Aula 6

Aula 6
Nesta aula, iremos iniciar o estudo sobre os
invariantes adiabáticos, finalizando o capítulo 2.
Também iniciaremos o estudo do capítulo 3,
onde discutiremos algumas propriedades magnéticas
e elétricas do plasma como fluido.
2.4 Invariantes Adiabáticos
Em mecânica clássica, vimos que se um sistema
tem movimento periódico, a integral de ação durante
um período completo deve ser uma constante do
movimento, isto é, deve ser conservada.
Mas se o sistema sofrer alguma perturbação
durante um curto intervalo de tempo (menor que o
período de movimento), de maneira que seu
movimento passe a ser “quase periódico”, então em
conseqüência a integral de ação é também “quase
conservada”, isto é, torna-se um invariante
adiabático.
Os invariantes adiabáticos são de grande
importância em física de plasma, pois permitem obter
respostas simples de complicados movimentos que
uma única partícula pode executar.
Iremos entender 3 tipos de invariântes
adiabáticos, cada um correspondendo a um
movimento periódico diferente.
Observação: A integral de ação em mecânica
clássica é expressa por
∫ pdq ,
onde p e q são momentum e
coordenada generalizada, respectivamente.
O primeiro invariante adiabático: Momento
Magnético µ.
Na aula 4, definimos a grandeza escalar µ e
r
também provamos sua invariância tanto para B não
r
uniforme quanto para B variando no tempo.
Agora iremos provar sua invariância, a partir da
integral de ação, onde o movimento periódico em
questão é o movimento ciclotrônico da partícula.
Se p = momentum angular da partícula em
órbita e dq = dθ, podemos calcular a integral de
ação, então
∫ pdq = ∫ mV
r d θ = mV ⊥ r⊥ 2π
Calcular!
⊥ ⊥
4π m
∴ ∫ pdq =
µ
q
2.4.1
Se a integral de ação é uma constante do
movimento, durante um período completo de giro da
partícula, então para que isso seja satisfeito,
necessariamente µ deve ser constante (segundo a
expressão 2.4.1), isto é, conservada.
Assumimos também que ω ω c << 1 , isto é, que
r
a freqüência de oscilação de B é muito menor que a
freqüência ciclotrônica da partícula, isto é, durante
um período de giro da partícula, garantimos que µ
r
varie menos com relação ao campo magnético B .
Para valores de ω ω c ≅ 1 , isto é, ω não é
pequeno quando comparado com ωc, a invariância de
µ pode ser violada.
A seguir, apresentamos alguns sistemas ou
situações (consultar o livro texto), onde a invariância
de µ pode ser violada, devido ao fato de que o
plasma, nestes sistemas pode sofrer aquecimento,
seja por evento colisional ou não.
• Espelho MagnéticoOscilante;
• Aquecimento Ciclotrônico;
• Cúspide Magnética.
O segundo invariante adiabático: Invariante
Longitudinal J.
Para uma única partícula confinada entre 2
espelhos magnéticos, espera-se um movimento
periódico de ida e volta entre os espelhos, com uma
certa freqüência.
A partir da integral de ação, podemos encontrar
uma nova constante do movimento, para este novo
movimento periódico de ida e volta.
No entanto, se existir algum tipo de deriva do
centro guia, eventualmente o movimento que ora era
periódico, não será perfeitamente periódico como
antes e então a constante do movimento passa a ser
um invariânte adiabático.
A figura abaixo, mostra um evento natural da
situação descrita acima, isto é, um única partícula
confinada entre 2 espelhos magnéticos e sujeita à
deriva dos seu centro guia
Movimento de uma única Partícula no Campo
Magnético Terrestre.
Se p = momentum da partícula em seu
movimento de ida e volta e dq = ds (elemento de
comprimento de uma dada linha de campo), então
podemos encontrar um segundo invariante
adiabático: o invariante longitudinal, definido para o
movimento de ida ou volta entre os pontos a e b de
reflexão sob uma mesma linha de campo magnético
Calcular!
b
J = ∫ V // ds = cons tan e
a
2.4.2
Para encontrar o resultado da expressão 2.4.2,
consultar o livro texto.
A figura abaixo, mostra uma partícula em
movimento oscilatório entre os pontos de reflexão a e
b sob uma mesma linha de campo magnético.
Movimento de ida ou volta entre os pontos de reflexão a
e b sob uma mesma Linha de Campo Magnético.
O resultado da expressão 2.4.2, permite afirmar
que o movimento de ida e volta da partícula em
órbita sob uma dada linha de campo magnético, deve
ocorrer unicamente sob a mesma linha de campo
magnético.
Portanto, no exemplo do movimento de uma
única partícula no campo magnético terrestre, se J
for um invariante adiabático, então o movimento de
ida e, após a reflexão, de volta, deve ocorrer sob a
mesma linha de campo magnético terrestre.
O terceiro
Magnético Φ.
invariante
adiabático:
Fluxo
Ainda referindo-se ao exemplo do movimento de
uma única partícula no campo magnético terrestre,
podemos encontrar um terceiro movimento periódico,
isto é, o movimento de órbita da partícula, devido à
deriva, em torno do planeta Terra.
Associado a este movimento periódico, podemos
encontrar uma nova constante do movimento: o
fluxo magnético através da área delimitada pela
órbita da partícula em torno da Terra.
Devido ao fato da não uniformidade do campo
magnético terrestre que passa através da área
delimitada pela órbita da partícula, a constante do
movimento, Φ que deve ser conservada, pode se
tornar, novamente um invariante adiabático.
Observação: As mesmas considerações acima,
podem ser utilizadas para determinar o fluxo
magnético, associado ao movimento periódico da
partícula em torno das linhas de campo magnético,
isto é
r r
2π m
2
Φ m = ∫ B ⋅ dS = B (π rL ) = 2 µ
q
d Φ m 2π m d µ
∴
= 2
=0
dt
q dt
2.4.3
3. O Plasma como Fluido
No capítulo anterior vimos que o movimento
isolado de partículas carregadas em campos elétrico
e magnético pode dar origem a um grande número de
fenômenos que em parte, são observados em plasmas
naturais e de laboratório.
No entanto num plasma, milhões de partículas
coexistem interagindo entre si e com campos elétricos
e magnéticos externamente aplicados. Também deve-
r
r
se computar o fato de que campos E e B internos
são criados pelas posições e movimentos das
partículas carregadas no plasma.
Para avaliar o efeito final da dinâmica das
r
partículas em campos E
r
B , isto é, o
e
comportamento “global” do plasma, um modelo
aproximado é utilizado: o modelo de fluidos, onde ao
invés de tratar o plasma como uma coleção de
partículas individuais, trata-o como uma coleção de
elementos de fluido.
Iremos confrontar a partir de agora, 2
importantes terias: a teoria eletromagnética e a teoria
de fluidos, para tentarmos compreender melhor, o
plasma como um fluido de partículas carregadas.
Começaremos com as equações de Maxwell do
eletromagnetismo clássico, pois permitem determinar
r
r
o comportamento de campos E e B gerados por
correntes ou distribuições localizadas de cargas no
plasma.
Considere um plasma com suas distribuições
localizadas de cargas e correntes, então no vácuo, as
equações de Maxwell que permitem-nos determinar
r
r
os campos E e B , em unidades do Sistema
Internacinal, são
r
∇ ⋅ D = ρ
r

∇ ⋅ B = 0
r
r&

∇ × E = − B
r r r&

∇ × H = J + D
Observações:
a) O plasma pode ser considerado como um
meio dielétrico, desta forma pode ocorrer
r
r
contribuições dos campos internos D e H (gerados
pelo próprio plasma de permeabilidade magnética µm
e constante dielétrica ε), devido à polarização e
magnetização do plasma;
b) A princípio, seria lógico tratar o plasma como
um meio magnético com permeabilidade magnética
µm (usamos o índice m para diferenciar a
permeabilidade magnética do primeiro invariante
adiabático µ).
Porém, diferentemente dos materiais magnéticos
(por exemplo, Ferrita ou Níquel), não encontraremos
r
r
uma relação linear entre M e B para os plasmas,
isto é
Para um materiais magnético qualquer, temos:
r
r
 M = χ m H
r ⇒M ∝B
r
(para
 B = µ m H
determinar esta expressão, consulte o livro texto ou
outra referência sobre materiais magnéticos)
Para os plasmas, temos:
mV⊥2
1
µ=
∝
2B
B (ver o capítulo 2 em
2.2 na expressão 2.2.56)
r
Então, se a magnetização M é soma das
contribuições do momento magnético de cada
partícula por unidade de volume, temos
1
M ∝
B
Justamente,
devido
3.1.1
a
esta
r diferença
r
marcante entre a proporcionalidade de M com B ,
nos 2 casos acima, não devemos considerar os
plasmas como um meio magnético;
c) Investigando o plasma como um material
dielétrico, podemos tentar encontrar uma expressão
para a constante dielétrica do mesmo, da mesma
maneira que é possível encontrar a constante
dielétrica para um material dielétrico qualquer, então
Para um materiais dielétricos qualquer, temos:
ε = 1 + 4πχ e (para determinar esta
expressão, consulte o livro texto ou outra referência
sobre materiais dielétricos)
Agora para os plasmas, considere o seguinte:
r
r
que o mesmo seja submetido a campos E e B
r
uniformes no espaço, mas E na direção x, varie
senoidalmente no tempo, isto é
r
E = E0 e iω t xˆ
Vimos que a velocidade de deriva do centro guia,
devido à variação temporal do campo elétrico é
r
r
1 dE
⇔ ω << ω c
Vp = ±
ω c B dt
capítulo 2 em 2.3 na expressão 2.3.5)
(ver
o
r
análise realizada para V p ,
A partir da
encontramos uma corrente, devido á separação das
cargas de sinais contrários, isto é
r
r
ρ dE
Jp = 2
B dt (ver o capítulo 2 em
2.3 na expressão 2.3.6)
Agora aplicando a equação de Àmpere-Maxwell
no vácuo (no Sistema Internacional de Unidades) e
considerando também uma “corrente externa de
r
partícula”, além da corrente de polarização J p , que
ioniza e aquece o gás , temos
r
r r
r
∂E
∇× B = J f + Jp +
∂t
r
r r  ρ
 ∂E
∴ ∇ × B = J f +  2 + 1
B
 ∂t
 ρ

⇔ ε =  2 + 1
B

3.1.2
O resultado acima, é a constante dielétrica para
r
movimentos transversais , isto é, ⊥ B .
A partir do expressão 3.1.2 para a constante
dielétrica do plasma, podemos concluir que os
campos elétricos das partículas do plasma pode
interferir nos campos externos aplicados.