5. Ajuste de Curvas

CAP. V – AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS
MÍNIMOS QUADRADOS
No capítulo anterior estudamos uma forma de lidar com funções matemáticas
definidas por tabelas de valores.
Frequentemente, estas tabelas são obtidas com base em dados experimentais,
contendo erros inerentes aos métodos de medição utilizado.
Como os valores não são exactos, muitas vezes não é razoável recorrer à
interpolação polinomial, ou seja, exigir que a função aproximante satisfaça
exactamente os dados disponíveis.
Assim, em vez de recorrermos a um polinómio que passe exactamente por
todos os pontos, fazemos passar uma função aproximante g(x), o mais
próximo possível dos pontos.
Consideremos uma série de pontos (xi , yi), i=1, ..., n onde cada yi foi obtido
experimentalmente e aproxima o valor de uma função no ponto xi, isto é,
yi ≅ f(xi).
Estes valores podem ser representados por um gráfico cartesiano formando
um diagrama de dispersão.
Página 1 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
EXEMPLO 1:
Construir o diagrama de dispersão da seguinte tabela:
xi
yi
1.3
2.0
3.4
5.2
5.1
3.8
2
4
6
6.8
6.1
8.0
5.8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
8
10
Objectivo: procurar a curva y = g(x) que melhor se ajusta, num dado
sentido, ao diagrama anterior.
TIPOS DE AJUSTAMENTOS:
™ Ajustamento linear simples;
™ Ajustamento linear múltiplo.
Página 2 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
5.1 AJUSTE LINEAR SIMPLES
O modelo mais simples que relaciona duas variáveis x e y é a recta:
y = β0 + β1.x
onde β0 e β1 são os parâmetros do modelo.
Consideremos:
xi : valor da variável explicativa ou independente;
yi : valor da variável resposta ou dependente;
yˆ i (imagem de x i pela recta y i = β0 + β1.x i ) : valor predito;
d i = y i - yˆ i (desvio) : distância vertical do ponto à recta.
Suponha-se uma recta arbitrária desenhada no diagrama de dispersão do
exemplo 1:
7
6
5
4
3
2
1
0
di
ŷ i
0
2
4
6
8
10
Página 3 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
ESCOLHA DA MELHOR RECTA:
Consideremos a soma dos quadrados dos desvios de todos os n pontos:
n
D = ∑ di2
i =1
Medida do desvio total dos pontos à recta estimada
Esta medida depende da recta considerada:
D(β 0 , β 1 ) =
n
∑ di2 =
i =1
n
∑ (y i − yˆ i )2
=
i =1
n
∑ (y i − (β 0 + β 1 .x i )) 2
i =1
Pretendemos então os valores dos coeficientes de β0 e β1 que minimizam
D(β 0 , β1 ) , ou seja, o valor mínimo de D(β 0 , β1 ) .
Para tal, temos de derivar D(β 0 , β1 ) em relação a β0 e β1 e resolver as
equações normais (igualar as derivadas parciais a zero):
⎧ ∂ D(β0 ,β1 ) n
= ∑− 2.(yi − β0 − β1.xi ) = 0
⎪
∂ β0
i=1
⎪
⎨
⎪∂ D(β0 ,β1 ) n
= ∑− 2.(yi − β0 − β1.xi ).xi = 0
⎪
β
∂
i=1
1
⎩
Página 4 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
• Os valores de b0 e b1, para os quais D(β 0 , β1 ) apresenta um valor
mínimo são obtidos pela resolução do sistema (equações normais):
n
n
n
⎧
⎧
⎪− 2∑ (y i − b 0 − b1.x i ) = 0
⎪nb 0 + b1 ∑ x i = ∑ y i
i
=
1
i =1
i =1
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎨
⎪
⎪ n
n
n
n
⎪− 2∑ (y i .x i − b 0 .x i − b1.x i 2 ) = 0
⎪b 0 ∑ x i + b1 ∑ x i 2 = ∑ y i .x i
⎪⎩ i =1
⎪⎩ i =1
i =1
i =1
Em notação matricial,
⎡
⎢n
⎢
⎢
⎢n
⎢
⎢∑ x i
⎣ i =1
⎤
⎡n
⎤
∑ x i ⎥ ⎡ b ⎤ ⎢∑ y i ⎥
i =1
⎥ 0
⎢ i =1
⎥
⎢
⎥
⎥.
⎢
⎥
⎢ ⎥=⎢
⎥
⎥
n
n
⎢
⎥
b
1
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
y
.x
∑ xi2 ⎥
∑
i
i
⎢
⎥
i =1
⎦
⎣ i =1
⎦
n
Resolvendo o sistema, obtemos:
n
n
n
i =1
n
i =1
n.∑ x i .y i − ∑ x i . ∑ y i
b1 =
i =1
n
n. ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2
i =1
n
n
∑ y i − ( ∑ x i ).b1
b 0 = i =1
i =1
n
i =1
Como este método consiste em achar o mínimo de uma função quadrática, é
conhecido como o método dos mínimos quadrados.
Página 5 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
A melhor recta, no sentido dos mínimos quadrados, que se ajusta aos dados
do diagrama de dispersão é dada por:
y= b0 + b1x
EXEMPLO 1 (CONTINUAÇÃO):
Determinar a recta dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos dados da
tabela.
1.3
2.0
3.4
5.2
xi
yi
xi2
1.3
2.0
3.4
5.2
5.1
3.8
6.8
6.1
8.0
5.8
xi
yi
5.1
3.8
6.8
6.1
8.0
5.8
Tabela auxiliar:
xi yi
yi2
ŷ i
∑
Página 6 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
ri
QUALIDADE DO AJUSTE:
¾ COEFICIENTE
DE
DETERMINAÇÃO
Para simplicar a notação, o símbolo
n
∑
será trocado por
i =1
fôr conveniente.
∑
, sempre que
O coeficiente de determinação é dado por:
(∑ xi y i −
R2 =
1
∑ xi
n
∑y )
2
i
sendo 0 ≤ R 2 ≤ 1
1
1
⎡
2
2
2⎤ ⎡
2⎤
−
−
x
x
y
y
(
)
.
(
)
∑
∑
∑
∑
i
i
i
i
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦
n
n
Quanto mais próximo o coeficiente de determinação estiver de 1, melhor será
o ajuste.
¾ RESÍDUOS
Outra maneira de verificar a adequação do modelo é comparar cada valor
observado yi com o respectivo valor predito ŷ i . À diferença entre estes dois
valores chama-se resíduo:
ri = y i - ŷ i , ∀ i
onde ŷ i é dado pela equação yi=b0+b1.xi .
Quando b0 e b1 são estimadores dos mínimos quadrados, então os desvios di
são idênticos aos resíduos ri.
Página 7 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
5.2 AJUSTE LINEAR MÚLTIPLO
Uma maneira de relacionar uma variável dependente y com p variáveis
independentes é:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp
onde β0 , β1 , ..., βp são os parâmetros do modelo.
Para n pontos, temos o sistema:
⎧ y1 = β 0 + β 1.x11 + β 2 .x 21 + ... + β p .x p1
⎪
⎪ y 2 = β 0 + β 1.x12 + β 2 .x 22 + ... + β p .x p2
⎨
⎪...
⎪ y = β + β .x + β .x + ... + β .x
0
1 1n
2 2n
p pn
⎩ n
Na forma matricial:
⎡ y1 ⎤ ⎡1 x11
⎢ y ⎥ ⎢1 x
12
⎢ 2⎥ = ⎢
⎢... ⎥ ⎢...
⎢ ⎥ ⎢
⎣ y n ⎦ ⎢⎣1 x1n
x 21
x 22
x 2n
x p1 ⎤ ⎡β 0 ⎤
⎥
x p 2 ⎥ ⎢⎢β1 ⎥⎥
⎥ . ⎢... ⎥ ⇔ Y = X.β
⎥ ⎢ ⎥
x pn ⎥⎦ ⎢⎣β p ⎥⎦
Considerando a soma dos quadrados dos desvios de todos os n pontos
D=
n
∑ di
i =1
2
=
n
∑ (y i − yˆ i )
i =1
2
=
n
∑ (y i − (β 0 + β 1 .x 1i
i =1
+ β 2 .x 2i + ... + β p .x pi )) 2 ,
pretende-se minimizar D(β 0 , β1 , β 2 , ... , β p ) .
Página 8 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
Para tal, derivamos D(β 0 , β1 , β 2 , ... , β p ) em relação a β0, β1, ... , βp e
resolvemos as equações normais.
n
∂D
= − 2 ∑ (y − β − β x − β x − ... − β p x ) = 0
0
1 1i
2 2i
pi
∂β
i =1 i
0
n
∂D
= − 2 ∑ (y − β − β x − β x − ... − β p x )x = 0
0
1 1i
2 2i
pi 1i
∂β
i =1 i
1
...
n
∂D
= − 2 ∑ (y − β − β x − β x − ... − β p x )x = 0
0
1 1i
2 2i
pi pi
∂ βp
i =1 i
O vector b que minimiza a soma dos quadrados dos desvios é a solução do
sistema de equações lineares:
⎡n
⎢
⎢
⎢
⎢∑ x1i
⎢
⎢
⎢∑ x 2i
⎢
⎢....
⎢
⎢∑ x pi
⎢
⎣
∑x
∑x
1i
∑x
2
1i
∑x
x 2i
∑x
x pi
1i
1i
... ∑ x pi ⎤
⎡∑ yi ⎤
⎥
⎢
⎥
⎥ ⎡b0 ⎤ ⎢
⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
∑x 2i x1i ... ∑ x pi x1i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∑ x1i yi ⎥⎥
⎥ ⎢b1 ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥=⎢
⎥
.
⎥
2
⎢
⎥
⎥
x
y
x
...
x
x
∑ 2i
∑ pi 2i ⎥ ⎢b ⎥ ⎢∑ 2i i ⎥
⎢
⎥
2
⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢
⎥
2
⎥ ⎢b ⎥ ⎢...
⎥
∑x 2i x pi ... ∑ x pi ⎥ ⎣ p ⎦ ⎢
⎥
x
y
⎥
⎢
⎥⎦
∑
pi
i
⎣
⎦
2i
Página 9 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
¾ COEFICIENTE
DE
DETERMINAÇÃO
2
∑ ( yi − yˆ i )
R =1−
1
2
2
∑ yi − ( ∑ yi )
n
2
onde ŷ i = b 0 + b1 .x 1i + b 2 .x 2i + ... + b p .x pi
¾ RESÍDUOS
Para se calcular os resíduos no ajuste linear múltiplo utiliza-se a equação dos
resíduos para o ajuste linear simples. Contudo, ŷ i é dado pela equação
anterior.
Página 10 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
EXEMPLO 2 :
Ajustar os pontos da tabela à equação y = b0 + b1x1 + b2x2 e determinar o
coeficiente de determinação:
x1i
-1
0
1
2
4
5
5
6
x2i
-2
-1
0
1
1
2
3
4
yi
13
11
9
4
11
9
1
-1
Tabela auxiliar:
x1i2
x2i2 x1i x2i
x1i
x2i
-1
-2
13
0
-1
11
1
0
9
2
1
4
4
1
11
5
2
9
5
3
1
6
4
-1
yi
yix1i
yix2i
yi 2
ŷ i
ri
∑
Página 11 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
ri2
5.2.1 AJUSTE POLINOMIAL
Um caso especial de ajuste linear múltiplo ocorre quando x1=x, x2=x2, ..., xp=xp.
Deste modo, tem-se a equação:
y = β0+β1x + β2x2+ ... +βpxp
O vector b é determinado pela resolução do sistema:
⎡n
⎢
⎢
⎢
⎢∑ x i
⎢
⎢
⎢∑ x i 2
⎢
⎢
⎢
p
⎢∑ x i
⎢
⎣
¾ COEFICIENTE
∑x
i
∑x
i
∑x
2
∑x
i
∑x
i
DE
3
p +1
∑x
⎤
⎥
⎥ ⎡b 0 ⎤ ⎡ y
⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢∑ i ⎥
3
p +1
∑ x i ... ∑ x i
⎥ ⎢ b 1 ⎥ ⎢∑ x i y i ⎥
⎥ ⎢b ⎥ ⎢
⎥
⎥.⎢ 2 ⎥ = ⎢∑ x i 2 y i ⎥
4
p+2
⎥
∑ x i ... ∑ x i ⎥⎥ ⎢... ⎥ ⎢...
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
p
x i yi ⎥
∑
p+2
2p ⎥ ⎢ b p ⎥
⎣
⎦
∑ x i ... ∑ x i ⎥ ⎣ ⎦
⎥
⎦
2
i
...
p
i
DETERMINAÇÃO
2
∑ ( yi − yˆ i )
R =1−
1
2
2
∑ yi − (∑ yi )
n
2
onde ŷ i = b 0 + b1 .x + b 2 .x 2 + ... + b p .x p
¾ RESÍDUOS
Para se calcular os resíduos no ajuste polinomial utiliza-se a equação dos
resíduos para o ajuste linear simples. Contudo, ŷ i é dado pela equação
anterior.
Página 12 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
EXEMPLO 3 :
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação y = b0 + b1x + b2x2
xi
yi
-2
-30.5
-1.5
-20.2
0
-3.3
1
8.9
2.2
16.8
xi 2 yi
ŷ i
3.1
21.4
Tabela auxiliar:
xi
xi 2
xi 3
xi 4
yi
-2
-30.5
-1.5
-20.2
0
-3.3
1
8.9
2.2
16.8
3.1
21.4
xi yi
ri2
∑
Página 13 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
yi 2
5.2.2. TRANSFORMAÇÕES
Alguns modelos não lineares nos parâmetros podem ser transformados em
modelos lineares por substituição dos valores de uma ou mais variáveis por
funções destas variáveis.
EXEMPLO DE TRANSFORMAÇÕES:
™
y = a e bx
x
™ y = ab
™ y=ax
⎯
⎯→
⎯
⎯→
™
y = ea + bx1 +cx2
™
y = a.x1 x 2 x3
b
™ y=
™ y=
ln y = ln a + (ln b)x
⎯
⎯→
b
c
d
1
a + bx1 + cx 2
1
1 + e a + b x1 +c.x2
ln y = ln a + bx
ln y = ln a + b( ln x)
⎯
⎯→ ln y = a + bx1 + cx2
⎯
⎯→ ln y = ln a + b ln x1 + c ln x2 + d ln x3
⎯
⎯→
1
= a + b x1 + cx 2
y
⎯
⎯→
1
ln ( - 1) = a + b x1 + cx 2
y
Página 14 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
EXEMPLO 4 :
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação y = a.e bx
xi
yi
0.1
5.9
1.5
8.8
3.3
12.0
4.5
19.8
5.0
21.5
xi 2
y' i 2
Tabela auxiliar:
xi
yi
0.1
5.9
1.5
8.8
3.3
12
4.5
19.8
5.0
21.5
y'i = ln(yi)
xiy'i
∑
Página 15 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
EXEMPLO 1 (CONTINUAÇÃO):
Determinar a recta dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos dados da
tabela.
1.3
2.0
3.4
5.2
xi
yi
xi 2
xi yi
yi 2
ŷi
ri
1.3
2.0
1.69
2.60
4.0
2.7
-0.7
3.4
5.2
11.56
17.68
27.04
3.8
1.4
5.1
3.8
26.01
19.38
14.44
4.7
-0.9
6.8
6.1
46.24
41.48
37.21
5.6
0.5
8.0
5.8
64.00
46.40
33.64
6.2
-0.4
24.6
22.9
149.5
127.54
116.33
xi
yi
5.1
3.8
6.8
6.1
8.0
5.8
Tabela auxiliar:
∑
Determinação dos coeficientes:
b1 =
b0 =
5 * 127.54 − 24.6 * 22.9
5 * 149.5 − (24.6 )
2
= 0.52241
22.9 − 24.6 * 0.52241
= 2.0097
5
Então a melhor recta que passa pelos pontos tabelados é y=2.0097+0.52241x.
Cálculo do coeficiente de determinação:
2
24.6 * 22.9 ⎞
⎛
⎜127.54 −
⎟
5
⎝
⎠
2
R =
= 0.67866
2
2
⎡
(
(
24.6 ) ⎤ ⎡
22.9 ) ⎤
⎢149.5 −
⎥ ⎢116.33 −
⎥
5
5 ⎦
⎣
⎦⎣
Página 16 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
O ajuste efectuado pelos método dos mínimos quadrados não explica bem a
variação de y como função de x.
EXEMPLO 2 :
Ajustar os pontos da tabela à equação y = b0 + b1x1 + b2x2 e determinar o
coeficiente de determinação:
x1i
-1
0
1
2
4
5
5
6
x2i
-2
-1
0
1
1
2
3
4
yi
13
11
9
4
11
9
1
-1
ŷi
Tabela auxiliar:
x1i x2i X1i2 x2i2 x1ix2i yi
x1iyi x2iyi
yi 2
-1
-2
1
4
2
13
-13
-26
169 13.767
-0.767 0.588
0
-1
0
1
0
11
0
-11
121
10.703
0.297 0.088
1
0
1
0
0
9
9
0
81
7.639
1.361 1.852
2
1
4
1
2
4
8
4
16
4.575
-0.575 0.331
4
1
16
1
4
11
44
11
121
11.375 -0.375 0.141
5
2
25
4
10
9
45
18
81
8.311
0.689 0.475
5
3
25
9
15
1
5
3
1
1.847
-0.847 0.717
6
4
36
16
24
-1
-6
-4
1
-1.217
0.217 0.047
22
8
108 36
57
57
92
-5
591
⎡ 8 22 8 ⎤ ⎡b 0 ⎤ ⎡ 57 ⎤
O sistema é ⎢22 108 57⎥ ⎢ b1 ⎥ = ⎢ 92 ⎥ , a solução é
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎢⎣ 8 57 36⎥⎦ ⎢⎣b 2 ⎥⎦ ⎢⎣− 5⎥⎦
ri2
ri
4.239
⎡b 0 ⎤ ⎡ 4.239 ⎤
⎢ b ⎥ = ⎢ 3.400 ⎥ .
⎥
⎢ 1⎥ ⎢
⎢⎣b 2 ⎥⎦ ⎢⎣− 6.464⎥⎦
Então a melhor recta que se ajusta aos pontos é y = 4.239 +3.400x1 -6.464x2.
Página 17 de 20- Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados
R2 =1 −
Cálculo do coeficiente de determinação:
4.239
(57 )2
591 −
= 0.977 .
8
O ajuste efectuado é muito bom.
EXEMPLO 3 :
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação y = b0 + b1.x + b2.x2
xi
yi
-2
-30.5
-1.5
-20.2
0
-3.3
1
8.9
2.2
16.8
3.1
21.4
Tabela auxiliar:
xi
xi2
xi3
xi4
yi
xi yi
xi2 yi
ŷ i
ri2
yi2
-2
4
-8
16
-30.5
61.0
-122.0
-29.57
0.865
930.25
-1.5
2.25
-3.375
5.063
-20.2
30.3
-45.45
-21.766 2.452 408.04
0
0
0
0
-3.3
0
0
-2.018
1.644
10.89
1
1
1
1
8.9
8.9
8.9
8.092
0.653
79.21
81.312
2.2
4.84 10.648
23.426
16.8
36.96
16.998
0.039
282.24
3.1
9.61 29.791
92.352
21.4
66.34 205.654 21.368
0.001
457.96
21.7 30.064 137.841
-6.9
203.5 128.416
5.654 2168.59
∑ 2.8
2.8
21.7 ⎤ ⎡b 0 ⎤ ⎡ − 6.9 ⎤
⎡ 6
21.7
30.064 ⎥ ⎢ b1 ⎥ = ⎢ 203.5 ⎥ ,
O sistema é ⎢ 2.8
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢⎣21.7 30.064 137.841⎥⎦ ⎢⎣b 2 ⎥⎦ ⎢⎣128.416⎥⎦
⎡b 0 ⎤ ⎡− 2.018⎤
a solução é ⎢ b1 ⎥ = ⎢ 11.332 ⎥ . Então a melhor curva que se ajusta aos pontos é
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢⎣b 2 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1.222 ⎥⎦
y = -2.018 + 11.332x - 1.222x2.
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Cálculo do coeficiente de determinação:
R2 =1 −
5.654
= 0.997 .
(− 6.9 )2
2168.59 −
O ajuste efectuado é muito bom.
6
EXEMPLO 4 :
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação y = ae bx
0.1
5.9
xi
yi
→
y = a.e bx
1.5
8.8
3.3
12.0
4.5
19.8
5.0
21.5
ln y = ln a +b.x
Tabela auxiliar:
∑
xi
yi
y'i = ln(yi)
xiy'i
xi 2
y' i 2
0.1
5.9
1.77
0.177
0.01
3.1329
1.5
8.8
2.17
3.255
2.25
4.7089
3.3
12
2.48
8.184
10.89
6.1504
4.5
19.8
2.99
13.455
20.25
8.9401
5.0
21.5
3.07
15.35
25
9.4248
12.48
40.421
58.4
32.3372
14.4
Determinação dos coeficientes:
b1 =
5 * 40.421 − 14.4 * 12.48
b0 =
5 * 58.4 − (14.4 )
2
= 0.2646
12.48 − 0.2646 * 14.4
= 1.734
5
Então a melhor curva que se ajusta aos pontos tabelados é
ln y =1.734 +0.2646x ⇔ y = e1.734 .e0.2646x ⇔ y = 5.6633.e0.2646x
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Cálculo do coeficiente de determinação:
14.4 * 12.48
5
= 0.982
R2 =
2
2
⎡
(
(
14.4 ) ⎤ ⎡
12.48) ⎤
⎢58.4 −
⎥ ⎢32.3572 −
⎥
5
5 ⎦
⎣
⎦⎣
40.421 −
O ajuste efectuado é muito bom.
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