Relatório do Trabalho de Laboratório nº 2 Osciladores Sinusoidais

Electrónica Geral
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Ano Lectivo 2013/2014
Prof. João Costa Freire
Relatório do Trabalho de Laboratório nº 2
Osciladores Sinusoidais RC
com Amplificadores Operacionais
elaborado em Maio de 2014
Grupo

Turma
2ª feira 15h
2ª feira 17h
2
X
5ª feira 16h30
Número
Nome
72727
Ana Raquel Pena de Aguiar
72767
Marta Maria Ramalho Ferreira
73614
Nuno Filipe Inácio Vaz Matias
Rubrica
Recebido........./..................../ 2014 às …….h…….m
por ……………………………………………….. (rúbrica)
Índice
I. Introdução...................................................................................................................... 3
Introdução teórica ......................................................................................................... 3
II. Estudo Analítico .......................................................................................................... 5
Pergunta 2.1 .................................................................................................................. 5
Pergunta 2.2 .................................................................................................................. 8
Pergunta 2.3 ................................................................................................................ 10
Pergunta 2.4 ................................................................................................................ 12
Pergunta 2.5 ................................................................................................................ 14
III. Trabalho de simulação .............................................................................................. 15
Pergunta 3.1.AC sweep ............................................................................................... 16
Pergunta 3.2.Transient................................................................................................ 26
a.1 ........................................................................................................................................ 27
a.2 ........................................................................................................................................ 29
a.3 ........................................................................................................................................ 32
b) ......................................................................................................................................... 35
IV. Parte experimental .................................................................................................... 38
Pergunta 4 .1 ............................................................................................................... 38
a).......................................................................................................................................... 38
b) ......................................................................................................................................... 41
Pergunta 4.2 ................................................................................................................ 42
a)
Oscilador com limitador a díodos ............................................................................... 42
b)
Circuito sem limitador ................................................................................................. 44
c)
Função de transferência do filtro RLC ......................................................................... 45
d)
Características do limitador a díodos .......................................................................... 48
V. Conclusões ................................................................................................................. 49
VI. Bibliografia............................................................................................................... 50
2
I. Introdução
Este trabalho de laboratório teve como objectivo o estudo de circuitos
osciladores, nomeadamente as suas condições e características de oscilação. Estes são
constituídos por circuitos RC com realimentação e um amplificador operacional (LM
348) como elemento de amplificação. Estudou-se também a influência de circuitos
limitadores de díodos (1N4154) como meios de limitar a tensão de saída do
amplificador. Em particular, os circuitos analisados são o oscilador em Ponte de Wien
(RC série- RC paralelo) e o oscilador com circuito ressonante (simulação de bobina).
De modo a analisar os circuitos de forma clara, o trabalho apresenta-se
convenientemente estruturado, sendo que primeiramente se efectuou a análise teórica
considerando o AO ideal. Foram obtidos valores que, numa primeira aproximação,
foram comparados com os obtidos através de uma simulação recorrendo ao software
CAD LTSpice. Finalmente procedeu-se à verificação experimental onde foi avaliada a
validade do modelo usado bem como o efeito de dispersão de fabrico dos
componentes. É de realçar que os comentários e conclusões particulares são
apresentados juntamente com os resultados, sendo que no final é proporcionada uma
conclusão geral do trabalho.
Introdução teórica
Os circuitos osciladores são capazes de gerar um sinal, onda sinusoidal ou
quadrada, sem a necessidade de aplicação de um sinal externo. As condições de
oscilação são dadas pelo critério de Barkhausen:
→ |𝐴𝛽| = 1
→ 𝜑𝐴𝛽 = 0
Onde A é o ganho do amplificador, β é um filtro que define a frequência de
oscilação f0 e φAβ é a fase da função de transferência Aβ. Na realidade |𝐴𝛽| > 1, isto é,
as oscilações são crescentes, sendo necessário um bloco λ não linear para reduzir o
ganho A e determinar a amplitude de saída.
Deste modo é possível considerar os circuitos osciladores como um conjunto de blocos,
cada um representante de cada parâmetro descrito em cima.
3
VO
VA
A
VO
Vβ
β
VA
Figura 1: Oscilador em Ponte de Wien (RC série - RC paralelo)
Na figura acima está representado o oscilador em Ponte de Wien, juntamente
com o seu esquema de blocos. O ganho A advém do ganho do circuito não inversor,
enquanto que o β é definido a partir dos circuitos RC série e RC paralelo, não havendo
qualquer circuito limitador.
Z
Vβ
V1
Vβ
A
Vβ
V2
V2
λ
β
V1
Figura 2: Oscilador com circuito ressonante (simulação de bobina)
Nesta figura apresenta-se o oscilador com circuito ressonante, em que a parte à
direita de Z é equivalente a uma bobina de indutância Leq. Este é então composto por
dois amplificadores operacionais que definem o ganho A, um filtro de 2ª ordem RLC
dependente de C, QR e Leq, e um circuito limitador de díodos λ, à saída do circuito
amplificador.
O módulo laboratorial TEE 13 usado na parte experimental, com esquema e
valores dos componentes, é representado em seguida:
4
Figura 3: Módulo Laboratorial TEE 13
II. Estudo Analítico
Pergunta 2.1
Neste primeiro problema tem-se como objetivo determinar as condições a que
devem obedecer os valores dos componentes dos circuitos em estudo, para que neles
se estabeleçam oscilações sinusoidais de amplitude constante. Por outras palavras
pretende-se calcular a relação entre os componentes de cada circuito de modo a que
Aβ=1.
Circuito (a)
Admitindo que o amplificador operacional (AO) é ideal, isto é:
i+ = i− = 0 , v+ = v−
o seu ganho A é dado por:
5
A=
VO
R2
=1+
VA
R1
e a função β do filtro por:
β=
VO
ZP
=
VA
ZS + ZP
pois VO e VA estão relacionados pela fórmula do divisor de tensão entre as impedâncias
ZP e ZS: ZP = R//C =
R/sC
1/sC+R
𝑅
= 1+𝑠𝑅𝐶
e ZS = R + 1/sC
Assim, a expressão para Aβ é:
Aβ = (1 +
R2
R/(1 + sRC)
)
R1 R + (1/sRC) + R/(1 + sRC)
Dividindo todos os termos por R/(1 + sRC), obtém-se:
Aβ = (1 +
Aβ = (1 +
R2
1
)
R1 3 + sRC + (1/sRC)
R2
1
)
R1 3 + j(ωRC − 1/ωRC)
Para que Aβ=1, Im{Aβ(jω)}=0 e o numerador (1+ R2/R1)=3 :
j(ωRC − 1/ωRC) = 0
→ ω = ω0 = 1/RC
(1 +
→
R2
)=3
R1
R2
=2
R1
6
Conclui-se que a frequência de oscilação, ω0, é igual a 1/RC e que o ganho A tem
de ser 3, ou seja, as resistências R1 e R2 devem ser tais que o seu quociente seja 2 para
que a oscilação tenha uma amplitude constante. No entanto é necessário um valor
maior que 2, pois deve ter-se Aβ > 1, para iniciar o processo de oscilação.
Circuito (b)
Considerando também o modelo do AO ideal e não saturado e atendendo ao
esquema da Figura 2, tem-se para o ganho:
A=
V1
R+R
=
=2
Vβ
R
tendo-se considerado um divisor de tensão entre as duas resistências mais à direita
com igual valor.
Para o cálculo de β considera-se o divisor de tensão entre a resistência QR e a
impedância Z, desenhada no circuito, em paralelo com o condensador ligado à massa.
Dado que a parte à direita de Z é equivalente a uma bobina de coeficiente de
autoindução Leq, então Z = sLeq.
β=
Vβ
sLeq //(1/sC)
Z//C
=
=
V2 QR + Z//C QR + (sLeq //(1/sC))
Desenvolvendo a expressão de β e multiplicando por A, obtém-se uma expressão
simplificada para Aβ:
Aβ = 2 ×
Leq
Leq
=2×
QRC(sLeq + 1/sC) + Leq
sLeq QRC + QRC/sC + Leq
Aβ =
2Leq
j(ωQRCLeq − QR/ω) + Leq
Neste caso, o valor mínimo para Aβ é 2, pois o circuito impõe à partida um ganho A=2.
Assim, a frequência de oscilação é dada por:
1 − ω2 Leq C = 0
7
→ ω = ω0 =
1
√CLeq
Conclui-se que, nas condições apresentadas, os componentes do circuito só
determinam a frequência de oscilação. Como Aβ >1, a condição de oscilação é
satisfeita, e esta será cada vez maior até atingir a amplitude de saturação do AO.
Teoricamente isto não acontece devido à presença dos díodos limitadores, que tornam
a amplitude de oscilação relativamente constante: Aβ ≈ 1.
Pergunta 2.2
Utilizando as expressões para a frequência de oscilação de cada circuito obtida na
pergunta anterior, calcula-se agora o seu valor, utilizando os valores dos componentes
da Figura 3:
R = 10 KΩ , C = 15nF
Circuito (a)
Viu-se no problema anterior que a expressão para a frequência de oscilação é dada por:
ω0 =
1
RC
Fazendo a conversão de radianos para Hertz tem-se
f0 =
ω0
1
=
≈ 1061Hz
2π 2πRC
→ f0 = 1.061 KHz
8
Circuito (b)
A frequência de oscilação, em radianos, para o oscilador com circuito ressonante é
ω0 =
1
√CLeq
Apresentam-se agora cálculos para a expressão de Leq:
Z
VC
I4
Vβ
Vβ
I3
I2
VO
I1
Figura 4: Cálculos para o oscilador com circuito ressonante (simulação de
bobina)
I1 =
Vβ
R
Admitindo o AO ideal, i.e, com as correntes de entrada nulas:
I1 = I2 = I3 =
Vβ − VC
= sC(Vβ − VC )
1/sC
↔ (Vβ − VC ) =
Vβ
sCR
A corrente I4 é dada por:
I4 =
Mas como I4 =
Vβ
Z
VC − Vβ
Vβ
=
R
sCR2
,
9
𝑍 = 𝑠𝐶𝑅 2 com 𝐿𝑒𝑞 = 𝐶𝑅 2
→ Leq = CR2 = 1.5H
A frequência em Hertz é então dada por:
f0 =
ω0
1
=
≈ 1061Hz
2π 2π√CLeq
→ f0 = 1.061 KHz
Pergunta 2.3
Pretende-se agora obter uma estimativa do factor de estabilidade da frequência de
oscilação para cada circuito. O factor de estabilidade da frequência Sf é o declive da
resposta de fase, φ(ω), no ponto ω0 multiplicado por este.
Sf = ω0
∂φ
|
∂ω 𝜔=ω0
Este fator avalia a estabilidade da frequência de oscilação quando a fase varia devido à
temperatura, polarização, humidade, etc. Assim, tem-se um grande valor de Sf quando
grandes variações na fase originam pequenas variações da frequência em torno da
frequência de oscilação.
Circuito (a)
Para determinar o fator de estabilidade, é necessário conhecer a expressão de φ e a sua
derivada parcial em ordem a ω:
ωRC − 1/ωRC
)
|φAβ | = arctan (
3
10
∂φ
RC
3RC
= ( +
)
|
∂ω ω=ω0
3
(3ωRC)2
1
|
=
2|
ωRC − 1/ωRC
1+(
)
3
2RC
3
ω=1/RC
Multiplicando este resultado por ω0 = 1/RC, obtém-se:
→ Sf =
2
3
Circuito (b)
A fase da função de transferência Aβ e a sua derivada parcial em ω é dada por:
|φAβ | = arctan (
QRLeq
∂φ
= (QRC +
|
)
∂ω ω=ω0
(ωLeq )2
ωQRCLeq − QR/ω
)
Leq
1
|
ωQRCLeq − QR/ω 2 |
1+(
)
L
eq
= 2QRC
ω=1/√CLeq
Assim, obter-se-ia a seguinte expressão:
Sf =
2QRC
√Leq C
= 20
Mas dado este ser um circuito ressonante de banda estreita tem-se Sf = 2Q, logo:
Q = 10
→ Sf = 20
11
Pergunta 2.4
Nesta pergunta, objetiva-se obter uma estimativa da amplitude das oscilações
dos circuitos em diferentes condições. Considera-se que a saturação dos amplificadores
operacionais usados se verifica abruptamente para uma tensão de alimentação de Vcc =
±15V para VO = ± 14V ou io= ±25mA.
Circuito (a)
Condição: sem qualquer circuito limitador
Não tendo qualquer componente limitadora no circuito, admite-se que as
oscilações são sempre crescentes até atingir o patamar de saturação dos amplificadores
operacionais.
Dado que neste trabalho Vcc = 4V, por uma proporcionalidade linear tem-se: VO = 4 ×
14
15
= 3.7V
→ VO = ± 3.7V
Circuito (b)
Condição: sem qualquer circuito limitador
Viu-se na resposta à pergunta 2.1 que o circuito (b), impõe à priori a condição
Aβ > 1, pelo que as oscilações são também crescentes até atingirem a amplitude
correspondente à tensão de saturação dos amplificadores operacionais. Neste caso, e
visto que os AOs usados são iguais aos utilizados no oscilador em ponte de Wien, a
tensão de entrada é igual à tensão de saída que, por sua vez, corresponde à tensão de
saturação do AO, isto é, ±3.7V.
→ VO = ± 3.7V
12
Condição: com limitador de díodos de comutação D1 e D2 em antiparalelo
Começa-se por admitir que a tensão de saída do amplificador operacional 1 é a
sua tensão de saturação, V1 = ± 3.7V e que VDon = 0.88V para uma corrente iD =30mA
(ver catálogo dos díodos).
A corrente máxima que passa no circuito limitador é dada por:
iDmáx =
V1 − VDon
= 0.282 mA
R1
A partir da Figura 5 é possível fazer uma
estimativa para VDon correspondente a um iD
=0.282mA usando a curva de 25⁰C. Conclui-se
que uma tensão aproximada é cerca de 0.5V.
→ VDmáx = ± 0.5V
Figura 5: Corrente do díodo em função da tensão
Este valor corresponde à amplitude da onda quadrada aos terminais do circuito
limitador e toma o valor aproximado de 1V pico a pico.
Para determinar a amplitude da fundamental V1m da onda quadrada, utiliza-se a série
de Fourier, sendo a amplitude da fundamental de um sinal com amplitude V pico a pico
dada por 4V/π. Assim:
V1m =
4×1
= 1.27V
π
Conclui-se que neste caso são os díodos os responsáveis pela definição da amplitude de
oscilação, uma vez que a sua tensão máxima VDmax = ± 0.5, é inferior à tensão de
saturação dos amplificadores operacionais VO = ± 3.7 V para uma tensão de alimentação
de ± 4V.
13
Pergunta 2.5
Finalmente, pretende-se obter Zin considerando que os AOs não são ideais, ou seja,
considerando o ganho A finito tal que a tensão de saída é dada por A(v+-v-) = AvD.
Zin
V4
V5
I5
V2
V3
I4
I3
V1
I2
I1
Figura 6: Impedância de entrada para o oscilador com circuito ressonante (simulação de bobina)
Através de KVL e KCL, obtiveram-se as seguintes expressões em função das variáveis da
figura em cima:
V2 − AVD1
V2
=−
→ AVD1 = 2V2
R
R
AVD1 − (−VD2 + V2 )
= (−VD2 + V2 − AVD2 )sC
R
Vin
(VD1 − VD2 + V2 )
=
Iin VD1 − VD2 + V2 − AVD2
Escrevendo V2 e VD2 em função de VD1, e tendo em conta que (Vin/Iin)=Zin, obtém-se o
resultado simplificado:
Zin =
2R
+ jωC𝑅 2
A
Onde Req = 2R/A e Leq = CR2. A bobina simulada tem então perdas e tem um fator de
qualidade, considerando A=560 V/V (através do gráfico open loop frequency response
do catálogo do AO), C=15nF, R=10KΩ e ω=2π x 1KHz, de:
14
𝑄𝐿 =
𝜔Leq
= 84𝜋 ≈ 264
𝑅𝑒𝑞
Como Q L >> Q =10, conclui-se que se pode desprezar as perdas na bobina, Req, o que
significa que Zin pode ser considerada igual à do caso em que se consideram os AOs
ideais (A tende para infinito logo Req=0).
III. Trabalho de simulação
Para o trabalho de simulação computacional utilizou-se o software CAD LTSPICE.
Nesta simulação, o oscilador em estudo foi o oscilador em Ponte de Wien e analisou-se
as suas condições de oscilação bem como a variação das oscilações com valores
diferentes da função de transferência |Aβ|. Para a primeira análise simulou-se em AC
sweep e para a segunda em modo Transient.
Como o LTSpice não possui o circuito integrado LM348 constituído por quatro
AmpOp µA741, para construir o oscilador utilizou-se um modelo do amplificador µA741
que se encontra no ficheiro LM741.sch. O modelo, fornecido pelo Professor, apresentase na Figura 7. A este modelo retiraram-se as resistências R11, R12 e R14 e substituiu-se
pelos componentes necessários e respectivos valores segundo a montagem da Figura 3.
15
Figura 7: Esquema do modelo do AmpOp µA741
Pergunta 3.1.AC sweep
Para a análise em AC sweep do oscilador em Ponte de Wien escolheu-se uma
posição do potenciómetro P1 de modo a ter-se |Aβ|=1.05, ou seja, 5% de excesso de
módulo do ganho de retorno em relação à condição de ganho mínimo para o arranque
das oscilações. Contudo para poder representar uma posição para o potenciómetro no
circuito é necessário dividi-lo em duas resistências que estão relacionadas do seguinte
modo:
P1 = R P1 + R P2
R P1 = aP1
R P2 = (1 − a)P1
Em que P1 representa o potenciómetro e R P1 e R P2 as respectivas resistências que o
definem no circuito simulado. Verifica-se então que para poder construir o circuito é
necessário descobrir o valor de a. Para tal recorre-se ao oscilador estudado
analiticamente da Figura 1. Sabe-se que para este oscilador o ganho do amplificador
não inversor é dado por:
16
A=1+
R2
R1
E que o seu valor para os dados do modelo da Figura 3 é aproximadamente:
A≈3
Assim, como para o oscilador do estudo analítico o módulo do ganho de retorno é
|Aβ|=1 e o ganho do amplificador não inversor é A≈3, vem que para um oscilador com
ganho de retorno de |A’β|=1.05 um ganho do amplificador não inversor de:
A′ = |A′ β|
A
= 3.15
|Aβ|
De notar que isto só é possível porque o bloco β é constante nos dois circuitos.
Para o circuito do oscilador na simulação o ganho do amplificador não inversor será
relativamente diferente do oscilador na análise teórica devido à presença das outras
resistências, pelo que resulta:
A′ =
R 7 + R 8 + R + R P1 + R P2
R 8 + R P1
Que é equivalente a:
A′ =
R 7 + R 8 + R + P1
R 8 + aP1
Como acima se retirou que A’=3.15, igualando à última expressão obtida é possível
obter finalmente o valor de a que é dado por:
a = 0.359
A partir deste valor é possível obter o valor das resistências a utilizar na simulação:
R P1 = 3.59 kΩ
R P2 = 6.41 kΩ
17
De realçar que para esta simulação abriu-se a malha fechada e aplicou-se à nova
entrada um gerador AC como se apresenta na Figura 8. Assim, apresenta-se na Figura 9
o circuito a analisar nesta pergunta.
Figura 8: Oscilador em Ponte de Wien em malha aberta
Figura 9: Circuito do oscilador em Ponte de Wien para a análise AC sweep
18
a)
Nesta alínea pretende-se traçar a função de transferência Aβ em módulo e fase
em função da frequência, isto é, o Diagrama de Bode. De seguida, a partir deste retirase a frequência de oscilação e a margem com que se verifica a condição de ganho.
Quando se corre a simulação para obter a função de transferência, esta pode ser
facilmente determinada medindo o valor da tensão apenas no nó Va. Isto porque o
ganho A representa apenas um número real e a função de transferência em função da
frequência deve-se à presença dos condensadores e das resistências no bloco β, que
introduzem os pólos e os zeros. O Diagrama de Bode pode ser observado na Figura 10.
Figura 10: Diagrama de Bode do oscilador em Ponte de Wien em malha aberta
Para determinar a frequência de oscilação, retira-se a frequência para a qual se
verifica a condição de fase, ou seja, quando ϕAβ =0. Por análise do diagrama da fase
obtém-se o seguinte valor para a frequência de oscilação:
fosc = 1.047 kHz
19
Para retirar a margem com que se verifica a condição de ganho, isto é, para
|Aβ|>1 que na escola logarítmica equivale a |Aβ|dB >0, realiza-se um zoom ao gráfico
da magnitude (Figura 11) e retiram-se os valores extremo da frequência, obtendo-se a
seguinte margem:
ω ∈ {660.69 Hz, 1.778 kHz}
Figura 11: Zoom do Diagrama de Bode na zona de |Aβ|>1
b)
Para calcular o factor de estabilidade da frequência de oscilação primeiro é
necessário fazer um zoom do gráfico da fase na proximidade da frequência de oscilação
obtida anteriormente. Depois altera-se a escala logarítmica para escala linear, obtendose o gráfico na Figura 12.
20
Figura 12: Zoom, em escala linear, do gráfico da fase numa zona próxima da frequência de oscilação
De seguida faz-se uma interpolação com dois pontos, um à esquerda e outro à
direita do ponto correspondente à frequência de oscilação. Usaram-se os pontos
fornecidos pelo LTSpice, (1.023, 0.515) e (1.071, -1.298), pelo que resultou:
0.515 − (−1.298)
= −37.78𝑜
1.023 − 1.071
A este valor multiplica-se a frequência de oscilação da mesma maneira que se
realizou na análise teórica. Para além de ser em módulo o valor apresentado também é
𝜋
necessário multiplicar por um facto de 180 dado que o resultado acima está em graus e
pretende-se em radianos. Deste modo, vem que o factor de estabilidade (em módulo) é
dado por:
Sf = 37.78o ×
π
× 1.047
180
Sf = 0.69
c)
Para esta alínea pretende-se estudar e retirar algumas conclusões apenas sobre o
ganho de tensão do AmpOp em malha aberta, AV=V0/(V+-V-). O Diagrama de Bode
obtido apresenta-se na Figura 13.
21
De modo a apresentar uma sequência lógica dos resultados, primeiro aborda-se a
quantidade de pólos e zeros no diagrama: aproximadamente nos 110 mHz apresenta-se
um pólo dominante criado pelo único condensador do amplificador, o condensador C1.
Este pólo faz com que a amplitude do ganho desça a 20 dB/década. Depois entre os 100
Hz e os 10 kHz apresenta-se um pólo seguido imediatamente por um zero. No gráfico
da amplitude, o efeito deste pólo seguido por um zero faz com que a amplitude
decresça um pouco mais que 20 dB/década. De seguida a 1 MHz apresenta-se outro
zero, já que a amplitude que descia a 20 dB/década passa a ser constante. A partir de
1MHz apresentam-se dois pólos conjugados dado que o gráfico da fase apresenta um
pico de ressonância, e a partir desse ponto uma série de pólos e zeros provocados pelos
inúmeros componentes do amplificador.
Figura 13: Diagrama de Bode do ganho de tensão do AmpOp em malha aberta
Como dito anteriormente, o pólo dominante que provoca a descida da amplitude
a 20 dB/década é induzido pelo condensador C1. Aumentando o seu valor dez vezes
mais, isto é para 300 pF, é de esperar que o condensador induza um pólo a uma
frequência mais baixa do que se encontra na Figura 13. Esta frequência é tão baixa que
o pólo nem se apresenta no Diagrama de Bode, mas sabe-se que ele existe pois a
amplitude aparece a descer a 20 dB/década e a fase ainda se apresenta a descer, como
22
se verifica na Figura 14. Todos os amplificadores com pólos dominantes e com sistemas
de 1ª ordem apresentam este condensador, já que a presença deste torna o
amplificador estável.
Figura 14: Diagrama de Bode do ganho de tensão do AmpOp em malha aberta com condensador em 300 pF
De seguida pretende-se obter uma estimativa do ganho máximo Avo, do valor do
pólo dominante f1, do ganho de largura de banda dado por GBW= Avo f1 e da frequência
f0 que corresponde ao ganho unitário (Av=0 dB). O valor do pólo dominante é obtido
determinando o valor da frequência para a qual o ganho é igual a Av0 - 3 dB. Deste
modo, analisando a Figura 13 retira-se os seguintes valores:
Avo = 131.57 dB
f1 = 107.15 mHz
GBW = 405.97 kHz
f0 = 109.65 kHz
23
Com os valores obtidos pretende-se verificar uma relação característica de
sistemas de 1ª ordem:
GBW = f0
Esta relação corresponde a AmpOps que possuem um pólo dominante e cuja
queda do ganho no ponto f0 ainda é 20 dB/década. Como se confirmam estas duas
condições para o AmpOp em estudo, então corresponde a um sistema de 1ª ordem
pelo que a relação tem de se verificar.
Contudo analisando os valores obtidos constata-se que o GBW=405.97 kHz é
aproximadamente quatro vezes superior à frequência f0=109.65 kHz, o que
aparentemente não condiz com a relação. Mas tem que se ter em conta que esta
equação verifica-se quando o ganho decresce a 20 dB/década. Ora no intervalo de 100
Hz a 10 kHz, encontram-se um pólo e um zero que fazem com que o ganho desça a um
pouco mais de 20 dB/década. Este efeito é mais pronunciado neste caso porque as
tensões de alimentação são baixas ±VCC = 4V. Pode-se concluir que a relação é válida em
sistemas de 1ª ordem, dado que se a função simulada se mantivesse a descer a 20
dB/década a igualdade seria verificada.
Com os últimos valores obtidos, pretende-se agora comparar com os dados
fornecidos no catálogo do AmpOp µA741 disponibilizado na página da disciplina. Para
comparar o valor do ganho máximo recorre-se à Figura 15 do catálogo apresentada
abaixo.
Pode-se constatar que para uma
tensão de alimentação típica de ±VCC=4 V
tem-se
um
ganho
máximo
de
aproximadamente de 93 dB. Ora como o
ganho máximo obtido na simulação é de
131.57 dB conclui-se que existe uma
diferença de 40 dB entre as tensões, isto é,
duas décadas dado que por cada década a
tensão desce 20dB.
Figura 15: Ganho de tensão máximo em função das
tensões de alimentação VCC
24
Com
a
conclusão
anteriormente
é
diferença
valores
de
possível
obtida
explicar
entre
o
a
pólo
dominante obtido e o do catálogo. Na
Figura 16 retirada do catálogo verifica-se
que o pólo se encontra aproximadamente a
10 Hz ao passo que na simulação obteve-se
0.1 Hz. Ora constata-se que existe uma
diferença de duas décadas, o que seria de
esperar dado a diferença de 40 dB entre o
ganho máximo.
Figura 16: Ganho de tensão em função da frequência (Diagrama de
Bode)
Para comparar o valor do produto
GBW compara-se com a Figura 17 ao lado
que representa o ganho de largura de
banda
em
função
da
temperatura
ambiente. Como se está a trabalhar a 25 ºC
verifica-se que o GBW do catálogo é 1 MHz
ao passo que o obtido na simulação é de
0.4 MHz. É de esperar esta diferença dado
que o gráfico do catálogo corresponde a
uma tensão de alimentação de ±VCC=15 V e
a usada na simulação é de ±VCC=4 V.
Figura 17: Produto GBW em função da temperatura ambiente
Para comparar o valor da frequência f0 recorre-se novamente à Figura 16 e
verifica-se o valor da frequência para o ganho igual a 0 dB, como na simulação. Assim
obteve-se para o valor do catálogo uma frequência de aproximadamente 1 MHz e na
simulação obteve-se 0.1 MHz. Tal diferença de duas décadas era previsível dado que o
ganho de tensão da simulação difere de 40 dB em relação ao do catálogo.
25
Requer-se também comparar a curva típica do ganho em malha aberta da
simulação com a do catálogo. A curva do catálogo está apresentada na Figura 16 e
pode-se constatar que apresenta a mesma forma que a curva obtida na simulação.
Pretende-se finalmente saber o ganho Av para a frequência de oscilação obtida
na alínea a). Assim substituindo no gráfico da amplitude na Figura 13 é possível retirar o
seguinte valor para o ganho:
AV = 45.33 dB
Pergunta 3.2.Transient
Para esta pergunta pretende-se obter o valor da amplitude e da frequência de
oscilação em regime estacionário e o seu espectro, como também o tempo que o
circuito demora a atingir esse regime estacionário. São analisadas três condições
diferentes que variam com a posição do potenciómetro, isto é, com o valor de a que
define o valor das resistências relativas ao potenciómetro.
Para realizar esta análise, simula-se em regime transitório o circuito da Figura 9
com a malha fechada. Assim não haverá nenhum gerador de sinal e as únicas fontes de
alimentação são as fontes contínuas que alimentam os amplificadores operacionais.
26
a.1
Nesta alínea pretende-se posicionar o potenciómetro num ponto em que
|Aβ|=1.05. Como a análise em AC sweep foi realizada neste ponto, o valor de a é igual
ao valor obtido anteriormente:
a = 0.359
Pelo que o circuito a ser analisado é basicamente igual ao da Figura 9 com
excepção que a malha agora encontra-se fechada (Figura 18). Para registar os valores
da frequência de oscilação do sinal de saída, da amplitude do sinal e do tempo que
demorou a atingir o valor final analisa-se a tensão no sinal de saída, apresentado na
Figura 19.
Figura 28: Circuito do oscilador em Ponte de Wien para a análise Transient para |Aβ|=1.05
27
Figura 39: Tensão do sinal de saída na condição |Aβ|=1.05
Para anotar o valor da frequência de oscilação, determina-se primeiro o valor do
período de oscilação Tosc (a partir de dois pontos) e de seguida, invertendo esse valor,
obtém-se a frequência de oscilação. Assim:
Tosc = 0.97 ms
𝑓osc = 1.03 kHz
Analisando a Figura 19 retira-se os seguintes valores de amplitude do sinal A e
tempo que demora a atingir regime estacionário, t:
A =3.3 V
t = 43.2 ms
Para além desses valores também se pretende analisar a tensão na saída e na
entrada positiva do AmpOp em poucos períodos do regime estacionário para verificar
se existe distorção. Como se pode observar na Figura 20, a tensão na saída (verde)
apresenta uma distorção relativamente maior em relação à tensão da entrada positiva
28
do AmpOp (azul). A de entrada apresenta um forma sinusoidal ao passo que a outra nos
extremos já apresenta alguma saturação se bem que ligeira. A tensão da entrada
positiva apresenta apenas uma ligeira distorção para tensões negativas.
Verifica-se também que a tensão de saída apresenta uma amplitude superior à da
entrada. Assim também é de esperar que a tensão de saída sature e a de entrada não,
dado que a primeira atinge a tensão de saturação imposta pelas tensões de
alimentação.
Figura 20: Tensão na saída (verde) e na entrada positiva (azul) do AmpOp em poucos períodos do regime
estacionário
a.2
Nesta alínea pretende-se colocar o potenciómetro num ponto em que |Aβ| é
máximo. Para tal verifica-se para que valor de a obtém-se um ganho de tensão GV
máximo. Dado que GV é determinado pela expressão abaixo (deduzida anteriormente
como A’) e que a varia entre 0 e 1, tem-se os seguintes valores de a e GV para o qual
|Aβ| é máximo:
a=0
GV =
R 7 + R 8 + R + P1
= 3.79
R 8 + aP1
29
Como se viu anteriormente, as resistências do potenciómetro dependem do valor
a. Os novos valores dessas resistências apresentam-se abaixo juntamente com o novo
circuito.
R P1 = 0 kΩ
R P2 = 10 kΩ
Figura 21: Circuito do oscilador em Ponte de Wien para a análise Transient para |Aβ| máximo
Novamente analisou-se a tensão no sinal de saída (Figura 22) para retirar a
frequência de oscilação (e o período de oscilação como no caso anterior), a amplitude
do sinal e o tempo com que se demorou a atingir o regime estacionário, t.
Tosc = 1.06 ms
𝑓osc = 0.94 kHz
A =3.3 V
t = 10.4 ms
30
Figura 22: Tensão do sinal de saída na condição |Aβ| máximo
Para calcular o valor de |Aβ| no ponto máximo recorre-se ao valor de GV
calculado, que equivale ao A, e à expressão que define o β:
β=
1
3 + jωRC + (1/jωRC)
Substituindo a frequência na expressão anterior pela frequência de oscilação
obtida, obtém-se o seguinte valor de |Aβ|:
|Aβ| = 1.26
De notar que se podia ter calculado de uma maneira mais rápida sem ter de
recorrer à frequência de oscilação. Tal modo apresenta-se na alínea a seguir.
Tal como na alínea anterior, também se pretende analisar a existência de
distorção na tensão da saída e da entrada positiva do AmpOp. Neste caso verifica-se
que tanto a tensão da saída (a verde na Figura 23) como tanto a tensão de entrada
positiva do AmpOp (azul) apresentam uma elevada distorção. Contudo a distorção no
31
sinal de saída é maior do que na de entrada, dado que nesta ainda se apercebe que tem
um forma sinusoidal ao passo que na de saída aproxima-se de uma onda quadrada.
Figura 23: Tensão na saída (verde) e na entrada positiva (azul) do AmpOp em poucos períodos do regime
estacionário
Comparando o caso de |Aβ|=1.05 com o caso de |Aβ| máximo verifica-se que
tanto a frequência de oscilação como o tempo que demora ao estabelecimento do
regime final, é inferior no caso do segundo relativamente ao primeiro. O valor da
frequência de oscilação é apenas ligeiramente mais pequeno mas o tempo de
estabelecimento é aproximadamente quatro vezes inferior. Quanto á distorção verificase que existe uma maior distorção em ambas as tensões no segundo caso em relação ao
primeiro.
a.3
Agora pretende-se colocar o potenciómetro num ponto em que |Aβ| é mínimo.
Para tal procede-se da mesma forma que na alínea anterior só que o valor de a será o
outro extremo. Daí resultam novos valores para o ganho GV e para as resistências do
potenciómetro. O novo circuito apresenta-se na Figura 24 e a tensão na saída na Figura
25.
a=1
32
𝐺𝑉 = 2.43
R P1 = 10 kΩ
R P2 = 0 kΩ
Figura 24: Circuito do oscilador em Ponte de Wien para a análise Transient para |Aβ| mínimo
Figura 25: Tensão do sinal de saída na condição |Aβ| mínimo
33
Para obter o valor de |Aβ| pode-se seguir da mesma forma que na análise AC
sweep. Como no ideal |Aβ|=1 para A=3 então neste caso em que A=G V=2.43 vem que o
valor de |Aβ| é dado por:
|Aβ| = 2.43
1
= 0.81
3
Analisando o gráfico da tensão de saída retira-se o tempo que demorou a
primeira oscilação completa, tosc. Comparando este valor com os períodos das
oscilações obtidos nas duas alíneas anteriores, constata-se que ambos os valores são
praticamente semelhantes o que é expectável dado que a frequência de oscilação deve
ser aproximadamente a mesma para os três casos.
𝑡𝑜𝑠𝑐 = 1.04 ms
𝑓𝑜𝑠𝑐 = 0.96 kHz
Também é necessário verificar se o valor utilizado para a saturação abrupta do
amplificador operacional na análise teórica corresponde ao obtido por simulação.
Analisando a Figura 19, correspondente à tensão da saída do AmpOp para o caso
|Aβ|=1.05, que é o mais próximo do analisado teoricamente, verifica-se que as
oscilações saturam para uma tensão aproximadamente de 3.3 V. Como no estudo
analítico, na pergunta 2.4 obteve-se 3.7 V comprova-se que os valores estão
concordantes pois não diferem substancialmente.
Comparando as frequências e amplitudes da tensão de saída nas três condições
acima com os resultados obtidos na análise teórica constata-se que: as frequências de
oscilação para os três casos são bastante semelhantes entre si e também são parecidas
ao valor obtido na análise teórica (1.06 kHz). Este resultado é expectável dado que a
frequência de oscilação depende apenas da realimentação RC série e paralelo que é
constante para toda a simulação. Quanto à amplitude do sinal, verifica-se que para o
caso de |Aβ|=1.05 e para |Aβ| máximo a amplitude do sinal satura aproximadamente
34
para 3.3 V que é bastante próximo do valor obtido na análise teórica (3.7 V). Exclui-se o
caso de |Aβ| mínimo porque não verifica a condição de oscilações sinusoidais estáveis.
b)
Nesta alínea pretende-se simular apenas o amplificador operacional e testar
uma característica importante das suas limitações em regime de sinais fortes. Para tal
retira-se a realimentação positiva RC série-RC paralelo da Figura 9 e aplica-se à entrada
um gerador de impulsos com as seguintes características:
Von(V) = ±VCC/3 = 1.33 V
Frequência = 50 kHz
Período = 20 µs
Factor de ciclo = 10 µs
Tempo de subida e descida = 0.2 µs
O circuito a simular e a forma da tensão na saída do AmpOp apresentam-se
respectivamente na Figura 26 e Figura 27. Verifica-se que a forma da tensão é uma
onda trapezoidal com flancos praticamente constantes.
35
Figura 26: Circuito do AmpOp sem a realimentação RC série e paralelo
Figura 27: Tensão na saída do AmpOp do circuito sem a realimentação RC série e paralelo
O facto de os flancos da onda trapezoidal serem praticamente constantes e não
exponenciais deve-se ao facto de o condensador interno C1 do AmpOp ser carregado a
corrente constante e não através de um circuito RC e fonte de tensão. Aliás pode-se
36
verificar que aumentando dez vezes mais o valor desse condensador a forma de onda
na saída deixa de ser trapezoidal (Figura 28). Os componentes responsáveis por
carregar o condensador a corrente constante são os dois transístores adjacentes Q10 e
Q11 e a resistência R13 já que alterando o valor desta resistência provoca grandes
alterações na forma da onda da saída (deixa também de ser trapezoidal).
Figura 4: Tensão na saída do AmpOp sem realimentação RC série e paralelo para um condensador de 300p
Para calcular a inclinação dos flancos da tensão de saída, o Slew Rate, utiliza-se
dois pontos extremos da Figura 27, por exemplo (33.6 µs, 3.28 V) e (40.1 µs, 0.73 V).
Vem assim que o Slew Rate é dado por:
SR =
∆Vo 0.73 − 3.28
=
= 0.40 V/μs
∆t
40.1 − 33.6
Na tabela apresentada no catálogo o valor do SR para uma tensão de alimentação de
±VCC=15 V é de 0.5 V/µs e como a tensão de alimentação utilizada é inferior é de
esperar que o SR também seja menor.
37
IV. Parte experimental
Pergunta 4 .1
a)
Na base de montagem representada na figura (introdução) procedeu-se ao
ajuste do potenciómetro de modo a obter uma clara distorção da forma de onda do
sinal em F, sendo visualizadas as tensões nos nós F e A, observados na Figura 29.
A amarelo visualiza-se a tensão no nó F. Com a rotação do potenciómetro de
modo a aumentar a resistência em paralelo com a entrada V- e o terminal de saída (nó
F), verifica-se o aumento do ganho A do amplificador. Este aumento, por sua vez,
provoca um acentua na distorção do sinal, o que se reflecte no aparecimento de uma
onda que é achatada nos picos. Esta distorção é devida à saturação do AmpOp a partir
de valores de tensão acima de 3.7V em módulo, tendo este valor sido calculado na
parte teórica.
O sinal a verde representa a onda medida no nó A. Este sinal já foi filtrado, razão
pela qual já apresenta um sinal bastante mais próximo do sinusoidal. Tal deve-se ao
facto de o filtro deixar passar apenas frequências próximas da frequência fundamental
do circuito, excluído as harmónicas mais afastadas, resultando num sinal mais sinusoidal
que o sinal de entrada.
38
Figura 29: Tensões nos nós F (amarelo) e A (verde) do oscilador em Ponte de Wien. Escala: 2,00V/div no eixo
vertical.
Da medição da tensão pico a pico para os dois sinais obtiveram-se os seguintes
valores: VF = 5.5 V e VA = 2.3 V.
É também de notar que os sinais se encontram em fase, uma das condições
impostas pelo critério de Barkhausen.
Nos espectros das tensões nos nós F e A foi possível verificar-se que a
frequência fundamental de oscilação do circuito é a mesma e que corresponde a um
valor de 1.06 KHz, um valor muito próximo do obtido teoricamente (1.061 KHz).
39
Figura 30: Sinal em frequência no nó F
Figura 51: Sinal em frequência no nó A
Foi medida a diferença entre a amplitude da primeira e da segunda harmónica
no nó F, sendo a diferença de 15 dBV. O mesmo foi efectuado no nó A, sendo a
diferença de 14 dBV existindo uma atenuação de 1 dBV. Mesmo quando são efectuadas
o mesmo tipo de diferenças mas para outras harmónicas que não a segunda, a
40
atenuação obtida é sempre muito baixa tendo sido determinada uma atenuação de 3
dBV para a 4ª harmónica, 5 dBV para a 5ª harmónica e ainda 7 dBV para as 7ª e 8ª
harmónicas. Para a 2ª e 3ªa harmónica praticamente não foram verificadas atenuações.
A baixa atenuação das harmónicas que não a fundamental verificada deve-se ao
facto de o filtro ter um baixo factor de qualidade (1/3), o que implica que o filtro tenha
uma banda pouco selectiva e que não se verifique uma grande atenuação da amplitude
das harmónicas. O oscilador de Ponte de Wien necessita, portanto, de estar
sincronizado com um cristal de modo a tornar a banda de passagem mais estreita.
b)
Após se ter ajustado o potenciómetro de modo a obter uma oscilação de
amplitude constante com uma distorção mínima no nó F, mediram-se, novamente,
valores da tensão pico a pico e da frequência nos nós A e F, recorrendo ao osciloscópio:
Vf = 4.3V e VA = 1.4 V. Ambas as ondas verificadas nos dois nós podem ser observadas
na Figura 32, onde a onda no nó F está representada a amarelo e a do nó a verde.
Como se pode observar, as ondas encontram-se em fase, sendo a variação da
fase é nula, o que está de acordo com o critério de Barkhausen. Para além disso,
também foi determinado o ganho de tensão da montagem não inversora, calculado
através de:
𝑉𝑓
4,3
=
= 3.07
𝑉𝑎
1,4
Que é bastante próximo do valor do ganho mínimo para se arrancar uma
oscilação, calculado na análise teórica da secção II.1, onde foi determinado que o ganho
deveria ser de 3 para as oscilações terem uma amplitude constante.
As frequências fundamentais dos sinais medidas no osciloscópio foram de f0f =
1.06 KHz e f0a = 1.09 KHz. As diferenças em dBV da frequência fundamental para a
primeira harmónica de cada um dos sinais foram de 53 dBV para o sinal em F e de 48
dBV para o sinal em A.
41
Figura 32: Tensões nos nós A (verde) e F (amarelo), sendo que o no nó F se encontra o sinal com distorção
mínima.
Escala eixo vertical: Amarelo - 2,00 V/div Verde- 0,5 V/div
Pergunta 4.2
a) Oscilador com limitador a díodos
Neste circuito recorreu-se ao circuito da Figura 2, tendo sido obtidas as tensões
nos nós M e L, no domínio do tempo e da frequência. As ondas nos nós M e L em
função do tempo encontram-se representadas na Figura 33 enquanto que a onda do nó
L no domínio da frequência se encontra representadas na Figura 34.
Como se pode observar, o circuito constituído pelos díodos e pela resistência
apresentam um efeito limitador sobre a tensão, sendo que a onda do sinal em L
apresenta uma forma quadrada com uma tensão pico a pico de 1 V, ou seja, de
amplitude ± 0.5V, para um sinal de entrada em M de amplitude ± 1V. É de realçar que
a amplitude do sinal em L corresponde exactamente à tensão de saturação dos díodos
calculada na parte teórica, concluindo-se que o circuito limitador de díodos impede que
seja atingida a tensão de saturação dos AmpOps com as oscilações crescentes.
42
Figura 33: Tensão no nó M (Amarelo) e no nó L (Verde) para o oscilador com circuito ressoante. Escala 1,00 V/div
Em termos da análise em frequência, verifica-se que neste circuito existe uma
frequência fundamental com uma amplitude muito superior à das harmónicas. A
variação entre a frequência fundamental e a frequência da harmónica com a maior
amplitude é de 48.515 dBV. Dado o circuito ser de segunda ordem, ou seja, a função de
transferência apresentar um par de polos complexos conjugados, a atenuação é cerca
de 40 dBV/dec a partir da frequência fundamental, o que vai de encontro aos
resultados obtidos.
Na Figura 34 está presente o espectro de frequências do sinal em L, que se
assemelha ao espectro de uma onda quadrada, com a particularidade de possuir uma
primeira harmónica com uma amplitude demasiado pronunciada, o que a transforma
numa onda mais trapezoidal.
43
Figura 34: Sinal no domínio das frequências no nó L
b) Circuito sem limitador
Num circuito onde não existe o circuito limitador, ou seja, num circuito em que
M e L foram curto-circuitados, obteve-se o sinal de onda do nó M = L, que se encontra
na Figura 35. Tendo em conta que o ganho do circuito é de 2, o circuito não verifica o
critério de Barkhausen (Ganho 2>1), provocando oscilações constantes, o que por sua
vez origina distorção do sinal na ausência de um circuito limitador. Dado isto, a
distorção observada é devida à saturação dos AmpOps do circuito. Para a tensão de
alimentação estudada, observou-se que a distorção ocorria apenas na alternância
negativa, o que se deveu à falta de simetria da placa do circuito, visto que seria de
esperar uma saturação simétrica.
44
Figura 35: Tensão no nó M = L, sem o circuito limitador de tensão. Escala = 1,0V/div
c) Função de transferência do filtro RLC
Para realizar esta alínea, aplicou-se um sinal sinusoidal recorrendo a um gerador
de funções cuja frequência se foi alterando até se observar um valor máximo para a
tensão no nó M. A frequência a que corresponde esse máximo é a frequência central do
filtro, fo.
Como se pode observar na Figura 36, a frequência para a qual se obteve a
amplitude máxima do sinal em M foi de 1.10 KHz, muito próxima da frequência
fundamental do circuito de 1.06 Hz. Pode confirmar-se a posição deste máximo
verificando que os sinais de entrada e saída estão em fase, ou seja, quando não existe
desfasagem entre os sinais.
O ganho obtido para este circuito é determinado através do quociente das
tensões pico a pico:
𝑉𝑀
𝑉𝐿
= 1.78 V.
45
Este ganho é abaixo do esperado de 2, e é devido essencialmente às incertezas
de 10% relativas ao valor das resistências integradas no circuito.
Figura 36: Tensão imposta pelo gerador no nó L (amarelo) e tensão máxima no nó M (verde), obtida para a
frequência central do filtro.
Passou-se de seguida a determinar as frequências da queda do ganho a 3 dB
para tal, foi determinar-se o valor da tensão para essa queda de ganho: 1.87 x 0.707 =
1.32V. Os valores das frequencias fL e fH foram determinados recorrendo ao
osciloscópio.
Da Figura 37 foi possível determinar-se fH. Como se pode observar, a tensão
pico a pico é de 1.33V e o valor da frequência, fH, é de 1.17 kHz. Deve ainda notar-se o
avanço de fase de 45º entre o sinal do gerador e o sinal após precorrer o circuito.
46
Figura 37:Determinação da fH Escalas eixo vertical: 500mV/div
Para calcular fL, fez-se novamente variar a amplitude do sinal em M até aos 1.31
V, tendo sido obtida a frequência e 1.04KHz. Desta vez o sinal encontrava-se desfazado
de -45º.
Figura 38: Determinação da fL Escala eixo vertical: Tensão em L 500mV/div
A obtenção destes dois valores de frequências permite o cálculo do parâmetro
Q, definido como: Q =
fo
fH −fL
, ou seja, para os valores determinados Q = 8.46. Este valor
está um pouco afastado do valor obtido na análise teórica em que Q = 10. Mesmo assim
47
é um valor que permite obter um coeficiente de estabilidade de frequência, Sf,
relativamente elevado, isto é, à volta de 17.
d) Características do limitador a díodos
Nesta alínea facultativa, pretendeu-se estudar a característica de transferência
do circuito limitador. Como se pode observar, quando a tensão de entrada ultrapassa a
tensão de vDmax = ± 0,5 V o declive da característica de transferência diminui até
aproximadamente zero, ou seja, para tensões superiores a esta os díodos estão
cortados logo, por maior que seja a entrada no circuito, a saída é constante e igual a 0,5
em modulo. No intervalo entre estas duas tensões, o declive é de aproximadamente 1,
o que significa que a tensão de entrada é igual à tensão de saída.
Figura 39: Característica de transferência do circuito limitador com díodos Escala 200 mV/div
48
V. Conclusões
Terminando este trabalho foi possível consolidar a matéria lecionada nas aulas, bem
como aprofundá-la e testá-la experimentalmente. Ao longo deste relatório foram
efetuadas várias comparações acerca dos resultados obtidos nas 3 partes do trabalho:
análise teórica, simulação e experimentação tornando-se redundante repetir as
conclusões tiradas, já que todas as particularidades importantes para o funcionamento
dos dois osciladores analisados foram convenientemente comentadas. Mas, de uma
forma geral, é possível observar a concordância dos resultados obtidos embora alguns
se afastem ligeiramente do previsto.
As dispersões dos resultados devem-se principalmente a aproximações feitas na análise
teórica, nomeadamente, o facto de se ter considerado um AmpOp ideal. Da mesma
forma os resultados experimentais foram afetados devido a efeitos de dispersão de
fabrico e ao mau funcionamento da placa do circuito utilizado.
49
VI. Bibliografia
•FREIRE, João Costa, 2º trabalho de laboratório, Osciladores Sinusoidais RC com
Amplificadores Operacionais, 2º semestre 2013/2014
•SEDRA, Adel S. e SMITH, Kenneth C., Microelectronic Circuits; 6ª ed.; Oxford; Oxford
University Press; 2009
• data sheet SGSThomson uA741
50