na
fase de AdS térmico globalmente estável (connamento).
Por outro lado, a análise das soluções assimptóticas das equações tipo-Schrödinger
mostrou que no horizonte têm-se ondas entrantes e saintes. Devido a argumentos clássicos, só
foram considerados ondas entrantes. Além disso, a análise do potencial mostrou que só para
valores da temperatura inferiores a
T̂c2 = 2.39,
têm-se a formação de poços de potencial perto
da fronteira, esta análise reforça o fato de ter a fase AdS térmico como uma fase globalmente
estável para temperaturas menores à
T̂c
e, portanto, têm-se connamento dos quarks ou,
estados de quasepartícula formados.
As funções de correlação carregam informação relevante sobre os estados de quasepartícula formados.
A análise da gura 5.1 mostra que os estados de quasepartícula são
formados a baixas temperaturas, onde a fase AdS térmico é globalmente estável e o potencial
apresenta poços. Portanto, quanto mais a temperatura diminui, os estados de quasepartícula
formados são mais estáveis e o tempo de decaimento é maior, porque a largura dos picos é
62
pequena. A massa destas quasepartículas é igual à frequência onde os picos estão localizados.
Após introduzir um valor do número de onda diferente de zero (gura 5.2), a estabilidade dos
estados de quasepartícula diminui na medida que a energia e o número de onda aumentam.
Estes resultados estão em concordância com os resultados encontrados em trabalhos anteriores
que estudam glueballs e mésons escalares [27, 43, 45], e méson vetoriais [45].
Também foram determinadas as frequências dos modos quasenormais.
No regime
hidrodinâmico, mostrou-se que só a componente longitudinal apresenta frequências, e o coeciente de transporte de carga foi determinado.
Uma solução mais geral foi determinado
usando métodos numéricos, os resultados foram apresentados na gura 6.1.
O comporta-
mento da parte real da frequência, que está associada à massa dos estados de quasepartícula,
indica que a massa diminui, mas começa a incrementar quando a temperatura está próximo
de zero. Quando temos um valor da temperatura quase zero, as quasepartículas têm massa
dado por
m2n = 4c(n + 1).
A parte imaginária da frequência sustenta esta armação, porque
têm valores que convergem a zero e, portanto o tempo de decaimento aumenta.
APÊNDICE A
Cordas abertas e mésons
A relação clássica entre o momento angular e o quadrado da massa de uma corda
aberta em rotação (J
= α0 M 2 )
sugere que as trajetórias tipo Regge, de exitações mesônicas,
podem ter uma explicação do ponto de vista da teoria das cordas abertas [3], como observado
na análise a seguir. Por exemplo o méson
(ρ+ , ρ0 , ρ− ).
ρ(776) de massa 776 M eV
Estes mésons são constituídos de quarks
u
e
d
é um tripleto de mésons
assim como de anti-quarks [8].
Além disso, a combinação do momento angular de spin (S ) nos mésons é um, enquanto o
momento angular orbital (L) é zero. Com essa informação, conclui-se que o momento angular
total (J
= S + L)
é
J = 1.
Sabe-se também que os mésons
de píons com tempos de vida ao redor de
O méson
a2 (1320)
com
ρ(776)
10−23 s
ρ
são instáveis e decaem num par
[8].
S = 1.
pertence à trajetória dos mésons com
J = 2, ρ3 (1690)
com
J = 3, a4 (2040)
com
J = 4,
e
Outros casos são:
ρ5 (2350)
Para ter ideia da precisão da trajetória linear, ajusta-se uma linha nos
2
com
J =5
primeiros mésons,
J = α0 M 2 + β 0 .
Após fazer o ajuste obtém-se as constantes
α0
e
β.
[3, 40].
(A.1)
Assim, a equação (A.1) ca como
J = 0.87702(GeV )−2 M 2 + 0.47188.
(A.2)
Agora com ajuda da equação (A.2) pode-se determinar as massas dos outros mésons.
Os
valores calculados são apresentados na tabela A.1. Também são representados gracamente
os resultados anteriores na gura A.1.
Chegado neste ponto, a seguir tenta-se recuperar o comportamento tipo Regge (J
=
64
J
Experimental (MeV)
Calculado (MeV)
% de variação
1
776
776
0
2
1320
1320
0
3
1690
1699
0.5
4
2040
2006
1.7
5
2350
2272
3.3
Tabela A.1: Mostra-se os valores experimentais e calculados das massas dos mésons.
6
5.5
−2
2
J= 0.87702(GeV) M + 0.47188
5
4.5
4
J
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
2
(M/GeV)
Figura A.1: Apresenta-se a trajectória de Regge dos mésons.
α0 M 2 )
desde o marco da teoria de cordas.
A abordagem seguida nesta parte do trabalho
está baseada no livro de Barton Zwiebach [3].
Para começar, considera-se o méson sendo
representado por uma corda aberta relativista girando classicamente no plano
(x2 , x3 )
e com
momento linear zero. Por outro lado, o operador momento angular é determinado usando o
fato que a ação da teoria de cordas é invariante sobre transformações de Lorentz [35]. Isto
permite determinar um conjunto de correntes conservadas
conservadas resultantes
Mµν ,
para o caso de cordas abertas (onde
Z
Z
π
Mτµν (τ, σ)dσ
Mµν =
0
1 A world-sheet
a
)
(Mµν
1
na world-sheet.
σ ∈ [0, π])
são:
π
(Xµ Pντ − Xν Pµτ )dσ.
=
As cargas
(A.3)
0
é a superfície que se forma quando uma corda aberta se propaga no espaço-tempo. Os
parâmetros que caracterizam uma world-sheet são: τ e σ , para maior detalhe ver referências [35].
65
Além disso, sabe-se que:
P σµ = −
onde
P σµ
e
Pτµ
1
0
Xµ ,
0
2πα
Pτµ =
são as densidades de momento,
Xµ
1
Ẋ µ
0
2πα
(A.4)
as coordenadas e
parâmetro de inclinação, que está relacionado com a tensão
α0
conhecido como
(T0 ) e comprimento (ls ) da corda
1
= ls2 .
2πT0 ~c
α0 =
(A.5)
Por outro lado, substituem-se as densidades de momento (A.4) na equação (A.3), esta
última ca em termos da coordenada e sua derivada,
M
µν
1
=
2πα0
Z
π
(X µ Ẋ ν − X ν Ẋ µ )dσ
(A.6)
0
onde a coordenada é expressa de uma maneira mais conveniente, a saber [3].
µ
X (τ, σ) =
xµ0
+
√
2α0 α0µ τ
+∞
X
√
1 µ −inτ
0
+ i 2α
α e
cos(nσ),
n n
n=−∞
| {z }
(A.7)
n6=0
e sua derivada com relação ao parâmetro
Ẋ µ =
√
2α0
τ,
X
αnµ e−inτ cos(nσ).
(A.8)
n∈Z
Após substituir os resultados anteriores em (A.6) e fazer as simplicações, obtém-se
M
µν
=
xµ0 pν
−
xν0 pµ
∞
X
1 µ ν
ν
−i
α−n αn − α−n
αnµ .
n
n=1
Para o caso de nosso interesse, a corda aberta girando no plano
linear zero, o operador momento angular relevante é
J = M 23 = −i
(A.9)
(x2 , x3 ) e com momento
J = M 23 ,
∞
X
1 (2) (3)
(3)
α−n αn − α−n αn(2) .
n
n=1
(A.10)
Observa-se que o resultado (A.10) mistura osciladores de duas coordenadas espaciais. Para
66
simplicar o resultado anterior denem-se novos osciladores (αn e
1
αn ≡ √ αn(2) + iαn(3) ,
2
é fácil mostrar que
(αn )† = ᾱ−n ,
ᾱn ),
como
1
ᾱn ≡ √ αn(2) − iαn(3) ,
2
(A.11)
e as relações de comutação que satisfazem estes novos
operadores são:
[αm , ᾱn ] = mδm+n,0 ;
[αm , αn ] = [ᾱm , ᾱn ] = 0.
(A.12)
Em termos dos novos osciladores (A.10) ca
J=
∞
X
1
(α−n ᾱn − ᾱ−n αn ) .
n
n=1
(A.13)
Usando os novos osciladores pode-se escrever os estados como sendo [3],
|λi =
∞
Y
(α−k )λk (ᾱ−k )λ̄k |p+ , p~T i
(A.14)
k=1
onde
p+
λk ≥ 0
é o momento do cone de luz e
e
λ̄k ≥ 0
são inteiros.
p~T
o momento transversal. Além disso, sabe-se que
Os autovalores do operador momento angular podem ser
determinados resolvendo o seguinte problema de autovalores
J|λi = J |λi,
⇒
J =
∞
X
(λn − λ̄n ).
(A.15)
n=1
Devido a que se precisa determinar o quadrado da massa com momento angular denido
(comportamento de Regge), considera-se a expressão [3],
α0 M 2 + 1 = N ⊥ = N23 + N 0 ,
onde
N23 =
∞ X
(2)
α−n αn(2)
+
(3)
α−n αn(3)
(A.16)
,
(A.17)
n=1
N⊥
é separado em dois termos: uma contribuição da direção
(x2 , x3 )
e
N0
(as outras con-
tribuições transversais). O resultado (A.17) expressado em termos dos novos osciladores têm
a forma,
N23 =
∞
X
n=1
(α−n ᾱn + ᾱ−n αn ) ,
(A.18)
67
com autovalores
N23 =
N23 =
P∞
k=1
∞
X
k(λk + λ̄k ).
k(λk + λ̄k ) ≥
k=1
A conclusão é que,
N23 ≥ |J |.
Devido a que
∞
X
λk +
k=1
∞
X
λk
λ̄k ≥
k=1
e
λ̄k ≥ 0,
∞
X
é válido que
|λk − λ̄k | = |J |.
(A.19)
k=1
Por outro lado temos que os autovalores da equação (A.16),
são
α0 M2 + 1 = N23 + N 0 ,
⇒
α0 M2 + 1 ≥ N23 .
(A.20)
O resultado anterior é válido quando se considera os autovalores da contribuição transversal
positivos (N
0
≥ 0).
Finalmente, obtém-se
|J | ≤ 1 + α0 M2 .
O resultado (A.21) é a versão quântica da equação (A.1).
saturada, é válido que
J = 1 + α 0 M2 .
tem-se que o valor da constante
β0
(A.21)
Quando se tem a desigualdade
Fazendo uma comparação com o resultado (A.1),
é conhecido, enquanto que o valor da constante
α0
não.
Dos resultados anteriores conclui-se que o modelo de corda aberta relativista girando
num plano
(x2 , x3 ),
reproduz bem o comportamento tipo Regge dos mésons vetoriais [40].
APÊNDICE B
Teoria da resposta linear
B.1 Medidas e funções de correlação
Neste apêndice discute-se como representar medições na Física.
As medições físicas
locais de um sistema quântico microscópico (muitos corpos), signica na prática analizar a perturbação que é criada pela aplicação de uma força externa na vizinhança de algum ponto
r0
no
tempo
t0 , a resposta do sistema é então medida em algum outro ponto r num tempo posterior
t > t0 .
Só se está interessado na resposta global do sistema a uma perturbação uniforme, como
acontece no caso de muitas medições termodinâmicas. Por exemplo, num experimento típico
de ótica temos uma onda eletromagnética externa incidindo sobre o sistema (pode ser um
metal). Para o caso de um campo eletromagnético com energia sucientemente baixa pode-se
ignorar sua natureza mecânico quântica e estuda-lo como uma onda clássica. Esta onda interage com os graus de liberdade do sistema de varias maneiras. Assim, o potencial escalar
acopla-se à densidade de carga local através de um termo da forma
ρ̂(x, t)
R
d3 xA0 (x, t)ρ̂(x, t),
A0
onde
é o operador densidade de carga (na representação de Heisenberg). Por outro lado, o
potencial vector
A(x, t)
acopla-se ao operador corrente
ĵ(x, t).
Portanto, observa-se que um
campo eletromagnético clássico pode induzir correntes no sistema [6567].
Na sequência deste apêndice vai-se discutir uma teoria geral de este tipo de medições.
Seja,
b
H
o Hamiltoniano que descreve o sistema isolado (sem perturbação). Uma maneira de
testar suas propriedades é acoplar o sistema a uma perturbação externa fraca (asumindo que
o estado inicial é estável), e determinar como o estado inicial e estados excitados são afetados
pela perturbação.
Por outro lado temos
b t)
O(x,
um observável local, como por exemplo a
densidade local (densidade de corrente ou magnetização).
O Hamiltoniano total
bT
H
que
69
descreve o sistema fracamente acoplado a uma perturbação externa, que é representado pelo
Hamiltoniano
b ext ,
H
é
bT = H
b +H
b ext .
H
(B.1)
Tem-se que considerar que a perturbação não só é fraca (se for esse o caso, poderia-se usar
teoria de perturbações para obter informação do sistema).
Além disso, o campo externo
tem que ser ligado e desligado adiabaticamente. A representação de Heisenberg do sistema
isolado, com Hamiltoniano
b,
H
é agora a representação de interação do sistema acoplado ao
campo externo. Portanto, os observáveis físicos do sistema acoplado evoluem de acordo ao
Hamiltoniano do sistema isolado, mas os estados vão acompanhar a perturbação externa
(fonte) [65].
|ψα (ti )i
fraca
Consequentemente, o valor esperado do observável
do sistema descrito pelo Hamiltoniano
b ext ,
H
b (t)
U
no estado inicial
é modicada devido à ação da perturbação
como
b t)|ψα (ti )i
hψα (ti )|O(x,
onde
b
H
b t)
O(x,
b † (t)O(x,
b t)U
b (t)|ψα (ti )i,
hψα (ti )|U
→
(B.2)
é o operador evolução ordenado no tempo que se dene como [65, 66]:
b (t) = T
U
Z
i t b
0 0
0
exp −
Hext (x , t )dt .
~ ti
(B.3)
Tendo em consideração a informação anterior, pode-se determinar a resposta do sistema, inicialmente no estado
|ψα (ti )i,
devido a uma perturbação externa que atua entre
t,
b t)|ψα (ti )i = − i
δhψα (ti )|O(x,
~
Z
t
b t), H
b ext (x0 , t0 )]|ψα (ti )idt0 ,
hψα (ti )|[O(x,
ti
e
(B.4)
ti
observa-se que esta resposta se expressa em função do valor esperado no estado inicial, do
comutador entre a perturbação e observável. Além disso, deve-se comentar que o resultado
(B.4) está ordenado no tempo.
Portanto, temos a perturbação atuando no instante
resposta é determinada pela medição do observável
se
b t) é um observável local, H
b ext
O(x,
b
O
b ext (x, t) =
H
Z
1 Ordenamento
Em geral,
b t)f (x, t)
d3 x O(x,
Para simplicar o problema, considera-se que
|ψα (ti )i,1
t > t0 .
e a
representa uma fonte externa que acopla-se linearmente
ao observável.
respecto ao estado inicial
num tempo posterior
t0
(B.5)
b t) está ordenado normalmente com
O(x,
precisa-se então que
b t)|ψα (ti )i = 0.
hψα (ti )|O(x,
Este fato,
normal indica que os operadores aniquilação estão à direita dos operadores criação.
70
pode ser interpretado na seguinte maneira. Está-se considerando operadores que medem as
utuações do observável longe do valor esperado. Como consequência disso, a mudança linear
no valor esperado do observável, induzido pela fonte
b t)|ψα (ti )iF = − i
hψα (ti )|O(x,
~
Z
t
0
Z
dt
f (x, t)
é
b t), O(x
b 0 , t0 )]|ψα (ti )if (x0 , t0 ).
d3 x0 hψα (ti )|[O(x,
(B.6)
ti
Portanto, a resposta é linear na força. O coeciente de proporcionalidade entre a mudança
no valor esperado
χ(xt; x0 t0 )
b t)|ψα (ti )i
hψα (ti )|O(x,
e a força, dene uma susceptibilidade geralizada
através da denição
b t)|ψα (ti )iF ≡ “χ · f =
hψα (ti )|O(x,
Identica-se a susceptibilidade geralizada
χ(xt; x0 t0 )
Z
d4 x χ(xt; x0 t0 )f (x0 , t0 ).
(B.7)
como o propagador retartado, ou função
de Green retardada [64, 65].
i
b t), O(x
b 0 , t0 )]|ψα (ti )i
χ(xt; x0 t0 ) ≡ − θ(t − t0 )hψα (ti )|[O(x,
~
(B.8)
B.2 Temperatura nita
Qualquer sistema físico em equilibrio termodinâmico encontra-se a uma temperatura
nita
T.
Pode ser mostrado que há uma maneira simples e fácil de adaptar aos métodos a
temperatura zero, os efeitos produzidos pelas utuações térmicas, isto pode ser feito quando
considera-se que todo o sistema está em equilibrio com um banho térmico a temperatura
e com potencial químico
µ
T
zero, portanto, o sistema pode ser analisado no ensemble grande
canônico. Usando a matriz densidade de Gibbs
ρG
e a grande função de partição
ZG ,
que são
denidas como [6466]:
b
ρbG ≡ e−β H ;
onde
b
β = 1/(kT ), H
ZG = T r{b
ρG } = e−βΩG ,
é o Hamiltoniano,
ZG
é grande função de partição e
(B.9)
ΩG
o grande
potencial. A média térmica no ensemble grande canônico de um observável físico local
é dado por
b t)i =
hO(x,
b t)b
T r{O(x,
ρG }
.
T r{b
ρG }
b t)
O(x,
(B.10)
71
Por outro lado, temos
autovalores
Eλ .
{|λi}
um conjunto completo de autoestados do Hamiltoniano
b
H
com
Portanto, dene-se a média térmica do sistema como
b t)i =
hO(x,
P
b
O(x, t)|λie
λ hλ|P
−βEλ
λe
−βEλ
.
(B.11)
Assim por exemplo para calcular a média térmica de um observável, deve-se primeiro conhecer
o valor esperado do observável de acordo à mecânica quântica e depois calcular a média
térmica. Para o resultado (B.8) temos que a média térmica é
i
b
b 0 )]i.
O(x
χµν (x − x0 ) = − θ(x0 − x00 )h[O(x),
~
(B.12)
B.3 Função de Green retardada e tensor condutividade elétrica
Considera-se como exemplo o acoplamento entre um campo elétrico externo e a densidade de corrente local num sistema de partículas descrito pelo Hamiltoniano [6570].
bT = H
b +H
b ext (A),
H
onde:
R
b ext = d3 x0 ĵ(x0 , t0 )·A(x0 , t0 ).
H
(B.13)
Tem-se o sistema num estado inicial
|ψα (ti )i.
Depois ser
ligado o campo externo, o sistema evolui no tempo ate um estado nal. Pode-se determinar a
variação no valor esperado da densidade de corrente usando o resultado (B.4), que neste caso
especíco pode ser expressado como
1
δhĵn (x)i =
~
Z
R
d4 x0 Cnm
(x − x0 )Am (x0 );
(m, n = 1, 2, 3)
(B.14)
onde
R
Cnm
(x − x0 ) = −iθ(x0 − x00 )h[ĵn (x), ĵm (x0 )]i
(B.15)
é a função de Green térmica retardada, ou a função de correlação corrente-corrente. Portanto,
pode-se indicar que o resultado (B.15) mede a variação da corrente, em relação à corrente na
representação de interação, deve-se mencionar também que o resultado satisfaz o princípio
de causalidade.
Conclui-se então que
δhĵn (x)i
em (B.14) representa sicamente a corrente
induzida sobre o sistema
δhĵn (x)i = hĵn (x)iind .
72
Por outro lado, tem-se o campo elétrico externo representado como
Eext = −∂0 A.
Além disso,
a transformada de Fourier do potencial vetor
Z
Am (x) =
d4 k ikx
e Am (k),
(2π)4
Z
e
Am (k) =
0
dx0 e−ikx Am (x0 ).
(B.16)
Após substituir a transformada de Fourier em (B.14) e fazer as simplicações, obtém-se
hĵn (p, ω)iind =
1 R
ext
Cnm (p, ω)Em
(p, ω).
i~ω
(B.17)
O resultado (B.17) determina a resposta global do sistema devido ao campo elétrico externo
aplicado. Portanto conclui-se que o tensor condutividade elétrica é [70]
σnm (p, ω) =
1 R
C (p, ω).
iω~ nm
(B.18)
APÊNDICE C
Hidrodinâmica
No desenvolvimento do trabalho usa-se o limite hidrodinâmico como uma prova não
trivial da correspondência AdS/CFT à temperatura nita. Sabe-se que o comportamento a
grandes distâncias (número de onda pequeno) e baixas frequências, de qualquer teoria que
interage (a temperatura nita), pode ser descrito pela hidrodinâmica [16, 50, 51]. Este fato
é válido por uma intuição física que vem de nossa experiência com sistemas macroscópicos.
Devido a sua natureza universal, a hidrodinâmica impõe requerimentos precisos na forma das
funções de correlação de correntes conservadas no espaço-tempo de Minkowski [51].
C.1 Funções de correlação e o modo de difusão
Para observar o requerimento imposto pela hidrodinâmica sobre as funções de correlação térmica, considera-se alguma teoria à temperatura nita na qual a carga global é
conservada. A corrente é
j µ,
onde
j0
é a densidade de carga espacial. O potencial químico
é considerado zero, portanto, no equilibrio térmico tem-se
hj 0 i = 0
(valor global médio da
carga é zero). Como foi estudado no apêndice B, a resposta linear a uma perturbação externa
é medida usando a função de correlação (ou função de Green térmica retardada)
Z
R
(ω, ~k)
Cµν
= −i
dx4 e−ikx θ(t)h[ĵµ (x), ĵν (0)]i,
(C.1)
esta função representa a resposta ao acoplamento entre uma perturbação externa e a corrente.
Quando se tem o caso no qual
ω
e
~k
são pequenos comparados com a temperatura, a per-
turbação externa propaga-se lentamente no espaço-tempo [16, 51], portanto, uma descrição
hidrodinâmica macroscópica do sistema é possível. Se a corrente no sistema é conservada, a
74
equação de conservação da corrente é satisfeita,
∂µ j µ = 0,
com densidade de corrente dada por
P µν
é o projetor denido como
(C.2)
j µ = ρuµ − DP µν ∂ν ρ,
P µν = η µν + uµ uν ,
referencial de repouso do uido temos
onde
ρ
é a densidade de carga e
tal que satisfaz a condição
uµ = (1, 0, 0, 0),
P µν uµ = 0.
No
a equação (C.2) ca na forma
∂t ρ − D∇2 ρ = 0.
(C.3)
A equação (C.3) corresponde a um modo superamortecido. Além disso, a relação de dispersão
pode ser determinado introduzindo a transformada de Fourier na densidade de carga
Z
ρ(t, ~x) =
d4 k −iωt+i~k·~x
e
ρ̃(ω, ~k).
(2π)4
Após ser simplicada, a relação de dispersão é
correlação retardada de
j0
ω = −iD|~k|2 ,
(C.4)
o que implica que a função de
tem que ter um polo no plano complexo
ω.
C.2 Exemplo: difusão de campo magnético em plasmas Astrofísicos
No seguinte exemplo mostra-se como o polo da função de Green está relacionado à relação de dispersão e ao coeciente de difusão. Antes de começar com a análise considereram-se
alguns aspectos de um plasma. Plasma astrofísico é um gás que contém um número sucientemente grande de partículas livres carregadas (elétrons e íons), cuja dinâmica é governada
pelas forças electromagnéticas. Além disso, precisa ter pelo menos
1% de ionização [71,72].
Ná
análise a seguir, só se considera a parte eletrônica do plasma, por isso pode ser caracterizado
localmente por uma densidade
ne , uma velocidade média ~ve
e uma distribuição de velocidades
1/2
3kTe
Maxwelliana, que é caracterizada por ter uma velocidade de dispersão vth =
, porme
tanto, a pressão dos elétrons é
pe = ne kTe .
Então, o movimento dos elétrons do plasma está
governado pela equação.
ne me
onde,
P~ei
d~ve
~ e + ne me~g − ne e(E
~ + ~ve × B)
~ + P~ei ,
= −∇p
dt
(C.5)
é a taxa de transferência de momento dos íons para os elétrons por colisões elásticas.
Para simplicar o problema, considera-se a massa dos elétrons desprezível em comparação à
massa dos íons (me
mi ).
Desconsiderar os termos que contêm
me
em (C.5) é equivalente a
75
indicar que, em qualquer instante, todas as forças estão em equilibrio, portanto, ca-se com
uma expressão para o campo elétrico
~ = −~ve × B
~ − 1 ∇p
~ e + 1 P~ei .
E
ene
ene
Uma expressão para
P~ei
(C.6)
pode ser determinada, supondo que o elétron ca em repouso após
uma colisão com um íon (no centro de massa do sistema e-íon)
me~ve + mi~vi
,
V~ =
me + mi
onde
~vi
(C.7)
é a velocidade média dos íons. Também deve-se considerar que cada elétron colide
νc = ni vth σei
vezes por segundo, onde
σei
é a seção de choque clássico, portanto, a força de
atrito por colisões e-íon, é
P~ei = ne ni vth σei me (~vi − ~ve ),
sendo
ni
a densidade dos íons [72].
Zeni~vi − ene~ve
(C.8)
Por outro lado, tem-se a densidade de corrente
e considerando a neutralidade da carga
J~ =
Zeni = ene , a equação (C.8) ca como
ne vth σei me ~
P~ei =
J.
Ze
(C.9)
η = vth σei me /e2
como a resistividade elétrica, obtém-
Após substituir (C.9) em (C.6) e denir
se uma expressão para o campo elétrico
~ = −~ve × B
~ − 1 ∇p
~ e + η J.
~
E
ene
Usando a lei de Faraday
~ = −∇
~ ×E
~,
∂t B
e a lei de Ampere
(C.10)
~ ×B
~,
µ0 J~ = ∇
a equação que
governa a difusão do campo magnético do plasma astrofísico é
~ =∇
~ × (~ve × B)
~ + η ∇2 B
~ − 1 ∇n
~ e × ∇p
~ e.
∂t B
µ0
en2e
Para simplicar o problema considera-se um caso no qual
~.
~ve k B
Além disso, se faz
(C.11)
~ e×
∇n
~ e /n2 = ~q(~x, t), este termo é conhecido como bateria de Biermann e é um gerador de campo
∇p
e
magnético [71]. Introduzindo estas simplicações em (C.11) temos a equação que governa a
difusão do campo magnético com fonte
~−
∂t B
~q(~x, t)
η 2~
1
∇ B = − ~q(~x, t),
µ0
e
(C.12)
76
fazendo
D = η/µ0 ,
o problema de Green equivalente é
1
∂t G(~x|~x0 ; t|τ ) − D∇2 G(~x|~x0 ; t|τ ) = − δ(~x − ~x0 )δ(t − τ ).
e
(C.13)
Introduzindo as transformadas de Fourier:
Z
d4 k −iωt+i~k·~x e ~
G(~x|~x0 ; t|τ ) =
e
G(ω, k),
(2π)4
Z
Z
d3 k i~k·(~x−~x0 )
dω −iω(t−τ )
δ(~x − ~x0 ) =
e
, δ(t − τ ) =
e
3
(2π)
2π
(C.14)
na equação (C.13), obtém-se a função de Green:
iωτ −i~k·~
x0
e ~k) = e
.
G(ω,
e iω − D|~k|2
(C.15)
O resultado anterior mostra que a função de Green tem um polo no plano complexo da
frequência determinado por
iω − D|~k|2 = 0,
onde D é o coeciente de difusão (transporte) do
campo magnético. Portanto, para determinar a solução geral da equação de difusão (C.12)
precisa-se determinar a função
G(~x|~x0 ; t|τ ),
que se obtém substituindo (C.15) em (C.14).
Além disso, para que a solução seja causal, adiciona-se a função degrau de Heaviside
H(t − τ )
|~
x−~
x0 |2
G(~x|~x0 ; t|τ ) =
H(t − τ )e− 4D(t−τ )
e [4πD(t − τ )]3/2
.
(C.16)
Finalmente, a solução geral é
~ x, t) =
B(~
1
e [4πD]3/2
Z
|~
x−~
x |2
0
~ e (~x0 , τ ) × ∇p
~ e (~x0 , τ )
H(t − τ )e− 4D(t−τ ) ∇n
d3~x0 dτ
(t − τ )3/2
n2e (~x0 , τ )
(C.17)
Resultado que permite determinar a evolução do campo magnético no plasma, propagando-se
no espaço-tempo.
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