Acetatos - Área Científica de Computadores

Criptografia e Segurança
das Comunicações
Álgebra abstracta
Prof RG Crespo
Criptografia e Segurança das Comunicações
Álgebra abstracta : 1/29
Álgebra - introdução
[Def]: Álgebra (do árabe “al-djebr”: reunião) é o ramo da
matemática que estuda os padrões nas operações sobre
objectos matemáticos.
Os objectos matemáticos classificam o tipo de álgebra:
– Álgebra elementar, estuda expressões algébricas e fórmulas sobre
inteiros, reais e complexos.
– Álgebra abstracta : estuda grupos, aneis e corpos
Nota1: para aprofundamento do tema consultar
D.S. Dummit and R.M. Foote, Abstract Algebra, John Wiley &Sons,
3rd edition, 2004.
Nota2: informações extra, em Inglês, disponíveis em
http://comp.ist.utl.pt/pdis-srm
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Criptografia e Segurança das Comunicações
Álgebra abstracta : 2/29
Grupos (1)
[Def]: Um grupo é o quádruplo (G,1, -1,•), em que:
– G é o conjunto portador (“carrier”), contendo todos os elementos
– 1∈G é o elemento identidade
– -1 : G → G é uma função inversa
– • : G × G → G é função denominada operador de grupo
O grupo deve satisfazer quatro axiomas:
[A1] A operação • é fechada, i.e., a•b∈G para todos a,b∈G
[A2] A operação • é associativa, i.e., a•(b•c) = (a•b) •c para todos a,b,c∈G
[A3] a•1 = 1•a = a para todos a∈G
[A4] Cada elemento a∈G tem um inverso, a-1, tal que a•a-1 = a-1•a = 1.
Nota: os grupos são aplicados em áreas científicas distintas, tais como física,
cristolografia e criptografia.
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Criptografia e Segurança das Comunicações
Álgebra abstracta : 3/29
Grupos (2)
Ex1: n é um grupo aditivo (“-1” e ”•” são negação e soma módulo n).
Ex2: (/n)x é um grupo multiplicativo, com o grupo portador formado
pelos co-primos de n e produto módulo n.
Ex2: Sn é o grupo simétrico, em que
– Conjunto portador definido em ciclo por todas as permutações de {1,…,n}
Ex: em (1,2,3) tem-se 12, 23 e 31.
– Operação de grupo, σ1•σ2 , definido pela produto de permutações.
Ex: (1,3,2)•(1,3,2)= 132, 321, 213 ∴ (1,2,3)
– Identidade (1) não altera ordem (nota: se no ciclo não for indicado o
número, este não e’ alterado)
– Inverso definido por troca das linhas do ciclo
Ex: (1,2,3)-1 = 21, 32 e 13 ∴ (1,3,2)
Nota: (Sn,•) foi o grupo estudado por Évariste Galois, matemático francês18111832, para verificar como as raízes de um polinómio se relacionam entre si.
Faleceu aos 20 anos de idade num duelo.
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Álgebra abstracta : 4/29
Grupos (3)
Curiosidade, não faz parte da avaliação
Nota: Num grupo aditivo
– Operador de grupo, soma, é representado por +
– Identidade representado por 0
– Inversão representada pelo negação
A subtracção, -: G × G → G é definida por a-b = a+(-b)
[Def]: Um grupo é abeliano, ou comutativo, se for satisfeito
o axioma
[A5] A operação • é comutativa, i.e., a•b = b•a para todos a,b∈G
Ex: GLn()-(matrizes × invertíveis, matriz identidade,
matriz inversa, produto matrizes) é grupo não abeliano.
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Álgebra abstracta : 5/29
Grupos (4)
[Def]: Um grupo diz-se cíclico, se existir um elemento g
(denominado gerador) tal que, para qualquer a, existe um
valor inteiro n que satisfaz a propriedade a = g • g • … • g
(n vezes)
Exemplo 4: 7 = ({0,1,2,3,4,5,6},0,-1,soma módulo 7} é um
grupo cíclico.
– 1-1=6, 2-1=5, 3-1=4 (inverso dos restantes elementos facilmente
calculado porque a função de grupo é comutativa)
– 1 é o gerador (ex: 4=1+1+1+1)
Exemplo 5: ( /9)x = ({1,2,4,5,7,8},1,-1,produto módulo 9}
é um grupo cíclico
– 2-1=5, 4-1=7, 8-1=8
– 2 é gerador, mas não 7
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Álgebra abstracta : 6/29
Grupos (5)
Curiosidade, não faz parte da avaliação
[Def]: Seja (/p)x, com p primo. Um valor 0<a<p é raíz
primitiva de p, sse o menor m tal que am mod p=1 é igual
a p-1.
a a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
Examplo: Para p=13,
as raízes primitivas
são {2,6,7,11}
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Álgebra abstracta : 7/29
Grupos (6)
Curiosidade, não faz parte da avaliação
•
A determinação de 0<a<p ser raíz primitiva por “força
bruta” é impraticável para p elevado.
1. Pelo pequeno teorema de Fermat, ap-1=1 mod p.
2. Factorizar p-1=p1n. p2m . . . Piz
3. a é raíz primitiva se para todos os partes de factore pi,pj,
api*pj≠1 mod p
Ex: 2 é raíz primitiva de 30491?
– 30490 = 2.5.3049
– 22*5≠1 mod 30491, 22*3049≠1 mod 30491, 25*3049≠1 mod 30491
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Álgebra abstracta : 8/29
Aneis (1)
[Def]: Um anel (”ring”) é um quíntuplo (R,1, -1, +,*) em que
(R,1,-1,+) é um grupo abeliano e * satisfaz 3 axiomas:
[M1] A operação * é fechada, i.e., para todos a,b∈G tem-se a*b ∈G
[M2] A operação * é associativa, i.e., a*(b*c) = (a*b)*c para todos a,b,c∈R
[M3] A operação * é distributiva sobre +, i.e., a*(b+c) = (a*b)+(a*c) para
todos a,b,c∈R
Ex: O conjunto M={0,1,…,M-1} forma um anel de inteiros
módulo M com identidade 0 e operadores -1, +,* módulo
M.
Nota: nos aneis a soma, subtracção e multiplicação são feitas
dentro do portador.
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Álgebra abstracta : 9/29
Aneis (2)
[Def]: O anel é comutativo se for satisfeito o axioma
[M4] A operação * é comutativa, i.e., a*b = b*a para todos a,b∈R
[Def]: Um domínio integral -”integral domain” é um anel
comutativo (R,+,*) que satisfaz 2 axiomas:
[M5] Existem elemento identidade 1∈R≠0, tal que a*1 = 1*a = a para todos
a∈R
[M6] Se a*b =0, então a=0 ou b=0 para todos a,b,c∈R
Ex1: (,+,*) é um exemplo de um domínio integral.
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Álgebra abstracta : 10/29
Corpos (1)
[Def]: Um corpo-”field” é séptuplo (F,0,1,-,-1,+,*) em que:
– (F, 0, -, +) é um grupo abeliano
– (F\{0}, 1, -1, *) é um grupo abeliano
Os grupos devem satisfazer os axiomas A1-M6, e
[F1] para todos a≠0∈F, existe a-1 ∈F tal que a*a-1= 1
A divisão, /: F × F → F é definida por a/b = a*(b)-1
Exemplos de corpos: , Nota: nos corpos a soma, subtracção, multiplicação e divisão
são feitas dentro do portador.
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Álgebra abstracta : 11/29
Corpos (2)
Teorema: Para cada pn, p primo, existe um único corpo finito
de dimensão p (a menos de um isomorfismo1),
denominado corpo Galois, GF.
• Definição: A característica de um corpo finito, char(F), é
o menor inteiro ν>0 tal que 1+1+…+1 (ν vezes)=0.
Se não existir o inteiro ν, então char(F)=0.
Exemplos:
– A característica do corpo Galois GF(νn) é ν
– A característica de Q é 0
1 função
bijectiva entre duas estruturas algébricas, que preserva propriedades (elementos
identidade e inverso, operações binárias)
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Álgebra abstracta : 12/29
Corpos (3)
Corpo
Anel
Grupo
+,0
*
1
/
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Álgebra abstracta : 13/29
Corpos (4)
3*2=6 mod 5=1
3*3-1=1
Exemplos de +,* em GF
GF(5)
GF(2)
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
+
0
1
2
3
4
* 0 1
0 0 0
1 0 1
GF(3)
+
0
1
2
0
0
1
2
1
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0
2
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1
Nota: não existem corpos GF(4),
GF(8),… Sendo gcd(2,2m)=2≠1,
nem todos os elementos Z2m
possuem inverso multiplicativo
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Álgebra abstracta : 14/29
Corpos (5)
• No corpo GF(νm), n>1, uma possível representação dos
membros é {0,…, ν−1}{0,…, ν−1}… {0,…, ν−1}
(m dígitos).
– Soma feita apenas dentro de cada posição, módulo ν.
– Produto feito matricialmente, módulo polinómio primitivo gerador
de GF(νm)
Exemplo GF(22)
• 10+11 = (1+1)mod2(0+1)mod 2 = 01
+
00
01
10
11
00
00
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10
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+
0
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2
3
0
0
1
2
3
1
1
0
3
2
2
2
3
0
1
Alterados membros (até
podiam ser 0,1,A,B)
3
3
2
1
0
*
00
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10
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Corpos (6)
– Qual o resultado de 2*2 em GF(22)? O polinómio primitivo gerador de
GF(22) é x2+x+1.
2*2 = x*x = x2. Como x2 = (x2+x+1)*1+(x+1), tem-se 2*2=3 em GF(22)
dividendo
divisor
resto
quociente
Representação polinomial
– Qual o resultado de 3*3 em GF(22)?
3*3 = (x+1)*(x+1)=(x2+2x+1) mod 2 = x2+1.
Como x2+1 = (x2+x+1)*1+(x), tem-se 3*3=2
Nota: Cifra AES usa aritmética no corpo GF(28), com polinómio
primitivo x8+x4+x3+x+1
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Álgebra abstracta : 16/29
Polinómios (1)
[Def]: Um polinómio de um indeterminado x sobre um anel
Ré uma expressão na forma
f(x) = anxn + ... + a2x2 + a1x1 + a0
em que ai∈R, n≥0
– ai xi é designado termo, sendo ai o coeficiente.
– Um polinómio com dois termos é designado binómio e com três
termos trinómio.
– O maior m, para o qual am ≠ 0 é designado grau do polinómio
(inteiro qualquer).
Nota: o indeterminado x não é membro de R, nem x2, x3, ...
x é apenas "marcador" de adição e de multiplicação.
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Álgebra abstracta : 17/29
Polinómios (2)
Um polinómio pode ser representado vectorialmente pelos
seus (coeficientes) ou [expoentes de coeficientes não
nulos].
Exemplo: x2+1=(1,0,1)=[2,0]
Teorema: O conjunto de todos os polinómios de grau até m-1
(inclusivé), sobre p, é um isomorfismo de GF(pm).
Exemplo: Para 2, o número de polinómios de grau até 2 é
igual a 23=8. Os polinómios são:
– (0,0,0) = 0, (0,0,1) = 1
– (0,1,0) = x, (0,1,1) = x+1
– (1,0,0) = x2, (1,0,1) = x2+1, (1,1,0) = x2+x , (1,1,1) = x2+x+1
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Álgebra abstracta : 18/29
Polinómios (3)
A. Soma de polinómios
Basta simplesmente somar os coeficientes, módulo Zp.
Ex: Sejam polinómios sobre Z2 f(x)=x3+x+1, g(x)=x2+x
f(x)+g(x) = (x3+x+1) + (x2+x) mod 2 =
(x3 + x2 + 2x + 1) mod 2 =
x 3 + x2 + 1
Nota: Em Z2, a soma e a subtracção são iguais
(frequentemente representadas por XOR - ⊕)
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Álgebra abstracta : 19/29
Polinómios (4)
B. Divisão de polinómios
Semelhante à divisão de inteiros
– Grau do termo do quociente: diferença entre grau do dividendo e
do divisor
– Subtrair ao dividendo, módulo Zp, produto do termo e divisor.
x5+x4
+x+1
x2+1
Divisor
x5
+x3
x3+x2+x+1
x4+x3
+x+1
Dividendo
x4
+x2
x3+x2+x+1
Quociente
-x3
-x
5
4
x +x +x+1=
+x2 +1
3
2
2
-x2 -1
(x +x +x+1)*(x +1) +0
0
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Resto
Álgebra abstracta : 20/29
Polinómios (5)
• Multiplicar algebricamente dois polinómios de grau n,m resulta num
polinómio de grau n+m.
• Problema: a multiplicação de dois polinómios de GF(pm), deve
continuar a ser um polinómio de GF(pm). Solução: reduzir resultado
C.Produto de polinómios
Multiplicar os coeficientes, módulo Zp, e reduzir o
polinómio de outro primitivo de grau m+1.
Ex: x*(x+1) = 1 em GF(22)
x2+x
x2+x+
1
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x2+x+1
1
Definição mais à frente
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Álgebra abstracta : 21/29
Polinómios (6)
Curiosidade, não faz parte da avaliação
• A multiplicação em AES é mais eficiente
– x8 mod (x8+x4+x3+x+1) = x4+x3+x+1
– xtime(P): Multiplicar polinómio P por x
1. Incrementar potência de todos os termos de P
2. Se existir um termo x8, retirá-lo e adicionar x4+x3+x+1
Exemplo: com P=x6+x4+x2+x+1=[6,4,2,1,0], pretende-se
calcular P*x, P*x2, P*x4 e P*x8
–
–
–
–
xtime([6,4,2,1,0]) = [7,5,3,2,1]
xtime([7,5,3,2,1])=[8,6,4,3,2]=[6,4,3,2]+[4,3,1,0] = [6,2,1,0]
xtime([6,2,1,0]) = [7,3,2,1]
xtime([7,3,2,1])=[8,4,3,2]=[4,3,2] +[4,3,1,0] = [2,1,0]
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Álgebra abstracta : 22/29
Polinómios (7)
Curiosidade, não faz parte da avaliação
– Multiplicação de dois polinómios P*Q
1. Calcular P*x, P*x2, P*x4 e P*x8
2. Somar todos os P*xi, com i potências do polinómio Q
Exemplo: Calcular produto P=[6,4,2,1,0] e Q=[4,1,0]
[6,4,2,1,0]*[4,1,0] =
[6,4,2,1,0]*x4 + [6,4,2,1,0]*x + [6,4,2,1,0] =
[7,3,2,1] + [7,5,3,2,1] + [6,4,2,1,0] =
[7,3,2,1] + [7,6,5,4,3,0]=
[6,5,4,2,1,0]
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Álgebra abstracta : 23/29
Polinómios (8)
Definição: um polinómio é irredutível, sse não puder ser
factorizado módulo ZM noutros polinómios de grau ≥1.
Ex:
[2,1,0] é irredutível
[2,0] não é irredutível:
(x+1)(x+1) = x2 + 2x + 1 ≡ x2 + 1 mod 2
Grau
Polinómios irredutíveis
1
[1,0], [1]
2
[2,1,0]
3
[3,1,0]
4
[4,3,2,1,0], [4,1,0]
5
[5,4,2,1,0], [5,4,3,2,0],[5,2,0]
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Nota: outros polinómios são
determinados a partir destes
Trinómio m=3, k=1
Trinómio m=4, k=1
Trinómio m=5, k=2
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Álgebra abstracta : 24/29
Polinómios (9)
• Se um polinómio de grau m não for irredutível, então é
produto de dois polinómios de graus a,b tal que m=a+b.
Logo, para verificar basta confirmar se é divisível por
polinómios irredutíveis até grau m/2
Exemplo: x6+x2+1 é irredutível?
–
–
–
–
x6+x2+1= (x).(x5) + (x2+1)
x6+x2+1= (x+1).(x5+x4+x3+x2) + (1)
x6+x2+1= (x2+x+1).(x4+x3+x) + (1+x)
x6+x2+1= (x3+x+1).(x3+x+1) + (0)
Falhou!
Falhou!
Falhou!
Acertou!!
Logo, x6+x2+1 não é irredutível!!
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Álgebra abstracta : 25/29
Polinómios (10)
Curiosidade, não faz parte da avaliação
Teoremas:
– Se um trinómio xm+xk+1, 1<k<m, é primitivo sobre Z2,
então xm+xm-k+1 também é.
Ex: [3,1,0] é primitivo, logo [3,3-1,0]=[3,2,0] também é.
– Se [a,b,c,d,0] é primitivo sobre Z2, então [a,a-d,a-c,ab,0] também é primitivo.
Ex: [32,7,6,2,0] é polinómio primitivo, logo [32,32-2,32-6,32-7,0]
= [32,30,26,25,0] também é primitivo.
Nota: O trinómio irredutível de maior grau conhecido, identificado em
Agosto 2002, é o Bibury x6_972_593 + x3_037_958 + 1
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Álgebra abstracta : 26/29
Polinómios (11)
[Def]: um polinómio f(x)∈GF(q) irredutível de grau m é
primitivo, se só divide xn-1 para n=qm-1.
Os polinómios primitivos são os que geram as sequências
de periodos mais longos.
Ex: x3+x+1 é primitivo.
x3+x+1
x7-1
7
5
4
x +x +x
x4+x2+x+1
x5+x4+1
x5+x3+x2
x4+x3+x2+1
x4
+x2+x
x3+x+1
x3+x+1
0
Fazendo n=23-1=7
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Álgebra abstracta : 27/29
Polinómios (12)
• O polinómio f(x) primitivo é gerador de GF*(pm) =
{xi mod f(x)}
• Os elementos não nulos são calculados por xi mod f(x)
x3+x+1
x5
x5+x3+x2
x2+1
3
2
x +x
x3
+x+1
x2+x+1
i
xi mod (x3+x+1)
Vector
0
1
(0,0,1)
1
x
(0,1,0)
2
x2
(1,0,0)
3
x +1
(0,1,1)
4
x2 + x
(1,1,0)
5
x2 + x + 1
(1,1,1)
6
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x2
+1
(1,0,1)
Álgebra abstracta : 28/29
Polinómios (13)
Curiosidade, não faz parte da avaliação
• O número de polinómios primitivos de grau n é dado por
λ(n)=φ(2n-1)/n
n
λ(n)
n
λ(n)
n
λ(n)
Grau
1
1
9
48
17
7710
1
[1,0]
2
1
10
60
18
8064
2
[2,1,0]
3
2
11
176
19
27594
3
[3,1,0], [3,2,0]
4
2
12
144
20
24000
4
[4,3,0], [4,1,0]
5
6
13
630
21
84672
5
6
6
14
756
22
120032
[5,4,3,2,0], [5,4,3,1,0], [5,4,2,1,0],
[5,3,0], [5,3,2,1,0], [5,2,0]
7
18
15
1800
23
356960
8
16
16
2048
24
276480
Prof RG Crespo
Polinómios primitivos
Criptografia e Segurança das Comunicações
Álgebra abstracta : 29/29