Circuito Equivalente de Thevenin e Norton

Circuito Equivalente de Thevenin e Norton
1. Introdução
Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão, corrente e potência
em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, não existe a necessidade de
determinação das tensões e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, os
Teoremas de Thevenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalente
simples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar a
resolução.
2. Circuito Equivalente de Thevenin
Considerando um circuito linear, pode-se representá-lo a partir de dois terminais por meio de
uma fonte de tensão independente em série com uma resistência, conforme ilustrado na
Figura 1. O valor da tensão da fonte é a tensão obtida nos terminais a-b quando estes estão
em circuito aberto (Tensão de Thevenin, Vab = VTh ) e a Resistência de Thevenin( R Th ) é a
resistência equivalente obtida a partir dos terminas a-b, com todas as fonte independentes
consideradas nulas.
a
a
R Th
Circuito Linear
e Invariante
VTh
b
b
(a)
(b)
Figura 1 - (a) circuito linear invariante, (b) circuito equivalente de Thevenin
3. Circuito Equivalente de Norton
Circuitos lineares podem também ser representados a partir de dois terminais por meio de
uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência, conforme mostrado na Figura 2. O
valor da corrente da fonte é a corrente que circula do terminal a para b quando estes são
curto-circuitados (Corrente de Norton, IN ). A Resistência de Norton ( RN ) é aquela obtida dos
terminais a-b quando todas as fontes são anuladas. Considerando que a resistência a partir de
dois terminais só possui um valor, a resistência dos circuitos de Thevenin e Norton são,
portanto, idênticas, bastando que esta seja determinada para um dos circuitos equivalentes
( RTh = RN ).
4. Resistência dos Circuitos Equivalentes de Thevenin e Norton
A determinação da resistência dos circuitos equivalentes deve ser feita da forma já vista
anteriormente, sendo que os seguintes casos devem ser diferenciados:
Caso 1: o circuito contém somente fontes independentes. As fontes são anuladas e a
resistência é calculada a partir dos terminais de onde se deseja obter o circuito equivalente.
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a
Circuito Linear
e Invariante
a
IN
R Th
b
b
(a)
(b)
Figura 1 - (a) circuito linear invariante, (b) circuito equivalente de Thevenin
Para tanto devem ser utilizadas as técnicas de associação série e paralela e também as
transformações estrela-triângulo.
Caso 2: o circuito contém fontes independentes e fontes controladas. A resistência
equivalente é obtida a partir da corrente de curto-circuito (Corrente de Norton, IN ) e da
tensão de circuito aberto (Tensão de Thevenin, VTh ), a partir da seguinte relação:
R Th = RN =
VTh
IN
(1)
Caso 3: o circuito contém, além de resistências, somente fontes controladas. Neste caso,
a resistência dos circuitos equivalentes deve ser determinada aplicando-se uma fonte de
corrente aos terminais a-b e determinando-se a tensão. Alternativamente, pode-se também
aplicar uma fonte de tensão e determinando-se a corrente. A resistência será determinada
dividindo-se a tensão pela corrente. Deve-se atentar também para o fato de que quando o
circuito contiver fontes controladas, a resistência equivalente pode assumir valores
negativos, significando que o circuito está fornecendo potência. Fontes dependentes são
também utilizadas para simular o efeito de resistências negativas. Finalmente, o
procedimento delineado para caso 3 é geral e pode ser empregado também nos casos 1 e
2, tomando-se o cuidado de anular as fontes independentes.
5. Exemplo de Aplicação
Deseja-se determinar o circuito equivalente de Norton e Thevenin para o circuito mostrado na
Figura 3b. O exemplo recai no caso 2 citado anteriormente e os circuitos equivalentes serão
determinados a partir da tensão de Thevenin e da corrente de Norton. A análise pode ser
simplificada transformando-se a fonte de corrente de 10 A em paralelo com a resistência de
6 Ω para uma fonte de tensão de 60 V em série com a resistência de 6 Ω . conforme
mostrado na figura 3b. A tensão de Thevenin é a tensão com os terminais a-b em circuito
aberto, podendo ser calculada pela Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) para a única malha do
circuito, cuja corrente é i0 . A equação de malha do circuito será, portanto (vide Figura 3b):
60 = 6 ⋅ i0 + 2 ⋅ v x + v x = 6 ⋅ i0 + 2 ⋅ (2 ⋅ i0 ) + 2 ⋅ i0 = 12 ⋅ i0
Da última equação resulta:
i0 =
60
=5A
12
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2 ⋅ vx
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a
+ _
+
10
2Ω
vx
6Ω
b
(a)
2 ⋅ vx
6Ω
a
+ _
+
I0
vx
60 V
+
2 Ω VTh
b
(b)
6Ω
2 ⋅ vx
a
+ _
+
IN
2Ω
vx
60 V
-
-
(c)
b
Figura 3 - Determinação dos circuitos equivalentes de Thevenin e Norton
Assim, a tensão de Thevenin será:
VTh = vab = 2 ⋅ i0 = 10 V
A corrente de Norton será obtida colocando-se um curto-circuito nos terminais a-b e
determinando-se a corrente que circula do terminal a para o b, conforme indicado na Figura
3c. Neste caso a corrente que circula no resistor de 2 Ω na saída é zero, pois o mesmo
encontra-se em curto-circuito. Desta forma, a tensão vx também será zero ( vx = 0 ). A
corrente de curto-circuito será dada pela equação de malha:
60 = 6 ⋅ iN + 2 ⋅ v x + v x = 6 ⋅ iN + 0 + 0
iN =
60
= 10 A
6
A resistência de Thevenin (idêntica à resistência de Norton) será dada pela relação:
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a
a
1Ω
1Ω
10
10 V
b
b
(b)
(a)
Figura 4 - Circuitos equivalentes de Thevenin (a) e Norton (b)
R Th = RN =
VTh 10
=
= 1Ω
IN
10
Os circuitos equivalentes de Thevenin e Norton são mostrados na Figura 4.
6. Exercício Proposto
a) Determine
os
circuitos
equivalentes de Thevenin e
Norton para o circuito mostrado
na Figura 5 a partir dos terminais
a-b. (Solução: VTh = 166,67 V ,
R Th = 10 Ω e IN = 16,67 A )
b) Determine a potência dissipada
em um resistor de 15 ohms
conectado ao circuito nos
terminais a-b.
3Ω
2Ω
+
50 V
vx
6Ω
a
v x ⋅ 0,5
+
10 Ω
b
Figura 5 - Circuitos equivalentes de Thevenin (a) e Norton (b)
c) Altere o valor da fonte de tensão para 100 V e determine novamente os circuitos
equivalentes de Thevenin e Norton.
d) Utilize um programa de simulação para conferir os resultados obtidos.
7. Exercícios Recomendados
A lista de exercícios abaixo foi selecionada da bibliografia da disciplina. Recomenda-se que
todos os exercícios sejam resolvidos.
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos.
Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 4. Problemas: 4.27, 4.30, 4.33, 4.34, 4.40,
4.41, 4.42, 4.44, 4.46, 4.50, 4.51.
James W. Nilsson e Susan A. Riedel (2003). Circuitos elétricos. LTC Editora. 621.3192
N712c (Central 15, Edição 1999): Capítulo 4. Problemas 4.62, 4.63, 4.64, 4.67,4.68.